require(gtools)
require(tidyverse)
require(ggforce)
options(kableExtra.latex.load_packages = TRUE)
require(kableExtra)
require(mosaicCalc)
require(gridExtra)
require(numDeriv)
require(DT)#Para numerar tabelas e figuras:
require(captioner)
fig_nums <- captioner(prefix = "Figura")
table_nums <- captioner(prefix = "Tabela")
quadro_nums<- captioner(prefix="Quadro")Definição: Dado um experimento aleatório, sendo \(\Omega\) o seu espaço amostral e \(P(A)\): probabilidade de um evento A, (\(A \subset \Omega\)) é dada por: \[ P(A) = \frac{n(A)}{n(\Omega)} = \frac{\mbox{Número de casos favoráveis (A)}}{\mbox{Número total de casos}}. \]
Limitações: \(\Omega\) tem que ser finito e equiprovável (todos os eventos com a mesma probabilidade de ocorrência).
Exemplo 1: Considerando o Lançamento de uma moeda honesta e o evento A: “obter cara”, temos: \[ \small \Omega = \left\{\mbox{cara},\mbox{coroa}\right\} \Rightarrow n_\Omega = 2\\ A = \left\{\mbox{cara}\right\} \Rightarrow n_A = 1 \] Logo: \(P(A) = \frac{1}{2}\). Esse resultado mostra que se lançarmos uma moeda equilibrada, temos a probabilidade de 50% que apareça cara na face superior.
Definição de probabilidades através de axiomas e propriedades.
Leis de Morgan:
Definições: A probabilidade é definida em uma classe de subconjuntos de \(\Omega\) com
Eventos disjuntos são quando \(A \cap B = \emptyset\). A regra da aditividade serve para três ou mais eventos disjuntos dois a dois.
Exemplo 2: Um baralho de 52 cartas é subdividido em 4 naipes: copas, espadas, ouros e paus.
Resolução do exemplo 2: \[ \small \begin{array}{|llll|} \hline && a) \mbox{Como os eventos são disjuntos, basta somar as probabilidades:}\\ && \mbox{ Sejam: } \left\{ \begin{array}{ll} \mbox{O: A carta é de ouros}\\ \mbox{C: A carta é de copas} \end{array} \right. \Rightarrow \begin{array}{lll} P(\mbox{O} \cup \mbox{C}) &= P(\mbox{O}) + P(\mbox{C}) \\ &= \frac{13}{52}\times 2 = 50\% \end{array}\\ \hline && b) \mbox{Neste caso a ordem é importante, então resolve-se pelo princípio} \\ &&\mbox{fundamental da contagem:}\\ && \mbox{P(1ª carta = O, 2ª carta = C)}=\frac{13}{52}.\frac{13}{52}=\frac{169}{2704}\approx 0.0625\\ \hline && c) \mbox{Também resolve-se pelo princípio fundamental da contagem:}\\ && \mbox{P(1ª carta = O, 2ª carta = C)}=\frac{13}{52}.\frac{13}{51}=\frac{169}{2652}\approx 0.0637\\ \hline && d) \mbox{Pela regra da adição, sendo as retiradas independentes:}\\ && \mbox{P(1ª carta = O} \cup \mbox{2ª carta = C)}=\\ && \mbox{P(1ª carta = O) + P(2ª carta = C)-P(1ª carta = O, 2ª carta = C)}=\\ && \frac{13}{52}+\frac{13}{52}-\frac{169}{2704}=\frac{676.2-169}{2704}=0.4363\\ \hline \end{array} \]
A probabilidade do evento A ocorrer, dado que B ocorreu, é de: \[\small P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B) \neq 0. \] A probabilidade de A ocorrer, dado que B ocorreu, é igual a probabilidade de ocorrência simultânea de A e B dividida pela probabilidade de ocorrência de B.
\[ \begin{array}{l} P(A \cap B) = P(B) \times P(A|B), \mbox{ou equivalentemente,}\\ P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A). \end{array} \] Caso especial: Para A e B independentes, \[ P(A \cap B) = P(A) \times \underbrace{P(B)}_{P(B|A)} \]
A probabilidade de um evento B pode ser escrita em partes:
\[\small P(B) = \underbrace{P(A).P(B|A)}_{P(A\cap B)}+\underbrace{P(A^c).P(B|A^c)}_{P(A^c \cap B)} \]
Exemplo 3: (cálculo de probabilidades em tabela de dupla entrada) Um grupo de 60 pessoas apresenta a seguinte composição:
require(kableExtra)
tabela = data.frame(
Condicao = c("Menores","Adultos","Total"),
Homens = c(15,18,33),
Mulheres = c(17,10,27),
Total = c(32,28,60))
colnames(tabela) <- c("", "Homens","Mulheres","Total")
cap = table_nums("tab2","Resultados da pesquisa")
tabela %>%
kbl(caption = cap) %>%
kable_classic(full_width = F, html_font = "Cambria") %>%
kable_styling(bootstrap_options = c("striped","hold_position"),
full_width = F) %>%
add_header_above(c("Condição", "","Número de pessoas",""))|
Condição
|
Número de pessoas
|
||
|---|---|---|---|
| Homens | Mulheres | Total | |
| Menores | 15 | 17 | 32 |
| Adultos | 18 | 10 | 28 |
| Total | 33 | 27 | 60 |
Uma pessoa é escolhida ao acaso. Pergunta-se:
Vem direto da da probabilidade condicional e regra do produto: \[ P(A|B) = \frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(A).P(B|A)}{P(A)P(B|A)+P(A^c).P(B|A^c)} \]
Exemplo 4: Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos de refeições: salada completa ou um prato à base de carne. Considere que 20% dos fregueses adultos preferem a salada, 30% das crianças escolhem carne, 75% dos fregueses são adultos e os seguintes eventos:
Calcule:
Exemplo 5: Em certo colégio, 5% dos homens e 2% das mulheres têm mais de 1,80m de altura. Por outro lado, 60% dos estudantes são homens. Sorteando-se um estudante aleatoriamente, qual é a probabilidade de:
Resolução do exemplo 5: Considere os seguintes eventos:
\(A\): Estudante do sexo masculino;
\(A^c\): Estudante do sexo feminino;
\(B\): Estudante com mais de 1,80m de altura;
\(B^{c}\): Estudante com menos de 1,80m de altura;
Ser mulher \((A^c)\) e ter mais de 1,80m (\(B\))? \[\small P(A^c \cap B) = P(A^c) \times P(B|A^c)= 0,40 \times 0,02 = 0,008 \]
Ter mais de 1,80m? \[ P(B) = \underbrace{P(A).P(B|A)}_{P(A\cap B)}+\underbrace{P(A^c).P(B|A^c)}_{P(A^c \cap B)}\\ = 0,6.0,05+0,4.0,02=0,038 \]
Um estudante é escolhido ao acaso e tem mais de 1,80m. Qual é a probabilidade de que o estudante seja mulher? Fórmula da probabilidade condicional utilize as letras anteriores para resolver! \[ P(A^c|B) =\frac{P(A^c \cap B)}{P(B)}=\frac{0,008}{0,038}=0,2105 \]