1 Objetivo

Determinar predicciones de datos bajo el modelo de regresión lineal simple.

2 Descripción

De un conjunto de datos con dos variables (bivariable) en donde una de ellas es \(X\) variable independiente y otra de ellas \(Y\) variable dependiente, predecir el valor de Y conforme la historia de X.

3 Fundamento teórico

3.1 Coeficiente de Correlación \(r\)

La utilidad principal de los análisis correlacionales es saber cómo se puede comportar un concepto o una variable al conocer el comportamiento de otras variables vinculadas, por ejemplo: a mayor estudio mejor rendimiento; a mayor cantidad de sol mayor temperatura de ambiente; a mayor frecuencia de actividad social mayor porcentaje de contagios, entre muchos otros.

La importancia de la correlación es conocer el grado de relación entre variables y ayuda a las técnicas de predicción, es decir, intentar predecir el valor aproximado que tendrá un grupo de individuos o casos en una variable, a partir del valor que poseen en las variables relacionadas.

La correlación puede ser positiva o negativa de entre \(-1\) a \(1\) y significa que el coeficiente r de Pearson puede variar de −1.00 a +1.00, donde:

−1.00 = correlación negativa perfecta. (“A mayor X, menor Y”, de manera proporcional. Es decir, cada vez que X aumenta una unidad, Y disminuye siempre una cantidad constante). Esto también se aplica “a menor X, mayor Y”.

  • −0.90 = Correlación negativa muy fuerte.
  • −0.75 = Correlación negativa considerable.
  • −0.50 = Correlación negativa media.
  • −0.25 = Correlación negativa débil.
  • −0.10 = Correlación negativa muy débil.
  • 0.00 = No existe correlación alguna entre las variables.
  • +0.10 = Correlación positiva muy débil.
  • +0.25 = Correlación positiva débil.
  • +0.50 = Correlación positiva media.
  • +0.75 = Correlación positiva considerable.
  • +0.90 = Correlación positiva muy fuerte.
  • +1.00 = Correlación positiva perfecta (“A mayor X, mayor Y” o “a menor X, menor Y”, de manera proporcional. Cada vez que X aumenta, Y aumenta siempre una cantidad constante).

El signo indica la dirección de la correlación (positiva o negativa); y el valor numérico, la magnitud de la correlación.

Por otra parte, menciona que el análisis de correlación intenta medir la intensidad de tales relaciones entre dos variables por medio de un solo número denominado coeficiente de correlación.

Para determinar el coeficiente de correlación de Pearson de una muestra se utiliza la siguiente fórmula:

3.1.1 Fórmula para correlación de Pearson

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}\cdot\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^{2}}}\]

Siendo \(r\) el valor del coeficiente de correlación. La correlación de Pearson funciona bien con variables cuantitativas que tienen una distribución normal.

La idea básica del análisis de correlación es identificar la asociación entre dos variables; por lo general, se puede describir la relación graficando o elaborando un diagrama de dispersión entre \(x\) y \(y\).

3.2 Regresión lineal simple

La regresión lineal simple implica aplicar una ecuación matemática de mínimos cuadrados que permite pronosticar o predecir el valor de una variable con base en el valor de otra; este procedimiento se llama análisis de regresión.

El análisis de regresión es un método para examinar una relación lineal entre dos variables; se utiliza el concepto de correlación \(r\), sin embargo, la regresión proporciona mucho más información, además de permitir estimaciones o predicciones de la relación lineal con la ecuación de mínimos cuadrados.

3.3 Fórmula de mínimo cuadrados para regresión lineal

\[Y = a + bx\]

En donde:

  • \(Y\) es el valor a predecir
  • \(a\) Es el valor del cruce del eje y
  • \(b\) Es el valor de la pendiente o inclinación.
  • \(x\) el valor de la variable independiente
3.3.0.0.1 Fórmulas par obtener coeficientes a y b en el método de mínimos cuadrados

\[ b = r \cdot(\frac{ s_{y}}{s_x}) = r \cdot \frac{\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n(y_i- \bar{y})^2}{n-1}}} {\sqrt{ \frac{\sum_{i=1}^n(x_i- \bar{x})^2}{n-1}}} \]

En donde:

  • \(r\) es el coeficiente de correlación.

  • \(S_y\) es la desviación estándar de \(y\). \(\text {es el denominador}\)

  • \(S_x\) es la desviación estándar de la variable \(x\). \(\text{es el numerador}\)

Y para determinar a:

\[a = \bar{y} - b \cdot\bar{x}\]

  • Se requiere la media de y \(\bar{y}\)
  • Se necesita la media de x \(\bar{x}\)

Un valor que es importante destacar en la regresión lineal, es el coeficiente de determinación también representado por \(r^{2}\) que se puede sacar elevando al cuadrado el coeficiente de correlación previamente determinado.

Cuando el coeficiente \(r\) de Pearson se eleva al cuadrado \(r^{2}\), se obtiene el coeficiente de determinación y el resultado indica la variabilidad de factores comunes. Esto es, el porcentaje de la variación de una variable debido a la variación de la otra variable y viceversa (o cuánto explica o determina una variable la variación de la otra).

El coeficiente de determinación es la proporción y la explicación de la variación total de la variable dependiente \(y\) con respecto a la variable independiente \(x\).

4 Desarrollo

4.1 Las librerías

library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos
library(DT)
library(cowplot)
library("visualize")

4.2 Ejercicio llamadas y ventas

4.2.1 Cargar los datos

Datos de llamadas que hacen vendedores y las ventas que realizan.

vendedores <- paste("V",1:15, sep="")
llamadas <- c(96, 40, 104, 128, 164, 76, 72, 80 , 36, 84, 180, 132, 120, 44, 84) 
ventas <- c(41, 41, 51, 60, 61, 29, 39, 50, 28, 43, 70, 56, 45, 31, 30)
datos <- data.frame(vendedores, llamadas, ventas)
datos
##    vendedores llamadas ventas
## 1          V1       96     41
## 2          V2       40     41
## 3          V3      104     51
## 4          V4      128     60
## 5          V5      164     61
## 6          V6       76     29
## 7          V7       72     39
## 8          V8       80     50
## 9          V9       36     28
## 10        V10       84     43
## 11        V11      180     70
## 12        V12      132     56
## 13        V13      120     45
## 14        V14       44     31
## 15        V15       84     30

4.2.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los llamadas y ‘y’ las ventas.
r <- cor(datos$llamadas, datos$ventas)
r
## [1] 0.8646318

4.2.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.2.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.
modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~llamadas)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     llamadas  
##     19.9800       0.2606

4.2.5 Encontrar el coeficiente de determinación

  • Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ llamadas, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -11.873  -2.861   0.255   3.511  10.595 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  19.9800     4.3897   4.552 0.000544 ***
## llamadas      0.2606     0.0420   6.205 3.19e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 6.72 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.7476, Adjusted R-squared:  0.7282 
## F-statistic:  38.5 on 1 and 13 DF,  p-value: 3.193e-05
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.747588134135855"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.7476 significa que el valor de llamadas representa y explica el 74.76 % de las ventas.

4.2.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##       19.98
## llamadas 
## 0.260625

4.2.7 Medias de las variables

mean(datos$llamadas)
## [1] 96
mean(datos$ventas)
## [1] 45

4.2.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = llamadas, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$llamadas), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$llamadas, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Llamadas") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.2.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores 100, 130 y 160
x <- c(100, 130, 160)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(llamadas = x))
prediccion
##        1        2        3 
## 46.04250 53.86125 61.68000
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 46.04250 53.86125 61.68000

4.2.10 Interpretar el ejercicio

  • Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de \(a\) y \(b\).
  • Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o ventas.
  • Se comprobó las predicciones
  • Para un valor de 170 el valor de la predicción es 64.28 en ventas

4.3 Ejercicio ventas en función de comerciales

4.3.1 Cargar o generar los datos

De un conjunto de datos para una empresa que invierte dinero en comerciales se tienen un historial de ventas de doce semanas.

semanas <- c(1:12)
comerciales <- c(2,5,1,3,4,1,5,3,4,2,3,2)
ventas <- c(50,57,41,54,54,38,63,48,59,46, 45, 48 )
datos <- data.frame(semanas,comerciales,ventas)
kable(datos, caption = "Ventas en función de inversión en comerciales")
Ventas en función de inversión en comerciales
semanas comerciales ventas
1 2 50
2 5 57
3 1 41
4 3 54
5 4 54
6 1 38
7 5 63
8 3 48
9 4 59
10 2 46
11 3 45
12 2 48

4.3.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los comerciales y ‘y’ las ventas.
r <- cor(datos$comerciales, datos$ventas)
r
## [1] 0.9006177

4.3.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.3.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.
modelo <- lm(data = datos, formula = ventas~comerciales)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)  comerciales  
##      36.131        4.841

4.3.5 Encontrar el coeficiente de determinación

  • Elevando al cuadrado el coeficiente de correlación. \[r^{2}\]
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = ventas ~ comerciales, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -5.6534 -2.7331  0.1076  2.8357  4.1873 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  36.1315     2.3650  15.278 2.93e-08 ***
## comerciales   4.8406     0.7387   6.553 6.45e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.378 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.8111, Adjusted R-squared:  0.7922 
## F-statistic: 42.94 on 1 and 10 DF,  p-value: 6.449e-05
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación: ", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación:  0.811112191696598"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.8111 significa que el valor de comerciales representa el 81.11 % de las ventas.

4.3.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    36.13147
## comerciales 
##    4.840637

4.3.7 Medias de las variables

mean(datos$comerciales)
## [1] 2.916667
mean(datos$ventas)
## [1] 50.25

4.3.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = comerciales, y = ventas), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$comerciales), y = mean(datos$ventas)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$comerciales, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Comerciales") + 
  ylab("Ventas") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.3.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores 4, 3.5, 2, 0 y 1
x <- c(4, 3.5, 2, 0,1)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(comerciales = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 55.49402 53.07371 45.81275 36.13147 40.97211

4.3.10 Interpretar el ejercicio

  • Se utilizó la función lm() para crear el modelo de regresión lineal y determinar los coeficientes de a y b.
  • Se utilizó la función predict() para predecir nuevos valores de x o comerciales.
  • Se comprobó las predicciones
  • Por ejemplo para un valor de 4 en comerciales la predicción de ventas es de 55.99.

4.4 Ejercicio. Medidas de los sólidos contaminantes y la demanda de oxígeno bioquímico.

Uno de los problemas más desafiantes que se enfrentan en el área del control de la contaminación del agua lo representa la industria de la peletería (dedicada a la elaboración de indumentaria, cuero y piel animal).

Los desechos de ésta tienen una complejidad química. Se caracterizan por valores elevados de demanda de oxígeno bioquímico, sólidos volátiles y otras medidas de la contaminación.

Tal vez si existen contaminantes sólidos se requiera mayor oxígeno bioquímico.

4.4.1 Cargar o generar los datos

seq <- c(1:33)
solido <- c(3,7,11,15,18,27,29,30,30,31,31,32,33,33,34,36,36,36,37,38,39,39,39,40,41,42,42,43,44,45,46,47,50)
oxigeno <- c(5,11,21,16,16,28,27,25,35,30,40,32,34,32,34,37,38,34,36,38,37,36,45,39,41,40,44,37,44,46,46,49,51 )
datos <- data.frame(seq,solido,oxigeno)
kable(datos, caption = "Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes")
Contaminante oxígeno en función de sólidos contaminantes
seq solido oxigeno
1 3 5
2 7 11
3 11 21
4 15 16
5 18 16
6 27 28
7 29 27
8 30 25
9 30 35
10 31 30
11 31 40
12 32 32
13 33 34
14 33 32
15 34 34
16 36 37
17 36 38
18 36 34
19 37 36
20 38 38
21 39 37
22 39 36
23 39 45
24 40 39
25 41 41
26 42 40
27 42 44
28 43 37
29 44 44
30 45 46
31 46 46
32 47 49
33 50 51

4.4.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; ‘x’ son los valores de sólido y ‘y’ el porcentaje de oxígeno.
r <- cor(datos$solido, datos$oxigeno)
r
## [1] 0.9554794

4.4.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.4.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.
modelo <- lm(data = datos, formula = oxigeno~solido)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)       solido  
##      3.8296       0.9036

4.4.5 Encontrar el coeficiente de determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = oxigeno ~ solido, data = datos)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -5.939 -1.783 -0.228  1.506  8.157 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  3.82963    1.76845   2.166   0.0382 *  
## solido       0.90364    0.05012  18.030   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.23 on 31 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9129, Adjusted R-squared:  0.9101 
## F-statistic: 325.1 on 1 and 31 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.912940801014387"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.9129 significa que el valor de solido representa el 91.29 % del oxígeno.

4.4.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    3.829633
##    solido 
## 0.9036432

4.4.7 Medias de las variables

mean(datos$solido)
## [1] 33.45455
mean(datos$oxigeno)
## [1] 34.06061

4.4.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = solido, y = oxigeno), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$solido), y = mean(datos$oxigeno)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$solido, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Reducción de sólido") + 
  ylab("% Oxígeno") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.4.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores \(x=15,20,35,40,50\)
x <- c(15,20,35,40,50)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(solido = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5 
## 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 17.38428 21.90250 35.45715 39.97536 49.01179

4.4.10 Interpretar el ejercicio

Los datos que se obtuvieron en las medidas de los sólidos contaminantes y la demanda de oxígeno bioquímico con la relación de las variables de sólido y oxígeno. Se da a conocer lo siguiente:

  • El valor de la correlación que se obtiene entre las variables sólido y oxígeno es de 0.7173011.

  • El coeficiente de determinación r2 con valor de 0.9129 significa que el valor de solido representa el 91.29 % del oxígeno.

  • La media de la variable del sólido es de 33.45455, el 33%.

  • La media de la variable del oxígeno es de 34.06061, el 34%.

4.5 Ejercicio Caso de mediciones del cuerpo humano (Peso y Estatura)

Mediciones del cuerpo humano en donde se buscar identificar el coeficiente de correlación \(r\), el coeficiente de determinación \(r^2\) y el modelo de regresión lineal para predecir peso en relación a la estatura de una persona.

4.5.1 Cargar los datos

  • La variable x independiente será la estatura
  • La variable y dependiente será la peso
datos <- read.table("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/datos/body.dat.txt", quote="\"", comment.char="")
datos <- as.data.frame(datos)

4.5.1.1 Estructura de los datos

Son 507 observaciones y 25 variables. Se identifican todas las variables de datos. Las variables de interés son las variables numéricas (columnas 23 y 24) y la columna 25 de género solo para ubicar género Masculino (1) o Femenino (2).

str(datos)
## 'data.frame':    507 obs. of  25 variables:
##  $ V1 : num  42.9 43.7 40.1 44.3 42.5 43.3 43.5 44.4 43.5 42 ...
##  $ V2 : num  26 28.5 28.2 29.9 29.9 27 30 29.8 26.5 28 ...
##  $ V3 : num  31.5 33.5 33.3 34 34 31.5 34 33.2 32.1 34 ...
##  $ V4 : num  17.7 16.9 20.9 18.4 21.5 19.6 21.9 21.8 15.5 22.5 ...
##  $ V5 : num  28 30.8 31.7 28.2 29.4 31.3 31.7 28.8 27.5 28 ...
##  $ V6 : num  13.1 14 13.9 13.9 15.2 14 16.1 15.1 14.1 15.6 ...
##  $ V7 : num  10.4 11.8 10.9 11.2 11.6 11.5 12.5 11.9 11.2 12 ...
##  $ V8 : num  18.8 20.6 19.7 20.9 20.7 18.8 20.8 21 18.9 21.1 ...
##  $ V9 : num  14.1 15.1 14.1 15 14.9 13.9 15.6 14.6 13.2 15 ...
##  $ V10: num  106 110 115 104 108 ...
##  $ V11: num  89.5 97 97.5 97 97.5 ...
##  $ V12: num  71.5 79 83.2 77.8 80 82.5 82 76.8 68.5 77.5 ...
##  $ V13: num  74.5 86.5 82.9 78.8 82.5 80.1 84 80.5 69 81.5 ...
##  $ V14: num  93.5 94.8 95 94 98.5 95.3 101 98 89.5 99.8 ...
##  $ V15: num  51.5 51.5 57.3 53 55.4 57.5 60.9 56 50 59.8 ...
##  $ V16: num  32.5 34.4 33.4 31 32 33 42.4 34.1 33 36.5 ...
##  $ V17: num  26 28 28.8 26.2 28.4 28 32.3 28 26 29.2 ...
##  $ V18: num  34.5 36.5 37 37 37.7 36.6 40.1 39.2 35.5 38.3 ...
##  $ V19: num  36.5 37.5 37.3 34.8 38.6 36.1 40.3 36.7 35 38.6 ...
##  $ V20: num  23.5 24.5 21.9 23 24.4 23.5 23.6 22.5 22 22.2 ...
##  $ V21: num  16.5 17 16.9 16.6 18 16.9 18.8 18 16.5 16.9 ...
##  $ V22: num  21 23 28 23 22 21 26 27 23 21 ...
##  $ V23: num  65.6 71.8 80.7 72.6 78.8 74.8 86.4 78.4 62 81.6 ...
##  $ V24: num  174 175 194 186 187 ...
##  $ V25: int  1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...

4.5.1.2 Selección de variables de interés

Se seleccionan las columnas que tienen valores de peso en kilogramso y estaturas en centímetros de personas así como el género, Se muestran los primeros 10 y últimos 10 registros.

colnames(datos)[23:25] <- c("peso", "estatura", "genero")
# Solo interesan las tres últimas columnas
datos <- select(datos, estatura, peso, genero)
kable(head(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")
Datos de pesos y estaturas de personas
estatura peso genero
174.0 65.6 1
175.3 71.8 1
193.5 80.7 1
186.5 72.6 1
187.2 78.8 1
181.5 74.8 1
184.0 86.4 1
184.5 78.4 1
175.0 62.0 1
184.0 81.6 1 
kable(tail(datos, 10), caption = "Datos de pesos y estaturas de personas")
Datos de pesos y estaturas de personas
estatura peso genero
498 169.5 67.3 0
499 160.0 75.5 0
500 172.7 68.2 0
501 162.6 61.4 0
502 157.5 76.8 0
503 176.5 71.8 0
504 164.4 55.5 0
505 160.7 48.6 0
506 174.0 66.4 0
507 163.8 67.3 0

4.5.2 Valor de correlación entre las variables

  • Se determina la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) estatura y \(y\) peso de una persona.
r <- cor(datos$estatura, datos$peso)
r
## [1] 0.7173011
  • El coeficiente de correlación con valor de 0.7173011 significa el grado de relación entre las variables y su valor se interpreta siendo \(0.50 \le r \le 0.75\) una correlación positiva de media a considerable.

4.5.3 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = estatura, y = peso)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.5.4 Generar el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

  • Determinar los coeficientes a y b por medio de la función lineal lm()
  • El caracter ‘~’ en la fórmula de la función lm() de regresión se interpreta como que la variable ‘y’ está en función de la variable ‘x’.
modelo <- lm(data = datos, formula = peso~estatura)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)     estatura  
##    -105.011        1.018

4.5.5 Encontrar el coeficiente de determinación \(r^{2}\)

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = peso ~ estatura, data = datos)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -18.743  -6.402  -1.231   5.059  41.103 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) -105.01125    7.53941  -13.93   <2e-16 ***
## estatura       1.01762    0.04399   23.14   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 9.308 on 505 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5145, Adjusted R-squared:  0.5136 
## F-statistic: 535.2 on 1 and 505 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.514520837538849"
  • El coeficiente de determinación \(r^{2}\) con valor de 0.5145 significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

4.5.6 Determinar los valores de a y b

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##   -105.0113
## estatura 
## 1.017617

4.5.7 Medias de las variables

mean(datos$estatura)
## [1] 171.1438
mean(datos$peso)
## [1] 69.14753

4.5.8 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = estatura, y = peso), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$estatura), y = mean(datos$peso)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$estatura, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Estatura") + 
  ylab("Peso") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.5.9 Predecir conforme al modelo

  • Para predecir se puede usar la ecuación \(y=a+bx\) o utilizar la función predict()
  • Predecir para valores \(x = {150, 160, 170, 175, 185, 190}\)
x <- c(150, 160, 170, 175, 185, 190)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(estatura = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5        6 
## 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 47.63126 57.80743 67.98360 73.07168 83.24785 88.33593

4.5.10 Interpretar el ejercicio

Conforme a los datos obtenido de una muestra de mediciones del cuerpo humano en relación las variables independiente estatura y la variable dependiente el peso. Se concluye lo siguiente:

El valor de la correlación entre las variables estatura y peso es de 0.7173011 que significa y se interpreta como una correlación positiva considerable.

El valor del coeficiente determinación \(r^{2}\) significa que el valor de la estatura de una persona representa el 51.45 % del peso de la misma.

Por cada unidad de estatura en una persona el peso varía en función de 1.0176168

Para una persona que mide 170 centímetros la predicción de peso es de 67.9835977

Para una persona que mide 185 centímetros la predicción de peso es de 83.2478493

4.6 Ejercicio extra con los datos del caso 22 y 23

4.6.1 Datos FIFA

4.6.2 Cargar o construir los datos

datos.bruto <- read.csv("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/datos/players_20.csv", stringsAsFactors = TRUE, encoding = "UTF-8")
str(datos.bruto)
## 'data.frame':    18278 obs. of  104 variables:
##  $ sofifa_id                 : int  158023 20801 190871 200389 183277 192985 192448 203376 177003 209331 ...
##  $ player_url                : Factor w/ 18278 levels "https://sofifa.com/player/101317/michael-ratajczak/20/159586",..: 397 5124 2497 3676 1537 2765 2674 4267 1088 5356 ...
##  $ short_name                : Factor w/ 17354 levels "A. Abdallah",..: 9768 3205 12703 7899 4500 8740 11808 16595 9778 11643 ...
##  $ long_name                 : Factor w/ 18218 levels "A. Benjamin Chiamuloira Paes",..: 9904 3292 12557 7423 4443 9252 10715 16632 10336 12149 ...
##  $ age                       : int  32 34 27 26 28 28 27 27 33 27 ...
##  $ dob                       : Factor w/ 6142 levels "01/01/1983","01/01/1984",..: 4738 833 840 1230 1228 5551 5888 1539 1779 2945 ...
##  $ height_cm                 : int  170 187 175 188 175 181 187 193 172 175 ...
##  $ weight_kg                 : int  72 83 68 87 74 70 85 92 66 71 ...
##  $ nationality               : Factor w/ 162 levels "Afghanistan",..: 6 122 19 135 13 13 58 109 35 44 ...
##  $ club                      : Factor w/ 698 levels " SSV Jahn Regensburg",..: 228 353 463 64 507 401 228 389 507 389 ...
##  $ overall                   : int  94 93 92 91 91 91 90 90 90 90 ...
##  $ potential                 : int  94 93 92 93 91 91 93 91 90 90 ...
##  $ value_eur                 : int  95500000 58500000 105500000 77500000 90000000 90000000 67500000 78000000 45000000 80500000 ...
##  $ wage_eur                  : int  565000 405000 290000 125000 470000 370000 250000 200000 340000 240000 ...
##  $ player_positions          : Factor w/ 643 levels "CAM","CAM, CDM",..: 545 621 345 227 351 12 227 56 156 575 ...
##  $ preferred_foot            : Factor w/ 2 levels "Left","Right": 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 ...
##  $ international_reputation  : int  5 5 5 3 4 4 3 3 4 3 ...
##  $ weak_foot                 : int  4 4 5 3 4 5 4 3 4 3 ...
##  $ skill_moves               : int  4 5 5 1 4 4 1 2 4 4 ...
##  $ work_rate                 : Factor w/ 9 levels "High/High","High/Low",..: 8 2 3 9 3 1 9 9 1 3 ...
##  $ body_type                 : Factor w/ 10 levels "Akinfenwa","C. Ronaldo",..: 5 2 6 7 7 7 7 7 4 8 ...
##  $ real_face                 : Factor w/ 2 levels "No","Yes": 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ...
##  $ release_clause_eur        : int  195800000 96500000 195200000 164700000 184500000 166500000 143400000 150200000 92300000 148900000 ...
##  $ player_tags               : Factor w/ 84 levels "","#Acrobat",..: 27 74 75 1 72 38 1 83 35 73 ...
##  $ team_position             : Factor w/ 30 levels "","CAM","CB",..: 27 16 2 7 16 21 7 10 21 27 ...
##  $ team_jersey_number        : int  10 7 10 13 7 17 1 4 10 11 ...
##  $ loaned_from               : Factor w/ 317 levels "","1. FC Heidenheim 1846",..: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ...
##  $ joined                    : Factor w/ 1761 levels "","01/01/1998",..: 73 639 245 969 88 1705 83 19 97 86 ...
##  $ contract_valid_until      : int  2021 2022 2022 2023 2024 2023 2022 2023 2020 2023 ...
##  $ nation_position           : Factor w/ 27 levels "","CAM","CB",..: 1 14 15 7 12 19 27 9 1 24 ...
##  $ nation_jersey_number      : int  NA 7 10 1 10 7 22 4 NA 10 ...
##  $ pace                      : int  87 90 91 NA 91 76 NA 77 74 93 ...
##  $ shooting                  : int  92 93 85 NA 83 86 NA 60 76 86 ...
##  $ passing                   : int  92 82 87 NA 86 92 NA 70 89 81 ...
##  $ dribbling                 : int  96 89 95 NA 94 86 NA 71 89 89 ...
##  $ defending                 : int  39 35 32 NA 35 61 NA 90 72 45 ...
##  $ physic                    : int  66 78 58 NA 66 78 NA 86 66 74 ...
##  $ gk_diving                 : int  NA NA NA 87 NA NA 88 NA NA NA ...
##  $ gk_handling               : int  NA NA NA 92 NA NA 85 NA NA NA ...
##  $ gk_kicking                : int  NA NA NA 78 NA NA 88 NA NA NA ...
##  $ gk_reflexes               : int  NA NA NA 89 NA NA 90 NA NA NA ...
##  $ gk_speed                  : int  NA NA NA 52 NA NA 45 NA NA NA ...
##  $ gk_positioning            : int  NA NA NA 90 NA NA 88 NA NA NA ...
##  $ player_traits             : Factor w/ 922 levels "","Acrobatic Clearance",..: 112 687 787 334 165 718 920 203 19 113 ...
##  $ attacking_crossing        : int  88 84 87 13 81 93 18 53 86 79 ...
##  $ attacking_finishing       : int  95 94 87 11 84 82 14 52 72 90 ...
##  $ attacking_heading_accuracy: int  70 89 62 15 61 55 11 86 55 59 ...
##  $ attacking_short_passing   : int  92 83 87 43 89 92 61 78 92 84 ...
##  $ attacking_volleys         : int  88 87 87 13 83 82 14 45 76 79 ...
##  $ skill_dribbling           : int  97 89 96 12 95 86 21 70 87 89 ...
##  $ skill_curve               : int  93 81 88 13 83 85 18 60 85 83 ...
##  $ skill_fk_accuracy         : int  94 76 87 14 79 83 12 70 78 69 ...
##  $ skill_long_passing        : int  92 77 81 40 83 91 63 81 88 75 ...
##  $ skill_ball_control        : int  96 92 95 30 94 91 30 76 92 89 ...
##  $ movement_acceleration     : int  91 89 94 43 94 77 38 74 77 94 ...
##  $ movement_sprint_speed     : int  84 91 89 60 88 76 50 79 71 92 ...
##  $ movement_agility          : int  93 87 96 67 95 78 37 61 92 91 ...
##  $ movement_reactions        : int  95 96 92 88 90 91 86 88 89 92 ...
##  $ movement_balance          : int  95 71 84 49 94 76 43 53 93 88 ...
##  $ power_shot_power          : int  86 95 80 59 82 91 66 81 79 80 ...
##  $ power_jumping             : int  68 95 61 78 56 63 79 90 68 69 ...
##  $ power_stamina             : int  75 85 81 41 84 89 35 75 85 85 ...
##  $ power_strength            : int  68 78 49 78 63 74 78 92 58 73 ...
##  $ power_long_shots          : int  94 93 84 12 80 90 10 64 82 84 ...
##  $ mentality_aggression      : int  48 63 51 34 54 76 43 82 62 63 ...
##  $ mentality_interceptions   : int  40 29 36 19 41 61 22 89 82 55 ...
##  $ mentality_positioning     : int  94 95 87 11 87 88 11 47 79 92 ...
##  $ mentality_vision          : int  94 82 90 65 89 94 70 65 91 84 ...
##  $ mentality_penalties       : int  75 85 90 11 88 79 25 62 82 77 ...
##  $ mentality_composure       : int  96 95 94 68 91 91 70 89 92 91 ...
##  $ defending_marking         : int  33 28 27 27 34 68 25 91 68 38 ...
##  $ defending_standing_tackle : int  37 32 26 12 27 58 13 92 76 43 ...
##  $ defending_sliding_tackle  : int  26 24 29 18 22 51 10 85 71 41 ...
##  $ goalkeeping_diving        : int  6 7 9 87 11 15 88 13 13 14 ...
##  $ goalkeeping_handling      : int  11 11 9 92 12 13 85 10 9 14 ...
##  $ goalkeeping_kicking       : int  15 15 15 78 6 5 88 13 7 9 ...
##  $ goalkeeping_positioning   : int  14 14 15 90 8 10 88 11 14 11 ...
##  $ goalkeeping_reflexes      : int  8 11 11 89 8 13 90 11 9 14 ...
##  $ ls                        : Factor w/ 95 levels "","30+2","31+2",..: 94 95 89 1 88 86 1 60 76 89 ...
##  $ st                        : Factor w/ 95 levels "","30+2","31+2",..: 94 95 89 1 88 86 1 60 76 89 ...
##  $ rs                        : Factor w/ 95 levels "","30+2","31+2",..: 94 95 89 1 88 86 1 60 76 89 ...
##  $ lw                        : Factor w/ 108 levels "","25+2","27+2",..: 108 106 107 1 106 104 1 64 100 105 ...
##  $ lf                        : Factor w/ 104 levels "","26+2","27+2",..: 104 103 102 1 101 100 1 65 94 101 ...
##  $ cf                        : Factor w/ 104 levels "","26+2","27+2",..: 104 103 102 1 101 100 1 65 94 101 ...
##  $ rf                        : Factor w/ 104 levels "","26+2","27+2",..: 104 103 102 1 101 100 1 65 94 101 ...
##  $ rw                        : Factor w/ 108 levels "","25+2","27+2",..: 108 106 107 1 106 104 1 64 100 105 ...
##  $ lam                       : Factor w/ 104 levels "","27+2","28+2",..: 104 101 103 1 102 101 1 64 99 100 ...
##  $ cam                       : Factor w/ 104 levels "","27+2","28+2",..: 104 101 103 1 102 101 1 64 99 100 ...
##  $ ram                       : Factor w/ 104 levels "","27+2","28+2",..: 104 101 103 1 102 101 1 64 99 100 ...
##  $ lm                        : Factor w/ 101 levels "","27+2","30+2",..: 101 99 100 1 100 99 1 62 95 98 ...
##  $ lcm                       : Factor w/ 89 levels "","31+2","32+2",..: 88 80 82 1 84 89 1 64 89 80 ...
##  $ cm                        : Factor w/ 89 levels "","31+2","32+2",..: 88 80 82 1 84 89 1 64 89 80 ...
##  $ rcm                       : Factor w/ 89 levels "","31+2","32+2",..: 88 80 82 1 84 89 1 64 89 80 ...
##  $ rm                        : Factor w/ 101 levels "","27+2","30+2",..: 101 99 100 1 100 99 1 62 95 98 ...
##  $ lwb                       : Factor w/ 99 levels "","30+2","31+2",..: 65 59 61 1 61 84 1 88 92 70 ...
##  $ ldm                       : Factor w/ 99 levels "","28+2","29+2",..: 60 51 51 1 55 84 1 95 92 63 ...
##  $ cdm                       : Factor w/ 99 levels "","28+2","29+2",..: 60 51 51 1 55 84 1 95 92 63 ...
##  $ rdm                       : Factor w/ 99 levels "","28+2","29+2",..: 60 51 51 1 55 84 1 95 92 63 ...
##  $ rwb                       : Factor w/ 99 levels "","30+2","31+2",..: 65 59 61 1 61 84 1 88 92 70 ...
##   [list output truncated]

¿Cuál es la variable independiente y cuál la variable dependiente? La variable independiente sería altura y la variable dependiente peso.

¿Cuál es la estructura de los datos? Son 18278 observaciones o registros y 104 variables.

datos <- datos.bruto %>%
    select(height_cm, weight_kg)
colnames(datos) <- c("altura", "peso")
datatable(datos, caption = "Jugadores FIFA")

4.6.3 Valor de correlación entre las variables

Determinar la correlación de Pearson con la función cor(x,y) que establece el grado de relación entre dos variables; \(x\) e \(y\).

¿Cómo se interpreta el valor del coeficiente de correlación? Se seleccionan dos variables numéricas de interés, height_cm y weight_kg; se modifican los nombres de variables o columnas en el conjunto de datos y se muestran los primeros 10 y últimos 10 registros.

summary(datos)
##      altura           peso       
##  Min.   :156.0   Min.   : 50.00  
##  1st Qu.:177.0   1st Qu.: 70.00  
##  Median :181.0   Median : 75.00  
##  Mean   :181.4   Mean   : 75.28  
##  3rd Qu.:186.0   3rd Qu.: 80.00  
##  Max.   :205.0   Max.   :110.00

4.6.4 Gráfica de dispersión

ggplot(data = datos, aes(x = altura, y = peso)) +
  geom_point(colour = 'blue')

4.6.5 Construir el modelo regresión lineal \(Y = a + bx\)

modelo <- lm(data = datos, formula = altura~peso)
modelo
## 
## Call:
## lm(formula = altura ~ peso, data = datos)
## 
## Coefficients:
## (Intercept)         peso  
##    125.8763       0.7371

4.6.5.1 Encontrar el coeficiente de determinación

\(r^{2}\)

¿Cuál es el valor y qué significa el coeficiente de determinación?

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = altura ~ peso, data = datos)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -28.9568  -2.7875   0.0012   2.7383  18.3157 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 1.259e+02  3.429e-01   367.1   <2e-16 ***
## peso        7.371e-01  4.535e-03   162.5   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 4.321 on 18276 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.5911, Adjusted R-squared:  0.5911 
## F-statistic: 2.642e+04 on 1 and 18276 DF,  p-value: < 2.2e-16
paste("El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación :", r^2)
## [1] "El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.514520837538849"

4.6.5.2 Determinar los valores de a y b

¿Cuáles son los valores de \(a\) y \(b\) en la ecuación de mínimos cuadrados? \(Y = a + b\cdot x\)

a <- modelo$coefficients[1]
b <- modelo$coefficients[2]
a ; b
## (Intercept) 
##    125.8763
##      peso 
## 0.7370959

4.6.5.3 Gráfica de tendencia

ggplot() + 
  geom_point(data = datos, aes(x = altura, y = peso), colour='blue') +
  geom_point(aes(x= mean(datos$altura), y = mean(datos$peso)), col = 'green') +
  geom_line(aes( x = datos$altura, y = predict(modelo, datos)), color = "red") +
  xlab("Altura") + 
  ylab("Peso") + 
  ggtitle("Linea de tendencia sobre Conjunto de Datos")

4.6.6 Predecir conforme al modelo

Predecir conforme a valores nuevos con la función predict() y verificar manualmente.

  • Predecir para valores \(x = {68, 78, 81, 90, 70, 75}\)
x <- c(68, 78, 81, 90, 70, 75)
prediccion <- predict(object = modelo, newdata = data.frame(peso = x))
prediccion
##        1        2        3        4        5        6 
## 175.9988 183.3698 185.5811 192.2149 177.4730 181.1585
# Comprobar
y = a + b * x
y
## [1] 175.9988 183.3698 185.5811 192.2149 177.4730 181.1585

4.6.7 Interpretar el ejercicio

  • Se utilizan 18278 observaciones o registros y 104 variables.

  • El coeficiente de determinación o Multiple R-squared: es igual al cuadrado del coeficiente de correlación : 0.514520837538849.

5 Interpretación

En este caso, se utilizan distintas medidas al igual que distintos gráficos como gráfica de dispersión, gráfica de tendencia, etc. De igual manera, utilizamos el coeficiente de Correlación r que su utilidad principal es saber cómo se puede comportar un concepto o una variable al conocer el comportamiento de otras variables vinculadas.

También, utilizamos la fórmula para correlación de Pearson que se estructura por:

\[r = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})\cdot(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^{2}\cdot\sum_{i=1}^{n}(y_i - \bar{y})^{2}}}\]

Siendo \(r\) el valor del coeficiente de correlación.

Al igual, en el caso vemos la regresión lineal simple que esta implica aplicar una ecuación matemática de mínimos cuadrados que permite pronosticar o predecir el valor de una variable con base en el valor de otra.

6 Referencias bibliográficas