Desarrollo de una prueba de hipótesis En todos los ejercicios, identifique la población, la variable y sus unidades, el parámetro y la muestra Exprese la hipótesis nula H0 y la hipótesis alternativa H1 de manera simbólica. Calcule el valor del estadístico de prueba. Encuentre los valores críticos. Calcule el valor p. Decida sobre el rechazo o no rechazo de la H0. Si no se especifica, utilice 𝜶 = 𝟎, 𝟎𝟓 Redacte la conclusión en términos sencillos y sin tecnicismos. Asegúrese de retomar la afirmación original.

  1. Optimismo Las muestras aleatorias de 900 personas en Estados Unidos y 900 en Gran Bretaña indican que el 60 por ciento de los estadounidenses ve con optimismo el futuro de la economía, mientras que la cifra es del 66 por ciento en el caso de los británicos. ¿Es esta información una prueba contundente de que los británicos ven con más optimismo el futuro de la economía?
#Población1: Personas en Estados Unidos 
#Población 2: Personas en Gran Bretaña. 
#Afirmación: Los britanicos ven con mas optimismo el futuro de la economía 
#Variable: Porcentaje de personas que ven con optimismo el futuro de la economía. 
#Unidades:Personas 
#Parámetro: Resta de proporción p1-p2 : personas que ven con optimismo el futuro de la economía.

#Estados Unidos:
n1 <- 900 
pgorro1  <- 0.60 

#Gran Bretaña: 
n2 <- 900 
pgorro2 <- 0.66 

#Hipotesis:
#H1 <-  pgorro1 - pgorro2 < 0 
#H0 <-  pgorro1 - pgorro2 => 0 ###

#Estadistico de prueba: 

Zep <- ((pgorro1-pgorro2)/sqrt((pgorro1*(1-pgorro1)/n1)+ (pgorro2*(1-pgorro2)/n2)))
Zep
## [1] -2.641353
#Valor de k 
alfa <- 0.05
qnorm(0.05, lower.tail = TRUE)
## [1] -1.644854
#Valor de p 
vp <- pnorm(Zep, lower.tail = TRUE)

#P - Alfa 
A <- vp - alfa 
A 
## [1] -0.04587121
#Se rechaza la hipotesís nula, ya que el valor de p es menor al alfa. Así que los britanicos sí ven con mas optimismo el futuro de la economía
  1. Exceso de velocidad en carretera Se presentan las velocidades registradas (en km/h) de automóviles elegidos al azar que viajaban en una carretera. En esa parte de la carretera hay un letrero que indica una velocidad máxima de 65 km/h. Suponga que la desviación estándar de las velocidades es de 5.7 km/h y utilice un nivel de significancia de 0.01 para someter a prueba la afirmación de que la muestra proviene de una población con una media mayor que 65 km/h. 68 68 72 73 65 74 73 72 68 65 65 73 66 71 68 74 66 71 65 73 59 75 70 56 66 75 68 75 62 72 60 73 61 75 58 74 60 73 58 75
#Población: automoviles 
#Afirmación: La muestra proviene de una población con una media mayor a 65 km/h. 
#Variable: Velocidades de los automoviles en carretera 
#Unidades: Kilometros 
#Parámetro: Media m  

#Hipotesis:
#H1 <-  m > 65  
#H0 <-  m =< 65 


s <- 5.7 
alfa2 <- 0.01 
m <- 65 
muestra <- c(68, 68, 72, 73, 65, 74, 73, 72, 68, 65, 65, 73, 66, 71, 68, 74, 66, 71, 65, 73, 59, 75, 70, 56, 66, 75, 68, 75, 62, 72, 60, 73, 61, 75, 58, 74, 60, 73, 58, 75)
n3 <- length(muestra)
xbarra <- mean(muestra)

Zep1 <- ((xbarra - m) / (s/sqrt(n3)))
Zep1 
## [1] 3.744802
#Valor de p 
vp1 <- pnorm(Zep1, lower.tail = FALSE)
vp1 
## [1] 9.026787e-05
#p - alfa2
A2 <- vp1 - alfa2
A2
## [1] -0.009909732
#Se rechaza la hipotesís nula, ya que  el valor de p es menor al alfa. Así que la muestra proviene de una población con una media mayor a 65 km/h.
  1. Rentabilidad de empresas de flores. Un analista afirma que las empresas en la Sabana de Bogotá presentan mayor rentabilidad media que las empresas de Boyacá. Se sabe que la desviación de la rentabilidad de las empresas en la Sabana de Bogotá es de 3% y en Boyacá es de 3,5%. Una muestra de 12 empresas de la Sabana de Bogotá arrojó una media de 8.5%. Una muestra de 9 empresas boyacenses tuvo una media de 5.6%. Las muestras son independientes y las rentabilidades de las empresas siguen distribuciones normales. Utilice 𝛼 = 0,1 para resolver la prueba
#Población1: Empresas en la sabana de Bogotá.
#Población2: Empresas en Boyacá
#Afirmación: las empresas en la Sabana de Bogotá presentan mayor rentabilidad media que las empresas de Boyacá
#Variable: Rentabilidad de las empresas 


#Empresas en la sabana de Bogotá.
sd1 <- 0.03 
n4 <- 12
m4 <- 0.085 
xbarra4 <- mean(m4)

#Empresas en Boyacá
sd2 <- 0.035 
n5 <- 9
m5 <- 0.056
xbarra5 <- mean(m5)

alfa3 <- 0.1 

#Hipotesis:
#H1 <-  m1 - m2 > 0  
#H0 <-  m1 - m2 = 0 

Zep3 <- ((xbarra4 - xbarra5)/sqrt((sd1^2/n4)+(sd2^2/n5)))
Zep3 
## [1] 1.995917
#Valor de p 
vp3 <- pnorm(Zep3, lower.tail = FALSE)
vp3
## [1] 0.02297149
#p - alfa2
A3 <- vp3 - alfa3
A3
## [1] -0.07702851
#Se rechaza la hipotesís nula, ya que  el valor de p es menor al alfa. Entonces las empresas en la Sabana de Bogotá presentan mayor rentabilidad media que las empresas de Boyacá.