Mixture design

Addensanti per miscele gelato

Impostazione del disegno sperimentale

Si sono voluti valutare gli effetti di tre componenti di una generica miscela per gelato sulla viscosità finale della miscela stessa, parametro quest’ultimo che influenza in maniera importante le caratteristiche del prodotto finito.

Sono stati presi in esame tre addensanti comunemente utilizzati nel settore:

• Farina di semi di carrube (F)
• Gomma di tara (T)
• Gomma di guar (G)

Si è impostato un disegno di miscela del tipo Simplex Lattice con k=3 e m=3, le cui possibili combinazioni hanno portato a effettuare 10 condizioni sperimentali. Si sono effettuate 3 repliche in 3 settimane diverse, anche se per quest’analisi si è scelto di prendere in considerazione solo gli ultimi due set di repliche.

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	ID	Week	F	T	G	Visc	Visc_log
1	2_0_1	1	0.6666667	0.0000000	0.3333333	7050	3.848189
2	0_2_1	1	0.0000000	0.6666667	0.3333333	7200	3.857333
3	0_1_2	1	0.0000000	0.3333333	0.6666667	6810	3.833147
4	1_2_0	1	0.3333333	0.6666667	0.0000000	8370	3.922725
5	1_1_1	1	0.3333333	0.3333333	0.3333333	7080	3.850033
6	0_0_3	1	0.0000000	0.0000000	1.0000000	5790	3.762679
7	1_0_2	1	0.3333333	0.0000000	0.6666667	6330	3.801404
8	0_3_0	1	0.0000000	1.0000000	0.0000000	9330	3.969882
9	2_1_0	1	0.6666667	0.3333333	0.0000000	7950	3.900367
10	3_0_0	1	1.0000000	0.0000000	0.0000000	6330	3.801404
11	0_0_3	2	0.0000000	0.0000000	1.0000000	4272	3.630631
12	2_1_0	2	0.6666667	0.3333333	0.0000000	6780	3.831230
13	0_2_1	2	0.0000000	0.6666667	0.3333333	5610	3.748963
14	1_2_0	2	0.3333333	0.6666667	0.0000000	7500	3.875061
15	1_1_1	2	0.3333333	0.3333333	0.3333333	6510	3.813581
16	3_0_0	2	1.0000000	0.0000000	0.0000000	5730	3.758155
17	0_3_0	2	0.0000000	1.0000000	0.0000000	8130	3.910090
18	1_0_2	2	0.3333333	0.0000000	0.6666667	6450	3.809560
19	0_1_2	2	0.0000000	0.3333333	0.6666667	5610	3.748963
20	2_0_1	2	0.6666667	0.0000000	0.3333333	5610	3.748963

Modello postulato

Una volta effettuati gli esperimenti i dati possono essere elaborati secondo un modello di Scheffè semplificato (special cubic), che consente di tenere conto degli effetti dati dalle possibili interazioni tra le 3 variabili F, T e G.

Il modello è il seguente:

\[ Y = b_0+b_1x_1+b_2x_2+b_3x_3+b_{12}x_1x_2+b_{13}x_1x_3+b_{23}x_2x_3+b_{123}x_1x_2x_3 \]

Al dataset di partenza quindi si aggiungono ulteriori colonne relative alle interazioni a 2 e all’interazione a 3 componenti.

	ID	Week	F	T	G	F_T	T_G	F_G	F_T_G	Visc	Visc_log
1	2_0_1	1	0.6666667	0.0000000	0.3333333	0.0000000	0.0000000	0.2222222	0.000000	7050	3.848189
2	0_2_1	1	0.0000000	0.6666667	0.3333333	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.000000	7200	3.857333
3	0_1_2	1	0.0000000	0.3333333	0.6666667	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.000000	6810	3.833147
4	1_2_0	1	0.3333333	0.6666667	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.0000000	0.000000	8370	3.922725
5	1_1_1	1	0.3333333	0.3333333	0.3333333	0.1111111	0.1111111	0.1111111	0.037037	7080	3.850033
6	0_0_3	1	0.0000000	0.0000000	1.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.000000	5790	3.762679
7	1_0_2	1	0.3333333	0.0000000	0.6666667	0.0000000	0.0000000	0.2222222	0.000000	6330	3.801404
8	0_3_0	1	0.0000000	1.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.000000	9330	3.969882
9	2_1_0	1	0.6666667	0.3333333	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.0000000	0.000000	7950	3.900367
10	3_0_0	1	1.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.000000	6330	3.801404
11	0_0_3	2	0.0000000	0.0000000	1.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.000000	4272	3.630631
12	2_1_0	2	0.6666667	0.3333333	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.0000000	0.000000	6780	3.831230
13	0_2_1	2	0.0000000	0.6666667	0.3333333	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.000000	5610	3.748963
14	1_2_0	2	0.3333333	0.6666667	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.0000000	0.000000	7500	3.875061
15	1_1_1	2	0.3333333	0.3333333	0.3333333	0.1111111	0.1111111	0.1111111	0.037037	6510	3.813581
16	3_0_0	2	1.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.000000	5730	3.758155
17	0_3_0	2	0.0000000	1.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.0000000	0.000000	8130	3.910090
18	1_0_2	2	0.3333333	0.0000000	0.6666667	0.0000000	0.0000000	0.2222222	0.000000	6450	3.809560
19	0_1_2	2	0.0000000	0.3333333	0.6666667	0.0000000	0.2222222	0.0000000	0.000000	5610	3.748963
20	2_0_1	2	0.6666667	0.0000000	0.3333333	0.0000000	0.0000000	0.2222222	0.000000	5610	3.748963

---

Regressione

Si effettua una regressione per trovare i coefficienti ottimali secondo il modello, valutandone la significatività (limite di confidenza del 95%).

Essendo un modello relativo a una miscela ternaria non ho il valore relativo all’intercetta come per una regressione lineare “tradizionale”.

---

## 
## Call:
## lm(formula = Visc ~ 0 + F + T + G + F_T + F_G + T_G + F_T_G, 
##     data = df_complete)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1247.4  -416.2   160.9   395.6  1052.4 
## 
## Coefficients:
##       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## F       6021.0      509.5  11.818 2.51e-08 ***
## T       8534.6      509.5  16.751 3.51e-10 ***
## G       5235.4      509.5  10.276 1.31e-07 ***
## F_T     1675.0     2381.5   0.703    0.494    
## F_G     3293.0     2381.5   1.383    0.190    
## T_G    -2598.7     2381.5  -1.091    0.295    
## F_T_G  -1761.8    17464.7  -0.101    0.921    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 757.5 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.992,  Adjusted R-squared:  0.9877 
## F-statistic: 229.6 on 7 and 13 DF,  p-value: 1.369e-12

In realtà trovo che tutti i coefficienti relativi alle 4 interazioni risultano essere statisticamente non significativi pertanto rimuovo la variabile con il P-value maggiore e reitero la procedura, questo perché i tre vettori di partenza sono tra loro linearmente dipendenti.

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## 
## Call:
## lm(formula = Visc ~ 0 + F + T + G + F_T + F_G + T_G, data = df_complete)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1236.2  -419.0   172.1   402.1  1063.5 
## 
## Coefficients:
##     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## F       6028        486  12.405 6.10e-09 ***
## T       8542        486  17.578 6.14e-11 ***
## G       5243        486  10.789 3.62e-08 ***
## F_T     1591       2151   0.740    0.472    
## F_G     3209       2151   1.492    0.158    
## T_G    -2683       2151  -1.247    0.233    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 730.2 on 14 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.992,  Adjusted R-squared:  0.9885 
## F-statistic: 288.3 on 6 and 14 DF,  p-value: 7.634e-14

Levo anche F_T

## 
## Call:
## lm(formula = Visc ~ 0 + F + T + G + F_G + T_G, data = df_complete)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1295.1  -404.5   118.4   494.6  1063.5 
## 
## Coefficients:
##     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## F     6205.2      416.7  14.893 2.15e-10 ***
## T     8718.8      416.7  20.925 1.64e-12 ***
## G     5242.9      478.6  10.956 1.48e-08 ***
## F_G   2944.0     2088.9   1.409    0.179    
## T_G  -2947.8     2088.9  -1.411    0.179    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 719.1 on 15 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9917, Adjusted R-squared:  0.9889 
## F-statistic: 356.6 on 5 and 15 DF,  p-value: 4.942e-15

Poi T_G

## 
## Call:
## lm(formula = Visc ~ 0 + F + T + G + F_G, data = df_complete)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -1650.71  -417.62     3.95   533.83   963.05 
## 
## Coefficients:
##     Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## F     6261.4      427.4  14.649 1.09e-10 ***
## T     8438.1      377.3  22.366 1.70e-13 ***
## G     4906.0      427.4  11.478 3.91e-09 ***
## F_G   3365.1     2130.5   1.579    0.134    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 741.1 on 16 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9905, Adjusted R-squared:  0.9882 
## F-statistic: 419.3 on 4 and 16 DF,  p-value: 5.677e-16

E infine F_G poiché ha continuato a rivelarsi non significativo.

## 
## Call:
## lm(formula = Visc ~ 0 + F + T + G, data = df_complete)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1688.1  -429.4  -147.0   624.0  1004.1 
## 
## Coefficients:
##   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## F   6597.9      386.5   17.07 3.91e-12 ***
## T   8325.9      386.5   21.54 8.85e-14 ***
## G   5242.5      386.5   13.56 1.51e-10 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 773 on 17 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9891, Adjusted R-squared:  0.9871 
## F-statistic: 513.1 on 3 and 17 DF,  p-value: < 2.2e-16

---

Coefficienti e residui

I coefficienti del mio modello saranno dunque

##      F      T      G 
## 6597.9 8325.9 5242.5

E un valore di r² di

## [1] 0.9890763

---

Posso anche tracciare un grafico che metta in relazione la risposta ottenuta sperimentalmente con quella calcolata dal modello di regressione

## 
## Call:
## lm(formula = Visc ~ Visc_calc, data = df_visc)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -1688.1  -429.4  -147.0   624.0  1004.1 
## 
## Coefficients:
##              Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 4.881e-12  1.277e+03   0.000        1    
## Visc_calc   1.000e+00  1.883e-01   5.312 4.75e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 751.2 on 18 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.6105, Adjusted R-squared:  0.5889 
## F-statistic: 28.22 on 1 and 18 DF,  p-value: 4.749e-05

---

Superficie di risposta

Partendo dai coefficienti ottenuti dal modello posso visualizzarne la superficie di risposta