Modelo VAR

VAR

Un modelo VAR (vector autoregresivo) es generalmente utilizado cuando se desean encontrar relaciones simultaneas en un grupo de variables, permitiendo así estimar un sistema de ecuaciones, a diferencia de los modelos ARIMA tradicionales que permiten estimar sólo una ecuación.
El modelo VAR es especialmente útil cuando las relaciones entre variables se transmiten a varios periodos, corrigiendo los problemas de endogeneidad (simultaneidad entre variables) y mostrando la interrelación dinámica que hay entre las variables estacionarias.

Modelo VAR(\(p\))

La serie multivariada \(\boldsymbol{z_t}\) sigue un modelo VAR de orden \(p\), VAR(\(p\)), si

\[\boldsymbol{z}_{t}=\phi_{0}+\sum_{i=1}^{p} \phi_{i} z_{t-i}+\boldsymbol{a}_{t}\]

\(\phi_0\):= es una constante de dimensión \(k\)
\(\phi_i\) son matrices de \(k \times k\) para \(i > 0\), \(\phi_p \neq \boldsymbol{0}\)
\(\boldsymbol{a_t}\) es una sucesión de vectores aleatorios independientes e identicamente distribuidos (iid) con media cero y matriz de covarianza \(\sum_a\) definida positiva.

VAR(\(1\))

\[ \boldsymbol{z}_{t}=\boldsymbol{\phi}_{0}+\boldsymbol{\phi}_{1} \boldsymbol{z}_{t-1}+\boldsymbol{a}_{t} \]

Escribiendo el modelo explicitamente se tiene:

\[ \left[\begin{array}{l} z_{1 t} \\ z_{2 t} \end{array}\right]=\left[\begin{array}{l} \phi_{10} \\ \phi_{20} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{ll} \phi_{1,11} & \phi_{1,12} \\ \phi_{1,21} & \phi_{1,22} \end{array}\right]\left[\begin{array}{l} z_{1, t-1} \\ z_{2, t-1} \end{array}\right]+\left[\begin{array}{l} a_{1 t} \\ a_{2 t} \end{array}\right] \]

\[\begin{array}{l} z_{1 t}=\phi_{10}+\phi_{1,11} z_{1, t-1}+\phi_{1,12} z_{2, t-1}+a_{1 t} \\ z_{2 t}=\phi_{20}+\phi_{1,21} z_{1, t-1}+\phi_{1,22} z_{2, t-1}+a_{2 t} \end{array}\]

Las ecuaciones muestran que la variable \(z_{1t}\) es explicada por rezagos de \(z_{2t}\) y de sí misma; y de igual manera la variable \(z_{2t}\) es afectada por rezagos de \(z_{1t}\) y de sí misma, de manera que no es posible distinguir entre variables endógenas y variables exógenas .
Un VAR(\(1\)) se refiere a un modelo cuyo máximo rezago es \(1\).

Notas

En otras palabras, bajo el marco de Granger, decimos que \(z_{1t}\) causa \(z_{2t}\) si la información pasada de \(z_{1t}\) mejora el pronóstico de \(z_{2t}\)
Para el modelo bivariado VAR(1) en la ecuación, si \(\sum_a\) no es una matriz diagonal, entonces \(z_{1t}\) y \(z_{2t}\) se correlacionan instantáneamente (o contemporáneamente correlacionado).
En este caso, \(z_{1t}\) y \(z_{2t}\) tienen causalidad de Granger instantánea. La causalidad instantánea va en ambos sentidos.

Construir el Modelo

Seguir el procedimiento iterativo de Box y Jenkins

Especificación,
Estimación,
Diagnostico

Estimado el VAR(p), el usuario estará interesado en alguno de los siguientes elementos

Comprender la dinámica entre las variables parte del análisis
Análisis de causalidad
Análisis de Impulso Respuesta
Pronosticar fuera de la muestra
Descomposición del Error de pronóstico
Análisis de diagnóstico

Orden de Selección

Test de razones de verosimilitud
Criterios de Información

\[\begin{array}{l} \operatorname{AIC}(\ell)=\ln \left|\hat{\mathbf{\Sigma}}_{a, \ell}\right|+\frac{2}{T} \ell k^{2} \\ \operatorname{BIC}(\ell)=\ln \left|\hat{\mathbf{\Sigma}}_{a, \ell}\right|+\frac{\ln (T)}{T} \ell k^{2} \\ \operatorname{HQ}(\ell)=\ln \left|\hat{\mathbf{\Sigma}}_{a, \ell}\right|+\frac{2 \ln [\ln (T)]}{T} \ell k^{2} \end{array}\]

Test de Correlación Serial

Test de Portmanteau
Test de Breusch-Godfrey

Causalidad

El test de causalidad se debe a los desarrollos de Granger(1969). “Investigating causal relations by econometric models and cross-sprectral methods”. Econometrika 46, 1303-1310.
Una variable X causa en el sentido de Granger a otra Y, si la variable X ayuda a predecir la variableY
R tiene implementado dos pruebas:
- Test de causalidad de Granger
- Test de causalidad instantánea

\[H_0: \ X_t \ \ \text{no causa en el sentido de Granger a} \ \ Y_t \]

Ejemplo

Cargar las librerias

library(vars)
library(tseries)
library(forecast)
library(urca)
library(highcharter)

data(Canada)

Canada=as.data.frame(Canada)

layout(matrix(1:4, nrow = 2, ncol = 2))
plot.ts(Canada$e, main = "Employment", ylab = "", xlab = "")
plot.ts(Canada$prod, main = "Productivity", ylab = "", xlab = "")
plot.ts(Canada$rw, main = "Real Wage", ylab = "", xlab = "")
plot.ts(Canada$U, main = "Unemployment Rate", ylab = "", xlab = "")

.

var_canada<-ts(Canada[,c(1,2,3,4)],frequency = 12)

plot.ts(var_canada)

Pruebas de estacionariedad

pruebas de estacionariedad empleo

pp.test(var_canada[,1])

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  var_canada[, 1]
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -5.8701, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.7735
## alternative hypothesis: stationary

adf.test(var_canada[,1]) # no es estcionarias

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  var_canada[, 1]
## Dickey-Fuller = -2.148, Lag order = 4, p-value = 0.5152
## alternative hypothesis: stationary

pruebas de estacionariedad Productividad

pp.test(var_canada[,2])

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  var_canada[, 2]
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -7.4247, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.6816
## alternative hypothesis: stationary

adf.test(var_canada[,2]) # no es estacionaria

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  var_canada[, 2]
## Dickey-Fuller = -2.8725, Lag order = 4, p-value = 0.218
## alternative hypothesis: stationary

pruebas de estacionariedad salario

pp.test(var_canada[,3])

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  var_canada[, 3]
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -4.6296, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.8468
## alternative hypothesis: stationary

adf.test(var_canada[,3]) # no es estacionaria

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  var_canada[, 3]
## Dickey-Fuller = -2.0558, Lag order = 4, p-value = 0.553
## alternative hypothesis: stationary

pruebas de estacionariedad Desempleo

pp.test(var_canada[,4])

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  var_canada[, 4]
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -7.1861, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.6957
## alternative hypothesis: stationary

adf.test(var_canada[,4]) # no es estacionaria

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  var_canada[, 4]
## Dickey-Fuller = -2.5988, Lag order = 4, p-value = 0.3303
## alternative hypothesis: stationary

Con una diferencia

Empleo

adf.test(diff(var_canada[,1]))

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 1])
## Dickey-Fuller = -3.2668, Lag order = 4, p-value = 0.08274
## alternative hypothesis: stationary

pp.test(diff(var_canada[,1])) # Estacionaria segun PhILLIPS PERRON

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 1])
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -26.227, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.01233
## alternative hypothesis: stationary

Productividad con una diferencia

adf.test(diff(var_canada[,2]))

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 2])
## Dickey-Fuller = -3.2361, Lag order = 4, p-value = 0.08775
## alternative hypothesis: stationary

pp.test(diff(var_canada[,2])) # estacionaria phillips perron

## Warning in pp.test(diff(var_canada[, 2])): p-value smaller than printed p-value

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 2])
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -60.867, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Salario con una diferencia

adf.test(diff(var_canada[,3]))

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 3])
## Dickey-Fuller = -3.2352, Lag order = 4, p-value = 0.08789
## alternative hypothesis: stationary

pp.test(diff(var_canada[,3])) # Estacionaria segun Phillips peron

## Warning in pp.test(diff(var_canada[, 3])): p-value smaller than printed p-value

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 3])
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -61.576, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

Desempleo

adf.test(diff(var_canada[,4]))

## 
##  Augmented Dickey-Fuller Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 4])
## Dickey-Fuller = -3.7325, Lag order = 4, p-value = 0.02698
## alternative hypothesis: stationary

pp.test(diff(var_canada[,4]))  #Estacionaria pasa ambas pruebas

## Warning in pp.test(diff(var_canada[, 4])): p-value smaller than printed p-value

## 
##  Phillips-Perron Unit Root Test
## 
## data:  diff(var_canada[, 4])
## Dickey-Fuller Z(alpha) = -38.946, Truncation lag parameter = 3, p-value
## = 0.01
## alternative hypothesis: stationary

diferencia de todas las variables

var_canada_dif<-diff(var_canada[,c(1,2,3,4)])  
plot.ts(var_canada_dif)

hchart(var_canada_dif)

Una vez las series son estacionarias, se procede a realiza la estimacion

VARselect(var_canada_dif,lag.max=8, type = "const")

## $selection
## AIC(n)  HQ(n)  SC(n) FPE(n) 
##      2      1      1      2 
## 
## $criteria
##                   1            2           3            4            5
## AIC(n) -6.270032208 -6.285458074 -6.03818873 -6.035665365 -5.808725091
## HQ(n)  -6.023272860 -5.841291247 -5.39661443 -5.196683581 -4.772335828
## SC(n)  -5.652035378 -5.173063780 -4.43139698 -3.934476142 -3.213138403
## FPE(n)  0.001893667  0.001871884  0.00241986  0.002469804  0.003191486
##                   6            7           8
## AIC(n) -5.558322503 -5.370524857 -5.33131938
## HQ(n)  -4.324525761 -3.939320637 -3.70270768
## SC(n)  -2.468338351 -1.786143241 -1.25254030
## FPE(n)  0.004286004  0.005511821  0.00626064

Modelo

número de rezagos que se incluiran en el modelo

modelo_var<-VAR(Canada, p=2)
summary(modelo_var)

## 
## VAR Estimation Results:
## ========================= 
## Endogenous variables: e, prod, rw, U 
## Deterministic variables: const 
## Sample size: 82 
## Log Likelihood: -175.819 
## Roots of the characteristic polynomial:
## 0.995 0.9081 0.9081 0.7381 0.7381 0.1856 0.1429 0.1429
## Call:
## VAR(y = Canada, p = 2)
## 
## 
## Estimation results for equation e: 
## ================================== 
## e = e.l1 + prod.l1 + rw.l1 + U.l1 + e.l2 + prod.l2 + rw.l2 + U.l2 + const 
## 
##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## e.l1     1.638e+00  1.500e-01  10.918  < 2e-16 ***
## prod.l1  1.673e-01  6.114e-02   2.736  0.00780 ** 
## rw.l1   -6.312e-02  5.524e-02  -1.143  0.25692    
## U.l1     2.656e-01  2.028e-01   1.310  0.19444    
## e.l2    -4.971e-01  1.595e-01  -3.116  0.00262 ** 
## prod.l2 -1.017e-01  6.607e-02  -1.539  0.12824    
## rw.l2    3.844e-03  5.552e-02   0.069  0.94499    
## U.l2     1.327e-01  2.073e-01   0.640  0.52418    
## const   -1.370e+02  5.585e+01  -2.453  0.01655 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.3628 on 73 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.9985,  Adjusted R-squared: 0.9984 
## F-statistic:  6189 on 8 and 73 DF,  p-value: < 2.2e-16 
## 
## 
## Estimation results for equation prod: 
## ===================================== 
## prod = e.l1 + prod.l1 + rw.l1 + U.l1 + e.l2 + prod.l2 + rw.l2 + U.l2 + const 
## 
##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## e.l1      -0.17277    0.26977  -0.640  0.52390    
## prod.l1    1.15043    0.10995  10.464 3.57e-16 ***
## rw.l1      0.05130    0.09934   0.516  0.60710    
## U.l1      -0.47850    0.36470  -1.312  0.19362    
## e.l2       0.38526    0.28688   1.343  0.18346    
## prod.l2   -0.17241    0.11881  -1.451  0.15104    
## rw.l2     -0.11885    0.09985  -1.190  0.23778    
## U.l2       1.01592    0.37285   2.725  0.00805 ** 
## const   -166.77552  100.43388  -1.661  0.10109    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.6525 on 73 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.9787,  Adjusted R-squared: 0.9764 
## F-statistic: 419.3 on 8 and 73 DF,  p-value: < 2.2e-16 
## 
## 
## Estimation results for equation rw: 
## =================================== 
## rw = e.l1 + prod.l1 + rw.l1 + U.l1 + e.l2 + prod.l2 + rw.l2 + U.l2 + const 
## 
##           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## e.l1     -0.268833   0.322619  -0.833    0.407    
## prod.l1  -0.081065   0.131487  -0.617    0.539    
## rw.l1     0.895478   0.118800   7.538 1.04e-10 ***
## U.l1      0.012130   0.436149   0.028    0.978    
## e.l2      0.367849   0.343087   1.072    0.287    
## prod.l2  -0.005181   0.142093  -0.036    0.971    
## rw.l2     0.052677   0.119410   0.441    0.660    
## U.l2     -0.127708   0.445892  -0.286    0.775    
## const   -33.188339 120.110525  -0.276    0.783    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.7803 on 73 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.9989,  Adjusted R-squared: 0.9987 
## F-statistic:  8009 on 8 and 73 DF,  p-value: < 2.2e-16 
## 
## 
## Estimation results for equation U: 
## ================================== 
## U = e.l1 + prod.l1 + rw.l1 + U.l1 + e.l2 + prod.l2 + rw.l2 + U.l2 + const 
## 
##          Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## e.l1     -0.58076    0.11563  -5.023 3.49e-06 ***
## prod.l1  -0.07812    0.04713  -1.658 0.101682    
## rw.l1     0.01866    0.04258   0.438 0.662463    
## U.l1      0.61893    0.15632   3.959 0.000173 ***
## e.l2      0.40982    0.12296   3.333 0.001352 ** 
## prod.l2   0.05212    0.05093   1.023 0.309513    
## rw.l2     0.04180    0.04280   0.977 0.331928    
## U.l2     -0.07117    0.15981  -0.445 0.657395    
## const   149.78056   43.04810   3.479 0.000851 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## 
## Residual standard error: 0.2797 on 73 degrees of freedom
## Multiple R-Squared: 0.9726,  Adjusted R-squared: 0.9696 
## F-statistic:   324 on 8 and 73 DF,  p-value: < 2.2e-16 
## 
## 
## 
## Covariance matrix of residuals:
##              e      prod       rw        U
## e     0.131635 -0.007469 -0.04210 -0.06909
## prod -0.007469  0.425711  0.06461  0.01392
## rw   -0.042099  0.064613  0.60886  0.03422
## U    -0.069087  0.013923  0.03422  0.07821
## 
## Correlation matrix of residuals:
##             e     prod      rw       U
## e     1.00000 -0.03155 -0.1487 -0.6809
## prod -0.03155  1.00000  0.1269  0.0763
## rw   -0.14870  0.12691  1.0000  0.1568
## U    -0.68090  0.07630  0.1568  1.0000

Plot del modelo

plot(modelo_var)

Pruebas al modelo

Estacionariedad de multiples variables

roots(modelo_var)

## [1] 0.9950338 0.9081062 0.9081062 0.7380565 0.7380565 0.1856381 0.1428889
## [8] 0.1428889

Al ser todas menores a 1 este modelo cumple el supuesto de estacionierada

Comprobación de la autocorrelación en los errores

Se utilizará la prueba Breusch- Godfrey, por medio del comando serial.test

serial.test(modelo_var,lags.pt=16,type = "PT.adjusted")

## 
##  Portmanteau Test (adjusted)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo_var
## Chi-squared = 231.59, df = 224, p-value = 0.3497

No hay autocorrelacion de los errores

Prueba de nomalidad

normality.test(modelo_var,multivariate.only = FALSE)

## $e
## 
##  JB-Test (univariate)
## 
## data:  Residual of e equation
## Chi-squared = 0.15347, df = 2, p-value = 0.9261
## 
## 
## $prod
## 
##  JB-Test (univariate)
## 
## data:  Residual of prod equation
## Chi-squared = 4.2651, df = 2, p-value = 0.1185
## 
## 
## $rw
## 
##  JB-Test (univariate)
## 
## data:  Residual of rw equation
## Chi-squared = 0.33482, df = 2, p-value = 0.8459
## 
## 
## $U
## 
##  JB-Test (univariate)
## 
## data:  Residual of U equation
## Chi-squared = 0.56643, df = 2, p-value = 0.7534
## 
## 
## $JB
## 
##  JB-Test (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo_var
## Chi-squared = 5.094, df = 8, p-value = 0.7475
## 
## 
## $Skewness
## 
##  Skewness only (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo_var
## Chi-squared = 1.7761, df = 4, p-value = 0.7769
## 
## 
## $Kurtosis
## 
##  Kurtosis only (multivariate)
## 
## data:  Residuals of VAR object modelo_var
## Chi-squared = 3.3179, df = 4, p-value = 0.5061

El modelo Tiene distribución normal de lo errores