Universidad Nacional

Facultad de Ciencias Exactas y Naturales

Escuela de Matemática

Proyecto de graduación: Diseño de propuesta didáctica apoyada con videos tutoriales para la utilización del software R para la enseñanza de los temas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales del curso MAC411 Álgebra Lineal de la carrera de Bachillerato en la Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional

Francisco Villalobos Madrigal

Noviembre 2022

Introducción

En esta propuesta didáctica se desarrollan los temas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales del curso MAC 411 Álgebra Lineal de la carrera de Enseñanza de la Matemática de la Universidad Nacional.

Se proponen actividades para el desarrollo de las competencias matemáticas propuestas en el plan de estudio de la carrera y se introduce una guía para la utilización del software R para la solución de ejercicios de los temas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

El software R es un entorno y lenguaje de programación estadística de licencia libre y multiplataforma (R Core Team, 2021). Existe un entorno de desarrollo llamado RStudio (RStudio Team, 2020) que facilita la utilización de la programación en R.

Se seleccionó este software, debido a que los software que existen especializados en Álgebra Lineal son de licencia de paga y por lo general requieren un espacio importante en el almacenamiento de la computadora. El software R, además de tener la facilidad de utilizarse en cualquier sistema operativo y tener licencia libre, posee paquetes y funciones especializadas para la resolución de ejercicios y problemas en diversos temas de matemática aplicada y estadística.

También, se encuentra una versión en línea de RStudio conocido como RStudio Cloud, que permite realizar proyectos y compartirlos con colaboradores.

Para la utilización del software R, se utilizará los siguientes paquetes:

• matlib : Paquete especializado para la enseñanza de los temas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales. Con este paquete se puede obtener los procedimientos utilizados en los cálculos de la inversa de matrices, solución de sistemas de ecuaciones lineales, reducción Gaussiana. Además, permite visualizar la solución en forma fraccionaria(Friendly et al., 2021).

• MASS: Posee la función fractions que permite visualizar resultados en forma fraccionaria y resulta útil en algunos ejercicios (Venables & Ripley, 2002).

• rSymPy: SymPy es una paquetería de Python y permite trabajar calculo simbólico. Con este paquete se puede definir y realizar operaciones con variables(Grothendieck & Bellosta, 2019).

La propuesta se desarrolla en sesiones de clases y en cada sesión se incluyen actividades para desarrollar habilidades en los estudiantes. Las actividades son guiadas por el profesor, pero parte del trabajo sera elaborado por los estudiantes y se proponen links de videos que resuelven ejercicios de aplicación de los temas para la utilización del programa R.

Sesión de clase 1

Matrices

Una matriz se puede definir de forma matemática como:

• Definición 1: Sean \(m\) y \(n\) dos números enteros positivos y cuyo dominio es \(I_{m,n}\) el conjunto de todos los pares de enteros \((i, j)\) tales que \(1 \leq i \leq m\), \(1 \leq j \leq n\). Cualquier función \(A\) cuyo dominio \(I_{m,n}\) se denomina matriz \(m \times n\). El valor de la función \(A(i, j)\) se llama elemento \(ij\) de la matriz y se designará también por \(a_{ij}\). Ordinariamente se disponen todos los valores de la función en un rectángulo que consta de \(m\) filas y \(n\) columnas, del modo siguiente

\[ \displaystyle \left[ \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{1n}\\ \end{array} \right] \text{ (Definición tomada de Apostol, pp. 733-734, 2001)} \] Mientras que a nivel práctico, se puede encontrar la siguiente definición y la cuál suele desarrollarse en libros de texto de álgebra lineal:

• Definición 2: Una matriz es un arreglo rectangular de valores. Si \(m\) representa el número de filas y \(n\) el número de columnas, entonces el arreglo se puede escribir como

\[ \displaystyle A= \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right). \] En algunos libros de referencias de álgebra lineal, se pueden encontrar la denotación de matrices de las siguientes formas: \(A=A_{ij}\), \(A=(a_{ij})\), \(A= [a_{ij}]\), \(A= a_{ij}\), \(A= \langle A \rangle_{ij}\)

Para el desarrollo de la propuesta didáctica se utiliza la notación \(A=(a_{ij})\). Además, como se ven en ambas definiciones a nivel práctico se pueden presentar las matrices con paréntesis redondos o cuadrados.

En la práctica se suele definir las matrices por medio de una relación que pueden tomar las entradas.

Ejemplo 1: Considerando la matriz \(A\)

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 7 & 5 & 3 \\ 9 & 4 & -1 \\ \end{array} \right)= \left[ \begin{array}{ccc} 7 & 5 & 3 \\ 9 & 4 & -1 \\ \end{array} \right] \] La matriz \(A\) esta compuesta por 2 filas y 3 columnas. Cuando utilizamos la notación \(A=(a_{ij})\), \(i\) identifica la posición de la fila y \(j\) de la columna.

\[ \begin{matrix} & \begin{matrix} \text{Columna 1} & \text{Columna 2} & \text{Columna 3}\end{matrix} \\ & \begin{matrix} \downarrow & & & & &\downarrow & & & &\downarrow\end{matrix} \\ \begin{matrix}\text{Fila 1} \rightarrow \\ \text{Fila 2} \rightarrow \end{matrix} & \begin{pmatrix}7& & & & &5 & & & &3\\\\9& & & &&4& & & &-1\\\end{pmatrix}\\\\ \end{matrix} \]

Por medio del reconocimiento de la posición de fila y columna, se pueden identificar el valor de la entrada, como ejemplo la entrada \(a_{11}\) tiene un valor de 7, mientras que la entrada \(a_{21}\) es 9.

En forma matemática se puede expresar el conjunto de matrices de \(m\) filas y \(n\) columnas con entradas reales con la notación \(M_{m \times n} (\mathbb{R})\). De esta forma la Matriz \(A\) del ejemplo pertenece al conjunto de la matrices \(M_{2 \times 3} (\mathbb{R})\) por tener 2 filas y 3 columnas.

Ejemplo 2: Sea \(A \in M_{2 \times 3} (\mathbb{R})\), Ejemplo: Sea \(A \in M_{2 \times 3} (\mathbb{R})\), se definen las entradas de la matriz \(A\):

\[ a_{ij}=\left\{ \begin{array}{cc} 2\cdot i+j & \text{ si } i=j,\\ 0 & \text{ si } i \neq j.\\ \end{array} \right. \]

Se identifican las posibles combinaciones de pares ordenados que podemos formar con la cantidad de filas y columnas de la matriz. Los pares ordenados que podemos formar son:

\[ (1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3). \]

Los pares ordenados que cumplen las condición \(i=j\) son \((1,1)\) y \((2,2)\). De esta manera

\(a_{11}=2 \cdot 1+1=3,\)

\(a_{22}=2 \cdot 2+2=6,\)

\(a_{12}= a_{13}= a_{21}= a_{23}=0.\)

Siguiendo la definición por entradas, la matriz \(A\) se denota de la siguiente manera

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\ 0 & 6 & 0\\ \end{array} \right). \]

Matriz cuadrada

Una matriz es cuadrada cuando tiene la misma cantidad de columnas y filas. El conjunto de matrices cuadradas con entradas reales se denota con \(M_{n} (\mathbb{R})\).

Si \(A=(a_{ij})\) es una matriz cuadrada, el conjunto de los elementos \(a_{ij}\) tal que \(i=j\), se conoce como la diagonal principal o diagonal de la matriz.

Ejemplo 3: Considerando la siguiente matriz

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} \fbox{ 1} & 2 & 3 \\ 1 & \fbox{7} & 9 \\ 4 & 0 & \fbox{1} \\ \end{array} \right) \] Los elementos de la diagonal enmarcado con \(\Box{}\) son 1, 7 , 1.

Operaciones con matrices

Sean \(A, B \in M_{m \times n} (\mathbb{R})\), donde \(A=(a_{ij})\) y \(B=(b_{ij})\). Se definen las siguientes operaciones de matrices:

Suma de matrices: \(A+B=(a_{ij}+b_{ij})\)

Resta de matrices: \(A-B=(a_{ij}-b_{ij})\)

Ejemplo 4: Considerando las matrices \(A\), \(B\), \(C\), \(D\), \(E\) y \(F\):

\(\displaystyle A =\left( \begin{array}{cc} 13 & 0 \\ 2 & 10 \\ \end{array} \right), \quad B =\left( \begin{array}{cc} 10 & -14 \\ 5 & 11 \\ \end{array} \right),\)

\(\displaystyle C =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 10 & 9 \\ 12 & 1 & -1 \\ 18 & 3 &4 \end{array} \right), \quad D =\left( \begin{array}{ccc} 10 & 9 & 7 \\ 11 & 10 & -10 \\ 1 & 10 & 12 \end{array} \right),\)

\(\displaystyle E =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 10 & 9 \\ 2 & 6 & -10 \end{array} \right), \quad F =\left( \begin{array}{ccc} 10 & 11 & -13 \\ 1 & 10 & 12 \end{array} \right).\)

Una condición necesaria para realizar la suma o resta de matrices, es que tengan el mismo tamaño. Con base a estas matrices podríamos realizar las siguientes operaciones: \(A+B\), \(A-B\), \(C+D\), \(C-D\), \(D-C\), \(E+F\), \(F-E\), \(E-F\).

Realizaremos como ejemplo de aplicar el procedimiento, las siguientes operaciones: \(A+B\), \(C-D\), \(E+F\),\(E-F\)

\(\displaystyle A+B =\left( \begin{array}{cc} 13 & 0 \\ 2 & 10 \\ \end{array} \right)+ \left( \begin{array}{cc} 10 & -14 \\ 5 & 11 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 13+10 & 0+-14 \\2+ 5 & 10+11 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} 23 & -14 \\ 7 & 22 \\ \end{array} \right),\)

\(\displaystyle C-D =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 10 & 9 \\ 12 & 1 & -1 \\ 18 & 3 &4 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{ccc} 10 & 9 & 7 \\ 11 & 10 & -10 \\ 1 & 10 & 12 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 3-10 &10- 9 &9- 7 \\12- 11 & 1-10 &-1- -10 \\ 18-1 &3- 10 &4- 12 \end{array} \right) =\left( \begin{array}{ccc} -7 & 1 & 2 \\ 1 & -9 & 9 \\ 17 & -7 & -8 \end{array} \right),\)

\(\displaystyle E +F =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 10 & 9 \\ 2 & 6 & -10 \end{array} \right)+\left( \begin{array}{ccc} 10 & 11 & -13 \\ 1 & 10 & 12 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 3+ 10 &10+ 11 & 9+-13 \\ 2+1 & 6+10 &-10+ 12 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} 13 & 21 & -4 \\ 3 & 16 & 2 \end{array} \right),\)

\(\displaystyle E +F =\left( \begin{array}{ccc} 3 & 10 & 9 \\ 2 & 6 & -10 \end{array} \right)-\left( \begin{array}{ccc} 10 & 11 & -13 \\ 1 & 10 & 12 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{ccc} 3- 10 &10- 11 & 9--13 \\ 2-1 & 6-10 &-10- 12 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{ccc} -7 & -1 & 22 \\ 1 & -4 & -22 \end{array} \right).\)

Observación: No se puede realizar operaciones con diferentes tamaños de matrices, por ejemplo en el caso de la operación \(A+F\) no se puede, debido a que la matriz \(A\) posee dos filas y dos columnas, es decir una matriz de tamaño \(2\times2\), mientras que la matriz \(F\) posee 2 filas y 3 columnas, por lo cuál la matriz \(F\) es de tamaño \(2 \times 3\).

Producto escalar: Sea \(k \in \mathbb{R}\) , entonces \(k \cdot A = (k \cdot a_{ij})\)

Ejemplo 5: Considerando las matrices \(A\) y \(B\), realizaremos las siguientes operaciones: \(5A\) y \(-10B\).

\(\displaystyle A =\left( \begin{array}{cc} 3 & 10 \\ 6 & 4 \\ \end{array} \right), \quad B =\left( \begin{array}{cc} 10 & -14 \\ 5 & 11 \\ 6 & 8 \\ \end{array} \right).\)

\(\displaystyle 5A=5\left( \begin{array}{cc} 3 & 10 \\ 6 & 4 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 5\cdot 3 & 5\cdot 10 \\ 5\cdot 6 & 5\cdot 4 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} 15 & 50 \\ 30 & 20 \\ \end{array} \right),\)

\(\displaystyle -10 B =-10 \left( \begin{array}{cc} 10 & -14 \\ 5 & 11 \\ 6 & 8 \\ \end{array} \right)=\left( \begin{array}{cc} -10 \cdot 10 & -10 \cdot -14 \\-10 \cdot 5 & -10 \cdot 11 \\ -10 \cdot 6 & -10 \cdot 8 \\ \end{array} \right)= \left( \begin{array}{cc} -100 & 140 \\ -50 & -110 \\ -60 & - 80 \\ \end{array} \right)\)

Producto de matrices: Sea \(C \in M_{n \times q} (\mathbb{R})\), \(C=(c_{ij})\) entonces

\[ A \cdot C = (d_{ij}), \text{ donde } d_{ij}=\sum_{k=1}^{n} (a_{ik} \cdot c_{kj}). \]

Detallando el procedimiento del producto de matrices

\[ A \cdot C =\overbrace{\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right)}^{\text{Tamaño } m \times n} \cdot \overbrace{\left( \begin{array}{cccc} c_{11} & c_{12} & \cdots &c_{1q}\\ c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nq}\\ \end{array} \right)}^{\text{Tamaño } n \times q} \]

La entrada \(\displaystyle d_{11}=\sum_{i=1}^{n} (a_{1i} \cdot c_{i1})=a_{11}c_{11}+ a_{12}c_{21}+\cdots+ a_{1n}c_{n1}\), lo que nos indica que se está esta sumando el producto de cada entrada de la fila 1 de la matriz A y la columna 1 de C, con respecto a la posición.

Esquema

Entrada \(d_{11}\)

\[ \overbrace{\left( \begin{array}{cccc} \hline a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right)}^{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow } \cdot \left( \begin{array}{|l|ccc} \downarrow c_{11} & c_{12} & \cdots &c_{1q}\\ \downarrow c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q}\\ \downarrow \vdots & \vdots & & \vdots \\ \downarrow c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nq}\\ \end{array} \right) \]

Entrada \(d_{21}\)

\[ \overbrace{\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \hline \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right)}^{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow } \cdot \left( \begin{array}{|l|ccc} \downarrow c_{11} & c_{12} & \cdots &c_{1q}\\ \downarrow c_{21} & c_{22} & \cdots & c_{2q}\\ \downarrow \vdots & \vdots & & \vdots \\ \downarrow c_{n1} & c_{n2} & \cdots & c_{nq}\\ \end{array} \right) \]

Entrada \(d_{12}\)

\[ \overbrace{\left( \begin{array}{cccc} \hline a_{11} & a_{12} & \cdots &a_{1n} \\ \hline a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}\\ \end{array} \right)}^{\rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow \rightarrow } \cdot \left( \begin{array}{c|l|cc} c_{11} & \downarrow c_{12} & \cdots &c_{1q}\\ c_{21} & \downarrow c_{22} & \cdots & c_{2q}\\ \vdots & \downarrow \vdots & & \vdots \\ c_{n1} & \downarrow c_{n2} & \cdots & c_{nq}\\ \end{array} \right) \] \(\displaystyle d_{12}=\sum_{i=1}^{n} (a_{1i} \cdot c_{i2})=a_{11}c_{12}+ a_{12}c_{22}+\cdots+ a_{1n}c_{n2}\)

Note que la condición importante para realizar el producto de matrices \(AB\), es que el tamaño de la columna de la primera matriz \(A\) coincida con el tamaño de la columna de la segunda matriz \(B\) y el resultado del producto de una matriz de tamaño \(n \times m\) por una de tamaño \(m \times q\) da como resultado una matriz de tamaño \(n \times q\).

Ejemplo 6: Tomando las matrices \(A\),\(B\) y \(C\) realizar las siguientes operaciones \(A \cdot C\) y \(B \cdot C\)

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ -3 & 6 & -1 \\ \end{array} \right), \quad B= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & 7 \\ -3 & 6 & -1 \\ \end{array} \right), \quad C= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 6& 0 & 1 \\ \end{array} \right) \] \[ \begin{split} A \cdot C & = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ -3 & 6 & -1 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 6& 0 & 1 \\ \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 1 \cdot 0 +5 \cdot 1 + 3 \cdot 6 & 1 \cdot 2 +5 \cdot 5 + 3 \cdot 0 & 1 \cdot 3 +5 \cdot 1 + 3 \cdot 1 \\ 2 \cdot 0 +4 \cdot 1 -1 \cdot 6 & 2 \cdot 2 +4 \cdot 5 + -1 \cdot 0 & 2 \cdot 3 +4 \cdot 1 + -1 \cdot 1 \\ -3 \cdot 3 +6 \cdot 1 +-1 \cdot 1 & -3 \cdot 2 +6 \cdot 5 + -1 \cdot 0 & -3 \cdot 3 +6 \cdot 1 + -1 \cdot 1 \\ \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 23 & 27 & 11 \\ -2 & 24 & 9 \\ -4 & 24 & -4 \\ \end{array} \right)\\ \end{split} \]

\[ \begin{split} B \cdot C & = \left( \begin{array}{ccc} 0 & 4 & 7 \\ -3 & 6 & -1 \\ \end{array} \right) \cdot \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 & 3 \\ 1 & 5 & 1 \\ 6& 0 & 1 \\ \end{array} \right)\\ & = \left( \begin{array}{ccc} 0 \cdot 0 +4 \cdot 1 + 7 \cdot 6 & 0 \cdot 2 +4 \cdot 5 + 7 \cdot 0 & 0 \cdot 3 +4 \cdot 1 + 7 \cdot 1 \\ -3 \cdot 0 +6 \cdot 1 -1 \cdot 6 & -3 \cdot 2 +6 \cdot 5 + -1 \cdot 0 & -3 \cdot 3 +6 \cdot 1 + -1 \cdot 1 \\ \end{array} \right) \\ & = \left( \begin{array}{ccc} 46 & 20 & 11 \\ 0 & 24 & -4 \\ \end{array} \right)\\ \end{split} \]

Potencia de Matrices cuadradas

Sea \(A \in M_{m \times m} (\mathbb{R})\), se define la potencia de matrices cuadradas como:

\[ A^k= \underbrace{A \cdots A}_{\text{k veces}}. \]

Matriz transpuesta

Sea \(A \in M_{m \times n} (\mathbb{R})\) con \(A=(a_{ij})\). La matriz transpuesta de \(A\) denotada \(A^t\), se difine como \(A^t=(a_{ji})\). Como consecuencia de la definición note que \(A^t \in M_{n \times m} (\mathbb{R})\).

Ejemplo 7: Obtener la transpuesta de \(A\).

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\ 2 & 4 & -1 \\ \end{array} \right) \]

Solución

\[ A^t = \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 5 & 4 \\ 3 & -1\\ \end{array} \right) \] Observación: Note que el tamaño de la matriz \(A\) es \(2 \times 3\), mientras que el tamaño de la matriz transpuesta de \(A\) es \(3 \times 2\).

Igualdad de matrices

Si \(A=(a_{ij})\) y \(B=(b_{ij})\) son dos matrices iguales si cumplen dos condiciones:

• \(A\) y \(B\) son del mismo tamaño

• \(a_{ij}=b_{ij}\) para todo \(i,j\).

Actividad 1

1. Escriba las siguientes matrices de acuerdo a su definición.

Sean \(A, B, C \in M_{3 \times 3} (\mathbb{R})\), donde \(A=(a_{ij}), \quad B=(b_{ij}), \quad C=(c_{ij})\) y se definen sus entradas

\[ a_{ij}=\left\{ \begin{array}{lcc} i+j & si & i <j \\ i & si & i > j \\ i^2 & si & i=j \\ \end{array} \right. , \quad b_{ij}=\left\{ \begin{array}{lcc} i \cdot j & si & i < 3\\ i & si & i = 3 \\ \end{array} \right. , \quad c_{ij}=\left\{ \begin{array}{lcc} i & si & i =j\\ j & si & i \neq j\\ \end{array} \right. \]

2. Con base a las matrices de la parte 1, identifique cuales de las sigiuentes igualdades se cumplen

1. \(A+B=B+A\).

2. \(A \cdot B = B \cdot A\)

3. \((A+B)^2=A^2+2AB+B^2\) . Tome en cuenta que se define la potencia de matrices cuadradas como \[ A^k= \underbrace{A \cdots A}_{\text{k veces}}. \]

4. \(A \cdot B \cdot C = C \cdot A \cdot B\)

5. \(C \cdot B -B \cdot C=0\)

3. Se puede encontrar una matriz \(O\) que cumpla \(A + O= A\), \(B+ O= B\) y \(C+O=C\).

4. Se puede encontrar una matriz \(I\) que cumpla \(A \cdot I= A\), \(B \cdot I = B\) y \(C \cdot I=C\).

5. Se puede encontrar una matriz \(S\) que cumpla \(A \cdot S= B\)

Actividad de investigación: Historia del álgebra lineal

1. Realice una línea de tiempo sobre el descubrimiento de los temas de matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales.

2. Investigue 3 aplicaciones de la utilización de matrices.

Puede utilizar las siguientes referencias, sin embargo puede utilizar otras

Luzardo & Pena (2006) , Historia del Álgebra Lineal hasta los Alboresdel Siglo XX, link de referencia https://www.emis.de/journals/DM/v14-2/art6.pdf

Semblanza de Carl Friedrich Gauss (p. 21), Nota histórica (p. 52, p. 220),Semblanza de Sir William Rowan Hamilton (p. 54), Semblanza de ArthurCayley y el álgebra de matrices (p. 76), Semblanza de Gottfried WilhelmLeibniz, Augustin-Louis Cauchy y Breve historia de los determinantes(p. 228) presentes en el libro de Álgebra Lineal de (Stanley & Flores Godoy, 2012)

Sesión de clases 2

Matrices especiales

Matriz columna: Matriz de tamaño \(n \times 1\), es decir la matriz columna está compuesta por una sola columna.

\[ \left( \begin{array}{c} a_{11}\\ a_{21}\\ \vdots\\ a_{n1}\\ \end{array}\right) \]

Ejemplos de matrices columna

\[ \left( \begin{array}{c} 1\\ 2\\ 5\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{c} 1\\ 0\\ 0\\ -3 \\ 4\\ 0\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{c} 0\\ 0\\ \end{array}\right) \]

Matriz fila: Matriz de tamaño \(1 \times m\), es decir la matriz está compuesta por una sola fila.

\[ \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1m}\\ \end{array}\right) \]

Ejemplos de matrices fila:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 5\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cccccc} 1 & 0 & 0 & -3 & 4 & 0\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \end{array}\right) \]

Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada cuyos elementos que no se encuentran en la diagonal son 0. Las entradas se pueden definir como: \[ a_{ij} = \left\{ \begin{array}{ccc} 0 & si & i \neq j \\ \text{cualquier valor} & si & i=j \end{array} \right. \]

Ejemplos de matrices diagonales:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0\\ 0 & 0 & 5\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{ccccc} 0 & 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -9 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right) \]

Matriz Nula: Sea \(A \in M_{mn}(\mathbb{R})\), \(A = (a_{ij})\). Si \(a_{ij} = 0\), para todo \(i\),\(j\), entonces \(A\) se llama matriz nula de tamaño \(m \times n\). La matriz nula de tamaño m x n se denota con la letra \(O\).

Ejemplos de matrices nulas:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 0 & 0 \\ \end{array}\right) \] Matriz Identidad: Matriz denotada \(I_n=(I_{ij})\) y se puede definir como una matriz diagonal donde sus entradas en la diagonal son todas 1. Sus entradas se definen como

\[ I_{ij}= \left\{ \begin{array}{lcc} 1 & si & i=j \\ \\ 0 & si & i \neq j \\ \end{array} \right. \]

Ejemplos:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0&0&0 \\ 0&1 & 0 & 0 & 0 \\ 0&0 & 1 & 0 & 0 \\ 0&0 & 0 & 1 & 0 \\ 0&0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{array}\right), \quad \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{array}\right) \]

Matriz triangular superior: Matriz cuadrada cuyos elementos \(a_{ij}=0\) si \(i>j\), es decir que todos los elementos que se encuentran debajo de la diagonal son 0.

Ejemplos de matrices triangulares superiores:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 0 & 4 & 2\\ 0 & 0 & 1 \\ \end{array} \right), \quad \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 0 & 4 \\ \end{array} \right) \]

Matriz triangular inferior: Matriz cuadrada cuyos elementos \(a_{ij}=0\) si \(i<j\), es decir que todos los elementos que se encuentran por encima de la diagonal son 0.

Ejemplos de matrices triangulares inferiores:

\[ \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right), \quad \left( \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 1 & 4 \\ \end{array} \right) \]

Matriz simétrica: Si \(A\) es una matriz cuadrada, se dice que la matriz \(A\) es simétrica si cumple la siguiente igualdad \(A^t=A\).

Ejemplos de matriz simétrica:

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 &3\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) , \quad A^t= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 &3\\ 2 & 4 & 0\\ 3 & 0 & 1 \\ \end{array} \right) \]

Se cumple \(A=A^t\)

Matriz antisimétrica: Si \(A\) es una matriz cuadrada, se dice que la matriz \(A\) es antisimétrica si cumple la siguiente igualdad \(A^t=-A\).

Ejemplo de matriz antisimétrica:

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 0 & -2 &-3\\ 2 & 0 & -1\\ 3 & 1 & 0 \\ \end{array} \right) , \quad A^t= \left( \begin{array}{ccc} 0 & 2 &3\\ -2 & 0 & 1\\ -3 & -1 & 0 \\ \end{array} \right) \]

Se cumple \(A=-A^t\)

Actividad 2

1. Considere las siguientes matrices de tanaño \(n \times n\):

• \(A\) es una matriz triangular superior

• \(B\) es una matriz triangular inferior

• \(C\) es una matriz simétrica

• \(I\) es una matriz identidad

Con las matrices propuestas, identifique si se cumplen las siguientes propiedades. Investigue cuales son verdaderas siempre.

\(A+B\) es una matriz diagonal

\(AC\) es una matriz simétrica

\(AI\) es una matriz triangular superior

\(B+C\) es simétrica

\(I+I\) es una matriz diagonal

2. Discuta si puede existir una matriz antisimétrica con elementos en la diagonal distintos de cero.

3. Una matriz \(A\) cuadrada es idempotente si cumple \(A^2=A\).

• Compruebe que la siguiente matriz es idempotente

\[ \displaystyle A=\left( \begin{array}{cc} \frac{1}{5} & \frac{2}{5}\\ & \\ \frac{2}{5} & \frac{4}{5} \\ \end{array} \right) \]

• Demuestre que si \(A\) es idempotente entonces \(A^n=A\) con \(n \geq 2\).

• Considera la matriz \(A\), encuentre una fórmula para establecer ejemplos de matrices idempotentes de tamaño \(2\times 2\), que tienen la forma:

\[ A=\left( \begin{array}{cc} a &b \\ c & d \\ \end{array} \right) \]

Propiedades de la suma de matrices

Sean \(A\), \(B\), \(C\) matrices de tamaño \(n \times m\) con entradas reales, \(\alpha\) y \(\beta\) escalares. La suma de matrices cumple las siguientes propiedades:

• Conmutatividad: \(A+B=B+A\)

• Asociatividad: \((A+B)+C=A+(B+C)\) (*)

• Elemento neutro: Si \(O\) es la matriz nula de tamaño \(n\times m\) entonces \(O+A=A+O=A\) (*)

• Distribución de escalares: \((\alpha + \beta)A= \alpha A + \beta A\), \(\alpha (A+B)= \alpha A+ \alpha B\) (*)

Se demuestra como ejemplo, la propiedad de conmutatividad para la suma de matrices:

Sean \(A\), \(B\) y \(C\) \(\in M_{mn}(\mathbb{R})\) \(A=(a_{ij}), B=(b_{ij}), C=(c_{ij})\).

Por definición \(A+B=a_{ij}+b_{ij}\). Como \(a_{ij}\) y \(b_{ij}\) entradas reales para todo \(i,j\), podemos utilizar la propiedad conmutativa de la suma de números reales, por lo cuál \(A+B=a_{ij}+b_{ij}=b_{ij}+a_{ij}=B+A\).

Propiedades para el producto de matrices

• Asociatividad: Sean \(A\) matriz de tamaño \(n \times m\), \(B\) matriz de tamaño \(m \times p\) y \(C\) matrices de tamaño \(p \times q\) entonces \((AB)C=A(BC)\)

• Distribución: Sean \(A \in M_{pn}(\mathbb{R})\), \(B\), \(C \in M_{mn}(\mathbb{R})\) entonces: \(A(B+C)=AB+AC\), \((A+B)C=AC+BC\) (*)

• Existencia de elemento neutro para el producto de matrices: \(AI_{m}=A\) y \(I_{m} A =A\) (*)

• Distribución de escalar: \(\alpha (AB)= (\alpha A) B=A (\alpha B)\) (*)

• No se cumple la conmutatividad del producto de matrices: \(AB \neq BA\)

Demostración asociatividad en el producto de matrices: \((AB)C=A(BC)\)

Por definición \(\displaystyle AB=\sum_{k=1}^{m} (a_{ik} \cdot b_{kj})\) y lo denotaremos las entradas del producto de \(A\) y \(B\) como \((ab)_{ij}\).

\[ AB=\sum_{k=1}^{m} (a_{ik} \cdot b_{kj})=(ab)_{ij} \] Utilizando nuevamente la definición de matrices

\[ (AB)C=\sum_{v=1}^{p} ((ab)_{iv} c_{vj}) \]

Desarrollando la sumatoria se tiene:

\[ \begin{split} (AB)C & =\sum_{v=1}^{p} ((ab)_{iv} c_{vj})\\ &= \sum_{v=1}^{p} \sum_{k=1}^{m} a_{ik} \cdot b_{kv} \cdot c_{vj} \\ & = \sum_{k=1}^{m} \sum_{v=1}^{p} (a_{ik} \cdot b_{kv}) \cdot c_{vj}, \text{propiedad sumatoria(**)}\\ & = \sum_{k=1}^{m} a_{ik} \sum_{v=1}^{p} \cdot b_{kv} \cdot c_{vj}, \quad a_{ik} \text{ toma el papel de una constante} \\ & = \sum_{k=1}^{m} a_{ik} (bc)_{kj} = A \cdot (BC) \end{split} \]

Para comprobar que \(AB \neq BA\) se utiliza un contraejemplo. Además, se debe recodar que el producto de matrices depende del tamaño de las matrices, como ejemplo no podemos realizar el producto de una matriz cuadrada de \(4 \times 4\) con una de tamaño \(3 \times3\).

Propiedades de la transpuesta de matrices

Sea \(A\) una matriz de cualquier tamaño y \(\alpha\) un escalar

\((\alpha A)^t=\alpha A^t\) (*)

\((A+B)^t=A^t+B^t\) (*)

\((A^t)^t=A\) (*)

\((AB)^t=B^t A^t\) (*)

Actividad 3

1. Demostrar las propiedades de matrices enmarcadas con (*).

2. Como ejemplo de la propiedad de sumatoria utilizada en la demostración de producto de matrices: Compruebe que se cumple

\[ \sum_{k=1}^{3} \sum_{v=1}^{4}a_{kv}= \sum_{v=1}^{4}\sum_{k=1}^{3}a_{kv} \]

3. Una matriz \(A\) cuadrada es ortogonal si \(A A^t=I\). Comprobar que la siguiente matriz es ortogonal para cualquier valor de \(\theta\) (Ejemplo tomado de Apostol, p.755, 2001).

\[ \left( \begin{array}{cc} cos( \theta ) & - sen( \theta ) \\ sen( \theta ) & cos( \theta ) \\ \end{array} \right). \]

4. Para cada una de las proposiciones siguientes acerca de las matrices \(n \times n\), dar una demostración o en su lugar un contra ejemplo. (Tomado de Apostol, p.755, 2001)

1. Si \(A\) y \(B\) son ortogonales, \(A + B\) es ortogonal.

2. Si \(A\) y \(B\) son ortogonales, \(AB\) es ortogonal.

3. Si \(A\) y \(AB\) son ortogonales, B es ortogonal.

5. Determinar en caso de que existan, todas las matrices \(B\) que satisfacen cada igualdad (Ejercicio tomado de Costa, Rossignoli, Sorichetti y Vampa, p.44, 2018)

\[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right) +B = B^t + \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 4 & -1 \\ \end{array} \right), \] \[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 3 & -1 \\ \end{array} \right) +B = 2B^t + \left( \begin{array}{cc} 1 & 1\\ 4 & -1 \\ \end{array} \right). \]

6. Demostrar que si \(A\) es una matriz \(n \times n\), entonces \(A+A^t\) es una matriz simétrica y \(A-A^t\) es antisimétrica. De un ejemplo con una matriz de \(2x2\)(Ejercicio tomado de Costa, Rossignoli, Sorichetti y Vampa, p.44, 2018)

7. Considere las siguientes matrices, identifique cuales operaciones se pueden efectuar y calcule en caso que este definido:

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & -1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 2 & -3 & 10\\ \end{array} \right), \quad B= \left( \begin{array}{cccc} -3 & 10 & 7 & 13\\ 0 & 15 & 14 &5\\ 2 & -3 & 10 & 3\\ \end{array} \right), C= \left( \begin{array}{ccc} -10 & 4 & 11 \\ 5 & 9 & 3 \\ \end{array} \right) \] Operaciones:

• \(A+I_3\)

• \((AB)^t\)

• \(B^t A^t\)

• \(C^t I_3\)

• \((AB)^t C^t\)

Sesión de clases 3

Ingreso de matrices en el software R

El software R es un entorno de programación estadística, que posee la ventaja de ser multiplataforma y de licencia libre. Se utilizará RStudio un entorno de compilación más amigable, además posee la ventaja de tener una versión libre en línea (RStudio Cloud).

Interfaz del programa RStudio

Cuando se habla de función en programación se entiende que es un comando que realiza un procedimiento y para el software R se reconocen las funciones cuando están encerrados con \(()\).

Vectores en el software R

Consideremos el vector (matriz columna) \(v= \left( \begin{matrix} 1 \\ 3 \\ 5 \\ 7\\ 7\\ \end{matrix} \right)\).

Para ingresar vectores en R, se utiliza la función \(c(dato_1,dato_2,\cdots,dato_{final})\) y se le agrega un nombre al vector para luego ser utilizado, en este caso es \(v\).

v<-c(1,3,5,7,7)
v

## [1] 1 3 5 7 7

Nota: Se puede utilizar el símbolo \(=\) enlugar de \(<-\) .

Matrices en el software R

Para ingresar matrices en R, se utiliza la función \(matrix()\), consideremos la matriz \(A\) para ilustrar el ejemplo.

\[ A= \left( \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 7 & 2 \\ 12 & 8 & 9 \\ \end{matrix} \right) \]

Procedimiento:

1. Consideremos un vector ordenado con las entadas de la matriz \(A\). Se tienen dos formas de ordenarlo:

Vector ordenado por filas: \(c(1,3,5,0,7,2,12,8,9)\)

Vector ordenado por columnas: \(c(1,0,12,3,7,8,5,2,9)\)

2. Tener en cuenta el número de filas y columnas de la matriz.

3. Tener en cuenta el orden del vector, el cuál podemos controlar por medio de la opción byrow=TRUE para indicar que el vector esta ordenado por filas y para el orden de columnas se puede agregar byrow=FALSE, se suele omitir, porque por defecto la función se encuentra programado con ese valor.

Para la Matriz donde se ordenó el Vector por filas, se digita:

A<-matrix(c(1,3,5,0,7,2,12,8,9),ncol=3,nrow=3, byrow = TRUE)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    3    5
## [2,]    0    7    2
## [3,]   12    8    9

Para la Matriz donde se ordenó el Vector por columna, se digita:

A<-matrix(c(1,0,12,3,7,8,5,2,9),ncol=3,nrow=3)
A

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    3    5
## [2,]    0    7    2
## [3,]   12    8    9

matrix(c(1,0,12,3,7,8,5,2,9),ncol=3,nrow=3,byrow = "FALSE")

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    3    5
## [2,]    0    7    2
## [3,]   12    8    9

Operaciones con matrices en el software R

Consideremos la matriz \(A\) y \(I\).

\[A= \left( \begin{matrix} 1 & 3 & 5 \\ 0 & 7 & 2 \\ 12 & 8 & 9 \\ \end{matrix} \right), \quad I= \left( \begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)\]

Para realizar operaciones se utilizan los símbolos usuales, excepto para la multiplicación de matrices. Para la multiplicación se utiliza \(\% * \%\).

Para sacar la transpuesta de una matriz se utiliza la función \(t()\).

Para ingresar la matriz identidad en R, la función que se utiliza es \(diag(n)\), donde \(n\) indica el tamaño de la matriz \(n \times n\). Se indican las operaciones de matrices en el código:

I<-diag(3)
A<-matrix(c(1,3,5,0,7,2,12,8,9),ncol=3,nrow=3, byrow = TRUE)
# Suma de matrices
C=A+I
C

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    2    3    5
## [2,]    0    8    2
## [3,]   12    8   10

# Resta de matrices
D=I-A
D

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    0   -3   -5
## [2,]    0   -6   -2
## [3,]  -12   -8   -8

# Multiplicación de matrices
E=C%*%D
E

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]  -60  -64  -56
## [2,]  -24  -64  -32
## [3,] -120 -164 -156

# Producto de matriz por un escalar
P=3*I
P

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    3    0    0
## [2,]    0    3    0
## [3,]    0    0    3

# Transpuesta de una matriz
At=t(A)
At

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,]    1    0   12
## [2,]    3    7    8
## [3,]    5    2    9

Obtener entradas de la matriz en el software R

Para obtener la entrada de una matriz con respecto a su posición se utiliza el nombre de la matriz y se encierra con paréntesis cuadrados indicando la posición de la fila y columna que se quiere tener, separando con coma.

Además, se pueden optener los elementos de una fila o columna completa por medio de un espacio en blanco. Para optener los elementos de la diagonal se utiliza la función diag().

I<-diag(3)
A<-matrix(c(1,3,5,0,7,2,12,8,9),ncol=3,nrow=3, byrow = TRUE)
# Entrada de la fila 2, columna 1 de A
x=A[2,1]
x 

## [1] 0

# Entrada de la fila 1, columna 2 de la transpuesta de A
y=At[1,2]
y

## [1] 0

#Elementos de la Fila 1 de A
k=A[1,]  
k

## [1] 1 3 5

#Elementos de la columna 1 de la transpuesta de A
r=At[,1] 
r

## [1] 1 3 5

#Elemento de la Digonal de la matriz A
c=diag(A)
c

## [1] 1 7 9

Visualizar entradas en forma de fracción

Para este ejemplo se quiere optener la inversa de \(A\), la cuál va ser vista más adelante. Al obtener la inversa de la matriz \(A\) con la función \(solve\) se muestra que las entradas son números con decimales. En caso de la enseñanza y aprendizaje nos intereza visualizar las entradas de las matrices en forma de fracción, por lo que utilizaremos el paquete MASS que posee una función con el nombre de fractions().

library(MASS)
A<-matrix(c(1,3,5,0,7,2,12,8,9),ncol=3,nrow=3, byrow = TRUE)
solve(A)

##             [,1]        [,2]         [,3]
## [1,] -0.15614618 -0.04318937  0.096345515
## [2,] -0.07973422  0.16943522  0.006644518
## [3,]  0.27906977 -0.09302326 -0.023255814

fractions(solve(A))

##      [,1]    [,2]    [,3]   
## [1,] -47/301 -13/301  29/301
## [2,] -24/301  51/301   2/301
## [3,]   12/43   -4/43   -1/43

Vídeos complementarios: Esta lista de vídeos resumen la instalación, utilización de RStudio complementado con ejemplos de programación:

Video para instalar R y Rstudio: https://www.youtube.com/watch?v=GlR6HQ90SCo&t=4s

Video utilización de RStudio Cloud, la versión en línea se puede seguir en este vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=o--rUNfzxz8

Vídeo opcional resumen de programación en R: https://www.youtube.com/watch?v=ZOcWmF9oCWY

Utilización de R para Álgebra Lineal - Introducción: https://www.youtube.com/watch?v=eLLSwycQ8Iw

Actividad 4

1. Investigue como ingresar a RStudio datos de un archivo de Excel. Convierta los datos a formato matriz con la función \(as.matrix(A)\), donde \(A\) es el nombre del archivo de Excel. Tome como ejemplo la siguiente matriz:

\[ A= \left( \begin{array}{cccccccccc} 1 & 10 &20 & 10 &50 & 30 & 44 & 50 & 13& 10 \\ 1 & 10 &20 & 10 &50 & 30 & 44 & 50 & 13& 10 \\ 1 & 10 &20 & 10 &50 & 30 & 44 & 50 & 13& 10 \\ 1 & 10 &20 & 10 &50 & 30 & 44 & 50 & 13& 10 \\ 1 & 10 &20 & 10 &50 & 30 & 44 & 50 & 13& 10 \\ 1 & 10 &20 & 10 &50 & 30 & 44 & 50 & 13& 10 \\ 0 & 0 &0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 &0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 &0 & 0 &0 & 0 & 0 & 0 & 0& 0 \\ \end{array} \right) \] 2. Ingrese la matriz \(B\) con la función matrix.

\[ B= \left( \begin{array}{cccccccccc} 1 & 2 &3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10\\ 11 & 12 &13 & 14 & 15 & 16 & 17 & 18 & 19 & 20\\ \end{array} \right) \] - Cuál es el tamaño de la matriz resultante de realizar \(B \cdot A\)

• Realizar la operación \(B \cdot A\) en R.

3. La esta actividad vamos a reconocer una de las importancias de utilizar software para ejercicios de álgebra de matrices que es el tiempo de resolución de ejercicios, considera el siguiente código:

n=2
A=matrix(sample(-10:10,n*n),ncol=n)
B=matrix(sample(-10:10,n*n),ncol=n)
A

##      [,1] [,2]
## [1,]    1   -5
## [2,]  -10    3

B

##      [,1] [,2]
## [1,]    2    7
## [2,]   -5    0

En el fragmento de código, \(n\) representa el tamaño de la matriz cuadrada y la función sample realiza una aleatorización de números enteros entre un rango de -10 a 10. Ahora, aumente el valor de \(n\) en 5, 8 y 12 para realizar las siguientes operaciones, tome el tiempo cronometrado que tarda en realizar las operaciones con papel y lápiz, además realice las operaciones en el software:

\(A+B\)

\(A \cdot B\)

\(B \cdot A\)

Verifique si los resultados obtenidos con papel y lápiz son iguales a los que obtuvo en el software.

Sesión de clases 4

Inversa de una matriz cuadrada

Definición: Sean \(A\), \(B\) dos matrices cuadradas de tamaño \(n \times n\). \(B\) es la matriz inversa de \(A\) si cumple

\[AB=BA=I_n.\]

Donde \(I_n\) representa la matriz identidad y la matriz \(B\) se denota como \(A^{-1}\).

Teoremas:

• Si \(A\), \(B\) son dos matrices de tamaño \(n \times n\) invertibles, entonces \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).

• En caso de existir la matriz inversa de \(A\), su inversa es única.

Actividad 5

1. ¿Se puede encontrar una matriz inversa para \(A\)?

\[ A=\left( \begin{array}{cc} 2 & 3 \\ 4 & 6 \\ \end{array} \right). \]

2. Encuentre matriz inversa de \(B\)

\[ B=\left( \begin{array}{cc} 2 & 1 \\ 3 & 0 \\ \end{array} \right). \]

3. Demuestre cada uno de los siguientes puntos. Si \(A^{-1}\) es la inversa de \(A\), entonces:

• \((A^{-1})^{-1}=A\)

• \((\alpha A)^{-1}= \frac{1}{2} A^{-1}\)

Método para encontrar la matriz inversa

Matriz (A|I)

Es la matriz obtenida a partir de la matriz que se quiere encontrar la inversa, la cuál se escribe al lado izquierdo y al lado derecho se agrega la matriz identidad, denotado por \((A|I)\).

Ejemplo: Si queremos encontrar la inversa de \(A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 2 \\ 2 & 1 \end{array}\right)\), su matriz \((A|I)\) es:

\[ (A|I)= \left( \begin{array}{cc|cc} 1 & 2 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & 0 & 1\\ \end{array}\right) \]

Operaciones elementales en filas

El objetivo de las operaciones elementales de fila, es reducir la matriz \((A|I)\) y llegar a una matriz identidad al lado izquierdo. Se representa la posición \(i\) de la fila de una matriz con \(f_i\), se resumen las siguientes operacione elementales:

• Para indicar que multiplicamos la fila \(i\) por un escalar \(\alpha\), se representa con \(\stackrel{\alpha f_i}{\longrightarrow}\)

• Cuando se cambió la fila \(i\) por la \(j\) se representa con \(f_i \leftrightarrow f_j\)

• Se puede aplicar operaciones \(\stackrel{\alpha f_i+f_j}{\longrightarrow}\), con el objetivo de hace 0 algún valor. El resultado se puede escribir en la fila \(i\) o bien en la fila \(j\). Para efectos de la guía el resultado se agrega a la fila \(f_j\).

Matriz equivalente

En forma general, cuando se aplica cualquier operación elemental a la filas de una matriz, se obtiene una nueva matriz que es equivalente a la original. Si \(B\) es una matriz equivalente a \(A\), se denota con \(A \sim B\)

\[ A \stackrel{\alpha f_i}{\longrightarrow} A_n \]

\[ A \stackrel{\alpha f_i+f_j}{\longrightarrow} B \]

\[ A \stackrel{ f_i \leftrightarrow f_j}{\longrightarrow} B \]

Ejemplo: Método para obtener la inversa de la matriz \(A\)

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 3 &0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0& 6 & 2 \\ \end{array} \right) \] Solución:

\[ \begin{split} (A|I) =\left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 3 &0 &|& 1 & 0& 0 \\ 2 & 5 & 1 & |& 0 & 1& 0 \\ 0& 6 & 2 & |& 0 & 0& 1 \\ \end{array} \right) & \xrightarrow[]{-2f_1+f2} \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 3 &0 &|& 1 & 0& 0 \\ 0 & -1 & 1 & |& -1 & 1& 0 \\ 0& 6 & 2 & |& 0 & 0& 1 \\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{-1 \cdot f2} \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 3 &0 &|& 1 & 0& 0 \\ 0 & 1 & -1 & |& 1 & -1& 0 \\ 0& 6 & 2 & |& 0 & 0& 1 \\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[-6f_2+f_3]{-3f_2+f1} \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 0 &3 &|& -2 & 3& 0 \\ 0 & 1 & -1 & |& 1 & -1& 0 \\ 0& 0 & 8 & |& -6 & 6& 1 \\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{\frac{1}{8}f_3} \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 0 &3 &|& -2 & 3& 0 \\ 0 & 1 & -1 & |& 1 & -1& 0 \\ 0& 0 & 1& |& \frac{-6}{8} & \frac{6}{8} & \frac{1}{8} \\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[f_3+f_2]{-3f_3+f1} \left( \begin{array}{ccccccc} 1 & 0 &0 &|& \frac{1}{4} & -\frac{17}{4}& -\frac{3}{4} \\ 0 & 1 & 0 & |& \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}& \frac{1}{8} \\ 0& 0 & 1& |& \frac{-6}{8} & \frac{6}{8} & \frac{1}{8} \\ \end{array} \right)= \left( I|A^{-1} \right)\\ \end{split} \] Entonces, \[ A^{-1}= \left( \begin{array}{ccc} \frac{1}{4} & -\frac{17}{4}& -\frac{3}{4} \\ \frac{1}{4} & -\frac{1}{4}& \frac{1}{8} \\ \frac{-6}{8} & \frac{6}{8} & \frac{1}{8} \\ \end{array} \right) \]

Actividad 6

1. Con la matriz \(A\) del ejemplo anterior, verificar que se cumple la siguiente igualdad

\[ AA^{-1}=A^{-1}A=I. \]

2. A la matriz \((A|I)\) del ejemplo anterior aplique el cambio de fila \(f_1 \leftrightarrow f_3\), luego aplique el procedimiento para encontrar la inversa de \(A\) sin volver a utilizar el cambio de fila.

3. Considere las matrices \(R\), \(S\) y \(U\)

\[ R=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & -1 \\ 4 & -3 & 4 \\ 3 & -3 & 4 \\ \end{array} \right), \quad S=\left( \begin{array}{ccc} - 1 & 5 \\ 2 & -2 \\ 3 & 5 \\ \end{array} \right), \quad U= \left( \begin{array}{ccc} - 1 & 5 \\ -3 & -2 \\ 7 & 4 \\ \end{array} \right) \]

Calcule la matriz inversa de \(R\) y determine la matriz \(W\) que satisface la siguiente igualdad

\[ R(W^t+S)=U, \text{ (Tomado de Mora et al., p.13, 2018)} \]

4. Sea \(A\) una matriz de tamaño \(3 \times 3\). Si \(S\) se obtuvo aplicando la operación elemental \(3f_1+f2\) a la matriz \(A\) y \(B\) se obtuvo aplicando la operación elemental \(-2f_2\). Justifique si se concluir que \(S\) sea equivalente a \(B\) o que \(B\) sea equivalente a \(S\).

Rango de matrices

Otra de las aplicaciones de aplicar operaciones elementales sobre las filas es para encontrar el rango de una matriz. Si \(A\) es una matriz de cualquier tamaño, el método para encontrar el rango consiste en aplicar operaciones elementales a la matriz hasta llegar a una matriz escalonada.

Una matriz es escalonada cuando cumple las siguiente condiciones:

1. El primer elemento distinto de cero en cada fila es 1.

2. El 1 de la segunda fila se encuentra al lado derecho del primer 1 y sucesivamente en las demas filas

3. Las filas compuestas con solo 0, se ubican en las ultimas posiciones de la fila.

Ejemplos de matrices escalonadas

\[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 0 \end{array} \right), \quad B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right). \] El rango representa el número de filas no nulas de la matriz al aplicar operaciones elementales.

Ejemplo: Encontrar el rango de la matriz \(D\)

\[ D=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 15 & 15& 30 \end{array} \right) \] Solución

\[ \begin{split} D=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 15 & 15& 30 \end{array} \right) & \xrightarrow[]{-15f_1+f3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & -15& -15 \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{-15 f2+f3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0& -90 \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{- \frac{1}{90}f3} \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0& 1 \end{array} \right)\\ \end{split} \] El rango de la matriz \(D\) es 3.

Actividad 7

1. Encontrar el rango de las siguientes matrices:

\[ A=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 4& 7 & 5 \\ 0 & 8 & 0 \end{array} \right), \quad B=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 5 & 3 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 9 & 1 \end{array} \right). \]

Sesión de clases 5

Aplicaciones de matrices

Modelos de regresión por medio la aproximación de ajuste de mínimos cuadrados

Se aplican a un conjunto de datos numéricos escogidos de forma aleatoria, para modelar el comportamiento del promedio condicional a una respuesta \((Y)\) dado ciertas características \((X)\). La aplicación producto de matrices permite obtener la estimación de los coeficientes de la siguiente recta que modela los promedios condicionales

\[ \mu_{Y|X}=\beta_0+\beta_1 X+ \varepsilon \] donde \(\beta=(\beta_0 \quad \beta_1)^t\) son los coeficientes que se quieren estimar, \(X\) es una matriz compuesta en la primera columna por 1 y en la segunda columna los datos de \(x\) y \(\varepsilon\) es el error asociado a la estimación.

Los coeficientes se pueden estimar por medio de la siguiente ecuación matricial

\[ \hat{\beta}= \left( X^tX \right)^{-1} X^{t}Y \]

donde \(Y\) es un vector columna de la respuesta. La ecuación estimada queda de la siguiente forma

\[ \hat{\mu}_{Y|X}=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1 X. \]

Como ejemplo, un investigador comprobar la relación que existe entre el promedio del colegio con respecto a la nota de diagnóstico de matemática, la cuál es requisito para algunas carreras universitarias. Escoge una muestra aleatoria de 25 estudiantes que realizaron la prueba diagnóstica, los datos se muestran en la tabla 30.

\[ \begin{array}{ccccccc} \hline Estudiante & X: Promedio & Y: Nota & & Estudiante & Promedio & Nota \\ \hline 1 & 71.14 & 35.07 & & 2 & 75.54 & 42.95 \\ 3 & 76.03 & 46.09 & & 4 & 71.73 & 41.08 \\ 5 & 80.58 & 40.59 & & 6 & 79.27 & 35.00 \\ 7 & 71.05 & 37.23 & & 8 & 74.47 & 36.26 \\ 9 & 74.53 & 51.83 & & 10 & 71.39 & 41.22 \\ 11 & 71.42 & 48.07 & & 12 & 78.81 & 39.78 \\ 13 & 77.50 & 40.39 & & 14 & 77.52 & 39.17 \\ 15 & 75.75 & 43.44 & & 16 & 86.86 & 55.00 \\ 17 & 87.53 & 56.06 & & 18 & 90.03 & 54.02 \\ 19 & 90.51 & 61.61 & & 20 & 88.32 & 72.52 \\ 21 & 89.29 & 56.97 & & 22 & 85.85 & 52.12 \\ 23 & 90.46 & 62.53 & & 24 & 86.94 & 65.70 \\ 25 & 85.91 & 69.30 & & 26 & 82.84 & 53.44 \\ 27 & 84.63 & 54.64 & & 28 & 81.02 & 65.39 \\ 29 & 90.85 & 62.23 & & 30 & 90.54 & 60.52 \\ 31 & 98.33 & 83.30 & & 32 & 96.81 & 75.01 \\ 33 & 91.43 & 70.99 & & 34 & 93.73 & 79.18 \\ 35 & 94.66 & 77.46 & & 36 & 95.64 & 77.66 \\ 37 & 95.10 & 71.25 & & 38 & 98.54 & 80.71 \\ 39 & 91.77 & 64.93 & & 40 & 98.05 & 73.36 \\ \hline \end{array} \]

load("datos.RData")
X=data$x
Y=data$y
plot(X,Y,xlab="Promedio",ylab="Nota diagnóstico")

Al realizar los puntos de cada observación de los promedios contra la nota del diagnóstica (conocido como gráfico de disperción), se observa un comportamientos lineal, lo cuál indica que se puede aplicar una regresión lineal.

Para estimar los coeficientes se tienen:

\[ Y = \left( \begin{array}{c} 35.07\\ 42.95\\ 46.09\\ \vdots \\ 64.93\\ 73.36\\ \end{array} \right), \quad X= \left( \begin{array}{cc} 1 & 71.14 \\ 1 & 75.54 \\ 1& 76.03 \\ \vdots & \vdots \\ 1 & 91.77 \\ 1 & 98.05 \\ \end{array} \right) \]

Las estimaciones de los coeficientes son

\[ \hat{\beta}= \left[ \left( \begin{array}{cc} 1 & 71.14 \\ 1 & 75.54 \\ 1& 76.03 \\ \vdots \\ 1 & 91.77 \\ 1 & 98.05 \\ \end{array} \right)^{T} \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 71.14 \\ 1 & 75.54 \\ 1& 76.03 \\ \vdots \\ 1 & 91.77 \\ 1 & 98.05 \\ \end{array} \right) \right] ^{-1} \cdot \left( \begin{array}{cc} 1 & 71.14 \\ 1 & 75.54 \\ 1& 76.03 \\ \vdots \\ 1 & 91.77 \\ 1 & 98.05 \\ \end{array} \right)^{t} \left( \begin{array}{c} 35.07\\ 42.95\\ 46.09\\ \vdots \\ 64.93\\ 73.36\\ \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} -70.2751 \\ 1.4989 \end{array} \right) \]

El promedio estimado de la nota del diagnóstico dado el promedio obtenido en el colegio, se puede modelar mediante la ecuación:

\[ \hat{\mu}_{Nota|Promedio} = -70.2751+1.4989 \cdot Promedio \]

Con este modelo se puede realizar estimaciones, como ejemplo cuál va ser el promedio diagnóstico de estudiantes que tienen una nota de 95 en el promedio de colegio.

\[ \hat{\mu}_{Nota|90} = -70.2751+1.4989 \cdot 90=64.6259 \]

Análisis de semántica latente

Es un método para realizar de minería de texto, aplicado al análisis de discursos políticos, presidenciales, revistas científicas, entre otras áreas. Como parte del método se utiliza la aplicación de matrices para encontrar la matriz de términos- términos y la matriz de documentos- documentos que son fundamentales para otros análisis del método de minería de texto. Se brinda un ejemplo para obtener dichas matrices.

Las siguientes son 4 frases escogidas de forma aleatoria en noticias publicadas en Facebook en Abril del 2020.

F1: La OMS declara pandemia al coronavirus Covid-19.

F2: Los síntomas del nuevo coronavirus son similares a la gripe.

F3: Se reporto el primer caso de Covid-19 en China.

F4: La primer cuarentena de la pandemia tuvo lugar en China,ahora Italia está en cuarentena.

Se considera una matriz que representa la frecuencia de las palabras en cada frase:

\[ A=\left( \begin{array}{rrrrr} Palabra|&F1 & F2 & F3 & F4\\ OMS|&1 & 0 & 0 &0\\ Declara & 1 & 0& 0&0 \\ Pandemia|&1 & 0 & 0& 1\\ Coronavirus|&1 & 1 & 0&0 \\ Covid-19|&1 & 0 &1 &0\\ Sintomas|&0 & 1 & 0& 0\\ Nuevo|&0 & 1 & 0&0 \\ Similares|&0 & 1 & 0 &0\\ Gripe|&0 & 1 & 0 &0\\ Reporto|&0 & 0 & 1 &0\\ Primer|&0 & 0 & 1& 1\\ Caso|&0& 0 & 1 &0\\ China|&0& 0 & 1&1\\ cuarentena|&0 & 0 & 0&2 \\ lugar|&0 & 0 & 0 &1\\ Italia| &0 &0 & 0&1\\ \end{array} \right) \]

La matriz términos - términos se define como \(B = A A^t\)

ejemplo <- read.delim("ejemplo.txt")
A=as.matrix(ejemplo)
B=A%*%t(A)
B

##       [,1] [,2] [,3] [,4] [,5] [,6] [,7] [,8] [,9] [,10] [,11] [,12] [,13]
##  [1,]    1    1    1    1    1    0    0    0    0     0     0     0     0
##  [2,]    1    1    1    1    1    0    0    0    0     0     0     0     0
##  [3,]    1    1    2    1    1    0    0    0    0     0     1     0     1
##  [4,]    1    1    1    2    1    1    1    1    1     0     0     0     0
##  [5,]    1    1    1    1    2    0    0    0    0     1     1     1     1
##  [6,]    0    0    0    1    0    1    1    1    1     0     0     0     0
##  [7,]    0    0    0    1    0    1    1    1    1     0     0     0     0
##  [8,]    0    0    0    1    0    1    1    1    1     0     0     0     0
##  [9,]    0    0    0    1    0    1    1    1    1     0     0     0     0
## [10,]    0    0    0    0    1    0    0    0    0     1     1     1     1
## [11,]    0    0    1    0    1    0    0    0    0     1     2     1     2
## [12,]    0    0    0    0    1    0    0    0    0     1     1     1     1
## [13,]    0    0    1    0    1    0    0    0    0     1     2     1     2
## [14,]    0    0    2    0    0    0    0    0    0     0     2     0     2
## [15,]    0    0    1    0    0    0    0    0    0     0     1     0     1
## [16,]    0    0    1    0    0    0    0    0    0     0     1     0     1
##       [,14] [,15] [,16]
##  [1,]     0     0     0
##  [2,]     0     0     0
##  [3,]     2     1     1
##  [4,]     0     0     0
##  [5,]     0     0     0
##  [6,]     0     0     0
##  [7,]     0     0     0
##  [8,]     0     0     0
##  [9,]     0     0     0
## [10,]     0     0     0
## [11,]     2     1     1
## [12,]     0     0     0
## [13,]     2     1     1
## [14,]     4     2     2
## [15,]     2     1     1
## [16,]     2     1     1

Matriz documentos - documentos \(C = A^t A\)

C=t(A)%*%A
C

##    F1 F2 F3 F4
## F1  5  1  1  1
## F2  1  5  0  0
## F3  1  0  5  2
## F4  1  0  2  9

Posteriormente, se realizan otros procedimientos para realizar un análisis del texto. Sin embargo, en dicho procedimiento se utiliza matrices con auto vectores propios, dicho tema no se encuentra contemplado en la propuesta didáctica, pero se desarrolla en el curso. Puedes consultar detalladamente el procedimiento matricial en Valero (2017).

Vídeo que resume procedimiento:

Ejercicios de Matrices y Sistemas de Ecuaciones Lineales https://www.youtube.com/watch?v=neKQABJRtHc

Actividad 8

1. Supongamos que un contratista de obra ofrece los siguientes tipos de viviendas residenciales que tienen los requisitos de insumos indicados en la tabla siguiente:

\[ \begin{array}{|r|cccc|} \hline \text{Vivienda e insumos} &Acero & Madera & Vidrio & \text{Mano de obra}\\ \hline Campestre&5 & 20 & 16 & 17\\ California&7 & 18 & 12 &21\\ Colonial & 6 & 25& 6&13\\ \hline \end{array} \]

Supongamos ahora que el contratista mencionado recibe un pedido para construir 5 casas de tipo campestre, 7 del tipo California, y 12 del tipo Colonial.

Determinar el requerimiento de insumos (Cantidad de materiales y mano de obra) por medio de la relación

\[ R= xA \]

Donde \(x\) corresponde a una matriz columna de los requerimientos y \(A\) los datos que se disponen en la tabla.

2. Realizar una analisis de regresión de mínimos cuadrados utilizando los siguientes datos, que corresponden a la exportaciones de moluscos y peces en Costa Rica, para predecir cuantos kilos se exportarán en el 2019, suponiendo que el comportamiento es lineal. Los datos fueron escogudos de forma aleatoria.

\[ \begin{array}{|c|c|} \hline Año & Kilos\\ \hline 1999 & 21 974 981\\ 2001 & 32 033 516\\ 2002 & 32 394 710\\ 2007 & 15 895 804\\ 2010 & 12 813 288\\ 2011 & 14 632 046\\ 2012 & 17 818 512\\ 2015 & 13 630 430\\ \hline \end{array}\\ \] \[ \text{Fuente: Datos tomados Estadísticas ambientales producidas por el INEC} \]

3. Calcule la matriz de terminos-terminos y documentos-documentos del siguiente parrafo (Datos tomados de Grarajes, 2018):

De seguir a este ritmo, a nivel mundial, la ONU estima que para el 2050 habrá más plástico que peces en el mar.

El 80% del plástico desechado es lanzado al mar.

De acuerdo con el Programa de Naciones Unidas para el Desarrollo (PNUD), la industria del plástico es la tercera industria más grande de Costa Rica.

El problema es que la cantidad de plástico que desechamos también es sorprendente. Según el PNUD, por día, Costa Rica desecha cerca de 550 toneladas de plástico diariamente.

A pesar de los esfuerzos que hace el país por cuidar el ambiente, los expertos concuerdan en que una de las mayores debilidades es la falta de una ley que regule el uso del plástico.

Sesión de clases 6

Determinantes \(2 \times 2\)

Sea \(A \in M_{2} (\mathbb{R})\)

\[ A= \left( \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right). \]

Se denota el determinante de \(A\) como \(|A|\) y para el caso de matrices de tamaño \(2\times 2\) se define

\[ |A|= \left| \begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \\ \end{array} \right| =a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} \]

Observación: También se puede utilizar la notación \(det(A)\) para indicar el determinante de la matriz \(A\).

Menor principal

Sea \(A\) una matriz de \(n \times n\) y sea \(M_{ij}\) la matriz de tamaño \((n-1) \times (n-1)\) que se obtiene de \(A\), eliminando la fila \(i\) y la columna \(j\). \(M_{ij}\) se llama el menor \(ij\) de \(A\).

Cofactor

Sea \(A\) una matriz de \(n\times n\). El cofactor \(ij\) de \(A\), denotado por \(A_{ij}\), está dado por

\[ A_{ij}=(-1)^{i+j}|M_{ij}| \]

Determinante

Sea \(A \in M_{n} (\mathbb{R})\), el determinante de \(A\) calculado a partir de la fila en la posición \(i\) está dado por

\[ |A|=a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+ \cdots+ a_{1n}A_{1n}= \sum_{k=1}^{n}a_{1k}A_{1k} \]

Esta definición se conoce como el desarrollo por cofactores.

Procedimiento para encontrar el determinante

\[ A= \left( \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0& 6 & 2 \\ \end{array} \right). \]

Solución: Desarrollando la definición en la primera fila

\[ \begin{split} |A| &=\left| \begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 2 & 5 & 1 \\ 0& 6 & 2 \\ \end{array} \right| \\ & = a_{11}A_{11}+a_{12}A_{12}+a_{13}A13 \\ & = a_{11}(-1)^{1+1}|M_{11}|+a_{12}(-1)^{1+2}|M_{12}|+a_{13}(-1)^{1+3}|M_{13}|\\ & = 1 \cdot(-1)^{1+1} \cdot \left| \begin{array}{cc} 5&1\\ 6 & 2\end{array}\right| +0\cdot(-1)^{1+2} \left| \begin{array}{cc} 2&0\\ 1 & 2\end{array}\right|+0\cdot(-1)^{1+3} \left| \begin{array}{cc} 2&0\\ 5 & 6\end{array}\right|\\ &=5\cdot 2-1 \cdot 6\\ &=4. \end{split} \]

Actividad 9

1. Realizar el procedimiento para encontrar el determinate de la matriz \(A\) del ejemplo anterior, utilice la definición en la fila 2 y luego en la fila 3.

2. Analice que sucede con el determinante si aplicamos la definición operaciones elementales a las filas. ¿ Qué se puede concluir?

Propiedades del determinante

1. Sean \(A\) , \(B \in M_{n} (\mathbb{R})\), los determinantes cumplen las siguientes propiedades:

• \(|AB|=|A||B|\)

• \(|A^t|=|A|\)

2. Si \(A\) es una matriz cuadrada y posee una fila (o columna) de ceros, entonces el determinante de la matriz es 0.

3. Si \(A\) es una matriz cuadrada y \(B\) una matriz obtenida a partir de la multiplicación del escalar \(c\) a la fila \(i\), Entonces \(|B|=c \cdot |A|\)

\[ A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{i1} & a_{i2} & \cdots & a_{in}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right), \quad B=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ c\cdot a_{i1} & c\cdot a_{i2} & \cdots & c\cdot a_{in}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right) \] 4. Si \(A\) es una matriz con dos filas iguales o columnas, entonces \(|A|=0.\)

Relación de la matriz inversa y determinantes

Sea \(A\) es una matriz cuadrada \(n \times n\), entonces \(|A| \neq 0\) si y solo si \(A^{-1}\) existe. Además, si \(A^{-1}\) existe entonces \(|A^{-1}|= \frac{1}{|A|}\)

Actividad 10

1. De ejemplo de una matriz de tamaño \(2 \times 2\) con determimante distinto de cero. Encuentre una relación del determinante de \(A\) cuando se aplica operaciones elementales en la fila. A partir de las concluciones calcule el determinante de \(B\) aplicando operaciones elementales de fila

\[ B= \left| \begin{array}{cccc} 1 & 2 & 5 & 6 \\ 0 & 1 & 2 & 9 \\ 3 & -10 & 0 & 2 \\ 1 & 3 & 2 & 1 \\ \end{array} \right|. \]

2. Demuestre por medio de contraejemplo que dado \(A\) y \(B\) matrices cuadradas, \(|A+B| \neq |A|+|B|.\)

3. Calcule el determinante de \(B\) aplicado la definición en cualquier fila, adiccionalmente aplique el mismo método pero aplicado a cualquier columna. ¿ El resultado es el mismo?

4. Una de las aplicaciones de determinantes en matrices de tamaño \(2 \times 2\) es el cálculo de área de paralelogramos. Considere dos vectores direccionales \(u=(u_1,u_2)\) y \(v=(v_1,v_2)\) , el área del paralelogramo determinado por esos vectores se puede calcular

\[ \left| \begin{array}{cc} u_1 & u_2\\ v_1 & v_2 \\ \end{array} \right|. \] Grafique los vectores direccionales \(u=(1,1)\) y \(v=(1,-2)\). Calcule el área del paralelogramo utilizando el determinante.

5. Determine si las siguientes matrices poseen inversa y cálcule la inversa utilizando el determinante

\[ \left( \begin{array}{ccc} 5 & 3 & 2 \\ 10 & 6 & 4 \\ 1 & 2 & 0 \\ \end{array} \right) , \quad \left( \begin{array}{cccc} 1 & 3 & 2 & -10 \\ 3 & -1 & 4 & -1\\ 1 & 2& 0 & 3 \\ 11 & -9& 8 & -5 \\ \end{array} \right), \quad \left( \begin{array}{ccccc} 1 & 0 & 0 & 0 & 10\\ 2 & 3 & -2 & -9 & 4\\ 3 & -6 & 2 & -3 & 5\\ 5 & -7 & 6 & 0 & 6\\ 7 & -15 & -7 & -1 & 4\\ \end{array} \right) \]

6. La fórmula para obtener la estimación de coeficientes por medio de regresión por mínimos cuadrados es:

\[ \hat{\beta}= \left( X^tX \right)^{-1} X^{t}Y \] Suponiendo que existe una relación lineal y los supuestos para aplicar el modelo. ¿Cuál es la condición matemática para aplicar el método?

Paquete matlib para encontrar la inversa y determinantes con R

El paquete matlib de R permite resolver ejercicios relacionados a matrices, determinantes y sistemas de eucaciones lineales.

Inversa de matrices con R

Ejemplo: consideramos la matriz \(A\)

\[ A=\left( \begin{array}{rrrr} 1 & -4 & -5 & -5 \\ 3 & -1 & 3 & 0 \\ 5 & -2 & 1 & 5\\ 5 & -2 & -3 & 0\\ \end{array} \right) \]

Para Calcular la inversa de una matriz \(A\), se utiliza la función Inverse(A, verbose=TRUE, fractions=TRUE) del paquete matllib. Dentro de la función se agrega la opciones verbose=TRUE para mostrar el procedimiento computacional de como se cálculo la ibversa y fractions=TRUE para mostrar en forma de fracción el resultado.

Ejemplo: Calcular la inversa la matriz \(A\).

A=matrix(c(1,-4,-5,-5,3,-1,3,0,5,-2,1,5,5,-2,-3,0), ncol=4,byrow = TRUE)
library(matlib)
Inverse(A, verbose=TRUE, fractions=TRUE)

Rango de matrices

Por medio de la función R(A) del paquete matlib se obtiene el rango de la matriz A.

A=matrix(c(1,-4,-5,-5,3,-1,3,0,5,-2,1,5,5,-2,-3,0), ncol=4,byrow = TRUE)
library(matlib)
R(A)

Determinantes

Función para Cofactor: Se utiliza la función cofactor(A, i, j) con A una matriz cuadrada, donde i indica la posición de filas y j la de columna.

Ejercicio: Calcular el determinante de \(A\), utilizando la función cofactor() en la primera fila.

Recordar el siguiente resultado

\[ |A|= \sum_{k=1}^{n} a_{ik} C_{ik} \]

donde \(i\) es la fila desarrollada para sacar los cofactores \(C_{ki}\).Recordemos que en R se puede optener la entrada de la fila \(i\) y columna \(j\) de la matriz \(A\) con \(A[i,j]\).

A=matrix(c(1,-4,-5,-5,3,-1,3,0,5,-2,1,5,5,-2,-3,0), ncol=4,byrow = TRUE)
library(matlib)
detA=A[1,1]*cofactor(A,1,1)+A[1,2]*cofactor(A,1,2)
+A[1,3]*cofactor(A,1,3)+A[1,4]*cofactor(A,1,4)
det(A) #Para comprobación

Menor principal: Se obtiene del determinantes de la matriz a la que se le suprime la fila i y columna j. Se utiliza la función minor(A,i,j) con A matriz cuadrada, i es la posición de la fila y j la posición de la columna.

Ejemplo: Calcular el determinante de la matriz obtenida al suprimir la fila 3 y columna 3 de \(A\), utilizando la función minor().

A=matrix(c(1,-4,-5,-5,3,-1,3,0,5,-2,1,5,5,-2,-3,0), ncol=4,byrow = TRUE)
library(matlib)
Minor(A,3,3)

Vídeo resumen de utilización

Matrices, determinantes y sistemas de ecuaciones lineales con matlib: https://www.youtube.com/watch?v=fmuwadZwowQ

Sesión de clases 7

Actividad 10

Resolver el siguiente problema

La compañía Sunrise Porcelain fabrica tazas y platos de cerámica. Para cada taza o plato un trabajador mide una cantidad fija de material y la pone en la máquina que los forma, de donde pasa al vidriado y secado automático. En promedio, un trabajador necesita tres minutos para iniciar el proceso de una taza y dos minutos para el de un plato. El material para una taza cuesta 25 dólares y el material para un plato cuesta 20 dólares. Si se asignan 44 dólares diarios para la producción de tazas y platos, ¿cuántos deben fabricarse de cada uno en un día de trabajo de 8 horas, si un trabajador se encuentra trabajando cada minuto y se gastan exactamente 44 dólares en materiales? (Tomado de Grosman y Flores, p.8,)

Entre los métodos que se pueden utilizar para resolver el problema se encuentran la sustitución de variables. Con la ayuda de la teoría de matrices veremos como resolver sistemas de ecuaciones lineales.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de \(n\) ecuaciones lineales y \(m\) incógnitas \(x_1,\cdots ,x_m\), se escribe en la forma:

\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} a_{11}x_1 & +& a_{12}x_2& +& \cdots & +& a_{1m}x_m& =& b_1 \\ a_{21}x_1 & +& a_{22}x_2& +& \cdots & +& a_{2m}x_m& =& b_2 \\ \vdots & +& \vdots& +& \vdots & +& \vdots& =& \vdots \\ a_{n1}x_1 & +& a_{n2}x_2& +& \cdots & +& a_{nm}x_m& =& b_n \\ \end{array} \right. \] donde los números \(a_{ij}\) y \(b_i\) son valores conocidos. Los valores \(a_{ij}\) denota el coeficiente en la ecuación \(i\) asociado a la variable \(j\).

En forma matricial se puede escribir un sistema de ecuaciones lineales como \(AX=b\), donde

\[ A=\left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots\\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right), \quad X= \left( \begin{array}{c} x_{1} \\ x_{2} \\ \vdots \\ x_{n} \end{array} \right) \quad \text{y } b= \left( \begin{array}{c} b_{1} \\ b_{2} \\ \vdots \\ b_{n} \end{array} \right) \]

Sistema consistente

Un sistema de ecuaciones lineales se dice que es consistente cuando posee solución y cuando el sistema no posee solución es un sistema inconstante.

Ejemplo método de solución de sistemas de ecuaciones lineales

La representación de la matriz aumenta es \((A|b)\), donde \(A\) es la matriz con los coeficientes del sistema y \(b\) es el vector columna de la respuestas del sistema. Al aplicar operaciones elementales en la filas de la matriz aumentada se obtiene una matriz que representa un sistema de ecuación lineal equivalente, que en terminos prácticos nos intesa ya que los sistemas equivalente poseen la misma solución.

Primer método: Se aplica operaciones elementales en las filas de la matriz aumentada para llegar a una matriz de forma triangular

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y & = & 1 \\ x+y & = & 4 \\ x+y+z & = & 6 \end{array} \right. \]

La matriz aumentada del sistema es

\[ (A|b)=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 0 & | & 1\\ 1 & 1 & 0 & | & 4\\ 1 & 1 & 1 & | & 6\\ \end{array} \right) \] Tenemos que aplicar operaciones elementales de fila, para llegar a una matriz triángular.

\[ (A|b)=\left( \begin{array}{ccccc} 2 & 1 & 0 & | & 1\\ 1 & 1 & 0 & | & 4\\ 1 & 1 & 1 & | & 6\\ \end{array} \right) \xrightarrow[]{-f_2+ f_1} \left( \begin{array}{ccccc} 1& 0 & 0 & | & -3\\ 1 & 1 & 0 & | & 4\\ 1 & 1 & 1 & | & 6\\ \end{array} \right). \]

Luego de aplicar la operación se obtiene el siguiente sistema

\[ \left\{ \begin{array}{rcll} x & = & -3 & \text{Ecuación 1} \\ x+y & = & 4 & \text{Ecuación 2} \\ x+y+z & = & 6 & \text{Ecuación 3} \end{array} \right. \]

Ahora se sustituye \(x\) en la ecuación 2, con el valor de \(x\) de la ecuación 1, y se obtiene

\[ -3 +y =4 \Rightarrow y = 7. \] Luego se sustituye los valores de \(x\), \(y\) en la ecuación 3

\[ -3+7+z=6 \Rightarrow z=2. \] De esta manera se tiene que la solución del sistema de ecuación es

\[ S= \left( \begin{array}{c} -3 \\ 7 \\ 2 \\ \end{array} \right). \]

A este método se le conoce como el método de reducción o eliminación de Gaussiana.

Método 2: Al reducir la matriz optenida anteriormente a una matriz identidad, se tiene

\[ \begin{split} (A|b)=\left( \begin{array}{ccc|c} 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 0 & 4\\ 1 & 1 & 1 & 6\\ \end{array} \right) & \xrightarrow[]{f_2 <-> f_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 1 & 0 & 4\\ 2 & 1 & 0 & 1\\ 1 & 1 & 1 & 6\\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[-f1+f3]{-2f_1+f_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 1 & 0 & 4\\ 0 & -1 & 0 & -7\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{-2f_2} \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 1 & 0 & 4\\ 0 & 1 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{-f_2+f_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 0 & 0 & -3\\ 0 & 1 & 0 & 7\\ 0 & 0 & 1 & 2\\ \end{array} \right)\\ \end{split} \]

Este método se conoce como reducción Gauss-Jordan o Jordan-Gauss.

Regla de Cramer

Otro de los métodos, para encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales con solución unica es el método de Cramer.

Sea \(AX=b\) un sistema de ecuaciones con \(n\) incognitas y \(n\) ecuaciones, donde

\[ A = \left( \begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn}\\ \end{array} \right), \quad X= \left( \begin{array}{c} x_1\\ x_2\\ \vdots \\ x_n\\ \end{array} \right), \quad b= \left( \begin{array}{c} b_1\\ b_2\\ \vdots \\ b_n\\ \end{array} \right) \] Un teorema nos dice que el sistema \(AX=b\) tiene solución única si y solo si \(|A| \neq 0\).

La regla de Cramer nos dice que la solución única del sistema es

\[ x_1=\frac{|A_1|}{|A|}, \quad x_2=\frac{|A_2|}{|A|}, \cdots, \quad x_n=\frac{|A_n|}{|A|} \] donde \(A_i\) representa la matriz que se optiene cambiando la fila \(i\) por \(b\).

Ejemplo: Considerando el sistema de ecuaciones lineales \[ \left\{ \begin{array}{rcl} 2x+y & = & 1 \\ x+y & = & 4 \\ x+y+z & = & 6 \end{array} \right. \]

Sabemos, por el ejemplo anteior, que posee solución única.

\[ A=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), \quad b=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 4 \\ 6 \\ \end{array} \right) \] Para obtener la matriz \(A_1\), se remplaza la columna 1 de la matriz A, por los valores de la matriz columna b. De igual forma se obtiene \(A_2\) cambiando la columna 2 y para la matriz \(A_3\) la columna \(A_3\).

\[ A_1=\left( \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 6 & 1 & 1 \\ \end{array} \right), \quad A_2=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 6 & 1 \\ \end{array} \right), \quad A_3=\left( \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \\ 1 & 1 & 6 \\ \end{array} \right) \]

Posteriormente, se calcula el valor que corresponde cada variable.

\[ x= \frac{|A_1|}{|A|} = \frac{\left| \begin{array}{ccc} 1 & 1 & 0 \\ 4 & 1 & 0 \\ 6 & 1 & 1 \\ \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right|} = \frac{-3}{1}=-3 \]

\[ y= \frac{|A_2|}{|A|} = \frac{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 4 & 0 \\ 1 & 6 & 1 \\ \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right|} = \frac{7}{1}=7 \]

\[ z= \frac{|A_3|}{|A|} = \frac{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 4\\ 1 & 1 & 6\\ \end{array} \right|}{\left| \begin{array}{ccc} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right|} = \frac{2}{1}=2 \]

Descripción de solución en sistemas de ecuaciones lineales

Solución Única: Si aplicamos la reducción Gauss-Jordan a un sistema de la forma \(AX=b\) y se obtiene una matriz equivalente a la matriz a la identidad, el sistema tiene solución única.

Ejemplo: Considerando el sistema de ecuaciones lineal

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x+y & = & -3 \\ x+2y & = & 4 \\ \end{array} \right. , \] Se puede representar por medio de la matriz aumentada de la siguiente forma:

\[ \begin{split} (A|b)=\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 4\\ \end{array} \right) \end{split} \] Se aplica el procedimiento para reducir la matriz

\[ \begin{split} (A|b)=\left( \begin{array}{cc|c} 1 & 1 & -3 \\ 1 & 2 & 4 \\ \end{array} \right) & \xrightarrow[]{-f_1+ f_2} \left( \begin{array}{cc|c} 1& 1 & -3\\ 0 & 1 & 7 \\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{-f_2+f_1} \left( \begin{array}{cc|c} 1& 0 & -10 \\ 0 & 1 & 7 \\ \end{array} \right)\\ \end{split} \]

Al representar la matriz a la cuál llegamos, se tiene

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x & = & -10 \\ y & = & 7 \\ \end{array} \right. , \]

Soluciones infinitas o dependiendo de un parámetro: Si al aplica el método de Gauss-Jordan a la matriz aumentada \((A|b)\) y se obtiene una o más filas con ceros, el sistema tiene soluciones dependiendo de parámetros. También se puede obtener soluciones dependiendo de parámetros cuando el sistema tiene más parámetros que ecuaciones.

Ejemplo aplicación: Considerando la siguiente matriz aumentada, la cuál representa un sistema de ecuaciones lineales.

\[ \begin{split} (A|b)=\left( \begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 5 & 2\\ 2 & 4 & 6 & 2\\ \end{array} \right) & \xrightarrow[]{-2f_1+ f_3} \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 2 & 3 & 1\\ 0 & 1 & 5 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)\\ & \xrightarrow[]{-2f_2+f_1} \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 0 & -7 & -3\\ 0 & 1 & 5 & 2\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ \end{array} \right)\\ \end{split} \]

El sistema que representa es

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x -7z & =&-3 \\ y+5z& =& 2 \\ 0&=&0\\ \end{array} \right. \]

Despejando \(x\) y \(y\), se optiene:

\(x=-3+7z\)

\(y=2-5z\)

De esta manera se escibe la solución del conjunto solución por comprensión

\[ S= \left\{ Z \in R \left| \left( \begin{array}{c} -3+7z \\ 2-5z \\ z \\ \end{array} \right) \right\} \right. \]

Solución inconsistente: Si al aplicar el método de reducción se obtiene alguna contradicción con el sistemas. Por lo general la fila de coeficientes es 0 y el resultado es cualquier valor diferente de 0.

Ejemplo sistema inconsistente

Al aplicar el método de reducción se llega al siguiente resultado:

\[ \left( \begin{array}{cccc} 1 & 0 & | & 1 \\ 0 & 0 & | & 2 \\ \end{array} \right) \Rightarrow \left\{ \begin{array}{c} x=1,\\ 0=2. \end{array} \right. \] La contradicción del sistema se da \(0=2\), lo cuál es falso y por ello el sistema no posee solución.

Actividad

1. Determine el comportamiento de la solución de sistema de ecuaciones lineales cuando el determinante de la matriz de coeficientes es 0. Considere los siguientes sistemas, cálcule y determine si posee o no solución.

\[ \left\{ \begin{array}{rcl} x+z&=&2\\ 2y&=&6\\ x+y+z&=&5 \end{array} \right., \quad \left\{ \begin{array}{rcl} 3x_1+3x_3&=&22\\ 2x_1+2x_2&=&24\\ x_1+x_3&=&7. \end{array} \right. \]

2. Determinar el valor de la constante \(K\) para que el siguiente sistemas posea:

• Solución única

• Soluciones infinitas

• No posea soluciones

\[ \left\{ \begin{array}{ccc} x+y+kz & = & 2 \\ 3x+4y+2z & =& k \\ 2x+3y-z &= & 1 . \\ \end{array} \right. \]

3. Modelo abierto de Leontief : Se quiere calcular la demanda final a partir de una matriz de tecnología. Se tiene la siguiente igualdad

\[ (I-A)X=D, \quad \text{donde } A \text{ es una matriz tecnológica y } D \text{ indica la demanda final} \] Si la matriz de tecnológia es

\[ \begin{array}{c|ccc} &Agricultura & Siderurgía & Carbón \\ \hline Agricultura &0.1 & 0.01 & 0.01\\ Siderurgía &0.02 & 0.13 & 0.20 \\ Carbón & 0.05& 0.18& 0.05\\ \end{array} \]

Con un superávits de 2350 toneladas producción agrícola, 4552 acero y 911 de carbón. Represente el sistema y calcular la producción bruta.

4 . Plantee el sistema de ecuaciones lieales del siguiente problema y encuentre la solución:

Un departamento de pesca y caza del estado proporciona tres tipos de comida a un lago que alberga a tres especies de peces. Cada pez de la especie 1 consume cada semana un promedio de 1 unidad del alimento A, 1 unidad del alimento B y 2 unidades del alimento C. Cada pez de la especie 2 consume cada semana un promedio de 3 unidades del alimento A, 4 del B y 5 del C. Para un pez de la especie 3, el promedio semanal de consumo es de 2 unidades del alimento A, 1 unidad del alimento B y 5 unidades del C. Cada semana se proporcionan al lago 25 000 unidades del alimento A, 20 000 unidades del alimento B y 55 000 del C. Si suponemos que los peces se comen todo el alimento, ¿cuántos peces de cada especie pueden coexistir en el lago? (Tomado de Grossman y Flores, p.17, 2012).

Representación geométrica de sistemas de ecuaciones lineales

Para sistemas conformados por dos variables y dos igualdades, por ejemplo

\[ \left\{ \begin{array}{ccc} a_{11}x+a_{12}y&=&b_1\\ a_{21}x+a_{22}y&=&b_2.\\ \end{array} \right. \] cada una de las ecuaciones representa una recta en el plano cartesiano, en caso de que dichas rectas se intersequen entonces el sistema tiene solución única. En caso de que las rectas sean paralelas el sistema de ecuaciones lineales no posee solución y cuando coinciden las dos rectas las solución depende de parámetros.

Solución dependiendo de parametros

No existe solución

Solución Única

Sistemas de ecuaciones lineales con matlib

Eliminación Gauss-Jordan: La función que permite realizar el método de eliminación Gauss-Jordan en sistemas de ecuaciones lineales es gaussianElimination(A, b, verbose=TRUE, fractions=TRUE) donde A es la matriz de coeficientes, b el vector de resultados, verbose=TRUE es una indicación que permite ver el desarrollo del método y fractions=TRUE es para observar las entradas de la matriz con fracciones.

Ejemplo: Resolver el sistema utilizando el método Gauss-Jordan

\[ \left\{ \begin{array}{ccccccccc} x & - &4y & -&5z & -&5w & = & 0 \\ 3x & - &y & +&3z & & & = & 0 \\ 5x & - &2y & +&z & + & w & = & 0\\ 5x & - &2y & -&3z & & &= & 0.\\ \end{array} \right. \]

A=matrix(c(1,-4,-5,-5,3,-1,3,0,5,-2,1,5,5,-2,-3,0), ncol=4,byrow = TRUE)
library(matlib)
b=rep(0,4)
gaussianElimination(A,b,fractions = TRUE,verbose = TRUE) 

Nota: Otra función de matlib que permite encontrar la solución de sistemas de ecuaciones es Solve(A,b).

A=matrix(c(1,-4,-5,-5,3,-1,3,0,5,-2,1,5,5,-2,-3,0), ncol=4,byrow = TRUE)
library(matlib)
b=rep(0,4)
Solve(A,b,fractions = TRUE,verbose = TRUE) 

Gráficas de sistemas

El paquete matlib posee dos funciones para la gráficación de sistemas. La función plotEqn(A, b) para graficar rectas y plotEqn3d(A,b) para planos.

Ejemplo: Gráficar el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

\[ \left\{ \begin{array}{ccccc} x&-&2y & = & -1 \\ -x&+&3y & = & 3. \end{array} \right. \]

library(matlib)

## Warning: package 'matlib' was built under R version 4.1.3

A=matrix(c(1,-2,-1,3),ncol = 2,byrow = TRUE) 
b=c(-1,3)
plotEqn(A,b,var=c("x","y"),solution = TRUE)

##  x - 2*y  =  -1 
## -x + 3*y  =   3

Ejemplo: Gráficar el siguiente sistema de ecuaciones lineales.

\[ \left\{ \begin{array}{rrrrrrr} x&+&y &+&2z& = & 9 \\ 2x&+&4y &-& 3z & = & 0\\ 4x&+&6y &-& 5z & = & 1.\\ \end{array} \right. \]

B<-matrix(c(1,2,3,1,4,6,2,-3,-5),ncol =3,nrow= 3)
c<- c(9,0,1)
library(matlib)
plotEqn3d(B,c)

Manejo de símbolos cumputacionales

El lenguaje de programación de \(R\) permite el trabajo con datos conocidos. Para efectos de la propuesta llamaremos símbolo a una variable que no tiene valor numérico conocido. Para utilizar simbolos instalamos el paquete rSymPy.

Luego de cargar el paquete, se introduce la función sympyStart(), para que no haya errores en su utilización.

library(rSymPy)
sympyStart()

El lenguaje de programación con el paquete Rsympy es diferente al de R, por ser un interfaz de un paquete de Python, por lo cual se explica a continuación como utilizarlo

Definir variables

En el lenguaje de programación de R, no podemos realizar operaciones con variables (entendiendo variable desde el punto matemático, una letra a la cuál podemos realizar operaciones o encontrar un valor a una solución de una ecuación). Por ejemplo, veamos que sucede si realizamos la operación \(3x+x\).

3*x+x

## Error in eval(expr, envir, enclos): objeto 'x' no encontrado

Observamos, que nos tira un error. Tendríamos que asignar un valor a la variable para poder realizar la operación.

Ahora resolveremos algunos ejemplos de cómo utilizar el paquete RSymPy para resolver problemas que involucren variables matemáticas.

Vamos a definir las variable \(a\) y \(b\) con la función Var de rSymPy, para realizar las siguientes operaciones

\[ \frac{a}{2} + \frac{a}{2}, \quad (a+b)^2.\]

Primero vamos a definir las variables por medio de la función Var y el nombre de la variable

a=Var("a")
b=Var("b")
a/2+a/2

Ahora, para realizar la operación \((a+b)^2\) la indicamos por medio del comando de potencia encerrado con parentesis redondos.

a=Var("a")
b=Var("b")
(a+b)^2

Para obtener el resultado la función sympy(“procedimiento”) y la función simplify() de SymPy. Se utiliza \(**\) para las potencias.

a=Var("a")
b=Var("b")
sympy("simplify((a+b)**2)")

Matrices Se resumen las siguientes funciones que se utilizan en SymPy, estas se introducen dentro de la función sympy() y entre comillas.

Suma de matrices: \(A+B\)

Producto de matrices: \(A*B\)

Producto escalar por matriz: \(k*A\)

Potencia de matrices: \(A**k\)

Inversa de matrices: \(A**-1\)

Transpuesta de matrices: \(A.T\)

Matriz Identidad: \(eye(n)\)

Matriz Nula: \(zeros(m,n)\)

Determinantes: \(A.det()\)

Ejemplo: Ingresar la matriz \(A\) y calcular \(A^t A-x^2 I_3\) con \(I_3\) la matriz identidad

\[ A=\left( \begin{array}{ccc} 0 & 1 & x \\ 1 & x & 0 \\ 1 & 2 & x \\ \end{array} \right) \]

library(rSymPy)
sympyStart()
x=Var("x") #Definir variable x
sympy("A = Matrix([[0,1,x], [1,x,0],[1,2,x]])")
cat(sympy("A = Matrix([[0,1,x], [1,x,0],[1,2,x]])"))

La función cat() permite visualizar la matriz de mejor manera.

Sistemas de ecuaciones lineales:

Consideremos el siguiente sistema de ecuaciones lineales

\[ \left\{ \begin{array}{ccccccc} ax & + &by &- &cz & = & k \\ ex & - &fy & +&gz & = & u \\ hx & - &iy & +&jz & = & v.\\ \end{array} \right. \] Se utiliza la función Eq() en SymPy para indicar ecuaciones. Como ejemplo Eq(ax+ by - cz,k) nos indica la ecuación \(ax+ by - cz=k\). La función que permite resolver sistemas de ecuaciones es solve([ecuaciones separadas por comas],(variables separadas por coma))

x=Var("x")
y=Var("y")
z=Var("z")
sympy("solve([Eq(x + y + z ,- 1),Eq( x + y + 2*z ,- 3) ], (x, y, z))")

Vídeo que resumen el procedimiento:

Matrices y sistemas de ecuaciones lineales con RSymPy https://www.youtube.com/watch?v=3ag0wvsgkKs

Sesión de clases 8

Relación rango de matrices con sistemas de ecuaciones lineales

Considerando un sistema de ecuaciones lineales de la forma \(AX=b\), se puede obtener el rango de la matriz de coeficientes \(A\) y también el rango de la matriz ampliada \((A|b)\).

\[ \left\{ \begin{array}{rcc} x +2y+3z & =& 3 \\ x+y+z&=& 1 \\ 2x +4y+6z & =& 3 \\ \end{array} \right. \] La matriz ampliada del sistema es

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 2& 3& 3 \\ 1&1& 1& 1 \\ 2 & 4 & 6 & 3 \\ \end{array} \right) \] Aplicando operaciones elementales de filas se llega:

\[ \left( \begin{array}{ccc|c} 1& 0& 1& 1 \\ 0&1& 2& 2 \\ 0& 0 & 0 & - 3 \\ \end{array} \right) \] El Rango de la matriz ampliada es de 3, mientras que el rango de la matriz de coeficiente \(A\) es 2 y sabemos que el sistema de ecuaciones lineales no posee solución debido a que se llega a una contraccción.

Actividad

1. De ejemplos de un sistemas de tamaño \(3 \times 3\) que posee solución única, un sistema con solución que depende de parametros y un sistema que no posee solución. Calcule el rango de la matriz de coficientes y matriz aumentada. Cuál es la relación que existe entre los rangos y la solución del sistema.

2. Un sistema es homogéneo cuando tiene la forma \(AX=0\). Encuentre la relación de la solución comparandolo con el rango.

Las relaciones del rango con la solución del sistema de ecuaciones lineales \(AX=b\) que posee \(m\) ecuaciones son:

• \(Rango(A)<Rango(A|b) \Leftrightarrow Ax=b \text{, No posee solución}\)

• \(Rango(A)=Rango(A|b)<m\Leftrightarrow Ax=b \text{ posee solución dependiendo de parametros}\)

• \(Rango(A)=Rango(A|b)=m\Leftrightarrow Ax=b \text{ posee solución único}\)

Referencias

Grajales,I. (2018). Costa Rica tira al mar 15 camiones de plástico por día[Noticia en Linea]. Recuperado de https://www.tec.ac.cr/hoyeneltec/2018/06/05/costa-rica-tira-mar-15-camiones-plastico-dia

Friendly, M., Fox, J., & Chalmers, P. (2021). Matlib: Matrix functions for teaching and learning linear algebra and multivariate statistics. https://github.com/friendly/matlib

Grothendieck, G., & Bellosta, C. C. J. G. (2019). rSymPy: R interface to SymPy computer algebra system. https://CRAN.R-project.org/package=rSymPy

Luzardo, D., & Pena, A. J. (2006). Historia delAlgebra lineal hasta los albores del siglo XX. Divulgaciones Matemáticas, 14(2), 153–170.

R Core Team. (2021). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing. https://www.R-project.org/

RStudio Team. (2020). RStudio: Integrated development environment for r. RStudio, PBC. http://www.rstudio.com/

Stanley, G. S., & Flores Godoy, J. J. (2012). Algebra lineal. McGrawHill.

Venables, W. N., & Ripley, B. D. (2002). Modern applied statistics with s (Fourth). Springer. https://www.stats.ox.ac.uk/pub/MASS4/