Teorema de Bayes:

E suas aplicações

Prof. Letícia Raposo

UNIRIO

🎯 Objetivos da aula

  • Compreender o teorema de Bayes e o cálculo da probabilidade condicional;
  • Ver o uso do teorema de Bayes em testes diagnósticos;
  • Compreender o que são testes diagnósticos;
  • Conhecer os principais índices de desempenho dos testes;
  • Avaliar a determinação do ponte de corte.

Teorema de Bayes

  • Método para interpretar evidências no contexto de experiência ou conhecimento anterior.
  • Descoberto por Thomas Bayes e independentemente por Pierre-Simon Laplace.
  • Aplicações na área da epidemiologia, genética, processamento de imagem, aprendizado de máquina, psicologia, ciência forense, dentre outras.

Teorema de Bayes

\[P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}\]

  • \(P(B|A)\): probabilidade a posteriori
  • \(P(B)\): probabilidade a priori
  • \(P(A|B)\): verossimilhança
  • \(P(A)\): evidência

Teorema de Bayes


\[P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}\]

\(P(A) = \sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)\)

🏩 Exemplo

  • Você está caminhando na rua e nota que o posto de saúde está fornecendo um teste gratuito para uma certa doença. O teste tem a seguinte confiabilidade:
    • Sensibilidade: se uma pessoa tem a doença, o teste tem 90% de probabilidade de dar um resultado positivo.
    • Especificidade: se uma pessoa não tem a doença, o teste tem 90% de probabilidade de dar um resultado negativo. (Portanto, só 10% de probabilidade de dar resultado falso positivo).
  • Dados epidemiológicos indicam que a prevalência da doença é de apenas 1 em 10.000, mas como o teste é gratuito e não invasivo, você decide fazer.
  • Alguns dias depois você recebe uma carta informando que seu teste deu positivo. Agora, qual é a probabilidade de você ter a doença?

🏩 Exemplo

  • \(D_+\): ter a doença
  • \(T_+\): teste positivo
  • \(P(D_+)=0,0001\): prevalência (probabilidade pré-teste)
  • \(P(T_+|D_+)=0,90\)
  • \(P(T_-|D_-)=0,90\)
  • \(P(T_+|D_-)=0,10\)

🏩 Exemplo


\[P(D_+|T_+)=\frac{P(D_+)P(T_+|D_+)}{P(T_+)}\]

🏩 Exemplo


\[P(T_+)=P(T_+\cap D_+)+P(T_+\cap D_-)\] \[P(T_+)=P(T_+|D_+)P(D_+)+P(T_+|D_-)P(D_-)\] \[P(T_+)=0,90\times0,0001 + 0,10\times0,9999=0,10008\]

🏩 Exemplo


\[P(D_+|T_+)=\frac{0,0001\times0,90}{0,10008}=0,0009\]

A probabilidade pós-teste aumentou 9 vezes, mas continua baixa, aproximadamente 1 em 1000.

🌳 Diagrama em árvore

🌳 Diagrama em árvore

👩🏿‍⚕️ Testes diagnósticos

Testes diagnósticos

  • Diagnóstico: decisão clínica baseada, conscientemente ou não, em probabilidade.
  • Objetivos:
    • Triagem de pacientes;
    • Diagnóstico de doenças;
    • Acompanhamento ou prognóstico da evolução do paciente.

🤔 Testes diagnósticos

Como medir o nível de certeza de presença de uma doença após a observação de um teste positivo?

Validade de um teste diagnóstico

Sensibilidade e especificidade


A sensibilidade e a especificidade são medidas importantes pois nos dão uma ideia de quão bom é o desempenho de um teste diagnóstico em comparação com o de um teste padrão ouro existente.

Sensibilidade

Proporção de verdadeiros positivos em relação ao total de doentes.

\[S = \frac{VP}{VP+FN}\]

Especificidade

Proporção de verdadeiros negativos em relação ao total de não doentes.

\[S = \frac{VN}{VN+FP}\]

Testes sensíveis

  • Usados quando não se pode correr o risco de não detectar a doença, uma vez que os falsos negativos serão dispensados de seguimento.
  • Teste sensível (poucos falso-negativos):
    • Doença perigosa, mas tratável (sífilis, tuberculose, Hodgkin, transfusão - aids);
    • Excluir doenças;
    • Probabilidade de doença é baixa e propósito é descobrir a doença: exame periódico, banco de sangue.

Testes específicos

  • Associados com custo;
  • Rotulação de pacientes;
  • Teste específico (poucos falso positivos): quimioterapia, indicação de cirurgia, doença estigmatizante.

Sensibilidade e especificidade

  • Úteis para avaliar o desempenho de um teste diagnóstico, mas não são muito úteis para ajudar a tomar decisões clínicas personalizadas.
  • Quando um clínico tem um paciente cujo teste apresentou resultado positivo, a pergunta mais importante é a seguinte: dado que o teste é positivo, qual é a probabilidade de o paciente ter a doença?

Valores preditivos

  • Valores preditivos não são características fixas do teste e não podem ser generalizados para populações com diferentes prevalências da doença.
  • Dependem da prevalência da doença.
  • ❗️ Só podemos calcular o VPP e VPN a partir da matriz de confusão se ela traz o valor real da prevalência.

\[𝑉𝑃𝑃=\frac{𝑆×𝑃}{(𝑆×𝑃)+(1−𝐸)×(1−𝑃)}\]

\[𝑉𝑃𝑁=\frac{𝐸×(1−𝑃)}{(1−𝑆)×𝑃+𝐸×(1−𝑃)}\]

Valores preditivos

  • ⬆️ VPP alto: um paciente cujo teste apresente resultado positivo muito provavelmente tem a doença que está sendo investigada.
  • ⬆️ VPN alto: um paciente cujo teste apresente resultado negativo muito provavelmente não tem a doença que está sendo investigada.
  • Quanto ⬆️ mais sensível, melhor o ⬆️ VPN.
  • Quanto ⬆️ mais específico, melhor o ⬆️ VPP.

Ponto de corte

Ponto de corte

Ponto de corte

Ponto de corte

Curvas ROC

Teste Rápido COVID-19 Ag Bio-Manguinhos

📚 Referências bibliográficas

  • BARBETTA, Pedro Alberto. Estatística aplicada às ciências sociais. Ed. UFSC, 2008.

  • DANCEY, Christine P.; REIDY, John G.; ROWE, Richard. Estatística Sem Matemática para as Ciências da Saúde. Penso Editora, 2017.

  • HAIR, J. F. et al. Multivariate data analysis. Cengage. Hampshire, United Kingdom, 2019.

leticia.raposo@uniriotec.br