1.1. Propósito de la prueba

Dickey & Fuller (1979) desarrollaron contrastes de raíces unitarias en el contexto de modelos univariantes de series temporales para analizar la estacionariedad de los procesos estocásticos.

El planteamiento es el siguiente:

(1.1)

Donde \(p\) es el parámetro autorregresivo y la \(u_t\) están distribuidas de manera idéntica e independiente, con media igual a cero y varianzas iguales (es un ruido blanco).

Si \(p\) es menor que 1 la variable \(X_t\) estará autocorrelacionada, pero será estacionaria, mientras que, si es igual a uno, o mayor que la unidad, será no estacionaria y su varianza crecerá de forma explosiva.

El test DF, o test de Dickey & Fuller, es un contraste de la hipótesis \(H_0: p = 1\) frente a la alternativa \(H_1: p < 1\), en un proceso AR(1) (modelo autorregresivo), y para realizarlo se utiliza la relación (1.2) obtenida al aplicar primeras diferencias en (1.1):

(1.2)

Donde \(∆X_t = X_t- X_{(t-1)}\), \(λ=(p-1)\) y el parámetro \(λ\) tomará valores en el intervalo comprendido entre 2 y cero: \(-2 < 0\), si el valor absoluto del parámetro a1 es menor que la unidad: \(-1 < p < 1\).

1.2. Hipótesis de la prueba

El test Dickey & Fuller consiste en contrastar la hipótesis nula \(Ho : λ=0\) (raíz unitaria y no estacionariedad) frente a la hipótesis alternativa \(H1 : λ<0\) (raíz no unitaria, p menor que 1 y aceptación de la estacionariedad).

El test consiste en calcular el estadístico \(t\):

Obtenido al tipificar el estimador \(λ\), restándole el valor esperado bajo \(H_0\) y dividiendo por su desviación típica.

• \(H_0\): no estacionariedad de la perturbación, se acepta si “t” toma un valor situado a la derecha del valor crítico correspondiente al nivel de significación establecido (las tablas proporcionan generalmente los valores críticos, que son negativos, para niveles de significación del \(1\%\), \(5\%\) y \(10\%\), siendo el \(5\%\) el más utilizado en la práctica) y se rechaza si toma un valor menor que el valor crítico.
• \(H_1\): estacionariedad se acepta por lo tanto si “t” es \(< 0\) y suficientemente grande en valor absoluto para situarse a la izquierda del valor crítico. Simplemente, la serie temporal se considera estacionaria.

1.3. Sintaxis de implementación en R

En el paquete de tseries se puede encontrar el codigo adf.test que realiza la prueba de Dickey–Fuller. Calcula la prueba de Dickey-Fuller para el valor nulo de que \(x\) tiene una raíz unitaria.

Sintaxis:

adf.test(x, alternative = c(“stationary,” “explosive”), k = trunc((length(x)-1)^(1/3)))

Argumentos:

• x: un vector numérico o una serie temporal.
• alternative: indica la hipótesis alternativa y debe ser una de las siguientes: “stationary” (por defecto) o “explosive”. Puede especificar solo la letra inicial.
• k: el orden de los rezagos para calcular la estadística de la prueba.

Se utiliza la ecuación de regresión general que incorpora una constante y una tendencia lineal y se calcula el estadístico t(t-statistic) para un coeficiente autorregresivo de primer orden igual a uno. El número de rezagos utilizado en la regresión es \(k\). El valor predeterminado de trunc((length(x)-1)^(1/3)) corresponde al límite superior sugerido en la tasa a la que el número de rezagos, \(k\), debe hacerse crecer con el tamaño de muestra para la configuración general ARMA \((p,q)\). Tenga en cuenta que para \(k = 0\) se calcula la prueba estándar de Dickey-Fuller. No se permiten valores faltantes.

Una lista con la clase “htest” que contiene los siguientes componentes:

• statistic: el valor de la estadística de prueba.
• parameter: el orden de retraso.
• p.value: el valor p de la prueba.
• method: una cadena de caracteres que indica qué tipo de prueba se realizó.
• data.name: una cadena de caracteres que da el nombre de los datos.
• alternative: una cadena de caracteres que describe la hipótesis alternativa.

1.4. Estadístico de prueba

La estadística de la prueba proporciona una forma de evaluar la hipótesis nula. Las estadísticas de prueba que son menores o iguales al valor crítico proporcionan evidencia contra la hipótesis nula.

El estadístico de prueba es el estadístico \(t\) sobre la variable dependiente rezagada. Si \(p > 1\) el coeficiente de la variable dependiente rezagada será positivo. Si \(p\) es igual a la unidad, \((p―1)\) será igual a cero. En ambos casos \(X_t\) será no estacionaria.

• Se puede usar la aproximación clásica de regresión lineal, pero hay que tener en cuenta que no usaremos la tradicional tabla de t para aceptar o rechazar la hipótesis nula. Por lo que el estadístico de prueba seguirá una distribución llamada Tau (τ), que ha sido diseñada especialmente para el test. En la salida de la función adf.test() se presenta como Dickey-Fuller. Este estadístico toma en cuenta el tamaño de la muestra, el nivel de significancia y el tipo de prueba DF (1. Sin constante ni tendencia, 2. Constante sin tendencia, 3. Constante y tendencia).
• El \(p-value\) es una probabilidad que mide la evidencia en contra de la hipótesis nula. Las probabilidades inferiores proporcionan mayor evidencia en contra de la hipótesis nula.

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  datos
## Dickey-Fuller = -1.6846, Lag order = 2, p-value = 0.6925
## alternative hypothesis: stationary

1.5. Criterio de decisión

Puede aplicarse tanto el método del valor crítico, como el método del \(p-value\).

• Por el método del valor crítico: Rechazar \(H_0\) si el estadístico de prueba es menor al valor crítico, \((-τ < -τ_α)\).
• Por el método del \(p-value\): con el cual, teniendo el grado de significancia establecido, se puede determinar si hay o no estacionariedad.

Rechazar \(H_0\) si el \(p-value\) es menor o igual al nivel de significancia, \((p-value ≤ α)\)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  datos
## Dickey-Fuller = -1.6846, Lag order = 2, p-value = 0.6925
## alternative hypothesis: stationary

El estadístico de prueba y el \(p-value\) resultan ser iguales a \(-1.6846\) y \(0.6925\) respectivamente. Dado que el \(p-value\) es igual o mayor que \(0.05\), no podemos rechazar la hipótesis nula. Implica que la serie temporal no es estacionaria.

1.6. Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Al aplicar el método del \(p-value ≤ α\), considerando un \(α=0.05\) se rechaza la hipótesis nula y se concluye que hay evidencia estadística suficiente para decir que la serie de tiempo es estacionaria.

En cambio, si \(p-value>α\), se cuenta con evidencia estadística suficiente para no rechazar la hipótesis nula. Por tanto, la serie de tiempo posee raíz unitaria.

• Se rechaza \(H_0\), si \(p-value <= 0.05\)
• No se rechaza \(H_0\), si \(p-value > 0.05\)

1.7. Ejemplo

Se determinará si la serie de tiempo del precio de cierre de las acciones de Amazon.com (desde el año 2018) presenta estacionariedad o no. Para la carga de datos, se utilizará la librería quantmod, segmentando posteriormente solo el precio de cierre, omitiendo los NA.

library(quantmod)
library(tseries)
getSymbols("AMZN", quote="Close",from ="2018-01-01",periodicity = "daily")

## [1] "AMZN"

base<- na.omit(`AMZN`[,4])
plot(base, type='l')

adf.test(x = base, k = 0)

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  base
## Dickey-Fuller = -0.92006, Lag order = 0, p-value = 0.9509
## alternative hypothesis: stationary

Interpretando el resultado Puede observarse que el \(p-value\) asociado al estadístico de prueba Tau es de \(0.9288\).

Regla de decisión: Puesto que el \(p-value > α\) \((0.9288 > 0.05)\), no se rechaza la hipótesis nula y se concluye que el precio de cierre de las acciones de Amazon.com presentan raíz unitaria, dando así evidencia estadística de la presencia de este problema en variables de alta volatilidad.

2.1. Propósito de la prueba

La prueba de Soren Johansen es una herramienta para examinar y evaluar si las variables económicas tienen tendencias comunes,la cual se ha convertido en un método muy popular para probar la existencia de cointegración en la variables I(1) y I(0), en donde I(1) y I(0) indican integración de primer y cero orden, respectivamente.

En la tecnología de S. Johansen, es necesario analizar las series previamente con el fin de conocer si presentan o no raíces unitarias. Las series que presenten raíces unitarias se colocan en un vector autorregresivo a partir del cual se puede probar la existencia de una o mas combinaciones lineales J(U) o vectores de cointegración, como también se les denomina.

2.2. Hipótesis de la prueba

Se plantea la Hipótesis nula (\(H_0\)) como NONE (Ninguna)

\(H_0\): \(r=0\) no existen vectores de cointegración entre las variables

\(H_1\): \(r=1\) existe un vector de cointegración entre las variables

2.3. Sintaxis de implementación en R

Para realizar esta prueba en R se procede a efectuar los siguientes pasos:

• Paso 1: Carga de los datos
• Paso 2: Cargar de la librería a usar, en este caso se usó “urca” y “car”
• Paso 3: Utilización del método “Cointegración en el enfoque de Soren Johansen” para realizar la “prueba de de cointegración sin tendencia y constante”,“Prueba de la traza de cointegración con constante”, “Prueba de Johansen de la traza con tendencia”
• Paso 4: Usar la función:

ca.jo(X,type,ecdet,k,spec,season,dumvar)

Donde:

• x: Matriz de datos a investigar para la cointegración.
• type: La prueba a realizar, ya sea eigen o trace.
• ecdet: Carácter, none para no interceptar en la cointegración, const por término constante en cointegración y trend para la variable de tendencia en cointegración
• k: El orden de retraso de la serie (niveles) en el VAR.
• spec: Determina la especificación del VECM de la serie,largo plazo o trasnsitorio, se refiere a la especificación del VECM.
• season: Si se deben incluir variables ficticias estacionales, la frecuencia de los datos debe establecerse en consecuencia, es decir, 4 para datos trimestrales.
• dumvar: Matriz de variables estacionales, si se incluyen
• Paso 5: Conclusiones de los resultados

2.4. Estadístico de prueba

Para este caso, Johansen presenta dos pruebas que pueden utilizarse (ambas se basan en el criterio de máxima verosimilitud), teniendo por lo cual dos posibles estadísticos de prueba, los cuales explica (“RPubs - Cointegración” n.d.):

• Estadístico de prueba de traza: Es efectuada en la frecuencia de \(r = n-1,...,1, 0\) y este verifica la \(H_0\) mostrando de que el rango de cointegración es \(r\) en contrapunto a la \(H_1\) que dicho rango es \(n\).

\[l_A-l_0=-\frac{T}2{\sum_{i=r+1}^nlog(1-\lambda)}\]

• Estadístico de prueba de autovalor máximo: Este se efectúa en la secuencia \(r=0,1,...,n−1\) y dicha prueba verifica la \(H_0\) mostrando de que el rango de cointegración es \(r\) en contrapunto a la \(H_1\) que dicho rango es \(r+1\).

\[l_{r+1}-l_r=\frac{T}2{ln(1-\lambda_{r+1})}\]

2.5. Criterio de decisión

Rechace \(H_0\) cuando el valor del estadístico la traza al maximo valor propio sea mayor al valor crítico seleccionado, normalmente, el de \(5\%\).

No se rechaza \(H_0\) cuando el valor estadístico la traza o el maximo valor propio sea menos al valor crítico seleccionado.

2.6. Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Si se rechaza la hipótesis nula, siendo \(H_0=0\) significa que existe 1 o más vectores de cointegración, en caso contrario , si no se rechaza esta hipótesis nula se concluye que no hay cointegración entre ningún vector.

2.7. Ejemplo

Se presentará el ejemplo propuesto por Luis Quintana Romero y Miguel Angel Mendoza en el libro “Econometría aplicada utilizando R” (2016) para realizar las dos pruebas de cointegración de Johansen.

• Prueba de la traza de cointegración sin tendencia y constante

library(urca)
library(car)

# Se carga la base de datos
load("Consumo.RData")

# Se asigna la variable de serie de tiempo al objeto PIB_MEX y aplican primeras diferencias
lpib_mex<-log(Consumo$pib_mex)
lcp_mex<-log(Consumo$cp_mex)

# Para aplicar el procedimiento de Johansen, primero se combinan las variables en un solo objeto
ecb.consumo<-cbind (lcp_mex,lpib_mex)

# En primer lugar se aplica la prueba de la traza de cointegración sin tendencia y constante

# Prueba Johasen de cointegracion de la traza
summary(ca.jo(ecb.consumo, type="trace",ecdet="none",spec=c("longrun"), K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , with linear trend 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 0.1751774 0.0169835
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  1.47  6.50  8.18 11.65
## r = 0  | 18.04 15.66 17.95 23.52
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4
## lcp_mex.l4    1.000000    1.000000
## lpib_mex.l4  -1.280708   -1.037871
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            lcp_mex.l4 lpib_mex.l4
## lcp_mex.d  -0.3578910 -0.08189816
## lpib_mex.d -0.1079621 -0.07962291

2.8. Aplicación de la Prueba de Soren Johansen

• Prueba de Johansen de la traza con constante

library(urca)
summary(ca.jo(ecb.consumo,type ="trace",ecdet="const",spec=c("longrun"),K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , without linear trend and constant in cointegration 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 2.017097e-01 1.265562e-01 5.440093e-15
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 | 11.64  7.52  9.24 12.97
## r = 0  | 31.01 17.85 19.96 24.60
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4  constant
## lcp_mex.l4    1.000000    1.000000  1.000000
## lpib_mex.l4  -1.255645   -1.414691 -1.064081
## constant      4.557479    7.198639  1.483342
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##            lcp_mex.l4 lpib_mex.l4      constant
## lcp_mex.d  -0.4955292  0.05574003 -1.774483e-11
## lpib_mex.d -0.2795953  0.09201028 -6.438725e-12

En la primera hipótesis se acepta la hipótesis alternativa de cointegración el estadístico es mayor al valor critico del \(10\%\), \(31.01 > 17.85\).

En la segunda hipótesis se pueden identificar los vectores de cointegración \((1, -1.25, 4.55)\) y \((1 ,-1.41, 7.19)\).

• Prueba de Johansen de la traza con tendencia

library(urca)
summary(ca.jo(ecb.consumo,type ="trace",ecdet="trend",spec=c("longrun"),K=4))

## 
## ###################### 
## # Johansen-Procedure # 
## ###################### 
## 
## Test type: trace statistic , with linear trend in cointegration 
## 
## Eigenvalues (lambda):
## [1] 3.007210e-01 6.711864e-02 3.632077e-18
## 
## Values of teststatistic and critical values of test:
## 
##           test 10pct  5pct  1pct
## r <= 1 |  5.98 10.49 12.25 16.26
## r = 0  | 36.74 22.76 25.32 30.45
## 
## Eigenvectors, normalised to first column:
## (These are the cointegration relations)
## 
##               lcp_mex.l4  lpib_mex.l4     trend.l4
## lcp_mex.l4   1.000000000  1.000000000  1.000000000
## lpib_mex.l4 -2.613552539 -0.740358526 -1.944486294
## trend.l4     0.008212396 -0.002968024  0.007611815
## 
## Weights W:
## (This is the loading matrix)
## 
##             lcp_mex.l4 lpib_mex.l4      trend.l4
## lcp_mex.d  -0.10989875  -0.3329111 -2.471382e-12
## lpib_mex.d  0.03206499  -0.2557477 -4.370999e-13

Al igual que en el caso de la opción sin tendencia y constante, no se rechaza la hipótesis de cointegración con solo vector. El vector de cointegración es \((1 -2.61 0.008)\).

3.1. Propósito de la prueba

Un problema común en economía es determinar si los cambios en una variable son una causa de los cambios en otra.Un proceso para resolver problemas de este tipo es la prueba para causalidad introducida por Granger y Sims.

La idea básica es muy simple: si \(x\) causa \(y\), entonces los cambios en \(x\) deben preceder a los cambios en \(y\). En particular, para decir que “\(x\) causa \(y\)”, deben cumplirse dos condiciones. Primera, \(x\) debe ayudar a predecir \(y\); es decir, en una regresión de \(y\) contra valores pasados de \(y\), la adición de valores pasados de \(x\) como variables independientes deberá contribuir de manera significativa al poder explicativo de la regresión. Segunda, \(y\) no debe ayudar a predecir a \(x\). La razón es que si \(x\) ayuda a predecir \(y\) y \(y\) ayuda a predecir \(x\), es probable que una o más variables distintas, de hecho, estén “causando” los cambios observados tanto en \(x\) como en \(y\). (Daniel L. Rubinfeld, n.d.)

3.2. Hipótesis de la prueba

La hipótesis nula y alternativa son las siguientes:

\(H_0\): \(β2\),\(1=β2\),\(2=β2\),\(3=0\)

La serie de tiempo x no Granger causa la serie de tiempo \(y\)

\(H_a\): \(β2\),\(1\),\(β2\),\(2\),\(β2\),\(3≠0\)

La serie de tiempo \(x\) Granger causa la serie de tiempo \(y\)

3.3. Sintaxis de implementación en R

Para realizar una prueba de causalidad de Granger en R, se puede usar la función grangertest() del paquete lmtest (Zeileis and Hothorn 2002), que usa la siguiente sintaxis:

grangertest(x,y,order=1)

Donde:

• x: la primera serie temporal
• y: la segunda serie temporal
• order: el número de retrasos que se utilizarán en la primera serie de tiempo. El valor predeterminado es 1.

Pasos a seguir para la implementacion de la prueba de casualidad de Granger en R.

• Paso 1: Carga de datos. Primero se hace la respectiva carga de datos.

• Paso 2: Comprobación si las series de datos son estacionarias.

Para probar si son estacionarias se pueden usar dos pruebas fundamentales:

1. Prueba aumentada de Dickey Fuller (ADF) para raíces unitarias.
2. Prueba KPSS para estacionariedad.

Para ello se puede hacer uso del paquete GAUSS para probar las raices unitarias, el cual contiene la libreia tsplib. Cargando esta librería y haciendo uso del comando adf kpss se obtendrán los resultados de la prueba.

Si los datos cumplen con el requisito de ser estacionarios se procede a realizar la prueba de Granger; si los datos no cumplen con este requisito habrá que transformar los datos utilizados.

• Paso 3: Prueba de casualidad de Granger.

Se hará uso de la función grangertest() parq examinar si los valores siguen una causalidad de Granger, siguiendo el orden de las variables: \(X\), \(Y\).

Esta prueba arrojará el valor del \(p-value\) que corresponde al estadístico de prueba f , y con este valor se decide si rechazar o no la hipótesis nula.

• Paso 4: Prueba de causalidad de Granger a la inversa .

Esto se hace porque es posible que se este produciendo una causalidad inversa. Se hace siguiendo el mismo procedimiento sólo que poniendo las variables estudiadas en diferente orden: \(Y\), \(X\).

3.4. Estadístico de prueba

Las variables \(x\) y \(y\) deben ser estacionarias.

Entonces, para probar que \(x\) causa Granger \(y\) , se debe examinar si los valores rezagados de \(x\) en la regresión de \(y\) sobre los valores rezagados de \(x\) e \(y\), reduce significativamente el error de varianza. Se dice que una serie temporal \(x\) es causa Granger de \(y\) si se puede demostrar que esos valores \(x\) proporcionan información estadísticamente significativa sobre los valores futuros de \(y\) a través de una serie de pruebas \(t\) y pruebas \(F\) sobre valores rezagados de \(x\). Dichas pruebas nos brindan un valor \(p\) correspondiente. Si el valor \(p\) es menor que un cierto nivel de significancia (es decir, \(p\) menor o igual a \(0.05\)), entonces podemos rechazar la hipótesis nula y concluir que tenemos evidencia suficiente para decir que la serie temporal \(x\) Granger causa la serie temporal \(y\). (Daniel L. Rubinfeld, n.d.)

Estadístico F La prueba generalmente se realiza en la prueba wald o F.

\[F=\frac{\frac{({\rm\ SSR}_R-{\rm\ SSR}_{UR})}{(p_2-p_1)}}{\frac{{\rm\ SSSR}_{UR}}{(n-p_2-1)}}\]

3.5. Criterio de decisión

Críterio de decisión sobre el rechazo o no rechazo de la hipótesis nula:

• \(p-value≤α\)

  Rechazar \(H_0\)

• \(p-value>α\)

  No rechazar \(H_0\)

  
  

3.6. Interpretación del rechazo, o no rechazo de la Hipótesis Nula de la prueba

Si \(p-value≤α\), por ejemplo \(α=0.05\).

Entonces es posible rechazar la hipótesis nula y concluir que hay evidencia suficiente para decir que la serie de tiempo \(x\) Granger-causa la serie de tiempo \(y\).

Por otra parte, si \(p-value>α\) se puede decir que hay evidencia suficiente para no rechazar la hipótesis nula. Por tanto, la serie de tiempo \(x\) NO Granger-causa la serie de tiempo \(y\).

3.7. Ejemplo

El siguiente ejemplo se toma de: How to Perform a Granger-Causality Test in R (Zach, 2021).

Para este ejemplo, se usará el conjunto de datos ChickEgg que viene precargado en el paquete lmtest. Este conjunto de datos contiene valores para la cantidad de huevos fabricados junto con la cantidad de pollos en los EE.UU. Desde 1930 hasta 1983:

library(lmtest)

# Carga de datos
data(ChickEgg) # Cargando la base 
head(ChickEgg)

##      chicken  egg
## [1,]  468491 3581
## [2,]  449743 3532
## [3,]  436815 3327
## [4,]  444523 3255
## [5,]  433937 3156
## [6,]  389958 3081

Realizar el test:

A continuación, se procede a utilizar la función grangertest() para realizar una prueba de causalidad de Granger para ver si el número de huevos fabricados es predictivo del número futuro de pollos. Se ejecutará la prueba usando tres lags o retrasos:

grangertest(chicken ~ egg, order = 3, data = ChickEgg)

## Granger causality test
## 
## Model 1: chicken ~ Lags(chicken, 1:3) + Lags(egg, 1:3)
## Model 2: chicken ~ Lags(chicken, 1:3)
##   Res.Df Df     F   Pr(>F)   
## 1     44                     
## 2     47 -3 5.405 0.002966 **
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Interpretando el resultado:

• Modelo 1: este modelo intenta predecir el número de pollos utilizando el número de pollos en los tres años anteriores y el número de huevos en los tres años anteriores como variables predictoras.
• Modelo 2: este modelo intenta predecir el número de pollos utilizando solo el número de pollos en los tres años anteriores como variables predictoras.
• F: esta es la estadística de prueba F. Resulta ser \(5.405\).
• Pr (> F): este es el valor p que corresponde al estadístico de prueba F. Resulta ser \(0.002966\).

Regla de decisión:

Dado que el \(p-value\) es menor que \(0.05\), se rechaza la hipótesis nula de la prueba y se concluye que conocer el número de huevos es útil para predecir el número futuro de pollos.

Prueba de casualidad de Granger a la inversa:

Aunque rechazamos la hipótesis nula de la prueba, en realidad es posible que haya un caso de causalidad inversa. Es decir, es posible que el número de pollos esté haciendo que el número de huevos cambie.

Para descartar esta posibilidad, necesitamos realizar la prueba de Causalidad de Granger a la inversa, utilizando pollos como variable predictora y huevos como variable de respuesta:

grangertest(egg ~ chicken, order = 3, data = ChickEgg)

## Granger causality test
## 
## Model 1: egg ~ Lags(egg, 1:3) + Lags(chicken, 1:3)
## Model 2: egg ~ Lags(egg, 1:3)
##   Res.Df Df      F Pr(>F)
## 1     44                 
## 2     47 -3 0.5916 0.6238

Regla de decisión:

Como \(0.6238 > 0.05\), No se rechaza la \(H_0\), por lo que podemos decir que el número de pollos no es predictivo del número futuro de huevos. Por lo tanto, podemos concluir que conocer el número de huevos es útil para predecir el número futuro de pollos.