Bab 6 Menyesuaikan fungsi ke data ketika memiliki ide tentang bentuk fungsi untuk sebuah model dan kita perlu memilih parameter yang akan membuat fungsi model cocok untuk observasi. nah proses pemilihan parameter inilah disebut dengan model fitting. Sebagai ilustrasi, data dalam file “utilities.csv” mencatat suhu rata-rata setiap bulan (dalam derajat F) serta penggunaan gas alam bulanan (dalam kaki kubik, ccf). Ada, seperti yang Anda duga, hubungan yang kuat antara keduanya.

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
Utils <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  gf_labs(y = "Natural gas usage (ccf/month)", 
          x = "Average outdoor temperature (F)")

Dengan data utilitas, masukannya adalah suhu, suhu. Keluaran yang akan dimodelkan adalah ccf. Untuk menyesuaikan fungsi model dengan data, tuliskan rumus dengan nama input, parameter, dan output yang sesuai di tempat yang tepat:

f <- fitModel(ccf ~ A * temp + B, data = Utils)

data yang digunakan untuk pemasangan adalah variabel (di sini temp); hal-hal lain (di sini, A dan B) adalah parameter.

gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(f(temp) ~ temp)

kita bisa menambahkan fungsi lain

f2 <- fitModel(
  ccf ~ A * temp + B + C *sqrt(temp),
  data = Utils)
gf_point(
  ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(f2(temp) ~ temp)

contoh menggunakan banyak variabel. misal, data “used-honda.csv” harga mobil Honda bekas:

Hondas <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/used-hondas.csv")
head(Hondas)
##   Price Year Mileage Location Color Age
## 1 20746 2006   18394  St.Paul  Grey   1
## 2 19787 2007       8  St.Paul Black   0
## 3 17987 2005   39998  St.Paul  Grey   2
## 4 17588 2004   35882  St.Paul Black   3
## 5 16987 2004   25306  St.Paul  Grey   3
## 6 16987 2005   33399  St.Paul Black   2

terlihat data di atas terdapat price, age, dan mileage. model menggunakan dua variabel:

carPrice1 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage, data = Hondas
)

atau

contour_plot(
  carPrice1(Age = age, Mileage = miles) ~ age + miles,
  domain(age=2:8, miles=range(0, 60000)))

di kontur seharga $17.000 Setiap kombinasi usia dan mil yang jatuh pada kontur ini menghasilkan harga mobil yang sama: $17.000. Kemiringan kontur memberitahukan bahwa pertukaran antara jarak tempuh dan usia. Lihatlah dua titik pada kontur yang berbeda 10.000 mil. Perbedaan usia yang sesuai adalah sekitar 1,5 tahun. Jadi, saat membandingkan dua mobil dengan harga yang sama, penurunan jarak tempuh sebesar 10.000 diimbangi dengan peningkatan usia 1,5 mil.

ini interaksi antara usia dan jarak tempuh, dengan menyadari bahwa pengaruh usia mungkin berbeda bergantung pada jarak tempuh.

carPrice2 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage,
  data = Hondas)

bisa diplot dengan cara seperti ini:

contour_plot(
  carPrice2(Age=age, Mileage=miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Bentuk konturnya sedikit berbeda dengan di carPrice1(); mereka sedikit menonjol ke atas. menafsirkan kontur seperti itu membutuhkan sedikit latihan. Lihatlah wilayah kecil di salah satu kontur. Kemiringan kontur memberi tahu Anda trade-offantara jarak tempuh dan usia. Untuk melihatnya, lihat kontur $17.000 yang melewati usia = 6 tahun dan jarak tempuh = 10.000 mil. Sekarang lihat kontur $ 17.000 dengan jarak tempuh nol. Dalam bergerak sepanjang kontur, harga tetap konstan. (Begitulah kontur didefinisikan: titik di mana harganya sama, dalam hal ini $17.000.) Menurunkan jarak tempuh sejauh 10.000 mil diseimbangkan dengan menambah usia kurang dari satu tahun. (Kontur $17.000 memiliki titik nol jarak tempuh dan 6,8 tahun.) Cara lain untuk mengatakan ini adalah bahwa efek peningkatan usia 0,8 tahun sama dengan penurunan jarak tempuh 10.000 mil.

Sekarang lihat kontur $17.000 yang sama pada usia nol (yaitu, di ujung kiri grafik). Penurunan jarak tempuh sebesar 10.000 peningkatansesuai dengan usia 1,6 tahun. Dengan kata lain, menurut model, untuk mobil yang lebih baru kepentingan relatif antara jarak tempuh vs. usia lebih rendah daripada mobil yang lebih tua. Untuk mobil berusia nol, 10.000 mil bernilai 1,6 tahun, tetapi untuk mobil berusia enam tahun, 10.000 mil hanya bernilai 0,8 tahun.

Interaksi yang ditambahkan priceFun2()inilah yang menghasilkan pengaruh yang berbeda terhadap harga jarak tempuh untuk mobil yang berbeda umur.

Operator fitModel()membuatnya sangat mudah untuk menemukan parameter dalam model apa pun yang membuat model mendekati data paling dekat. Pekerjaan dalam pemodelan adalah memilih bentuk model yang tepat (Istilah interaksi atau tidak? Apakah akan memasukkan variabel baru atau tidak?) dan menginterpretasikan hasilnya. Di bagian selanjutnya, kita akan melihat beberapa pilihan berbeda dalam bentuk model (linier vs. nonlinier) dan beberapa logika matematis di balik pemasangan.

6.0.1 Latihan 6.0.1.1 Latihan 1 Bagian ini menjelaskan model carPrice1() dengan umur dan jarak tempuh sebagai jumlah masukan dan harga (dalam USD) sebagai keluaran. Klaim dibuat bahwa harga dapat dilihat sebagai fungsi dari Age dan Mileage

contour_plot(
  carPrice1(Age = age, Mileage = miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Pada grafik di atas, konturnya vertikal.

  1. Apa yang dikatakan kontur vertikal tentang harga sebagai fungsi dari Age dan Mileage?
  1. Harga sangat tergantung pada kedua variabel.
  2. Harga tergantung Agetapi tidak Mileage.
  3. Harga tergantung Mileagetapi tidak Age.
  4. Harga tidak banyak bergantung pada salah satu variabel. JAWABAN: Setiap kontur sesuai dengan harga yang berbeda. Saat Anda melacak secara horizontal dengan Age, Anda berpindah dari satu kontur ke kontur lainnya. Namun saat Anda melacak secara vertikal dengan Mileage, Anda tidak melewati kontur. Artinya harga tidak bergantung pada Mileage, karena perubahan Mileagetidak menyebabkan perubahan harga. Tapi harga tidak berubah dengan Age.
  1. Grafik fungsi yang sama yang ditampilkan di badan teks memiliki kontur yang miring ke bawah dari kiri ke kanan. Apa yang dikatakan tentang harga sebagai fungsi dari Age dan Mileage?
  1. Harga sangat tergantung pada kedua variabel.
  2. Harga tergantung Agetapi tidak Mileage.
  3. Harga tergantung Mileagetapi tidak Age.
  4. Harga tidak banyak bergantung pada salah satu variabel. JAWABAN: Saat Anda menjiplak secara horizontal, dengan Age, Anda berpindah dari kontur ke kontur: harga berubah. Jadi harga tergantung Age. Hal yang sama berlaku ketika Anda menjiplak secara vertikal, dengan Mileage. Jadi harga juga tergantung Mileage.
  1. Fungsi yang sama digambarkan baik di badan teks maupun di latihan ini. Tapi grafiknya sangat berbeda! Jelaskan mengapa ada perbedaan dan sebutkan grafik mana yang benar. JAWABAN: Perhatikan tanda centang pada sumbu. Dalam grafik di badan teks, Age berjalan dari dua hingga delapan tahun. Namun dalam grafik latihan, Age hanya berjalan dari nol hingga satu tahun. Demikian pula, grafik di badan teks Mileage berjalan dari 0 hingga 60.000 mil, tetapi dalam grafik latihan, Mileage berjalan dari 0 hingga 1.

Kedua grafik menunjukkan fungsi yang sama, jadi keduanya “benar”. Tapi grafik latihan itu menyesatkan secara visual. Tidak mengherankan jika harga tidak banyak berubah dari 0 mil menjadi 1 mil, tetapi harganya (agak) berubah dari 0 tahun menjadi 1 tahun.

pesan di sini: Perhatikan baik-baik sumbu dan rentang yang ditampilkannya. Saat Anda menggambar grafik, pastikan Anda mengatur rentang ke sesuatu yang relevan dengan masalah yang dihadapi.

6.0.1.2 latihan 2 Pertimbangkan model \(\log_10 \mbox{price}\) sebagai fungsi dari mil dan usia.

logPrice2 <- fitModel(
  logPrice ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage,
  data = Hondas %>% mutate(logPrice = log10(Price)))

Model ini didefinisikan untuk memasukkan interaksi antara usia dan jarak tempuh.

Sesuaikan model dan lihat kontur harga kayu gelondongan. Apa yang dikatakan bentuk kontur kepada Anda tentang apakah data memberikan bukti interaksi dalam harga log?

contour_plot(
  logPrice2(Age=age, Mileage=miles) ~ age + miles,
  domain(age = range(0, 8), miles = range(0, 60000)))

Konturnya cukup lurus, yang menunjukkan bahwa ada sedikit interaksi. Ketika menginterpretasikan harga log, kita dapat berpikir tentang kenaikan, katakanlah, 0,05 dalam output yang sesuai dengan kenaikan harga proporsional yang sama. Misalnya, peningkatan harga log dari 4,2 (yaitu \(10^{4,2}\) = 15.849) menjadi 4,25 (yaitu \(10^{4,25}\) = 17.783) merupakan peningkatan sebesar 12% pada harga aktual harga. Kenaikan lebih lanjut dalam harga log menjadi 4,3 (yaitu, dalam harga sebenarnya, \(10^{4,3}\) = 19.953) adalah kenaikan 12% lebih lanjut dalam harga sebenarnya.

6.0.1.3 latihan 3 jika modelnya rumit:

carPrice3 <- fitModel(
  Price ~ A + B * Age + C * Mileage + D * Age * Mileage +
    E * Age^2 + F * Mileage^2 + G * Age^2 * Mileage + 
    H * Age * Mileage^2,
  data = Hondas)
gf_point(Mileage ~ Age, data = Hondas, fill = NA) %>%
contour_plot(
  carPrice3(Age=Age, Mileage=Mileage) ~ Age + Mileage)

Untuk mobil di bawah 3 tahun atau lebih tua dengan jarak tempuh sangat tinggi atau sangat rendah. Apakah kontur memiliki bentuk yang diharapkan oleh pikiran? JAWABAN: Di mana ada banyak data, bentuk lokal kontur memang miring ke bawah dari kiri ke kanan, seperti yang diantisipasi oleh pikiran.

6.1 kurva dan model linier Kata linier dalam “model linier” mengacu pada “kombinasi linier”, bukan “garis lurus”. Sebagai ilustrasi, data dalam file “utilities.csv”merekam suhu rata-rata setiap bulan (dalam derajat F) serta penggunaan gas alam bulanan (dalam kaki kubik, ccf).

Utilities = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
gf_point(ccf ~ temp, data = Utilities)

Dalam hal aljabar linier, ini adalah kombinasi linier dari fungsi \(f_1(T) = 1\) dan \(f_2(T) = T\) . Secara konvensional, tentu saja, fungsi garis lurus ditulis \(f(T) = b + m T\) .

project(ccf ~ temp + 1, data = Utilities)
## (Intercept)        temp 
##  253.098208   -3.464251

Operator project( )memberikan nilai skalar. Fungsi pemasangan terbaik itu sendiri dibangun dengan menggunakan nilai skalar ini untuk menggabungkan fungsi yang terlibat.

model_fun = makeFun( 253.098 - 3.464*temp ~ temp)
gf_point(ccf ~ temp, data=Utils) %>%
  slice_plot(model_fun(temp) ~ temp)

bisa menambahkan fungsi lain seperti sqrt(T):

project(ccf ~ temp  + sqrt(temp) + 1, data = Utils)
## (Intercept)        temp  sqrt(temp) 
##  447.029273    1.377666  -63.208025
mod2 <- makeFun(447.03 + 1.378*temp - 63.21*sqrt(temp) ~ temp)
gf_point(ccf ~ temp, data=Utils) %>% # the data
  slice_plot(mod2(temp) ~ temp) %>%
  gf_labs(x = "Temperature (F)", 
          y = "Natural gas used (ccf)")

Operator project( )mengambil serangkaian vektor. Saat menyesuaikan fungsi ke data, vektor ini berasal dari kumpulan data sehingga perintah harus mengacu pada nama besaran seperti yang muncul di kumpulan data, misalnya, ccf atau temp.

contoh menggunakan banyak variabel dalam sebuah proyeksi:

Hondas = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/used-hondas.csv")
head(Hondas)
##   Price Year Mileage Location Color Age
## 1 20746 2006   18394  St.Paul  Grey   1
## 2 19787 2007       8  St.Paul Black   0
## 3 17987 2005   39998  St.Paul  Grey   2
## 4 17588 2004   35882  St.Paul Black   3
## 5 16987 2004   25306  St.Paul  Grey   3
## 6 16987 2005   33399  St.Paul Black   2

Inilah model yang sangat sederhana yang menggunakan kedua variabel:

project(Price ~ Age + Mileage + 1, data = Hondas)
##   (Intercept)           Age       Mileage 
##  2.133049e+04 -5.382931e+02 -7.668922e-02

fungsi matematika:

car_price <- makeFun(21330-5.383e2*age-7.669e-2*miles ~ age & miles)
contour_plot(car_price(age, miles) ~ age + miles,
  domain(age=range(2, 8), miles=range(0, 60000))) %>%
  gf_labs(title = "Miles per gallon")

model yang lebih canggih:

project(Price ~ Age + Mileage + Age*Mileage + 1, data = Hondas)
##   (Intercept)           Age       Mileage   Age:Mileage 
##  2.213744e+04 -7.494928e+02 -9.413962e-02  3.450033e-03
car_price2 <- makeFun(22137 - 7.495e2*age - 9.414e-2*miles +
                         3.450e-3*age*miles ~ age & miles)
contour_plot(
  car_price2(Age, Mileage) ~ Age + Mileage,  
  domain(Age = range(0, 10), Mileage = range(0, 100000))) %>%
  gf_labs(title = "Price of car (USD)")

6.1.1 latihan 6.1.1.1 latihan 1: pemasangan polinomial

inilah cara menyesuaikan model kuadrat dengan variabel ccfversus dalam file data:temp"utilities.csv”

Utilities = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/utilities.csv")
project(ccf ~ 1 + temp + I(temp^2), data = Utilities)
##  (Intercept)         temp    I(temp^2) 
## 317.58743630  -6.85301947   0.03609138

Koefisien memberi tahu kita bahwa model kuadrat yang paling pas dari ccfversus temp adalah:

ccfQuad <- makeFun(317.587 - 6.853*T + 0.0361*T^2 ~ T)
gf_point(ccf ~ temp, data = Utilities) %>%
  slice_plot(ccfQuad(temp) ~ temp)

Untuk mencari nilai model ini pada temperatur tertentu, evaluasi saja fungsinya. (Dan perhatikan bahwa ccfQuad( )didefinisikan dengan variabel input T.)

ccfQuad(T=72)
## [1] 11.3134
  1. Sesuaikan polinomial orde-3 versus dengan data utilitas. Berapa nilai model ini untuk suhu 32 derajat? {87.103.128, 142 .143.168.184} jawab:
project(ccf ~ 1 + temp + I(temp^2) + I(temp^3), data = Utils)
##   (Intercept)          temp     I(temp^2)     I(temp^3) 
##  2.550709e+02 -1.427408e+00 -9.643482e-02  9.609511e-04
ccfCubic <- 
  makeFun(2.551e2 - 1.427*T -
          9.643e-2*T^2 + 9.6095e-4*T^3 ~ T)
gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(ccfCubic(temp) ~ temp) 

ccfCubic(32)
## [1] 142.1801
  1. Sesuaikan polinomial urutan ke-4 ccf versus temp dengan data utilitas. Berapa nilai model ini untuk suhu 32 derajat? {87.103.128.140, 143 .168.184} jawab:
project(ccf ~ 1 + temp + I(temp^2) + I(temp^3) + I(temp^4), 
        data = Utils)
##   (Intercept)          temp     I(temp^2)     I(temp^3)     I(temp^4) 
##  1.757579e+02  8.225746e+00 -4.815403e-01  7.102673e-03 -3.384490e-05
ccfQuad <- makeFun(1.7576e2 + 8.225*T -4.815e-1*T^2 + 
                     7.103e-3*T^3 - 3.384e-5*T^4 ~ T) 
gf_point(ccf ~ temp, data = Utils) %>%
  slice_plot(ccfQuad(temp) ~ temp) %>%
  gf_labs(y = "Natural gas use (ccf)", x = "Temperature (F)")

ccfQuad(32)
## [1] 143.1713
  1. Buat plot perbedaan antara model orde ke-3 dan ke-4 pada rentang suhu dari 20 hingga 60 derajat. Apa perbedaan terbesar (dalam nilai absolut) antara keluaran kedua model?
  1. Sekitar 1 ccf.
  2. Sekitar 4 ccf.
  3. Sekitar 8 ccf.
  4. Sekitar 1 derajat F.
  5. Sekitar 4 derajat F.
  6. Sekitar 8 derajat F. JAWABAN: Keluaran model dalam satuan ccf.
slice_plot(ccfQuad(temp) - ccfCubic(temp) ~ temp, 
           domain(temp = range(20, 60)))

Perbedaan antara kedua model selalu sekitar 4 ccf.

6.1.1.2 latihan 2: regresi berganda Pada tahun 1980, majalah Consumer Reports mempelajari mobil model 1978-79 untuk mengeksplorasi bagaimana berbagai faktor mempengaruhi penghematan bahan bakar. Pengukuran tersebut mencakup efisiensi bahan bakar dalam mil per galon, bobot trotoar dalam pound, tenaga mesin dalam tenaga kuda, dan jumlah silinder. Variabel ini disertakan dalam file “cardata.csv”.

Cars = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/cardata.csv")
head(Cars)
##    mpg  pounds horsepower cylinders tons constant
## 1 16.9 3967.60        155         8  2.0        1
## 2 15.5 3689.14        142         8  1.8        1
## 3 19.2 3280.55        125         8  1.6        1
## 4 18.5 3585.40        150         8  1.8        1
## 5 30.0 1961.05         68         4  1.0        1
## 6 27.5 2329.60         95         4  1.2        1
  1. Gunakan data ini agar sesuai dengan model penghematan bahan bakar berikut (variabel mpg): \[ \mbox{\texttt{mpg}} = x_0 + x_1 \mbox{\texttt{pounds}}. \] Berapa nilai model untuk input 2000 pound? {14.9,19.4,21.1,25.0, 28.8 ,33.9,35.2} jawab:
project(mpg ~ pounds + 1, data = Cars)
##  (Intercept)       pounds 
## 43.188646127 -0.007200773
43.1886 - 0.00720*2000
## [1] 28.7886
  1. Gunakan data agar sesuai dengan model penghematan bahan bakar berikut (variabel mpg): \[ \mbox{\texttt{mpg}} = y_0 + y_1 \mbox{\texttt{pounds}} + y_2 \mbox{\texttt{tenaga kuda}} . \]
  1. Berapa nilai model untuk masukan 2000 pon dan 150 tenaga kuda? {14.9, 19.4 ,21.1,25.0,28.8,33.9,35.2}
  2. Berapa nilai model untuk masukan 2000 pon dan 50 tenaga kuda? {14.9,19.4,21.1,25.0,28.8, 33.9 ,35.2} jawab:
project(mpg ~ pounds + horsepower  + 1, data = Cars)
##  (Intercept)       pounds   horsepower 
## 46.932738241 -0.002902265 -0.144930546
mod_fun <- makeFun(46.933 - 0.00290*lbs - 0.1449*hp ~ lbs + hp)
mod_fun(lbs = 2000, hp = 50)
## [1] 33.888
  1. Bangun fungsi linier yang menggunakan pounds, horsepower dan cylinders untuk memodelkan mpg. Kami tidak memiliki cara yang baik untuk memplot fungsi dari tiga variabel input, tetapi Anda masih dapat menuliskan rumusnya. Apa itu?
Cars = read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/cardata.csv")
head(Cars)
##    mpg  pounds horsepower cylinders tons constant
## 1 16.9 3967.60        155         8  2.0        1
## 2 15.5 3689.14        142         8  1.8        1
## 3 19.2 3280.55        125         8  1.6        1
## 4 18.5 3585.40        150         8  1.8        1
## 5 30.0 1961.05         68         4  1.0        1
## 6 27.5 2329.60         95         4  1.2        1

6.3 Fungsi dengan parameter nonlinier eknik aljabar linier dapat digunakan untuk mencari kombinasi linier terbaik dari suatu himpunan fungsi. Namun, seringkali, ada parameter dalam fungsi yang muncul secara nonlinier. Contohnya termasuk \(k\) di \(f(t) = A \exp( kt ) + C\) dan \(P\) di \(A \sin(\frac{2\pi}{P} t) +C\) . Menemukan parameter nonlinier ini tidak dapat dilakukan secara langsung menggunakan aljabar linier, meskipun metode aljabar linier memang membantu menyederhanakan situasi.

6.4 Fungsi eksponensial sebagai contoh, pertimbangkan “Income-Housing.csv”data yang menunjukkan hubungan eksponensial antara fraksi keluarga dengan dua mobil dan pendapatan:

Families <- read.csv("http://www.mosaic-web.org/go/datasets/Income-Housing.csv")
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families)

Pola data menunjukkan “pembusukan” eksponensial terhadap hampir 100% keluarga yang memiliki dua kendaraan. Bentuk matematika dari fungsi eksponensial ini adalah \(A exp(k Y) + C\) . A dan C adalah parameter linier yang tidak diketahui. \(k\) adalah parameter nonlinear yang tidak diketahui – ini akan menjadi negatif untuk peluruhan eksponensial. Misalkan kita menebak \(k\) . Tebakan tidak harus benar-benar acak; kita dapat melihat dari datanya sendiri bahwa “waktu paruh” adalah sekitar $25.000. Parameter \(k\) sesuai dengan waktu paruh, itu \(\ln(0.5)/\mbox{half-life}\) , jadi di sini tebakan yang bagus untuk \(k\) adalah \(\ln( 0,5)/25000\) , yaitu:

kguess <- log(0.5) / 25000
kguess
## [1] -2.772589e-05

nilai terbaik dari parameter linier \(A\) dan \(C\) melalui teknik aljabar linier:

project( TwoVehicles ~ 1 + exp(Income*kguess), data = Families)
##          (Intercept) exp(Income * kguess) 
##             110.4263            -101.5666

fungsi yang merupakan kombinasi linier terbaik dengan menambahkan kedua fungsi secara eksplisit:

f <- makeFun( 110.43 - 101.57*exp(Income * k) ~ Income, k = kguess)
gf_point(TwoVehicles ~ Income, data = Families) %>%
  slice_plot(f(Income) ~ Income)

Grafik berjalan sangat dekat dengan titik data. Tapi kita juga bisa melihat nilai numerik dari fungsi untuk setiap pendapatan:

f(Income = 10000)
## [1] 33.45433
f(Income = 50000)
## [1] 85.0375

Sangat informatif untuk melihat nilai fungsi untuk Incomelevel tertentu dalam data yang digunakan untuk pemasangan, yaitu data frame Families:

Results <- Families %>% 
  dplyr::select(Income, TwoVehicles) %>%
  mutate(model_val = f(Income = Income),
         resids = TwoVehicles - model_val)
Results
##   Income TwoVehicles model_val     resids
## 1   3914        17.3  19.30528 -2.0052822
## 2  10817        34.3  35.17839 -0.8783904
## 3  21097        56.4  53.84097  2.5590313
## 4  34548        75.3  71.45680  3.8432013
## 5  51941        86.6  86.36790  0.2320981
## 6  72079        92.9  96.66273 -3.7627306

panjang kuadrat vektor adalah jumlah residu kuadrat:

sum(Results$resids^2)
## [1] 40.32358

Panjang persegi residsvektor ini merupakan cara penting untuk mengukur seberapa cocok model dengan data.

6.5 Mengoptimalkan tebakan membuat fungsi yang menghitung jumlah sisa kuadrat untuk nilai apa pun dari \(k\) .

sum_square_resids <- Vectorize(function(k) {
  sum((Families$TwoVehicles - f(Income=Families$Income, k)) ^ 2)
})
slice_plot(
   sum_square_resids(k) ~ k, 
   domain(k = range(log(0.5)/40000,log(0.5)/20000)))

Ini adalah perintah komputer yang agak rumit, tetapi grafiknya langsung. kita dapat melihat bahwa nilai “terbaik” dari \(k\) , yaitu nilai \(k\) yang membuat jumlah residu kuadrat sekecil mungkin, mendekati \(k=-2.8\times10^ {-5}\) — tidak terlalu jauh dari tebakan awal, seperti yang terjadi. (Itu karena waktu paruh sangat mudah diperkirakan.)