Ejercicio Distribución Normal Z

Rubén Pizarro Gurrola

11/8/22

Objetivo

Transformar distribución normal a normal estándar y calcular probabilidades.

Marco Teórico

La distribución normal estándar o distribución normal tipificada es una distribución normal singular cuya denominación es media igual a cero y desviación igual a 1.

Normal Z

Z que representa el producto de una transformación o cambio de variable de la variable aleatoria continua X que sigue una distribución normal.

Fórmula para calcular Z

\[ z = \frac{x - \mu}{\sigma} \]

\[ x \text{ es el valor de una variable aleatoria continua de una distribución normal} \\ \sigma \text{ desviación estándar de población} \\ \mu \text{ media de la población} \]

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source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")

Ejercicio Promedio Alumnos

Se tiene una distribución normal de promedio de alumnos de segundo semestre de carrera de Sistemas

media <- 86.5
desv.std <- 4.5
x <- 80

Transforma el valor de X a Z

z <- f.devolver.z(x = x, media = media, desv = desv.std)
paste ("Valor de z = ", z)

[1] "Valor de z =  -1.44444444444444"

Calcular probabilidades

\[ P(x \geq 80) \]

prob <- pnorm(q = x, mean = media, sd = desv.std, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad es : ", prob)

[1] "La probabilidad es :  0.925693001772394"

Calcular la probabilidad con z

prob <- pnorm(q = z, mean = 0, sd = 1, lower.tail = FALSE)
paste("La probabilidad es : ", prob)

[1] "La probabilidad es :  0.925693001772394"

Visualización de gauss con respecto a x

resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x, x2 = x, tipo = 2)

resultado$g.plotDist

Visualización de gauss con respecto a z

resultado <- f.normal.all(media = 0, desv.std = 1, x1 = z, x2 = z, tipo = 2)

resultado$g.plotDist

¿Cuál es la probabilidad del intervalo con respecto a x?

\[ P(84 \leq x \leq 88) \]

resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = 84, x2 = 88, tipo = 3)
resultado$prob

[1] 0.341301

Visualización con respecto a x

resultado$g.plotDist

Convertir a z los valores de x

z1 <- f.devolver.z(x = 84, media = media, desv = desv.std)

z2 <- f.devolver.z(x = 88, media = media, desv = desv.std)

print("Los valores de z's con respecto a x's")

[1] "Los valores de z's con respecto a x's"

z1 ; z2

[1] -0.5555556

[1] 0.3333333

¿Cuál es la probabilidad del intervalo con respecto a z?

\[ P(-0.555555 \leq z \leq 0.3333333) \]

resultado <- f.normal.all(media = 0, desv.std = 1, x1 = z1, x2 = z2, tipo = 3)
print ("La probabilidad es: ")

[1] "La probabilidad es: "

resultado$prob

[1] 0.341301

Visualización con respecto a z

resultado$g.plotDist

Pesos de bebes al nacer

Peso bebés

En la Ciudad de Durango, Dgo. México se tiene en un hospital el registro de los pesos de bebés al nacer.

Estos pesos son los siguientes:

pesos.bebes <- c(0.7191, 1.1752, 3.7498, 4.1266, 2.6995, 2.9125, 4.9543, 5.1601, 1.8297, 3.3075, 2.7863, 3.4958, 5.7309, 3.638, 2.5122, 2.6462, 4.1832, 3.3559, 5.0557, 0.8281, 2.5784, 2.7254, 2.2134, 3.3573, 4.208, 3.4141, 4.3605, 2.5206, 2.1347, 3.1684, 5.1748, 1.2855, 3.6806, 4.7674, 2.24, 3.4289, 3.5194, 3.3325, 4.1718, 2.6791, 1.3243, 2.6535, 1.9107, 2.8553, 3.0037, 4.0826, 3.2736, 1.1654, 2.5926, 2.8362, 4.0827, 2.692, 4.0496, 1.9093, 2.7167, 4.1255, 1.628, 1.2753, 4.2513, 3.5807, 5.2501, 1.5644, 3.5126, 2.5005, 1.3048, 4.7342, 4.4907, 1.6773, 3.2652, 4.1313, 1.6327, 3.006, 3.3251, 2.2534, 2.3458, 2.2868, 3.4207, 1.1163, 1.7885, 1.3021, 3.0418, 0.3372, 1.9722, 2.3763, 3.9547, 3.1974, 3.7741, 2.4655, 2.5678, 2.6905, 3.7281, 4.4928, 2.5225, 3.3029, 4.606, 4.2158, 2.123, 3.3323, 1.9899, 1.1445)

media y la desviación estándar del peso de bebés

media <- mean(pesos.bebes)
desv.std <- sd(pesos.bebes)
media; desv.std

[1] 2.985802

[1] 1.158488

\[ \mu = 2.985804 \\ \sigma = 1.158491 \]

Peso bajo

Se considera que son de peso bajo aquellos bebés que están igual o por debajo de \(1.5\) kgs.

Peso alto

Se considera que son de peso alto aquellos bebés que están igual o superior a \(3.8\) kgs.

Calcular probabilidades… …

¿Cuál es la probabilidad de que nazca un bebé con peso bajo?

\[ P(x \leq 1.5) \]

x <- 1.5
resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x, x2 = x, tipo = 1)
paste("La probabilidad aproximada es: ", round(resultado$prob, 4) * 100, "%")

[1] "La probabilidad aproximada es:  9.98 %"

Visualizar probabilidad variable x

resultado$g.plotDist

¿probabilidad de que nazca un bebé con peso alto ?

\[ P(x \geq 3.8) \]

x <- 3.8
resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x, x2 = x, tipo = 2)
paste("La probabilidad aproximada es: ", round(resultado$prob, 4) * 100, "%")

[1] "La probabilidad aproximada es:  24.11 %"

En este contexto, es mas probable que nazcan bebés con sobre peso que bebés con bajo peso.

Visualizar probabilidad variable x

resultado$g.plotDist

Valores de z

[1] "Valores de x de 1.5 y 3.8 convertidos y transformados a z son:  -1.2825  y  0.7028 respectivamente "

¿probabilidad con respecto a Z. Peso bajo?

\[ P( \leq -1.2825 ) \]

resultado <- f.normal.all(x1 = z1, x2 = z1, media = 0, desv.std = 1, tipo = 1)
paste("La probabilidad aproximada es: ", round(resultado$prob, 4) * 100, "%")

[1] "La probabilidad aproximada es:  9.98 %"

Visualizar probabilidad variable z

resultado$g.plotDist

¿probabilidad con respecto a Z. Peso alto?

resultado <- f.normal.all(x1 = z2, x2 = z2, media = 0, desv.std = 1, tipo = 2)
paste("La probabilidad aproximada es: ", round(resultado$prob, 4) * 100, "%")

[1] "La probabilidad aproximada es:  24.11 %"

Visualizar probabilidad variable z

resultado$g.plotDist

¿Probabilidad que nazcan entre 1.5 y 3.8?

\[ P(1.5 \leq x \leq 3.8) \]

o bien:

\[ P(-1.2825 \leq z \leq 0.7028) \]