El productor de un tipo de leche con pocas calorías quiere comparar la atracción que ejerce el sabor de una nueva preparación (fórmula B) con respecto a la preparación estándar (fórmula A). Se dan a cada uno de cuatro jueces tres vasos, de modo aleatorio, dos de los cuales contienen la fórmula A y el otro la fórmula B. Se pregunta a cada juez cuál vaso disfruto más. Suponga que las dos preparaciones son igualmente atractivas. Sea Y el número de jueces que prefieren la nueva fórmula. Encuentrar: a) la función de probabilidad para Y, b) el valor esperado de Y y c) la varianza de Y

a) Función de probabilidad para Y

Para deducir las probabilidades de Y, se pueden listar todas las formas posibles en que cuatro jueces, \(J1, J2, J3, J4\) puedan recibir tres vasos de leche, ya sea fórmula \(A\) o fórmula \(B\). Además, como a cada juez se le dan dos vasos que contienen la fórmula \(A\) y un vaso que contiene la fórmula \(B\), se puede deducir que las probabilidades de estos eventos respectivamente son: \(P(A) = 2/3\) y \(P(B) = 1/3\). En la siguiente tabla se muestra cada caso con sus posibles permutaciones y la probabilidad respectiva:

Caso J1 J2 J3 J4 Probabilidad
Caso 1 A A A A (2/3)(2/3)(2/3)(2/3)
Caso 2 A A A B (2/3)(2/3)(2/3)(1/3)
Caso 2 A A B A (2/3)(2/3)(1/3)(2/3)
Caso 2 A B A A (2/3)(1/3)(2/3)(2/3)
Caso 2 B A A A (1/3)(2/3)(2/3)(2/3)
Caso 3 A A B B (2/3)(2/3)(1/3)(1/3)
Caso 3 A B A B (2/3)(1/3)(1/3)(2/3)
Caso 3 A B B A (2/3)(1/3)(1/3)(2/3)
Caso 3 B A B A (1/3)(2/3)(1/3)(2/3)
Caso 3 B B A A (1/3)(1/3)(2/3)(2/3)
Caso 3 B A A B (1/3)(2/3)(2/3)(1/3)
Caso 4 B B B A (1/3)(1/3)(1/3)(2/3)
Caso 4 B B A B (1/3)(1/3)(2/3)(1/3)
Caso 4 B A B B (1/3)(2/3)(1/3)(1/3)
Caso 4 A B B B (2/3)(1/3)(1/3)(1/3)
Caso 5 B B B B (1/3)(1/3)(1/3)(1/3)

Así, la probabilidad para el Caso 1 es:

(2/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3)
## [1] 0.1975309

La probabilidad del Caso 2 es:

(2/3)*(2/3)*(2/3)*(1/3) + 
  (2/3)*(2/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(2/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3)
## [1] 0.3950617

Caso 3:

(2/3)*(2/3)*(1/3)*(1/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(1/3)*(2/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(2/3)*(1/3)
## [1] 0.2962963

Caso 4:

(1/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(1/3)*(2/3)*(1/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(1/3)*(1/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(1/3)*(1/3)
## [1] 0.09876543

Y la probabilidad del Caso 5 es:

(1/3)*(1/3)*(1/3)*(1/3)
## [1] 0.01234568

Además, con esta tabla se puede verificar que la distribución realmente sea de probabilidad al evaluar la suma de los valores de la cuarta columna

(2/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3) + 
  (2/3)*(2/3)*(2/3)*(1/3) + 
  (2/3)*(2/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(2/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(2/3)*(2/3) + 
  (2/3)*(2/3)*(1/3)*(1/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(1/3)*(2/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(2/3)*(1/3) + 
  (1/3)*(1/3)*(1/3)*(2/3) + 
  (1/3)*(1/3)*(2/3)*(1/3) + 
  (1/3)*(2/3)*(1/3)*(1/3) + 
  (2/3)*(1/3)*(1/3)*(1/3) + 
  (1/3)*(1/3)*(1/3)*(1/3)
## [1] 1

Para deducir la regal general de esta distribución se tiene entonces que para el primer caso no hay permutaciones posibles. Como combinaciones esto se puede ver como los subconjuntos de \(0\) vasos de la fórmula \(B\) y \(4\) vasos de la fórmula \(A\) tomados de los \(4\) vasos de leche. La expresión algebraica es:

\[\binom{4}{0} \Big(\frac{1}{3}\Big)^0 \Big(\frac{2}{3}\Big)^4\].

Para el segundo caso hay \(4\) permutaciones posibles, y como combinaciones son los subconjuntos de \(1\) vaso de la fórmula \(B\) y \(3\) vasos de la fórmula \(A\). Su expresión es la siguiente:

\[\binom{4}{1} \Big(\frac{1}{3}\Big)^1 \Big(\frac{2}{3}\Big)^3\].

En el tercer caso hay \(6\) permutaciones que se pueden ver como los subconjuntos de \(2\) vaso de la fórmula \(B\) y \(2\) vasos de la fórmula \(A\).

\[\binom{4}{2} \Big(\frac{1}{3}\Big)^2 \Big(\frac{2}{3}\Big)^2\].

Para el cuarto caso se vuelven a tener cuatro permutaciones como en el segundo caso, pero ahora con las probablidades invertidas.

\[\binom{4}{1} \Big(\frac{1}{3}\Big)^3 \Big(\frac{2}{3}\Big)^1\].

Por último, en el quinto caso se cuentan con los \(4\) vasos de la fórmula \(B\), por lo que no hay permutaciones posibles, que se pueden ver como los subconjuntos de \(4\) vasos de la fórmula \(B\) y \(0\) vasos de la fórmula \(A\) tomados de los \(4\) vasos de leche. Este caso es similar al primero, pero con las probabilidades invertidas, por lo que su expresión algebraica es:

\[\binom{4}{4} \Big(\frac{1}{3}\Big)^4 \Big(\frac{2}{3}\Big)^0\].

Con estas fórmulas para la distribución de \(Y\) se ve que el caso general es de la forma:

\[\binom{4}{k} \Big(\frac{1}{3}\Big)^k \Big(\frac{2}{3}\Big)^{4-k} \,\ , \,\ k=0,1,2,3,4\].

Entonces, \(Y\) sigue una distribución Binomial de parámetros \(n=4\) y \(p=1/3\), que se denota como \(Y \sim Bin.-n=4,p=1/3\).

Para contrastar los resultados de la tabla se emplea la función \(\texttt{dbinom}\) de la librería base de \(\texttt{stats}\) de \(\texttt{R}\) que calcula la función de probabilidad de una distribución binomial haciendo uso de los argumentos \(\texttt{x}\) para ingresar el valor en que se evalúa la función, \(\texttt{size}\) para ingresar el número de ensayos y \(\texttt{prob}\) para ingresar la probabilidad de éxito (Fórmula \(B\)) en cada ensayo.

Para \(Y=0\), la probabilidad es:

dbinom(0,4,1/3)
## [1] 0.1975309

Para \(Y=1\), la probabilidad es:

dbinom(1,4,1/3)
## [1] 0.3950617

Para \(Y=2\), la probabilidad es:

dbinom(2,4,1/3)
## [1] 0.2962963

Para \(Y=3\), la probabilidad es:

dbinom(3,4,1/3)
## [1] 0.09876543

Y para \(Y=4\), la probabilidad es:

dbinom(4,4,1/3)
## [1] 0.01234568

Efectivamente \(Y\) distribuye binomial ya que las probabilidades coinciden.

b)

Para calcular la esperanza se tienen \(5\) valores posibles de la variable aleatoria, i.e., \(Y=0,1,2,3,4\). El valor de \(0\) ocurre con una probabilidad de \(0.1975309\), el valor de \(1\) ocurre con probabilidad \(0.3950617\) y los valores \(2,3\) y \(4\) ocurren con probabilidades de \(0.2962963,0.09876543\) y \(0.01234568\) respectivamente. Así, en promedio se espera que \(Y\) tome el valor ponderado de:

0*0.1975309 + 
  1*0.3950617 + 
  2*0.2962963 + 
  3*0.09876543 + 
  4*0.01234568
## [1] 1.333333

Se puede corroborar esta deducción haciendo uso de la fórmula del valor esperado de una distribución binomial \(E(Y)=np\).

4*1/3
## [1] 1.333333

c)

Por último, para calcular la varianza se contrastará la fórmula por momentos \(Var(Y)=E[X^2]-E[X]^2\) contra la fórmula para la varianza de la binomial \(Var(Y)=np(1-p)\).

Por momentos se tiene que la varianza es:

0**2*0.1975309 + 
  1**2*0.3950617 + 
  2**2*0.2962963 + 
  3**2*0.09876543 + 
  4**2*0.01234568 - 
  (0*0.1975309 + 
     1*0.3950617 + 
     2*0.2962963 + 
     3*0.09876543 + 
     4*0.01234568)**2
## [1] 0.8888889

Y por la fórmula de la distribución binomial se tiene que la varianza es:

4*1/3*2/3
## [1] 0.8888889