Partamos de la idea de que se puede realizar un estudio inferrencial para poblaciones finitas con una proporcion poblacional \(p\) siendo un caso particular de la media cuando la variable considerada es dicotómica.
Por tanto podemos considerar la siguinete estadística:
\(Z=\frac{\overline{p}-p}{\sqrt{1-\frac{n}{N}}\sqrt{\frac{Np(1-p)}{n(N-1)}}}\sim N_{(0,1)}\) donde \(\overline{p}\) es la proporcion muestral.
Ahora tomando simetricamente valores noramles \(-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) y \(z_{1-\frac{\alpha}{2}}\) podemos escribir:
\(P[-z_{1-\frac{\alpha}{2}}\le \frac{\overline{p}-p}{\sqrt{1-\frac{n}{N}}\sqrt{\frac{Np(1-p)}{n(N-1)}}}\le z_{1-\frac{\alpha}{2}}]=1-\alpha\) y con la idea es despejar \(p\) utilizamos la propiedad de los numeros Reales: \(|a|\le b\leftrightarrow -b\le a\le b\).
Luego
\(P[|\frac{\overline{p}-p}{\sqrt{1-\frac{n}{N}}\sqrt{\frac{Np(1-p)}{n(N-1)}}}|\le z_{1-\frac{\alpha}{2}}]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[|\frac{\overline{p}-p}{\sqrt{1-\frac{n}{N}}\sqrt{\frac{Np(1-p)}{n(N-1)}}}|^{2}\le z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[(\frac{\overline{p}-p}{\sqrt{1-\frac{n}{N}}\sqrt{\frac{Np(1-p)}{n(N-1)}}})^{2}\le z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[(\overline{p}-p)^{2}\le z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(1-\frac{n}{N})(\frac{Np(1-p)}{n(N-1)})]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[(\overline{p}^{2}-2\overline{p}p+p^{2})\le z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(1-\frac{n}{N})(\frac{Np(1-p)}{n(N-1)})]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[\overline{p}^{2}-2\overline{p}p+p^{2}- z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(1-\frac{n}{N})(\frac{Np(1-p)}{n(N-1)})\le0]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[\overline{p}^{2}-2\overline{p}p+p^{2}- z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(\frac{N-n}{n(N-1)})(p(1-p))\le 0]=1-\alpha\)
y consideremos \(a=\) \(z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(\frac{N-n}{n(N-1)})\)
luego reemplazando tenemos:
\(P[\overline{p}^{2}-2\overline{p}p+p^{2}- ap(1-p)\le 0]=1-\alpha\)
\(\leftrightarrow P[Ap^{2}+Bp+C\le 0]=1-\alpha\) donde \(A=1+a\) ; \(B=-(2\overline{p}+a)\) y \(C=\overline{p}^{2}\)
y la solucion de la inecuacion cuadratica \(Ap^{2}+Bp+C\le 0\) viene dada por
\(p_{(1,2)}=\frac{-B\pm \sqrt{B^{2}-4AC}}{2A}\)
Y reemplazando se tine que
\(p_{(1,2)}=\frac{(2\overline{p}+a)\pm\sqrt{(2\overline{p}+a)^{2}+4(1+a)\overline{p}^2} }{2(1+a)}\)
Ahora reemplazando \(a\) obtenemos:
\(p_{(1,2)}=\frac{(2\overline{p}+z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(\frac{N-n}{n(N-1)}))\pm\sqrt{(2\overline{p}+z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(\frac{N-n}{n(N-1)}))^{2}+4(1+z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(\frac{N-n}{n(N-1)}))\overline{p}^2} }{2(1+z^{2}_{1-\frac{\alpha}{2}}(\frac{N-n}{n(N-1)}))}\)
Luego la probabilidad buscada puede escribirce como:
\(P[(p-p_{1})(p-p_{2})\le 0]=1-\alpha\)
y de un respectivo análisis de signo tenemos que
\(P[p_{1}\le p\le p_{2}]=1-\alpha\)
y Asi obtenemos que \([p_{1}, p_{2}]\) es un intervalo de confianza al \(100(1-\alpha)\)% para \(p\).