Técnica de redução de variância

Técnica de redução de variância

Hipercubo Latino

\[x_{hi} = F^{-1} ( x ), \text{ onde } x = \frac{i - Rand_i}{n}\]

Amostragem descritiva

\[x_{di} = F^{-1} ( x ), \text{ onde }x = \frac{i - 0.5}{n}\]

Exemplo 1:

Função de Densidade: \(f(x) = 2x\) onde \(0 \leq x \leq 1\)

Função de Distribuição: \(F(x) = x^2 >> x = \sqrt u\)

Número aleatório: \(F^{-1}(u) = x >> x = \sqrt u\)

Em runif:

n = 100
x <- sqrt(runif(n))
hist(x)

Em hipercubo latino:

HL<- rep(0,n)
for(i in  1:n){
  y <- sqrt((i-runif(1)/n))
  HL[i] <- y
}
hist(HL)

Em amostragem descritiva:

AD <- rep(0,n)
for(i in  1:n){
  y <- sqrt((i-0.5/n))
  AD[i] <- y
}
hist(AD)

Exemplo 2:

Função de Densidade: \(f(x) = 2x\) onde \(0 \leq x \leq 1\)

Função de Distribuição: \(F(x) = x^2 >> x = \sqrt u\)

Número aleatório: \(F^{-1}(u) = x >> x = \sqrt u\)

Em runif:

n = 100
x <- sqrt(runif(n))
hist(x)

Em hipercubo latino:

HL<- c()
for(i in  1:n){
  y <- sqrt((i-runif(1)/n))
  HL[i] <- y
}
hist(HL)

Em amostragem descritiva:

AD <- c()
for(i in  1:n){
  y <- sqrt((i-0.5/n))
  AD[i] <- y
}
hist(AD)

Exemplo 2:

Função de Densidade: \(f(x) = \lambda .\exp{(-\lambda.x)}\)

Função de Distribuição: \(F(x) = 1 - \exp{(-\lambda.x)}\)

Número aleatório: \(F^{-1}(u) = x >> - \log(u)/\lambda\)

Em runif:

n = 100
lambda = 1
u = runif(n)
x <- -log(runif(n))/lambda
hist(x)

Em hipercubo latino:

HL <- c()
i = 1
for(i in  1:n){
  y = -log((i - runif(1))/n)/lambda
  HL[i] <- y
}
hist(HL)

Em amostragem descritiva:

AD <- c()
lambda <- 1
for(i in  1:n){
  y <- -log((i - 0.5)/n)/lambda
  AD[i] <- y
}
hist(AD)

Teste KS

ks.test(x,pexp,1)

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  x
## D = 0.084022, p-value = 0.4803
## alternative hypothesis: two-sided

ks.test(HL,pexp,1)

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  HL
## D = 0.0098566, p-value = 1
## alternative hypothesis: two-sided

ks.test(AD,pexp,1)

## 
##  Asymptotic one-sample Kolmogorov-Smirnov test
## 
## data:  AD
## D = 0.005, p-value = 1
## alternative hypothesis: two-sided

Pacote Hypercubo Latino

install.packages("lhs")
require(lhs)

Função Hypercubo Latino

Função: ´randomLHS(n,k)´

Para transformação esse conjunto de números em outras distribuições

x <- randomLHS(1000,1)
y <- qnorm(x)     # Normal
hist(y,freq = F)
curve(dnorm(x),add = T,-3,3)

x <- randomLHS(1000,1)
y <- qexp(x)      #Exponencial
hist(y,freq = F)
curve(dexp(x),add = T)

x <- randomLHS(1000,1)
y <- qlogis(x)      #Logística
hist(y,freq = F)
curve(dlogis(x),add = T)