Introducción

Es un caso especial de la Serie de Taylor (Colin Maclaurin (1698-1746)). Es una función de una serie de potencia, en donde las constantes dentro de la serie toman el valor de \(0\).

Presenta 3 ventajas en su uso:

  • La derivación e integración de una de estas series se puede realizar término a término, que resultan operaciones triviales

  • Se puede utilizar para calcular valores aproximados de funciones.

  • Es posible calcular la optimidad de la aproximación.

Consta prinicipalmente de una serie de potencias donde se tiene como :

  • \(n\): Representa las variables
  • \(C\): Coeficientes de la serie (Se consideran constantes)

Se define como:

\[\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)(c)}}{n!} (x-c)^n = f(x)\]

Serie de Taylor:

Si \(f(x)\) tiene una representación potencial en \(c\), entonces se dice que:

Forma expandida:

\[f(x)=\sum_{n=0}^\infty d_k(x-c)^n = \sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)(c)}}{n!} (x-c)^n\] Donde :

  • \(d_k\): \(\frac{f^{(n)(c)}}{n!}\)

  • \(cot(x)\)

\[f(x)=f(c)+f'(c)(x-c)+\frac{f''(c)}{2!} (x-c)^2+...+\frac{f^{(n')}}{n!} (x-c)^n +...\] Se cumple que : \(|x-a|<Radio \space de \space convergencia\)

Serie de Maclaurin:

\(c=0\)

\[f(x)=f(0)+f'(0)(x-0)+\frac{f''(0)}{2!} (x-0)^2+...+\frac{f^{(n'}}{n!} (x-c)^n +...\] \[f(x)=f(0)+f'(0)(x)+\frac{f''(0)}{2!} (x)^2+...+\frac{f^{(n')}}{n!} (x)^n +...\]

Donde:

  • \(n'\): La n-ésima derivada
  • \(n!\): Factorial de n (\(1\times 2 \times 3\times ....\times n\))

No olvidar:

  • \(f(X)=(1-x)^{-1}\)
  • \(f(0)=1\)

Se considera una serie de Mauclaurin cuando \(c=0\). Para definir y representar una f(x) por la serie de potencias, es necesario que las derivadas de \(f(x)\) tengan orden finito.

Convergencia

  • Si \(\lim_{n\to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_n}\right| = L<1\). Se considera que la serie \(\sum_{n=2}^n c_n\) es absolutamente convergente.

Prueba

\[\lim_{n\to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim_{n\to \infty} \left | \frac{\frac{1}{(2(n+1))!}x^{2(n+1)}}{\frac{1}{(2n)!}x^{2n}}\right |\]

\[\lim_{n\to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim_{n\to \infty} \left | \frac{\frac{1}{(2n+2)!}x^{2n+2}}{\frac{1}{(2n)!} x^{2n}}\right| = \lim_{n\to \infty} \left | \frac{\frac{1}{(2n+2)(2n+1)(2n)!}x^{2n+2}}{\frac{1}{(2n)!} x^{2n}}\right|\] \[\lim_{n\to \infty}\left | \frac{c_{n+1}}{c_n}\right|=\lim_{n\to \infty} \left | \frac{x^2}{(2n+1)(2n+2)}\right |= x^2 \lim_{n \to \infty} \left ( \frac{1}{(2n+1)(2n+2)}\right)=0\]

Se cumple que converge para todos los reales \(\lim_{n \to \infty} \left | \frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=0 <1 \mathbf{(R=\infty)}\)

Diremos que una serie de potencia o serie de Taylor es convergente sólo si su radio de convergencia es mayor que cero.

  • Una serie de potencia convergente es la serie de Taylor de su función de suma.

Si se cumple que \(F'(x) = f(x)\), entonces decimos que :

\[\text{F(z) es una función primitiva de f(z)}\] * Por propiedad la función primitiva difiere de otra función primitiva por una constante:

\[F(z) + constante\]

Ejemplo

\[\sum c_n z^n = \sum \frac{c_n z^{n+1}}{n+1}\]

Teoremas

Si se sabe que \(f(x)=T_n(X) + R_n(X)\). Donde se sabe que \(T_n\) es un polinomio de Taylor de n-ésimo grado de f en a:

\[\lim_{n\to \infty} R_n(x)=0\]

Se cumple para cualquier \(|x-a| < R\) que cumpla la condición. Entonces decimos que \(f\) es igual a la suma de Taylor en el intervalo de \(|x-a|<R\)

Donde \(x=c\) se representa en el intervalo:

Donde:

  • \(R\): Radio de convergencia

Desigualdad de Taylor

Si \(|f^{(n+1)}(x)| \le M\) para cualquier valor que cumpla con \(|x-c| \le d\), entonces el residuo de \(R_n(x)\) de una serie de Taylor cumple con la desigualdad :

\[|R_n(x)| \le \frac{M}{(n+1)!}|x-c|^{n+1} \space \space \space \space para \space |x-c|\le d\]

Algunos formas directas para funciones conocidas :

Función Serie de Maclaurin Intervalo de Convergencia
\(\frac{1}{1-x}\) \(\sum_{k=0}^\infty x^b\) \(-1<x<1\)
\(e^x\) \(\sum_{k=0}^\infty \frac{x^k}{k!}\) \(-\infty<x<\infty\)
\(ln(1+x)\) \(\sum_{k=1}^\infty \frac{-1^{k+1}x^k}{k}\) \(-1 < x \le 1\)
\(sen(x)\) \(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k+1}}{(2k+1)!}\) \(-\infty <x<\infty\)
\(cos(x)\) \(\sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k x^{2k}}{(2k)!}\) \(-\infty <x<\infty\)

Casos excepcionales

Actualmente existe 2 funciones en donde no se puede aplicar una serie de Maclaurin :

  • \(ln(X)\)
  • \(cot(x)\)

Ejemplos

Ejercicio 1

Función exponencial

Encontrar la Serie de Maclaurin para la siguiente función :

\[f(x)=e^x\]

Propiedad:

Sea \(f(x)=e^{mx}\), la derivada de la función \(f(x)\), donde \(m\) es constante. \[f'(x) = e^{mx} = m\times e^{mx}\] Se plantea : \[\sum_{infty}^{n=0} \frac{x^n}{n!} = 1+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+....+\frac{x^n}{n!}\]

Siendo el termino general:

\[a_n=\frac{x^n}{n!}\]

y converge para todo valor que tome x.

Ejercicio 2

Encontrar el cuarto término de la serie de Maclaurin de la siguiente expresión : \(log(1+e^n)\)

\[y_{(n)} = y_{(0)}+xy_1{(0)}+\frac{x^2}{2!} y_2 (0) + \frac{x^3}{3!} y_3 (0)+...\]

Se sabe que : \(y=log(1+e^x)\)

Donde:

\[y_{(0)}=log(1+e^0)\] \[y_{(0)}=log(1+1) = \mathbf{log(2)}\] Declaramos :

\[y_1 = \frac{1\times e^x}{(1+e^n)}=\frac{e^x}{(1+e^x)}\]

\[y_1(0)= \frac{e^0}{(1+e^0)}=y_2\] Repetimos el procedimiento:

\[y_1 = \frac{e^x}{(1+e^x)} \to (1+e^x)y_1 = e^x\]

\[(1+e^x)y_2 + e^x y_1 = e^x\]

Cuando \(x=0\):

\[y_2{(0)}= \frac{e^0 - e^0 \left (\frac{1}{2} \right)}{(1+e^0)} = \frac{1}{4}\] \[y_2(0) = \frac{1}{4}\]

Calculamos \(y_2\) con respecto a \(x\):

\[(1+e^x)y_3 + 2 \times e^x y_2 + e^x y_1 = e^x\] Cuando \(x=0\). Remplazando en \(y_3 (0)\) :

\[(1+1)y_3 + 2 \times (1) \times \frac{1}{4} + e^0 (y_2) = e^0 \]

\[y_3 (0)=0\]

Calculamos \(y_3\) con respecto a \(x\):

\[(1+e^x)y_4 + e^xy_3 + 2[ e^x \times y_3 + e^x \times y_2 ]+(e^x \times y_2 + e^x \times y_1) = e^x \]

Cuando \(x=0\). Remplazando en \(y_4 (0) = \frac{1}{8}\).

Sustituimos los valor hallados en la ecuación :

\[y_{(x)} = y_{(0)}+xy_1 (0) + \frac{x^2}{2!}y_2 (0) + \frac{x^3}{3!} y_3 (0)+...\]

\[log(1+e^x) = log(2) + \frac{x}{2}+ \frac{2^2}{2} \times \frac{1}{4} - \frac{x^4}{1-2}\]

\[log(1+e^x) = log(2)+\frac{x}{2}+\frac{2^2}{8}-\frac{x^4}{192}\]