Laboratorio4
Erik De Luca
2022-10-28
Prima parte: splines_data
Importo i dati
sp = read.csv("dataset/splines_data.csv") %>%
tibble %>%
column_to_rownames("X.1")
colnames(sp) = c("x","y")
spVisualizzo i dati
gg = ggplot(sp,aes(y = y, x = x)) +
geom_point()
gg
Stima e raffigurazione di splines
modNs = lm(y ~ ns(x,df = 8, knots = c(-8,-7,-5,-2,-1,2.5)), data = sp)
modNs %>% summary##
## Call:
## lm(formula = y ~ ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1,
## 2.5)), data = sp)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.61567 -0.11654 -0.00176 0.12482 0.58152
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) -3.06472 0.09403 -32.593
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))1 0.64847 0.11619 5.581
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))2 0.48634 0.15899 3.059
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))3 3.49745 0.12254 28.541
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))4 2.83419 0.11617 24.396
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))5 2.27996 0.08708 26.182
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))6 6.04537 0.23321 25.922
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))7 3.09122 0.07219 42.820
## Pr(>|t|)
## (Intercept) < 2e-16 ***
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))1 8.02e-08 ***
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))2 0.00254 **
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))3 < 2e-16 ***
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))4 < 2e-16 ***
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))5 < 2e-16 ***
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))6 < 2e-16 ***
## ns(x, df = 8, knots = c(-8, -7, -5, -2, -1, 2.5))7 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.2056 on 193 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9691, Adjusted R-squared: 0.9679
## F-statistic: 863.8 on 7 and 193 DF, p-value: < 2.2e-16Se con un semplice modello di regressione lineare si ottiene un \(R^2_{adj}\) del 0.83%, mentre utilizzando una spline naturale dove sono stati indicati i nodi si ottiene il 0.96%.
Nel grafico seguente viene raffigurata la spline stimata nel chunk precedente, e in aggiunta una spline cubica con 14 nodi e di conseguenza 18 gradi di libertà.
smooth.spline(y = sp$y,x = sp$x,df = 8,nknots = 5)## Call:
## smooth.spline(x = sp$x, y = sp$y, df = 8, nknots = 5)
##
## Smoothing Parameter spar= -1.499937 lambda= 5.015439e-15 (33 iterations)
## Equivalent Degrees of Freedom (Df): 7
## Penalized Criterion (RSS): 30.30561
## GCV: 0.1618511gg +
geom_smooth(method = "lm",
formula = modNs$call[[2]],
aes(color = "Splines naturale"),
fill = "paleturquoise") +
geom_spline(df = 18,
nknots = 14,
aes(color = "18 GdL e 14 nodi"),
size = 1,
alpha = 0.7) +
labs(color = "Tipologia: ") +
scale_color_manual(values = c("Splines naturale" = "paleturquoise",
"18 GdL e 14 nodi" = "orchid"))
Seconda parte
Generazione dati con B-splines
Creo una funzione che avrà il compito di generare dei dati da una spline con determinati input.
genSpline <- function(x, knots, degree, theta) {
basis <- bs(x = x,
knots = knots,
degree = degree,
Boundary.knots = c(0,1),
intercept = T)
ySpline <- basis %*% theta
ySpline = ySpline + rnorm(length(x),0,(sd(ySpline)*.1))
dt <- data.table(x, ySpline = as.vector(ySpline))
return(list(dt = dt, basis = basis, knots = knots))
}Ora genero la spline cubica, prima genero i valori di \(x \sim Unif(-1,1)\) e poi da essi genero i valori di y applicando la funzione sopra definita dando in input i valori x appena generati, i \(\beta\), i nodi fissati e il grado della spline.
x = runif(150,-1,1)
knots = c(-0.7, 0, 0.7)
theta = c(0.7, -0.1, 5, -1.5, 0.1, -0.3, 0.1)
sdata = genSpline(x, knots, 3, theta)## Warning in bs(x = x, knots = knots, degree = degree, Boundary.knots =
## c(0, : alcuni valori 'x' oltre i nodi di confine potrebbero causare basi mal
## condizionategg = ggplot(sdata$dt, aes(y = ySpline, x = x)) +
geom_point()
gg
Stima splines
Di seguito vengono stimate due spline cubiche, nella prima sono fissati i nodi, mentre nella seconda sono fissati i gradi di libertà. Come si può osservare l’\(R^2_{adj}\) è molto elevato in quanto i dati sono stati generati da una spline cubica con le stesse caratteristiche.
modSplKnots = lm(ySpline ~ bs(x,knots = knots), data = sdata$dt)
modSplKnots %>% summary##
## Call:
## lm(formula = ySpline ~ bs(x, knots = knots), data = sdata$dt)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -8.6703 -1.9327 0.0902 1.4643 7.7634
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 105.052 2.047 51.31 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)1 -19.381 2.919 -6.64 6.06e-10 ***
## bs(x, knots = knots)2 -73.197 2.100 -34.85 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)3 -108.058 2.775 -38.94 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)4 -104.001 2.397 -43.39 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)5 -106.322 2.488 -42.74 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)6 -105.707 2.347 -45.05 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.731 on 143 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9912, Adjusted R-squared: 0.9908
## F-statistic: 2689 on 6 and 143 DF, p-value: < 2.2e-16modSplDf = lm(ySpline ~ bs(x,df = (length(knots)+3),intercept = T), data = sdata$dt)
modSplDf %>% summary##
## Call:
## lm(formula = ySpline ~ bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T),
## data = sdata$dt)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -8.5359 -1.8807 0.1463 1.5994 7.8465
##
## Coefficients: (1 not defined because of singularities)
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) -1.324 1.009 -1.312
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)1 106.901 1.821 58.715
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)2 66.558 1.580 42.133
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)3 14.821 1.907 7.774
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)4 -2.775 1.547 -1.793
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)5 2.556 2.070 1.235
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)6 NA NA NA
## Pr(>|t|)
## (Intercept) 0.192
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)1 < 2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)2 < 2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)3 1.33e-12 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)4 0.075 .
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)5 0.219
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)6 NA
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.728 on 144 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9912, Adjusted R-squared: 0.9909
## F-statistic: 3233 on 5 and 144 DF, p-value: < 2.2e-16Le due spline sono molto simili ma se rappresentate nel grafico con i
dati, esse si discostano molto con i dati. Questo errore potrebbe essere
dato da un utlizzo errato dell’intercetta all’interno della funzione
bs(). Nel successivo capitolo viene stimata nuovamente la
spline con una nuova funzione, più specifica e meno generale.
mutate_formula4ggplot = function(grafico, modello)
{
xModificato = str_replace(as.character(modello$call[[2]]),
as.character(grafico$mapping$x[[2]]),
"y")
yModificato = str_replace(xModificato,
as.character(grafico$mapping$y[[2]]),
"x")
newFormula = sprintf("%s ~ %s", yModificato[2], yModificato[3]) %>%
as.formula
return(newFormula)
}
gg +
geom_smooth(method = "lm",
aes(color = "Nodi fissati"),
fill = "paleturquoise",
alpha = 0.15,
formula = modSplKnots$call[[2]]) +
geom_smooth(method = "lm",
aes(color = "GdL fissati"),
fill = "orchid",
alpha = 0.15,
formula = modSplDf$call[[2]]) +
labs(color = "Tipologia: ") +
scale_color_manual(values = c("Nodi fissati" = "paleturquoise",
"GdL fissati" = "orchid"))## Warning: Computation failed in `stat_smooth()`:
## oggetto 'ySpline' non trovato
## Computation failed in `stat_smooth()`:
## oggetto 'ySpline' non trovato
Spline naturale cubica vs spline di lisciamento
Utilizzando una spline naturale cubica il problema persiste. Invece, utilizzando le spline di lisaciamento, esse si adattano graficamente ai dati.
modNsCub = lm(ySpline ~ ns(x,df = 3), data = sdata$dt)
modNsCub %>% summary##
## Call:
## lm(formula = ySpline ~ ns(x, df = 3), data = sdata$dt)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -10.0317 -1.9379 0.0502 1.8036 7.3876
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 100.3209 0.8799 114.01 <2e-16 ***
## ns(x, df = 3)1 -74.1872 1.0031 -73.96 <2e-16 ***
## ns(x, df = 3)2 -178.3537 2.1628 -82.47 <2e-16 ***
## ns(x, df = 3)3 -50.3581 0.7778 -64.74 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.888 on 146 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.99, Adjusted R-squared: 0.9898
## F-statistic: 4803 on 3 and 146 DF, p-value: < 2.2e-16modSmoothSpline = lapply(c(0,0.5,1),
function(l) smooth.spline(sdata$dt$x,
sdata$dt$ySpline,
lambda = l))
gg = gg +
geom_smooth(method = "lm",
aes(color = "Spline naturale cubica"),
formula = modNsCub$call[[2]]) +
geom_smooth(aes(y = modSmoothSpline[[1]]$y,
x = modSmoothSpline[[1]]$x,
color = "Lambda = 0"),
se = T) +
geom_smooth(aes(y = modSmoothSpline[[2]]$y,
x = modSmoothSpline[[2]]$x,
color = "Lambda = 0.5"),
se = T) +
geom_smooth(aes(y = modSmoothSpline[[3]]$y,
x = modSmoothSpline[[3]]$x,
color = "Lambda = 1"),
se = T) +
labs(color = "Tipologia: ") +
scale_color_manual(values = c("Spline naturale cubica" = "paleturquoise",
"Lambda 0" = "orchid",
"Lambda 0.5" = "sky blue",
"Lambda 1" = "orange"))
gg## Warning: Computation failed in `stat_smooth()`:
## oggetto 'ySpline' non trovato## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using method = 'loess' and formula 'y ~ x'
Seconda parte - Nuova versione
La nuova funzione lavora diversamente dalla precedente. In questo caso applica alle \(x\) la formula, utilizzando le basi e i nodi dati in input. La funzione è fatta per lavorare solo su spline cubiche ma con un qualsiasi numero di nodi. Successivamente viene aggiunta anche la componente aleatoria \(\epsilon\).
generazioneSpline = function(x, knots, theta)
{
gdl = min((length(knots)+4), length(theta))
y = theta[1] +
theta[2] * x +
theta [3] * x**2 +
theta [4] * x** 3 +
transmute(sapply(c(1:length(knots)),
function(i) map_dbl(.x = x,
.f = ~ theta [4+i] * (. - knots[i])** 3)) %>% tibble %>% rowwise,
y = sum(c_across()))
y = y$y + rnorm(length(x),0,(sd(y$y)*.1))
return(data.frame(x,y))
}
df = generazioneSpline(x,knots,theta)
gg = ggplot(df, aes(x = x, y = y)) +
geom_point()
gg
Stima splines
Di seguito vengono stimate due spline cubiche, nella prima sono fissati i nodi, mentre nella seconda sono fissati i gradi di libertà. Come si può osservare l’\(R^2_{adj}\) è molto elevato in quanto i dati sono stati generati da una spline cubica con le stesse caratteristiche.
modSplKnots = lm(y ~ bs(x,knots = knots), data = df)
modSplKnots %>% summary##
## Call:
## lm(formula = y ~ bs(x, knots = knots), data = df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.5744 -0.1075 0.0052 0.1197 0.4524
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 7.1416 0.1253 56.993 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)1 -1.4458 0.1787 -8.093 2.29e-13 ***
## bs(x, knots = knots)2 -5.4387 0.1286 -42.306 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)3 -7.1747 0.1699 -42.238 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)4 -5.2954 0.1467 -36.093 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)5 -3.3450 0.1523 -21.968 < 2e-16 ***
## bs(x, knots = knots)6 -2.8452 0.1436 -19.810 < 2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1671 on 143 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.989, Adjusted R-squared: 0.9886
## F-statistic: 2147 on 6 and 143 DF, p-value: < 2.2e-16modSplDf = lm(y ~ bs(x,df = (length(knots)+3),intercept = T), data = df)
modSplDf %>% summary##
## Call:
## lm(formula = y ~ bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T),
## data = df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.58236 -0.10553 0.00336 0.11894 0.46087
##
## Coefficients: (1 not defined because of singularities)
## Estimate Std. Error t value
## (Intercept) 4.32700 0.06178 70.033
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)1 2.81825 0.11148 25.281
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)2 -0.14591 0.09672 -1.509
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)3 -3.83143 0.11674 -32.820
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)4 -3.78791 0.09475 -39.979
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)5 -1.43974 0.12677 -11.358
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)6 NA NA NA
## Pr(>|t|)
## (Intercept) <2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)1 <2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)2 0.134
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)3 <2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)4 <2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)5 <2e-16 ***
## bs(x, df = (length(knots) + 3), intercept = T)6 NA
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.167 on 144 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.989, Adjusted R-squared: 0.9886
## F-statistic: 2579 on 5 and 144 DF, p-value: < 2.2e-16Con la nuova funzione per generare i dati, le spline si adattano perfettamente ai dati.
gg +
geom_smooth(method = "lm",
formula = modSplKnots$call[[2]]) +
geom_smooth(method = "lm",
formula = modSplDf$call[[2]])## Warning in predict.lm(model, newdata = new_data_frame(list(x = xseq)), se.fit =
## se, : previsione da una stima non a rango pieno può essere non corretta
Spline naturale cubica vs spline di lisciamento
modNsCub = lm(y ~ ns(x,df = 3), data = df)
modNsCub %>% summary##
## Call:
## lm(formula = y ~ ns(x, df = 3), data = df)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.61196 -0.12893 0.01094 0.12601 0.60647
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 6.69747 0.05745 116.58 <2e-16 ***
## ns(x, df = 3)1 -4.18028 0.06549 -63.83 <2e-16 ***
## ns(x, df = 3)2 -9.18195 0.14120 -65.03 <2e-16 ***
## ns(x, df = 3)3 1.11854 0.05078 22.03 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.1886 on 146 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9857, Adjusted R-squared: 0.9854
## F-statistic: 3363 on 3 and 146 DF, p-value: < 2.2e-16modSmoothSpline = lapply(c(0,0.5,1),
function(l) smooth.spline(df$x,
df$y,
lambda = l))
gg = gg +
geom_smooth(method = "lm",
formula = modNsCub$call[[2]]) +
geom_smooth(aes(y = modSmoothSpline[[1]]$y, x = modSmoothSpline[[1]]$x),
method = "lm",
se = T) +
geom_smooth(method = "lm",
aes(y = modSmoothSpline[[2]]$y, x = modSmoothSpline[[2]]$x),
se = T) +
geom_smooth(method = "lm",
aes(y = modSmoothSpline[[3]]$y, x = modSmoothSpline[[3]]$x),
se = T)
gg## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
## `geom_smooth()` using formula 'y ~ x'
GAM
gg = ggplot(trees, aes(y = Volume))
gg + geom_point(aes(x = Girth))
gg + geom_point(aes(x = Height))
Modello di regressione lineare multipla
Provo a fare un semplice modello di regressione lineare multipla e osservo che già così ottengo un buon risultato con \(R_{adj}^2\) del 94%.
modGam = list()
modGam[[1]] = gam(Volume ~ Girth + Height, data = trees)
modGam[[1]] %>% summary ##
## Family: gaussian
## Link function: identity
##
## Formula:
## Volume ~ Girth + Height
##
## Parametric coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -57.9877 8.6382 -6.713 2.75e-07 ***
## Girth 4.7082 0.2643 17.816 < 2e-16 ***
## Height 0.3393 0.1302 2.607 0.0145 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
##
## R-sq.(adj) = 0.944 Deviance explained = 94.8%
## GCV = 16.683 Scale est. = 15.069 n = 31Modello additivo generalizzato con spline
ggplot(trees,(aes(y = Volume, x = Girth,z = Height))) +
geom_point() +
geom_smooth(method ="gam",
formula = y ~ ns(x,df = 3))
Modello GAM con interazioni
Osservando il correlogramma si può notare la forte correlazione tra
Volume e Girth, ma allo stesso tempo una forte
correlazione tra Girth e Height.
ggcorrplot::ggcorrplot(corr = cor(trees))
Provo, allora, a includere la correlazione delle variabili indipendenti.
In alternativa si sarebbe potuto ridurre le dimensioni tramite analisi
delle componenti principali. Il modello è migliorato ulteriormente a
quello precedente.
modGam[[2]] = gam(Volume ~ ns(Girth,knots = 1) + ns(Height,df = 3) + ti(Girth,Height) , data = trees)
modGam[[2]] %>% summary##
## Family: gaussian
## Link function: identity
##
## Formula:
## Volume ~ ns(Girth, knots = 1) + ns(Height, df = 3) + ti(Girth,
## Height)
##
## Parametric coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 21.8922 1.8398 11.899 8.61e-12 ***
## ns(Girth, knots = 1)1 7.7421 0.8499 9.109 2.03e-09 ***
## ns(Girth, knots = 1)2 40.5582 1.8520 21.900 < 2e-16 ***
## ns(Height, df = 3)1 9.3073 2.2712 4.098 0.000385 ***
## ns(Height, df = 3)2 13.3017 4.6322 2.872 0.008203 **
## ns(Height, df = 3)3 7.9131 2.1323 3.711 0.001036 **
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Approximate significance of smooth terms:
## edf Ref.df F p-value
## ti(Girth,Height) 1 1 24.87 3.98e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Rank: 21/22
## R-sq.(adj) = 0.972 Deviance explained = 97.7%
## GCV = 9.2299 Scale est. = 7.4435 n = 31# plot.gam(modGam[[2]])
# ggplot(predict.gam(modGam[[2]]), aes(y = f1, x = x2, z = fit)) + geom_raster(fill = fit)Selezione del modello migliore tramite ANOVA
Nella tabella seguente sono rappresentati gli \(R_{adj}^2\) di diversi modelli. Le righe
corrispondono ai gradi di libertà per la spline della variabile
Height, mentre per le colonne la variabile
Girth.
gradoMax = 6
modelli = lapply(X = c(1:gradoMax), function(grGir) lapply(X = c(1:gradoMax),
function(grHei) gam(Volume ~ ns(Girth,df = grGir) + ns(Height,df = grHei) + ti(Girth,Height), data = trees)))
rDf = map_dfc(c(1:gradoMax),function(grGir)
sapply(c(1:gradoMax),function(grHei)
summary(modelli[[grGir]][[grHei]])$r.sq))## New names:
## • `` -> `...1`
## • `` -> `...2`
## • `` -> `...3`
## • `` -> `...4`
## • `` -> `...5`
## • `` -> `...6`names(rDf) = paste(c(1:gradoMax),"GdL of Girth")
rDfdo.call(anova.gam,c(modelli[[1]],test = "F"))Nella tabella seguente è stata applicata l’analisi della varianza
(ANOVA), utilizzando la statistica F, ai modelli precedentemente
generati. Il modello migliore utilizzando l’ANOVA risulta essere il
modello con 1 GdL per la spline della variabile Girth e 3
GdL per la variabile Volume.
anovaDf = map_dfc(c(1:gradoMax),function(var) do.call(anova,c(modelli[[var]], test = "F"))$F)## New names:
## • `` -> `...1`
## • `` -> `...2`
## • `` -> `...3`
## • `` -> `...4`
## • `` -> `...5`
## • `` -> `...6`names(anovaDf) = paste(c(1:gradoMax),"GdL of Girth")
anovaDf