6.5) Exercicios

1) Seja a amostra abaixo obtida de uma distribuição Poisson de parâmetro \(\lambda\). Obtenha o gráfico da função de log-verossimilhança.

entraremos com o vetor \(l\) com as amostras cuja a distribuição de probabilidade é a de Poisson.

l <- c(5,4,6,2,2,4,5,3,3,0,1,7,6,5,3,6,5,3,7,2)
l
##  [1] 5 4 6 2 2 4 5 3 3 0 1 7 6 5 3 6 5 3 7 2

Agora vamos calcular as estimativas de MV para lambda:

lik.pois <- function(lambda, dados) {
 loglik <- function(l, dados) {
 sum(dpois(dados, lambda = l, log = TRUE))
 }
sapply(lambda, loglik, dados = dados)
}
optimise(lik.pois, interval = c(0, 10), dados = l, maximum = TRUE)
## $maximum
## [1] 3.949993
## 
## $objective
## [1] -42.0171

E o comando para gerar o gráfico poderia incluir o texto do eixos:

lambda.vals <- seq(0, 10, l = 100)
loglik <- sapply(lambda.vals, lik.pois, dados = l)
plot(lambda.vals, loglik, type = "l", xlab = expression(lambda), main = "log-verossimilhança para lambda",
ylab = expression(l(lambda)))

Se olharmos para o ponto máximo no intervalo \([0,10]\), este ponto assume \(\lambda = 3.94\) que maximiza esta função.

2) Seja a amostra abaixo obtida de uma distribuição Binomial de parâmetro \(p\) e com \(n = 10\).

Entraremos com o vetor p com as amostras cuja a distribuição de probabilidade é a de Binomial

p=c(7,5,8,6,9,6,9,7,7,7,8,8,9,9,9)

Agora vamos calcular as estimativas de MV para p semelhante como fizemos em 1:

lik.binom <- function(p, dados){
loglik <- function(p, dados){
sum(dbinom(dados, size = 10, prob = p, log = TRUE))
}
sapply(p, loglik, dados = dados)
}
optimise(lik.binom, interval = c(0, 1), dados = p, maximum = TRUE)
## $maximum
## [1] 0.7600192
## 
## $objective
## [1] -24.35547

A partir disto, o comando para gerar o gráfico:

curve(lik.binom (x, p), from = 0, to = 1, main = "log-verossimilhança para p")

A partir disso, quando \(X\) assume valores no intervalo de \([0,1]\), o ponto de máximo se encontra em \(X=0.76\).

3) Seja a amostra abaixo obtida de uma distribuição \(\chi^2\) de parâmetro \(ν\).

Escrevemos o vetor \(c\) com as amostras cuja a distribuição de probabilidade é a de \(\chi^2\). Assim:

c <- c(8.9, 10.1, 12.1, 6.4, 12.4, 16.9, 10.5, 9.9, 10.8, 11.4)

Agora vamos calcular as estimativas de MV para $p semelhante como fizemos em 1 e 2:

lik.chisq <- function(v, dados){
loglik <- function(v, dados){
sum(dchisq(dados, df = v, log = TRUE))
}
sapply(v, loglik, dados = dados)
}
optimise(lik.chisq, interval = c(0, 20), dados = c, maximum = TRUE)
## $maximum
## [1] 11.62862
## 
## $objective
## [1] -25.88092

A partir disto, o comando para gerar o gráfico:

curve(lik.chisq (x, c), from = 0, to = 20, main ="log-verossimilhança para v")

Por outro lado, quand0 \(x\) assume valore no intervalo de \([0,20]\) , o ponto em que torna a função no maxima é \(X=11.39\).