Objetivo

Calcular la función de densidad y la función de probabilidad probabilidad acumulada bajo la fórmula de distribución de hipergeométrica.

Descripción

Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Hipergeométrica a partir de valores iniciales de los ejercicios.

Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución hipergeométrica, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta \(x\) tenga algún exactamente algún valor, \(\leq\) a algún valor o \(\gt\) o \(\geq\), entre otros.

Se utilizan las funciones base dhyper() y phyper() para la probabilidad y función acumulada de la distribución hipergeométrica.

Se utiliza también de manera alternativa la función del enlace f.prob.hiper() que se encuentra en el archivo:

https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R y que permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria discreta bajo la distribución hipergeométrica y conforme a la fórmula.

Fundamento teórico

La distribución de probabilidad hipergeométrica está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribución hipergeométrica, los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo [@anderson2008].

La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica \(x\), el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño \(n\) que se selecciona de \(N\) artículos, en los que \(k\) se denomina éxito y \(N – k\) se le llama fracaso [@camacho_avila_probabilidad_2019].

La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.

Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes aplicaciones en el control de calidad, para procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida [@cañas].

Como en el caso de la distribución binomial, la distribución hipergeométrica se aplica en el muestreo de aceptación, donde se toman muestras del material o las partes de los lotes con el fin de determinar si se acepta o no el lote completo [@walpole2012].

Fórmula de función de probabilidad

La fórmula de la distribución hipergeométrica

\[f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} \]

Dónde:

  • \(f(x)\) es la probabilidad de \(x\) o la función de distribución

  • \(n\) número de ensayos o longitud de la muestra casos que se extraen

  • \(N\) número de elementos de la población

  • \(r \text{ o }k\) número de elementos o exitosos en relación a la población

  • \(x\) Valor de la variable aleatoria discreta \(0,1,2,3, ... ...,n.muestra\) hasta el valor de la muestra [@anderson_estadistica_2008].

  • \({\binom{r}{x}}\) Parte izquierda del numerador, representan el número de formas (combinaciones) en que se toman \(x\) éxitos de un total de \(r\) éxitos que hay en la población,

  • \(\binom{N-r}{n-x}\) parte derecha del numerador representa el número de maneras en que se puede tomar \(n - x\) fracasos de un total de \(N - r\) elementos que hay en la población.

  • \(\binom{N}{n}\) como denominador representan el número de maneras (cantidad de combinaciones) en que es posible tomar una muestra de tamaño \(n\) de una población de tamaño \(N\); [@anderson_estadistica_2008].

Recordando la fórmula para determinar el número de combinaciones en grupos de \(n\) elementos de una población total de \(N\) está dada por:
\[C_{n}^{N} = \binom{N}{n} = \frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}\]

Entonces desarrollando la fórmula con las combinaciones la función de probabilidad hipergeométrica queda de la siguiente manera:

\[ f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}} \]

\(N\) es el tamaño de población,

\(n\) es el tamaño de la muestra extraída,

\({\text{k ó r}\) es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada (exitosos) y

\(x\) es la variable aleatoria o el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.

Probabilidad acumulada

\[ F(x) = \sum_{0}^{n}f.x_i \]

Fórmula para valor esperado

\[E(x) = \mu = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\]

Fórmula para varianza

\[Var(x) = \sigma^{2} = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\cdot\left(1 - \frac{r}{N}\right)\cdot\left( \frac{N-n}{N-1}\right)\]

Fórmula de la desviación estándar

\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]

En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes base de R para la comprensión de la distribución hipergeométrica. Las funciones base que existen para este tipo de distribución son:

Imagen de distribuciones Hipergeométrica

Ejemplos:

Ejemplo1: canicas blancas y negras:

Extraer canicas blancas

  • \(N=15\) Total de canicas de la Población

  • \(r = 9\) Canicas blancas. Casos Exitosos

  • \(n =\) Cantidad que se extrae \(5\). Tamaño de la muestra

  • \(x=3\) Variable aleatoria que puede tener valores desde \(0\) hasta tamaño de la muestra \(n\)

En alguna literatura de la fórmula de hipergeométrica la variable \(m\) es igual a la literal \(n\) y \(r\) es lo mismo que la literal \(k\).

\[ f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}} \]

Entonces, sustituyendo valores de literales:

\[ P(x=3) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{15-9}{5-3}}{\binom{15}{5}} = \frac{ (\frac{9!}{3!\cdot(9-3)!})\cdot(\frac{(15-9)!}{(5-3)!\cdot((15-9) - (5-3))!})}{\frac{15!}{5!\cdot(15-5)!}}=\frac{84\times15}{3003}=0.4195 \]

Existe un 41.95% de probabilidades de extraer 3 canicas blancas de un experimento de extraer 5 de una bolsa que contiene 15 canicas de las cuales 9 son blancas y 6 de color negro.

Haciendo operaciones sería:

N <- 15  # Población
r <- k <- 9 # Canicas rojas. Casos exitos
# negras <- (N-k) # Canicas negras # 6
n <- 5 # Extracción de canicas
x <- 3
numerador <- (factorial(r) / (factorial(x) * (factorial(r-x)))) * (factorial(N-r) / (factorial(n-x) * (factorial((N-r)-(n-x)))))
denominador<- factorial(N) / (factorial(n) * factorial(N-n))
prob <- numerador / denominador
prob
## [1] 0.4195804

Directamente con la función dhyper()

La función dhyper() como parte de los paquetes base recibe como m el tamaño de casos exitosos, como n los casos no exitosos o sea N - r y como k el tamaño de la muestra.

# Se inicializaron los valores en el bloque de código anterior.
prob <- dhyper(x=x, m = r, n = N - r, k = n)
prob
## [1] 0.4195804

Cargar script que contiene la función f.prob.hiper() que genera el mismo resultado que dhyper()

source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")

Ejecutando la función

N <- 15  # Población
r <- k <- 9 # Canicas rojas. Casos exitos
# negras <- (N-k) # Canicas negras # 6
n <- 5 # Extracción de canicas
x <- 3
f.prob.hiper(x = x, poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)
## [1] 0.4195804

Ejemplo2: Baraja española

Suponga la extracción aleatoria de 8 elementos de un conjunto formado por 40 elementos totales (cartas baraja española) de los cuales 10 son del tipo A (salir oro) y 30 son del tipo complementario (no salir oro).


Si se realizan las extracciones sin devolver los elementos extraídos y se identifica a \(x\) al número de elementos del tipo A (oros obtenidos) que se extraen en las 8 cartas; \(x\)seguirá una distribución hipergeométrica de parámetros

AJUSTAR … - \(N = 40\) - Total de barajas

  • \(k = 10\) - Cantidad de oros \(10\)

  • \(n=8\) - Cuantas cartas se extraen \(8\)

Para calcular la probabilidad de obtener \(4\) oros:

  • \(x = 4\)

Calculando con la función dhyper()

N <- 40 # Total de casos
r <- 10  # Cantidad de oros
n <- 8 # Cantidad de extracción
x <- 4  # Variable aleatoria
dhyper(x = x, m = r, n = (N-r), k = n)
## [1] 0.07483354

Ejecutar función f.prob.hiper() del script previamente cargado

N <- 40 # Total de casos
r <- 10  # Cantidad de casos exitosos a evaluar. Cantidad de cartas que sea oros
n <- 8 # Cantidad de extracción
x <- 4  # Variable aleatoria
f.prob.hiper(x = x, poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)
## [1] 0.07483354

Ejemplo 3: Lotes de componentes

Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso.

¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?

Si se utiliza la distribución hipergeométrica con n = 5, N = 40, k = r = 3 y x = 1, se encuentra que la probabilidad de obtener un componente defectuoso es:

Solución con dhyper()

N <- 40 # Tamaño de lote
r <- 3  # Casos de Exito
n <- 5  # Extracción muestra
x <- 1  # Variable aleatoria
dhyper(x = x, m = r, n = (N - r), k = n)
## [1] 0.3011134
N <- 40 # Total de casos
r <- 3  # Cantidad de casos exitosos a evaluar. Cantidad de componentes defectuosos
n <- 5 # Cantidad de extracción muestra
x <- 1  # Variable aleatoria
f.prob.hiper(x = x, poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)
## [1] 0.3011134

Desarrollo

Se presentan ejercicios de distribuciones hipergeométricas, mostrando tablas de distribución y gráfica de la misma, se calculan probabilidades, valores esperados, varianza y desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.

Cargar librerías

Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(plotly)
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica

Cargar funciones

Se carga la función aunque ya estaba previamente cargada

#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")

Fábrica de fusibles

Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una.

  • Asuma que un inspector selecciona al azar \(3\) de los \(12\) fusibles de una caja para inspeccionarlos.

  • Si la caja contiene exactamente 5 fusibles defectuosos,

  • En este ejercicio::

  • \(N = 12\) Total de elementos

  • \(n = 3\) Extracción de la muestra

  • \(r = 5\) Número de casos exitosos

  • \(x\) es la cantidad de fusible defectuosos como variable aleatoria discreta, desde \(0\) hasta \(n\) o hasta un valor específico[@anderson_estadistica_2008].

A partir de este ejercicio se utiliza la función f.hiper.all() del script cargado con anticipación a través de la función source().

Esta función devuelve la tabla de distribución, los estadísticos de valor esperado o esperanza matemática (media de la distribución); la varianza y la desviación estándar como medidas para identificar que tanto varía con respecto al valor esperado; los gráficos histograma, densidad y acumulado con respecto a la distribución hipergeométrica.

Tabla de probabilidad desde cero a tres

Primero inicializar valores

N <- 12 # Población
n <- 3  # Muestra
r <- 5  # Casos exitosos
x <- 0:r

Se manda llamar la función y dejar todo en la variable resultado

resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper() y con cumsum()

tabla <- resultado$tabla
tabla
##   x        f.x       F.x
## 1 0 0.15909091 0.1590909
## 2 1 0.47727273 0.6363636
## 3 2 0.31818182 0.9545455
## 4 3 0.04545455 1.0000000

Gráfica de probabilidad

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)

Histograma y acumulado

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

resultado$g.hist.plotly
resultado$g.acum.plotly

Probabilidad uno de tres

¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso?

Utilizando la tabla de distribución.

x <- 1
prob <- tabla$f.x[x+1]
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  47.7273 %"

Utilizando dhyper()

prob <- dhyper(x = 1, m = r, n = N - r, k = n)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  47.7273 %"

Probabilidad de menos de tres fusibles

¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres fusibles defectuosos

\(P(x\leq2) = P(X=0) + P(x=1) + P(x=2)\) o la función acumulada hasta tres \(F(x=3)\)

Utilizando la tabla de distribución

x <- 2
prob <- tabla$F.x[x+1]
paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles:  95.4545 %"

Utilizando sum(dhyper())

prob <- sum(dhyper(x = 0:x, m = r, n = N - r, k = n))
paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles:  95.4545 %"

Utilizando phyper()

prob <- phyper(q = x,  m = r, n = N - r, k = n)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es:  95.4545 %"

Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

  • Mandar llamar la función creada anticipadamente f.va.hiper().
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  1.25"

Varianza y desviación

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?. También se utilizan las funciones previamente preparadas.

varianza <- resultado$varianza
desvstd <- resultado$desv.std
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))
## [1] "El valor de la varianza es de:  0.5966  y la desviación std es de:  0.7724"

Interpretación

Existe una probabilidad de aproximadamente 47.72% de que suceda exactamente un fusible defectuoso.

Existe una probabilidad aproximada del 95% de que sucedan fusibles defectuosos menores a 3 componentes

El Valor esperado de 1.25 significa lo que en promedio se espera que suceda por cualquier valor de la variable discreta

La varianza es de 0.5966 y la desviación es de 0.7724 significan el grado de dispersión de los valores de la distribución o que tanto se alejan del valor medio en la distribución de probabilidad en este caso hipergeométrica.

Lote de Componentes

Lotes con \(100\) componentes cada uno que contengan 6 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar \(10\) componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. En todo el lote hay \(6\) defectuosos.

[@camacho_avila_probabilidad_2019], [@walpole_probabilidad_2012]

  • \(N = 100\),
  • \(n = 10\),
  • \(r = 6\) y
  • \(x = 0,1,2,3,4...n\)

Tabla de probabilidad desde cero a cinco

  • Primero inicializar valores
N <- 100  # Población
n <- 10   # Muestra
r <- 6   # Casos Exitosos
x <- 0:n # variable aleatoria discreta x
resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)

Se construye la tabla de distribución

tabla <- resultado$tabla
tabla
##     x        f.x       F.x
## 1   0 0.52230475 0.5223047
## 2   1 0.36868571 0.8909904
## 3   2 0.09645847 0.9874489
## 4   3 0.01182633 0.9992752
## 5   4 0.00070555 0.9999808
## 6   5 0.00001903 0.9999998
## 7   6 0.00000018 1.0000000
## 8   7 0.00000000 1.0000000
## 9   8 0.00000000 1.0000000
## 10  9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000

Gráfica de probabilidad

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)

Histograma y acumulado

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

resultado$g.hist.plotly
resultado$g.acum.plotly

Probabilidad de exactamente un componente

¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?. \(f(x=1)\)

x <- 1
prob <- tabla$f.x[x+1]
paste("La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: ", round(prob * 100,4), "%")
## [1] "La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es:  36.8686 %"

Probabilidad de a lo más tres

¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres componentes defectuosos \(P(x \leq3) = P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)\) o la función acumulada \(F(x=3)\)

x <- 3
prob <- phyper(q = x,m = r, n = N - r, k = n)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de tres componentes", round(prob, 4))
## [1] "La probabilidad de encontrar menos de tres componentes 0.9993"

¿Cuál es el valor esperado

VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  0.6"

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- resultado$varianza
desvstd <- resultado$desv.std
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))
## [1] "El valor de la varianza es de:  0.5127  y la desviación std es de:  0.716"

Interpretación

En este ejercicio en su contexto, hay un 89% de probabilidades de detectar 1 componente malo de una muestra de 10 de entre 100. Por lo que el lote se rechaza [@camacho_avila_probabilidad_2019].

Artículos defectuosos

Se tiene un lote de \(100\) artículos de los cuales \(12\) están defectuosos. Se extraen lotes de \(10\).

Tabla de distribución

  • Primero inicializar valores
N <- 100
n <- 10
r <- 12
x <- 0:n

Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.hiper.all() en la variable resultado

resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)
tabla <- resultado$tabla
tabla
##     x        f.x       F.x
## 1   0 0.26075027 0.2607503
## 2   1 0.39607636 0.6568266
## 3   2 0.24507225 0.9018989
## 4   3 0.08068222 0.9825811
## 5   4 0.01549689 0.9980780
## 6   5 0.00179241 0.9998704
## 7   6 0.00012447 0.9999949
## 8   7 0.00000502 0.9999999
## 9   8 0.00000011 1.0000000
## 10  9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.0000000

Gráfica de probabilidad

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)

Histograma y acumulado

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

resultado$g.hist.plotly
resultado$g.acum.plotly

Probabilidad de tres defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? \(P(x=3)\)

x <- 3
prob <- tabla$f.x[x+1]
paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)
## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

Con la función dhyper()

x <- 3
dhyper(x = x, m = r, n = N - r, k = n)
## [1] 0.08068222
paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)
## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"

Valor esperado

¿Cuál es el valor esperado?

VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)
## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de:  1.2"

Varianza y desviación

¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?

varianza <- resultado$varianza
desvstd <- resultado$desv.std
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))
## [1] "El valor de la varianza es de:  0.96  y la desviación std es de:  0.9798"

Interpretación

Pendiente

Estudiante de leyes

Un estudiante tiene que preparar cien temas. En el examen se sacan tres a sorteo, de los cuales deberá exponer uno y aprobar al menos uno. El estudiante decide estudiar o preparar solamente la mitad y probar suerte. [@quintela2019].

\(N=100\) La población

\(n=3\) La muestra

\(r = 50\). Los que estudia, son los casos de éxito

\(x = 0,1,2,3\)

Tabla de distribución

Valores iniciales

N <- 100
n <- 3
r <- 50 
x <- 0:n

Se construye la tabla de distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.hiper.all() en la variable resultado.

resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)
tabla <- resultado$tabla
tabla
##   x       f.x       F.x
## 1 0 0.1212121 0.1212121
## 2 1 0.3787879 0.5000000
## 3 2 0.3787879 0.8787879
## 4 3 0.1212121 1.0000000

Gráfica de probabilidad

Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)

Histograma y acumulado

plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)

Usando plotly para visualizaciones dinámicas

resultado$g.hist.plotly
resultado$g.acum.plotly

Probabilidad de que no apruebe,

La probabilidad de que no sepa ninguna de entre la muestra extraída.

Se calcula la probabilidad cuando \(f(x=0)\)

prob <- dhyper(x = 0, m = r, n = N - r, k = n)
paste ("La probabilidad de que no apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que no apruebe es de:  0.121212121212121  o sea  12.1212 %"

Probabilidad de que apruebe

Se requiere que sepa un tema \(f(x=1)\) y con eso pasa

prob <- dhyper(x = 1, m = r, n = N - r, k = n)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")
## [1] "La probabilidad de que apruebe es de:  0.378787878787879  o sea  37.8788 %"

Interpretación del ejercicio

Hay un \(37\%\) de probabilidades de que sepa una respuesta de entre las tres de la muestra, para aumentar esa probabilidad seguramente tendrá que estudiar más temas.

Existe una probabilidad aproximada del \(12\%\) de que no sepa ningún tema, es decir de que repruebe.

¿Cuál es la probabilidad de que sepa más de 0 preguntas?, que es la condición de aprobar.\(F(x >0) = f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) = 1 - F(x=0) = 1 - 0.1212\) es decir, tiene un \(88\%\) de probabilidades de aprobar habiendo estudiado solo \(50%\) de los cien reactivos. ¡Está bien !

Interpretación

Nos dimos cuenta que la variable aleatoria de Poisson es una variable aleatoria discreta, se visualiza aquí es que en primera instancia se ve Poissonn en donde se pregunta Cuál es la probabilidad de que, a lo más, 3 automóviles por año sufran una accidente,a lo cual se asigna la respuesta de 26.5%, por otra parte el accidente es de 95.9572 %.