Teste de Hipóteses

Motivação

  • Um tipo de cabo de aço é fabricado de modo que sua resistência seja uma variável aleatória que segue uma distribuição normal com média de 12 kgf e desvio-padrão de 5 kgf.

  • O controle de qualidade decide analisar a qualidade dos cabos produzidos.

  • Para isto, seleciona uma amostra aleatória de tamanho 15, que forneceu os seguintes valores:

3.89 8.56 9.79 10.98 8.78 6.43 14.92 7.69 13 11.77 9.04 12.8 7.35 7.64 19.86
\(\mu_0\) \(\overline{x}_{obs}\) \(\sigma\)
12 10.17 5

O que dizer sobre a resistência, tem mesmo média \(\mu_0\)?

Realização de um teste de hipóteses para a média da população

  • Para realização de um teste de hipóteses para a média da população, \(\mu\),

  • deve-se formular duas hipóteses:

    • hipótese nula \(H_0\) e

    • hipótese alternativa \(H_a\).

  • Se \(\mu_0\) é um valor suposto para a média da população,

  • então podem ocorrer os seguintes testes.

- Teste bilateral: \[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\neq\mu_0\] - Teste unilateral a esquerda: \[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu \leq \mu_0\]

  • Teste unilateral a direita: \[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\geq\mu_0\]

Teste bilateral

- Primeiro devemos formular as hipóteses

\[H_0: \mu=\mu_0 \ \ \ \mbox{ contra }\ \ \ H_a: \mu\neq\mu_0\]

  • Se a distância \(|\mu_0-\overline{X}|\) for grande, rejeitamos a hipótese \(H_0\) e ficamos com \(H_a\).

  • Caso contrário, não rejeitamos \(H_0\), concluíndo que é plausível a afirmação \(\mu=\mu_0\).

  • Como avaliar a distância entre a média proposta e a média amostral?

  • Deve-se calcular a probabilidade de se ter valores mais extremos que \(\overline{X}\), sob \(H_0\).

  • Sob a hipótese \(H_0\): \(\overline{X} \sim N(12,\frac{5^2}{15})\).

Valor de P

  • obter o valor \(P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})\) se \(\overline{x}_{obs}<\mu_0\) ou

  • obter o valor \(P=P(\overline{X}>\overline{x}_{obs})\) se \(\overline{x}_{obs}>\mu_0\)

    • Valor de P

    Para tomar a decisão com base no valor de P, deve-se fixar um nível de significância \(\alpha\) para comparação com esse valor.

    • Para um teste bilateral, o valor de \(\alpha\) é dividido entre as caldas da distribuição.

    Comparação

  • Valor P: \(P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})\)

  • Valor P: \(P=P(\overline{X}<\overline{x}_{obs})\)

    • Decisão

    • O nível de significância \(\alpha\), em geral, é um dos valores: 0,1;0,05;0,02;0,01.

    • Se \(P < \alpha/2\), rejeita-se \(H_0\).

    Exemplo

    A tensão de ruptura de cabos fabricados por uma empresa apresenta distribuição Normal, com média de 1800 kg e desvio padrão de 100 kg. Mediante uma nova técnica de produção, proclamou-se que a tensão de ruptura teria aumentado. Para testar essa declaração, ensaiou-se uma amostra de 50 cabos, obtendo-se como tensão média de ruptura 1850 kg. Pode-se aceitar a proclamação ao nível de 5%? (use um teste bilateral).

    Decisão com base nos quantis

    - Para tomar a decisão com base nos quantis, deve-se obter um intervalo de confiança em torno de \(\mu_0\).

    • \(\mu_0 \pm Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\)

    • A hipótese \(H_0\) é rejeitada se \(\overline{x}_{obs} \notin \left[\mu_0 - Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}; \mu_0+ Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}\right]\).

    - Se \(H_0\) não é aceita pode ser cometido o erro do tipo 1: - rejeitar \(H_0\) verdadeira:

    \[P(\mbox{ rejetar } H_0 |\mbox{ verdadeira}) = \alpha\] - não rejeitar \(H_0\) falsa, erro do tipo 2:

    • a probabilidade de não rejeitar \(H_0\) falsa é mais complidada de ser calculada.

    Em geral o erro do tipo 2 é analisado por meio de uma função, denomidada “função poder do teste”, em que se deseja equilibrar esses dois tipos de erros.

    Para concolidação do aprendizado, resolva as atividades propostas