• O modelo normal é um dos mais importantes modelos probabilísticos,

• Aplicado em inúmeros fenômenos, naturais ou artificiais, e constantemente utilizado para desenvolvimento teórico da inferência estatística, este modelo é definido pela Distribuição Normal.

  Fenômeno natural

• Seja o experimento, selecionar um recém-nascido ao acaso, em uma população, e observar o perímetro cefálico.

Fenômeno artificial

• Considere o experimento que consite em comprar uma garrafa de água mineral e verificar seu volume, o qual deve ser de 300 ml.

• O modelo normal é um dos mais importantes modelos probabilísticos,

• Aplicado em inúmeros fenômenos, naturais ou artificiais, e constantemente utilizado para desenvolvimento teórico da inferência estatística, este modelo é definido pela Distribuição Normal.

Fenômeno natural

• Seja o experimento, selecionar um recém-nascido ao acaso, em uma população, e observar o perímetro cefálico.

Fenômeno artificial

• Considere o experimento que consite em comprar uma garrafa de água mineral e verificar seu volume, o qual deve ser de 300 ml.

Uma variável aleatória \(X\) segue uma distribuição normal com parâmetros \(\mu\) e \(\sigma^2\), se sua função densidade é dada por:

\(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}, \mbox{ para todo } x \in \mathbb{R}\),

em que \(-\infty< \mu <\infty\) e \(\sigma>0\).

• Notação: \(X \sim N(\mu, \sigma^2)\).

Curva da função \(f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{-\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu)^2}\)

a curva da densidade da distribuição normal, \(f(x)\), tem forma de sino, de modo que:

1. \(f(x)\) atinge seu máximo em \(\mu\);
2. a curva de \(f(x)\) é simétrica em relação a \(\mu\);
3. \(\mu- \sigma\) e \(\mu+ \sigma\) são pontos de inflexão de \(f(x)\);
4. \(E(X)= \mu\);
5. \(Var(X)= \sigma^2\) então \(DP= \sigma\);
6. O desvio-padrão \(\sigma\) e a média \(\mu\) são diretamente parâmetros da distribuição.

• A distribuição normal padrão é aquela em que a média da distribuição é 0 e a variâmcia é 1.

• Notação: \(Y \sim N(0,1)\).

• Sua densidade é aquela apresentada anteriormente, fixando \(\mu=0\) e \(\sigma^2=1\).

• Ou seja, \(f(y)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{y^2}{2}}, \mbox{ para todo } y \in \mathbb{R}.\)

• A FDA da distribuição normal padrão é normalmente denotada por \(\Phi(x)\), sendo, então, dada por:

\(\Phi(y)=P(Y\leq y)=\int_{-\infty}^{y}\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} dx, \mbox{ para todo } y \in \mathbb{R}\).

• O nome “Normal Padrão” é justificado pela obtenção da distribuição \(N(0,1)\) a partir da variável transformada:

em que \(Y \sim N(\mu, \sigma^2).\)

• Como \(Z\) é uma transformação de uma variável normal, \(Z\) também tem distribuição normal, e sua média e variância são dadas por:

\(E[Z]=E[\frac{Y-\mu}{\sigma}]= \frac{E[Y]-\mu}{\sigma}=\frac{\mu-\mu}{\sigma}=0\)

\(Var[Z]=Var(\frac{Y-\mu}{\sigma})=\frac{Var[Y]}{\sigma^2}=\frac{\sigma^2}{\sigma}=1.\)

• Ou seja, \(E[Z]=0\) e \(Var(Z)=1\).

• Deste modo, a variável padrozinada obdedece: \(Z \sim N(0,1)\).

Uma enchedora automática de garrafas de água está regulada para que o volume médio de líquido em cada garrafa seja de 1000 \(cm^3\) e desvio padrão de 10 \(cm^3\). Admita que o volume siga uma distribuição normal.

1. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido é menor que 990 \(cm^3\)?

2. Qual é a porcentagem de garrafas em que o volume de líquido não se desvia da média em mais do que dois desvios padrões?

1. Se 10 garrafas são selecionadas ao acaso, qual é a probabilidade de que, no máximo, 3 tenham volume de líquido superior a 1002 \(cm^3\)?

2. Qual a probabilidade da média amostral, com dez retiradas ao acaso, se desviar da média verdadeira em mais ou menos um desvio-padrão? Esta é a pergunta que pretendemos responder nos próximos passos!

• O objetivo da inferência estatística é obter informações sobre populações, sem a necessidade de acessar todos os seus elementos.
• Ou seja, as informações são obtidas com base em amostras.
• Se a população é homogênea, em termos da característica investigada, qualquer amostra pode ser utilizada no processo de inferência.

Exemplo 1: Para obter informações sobre o nível de glicose no sangue de uma pessoa, basta uma amostra bem pequena do sangue. Por que isso é possível?

Exemplo 2: Para checar se um prato foi preparado com as medidas certas de tempero, basta provar uma pequena porção. Por que isso é possível?

• População: conjunto de elementos com pelo menos uma característica em comum e que a delimita.

• A população é o objeto alvo do estudo na estatística.

• Amostra: subconjunto da população.

• Amostra representativa da população: é capaz de representar a população como um todo, no que diz respeito a(s) característica(s) investigada(s).

• Média de \(\Omega\):

\(\mu=\frac{-1.5 +0.3+ 1.1 -0.5-0.9 -0.1+ 0.3 -0.4+ 0.4}{10}=\frac{-3}{10}=-0.3\)

• Média Amostral:

\(\overline{X}=\frac{-1.5 + 1.1 -0.9+ 0.3-0.4 -0.4 }{6}=\frac{-1.8}{6}=-0.3\)

• Variáveis: são as características associadas a essas entidades, as quais queremos investigar.

• Em geral queremos estudar a frequência de ocorrência das variáveis.

• Para isso, pode ser utilizada uma amostra aleatória simples e um modelo probabilístico.

• Aqui vamos sempre supor que a amostra é extraída de forma aleatória simples. Ou seja, todos os elementos da população têm a mesma chance de serem selecionados.

Uma amostra aleatória simples de tamanho \(n\) de uma única variável aleatória \(X\) (com distribuição dada por \(F(x)\)) é um vetor \[{\bf X} = (X_1, X _2, \cdots,X_n)\] em que cada componente \(X_1 X _2, \cdots,X_n\) tem a mesma distribuição de \(X\).

• Deste modo, toda informação que desejamos obter sobre uma população é obtida, se conhecemos completamente a distribuição de probabilidades da variável \(X\) considerada.

• Em geral, não se pode ter certeza sobre a distribuição de \(X\), e nem sobre seus parâmetros.

• Assim, a partir de uma análise exploratória dos dados, é proposto um modelo probabilístico.

• A amostra é utilizada para estimar os seus parâmetros.

• Por fim, testes estatístico são realizados para checar a adequação do modelo proposto.

Observação:

• os métodos de inferência discutidos aqui são baseados na obteção de uma amostra aleatória simples,

• chamada aqui de amostra aleatória.

Parâmetro: qualquer característica da população.

• Exmplo:

  • média populacional (\(\mu\));
  • variância populacional (\(\sigma^2\));
  • proporção populacional (\(p\));
  • tamanho da população (\(N\));
  • taxa de ocorrência de algum fenômeno na população (\(\lambda\)).

Estatística: qualquer função da amostra

• Exmplo:

  • média amostral (\(\overline{X}\));
  • variância amostral (\(S^2\));
  • proporção amostral (\(P\));
  • tamanho da amostra (\(n\));
  • taxa de ocorrência de algum fenômeno na amostra (\(\frac{n_A}{n}\)), em que \(n_A\) é a quatidade de vezes que ocorre o fenômeno na amostra.

Supondo \(X_1,X_2\) amostra aleatória simples da variável aleatória \(X\) tal que \[X \sim Bernoulli(p),\]

• Se uma amostra aleatória de tamanho \(n=2\) é extraída, tem-se:

  • \(X_1 \sim Bernoulli(p)\), primeira seleção;

  • \(X_2 \sim Bernoulli(p)\), segunda seleção.

• Assim,

\[T(X_1,X_2)=X_1+X_2\]

é uma estatística.

Observações

• Qualquer função apenas da amostra (fórmula ou expressão) é uma estatística.

• As estatísticas são utilizadas para estimar os parâmetros.

• Estatísticas com boas propriedades são utilizadas para estimar parâmetros, e ganham o nome de estimador.

Então, a partir dessa amostra, se uma estatística \[T({\bf X}) = T(X_1, X_2, \cdots, X_n)\] é usada para estimar um parâmetro, então essa estatística é chamada de ESTIMADOR.

Chamamos de ESTIMATIVA, o valor assumido pelo estimador \[T({\bf x} ) = T(x_1, x_2, \cdots, x_n)\] depois de serem observados \((x_1, x _2, \cdots,x_n)\) a partir de \((X_1, X _2, \cdots,X_n)\).

\[ X= \left\{ \begin{array}{ll} 1,&~~ \text{se uma peça selecionada tem defeito} \\ 0, &~~ \text{se uma peça selecionada não tem defeito}.\\ \end{array} \right. \] \(X \sim Bernoulli(p)\), com \(p\) desconhecido.

Supondo que duas peças sejam selecionadas de forma aleatória, então tem-se \(X_1,X_2\) tais que:

• \(X_1 \sim Bernoulli(p)\) e

• \(X_2 \sim Bernoulli(p)\).

Então, se \(\hat{p}=T(X_1,X_2)=\bar{X}=\frac{X_1+X_2}{2}\) é um estimator para \(p\) e observarmos \(x_1=0\) e \(x_2=1\),

\(\hat{p}=\frac{x_1+x_2}{2}=\frac{0+1}{2}=1/2\) é uma estimativa de \(p\).

• A média amostral: \(\overline{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\)

é um estimador para a média populacional \(\mu\).

• A variância amostral:
  \(S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})}{n-1}\)

é um estimador para variância populacional \(\sigma^2\).

• A proporção amostral: \(\hat{p}=\frac{X}{n}\),

  • em que \(X\) é o número de elementos na amostra e
  • \(n\) é o tamanho da amostra,

é um estimador da proporção populacional \(p\).

• Em geral, denotamos os parâmetros desconhecidos por uma letra grega.

• Exemplo, \(\theta, \lambda, \eta, \delta\) etc.

• e as suas estimativas pelas respectivas letras com ” ^”

• Exemplo \(\hat{\theta}, \hat{\lambda}, \hat{\eta}, \hat{\delta}\) etc.

• Como exceções citamos os estimadores para média e e variância \((\mu, \sigma^2)\), que são denotados de forma diferente \((\bar{X}, S^2)\).

No exemplo anterior, consideramos duas peças selecionadas de forma aleatória, dando origem a \(X_1,X_2\) tais que:

• \(X_1 \sim Bernoulli(p)\) e

• \(X_2 \sim Bernoulli(p)\).

Além disso, temos que \(\hat{p}=\frac{X_1+X_2}{2}\) é um estimator para \(p\).

A esperança de \(\hat{p}\) é dada por: \[E(\hat{p})=\frac{E(X_1+X_2)}{2}=\frac{E(X_1)+E(X_2)}{2}=\frac{p+p}{2}=p.\]

• Note que a esperança do estimador \(\hat{p}\) é igual ao parâmetro \(p\).

• Isso confere ao estimador \(\hat{p}\) uma importante propriedade.

• Uma vez que, obtendo-se várias amostras aleatórias de mesmo tamanho,

• a média desses valores deverá estar próxima do valor verdadeiro do parâmetro a ser estimado.

1. Um estimador \(T = T(X_1, X_2, \cdots, X_n)\) é dito não viciado (não enviesado), para o parâmetro \(\theta\), se sua esperança é igual ao parâmetro, ou seja \[\mathbb{E}(T)=\theta,\] para todo \(\theta\).
2. Se a igualdade acima não ocorre, dizemos que \(T\) é um estimador viciado (viesado) e a diferença \(V(T,\theta) = \mathbb{E}(T) - \theta\) é chamada de vício (viés) do estimador \(T\).

Exemplos

A média amostral \(\overline{X}=\frac{\sum_{i=1}^{n}X_i}{n}\) é não viciada para estimar a média populacional:

• \(\mathbb{E}(\overline{X})=\mu.\)

A variância amostral \(S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})}{n-1}\) é não viciada para estimar a variânacia populacional:

• \(\mathbb{E}(S^2)=\sigma^2\).

A proporção amostral \(\hat{P}=\frac{Y}{n}\), com \(Y=\sum_{i=1}^{n}X_i\), definida a partir de \(n\) ensaios independentes de Bernoulli, é não viciada para estimar a proporção populacional:

• \(\mathbb{E}(\hat{P})=p.\)

• Além da esperança, pode ser calculada a variância dos estimadores apresentados anteriormente.

• Na prática, é desejado que o esetimador utilizado seja aquele com ménor variância.

• Pode ser mostrado que os estimadores apresentados anteriormente são os de menor variância para estimar os parâmetros considerados.

• O máximo que pode ocorrer é exitir estimadares com variância igual as que apresetam esses estimadores, mas nunca maior.

• Portanto, estes estimadores são os melhores, para estimar os respectivos parâmetros.

• \(\mathbb{Var}(\overline{X})= \frac{\sigma^2}{n}\)

A variância amostral \(S^2=\frac{\sum_{i=1}^{n}(X_i-\overline{X})}{n-1}\) tem a menor (ou igual) variância entre aqueles usados para estimar a variânacia populacional:

• \(\mathbb{Var}(S^2)=\frac{2\sigma^4}{n-1}\).

A proporção amostral \(\hat{P}=\frac{Y}{n}\), com \(Y=\sum_{i=1}^{n}X_i\), definida a partir de \(n\) ensaios independentes de Bernoulli, tem a menor (ou igual) variância entre aqueles usados para estimar a proporção populacional:

• \(\mathbb{Var}(\hat{P})=\frac{p(1-p)}{n}.\)

• Em uma amostra aleatória simples de tamanho \(n\), \({\bf X}=(X_1,X_2,\cdots,X_n)\), de uma população qualquer, representada por \(X\), com média \(\mu\) e variância \(\sigma^2\),

• a distribuição de \(\overline{X}\) é aproximadamente normal com média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^2}{n}\),

• ou seja,

  \[\mbox{se } n \rightarrow \infty \mbox{ então } \overline{X} \rightarrow N(\mu,\frac{\sigma^2}{n}),\]

em que \(N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})\) representa a distribuição normal de média \(\mu\) e variância \(\frac{\sigma^2}{n}\).

• Neste resultado, se incluirmos a suposição de que X tem distribuição normal, ou seja,

  \[X \sim N(\mu,\sigma^2), \]

• Então a distribuição de \(\overline{X}\) é exatamente normal, ou seja

  \[\overline{X} \sim N\left( \mu,\frac{\sigma^2}{n}\right).\]

Obs: reveja o Exemplo visto no início do tópico, sobre volumes de garrafas com água.

• Suponha que em um criadouro de peixes existam 50 berçários.

• As larvas são recebidas do fornecedor e dividas entre os berçários.

• Considerando que a quantidade de peixes tende a diminuir, devido a morte precoce, existe interesse em estimar a quantidade média de peixes nos berçários.

• Considerando que todos os peixes têm a mesma procedência e recebem o mesmo tratamento, selecionaram-se 4 berçários de forma aleatória, para fazer a contagem.

Suponha as seguintes quantidades de peixes em cada berçario.

• É possível que se tenha uma boa estimativa?

• Vamos simular a extração de amostras aleatórias a partir desta população, e verificar a média amostral.

## [1] 208265.4

Amostra

## [1] 209624.6

## [1] 208265.4

Agora, serão selecionadas várias amostras e será analisado o comportamento das médias.

1. Qual a probabilidade de ocorrer o bloqueio numa tentativa de transportar 7 adultos?
2. Encontre um intervalo que contenha 90% das médias amostrais, quando são realizadas tentativas de transportar 7 pessoas no elevador.