Taller Fundamentos Estadistica #3

Pablo Alejandro Reyes y Andres almeciga

Universidad Externado De Colombia

18 - Noviembre - 2022

La ultima novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80 % de los lectores ya la han leído. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
  • ¿Cual es la probabilidad de que en el grupo hayan leído la novela 2 personas?
  • ¿Y como máximo 2?
  • Siendo: X = número de personas en el grupo de 4 que ya hayan leído la novela
#p(X=2)

Variable=2
n=4
probabilidad=0.8

dbinom(2, 4, 0.8)
## [1] 0.1536
#P(x <= 2)

Variable=2
n=4
probabilidad=0.8

pbinom(2, 4, 0.8)
## [1] 0.1808

2. Un agente de seguros vende pólizas a cinco personas de la misma edad y que disfrutan de buena salud. Según las tablas actuales, la probabilidad de que una persona en estas condiciones viva 30 años o más es 2/3. Hállese la probabilidad de que, transcurridos 30 años, vivan:

  • Las cinco personas.
  • Al menos tres personas.
  • Exactamente dos personas.
  • Siendo: x = número de personas que aun vivan despues de 30 años
#P(X=5)

Variable= 5
n= 5
probabilidad= 2/3

dbinom(5, 5, 2/3)
## [1] 0.1316872
#P(X >= 3)

Variable= 2
n= 5
probabilidad= 2/3

1-pbinom(2, 5, 2/3)
## [1] 0.7901235
#P(X=2)

Variable= 2
n= 5
probabilidad= 2/3

dbinom(2, 5, 2/3)
## [1] 0.1646091

3. Se lanza una moneda cuatro veces. Calcular la probabilidad de que salgan más caras que cruces.

  • Siendo: X = El numero de caras
#P(X >= 3)

Variable= 2
n= 4
probabilidad= 1/2

1-pbinom(2, 4, 1/2)
## [1] 0.3125

4) Si de seis a siete de la tarde se admite que un número de teléfono de cada cinco está comunicando, ¿cuál es la probabilidad de que, cuando se marquen 10 números de teléfono elegidos al azar, solo comuniquen dos?

  • Siendo: X = Personas comunicadas de seis a siete
#P(X = 2)

Variable= 2
n= 10
probabilidad= 1/5

dbinom(2, 10, 1/5)
## [1] 0.3019899

5. La probabilidad de que un hombre acierte en el blanco es 1/4.

  • Si dispara 10 veces ¿cuál es la probabilidad de que acierte exactamente en tres ocasiones?
  • ¿Cuál es la probabilidad de que acierte por lo menos en una ocasión?
  • Siendo: X = Numero de aciertos en el blanco 
#P(X=3)

Variable= 3
n= 10
probabilidad= 1/4

dbinom(3, 10, 1/4)
## [1] 0.2502823
#P(X >= 1)

Variable= 1
n= 10
probabilidad= 1/4

1- pbinom(0, 10, 1/4)
## [1] 0.9436865

6. En unas pruebas de alcoholemia se ha observado que el 5 % de los conductores controlados dan positivo en la prueba y que el 10 % de los conductores controlados no llevan aprovechado el cinturón de seguridad. También se ha observado que las dos infracciones son independientes. Un guardia de tráfico para cinco conductores al azar. Si tenemos en cuenta que el número de conductores es suficientemente importante como para estimar que la proporción de infractores no varía al hacer la selección.

  • Determinar la probabilidad a de que exactamente tres conductores hayan cometido alguna de las dos infracciones
  • etermine la probabilidad de que al menos uno de los conductores controlados haya cometido alguna de las dos infracciones
  • Siendo: x = número de conductores que hayan cometido alguna de las infracciones

Sabiendo que: P(AUB)=P(A)+P(B)-P(AUB). Entonces

#P(X=3)

Variable=3
n=5
Proabilidad=0.05
dbinom(3, 5, 0.05)->Ca1

Variable=3
n=5
Probabilidad=0.1
dbinom(3, 5, 0.1)->Ca2

Ca1+Ca2-(Ca1*Ca2)
## [1] 0.009218987
#P(X>=1)

Variable=1
n=5
Proabilidad=0.05
1-pbinom(0, 5, 0.05)->Cas1

Variable=1
n=5
Probabilidad=0.1
1-pbinom(0, 5, 0.1)->Cas2

Cas1+Cas2-(Cas1*Cas2)
## [1] 0.5430901

7. La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es p= 0.002. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes.

  • Hallar (a) el número esperado de artículos defectuosos,
    1. la varianza
    1. la desviación típica.
  • Siendo: X = Articulos defectuosos
Variable =10000
Probabilidad=0.002
J= 10000*0.002
J
## [1] 20
Var = ((J)*(1-Probabilidad))
Var
## [1] 19.96
sqrt(Var)
## [1] 4.467662

8.Un laboratorio afirma que una droga causa de efectos secundarios en una proporción de 3 de cada 100 pacientes. Para contrastar esta afirmación, otro laboratorio elige al azar a 5 pacientes a los que aplica la droga.¿Cuál es la probabilidad de los siguientes sucesos?

  • Ningún paciente tenga efectos secundarios
  • Al menos dos tenga efectos secundarios
  • ¿Cuál es el número medio de pacientes que espera laboratorio que sufran efectos secundarios si elige 100 pacientes al azar?
  • Siendo: X = Número de pacientes con efectos secundarios
#P(X=0)

Variable=0
n=5
Proabilidad=3/100

dbinom(0 , 5 ,3/100)
## [1] 0.858734
#P(X >= 2) 

Variable=2
n=5
Proabilidad=3/100

1- pbinom(1 , 5 ,3/100)
## [1] 0.008472053
  1. Si el laboratio afirma que la probabilidad de pacientes de sufrir efectos secundarios esd 3/100. Entonces de cada 100 pacientes el numero medio de qu sufren de efectos secundarios es 3.

9. Kolzak Appliance Outlet acaba de recibir un cargamento de 10 reproductores de DVD. Poco después de recibirlo, el fabricante se comunicó para reportar un envío de tres unidades defectuosas. La señorita Kolzac, propietaria de la tienda, decidió probar 2 de los 10 reproductores de DVD que recibió. ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 2 reproductores de DVD que se probaron esté defectuoso? Suponga que las muestras no tienen reemplazo.

  • Siendo: X = Número de reproductores defectuosos encontrados en un analizis al azar.
#P(X=o)

N=10
n=2
k=3

dhyper(0, 2, 10-2, 3)
## [1] 0.4666667

10. En un lote de productos se tienen 20 productos sin defectos, 3 con defectos menores y 2 con defectos mayores, se seleccionan al azar 5 productos de este lote,determine la probabilidad de que:

  • 3 de los productos seleccionados no tengan defectos
  • 1 de los productos seleccionados tenga defectos menores
  • 4 de los productos seleccionados no tengan defectos
  • menos de 3 de los productos seleccionados tengan defectos menores.
  • Siendo: X = Numero de productos defectuosos
#P(x=0)

N=25
n=5
k=20 
dhyper(3, 5, 25-5, 20)
## [1] 0.214568
#P(x=1)

N=25
n=5
k=3
dhyper(1, 5, 25-5, 3)
## [1] 0.4130435
#P(X=4)
N=25
n=5
k=20
dhyper(4, 5, 25-5, 20 )
## [1] 0.4559571
#P(X <=  3)

N=25
n=5
k=3
phyper(2, 5, 25-5, 3)
## [1] 0.9956522

11. Un club de estudiantes extranjeros tiene en sus listas a 2 canadienses, 3 japoneses, 5 italianos y 2 alemanes. Si se selecciona aleatoriamente un comite de 4 estudiantes, encuentre la probabilidad de que:

  • Estén representadas todas las nacionalidades
  • estén representadas todas las nacionalidades, excepto la italiana.
  • Siendo: X = Estudiantes de cualquier pais
ProbCanada= 2/12
ProbJapon= 3/12
ProbItalianos= 5/12
ProbAlemanes = 2/12

dmultinom(x=c(1, 1, 1, 1), p=c(2/12, 3/12, 5/12, 2/12))
## [1] 0.06944444
dmultinom(x=c(1, 1, 0, 1), p=c(2/12, 3/12, 5/12, 2/12))
## [1] 0.04166667

12. En una caja de 10 fusibles, 3 de ellos están defectuosos, si se examina una muestra aleatoria de 4 fusibles,cual es la probabilidad de encontrar

  • Ningún defectuoso
  • Un defectuoso
  • Uno o menos defectuoso
  • Mas de la mitad defectuoso
  • Mas de la mitad defectuoso
  • Siendo: x = El numero de fusibles defectuosos
#P(X=0)

N = 10 
n = 3
k = 4
dhyper(0, 3, 10 - 3, 4)
## [1] 0.1666667
#P(X=1)

N = 10 
n = 3
k = 4
dhyper(1, 3, 10-3, 4)
## [1] 0.5
#P(X<= 1)

N = 10 
n = 3
k = 4
phyper(1, 3, 10-3, 4) + phyper(0, 3, 10 - 3, 4)
## [1] 0.8333333
#P(X>=0.5)

N = 10 
n = 3
k = 4

1 - phyper(1, 3, 10 - 3, 4)
## [1] 0.3333333
#P( 1 <= x <= 3)

N = 10 
n = 3
k = 4

phyper(3, 3, 10 - 3, 4) - phyper(0, 3, 10 - 3, 4)
## [1] 0.8333333

13. El número de pinchazos en los neumáticos de cierto vehículo industrial tiene una distribución de Poisson con media 0.3 por cada 50 000 kilómetros. Si el vehículo recorre 100000 km, se pide:

  • Probabilidad de que no haya tenido pinchazos.
  • Probabilidad de que tenga menos de 3 pinchazos
  • Número de km recorridos para que la probabilidad de que no tenga ningún pinchazo sea 0.4066
  • Siendo: X = El numero de pinchazos dado los km
#P(X = 0)
Variable= 0
lamda = 0.3*2 #para 100.000km

dpois(0, lamda)
## [1] 0.5488116
#P(X<=3)
Variable= 3
lamda = 0.3*2 #para 100.000km

ppois(3, lamda)
## [1] 0.9966419
log(0.4066)
## [1] -0.8999254

14. Un representante realiza 5 visitas cada día a los comercios de su ramo y por su experiencia anterior sabe que la probabilidad de que le hagan un pedido en cada visita es del 0.4. Obtener:

  • El número medio de pedidos por día
  • La varianza
  • La probabilidad de que el número de pedidos que realiza durante un día esté comprendido entre 1 y 3
  • La probabilidad de que por lo menos realice dos pedidos
  • Siendo: X = El numero de pedidos cada dia que se visita
Media= 0.4*5
Media
## [1] 2
varianza= 0.4*5*(1-0.4)
varianza
## [1] 1.2
#p(1 <= x <= 3)

lamda= 0.4*5

ppois(3, lamda)-ppois(0, lamda)
## [1] 0.7217882
#P(X >= 2)
lamda= 0.4*5

1-ppois(1, lamda)
## [1] 0.5939942

15. Los accidentes laborales diarios de una empresa siguen una distribución de Poisson de parámetro λ = 1. Calcular las probabilidades:

  • De que en un determinado día se produzcan dos accidentes
  • A lo sumo dos accidentes
  • Por lo menos dos accidentes
  • De que hayan 4 accidentes en una semana
  • De que haya un accidente hoy y ninguno mañana
  • Siendo : x = Numero de accidentes diarios
#P(X =2)
λ = 1

dpois(2, 1)
## [1] 0.1839397
#P(x>=2)
λ = 1

ppois(2,1)
## [1] 0.9196986
#P(x>=2)
λ = 1

1-ppois(2,1)
## [1] 0.0803014
#P(x=4)
λ = 1*7

dpois(4, 1*7)
## [1] 0.09122619
#P(x=1) y  mañana P(x=0)
λ = 1

dpois(1, 1)*dpois(0, 1)
## [1] 0.1353353

16. Los mensajes que llegan a una computadora utilizada como servidor lo hacen de acuerdo con una distribución Poisson con una tasa promedio de 0.1 mensajes por minuto.

  • ¿Cuál es la probabilidad de que lleguen como mucho 2 mensajes en una hora?
  • Determinar el intervalo de tiempo necesario para que la probabilidad de que no llegue ningún mensaje durante ese lapso de tiempo sea 0.8.
  • Siendo : X = Mensajes llegados a una computadora
#P(x<=2)
λ = 0.1*60

ppois(2, 0.1*60)
## [1] 0.0619688
-log(0.8)
## [1] 0.2231436

17. Una prueba de inteligencia consta de diez cuestiones cada una de ellas con cinco respuestas de las cuales una sola es verdadera. Un alumno responde al azar (es decir, sin tener la menor idea sobre las diez cuestiones).

  • ¿Cuál es la probabilidad de que responda bien a dos cuestiones?
  • ¿Cuál la de que responda bien a cuatro?
  • ¿Cuál la de que responda bien a seis?
  • Siendo: X = Respuestas acertadas
#P(x=2)
λ = 10*1/5

dpois(2, 10*1/5)
## [1] 0.2706706
#P(x=4)
λ = 10*1/5

dpois(4, 10*1/5)
## [1] 0.09022352
#P(x=6)
λ = 10*1/5

dpois(6, 10*1/5)
## [1] 0.0120298

18. Determinar la probabilidad de realizar cierto tipo de experimento con éxito si se sabe que si se repite 14 veces es igual de probable obtener 2 éxitos que 3.

19. Una compañía compra cantidades muy grandes de componentes electrónicos. La decisión para aceptar o rechazar un lote de componentes se toma con base a una muestra de 100 unidades. Si el lote se rechaza al encontrar tres o más unidades defectuosas en la muestra,

  • ¿cuál es la probabilidad de rechazar un lote si este contiene un 1 % de componentes defectuosos?
  • ¿Cuál es la probabilidad de rechazar un lote que contenga un 8 % de unidades defectuosas?
  • Siendo: X = Unidades defectuosas en la muestra
#P(x>=2)

Variable=2
n=100
Proabilidad=0.01

1-pbinom(2, 100, 0.01)
## [1] 0.0793732
#P(x>=2)

Variable=2
n=100
Proabilidad=0.08

1-pbinom(2, 100, 0.08)
## [1] 0.9887272

20. Se sabe que el 1 % de los artículos importados de un cierto país tienen algún defecto. Si tomamos una muestra de tamaño 30 artículos, determinar la probabilidad de que tres o más de ellos tengan algún defecto. - Siendo: X = Articulos defectuosos

#P(x>=3)

Variable=3
n=30
Proabilidad=1/100

1-pbinom(2, 30, 1/100)
## [1] 0.003317709

Distribución Normal

1. Supongamos que Z es una variable aleatoria que se distribuye seguun una distribuci´on N(0, 1) Calcular:

a) P(Z < 1,47)

pnorm(1.47)
## [1] 0.9292191

b) P(Z > 1,47)

1-pnorm(1.47)
## [1] 0.07078088

c) P(Z ≤ −1,47)

pnorm(-1.47)
## [1] 0.07078088

d) P(Z > 1,47)

1-pnorm(1.47)
## [1] 0.07078088

e) P(0,45 < Z < 1, 7)

pnorm(0.45) - pnorm(1.47)
## [1] -0.2555743

f ) P(−1,47 < Z < −0,45)

pnorm(-1.47) - pnorm(-0.45)
## [1] -0.2555743

g) P(−1,47 < Z < 0,45)

pnorm(-1.47) - pnorm(0.45)
## [1] -0.6028639

h) P(Z ≤ z) = 0, 75

qnorm(0.75)
## [1] 0.6744898
pnorm(0.6744898)
## [1] 0.75

2. Si X es una variable aleatoria distribuida segun una distribuci´on N(µ, 2), hallar: P(µ−3, 2 < X < µ+3, 2)

Media= 1
Desivacion =0

pnorm(3.2) - pnorm(-3,2)
## [1] 0.9993126

3. En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de junio si una distribución normal, con media 23°y desviación típica 5° Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre 21°y 27°

#P(Entre 21 y 27)
pnorm(27 , 23 , 5) - pnorm(21 , 23 , 5)
## [1] 0.4435663

4. Las precipitaciones anuales en una región alcanzan, de media, los 2000 mm, con una desviación típica de 300mm. Calcula, suponiendo que siguen una distribución normal, la probabilidad de que en un año determinado la lluvia:

#P(X menor a 1200)
Media= 2000
Desivacion= 300

pnorm( 1200 , 2000 , 300)
## [1] 0.003830381
#P(X mayor a 1200)
Media= 2000
Desivacion= 300

1-pnorm(1500 , 2000 , 300)
## [1] 0.9522096
#P(X entre 1200 y 2300)
Media= 2000
Desivacion= 300

pnorm(2300 , 2000 , 300) - pnorm(1700 , 2000, 300)
## [1] 0.6826895
Media= 2000
Desivacion= 300
Probabilidad= 0.25

qnorm(p = 0.25 , 2000 , 300 , lower.tail = F) #Mas lluviosos 
## [1] 2202.347
qnorm(p = 0.25 , 2000 , 300) #Menoes lluviosos
## [1] 1797.653

5. Se sabe que la talla media de una población en edad escolar es de 165 cm con una desviación típica de 12 cm. Un centro tiene 1400 alumnos matriculados, se pide:

Media= 165
Desviacion = 12 
N = 1400
ceiling(N*1- pnorm(q = 155 , mean = Media , sd =Desviacion))
## [1] 1400
100*(pnorm(178 , Media , Desviacion) - pnorm(150 , Media, Desviacion))
## [1] 75.502
100*(pnorm(186 ,Media ,Desviacion )- pnorm(170 , Media, Desviacion))
## [1] 29.8402
qnorm(p = 0.67 , Media , Desviacion)
## [1] 170.279

6. El rendimiento promedio al vencimiento de los bonos industriales emitidos durante el primer trimestre de 1975 fue de 8.55 % con una desviaciíon estándar de 0.70 %. Suponiendo que el rendimiento de los bonos se distribuye normal y que el rendimiento de la compañía FLEX fue de 7.1 % ¿qué podemos decir de la situación financiera de esta firma durante el trimestre mencionado?

Media= 8.55
Desviacion= 0.70

100*(pnorm(7.1 , 8.55 , 0.70))
## [1] 1.915938
Media= 8.55
Desviacion= 0.70

100*(1-pnorm(7.1 , 8.55 , 0.70))
## [1] 98.08406

Podemos entonces concluir que a la empresa no le esta yendo bien, ya que el 98% de las compañias tuvieron rendimientos mayores a el 7.1 de la compañia analizada. Esta por debajo del promedio.

7. Durante los últimos años ha crecido el volumen de acciones negociadas en la bolsa de Nueva York. Durante las dos primeras semanas de enero de 1998, el volumen diario promedio fue de 646 millones de acciones (Barron’s. Enero de 1998). La distribución de probabilidad del volumen diario es aproximadamente normal, con desviación estándar de unos 100 millones de acciones.

#P(Menor a 400)
Media= 646
Desviacion= 100

pnorm(400 , 646 , 100)
## [1] 0.006946851
#P(Mayor a 800)
Media= 646
Desviacion= 100

1-pnorm(800 , 646 , 100)
## [1] 0.06178018
Media= 646
Desviacion= 100
Probabilidad= 0.05

qnorm(p= 0.05 , 646 , 100)
## [1] 481.5146
pnorm(481.5146 , 646 ,100)
## [1] 0.04999996

8. Mensa es una asociación internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una persona debe tener un coeficiente intelectual de 132 o más alto (USA today, 13 de febrero de 1992). Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se distribuyen normalmente con promedio de 100 y desviación estándar de 15, ¿qué porcentaje de personas califican para ser miembros de mensa?

#P( X mayor a 132)
Media= 100
Desviacion = 15

100*(1-pnorm(132 , 100 , 15))
## [1] 1.64487