library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D

Operator diferensiasi mengambil sebagai input sebuah fungsi dan variabel “sehubungan dengan”. Outputnya adalah fungsi lain yang memiliki variabel “sehubungan dengan” sebagai argumen, dan kemungkinan argumen lain juga.

f <- makeFun( A * x ^  2 ~ x, A = 1.5)
f(1)
## [1] 1.5
f(2)
## [1] 6
f(3)
## [1] 13.5
df <- D(f(x) ~ x)
df(1)
## [1] 3
df(2)
## [1] 6
df(3)
## [1] 9
slice_plot(f(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(df(x) ~ x, domain(x =-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

A. Anti Turunan

library(mosaicCalc)
DF <- antiD(df(x) ~ x)
DF(1,5)
## [1] 5
slice_plot(df(x) ~ x, domain(x = -1:1)) %>%
  gf_labs(title = "Original function f(x)")

slice_plot(DF(1,5) ~ x, domain(x =-1:1), color = "red") %>%
  gf_labs(title = "New function df(x), the derivative of f(x)")

h <- antiD( f(x) ~ x )
dh <- D(h(x) ~ x )
dh(1,5)
## [1] 5
dh(4,5)
## [1] 80
dh(6,5)
## [1] 180

B. Satu Variabel Menjadi Dua Variabel

Ini sering disebut “mengintegrasikan” suatu fungsi. “Integrasi” adalah istilah yang lebih pendek dan lebih baik daripada “anti-diferensiasi,” dan merupakan istilah yang lebih umum digunakan. Fungsi yang dihasilkan oleh proses umumnya disebut “integral.” Istilah “integral tak tentu” dan “integral tak tentu” sering digunakan untuk membedakan antara fungsi yang dihasilkan oleh antidiferensiasi dan nilai fungsi tersebut ketika dievaluasi pada input tertentu.

turunan memberi tahu Anda properti lokal dari suatu fungsi: bagaimana fungsi berubah ketika salah satu input diubah dengan jumlah kecil. Turunannya adalah semacam kemiringan.

Anti-derivatif membatalkan turunan, tetapi apa artinya “membatalkan” properti lokal? Jawabannya adalah bahwa anti-turunan (atau, dengan kata lain, integral) memberi tahu Anda tentang beberapa sifat global atau terdistribusi dari suatu fungsi: bukan hanya nilai pada suatu titik, tetapi nilai yang terakumulasi pada seluruh rentang titik. Properti global atau terdistribusi dari anti-turunan inilah yang membuat anti-turunan sedikit lebih rumit daripada turunan, tetapi tidak lebih dari itu.

Inti masalahnya adalah ada lebih dari satu cara untuk “membatalkan” turunan. Pertimbangkan fungsi-fungsi berikut, yang masing-masing berbeda:

f1 <- makeFun(sin(x ^ 2) ~ x)
f2 <- makeFun(sin(x ^ 2)  +  3 ~ x)
f3 <- makeFun(sin(x ^ 2)  -  100 ~ x)
f1(1)
## [1] 0.841471
f2(1)
## [1] 3.841471
f3(1)
## [1] -99.15853
df1 = D(f1(x) ~ x)
df2 = D(f2(x) ~ x)
df3 = D(f3(x) ~ x)
df1(1)
## [1] 1.080605
df2(1)
## [1] 1.080605
df3(1)
## [1] 1.080605

C. Integral

turunan dari f itu sendiri merupakan fungsi, dan fungsi itu memiliki argumen yang sama dengan f. Jadi, karena f(x)didefinisikan memiliki argumen bernama x, fungsi yang dibuat oleh D(f(x) ~ x)juga memiliki argumen bernama x(dan parameter lain apa pun yang terlibat):

f
## function (x, A = 1.5) 
## A * x^2
## <bytecode: 0x000002bd1050c250>
df
## function (x, A = 1.5) 
## 2 * A * x
## <bytecode: 0x000002bd0f6ca1a8>

Operasi anti-turunan sedikit berbeda dalam hal ini. Saat Anda menggunakan antiD(), nama variabel fungsi diganti dengan dua argumen: nama sebenarnya (dalam contoh ini, x) dan konstanta C:

antiD(f(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## (x^3 * A)/3 + C
antiD(df(x) ~ x)
## function (x, A, C = 0) 
## A * x^2 + C
fun = antiD( x^2 ~ x )
fun
## function (x, C = 0) 
## x^3/3 + C
# This doesn't exist yet. FIX FIX FIX
fun(x = 2) - fun(x = -1)
## [1] 3

hal-hal penting yang perlu diingat: 1. Fungsi antiD( )akan menghitung anti-turunan. 2. Seperti turunan, anti-turunan selalu diambil sehubungan dengan variabel, misalnya antiD( x^2 ~ x ). Variabel itu, di sini x, disebut (cukup masuk akal) “variabel integrasi.” Anda juga dapat mengatakan, “integral sehubungan dengan x.” 3. Integral tentu adalah fungsi dari variabel integrasi … semacam. Untuk lebih tepatnya, variabel integrasi muncul sebagai argumen dalam dua samaran karena integral tertentu melibatkan dua evaluasi: satu di x=to dan satu di x=from. Batas-batas yang ditentukan oleh from dan tosering disebut “wilayah integrasi”.

Banyak istilah kosa kata yang digunakan mencerminkan berbagai cara Anda dapat menentukan atau tidak menentukan nilai numerik tertentu untuk fromdan to: “integral”, “anti-turunan”, “integral tak tentu”, dan “integral tak tentu”. Memang, ini bisa membingungkan, tetapi itu adalah konsekuensi dari sesuatu yang penting: integral adalah tentang sifat “global” atau “terdistribusi” dari suatu fungsi, “keseluruhan.” Sebaliknya, turunan adalah tentang properti “lokal”: “bagian. Keseluruhan umumnya lebih rumit daripada bagian.

sumber : https://dtkaplan.github.io/RforCalculus/integrals-and-integration.html