Pendahuluan

Pada pertemuan sebelumnya telah dipelajari tentang teorema limit pusat. Setelah kita mengetahuinya, kita diminta untuk melakukan pembangkitan data dengan beberapa kali melakukan sampling dan menguji apakah memang data hasil bangkitan rata-ratanya memiliki sebaran normal berdasarkan teorema limit pusat dengan beberapa sebaran yang selain sebaran normal.

Teorema Limit Pusat :

“Rerata dari iterasi peubah acak dalam jumlah yang cukup besar (n menuju tak hingga), masing-masing dengan nilai ekspektasi dan variansi yang terdefinisi dengan baik, akan didistribusikan mendekati distribusi normal”

========================================================

Percobaan

1. Sebaran Poisson n =100 dan n=1000

#untuk n=100#
poisson <- NULL
for (i in 1 : 100) {
    poisson <- c(poisson, mean(rpois(100,3)))
}

#untuk n=1000#
poisson2 <- NULL
for (i in 1 : 100) {
    poisson2 <- c(poisson2, mean(rpois(1000,3)))
}

Plot Distribution of Sampling

hist(poisson, main = "Sampling Distribution of the 100 Sample Means")

hist(poisson2, main = "Sampling Distribution of the 1000 Sample Means")

2. Sebaran Binomial n=100 dan n=1000

#untuk n=100#
binom <- NULL
for (i in 1 : 100) {
    binom <- c(binom, mean(rbinom(100,1,0.75)))
}

#untuk n=1000#
binom2 <- NULL
for (i in 1 : 100) {
    binom2 <- c(binom2, mean(rbinom(1000,1,0.5)))
}

Plot Distribution of Sampling

hist(binom, main = "Sampling Distribution of the 100 Sample Means")

hist(binom2, main = "Sampling Distribution of the 1000 Sample Means")

Uji Kenormalan

Untuk mengetahui apakah memang benar-benar berdistribusi normal, maka kita akan lakukan pengujian layaknya pengujian data normal. Metode pengujian yang digunakan adalah pengujian shapiro-wilk.

shapiro.test(poisson)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  poisson
## W = 0.99153, p-value = 0.7864

shapiro.test(poisson2)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  poisson2
## W = 0.98544, p-value = 0.3415

shapiro.test(binom)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  binom
## W = 0.99005, p-value = 0.6684

shapiro.test(binom2)

## 
##  Shapiro-Wilk normality test
## 
## data:  binom2
## W = 0.97064, p-value = 0.02474

dengan demikian, maka apa yang dikatakan dalam teorema limit pusat bahwa ketika n menuju tak hingga maka sebaran data yang tidak diketahui distribusinya akan mendekati sebaran normal.

Pendekatan Monte-Carlo

Penyelesaian permasalahan integrasi dengan pendektana monte-carlo

int=function(n,a,b)
{
    fs=function(x){
    x^2
    }
    x=runif(n,a,b)
    y=mean(fs(x))
    hasil=(b-a)*y
    print(hasil)
}

Integral dari \(x^2\) dengan batas bawah 0 dan batas atas 2 seperti beikut:

int(1000,0,2)

## [1] 2.66675

Kita akan membuat fungsi integral kita definisikan diluar fungsi integral:

integral=function(n,a,b,fc)
{
    fs= fc
    x=runif(n,a,b)
    y=mean(fs(x))
    hasil=(b-a)*y
    print(hasil)
}

kita definisikan fungsi \(f(x) = x^2+1\)

#definisikan f sebagai fungsi f(x)
f <- function(x){x^2+1}

Hitung nilai dari integral \(f(x)\) dengan batas bawah -5 dan batas atas 5

integral(1000, -5, 5, f)

## [1] 94.61717