En el siguiente trabajo tomaremos las series de tiempo del salario y la inflación en Colombia a partir de 1985 y demostraremos que estas series de tiempo son cointegradas, y tienen una relación a largo plazo. Los datos fueron anteriormente limpiados y procesados y fueron tomados del Banco de la República y del Banco Mundial. Primeramente cargamos los paquetes que vamos a utilizar

Cargamos bases de datos y paquetes

library(lmtest)
## Loading required package: zoo
## 
## Attaching package: 'zoo'
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     as.Date, as.Date.numeric
library(tseries)
## Registered S3 method overwritten by 'quantmod':
##   method            from
##   as.zoo.data.frame zoo

Cargamos las bases de datos al sistema

library(readxl)
Inflacion <- read_excel("C:/Users/57310/OneDrive/Escritorio/Inflación.xlsx")
Salario <- read_excel("C:/Users/57310/OneDrive/Escritorio/Salario.xlsx")

A priori, observamos gráficamente el siguiente comportamiento

“Gráfico”

Transformamos las bases de datos en series de tiempo

Las debemos convertir en series de tiempo, usamos el siguiente código

Salario=ts(Salario, start = 1985)
Inflacion=ts(Inflacion,start = 1985)
plot(Salario)

plot(Inflacion)

Estacionariedad

Test de Dickey-Fuller

Observamos estacionariedad a través del test de Dickey-Fuller

adf.test(Inflacion)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Inflacion
## Dickey-Fuller = -1.3829, Lag order = 3, p-value = 0.8139
## alternative hypothesis: stationary
adf.test(Salario)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Salario
## Dickey-Fuller = -1.2663, Lag order = 3, p-value = 0.8593
## alternative hypothesis: stationary

Como vemos que no son estacionarios procedemos a aplicar primeras diferencias #### Aplicamos diferencias ##### Primeras diferencais

Salario1= diff(Salario)
Inflacion1=diff(Inflacion)
adf.test(Inflacion1)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Inflacion1
## Dickey-Fuller = -2.6715, Lag order = 3, p-value = 0.3119
## alternative hypothesis: stationary
adf.test(Salario1)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Salario1
## Dickey-Fuller = -2.6633, Lag order = 3, p-value = 0.3151
## alternative hypothesis: stationary
Segundas diferencias

Volvemos a diferenciar

Salario2= diff(Salario,differences = 2)
Inflacion2=diff(Inflacion, differences = 2)
adf.test(Inflacion2)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Inflacion2
## Dickey-Fuller = -3.8883, Lag order = 3, p-value = 0.02558
## alternative hypothesis: stationary
adf.test(Salario2)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Salario2
## Dickey-Fuller = -2.3374, Lag order = 3, p-value = 0.4421
## alternative hypothesis: stationary
Terceras diferencias
Salario3= diff(Salario,differences = 3)
Inflacion3=diff(Inflacion, differences = 3)
adf.test(Inflacion3)
## Warning in adf.test(Inflacion3): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Inflacion3
## Dickey-Fuller = -4.7112, Lag order = 3, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary
adf.test(Salario3)
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  Salario3
## Dickey-Fuller = -3.9648, Lag order = 3, p-value = 0.02267
## alternative hypothesis: stationary

Juego de hipótesis

Por la prueba de hipótesis de Dickey-Fuller tenemos

\[ \begin{align} \text{ Ho :}\ No\ hay\ estacionariedad\\ \text{Ha: }\ Hay\ estacionariedad\ \end{align} \] Al tener el salario diferenciado 3 veces tenemos un p-value de 0.02267, esto es menor a 0.05 que sería nuestro valor crítico. Y en el caso de la inflación diferenciamos 3 veces y obtenemos un p-value de 0.01 que es menor a 0.05

Recordemos que para cualquier prueba p de hipótesis si p<alfa rechazo la hipótesis nula; en este caso alfa=0.025 ya que es una prueba a dos colas, y nuestros p values son 0.02267 para la serie del salario y 0.01 para la serie de la inflación. En este caso ambos son menores a nuestro alfa. En este caso nuestra región de rechazo sería cualquier p value menor a 0.025

Funciones de autocorrelación

acf(Inflacion3, main="FAC Inflación diferenciada 3 veces")

pacf(Inflacion3, main="FACP Inflación diferenciada 3 veces")

acf(Salario3, main="FAC Salario diferenciado 3 veces")

pacf(Salario2, main="FAC Salario diferenciado 3 veces")

Como podemos ver, los rezagos caen rápidamente a lo cual es un indicio de estacionariedad.

Test de Ljun-Box

Y para finalizar el test Ljung-Box

Box.test(Salario3, lag = 1, type = "Ljung")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  Salario3
## X-squared = 6.8603, df = 1, p-value = 0.008813
Box.test(Inflacion3, lag = 1, type = "Ljung")
## 
##  Box-Ljung test
## 
## data:  Inflacion3
## X-squared = 10.297, df = 1, p-value = 0.001332

Juego de hipótesis

La prueba tiene como juego de hipótesis la siguiente

\[ \begin{align} \text{ Ho:}\ Los\ datos\ se\ distribuyen\ de\ forma\ independiente \\ \text{ Ha: }\ Los\ datos\ no\ se\ distribuyen de forma\ independiente\\ \end{align} \] Al tener la inflación un p-vallue de 0.001332, y el salario un p-value de 0.008813, este es menor a nuestro alfa de 0.05, a lo cual rechazamos la hipótesis nula de que los datos no se distribuyen de forma independiente. Pasando estos a no ser parte de procesos estocásticos, sino de medidas de autocorrelación anteriores.

Cointegración

Para comprobar la cointegración comprobaremos primero con el test de Phillips-Ouliaris y luego con el test de cointegración de la regresión con los residuales

Test de Phillips-Ouliaris

El test de Phillips-Ouliaris nos ayuda a dar evidencia si la relación entre ambas series de tiempo si es cointegrada.

po.test(cbind(Inflacion3,Salario3))
## Warning in po.test(cbind(Inflacion3, Salario3)): p-value smaller than printed p-
## value
## 
##  Phillips-Ouliaris Cointegration Test
## 
## data:  cbind(Inflacion3, Salario3)
## Phillips-Ouliaris demeaned = -49.851, Truncation lag parameter = 0,
## p-value = 0.01

Juego de hipótesis

\[ \begin{align} \text{ Ho :}\ No\ hay\ cointegración\\ \text{Ha: }\ Hay\ cointegración\ \end{align} \] Con el p-value de 0.01 y un alfa de 0.05, rechazamos la hipótesis nula de que no hay cointegración.

Test de cointegración

Para el test de cointegración hacemos una regresión lineal de ambas series y observamos el comportamiento de los residuales a través de la prueba de Dicey-Fuller. Así:

Regresión de las series

Realizamos la regresión lineal de las series

reg<-lm(Inflacion3 ~ Salario3)
summary(reg)
## 
## Call:
## lm(formula = Inflacion3 ~ Salario3)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -10.4480  -3.2080  -0.4096   3.5798  12.9394 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -0.3177834  0.9740462  -0.326    0.746
## Salario3    -0.0001649  0.0001034  -1.594    0.121
## 
## Residual standard error: 5.669 on 32 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.07358,    Adjusted R-squared:  0.04462 
## F-statistic: 2.541 on 1 and 32 DF,  p-value: 0.1207
residuales<-reg$residuals

Dickey-Fuller a los errores

Aplicamos la prueba de Dickey-Fuller a los errores de la regresión

adf.test(residuales)
## Warning in adf.test(residuales): p-value smaller than printed p-value
## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  residuales
## Dickey-Fuller = -4.8495, Lag order = 3, p-value = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

En este caso para el Dickey Fuller,al tener un p-value de 0.01, rechazamos la hipótesis nula, a lo cual nos puede indicar que hay evidencia de que los errores de la regresión son estacionarios. Que bajo el test de cointegración nos indica que puede haber una cointegración de estar series de tiempo. En este caso para la Dickey-Fuller tendríamos: ##### Juego de hipótesis \[ \begin{align} \text{ Ho :}\ No\ hay\ cointegración\\ \text{Ha: }\ Hay\ cointegración\ \end{align} \]

Ahora, para cualquier p-valor<alfa se rechaza la hipótesis nula, es decir que la región de rechazo es cualquier número menos a 0.05, en este caso, nuestro p-value(0.01) cae en esta región de rechazo. A lo cual no hay evidencia de que no exista cointegración.

Análisis

El salario mínimo y la inflación siempre han guardado una relación, en este caso, conocemos que estas dos series de tiempo son cointegradas. Si bien empiricamente ya conocemos que en los ciclos económicos un aumento de los precios lleva al trabajador a exigir un aumento en el salario, al final este aumento en los salarios termina por igualmente aumentar los precios generales de la economía; guardándose entre estas dos variables una relación causal. A pesar que no se puede afirmar las proporciones de los cambios entre ellas,a largo plazo, cualquiera de las dos variables serviría para pronosticar la dirección en la que se va a mover la otra, gracias que están cointegradas.