Distribución Normal Ejercicios

Objetivo

Visualizar y calcular probabilidades de acuerdo a la distribución normal.

Descripción

Se cargan las librerías necesarias

Se carga la función que calcula y visualiza distribución normal conforme a los argumentos recibidos y parámetros enviados que se relacionan con de ejercicios de probabilidad

Se inicializan valores de la media, la desviación estándar, el valor del intervalos entre $x1$ y $x2$ y el tipo de gráfica de gauss con la representación de los valores de la función de densidad; si es cola a la izquierda, cola a la derecha o intervalo.

Fórmula de densidad

\[ f(x) =\frac{1}{\sigma \cdot \sqrt{2 \cdot \pi}}\cdot e ^{\frac{-1}{2}\cdot ( \frac {x - \mu}{\sigma}) ^2} \]

\[ \therefore \]

\[ \pi = 3.14159; e = 2.71828 \]

Cargar librerías

library(dplyr)
library(mosaic)
library(readr)
library(ggplot2)  # Para gráficos
library(knitr)    # Para formateo de datos
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
options(scipen=999) # Notación normal

Cargar funciones para distribución

Se cargan funciones previamente codificadas y preparadas especialmente para distribuciones. Aquí la función a utilizar es f.normal.all().

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")

Ejercicio 1. Temperatura en ciudad

Ejercicio 1. Temperaturas

En una ciudad se estima que la temperatura máxima en el mes de Junio sigue una distribución normal, con media $23$ grados y desviación típica $5$ grados .

Calcular el número de días del mes en los que se espera alcanzar máximas entre $21$ y $27$.

Primero encontrar la probabilidad entre $21$ y $27$ de la distribución normal. $p(21 \leq x \leq 27)$

Segundo multiplicar esa probabilidad por los 30 das que tiene el mes de Junio. $p \times 30$.

Inicializar variables

media <- 23
desv.std <- 5
x1 <- 21
x2 <- 27
tipo <- 3 # intervalo entre dos valores

Ejecutar función

Dejar en variable resultado. Los nombres de los argumentos y los nombres las las variables iniciales que identifican a los parámetros se llaman igual.

resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x1, x2 = x2, tipo = tipo)

resultado$prob

[1] 0.443566

resultado$prob.str

[1] "(Intervalo. Prob =  0.443566 )"

Densidad con ggplot()

resultado$g.gauss.gg

Densidad y probabilidad con plotDist()

resultado$g.plotDist

Densidad con plot_ly()

resultado$g.gauss.plotly

Test cultura general

Tras un test de cultura general se observa que las puntuaciones obtenidas siguen una distribución una distribución $N(65, 18)$. Los valores so entre $0 \text{ y } 100$. Se desea clasificar a los examinados en tres grupos (de baja cultura general, de cultura general aceptable, de excelente cultura general) de modo que:

el primero los que tengan puntuación de $30$ hacia abajo;
el segundo grupo entre $31 \text{ y } 70$; $p(31 \leq x \leq 70)$ y
el tercer grupo mayores a $70$; $p(x \geq 70)$

¿Cuáles han de ser las probabilidades que marca cada grupo?

media <- 65
desv.std <- 18
x1 <- 30  # cola izquierda
x2 <- 70  # Entre 30 y 70 . Restarle

tipo <- 1:3 # [1] col izquierda; [2] cola derecha y [3] intervalo entre dos valores x2 y x1

Ejecutar función

Se ejecuta la función dependiendo del grupo

Primer Grupo

Dejar en variable resultado. Cola izquierda $p(x\leq 30)$. El valor de $tipo[1] =1$ es para calcular la probabilidad de extremo izquierdo de la gráfica (“cola izquierda”)

resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x1, x2 = x2, tipo = tipo[1])

resultado$prob

[1] 0.025921

resultado$prob.str

[1] "(Cola izquierda. Prob = 0.025921 )"

Densidad. Primer grupo

resultado$g.gauss.gg

Probabilidad. Primer grupo

resultado$g.plotDist

g1 <- resultado$g.plotDist

Densidad. Primer grupo

resultado$g.gauss.plotly

Segundo Grupo

Dejar en variable resultado. Intervalo $p(30 \leq x \leq 70)$

El valor de $tipo[3] =3$ es para calcular la probabilidad de un intervalo de la función f.normal.all()

resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x1, x2 = x2, tipo = tipo[3])

resultado$prob

[1] 0.583488

resultado$prob.str

[1] "(Intervalo. Prob =  0.583488 )"

Densidad. Segundo grupo

resultado$g.gauss.gg

Probabilidad. Segundo grupo

resultado$g.plotDist

g2 <- resultado$g.plotDist

Densidad. Segundo grupo

resultado$g.gauss.plotly

Tercer Grupo

Dejar en variable resultado. Cola derecha $p(x \geq 30)$

El valor de $tipo[2] =2$ es para calcular la probabilidad de extremo derecho de la gráfica (“cola derecha”)

resultado <- f.normal.all(media = media, desv.std = desv.std, x1 = x1, x2 = x2, tipo = tipo[2])

resultado$prob

[1] 0.390591

resultado$prob.str

[1] "(Cola derecha. Prob =  0.390591 )"

Densidad. Tercer grupo

resultado$g.gauss.gg

Probabilidad. Tercer grupo

resultado$g.plotDist

g3 <- resultado$g.plotDist

Densidad. Tercer grupo

resultado$g.gauss.plotly

Probabilidad, tres grupos

Acciones

Los precios de las acciones de cierta industria se distribuyen en forma normal con media de $20 y desviación estándar de $3. ¿Cuál es la probabilidad de que el precio de las acciones de una empresa se encuentre entre $18 y $20?

\[ \mu =20 \\ \sigma = 3 \\ p(18 \leq x \leq20) \text { intervalo x1 y x2} \]

Clínica

Una clínica realiza un análisis de colesterol en hombres mayores de 50 años, y luego de varios años de investigación, concluye que la distribución de lecturas del colesterol sigue una distribución normal, con media de 210 mg/dl (mg de colesterol por decilitro dl de sangre) y una desviación estándar de 15 mg/dl.

\[ \mu =210 \\ \sigma = 15 \\ \]

a)

¿Qué porcentaje de esta población tiene lecturas mayores a 250 mg/dl de colesterol? Rpta: 0.38%

\[ p(x \geq 250) \text { cola derecha} \]

b)

¿Qué porcentaje tiene lecturas inferiores a 190.05 mg/dl? Rpta: 9.18%

\[ p(x \leq 190.05) \text { cola izquierda} \]