🗓 Hoje
- Raciocínio dedutivo: procuraremos entender como poderão ocorrer os resultados de uma variável, considerando certas suposições.
🤔 Para refletirmos
Supondo que 60% dos estudantes da universidade usam a biblioteca, o que se pode deduzir sobre a porcentagem de alunos que usam a biblioteca em uma amostra simples de 10 alunos?
- Seis alunos usam a biblioteca? Cinco? Sete? Um?
- A resposta não é um simples número, pois dependendo dos alunos selecionados, teremos resultados diferentes.
- Precisamos apresentar quais são os possíveis resultados e como eles poderão ocorrer → modelos probabilísticos.
Modelos probabilísticos
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Definições básicas
Os modelos probabilísticos são construídos a partir de certas hipóteses ou conjecturas sobre o problema em questão e constituem-se de duas partes:
- dos possíveis resultados e
- de uma certa lei que nos diz quão provável é cada resultado (ou grupo de resultados).
Definições básicas
- Problema em questão: lançamento de moeda 🪙
- Possíveis resultados: cara 🙂 ou coroa 👑
- O quanto é provável cada resultado: probabilidade de ocorrer cara é a mesma de ocorrer coroa
Definições básicas
Seja um experimento aleatório (experiência ou situação em que deve ocorrer um, dentre vários resultados possíveis).
- Espaço amostral S é o conjunto de TODOS os resultados possíveis do experimento.
Espaço amostral
- Discreto:
- 🪙 Lançar um moeda e observar a face voltada para cima: \(S = \{cara, coroa\}\).
- ⚄ Lançar um dado e observar o número de pontos marcado no lado voltado para cima: \(S = \{1,2,3,4,5,6\}\).
- 📕 Numa certa universidade, indagar a um aluno se ele já usou a biblioteca: \(S = \{Sim, Não\}\).
- Contínuo:
- 📏 Numa escola de ensino fundamental, selecionar uma criança e medir a sua altura: \(S=\{x,\ tal\ que\ x \in \mathbb{R}\ e\ 0 < x < 2,00\ m\}\).
Definições básicas
Seja um experimento aleatório (experiência ou situação em que deve ocorrer um, dentre vários resultados possíveis).
- Espaço amostral S é o conjunto de TODOS os resultados possíveis do experimento.
- Evento é um conjunto de resultados de um experimento. Podemos dizer que A é um evento se e somente se A é um subconjunto do espaço amostral S, pois S é o conjunto de TODOS os resultados possíveis.
Evento
No lançamento de um dado, podemos ter interesse nos seguintes eventos:
- ⚁⚃⚅ A = ocorrer um número par - \(A=\{2,4,6\}\)
- ⚀⚁ B = ocorrer um número menor que três - \(B=\{1,2\}\)
- ⚅ C = ocorrer o número seis - \(C=\{6\}\)
- D = ocorrer um número maior que seis - \(D=\{\}\) - Evento impossível
Uniões, interseções e complementos
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Eventos mutuamente exclusivos
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Definições básicas
Seja um experimento aleatório (experiência ou situação em que deve ocorrer um, dentre vários resultados possíveis).
- Espaço amostral S é o conjunto de TODOS os resultados possíveis do experimento.
- Evento é um conjunto de resultados de um experimento. Podemos dizer que A é um evento se e somente se A é um subconjunto do espaço amostral S, pois S é o conjunto de TODOS os resultados possíveis.
- Probabilidade é um valor entre 0 e 1. A soma das probabilidades de todos os resultados possíveis do experimento deve ser igual a 1.
Probabilidade
🪙 No lançamento de um moeda, se considerarmos a moeda perfeitamente equilibrada e o lançamento imparcial, os resultados tornam-se equiprováveis. Temos o seguinte modelo probabilístico:
Probabilidade
⚅ No lançamento de um dado, se considerarmos o dado perfeitamente equilibrado e o lançamento imparcial, tem-se o seguinte modelo probabilístico:
| 1 |
1/6 |
| 2 |
1/6 |
| 3 |
1/6 |
| 4 |
1/6 |
| 5 |
1/6 |
| 6 |
1/6 |
Probabilidade
🔵🔴 Na seleção de uma bola na urna, sabendo que temos 7 bolas azuis e 3 vermelhas, supondo que a bola seja extraída aleatoriamente, temos o seguinte modelo:
| Azul |
0,7 (7/10) |
| Vermelha |
0,3 (3/10) |
Probabilidade
📚 No problema de usuários da biblioteca, vamos supor que em toda a universidade 60% dos alunos usam e 40% não. Se o aluno for selecionado aleatoriamente, o modelo probabilístico será:
Princípio da equiprobabilidade
Quando as características do experimento sugerem \(N\) resultados possíveis, todos com igual probabilidade de ocorrência, a probabilidade de um certo evento \(A\), contendo \(N_A\) resultados, pode ser definida por:
\[P(A)=\frac{N_A}{N}\]
Exemplo
⚪️🔴⚫️ Seja uma urna com 5 bolas brancas, 3 vermelhas e 2 pretas. Selecionar uma bola ao acaso. Qual a probabilidade da bola selecionada ser branca ou vermelha?
\(P(B\ ou\ V)=\frac{5}{10}+\frac{3}{10}=\frac{8}{10}\)
\(P(B\ ou\ V)=1-P(P)=1-\frac{2}{10}=\frac{8}{10}\)
Eventos independentes
- Temos eventos independentes quando a ocorrência de um deles não altera a probabilidade da ocorrência do outro.
- Ex: evento A = número par no dado e evento B = cara na moeda.
- Quando a ocorrência de um evento puder ser interpretada como resultante da ocorrência simultânea de dois outros eventos independentes, sua probabilidade pode ser obtida pelo produto das probabilidades individuais desses eventos.
Exemplo
⚁⚁ Lançar duas vezes, de forma imparcial e independente, um dado perfeitamente equilibrado. Calcular a probabilidade de ocorrer número par em ambos os lançamentos.
\[P(No\ par\ em\ ambos\ os\ lançamentos)=\] \[=P(Par\ no\ 1o\ lanç.) \times P(Par\ no\ 2o\ lanç.)=\] \[=\frac{1}{2} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{4}\]
E = PRODUTO!!!
📜 Regras básicas da probabilidade
- A probabilidade de um evento A ocorrer é um número entre 0 e 1;
- O espaço amostral S tem probabilidade igual a 1;
- A probabilidade de um conjunto vazio \((\emptyset)\) ocorrer é nula;
- Regra da adição: \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)-P(A \cap B)\)
- Eventos mutuamente excludentes: \(P(A \cup B)=P(A)+P(B)\)
- Se \(A^C\) for o evento complementar de A: \(P(A^C)=1-P(A)\)
- Regra da multiplicação para eventos independentes: \(P(A \cap B)=P(A) \times P(B)\)
Probabilidade condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral \(S\), associado a um experimento, em que \(P(A)>0\). A probabilidade de B ocorrer condicionada a A ter ocorrido, será representada por \(P(B|A)\) e calculada por
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Probabilidade condicional
Sejam A e B dois eventos de um espaço amostral \(S\), associado a um experimento, em que \(P(A)>0\). A probabilidade de B ocorrer condicionada a A ter ocorrido, será representada por \(P(B|A)\) e calculada por
Regra da multiplicação para probabilidades condicionais
Com o conceito de probabilidade condicional, é possível apresentar uma maneira de se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos A e B em função destes eventos. Esta expressão é denominada de regra da multiplicação. \[P(A\cap B)=P(B|A)P(A)=P(A|B)P(B)\]
Probabilidade condicional e partições
Seja \(S\) o espaço amostral de um experimento, e considere \(k\) eventos disjuntos \(𝐵_1,𝐵_2…,𝐵_𝑘\) em \(S\) tais que \(\cup_{i=1}^{k}𝐵_𝑖=𝑆\). Dizemos que esses eventos formam uma partição de \(S\). Se \(P(B_j)>0\) para \(j=1,...,k\), então, para qualquer evento A em \(S\),
\[P(A)=\sum_{j=1}^{k}P(B_j)P(A|B_j)\]
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🐐🚪 O problema de Monty Hall
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🐐🚪 O problema de Monty Hall
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- Método para interpretar evidências no contexto de experiência ou conhecimento anterior.
- Descoberto por Thomas Bayes e independentemente por Pierre-Simon Laplace.
- Aplicações na área da epidemiologia, genética, processamento de imagem, aprendizado de máquina, psicologia, ciência forense, dentre outras.
Teorema de Bayes
\[P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{P(A)}\]
- \(P(B|A)\): probabilidade a posteriori
- \(P(B)\): probabilidade a priori
- \(P(A|B)\): verossimilhança
- \(P(A)\): evidência
Teorema de Bayes
\[P(B|A)=\frac{P(B)P(A|B)}{\sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)}\]
\(P(A) = \sum_{j=1}^{n}P(B_j)P(A|B_j)\)
🏩 Exemplo
- Você está caminhando na rua e nota que o posto de saúde está fornecendo um teste gratuito para uma certa doença. O teste tem a seguinte confiabilidade:
- Sensibilidade: se uma pessoa tem a doença, o teste tem 90% de probabilidade de dar um resultado positivo.
- Especificidade: se uma pessoa não tem a doença, o teste tem 90% de probabilidade de dar um resultado negativo. (Portanto, só 10% de probabilidade de dar resultado falso positivo).
- Dados epidemiológicos indicam que a prevalência da doença é de apenas 1 em 10.000, mas como o teste é gratuito e não invasivo, você decide fazer.
- Alguns dias depois você recebe uma carta informando que seu teste deu positivo. Agora, qual é a probabilidade de você ter a doença?
🏩 Exemplo
- \(D_+\): ter a doença
- \(T_+\): teste positivo
- \(P(D_+)=0,0001\): prevalência (probabilidade pré-teste)
- \(P(T_+|D_+)=0,90\)
- \(P(T_-|D_-)=0,90\)
- \(P(T_+|D_-)=0,10\)
🏩 Exemplo
\[P(D_+|T_+)=\frac{P(D_+)P(T_+|D_+)}{P(T_+)}\]
🏩 Exemplo
\[P(T_+)=P(T_+\cap D_+)+P(T_+\cap D_-)\] \[P(T_+)=P(T_+|D_+)P(D_+)+P(T_+|D_-)P(D_-)\] \[P(T_+)=0,90\times0,0001 + 0,10\times0,9999=0,10008\]
🏩 Exemplo
\[P(D_+|T_+)=\frac{0,0001\times0,90}{0,10008}=0,0009\]
A probabilidade pós-teste aumentou 9 vezes, mas continua baixa, aproximadamente 1 em 1000.
🌳 Diagrama em árvore
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🌳 Diagrama em árvore
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