Bab 5 Pemodelan dengan kombinasi linier
5.1 Aljabar linier Perhitungan untuk melakukan operasi aljabar linier termasuk yang paling penting dalam sains. Sangat penting bahwa unit yang digunakan untuk mengukur kinerja komputer untuk perhitungan ilmiah disebut “gagal”, singkatan dari “operasi titik mengambang” dan didefinisikan dalam perhitungan aljabar linier.
Bagi Anda, masalah dengan menggunakan komputer untuk melakukan aljabar linier terutama bagaimana mengatur masalah sehingga komputer dapat menyelesaikannya. Notasi yang akan kita gunakan telah dipilih secara khusus untuk berhubungan dengan jenis masalah yang akan Anda gunakan aljabar linier: menyesuaikan model dengan data. Ini berarti bahwa notasi akan sangat kompak.
Operasi aljabar linier dasar yang penting adalah:
Proyeksikan satu vektor ke ruang yang ditentukan oleh sekumpulan vektor. Buat kombinasi linier vektor. Dalam melakukan operasi ini, Anda akan menggunakan dua fungsi utama, project( )dan mat( ), bersama dengan operasi perkalian dan penjumlahan biasa +. Ada juga jenis operasi baru yang menyediakan deskripsi ringkas untuk mengambil kombinasi linier: “perkalian matriks”, ditulis %%.
Pada akhir ;essi ini, Anda akan merasa nyaman dengan kedua fungsi tersebut dan bentuk baru perkalian %*%.
Untuk memulai, perhatikan jenis soal aljabar linier yang sering disajikan dalam buku teks dalam bentuk persamaan linier simultan. Contoh: \[\begin{array}{rcrcr} x & + & 5 y & = &1\\ 2x & + & -2 y & = &1\\ 4x & + & 0 y & = & 1\\ \end {Himpunan} .\]
Berpikir dalam bentuk vektor, persamaan ini dapat ditulis ulang sebagai \[ x \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array}\right) + y \left(\begin {array}{r}5\\-2\\0\end{array}\kanan) = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) . \]
Memecahkan persamaan vektor ini melibatkan proyeksi vektor \(\vec{b} = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right)\) ke ruang yang ditentukan oleh dua vektor \(\vec{v}_1 = \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array}\right)\) dan \(\vec{v}_2 = \ kiri(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right)\) . Solusinya, \(x\) dan \(y\) akan menjadi jumlah kelipatan dari masing-masing vektor yang diperlukan untuk mencapai vektor yang diproyeksikan.
Saat mengatur ini dengan notasi R yang akan Anda gunakan, Anda perlu membuat masing-masing vektor \(\vec{b}, \vec{v}_1\) , dan \(\vec{v}_2\) . Begini caranya:
Proyeksi dilakukan dengan menggunakan project()fungsi:
## v1 v2
## 0.32894737 0.09210526Baca ini sebagai “proyek \(\vec{b}\) ke subruang yang ditentukan oleh \(\vec{v}_1\) dan \(\vec{v}_1\) .
Jawaban diberikan dalam bentuk pengali pada \(\vec{v}_1\) dan \(\vec{v}_2\) , yaitu nilai \(x\) dan \(y\) dalam masalah aslinya. Jawaban ini adalah “terbaik” dalam arti bahwa nilai khusus untuk \(x\) dan \(y\) ini adalah yang paling mendekati \(\vec{b}\) , yaitu kombinasi linier yang memberikan proyeksi \(\vec{b}\) ke subruang yang ditentukan oleh \(\vec{v}_1\) dan \(\vec{v}_2\) .
Jika Anda ingin melihat apa proyeksi itu, kalikan saja koefisien dengan vektor dan jumlahkan. Dengan kata lain, ambil kombinasi linier
## [1] 0.7894737 0.4736842 1.3157895Ketika ada banyak vektor yang terlibat dalam kombinasi linier, akan lebih mudah untuk dapat merujuk semuanya dengan satu nama objek. Fungsi mat( )mengambil vektor dan mengemasnya menjadi matriks. Ini berfungsi seperti project( ), tetapi tidak melibatkan vektor yang diproyeksikan ke subruang. Seperti ini:
## v1 v2
## [1,] 1 5
## [2,] 2 -2
## [3,] 4 0Perhatikan bahwa \(A\) tidak memiliki informasi baru; itu hanya dua vektor \(\vec{v}_1\) dan \(\vec{v}_2\) yang ditempatkan berdampingan.
Mari kita lakukan proyeksi lagi:
## v1 v2
## 0.32894737 0.09210526Untuk mendapatkan kombinasi linier dari vektor-vektor dalam \(A\) , Anda mengalikan-matriks matriks \(A\) kali dengan solusi \(z\) :
## [,1]
## [1,] 0.7894737
## [2,] 0.4736842
## [3,] 1.3157895Perhatikan, itu adalah jawaban yang sama yang Anda dapatkan saat Anda melakukan perkalian “dengan tangan.”
Ketika bekerja dengan data, ahli statistik hampir selalu menyertakan vektor lain yang disebut intersep yang merupakan vektor dari semua 1s. Anda dapat menunjukkan vektor intersep dengan sebuah dataran 1dalam fungsi mat()or project(), seperti ini:
## (Intercept) v1 v2
## [1,] 1 1 5
## [2,] 1 2 -2
## [3,] 1 4 0## A(Intercept) Av1 Av2
## 1.000000e+00 0.000000e+00 2.775558e-17## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 1
## [3,] 1Perhatikan bahwa matriks Amemiliki vektor ketiga : vektor intersep. Solusinya akibatnya memiliki tiga koefisien. Perhatikan juga bahwa kombinasi linier dari tiga vektor tepat mencapai vektor \(\vec{b}\) . Itu karena sekarang ada tiga vektor yang mendefinisikan subruang: \(\vec{v}_1\) , \(\vec{v}_2\) , dan vektor intersep dari semuanya. 5.1.1 Contoh: Data bom atom. File data blastdata.csvberisi pengukuran jari-jari bola api dari bom atom (dalam meter) versus waktu (dalam detik). Dalam analisis data ini, tepat untuk mencari hubungan kekuatan-hukum antara jari-jari dan waktu. Ini akan muncul sebagai hubungan linier antara radius log dan waktu log. Dengan kata lain, kita ingin mencari \(m\) dan \(b\) dalam hubungan log-radius \(= m\) log-time \(+ b\) . Ini sama dengan proyeksi
## (Intercept) log(time)
## 6.2946893 0.3866425Parameter \(m\) adalah koefisien pada log-time, ditemukan sebesar 0,3866.
5.1.2 Latihan 5.1.2.1 Latihan 1 Ingat semua “menemukan garis yang melalui masalah poin” dari kelas aljabar. Mereka bisa sedikit lebih sederhana dengan alat aljabar linier yang tepat.
Contoh: “Temukan garis yang melalui titik \((2,3)\) dan \((7,-8)\) .”
Salah satu cara untuk menginterpretasikan ini adalah kita sedang mencari hubungan antara \(x\) dan \(y\) sehingga \(y = mx + b\) . Dalam istilah vektor, ini berarti bahwa \(x\) -koordinat dari dua titik, \(2\) dan \(7\) , dibuat menjadi vektor \(\left(\begin{array}{c}2 \\7\end{array}\right)\) akan diskalakan oleh \(m\) , dan vektor intersep \(\left(\begin{array}{c}1\\1\end{array}\ kanan)\) akan diskalakan oleh \(b\) .
## (Intercept) x
## 7.4 -2.2Sekarang Anda tahu \(m\) dan \(b\) .
TUGAS ANDA: Untuk setiap hal berikut, temukan garis yang melewati dua titik Cartesian menggunakan project( )fungsi. Ingat, vektor yang terlibat dalam proyeksi akan memiliki bentuk \[\vec{x}=\left(\begin{array}{r}x_1\\x_2\end{array}\right) \mbox{and} \ \ \vec{y}=\left(\begin{array}{r}y_1\\y_2\end{array}\right)\] dan
Temukan garis yang melalui dua titik \((x_1=9, y_1=1)\) dan \((x_2=3, y_2=7)\) . \(y = x + 2\) \(y = -x + 10\) \(y=x + 0\) \(y = -x + 0\) \(y = x - 2\) MENJAWAB:
## (Intercept) c(9, 3)
## 10 -1Temukan garis yang melalui titik asal \((x_1=0, y_1=0)\) dan \((x_2=2,y_2=-2)\) . \(y = x + 2\) \(y = -x + 10\) \(y=x + 0\) \(y = -x + 0\) \(y = x - 2\) MENJAWAB:
## (Intercept) c(0, 2)
## -5.551115e-17 -1.000000e+00Temukan garis yang melewati \((x_1=1, y_1=3)\) dan \((x_2=7, y_2=9)\) \(y = x + 2\) \(y = -x + 10\) \(y=x + 0\) \(y = -x + 0\) \(y = x - 2\) MENJAWAB:
## (Intercept) c(1, 7)
## 2 15.1.2.2 Latihan 2 Temukan \(x\) , \(y\) , dan \(z\) yang menyelesaikan soal berikut: \[ x \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array} \right) + y \left(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r}1\\-2 \\3\end{array}\right) = \left(\begin{array}{r}1\\1\\1\end{array}\right) .\] Berapa nilai \(x\) ?: {-0.2353,0.1617, 0.4265 ,1.3235,1.5739}
MENJAWAB:
## c(1, 2, 4) c(5, -2, 0) c(1, -2, 3)
## 0.4264706 0.1617647 -0.2352941Temukan \(x\) , \(y\) , dan \(z\) yang menyelesaikan soal berikut: \[ x \left(\begin{array}{r}1\\2\\4\end{array} \right) + y \left(\begin{array}{r}5\\-2\\0\end{array}\right) + z \left(\begin{array}{r}1\\-2 \\3\end{array}\kanan) = \left(\begin{array}{r}1\\4\\3\end{array}\kanan) .\] Berapa nilai \(x\) ? {-0,2353,0,1617,0,4264, 1,3235,1,5739 }
MENJAWAB:
## c(1, 2, 4) c(5, -2, 0) c(1, -2, 3)
## 1.32352941 0.08823529 -0.764705885.1.2.3 Latihan 3 Dengan menggunakan project( ), selesaikan rangkaian persamaan linear simultan ini untuk \(x\) , \(y\) , dan \(z\) :
Dua persamaan dalam dua yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcr} x & + & 2 y & = &1\\ 3 x & + & 2 y & = &7\\ \end{array}\]
\(x=3\) dan \(y=-1\) \(x=1\) dan \(y=3\) \(x=3\) dan \(y=3\) MENJAWAB:
## x y
## 3 -1Tiga persamaan dalam tiga yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcrcr} x & + & 2 y & + & 7 z & = &1\\ 3 x & + & 2 y & + &2 z&= &7\\ -2 x & + & 3 y & + & z&= &7\\ \end{array} \]
\(x=3,1644\) , \(y=-0,8767\) , \(z=0,8082\) \(x=-0,8767\) , \(y=0,8082\) , \(z=3,1644\) \(x=0.8082\) , \(y=3.1644\) , \(z=-0.8767\) MENJAWAB:
## x y z
## 0.8082192 3.1643836 -0.8767123Empat persamaan dalam empat yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcrcrcr} x & + & 2 y & + & 7 z & +& 8 w& = &1\\ 3 x & + & 2 y & + &2 z& +& 2 w& = &7\\ -2 x & + & 3 y & + & z&+& w&= &7\\ x & + & 5 y & + &3 z&+& w&= &3\\ \end{array} \]
\begin{Pilihan Ganda} a. \(x=5.500\) , \(y=-7.356\) , \(z=3.6918\) , \(w=1.1096\) #. \(x=1.1096\) , \(y=3.6918\) , \(z=-7.356\) , \(w=5.500\) #. \(x=5.500\) , \(y=-7.356\) , \(z=1.1096\) , \(w=3.6918\) #. \(x=1.1096\) , \(y=-7.356\) , \(z=5.500\) , \(w=3.6918\)
MENJAWAB:
## x y z w
## 1.109589 3.691781 -7.356164 5.500000Tiga persamaan dalam empat yang tidak diketahui: \[\begin{array}{rcrcrcrcr} x & + & 2 y & + & 7 z & +& 8 w& = &1\\ 3 x & + & 2 y & + &2 z& +& 2 w& = &7\\ -2 x & + & 3 y & + & z&+& w&= &7\\ \end{array} \]
Tidak ada solusi. Ada solusinya. MENJAWAB:
## [,1]
## [1,] 1
## [2,] 7
## [3,] 7