Un experimento publicado en Popular Science compara las economías en combustible para dos tipos de camiones compactos a diesel equipados de forma similar. Supongamos que se utilizaron \(12\) camiones Volkswagen y \(10\) Toyota en pruebas de velocidad constante de \(90\) kilómetros por hora. Si los \(12\) camiones Volkswagen promedian \(16\) kilómetros por litro con una desviación estándar de \(1.0\) kilómetro por litro y los \(10\) Toyota promedian \(11\) kilómetros por litro con una desviación estándar de \(0.8\) kilómetros por litro, construya un intervalo de confianza de \(90\%\) para la diferencia entre los kilómetros promedio por litro de estos dos camiones compactos. Suponga que las distancias por litro para cada modelo de camión están distribuidas de forma aproximadamente normal con varianzas iguales.
Las dos muestras se denotan como \(n_1=12\) y \(n_2=10\). Las medias muestrales respectivas son \(\overline{x}_1=16\) y \(\overline{x}_2=11\). Para las desviaciones muestrales se tiene \(s_1=1.0\) para Volkswagen y \(s_2=0.8\) para Toyota, y como se suponen varianzas poblacionales iguales, la estimación puntual de la desviación estándar de la unión de las varianzas es \(s_p=\sqrt{\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}}=\sqrt{\frac{(12-1)1.0^2+(10-1)0.8^2}{12+10-2}}=0.9154234\). Así, el intervalo de confianza al \(90\%\) para la diferencia de medias es \((\overline{x}_1-\overline{x}_2)-t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}<\mu_1-\mu_2<(\overline{x}_1-\overline{x}_2)+t_{\alpha/2}s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}=(16-11)-t_{.05}(.9154234)\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{10}}<\mu_1-\mu_2<(16-11)+t_{.05}(.9154234)\sqrt{\frac{1}{12}+\frac{1}{10}}\), que da un intervalo de
(16-11)+c(-qt(.95,10+12-2)*.9154234*sqrt(1/12+1/10),qt(.95,10+12-2)*.9154234*sqrt(1/12+1/10))## [1] 4.323978 5.676022Es decir \(4.3 < \mu_1-\mu_2 < 5.7\)
Una compañía de taxis trata de decidir si comprar neumáticos de la marca \(A\) o de la \(B\) para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva a cabo un experimento utilizando \(12\) neumáticos de cada marca. Los neumáticos se utilizan hasta que se desgastan. Los resultados son
Marca A: \(\overline{x}_1 = 36,300\) kilómetros, \(\\\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ s_1= \,\,\ 5,000\) kilómetros. \(\\\)
Marca B: \(\overline{x}_2 = 38,100\) kilómetros, \(\\\)
\(\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ s_2= \,\,\ 6,100\) kilómetros. \(\\\)
Calcule un intervalo de confianza de \(95\%\) para \(µ_A − µ_B\), suponiendo que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales.
Para este caso \(n_A = n_B = 12, x_A = 36, 300, x_ B = 38, 100, s_A = 5, 000, s_B = 6, 100\) y los grados de libertad ajustados a la heterocedasticidad y redondeados hacia abajo son
\[v=\frac{(s_A^2/n_A+s_B^2/n_B)^2}{\frac{(s_A^2/n_A)^2}{n_A-1}+\frac{(s_B^2/n_B)^2}{n_B-1}}=\frac{(5000^2/12+6100^2/12)^2}{\frac{(5000^2/12)^2}{11}+\frac{(6100^2/12)^2}{11}}=21.18395\approx 21\] Con esto el intervalo de confianza se calcula como \((\overline{x}_A-\overline{x}_B)\pm t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_A^2}{n_A}+\frac{s_B^2}{n_B}}=(36, 300 − 38, 100)\pm t_{0.025}\sqrt{\frac{5000^2}{12}+\frac{6100^2}{12}}\), que da un valor de
(36300 - 38100)+c(-qt(.975,21)*sqrt(5000**2/12+6100**2/12),qt(.975,21)*sqrt(5000**2/12+6100**2/12))## [1] -6535.024 2935.024Así se tiene que \(−6, 536 < \mu_A − \mu_B < 2, 936\).
Los siguientes datos representan los tiempos de duración de las películas que producen dos compañías cinematográficas.
| Compañía | Tiempo (minutos) |
|---|---|
| I | 103 94 110 87 98 |
| II | 97 82 123 92 175 88 118 |
Calcule un intervalo de confianza de \(90\%\) para la diferencia entre los tiempos de duración promedio de las películas que producen las dos compañías. Suponga que las diferencias del tiempo de duración se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas distintas.
Los datos para este caso son \(n_I = 5, n_{II} = 7, \overline{x}_ I = 98.4, \overline{x}_{II} = 110.7, s_I = 8.375, s_{II} = 32.185\) y los grados de libertad redondeados son
\[v=\frac{(s_I^2/n_I+s_{II}^2/n_{II})^2}{\frac{(s_I^2/n_I)^2}{n_I-1}+\frac{(s_{II}^2/n_{II})^2}{n_{II}-1}}=\frac{(8.735^2/5 + 32.185^2/7)^2}{\frac{(8.735^2/5)^2}{4}+\frac{(32.185^2/7)^2}{6}}= 7.186622\approx 7\]
Por lo que el intervalo de confianza es \((\overline{x}_I-\overline{x}_{II})\pm t_{\alpha/2}\sqrt{\frac{s_I^2}{n_I}+\frac{s_I^2}{n_{II}}}=(110.7 − 98.4)\pm t_{0.05}\sqrt{\frac{8.735^2}{5}+\frac{32.185^2}{7}}\), que da un valor de
(110.7 - 98.4)+c(-qt(.95,7)*sqrt(8.735**2/5+32.185**2/7),qt(.95,7)*sqrt(8.735**2/5+32.185**2/7))## [1] -11.90632 36.50632Y la diferencia se encuentra entre \(-11.9 < \mu_I-\mu_{II}<36.5\).
Construya un intervalo de confianza de \(98\%\) para \(σ_1 /σ_2\) en el ejercicio \(9.42\), donde \(σ_1\) y \(σ_2\) son, respectivamente, las desviaciones estándar para las distancias que se obtienen por litro de combustible en los camiones compactos Volkswagen y Toyota.
Con \(s^2_1 = 1.00^2, s^2_2 = 0.8^2\) y \(v_1=12-1, v_2=10-1\), el intervalo es \(\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{f_{\alpha/2}(v_1,v_2)}<\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<\frac{s_1^2}{s_2^2}f_{\alpha/2}(v_2,v_1)=\frac{1.00}{0.64}\frac{1}{f_{0.01}(11,9)}<\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<\frac{1.00}{0.64}f_{0.01}(9,11)\), y sus valores extremos en raíz cuadrada son de
sqrt(c((1/0.64)/qf(0.99,11,9),(1/0.64)*qf(0.99,9,11)))## [1] 0.5493303 2.6901266Por lo que \(0.549 < \frac{σ_1}{σ_2} < 2.690\).
Construya un intervalo de confi anza de \(90\%\) para \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) en el ejercicio \(9.43\). ¿Estamos justificados al suponer que \(\sigma_1^2 \neq\sigma_2^2\) cuando construimos nuestro intervalo de confianza para \(\mu_1 - \mu_2\) ?
Ahora \(s^2_1 = 5000^2, s^2_2 = 6100^2\) y \(v_1=v_2=11\), y el intervalo es \(\frac{s_1^2}{s_2^2}\frac{1}{f_{\alpha/2}(v_1,v_2)}<\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<\frac{s_1^2}{s_2^2}f_{\alpha/2}(v_2,v_1)=\Big(\frac{5000}{6100}\Big)^2\frac{1}{f_{0.05}(11,11)}<\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}<\Big(\frac{5000}{6100}\Big)^2f_{0.05}(11,11)\). Calculando sus valores extremos se tiene
c((5000/6100)**2/qf(0.95,11,11),(5000/6100)**2*qf(0.95,11,11))## [1] 0.2384241 1.8932615Como \(0.2384241 < 1 < 1.8932615\), se puede asumir que \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\).
Construya un intervalo de confianza de \(90\%\) para \(\sigma_1^2/\sigma_2^2\) en el ejercicio \(9.46\). ¿Deberíamos suponer \(\sigma_1^2=\sigma_2^2\) al construir nuestro intervalo de confianza para \(\mu_I − \mu_{II}\) ?
En este caso \(s^2_I = 76.3, s^2_{II} = 1035.905\) y \(v_1=5-1, v_2=7-1\). El intervalo es \(\frac{s_I^2}{s_{II}^2}\frac{1}{f_{\alpha/2}(v_1,v_2)}<\frac{\sigma_I^2}{\sigma_{II}^2}<\frac{s_I^2}{s_{II}^2}f_{\alpha/2}(v_2,v_1)=\Big(\frac{76.3}{1035.905}\Big)^2\frac{1}{f_{0.05}(4,6)}<\frac{\sigma_I^2}{\sigma_{II}^2}<\Big(\frac{76.3}{1035.905}\Big)^2f_{0.05}(6,4)\). Los valores extremos son
c((76.3/1035.905)/qf(0.95,4,6),(76.3/1035.905)*qf(0.95,6,4))## [1] 0.01624628 0.45394799Como \(0.016 < 0.454 < 1\), se puede asumir que \(\sigma_1^2 \neq \sigma_2^2\).