Variables aleatorias discretas

variable <- c(1, 2, 3, 4)
prob <- c(3/13, 5/13, 3/13, 2/13)
prob.acumulada <- cumsum(prob)
datos <- data.frame(variable, prob, prob.acumulada)

Si seleccionamos a una persona del grupo al azar:

¿Cuál es la probabilidad de que viva una persona en casa?

datos$prob[1]
## [1] 0.2307692

¿Cuál es la probabilidad de que la persona mencione que en su casa viven de 2 a 3 personas?

opción 1

datos$prob[2]+datos$prob[3]
## [1] 0.6153846

opción 2 tidyverse

library(tidyverse)
## ── Attaching packages ─────────────────────────────────────── tidyverse 1.3.2 ──
## ✔ ggplot2 3.3.6      ✔ purrr   0.3.4 
## ✔ tibble  3.1.8      ✔ dplyr   1.0.10
## ✔ tidyr   1.2.0      ✔ stringr 1.4.1 
## ✔ readr   2.1.2      ✔ forcats 0.5.2 
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
datos %>% 
  filter(variable == 2 | variable == 3) %>% 
  summarise(probabilidad = sum(prob))
##   probabilidad
## 1    0.6153846

opción 3: que a la probabilidad acumulada de 3, le reste el segmento de 1

datos$prob.acumulada[3]-datos$prob[1]
## [1] 0.6153846

¿Cuál es la probabilidad de que al menos vivan 3 personas?

datos$prob[3]+datos$prob[4]
## [1] 0.3846154
1-datos$prob.acumulada[2]
## [1] 0.3846154

¿Cuál es la probabilidad de que vivan 2 personas o menos?

datos$prob.acumulada[2]
## [1] 0.6153846

Podemos graficar nuestra variable aleatoria.

datos %>% 
  ggplot(aes(x=variable, y=prob)) +
  geom_col(fill="darkgrey") +
  theme_minimal()+
  labs(title="Distribución de variable aleatoria",
       x="Número de personas en casa",
       y="Probabilidad")+
  theme(plot.title = element_text(face="bold",hjust=0.5))

Simulación: El comando runif() constituye una de las herramientas fundamentales para trabajar en este contexto. Veamos un ejemplo en R:

set.seed(123456789) # Establecemos una 'semilla' aleatoria fija, 
runif(1) # Me devuelve un número aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo [0,1]
## [1] 0.6931757
runif(5) # Me devuelve 5 números aleatorio uniformemente distribuido en el intervalo [0,1]
## [1] 0.6728810 0.6539017 0.7189891 0.9215446 0.8990997
runif(5, min = 10, max = 20)# Me devuelve 5 numeros aleatorios 
## [1] 12.35048 19.30999 12.68170 14.53307 10.59071

Combinaciones y permutaciones

#install.packages("gtools") #para permutaciones y combinaciones
library(gtools)
## Warning: package 'gtools' was built under R version 4.2.2
N <- 100 #estudiantes
r <- 2 #grupos de 2 en 2
alumnos <- c(1:N) #los alumnos con un id consecutivo

¿Cuántas combinaciones de 2 alumnos en un grupo de 100 puedo hacer?

combinaciones <- combinations(N, r, alumnos)

nrow(combinaciones)
## [1] 4950
factorial(N)/(factorial(r)*(factorial(N-r)))
## [1] 4950

Permutaciones

permutaciones <- permutations(N, r, alumnos)

nrow(permutaciones)
## [1] 9900

Distribución binomial

R tiene 4 funciones para el cálculo de una distribución binomial:

dbinom(x, size, prob, log = F): nos da los resultados de la función de densidad

pbinom(q, size, prob, lower.tail = T, log.p = F): nos da los resultados de la función de distribución acumulada

qbinom(p, size, prob, lower.tail = T, log.p = F): nos da los cuantiles

rbinom(n, size, prob): nos da un vector de valores binomiales aleatorios

x, q: Vector de cuantiles.

p: Vector de probabilidades.

n: Número de observaciones

size: Números de ensayos(debe ser cero o más).

prob: Probabilidad de éxito en cada ensayo.

log, log.p: Parámetro booleano, si es TRUE, las probabilidades p se ofrecen como log(p).

lower.tail: Parámetro booleano, si es TRUE (por defecto), las probabilidades son P[X < x], de lo contrario, P [X > x].

Ejercicios:

Queremos tirar un dado 7 veces y contar cuantas veces obtenemos el número de 5. Variable aleatoria: número de cincos

¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 cincos?

n<- 7
x<- 3
p<- 1/6 
  
dbinom(x, n, p)
## [1] 0.07814286

¿Cuál es la probabilidad de obtener menos o igual de 2 cincos en 7 intentos? procedemos igual que el apartado anterior, pero esta vez, especificamos todos los casos posibles: 2 cincos, 1 cinco o 0 cincos.

n<- 7
x<- c(2, 1, 0)
p<- 1/6 


dbinom(x, n, p)
## [1] 0.2344286 0.3907143 0.2790816

Nos devuelve las probabilidades de los eventos: 2 1 0 respectivamente, as que

si queremos la probabilidad total, empleamos la función suma:

sum(dbinom(x, n, p))
## [1] 0.9042245

También lo podemos sacar con pbinom

pbinom(2, n, p)
## [1] 0.9042245

Ahora bien, si se quiere ver qué conjunto formado por los valores más pequeños posibles de la variable X, que tengan una probabilidad de ocurrir, por ejemplo, en torno al 90%, procedemos tal y como sigue:

qbinom(0.90, n, p)
## [1] 2

Esto indica que para una probabilidad del 90%, el número mínimo de cincos que aparecer en de siete tiradas de un dado, serán 2

Suponga que hay doce preguntas de opción múltiple en un examen de matemáticas. Cada pregunta tiene cinco posibles respuestas, y sólo una de ellas es correcta. Encuentre la probabilidad de tener cuatro o menos respuestas correctas si un estudiante intenta responder a cada pregunta al azar.

p <- 1/5
n<-12
k <- 4

pbinom(4, 12, 1/5)
## [1] 0.9274445

La probabilidad de que cuatro o menos preguntas sean contestadas correctamente al azar en un cuestionario de opción múltiple de doce preguntas es del 92,7%.

Cuál es la probabilidad de que 2 o 3 preguntas sean respondidas correctamente?

dbinom(c(2,3), 12, 0.2)
## [1] 0.2834678 0.2362232
sum(dbinom(2:3,12, 0.2))
## [1] 0.519691
pbinom(2:3, 12, 0.2)
## [1] 0.5583457 0.7945689

Distribución Poisson

La función dpois calcula valores de la función masa de probabilidad de una distribución de Poisson. Sus argumentos son:

dpois(x, lambda)

donde:

x: es el valor (o los valores) de la variable para el cual (o los cuales) queremos calcular la función masa de probabilidad lambda: es el parómetro que define la distribución de Poisson.

La función ppois se utiliza para calcular valores de la función de distribución (esto es, probabilidades acumuladas) de una variable con distribución de Poisson. Sus argumentos son:

ppois(q, lambda)

donde:

q: es el valor (o los valores) de la variable en el cual (o los cuales) queremos calcular la función de distribución lambda: el parámetro que identifica la distribución.

La función qpois se utiliza para calcular los valores de los cuantiles de una distribución de Poisson, es decir, los valores de la variable con distribución de Poisson que dejan a su izquierda una determinada proporción de observaciones.
Los argumentos de esta función son:

qpois(p, lambda)

donde:

p: es la proporción de observaciones que dejará a su izquierda el cuantil en cuestión (es decir, el orden de dicho cuantil) lambda: el parámetro de la distribución de Poisson.

La función rpois se utiliza para generar valores aleatorios de una distribución de Poisson y sus argumentos son:

rpois(n, lambda)

donde:

n: es el número de elementos aleatorios a generar lambda: el parámetro que define la distribución de Poisson.

El número promedio de personas enfermas que entran cada 10 minutos en un centro sanitario entre las 10am y las 3pm es 1.8. Suponiendo que dicho número de enfermos sigue una distribución de Poisson.

Calcular la probabilidad de que entre las 12 y 12:10

Ningún enfermo

lamda<- 1.8
x<- 0
dpois(x, lamda)
## [1] 0.1652989

Exactamente 2 enfermos

dpois(2, 1.8)
## [1] 0.2677842

Más de 8 enfermos

ppois(8, 1.8, lower.tail = FALSE)
## [1] 0.0001097446

Distribución normal

dnorm devuelve el valor de la función de densidad en un punto (o puntos) determinado. Los argumentos de esta función:

dnorm(x, mean = 0, sd = 1)

siendo:

x: es el valor (o los valores) de la variable para el cual (o los cuales) queremos calcular la función de densidad mean: es la media de la variable sd: la desviación est?ndar de la variable.

Las funciones pnorm, qnorm y rnorm se comportan de forma similar a sus equivalentes para las variables discretas y devuelven valores de la función de distribución, cuantiles y valores aleatorios de una distribución normal, respectivamente. Sus argumentos son los siguientes:

pnorm(q, mean = 0, sd = 1)

qnorm(p, mean = 0, sd = 1)

rnorm(n, mean = 0, sd = 1)

siendo:

q: el valor (o valores) para el cual (o los cuales) queremos calcular la función de distribución p: el orden del cuantil que queremos obtener n: el número de valores aleatorios a generar mean y sd: los dos parámetros que identifican a la distribución Normal.

Ejercicio: el ingreso promedio (x) de profesionistas ocupados en México es de 6,252 con una desviación estándar de 2500 pesos. El ingreso es una variable aleatoria que se distribuye de manera normal.

Cuál es la probabilidad de ganar exactamente 7000

dnorm(7000, 6252, 2500)
## [1] 0.0001525917

Cuál es la probabilidad de ganar entre 6000 y 9000

pnorm(c(9000, 6000), mean = 6252, sd = 2500)
## [1] 0.8641596 0.4598546
0.8641596-0.4598546
## [1] 0.404305

Cuál es la probabilidad de que el ingreso sea más de 8000

1-pnorm(8000, mean = 6252, sd = 2000)
## [1] 0.1910591

La probabilidad de que el ingreso sea menor a 5000

pnorm(5000, mean = 6252, sd = 2000)
## [1] 0.2656575

El ingreso del 1% más rico

qnorm(0.99, mean = 6252, sd = 2000)
## [1] 10904.7

El ingreso de una muestra aleatoria de 1000 personas

rnorm(1000, mean = 6252, sd = 2000)
##    [1]  8303.1402  4171.4323  4951.7033  2640.2823  7322.0955  6873.2989
##    [7]  2545.2734  8477.2044  5918.5309  7872.7992  6734.9109  7865.2449
##   [13]  4477.5786  5998.2162  6164.3661  6878.1000  8265.4584  7251.0734
##   [19]  4568.8261   119.4474  7598.4259  5006.5867  4112.8159  5180.8796
##   [25]  7025.9301 11828.6025  2614.9477  4967.8690  9194.4336  7642.4997
##   [31]  6364.8882  8030.7606  5765.8034  7467.3034  6279.8696  7873.8066
##   [37]  3007.4317  6586.7673  6481.4731  6634.5216  9508.5335  7167.2106
##   [43]  5709.4892  6088.6119  3052.2470  7850.8445  6135.2421  4372.8052
##   [49]  4624.1542  5182.5441  5134.3769  6090.9236  5356.5259  5422.6361
##   [55]  4974.7689  4988.0453  8282.1050 11288.3224  1942.7575  7329.4245
##   [61]  6234.3840  3244.8406  5526.6487  6755.8423  8601.6881  8442.6005
##   [67]  4097.6866  4908.7910  2490.6441  5642.1901  4797.5398  6569.8349
##   [73]  6867.5889  6299.4361  4073.4550  1612.8043  7713.6073  3538.9627
##   [79]  8445.1070  4243.5274  5155.0889  3997.6264  3186.3022  5838.1433
##   [85]  6176.5536  3551.6698  3783.0220  2269.9621  4554.7307  6010.2934
##   [91]  4702.1201  5413.1758  5680.9402  4214.2865  6720.8663  6134.4437
##   [97]  6956.9640  3748.4580  7125.3579  7587.8377  6926.2224  8363.7990
##  [103]  7264.2797  9977.3099  3882.5627  5073.7690  6991.2922  7730.7551
##  [109]  4522.8858  4735.2657  2292.7145  6079.2709  8074.6815  6571.1911
##  [115]  9126.9190  7161.5077  4233.1088  6305.7069  4973.3762  6300.9911
##  [121]  8499.9597  7306.9603  7986.4939  4982.4708  6072.8468  5505.2387
##  [127]  7227.2744  8862.2679  5955.8968  6488.6645  6773.7633  7713.5692
##  [133]  6276.7101  6474.9932  5913.8213  4616.4858  6419.8281   740.2008
##  [139]  5552.2694  3477.9362  2411.7169  8273.0945  5359.5953  7163.3594
##  [145]  7434.3285  6688.3301  4412.0557  4714.7497  5006.1205  5749.2193
##  [151]  6973.9436  7117.5781  4415.8737  5630.7401  8771.2333  7640.5565
##  [157]  6043.6793  7623.0468  6841.6221  5796.6868  6417.4474  7924.5286
##  [163]  4021.6798  5572.7849  5296.1522  3771.4147  1372.4730  7196.3195
##  [169]  4302.1728  5007.2080  6594.5695  9316.2726  5761.3357  6477.7632
##  [175]  8825.1011  6653.7702  7759.4342  5863.5968  4505.9129  7286.0879
##  [181]  4098.0052  6304.6401  3742.1251  6790.0985  8401.5821  3121.8810
##  [187]  4140.8261  4578.0152  5818.0543  4756.3268  7318.1363  7610.6099
##  [193]  5405.0305  4693.5056  6891.0618  6859.0130  5499.7743  5450.0866
##  [199]  6823.2009  5771.6488  5139.8232   933.4155  7057.3023  6172.6556
##  [205]  6412.7299  3431.1512  5565.2145  3677.7782  4589.8958  7040.6336
##  [211]  7461.8712  6076.6673  6010.7439  3842.2756  7929.8068  9397.8321
##  [217]  8437.1874  7472.7846  8364.8638  5653.4491  7577.4024  4538.2409
##  [223]  8769.6483  4844.6524  5086.6600  8446.4201  5603.1435  8454.6493
##  [229]  8478.2720  4833.7904  4631.1553  7748.0785  4271.1100  4062.9180
##  [235]  1192.6984  8020.4864  5042.7986  7942.6207  5706.3422  6117.5808
##  [241]  6180.2527  7102.0692  6944.2536  5526.9471  4675.3767  6339.2851
##  [247]  8103.4507  3239.6576  8763.4810  6154.5585  6600.4505  6295.4730
##  [253]  4648.0779  5387.6392  4796.0611  4725.3177  9203.8602  8959.0978
##  [259]  4890.7210  8911.1212  5446.0719  7600.2185  5460.4380  7302.0953
##  [265]  5622.3452  3644.0276  7044.0511  7272.4670  7196.2995  9226.6051
##  [271]  7694.4672  7691.6698  7422.8718  9512.5886 11327.3112  5389.1482
##  [277]  5937.9691  6895.5792  8244.2796  9165.3633  5381.0081  5432.5442
##  [283]  3868.8830  4982.4533  5412.3734  -959.1039  2781.3076  2201.1580
##  [289]  4735.9436  7488.6174  4305.0568  6814.2368  6399.0521  4355.6581
##  [295]  9414.8496  8412.3672  5599.0769  5678.5260  3336.6020  4102.2890
##  [301]  7751.2332  4520.6115  6749.6009  4171.2447  7624.8344  6156.7083
##  [307]  5943.6227  1304.9244  7206.6950  6967.9342  8692.1133  9828.7063
##  [313]  5880.9279  1579.1509  8635.1737  4198.1304  3826.9227  8188.2659
##  [319]  5561.3745  8673.4872 10537.0442  5138.7450  7175.3686  8292.2128
##  [325]  5610.6683  4062.9967  2957.9157  7676.7562  6544.9656  6094.6663
##  [331]  7960.7194  7748.4146  4645.1852  7524.7641  6326.7138  4631.4312
##  [337]  5533.5960  2653.6396  8162.6461  5190.6165  5989.3802  6282.1305
##  [343]  8260.4452  5417.6907  7029.0040  6472.9354  6626.3993  5013.5581
##  [349]  5158.0983  4686.0637  9005.7317  7191.4676  4345.6284  6702.0722
##  [355]  3219.7280  7569.2693  2805.8830  5957.8369  5594.7420  8755.8927
##  [361]  4973.2782  5681.9617  3452.5011  4734.9894 10382.1302  5654.5293
##  [367]  2846.0737  4945.8191  6978.6840 10959.6671  4553.2798  5436.7395
##  [373]  8395.7864  8420.5422  6223.4839  9489.8571  6224.7814  6720.6890
##  [379]  3978.2715  2942.8170  8221.8896  7741.3221  5046.6056 10238.1247
##  [385]  9324.2931  3403.8539  7380.9777  7220.7266   206.8146  2431.2699
##  [391]  2700.1381  5658.2394  5705.7259  4196.1936  3235.9113  3448.3691
##  [397]  5116.3734  4625.3830  3506.6700  2592.8999  5447.2674  5820.3257
##  [403]  4601.5274  7613.9270  7154.0751  4059.7802  6744.1660  7602.0941
##  [409]   931.5404  4594.5725  6545.4148  7056.1112  6544.8518  9239.5607
##  [415]  6512.9628  3646.3722  3940.3037  8134.4824  6321.8839  5519.3691
##  [421]  4858.2073  6841.7855  3188.1415 11621.5535  8543.1945  8870.2181
##  [427]  7385.8534  5631.5194 10815.7945  6121.1625  5336.4568  7014.8932
##  [433]  8401.9541  3102.9433 11363.8854  5702.1562 11338.3119  4584.9876
##  [439]  6253.7371  7383.0377  7170.3291  7977.4017  8051.4730  3812.6084
##  [445]  9176.1529  9034.8375  8424.8936  7312.6628  7677.0779  6054.6969
##  [451] 11106.0531  9148.7285  4380.2615  7087.7969  7440.8533  6548.9336
##  [457]  7246.4127  5342.0091  9691.1300  7763.3903  5268.6895  7312.8252
##  [463]  3127.1515  6795.1830  6093.3949  7686.1255  5101.6708  4852.8568
##  [469]  5453.4656  6233.3602  4336.9402  7541.0583  7208.4047  7848.3498
##  [475]  2785.1852  5087.2472  8686.0422  6181.1540  2092.2303  8176.9268
##  [481]  5165.6514  4465.3678  7739.7226  3358.2758  3779.8176  6504.1024
##  [487]  5312.9281  7387.0018  7493.8732  4523.2118  7429.6975  7249.1291
##  [493]  7077.2503  4804.8657  4671.1524  7507.2157  7316.4854  5766.5076
##  [499]  7128.7757  3372.4051  7901.4339  6684.6606  8810.3816  8780.1511
##  [505]  4562.7098  7769.9096  5568.3863  6220.5734  3697.0340  6433.7569
##  [511]  4636.7969  5804.3721  6363.1773  5040.0574  6484.1310  5229.8184
##  [517]  6078.6724  4390.0651  4912.1629  7846.1174  4392.5360  3077.9866
##  [523]  5332.1862  8020.7803  3467.6259  8394.4359  5915.2643  7390.1695
##  [529]  5093.6535  7513.3987  3995.6031  9945.3734  7615.5347  6216.9906
##  [535]  7914.4748  5492.3583  6490.5699  7645.1059  8958.7151  9881.0433
##  [541]  5183.8496  7444.5738  6179.9584  5337.5776  4565.4251  5169.3348
##  [547]  6292.9943  8505.7340  6208.4898  6480.0499  7055.6840  7444.6222
##  [553]  9436.2147  7752.3410  4701.9469  1909.1167  5009.3712  9290.7423
##  [559]  7574.8233  9106.0616  4221.1090  4633.9889  6763.2457  6537.3417
##  [565]  5507.9128 10547.9150  9662.9821  7107.0695  8031.5919  9933.2358
##  [571]  6590.3311  5307.8889  5458.8757  6096.6776  5444.9038  7427.0559
##  [577]  7595.0453  9891.8156  7802.8961  4805.8340  4522.7899  8738.4944
##  [583]  5088.2132 10399.3009  6894.3642  2880.0262  4599.7118  4988.5972
##  [589]  4371.1704  6523.1712  6705.1144  5174.5125  6815.0204  5569.8466
##  [595]  3342.4976  3317.9175  4446.6729  5130.8022  7329.0933  6833.1965
##  [601]  6939.9838  6375.1210  9446.5187  7465.4569  2426.8956  5945.2964
##  [607]  6330.1242  4936.4694  6842.8515  6257.2014  4128.7454  5445.6720
##  [613]  4478.6123  3053.6042  7419.1557  8054.4857  8813.2834  6645.6911
##  [619]  7318.8905  3710.2316 10938.3933  4673.0956  5109.9679  5896.7580
##  [625]  6475.7676  6924.3780  5204.0690  5982.1058 10757.6928  8958.7867
##  [631]  6257.5016  8015.3878  5848.8789  5046.3838  8814.8653  7437.9427
##  [637]  4723.4291  5909.4795  8517.1115  7134.2202  4547.7820  7717.0099
##  [643]  4382.2284  6427.1884  7915.8079  6328.5390  8416.3784  7892.8081
##  [649]  1694.3072  6482.9080  4062.0753  6587.8936  2687.4571  5808.0605
##  [655] 10785.1079  8901.1282  8403.6389  7839.6800  4322.5350  8463.4904
##  [661]  6409.6559  6108.5659  4632.4877  5898.4610  5612.9356  6394.9901
##  [667]  7488.5191  8655.2667  8277.5519  3684.1489  5737.0250  6149.5957
##  [673]  1662.5357  7731.9741  8138.5407  7566.6862  3506.2574  5148.6962
##  [679]  5187.1172  5916.6623  6233.4331  6999.6678  6603.6899  4483.1879
##  [685]  8102.2443  1383.8015  3877.9507  3735.3398  4459.9726  7823.4721
##  [691]  5466.2171  4228.6397  6297.7978  6840.5462  3503.1343  5293.2782
##  [697]  7248.2268  3589.2051  7757.5803  4841.4087  7655.6426  8608.2983
##  [703]  7307.7316  6973.4791  5811.8264  3877.5415  2344.7532  7639.2789
##  [709]  5569.8323  7327.8080  8432.6182  8051.4944  5756.7708  7770.8532
##  [715]  3579.8933  8273.3837  6664.2804  5199.0838  2422.5157  7529.4238
##  [721]  8876.8234  6516.8784  7265.7082  4971.5112  6690.8428  8358.2406
##  [727]  7058.2564  5679.5870  7275.1145  4142.9667  6673.1044  8977.1078
##  [733]  6718.4901  9514.4648  9430.3773  5713.1666 11607.6064  6578.1095
##  [739]  7484.6386  5923.5093 10309.0694  8866.9143  5139.7035  5598.6204
##  [745]  6711.8138  1070.8965  5944.2379  6065.1215  8378.0335  8175.9891
##  [751]  5449.0836  8914.7665  3844.2632  6003.3364  5128.1207  4320.9535
##  [757]  7069.8692  7057.6214  6855.7374  5244.2762  7171.4152  9177.6416
##  [763]  4756.9227  8076.2815  6370.5606  7526.9065  6622.5131  2707.2339
##  [769]  4040.6783  6307.4511  7039.3000  7774.3269  8750.4144  4254.4213
##  [775]  5345.5556  7680.0392  3736.2052  7459.4692  4649.9408  2651.8106
##  [781]  5895.4067  8240.2766 11177.4720  4239.5526  7065.4075  8877.1106
##  [787]  6355.8699  5041.7169  6137.4554  9372.3390  7388.3258  7188.9199
##  [793]  9286.3396  3973.6425  6100.4157  6607.6688  3667.6627  7296.3754
##  [799]  8045.9583  7959.8257  4351.1582  6571.1386  3855.9342  5770.5875
##  [805]  3634.9604  6241.8628 12118.7373  7250.8995  5684.2682  4784.1061
##  [811]  8863.5037  3570.8872  5792.5840  7017.9335 11341.4915  4367.5977
##  [817]  4831.1137  7170.8425  6290.0060  9393.2229  9112.1192  8063.2203
##  [823]  5891.5804  5362.1881  5105.1645  9937.4143  3187.5334  5828.9739
##  [829]  9303.4427  6977.9306  5325.1431  6339.5970  2658.1983  4212.0678
##  [835]  8612.1723  3760.7482  5733.0333  2191.6201  4774.2021  6412.9619
##  [841] 10869.9597  7281.3824  3439.3680  6827.2931  3458.6384  8929.8614
##  [847]  8730.7842  7018.3678  9120.2410  6000.3962  5733.0674  3530.7152
##  [853]  2498.9624  6335.1031  5797.2974  5638.9414  4230.3699  6425.8597
##  [859]  6444.9851  3686.5538  5761.6596  5918.3292  7275.4559  8713.7036
##  [865]  3788.8740  5714.5719 10069.1074  4406.0396  6184.8918  7056.9041
##  [871]  8731.9130  7468.8580  8403.6472  7008.3432   794.7266  6898.8634
##  [877]  5526.8275  8956.0841  9420.0754  4718.5857  6880.7300  7268.6580
##  [883]  2936.5734  9300.0595  7864.7173  5704.2547  6193.9594  4550.1139
##  [889]  5263.9399  8649.2818  4196.9757  8006.4880  6495.5733  6858.0829
##  [895]  4669.1849  8672.0664  4055.7632  7479.8390  4173.2945  7409.8746
##  [901]  6544.1344  6051.5828  5793.9158  6921.6783  4516.7583  7605.2625
##  [907]  4315.4782  5480.3308  8131.2048  6449.3463  5578.5753  7922.8433
##  [913]  6851.3845  3943.8233  5492.8103  6314.7698  6110.0523  1479.3954
##  [919]  6189.9588  5415.0012  1390.4541  7218.3432  5636.2742  6965.7520
##  [925]  3731.1502  8479.9314  6289.1480  9435.8686  4851.8801  4497.9406
##  [931]  8676.1323  9611.6229  7120.8861  6180.1511  5402.0894  8925.5073
##  [937]  5307.4912  6627.5670  6941.2941  4983.5307 11092.2775  3381.2548
##  [943] 10814.2588  7538.4958  6551.7511  5041.4215  4122.1632  6367.3960
##  [949]  5700.7214  4958.1154  8948.6713 10382.1795  8492.7536  5622.7736
##  [955]  5378.8602  7546.6096  5113.8421  8170.7678  8746.5150  7284.1343
##  [961]  5339.3518   383.5550  6123.3545  9155.4201  9260.6833 10006.3203
##  [967]  7140.3204  8287.6561  5879.1372  7336.6496 10005.1594  6246.9001
##  [973]  8691.1101  2663.6938  7306.0685  6246.1719  6424.0568  7282.4717
##  [979]  8058.2931  9291.5786  8446.4587  7711.4421  4158.4032 10160.6941
##  [985]  4843.1649  3891.9525  4880.4572  7164.1366  5942.3913  6442.0729
##  [991]  7586.3316  7317.5900  7526.0386  4558.1098  5169.6165  2489.8813
##  [997]  7598.4128  5829.5986  6506.6533  7086.3374

T de student

Funciones dt - densidad pt - distribution acumulada qt - quantile function rt - generador de numeros aleatorios

dt(x=2, df= 15)
## [1] 0.05920773
pt(q=2, df= 15)
## [1] 0.9680275

Para calcular el valor de t de Student. Declaramos los valores

mu<- 16
xbarra <- 20
s <- 2
n <- 15

Aplicamos la fórmula

numerador <- xbarra-mu
denominador <- s/sqrt(n)
t<- numerador/denominador
t
## [1] 7.745967

Ley de los grandes números

set.seed(123)

Una semilla aleatoria (o estado de semilla, o semilla) es un número (o vector) utilizado para inicializar un generador de números pseudoaleatorios.

n<-c(10,50,100,200,500,1000,2000,3000,4000,5000,6000,7000,8000,9000,10000)
#un vector [1:15]
i<-1
#desde donde empieza
means<-NULL
#declaramos el objeto para luego incoroporarlo a la función

Como ya vimos en la distribución binomial: rbinom (# observations, # trails/observation, probability of success )

Para cada número i desde 1 hasta n, simula una distribución de tamaño n, media 0.5 y desviación estándar 1.

for(i in 1:length(n)){
  simula<-rbinom(n[i],1,0.5)
  means<-c(means,mean(simula))
}
plot(cbind(n,means),type = "l")
abline(h = 0.5,col="red")

Teorema del Límite Central

Ejemplo de los dados Sabemos que un dado tiene un promedio de 3.5 Supongamos que lanzamos el dado 10000 veces y graficamos la frecuencia de cada resultado

resultado <- sample(1:6, 10000, replace=T)
hist(resultado, col="light blue")
abline(v=3.5, col="red", lty=1)

Vamos a sacar muestras de tamaño 10 de las 10000 observaciones anteriores. Haremos este ejercicio k veces, k=10000

x10 <- c() #declaramos un vector
k<- 10000

Para cada valor i desde 1 hasta k, obten una muestra de tamaño 10. Calcula la media y grafica

for ( i in 1:k) {
  x10[i] = mean(sample(1:6,10, replace = TRUE))}
hist(x10, col ="pink", main="Sample size =10",xlab ="Outcome of die roll")
abline(v = mean(x10), col = "Red")
abline(v = 3.5, col = "blue")

Si n tiende a infitnito, podemos obtener una distribución normal por el TLC

x30 <- c()
x100 <- c()
x1000 <- c()
k =10000
for ( i in 1:k){
  x30[i] = mean(sample(1:6,30, replace = TRUE))
  x100[i] = mean(sample(1:6,100, replace = TRUE))
  x1000[i] = mean(sample(1:6,1000, replace = TRUE))
}
par(mfrow=c(1,3))
hist(x30, col ="green",main="n=30",xlab ="die roll")
abline(v = mean(x30), col = "blue")

hist(x100, col ="light blue", main="n=100",xlab ="die roll")
abline(v = mean(x100), col = "red")

hist(x1000, col ="orange",main="n=1000",xlab ="die roll")
abline(v = mean(x1000), col = "red")

Tutoriales recomendados: https://rstudio-pubs-static.s3.amazonaws.com/456645_107fa2aa82de4b1da6c78c418bab9fe9.html https://bookdown.org/gabriel_butler/ECON41Labs/tutorial-5-the-poisson-distribution.html#the-poisson-distribution-in-r http://estadistica-dma.ulpgc.es/cursoR4ULPGC/10-distribProbabilidad.html#ejemplo2:_distribuci%C3%B3n_normal https://rpubs.com/hllinas/MgEst_Estimacion_teoriaR https://rpubs.com/bogotan/TLC https://rpubs.com/ranjeetapegu/Central-Limit-Theorem