La cantidad de líquido dosificado por una máquina embotelladora está distribuida normalmente con \(\sigma = 1\) onza. Si \(n = 9\) botellas se seleccionan aleatoriamente de la producción de la máquina, encontramos que la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de \(.3\) onza de la verdadera media es \(.6318\). Suponga que \(\overline{Y}\) se ha de calcular usando una muestra de tamaño \(n\).
Si \(n = 16\), ¿cuál es \(P(| \overline{Y} − \mu | ≤ .3)\)?
Se tiene que \(P(|\overline{Y} – μ| ≤ .3) = P(–1.2 ≤ Z ≤ 1.2) = P(Z \leq 1.2) - P(Z \leq -1.2) = P(Z \leq 1.2) - P(Z \geq 1.2) = P(Z \leq 1.2) - [1 - P(Z \leq 1.2)] = 2P(Z \leq 1.2) - 1\), donde la tercera igualdad se sigue por simetría de la variable \(Z\). Calulando esta probabilidad se obtiene
2*pnorm(1.2) - 1## [1] 0.7698607Encuentre \(P(|\overline{Y} − \mu|≤ .3)\) cuando \(\overline{Y}\) se ha de calcular usando muestras de tamaños \(n = 25\), \(n = 36\), \(n = 49\) y \(n = 64\).
\(P(|\overline{Y} – μ| ≤ .3) = P(–.3 \sqrt{n} ≤ Z ≤ .3 \sqrt{n} ) = P(Z ≤ .3 \sqrt{n} ) - P(Z ≤ -.3 \sqrt{n} ) = P(Z ≤ .3 \sqrt{n} ) - P(Z \geq .3 \sqrt{n} ) = P(Z ≤ .3 \sqrt{n} ) - [1 - P(Z \leq .3 \sqrt{n} )] = 2P(Z ≤ .3 \sqrt{n} ) - 1.\)
Para \(n=25, 36, 49\) y \(64\) las probabilidades respectivas son
2*pnorm(.3*sqrt(25)) - 1## [1] 0.86638562*pnorm(.3*sqrt(36)) - 1## [1] 0.92813942*pnorm(.3*sqrt(49)) - 1## [1] 0.96427122*pnorm(.3*sqrt(64)) - 1## [1] 0.9836049¿Qué patrón observa usted entre los valores para \(P(|\overline{Y} − \mu |≤.3)\) que haya contemplado para diversos valores de \(n\)?
Del inciso anterior, se puede observar que la probabildiad aumenta conforme la \(n\) incrementa. Esto va de acuerdo a la disminución de la varianza de \(\overline{Y}\) conforme \(n\) aumenta.
¿Los resultados obtenidos en el inciso \(b)\) parecen ser consistentes con el resultado obtenido en el Ejemplo \(7.3\)?
Sí hay consistencia pues en el ejemplo \(7.3\) se obtuvieron probabilidades menores a \(.95\) para valores de \(n\) menores a \(43\). En el inciso \(b)\) cuando la muestra es de \(36\) la probabilidad es menor a \(.95\), pero cuando \(n=49\) la probabilidad supera el \(.95\).
Suponga ahora que la cantidad de líquido dosificado por la máquina embotelladora está distribuida normalmente con \(\sigma = 2\) onzas.
Si \(n = 9\) botellas se seleccionan aleatoriamente de la producción de la máquina, ¿cuál es \(P(|\overline{Y} − \mu |≤.3)\)? Compare esto con la respuesta obtenida en el Ejemplo \(7.2\).
\(P(|Y – μ| ≤ .3) = P(–.15\sqrt{n} ≤ Z ≤ .15\sqrt{n} ) = 2P(Z \leq .15 \sqrt{n} ) - 1.\) Para \(n=9\), la probabilidad es de
2*pnorm(.15*sqrt(9)) - 1## [1] 0.3472896Esta probabilidad es más pequeña a la obtenida en el ejemplo \(7.2\) de \(.6318\). pues ahora \(\sigma\) aumentó de \(1\) a \(2\).
Encuentre \(P(|\overline{Y} − \mu |≤.3)\) cuando \(\overline{Y}\) se ha de determinar usando muestras de tamaños \(n = 25, n = 36, n = 49\) y \(n = 64\).
Para \(n=25\) la probabilidad es \(P(|\overline{Y} – μ| ≤ .3) = 2P(Z \leq .75) - 1\), que al calularla es
2*pnorm(.75) - 1## [1] 0.5467453Para \(n=36\) la probabilidad es \(P(|\overline{Y} – μ| ≤ .3) = 2P(Z \leq .9) - 1\)
2*pnorm(.9) - 1## [1] 0.6318797Para \(n=49\) la probabilidad es \(P(|\overline{Y} – μ| ≤ .3) = 2P(Z \leq 1.05) - 1\)
2*pnorm(1.05) - 1## [1] 0.7062819Y para \(n=64\) la probabilidad es \(P(|\overline{Y} – μ| ≤ .3) = 2P(Z \leq 1.2) - 1\)
2*pnorm(1.2) - 1## [1] 0.7698607¿Qué patrón observa usted entre los valores para \(P(|\overline{Y} − \mu |≤.3)\) que contempló para los diversos valores de \(n\)?
El patrón que se observa es un incremento en la probabilidad conforme \(n\) incrementa.
¿Cómo se comparan las respectivas probabilidades obtenidas en este problema (donde \(\sigma = 2\)) con las obtenidas en el Ejercicio \(7.9\) (donde \(\sigma = 1\))?
Comparando con el ejercicio anterior, se observa que ahora las probabilidades son menores pues se tiene una desviación estándar más grande, lo que provoca que la densidad de las probabilidades sea más difusa.
Un guardabosque, que estudia los efectos de la fertilización en ciertos bosques de pinos en el sureste, está interesado en estimar el promedio de área de la base de los pinos. Al estudiar áreas basales de pinos similares durante muchos años, descubrió que estas mediciones (en pulgadas cuadradas) están distribuidas normalmente con desviación estándar aproximada de \(4\) pulgadas cuadradas. Si el guardabosque muestrea \(n = 9\) árboles, encuentre la probabilidad de que la media muestral se encuentre a no más de \(2\) pulgadas cuadradas de la media poblacional.
Como se quiere que la media muestral se encuentre a no más de \(2\) pulgadas cuadradas de la media poblacional se busca la desviación \(|\overline{Y} - \mu| \leq 2\), donde su probabilidad es \(P(|\overline{Y} - \mu|) \leq 2 = P(-2 \leq \overline{Y} - \mu \leq 2) = P(-2/4 \cdot 3 \leq Z \leq 2/4 \cdot 3) = P(-1.5 \leq Z \leq 1.5) = 2P(Z \leq 1.5) -1\), que tiene una valor de
2*pnorm(1.5) - 1## [1] 0.8663856Suponga que al guardabosque del Ejercicio \(7.11\) le gustaría que la media muestral estuviera a no más de \(1\) pulgada cuadrada de la media poblacional, con probabilidad \(.90\). ¿Cuántos árboles debe medir para asegurar este grado de precisión?
Ahora la desviación buscada es \(|\overline{Y} - \mu| \leq 2\) y de la expresión de la probabilidad, al desconocer el tamaño de \(n\) se tiene que \(P(|\overline{Y} - \mu|) \leq 1 = P(-1 \leq \overline{Y} - \mu \leq 1) = P(-1/4 \sqrt{n} \leq Z \leq 1/4 \sqrt{n}) = P(-0.25 \sqrt{n} \leq Z \leq 0.25 \sqrt{n}) = 2P(Z \leq 0.25\sqrt{n}) -1\), y se requiere que esta probabilidad se de \(.90\), por lo que \(2P(Z \leq 0.25\sqrt{n}) -1 = .90\), lo que implica que \(P(Z \leq 0.25\sqrt{n}) = 1.9/2 = .95\). Como \(Z\) distribuye normal estándar, el cuantil que satisface este nivel de probabbilidad es
qnorm(.95,0,1)## [1] 1.644854Entonces se tiene que \(0.25 \sqrt{n} = 1.644854\), por lo que \(n = (1.644854/0.25)^2 = 43.28871\). Por lo tanto, para asegurar un grado de precisión del \(90 \%\) se requiere tomar una muestra de \(44\) árboles.