Caso 17. Distribución hipergeométrica
Lopez Herrera Javier Antonio
2022-10-20
1 Objetivo
Calcular la función de densidad y la función de probabilidad probabilidad acumulada bajo la fórmula de distribución de hipergeométrica.
2 Descripción
Realizar distribuciones de probabilidad conforme a la distribución de probabilidad de Hipergeométrica a partir de valores iniciales de los ejercicios.
Se generan las tablas de probabilidad conforme a distribución hipergeométrica, se identifican los valores de probabilidad cuando la variable discreta \(x\) tenga algún exactamente algún valor, \(\leq\) a algún valor o \(\gt\) o \(\geq\), entre otros.
Se utilizan las funciones base dhyper() y phyper() para la probabilidad y función acumulada de la distribución hipergeométrica.
Se utiliza también de manera alternativa la función del enlace f.prob.hiper() que se encuentra en el archivo:
https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R y que permite calcular la probabilidad de una variable aleatoria discreta bajo la distribución hipergeométrica y conforme a la fórmula.
3 Fundamento teórico
La distribución de probabilidad hipergeométrica está estrechamente relacionada con la distribución binomial. Pero difieren en dos puntos: en la distribución hipergeométrica, los ensayos no son independientes y la probabilidad de éxito varía de ensayo a ensayo (Anderson, Sweeney, and Williams 2008a).
La distribución de probabilidad de la variable aleatoria hipergeométrica \(x\), el número de éxitos en una muestra aleatoria de tamaño \(n\) que se selecciona de \(N\) artículos, en los que \(k\) se denomina éxito y \(N – k\) se le llama fracaso (Camacho Avila 2019).
La distribución hipergeométrica es especialmente útil en todos aquellos casos en los que se extraigan muestras o se realicen experiencias repetidas sin devolución del elemento extraído o sin retornar a la situación experimental inicial.
Es una distribución fundamental en el estudio de muestras pequeñas de poblaciones pequeñas y en el cálculo de probabilidades de juegos de azar. Tiene grandes aplicaciones en el control de calidad, para procesos experimentales en los que no es posible retornar a la situación de partida (cañas?).
Como en el caso de la distribución binomial, la distribución hipergeométrica se aplica en el muestreo de aceptación, donde se toman muestras del material o las partes de los lotes con el fin de determinar si se acepta o no el lote completo (Walpole, Myers, and Myers 2012a).
3.1 Fórmula de función de probabilidad
La fórmula de la distribución hipergeométrica
\[f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} \]
Dónde:
\(f(x)\) es la probabilidad de \(x\) o la función de distribución
\(n\) número de ensayos o longitud de la muestra casos que se extraen
\(N\) número de elementos de la población
\(r \text{ o }k\) número de elementos o exitosos en relación a la población
\(x\) Valor de la variable aleatoria discreta \(0,1,2,3, ... ...,n.muestra\) hasta el valor de la muestra (Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).
\({\binom{r}{x}}\) Parte izquierda del numerador, representan el número de formas (combinaciones) en que se toman \(x\) éxitos de un total de \(r\) éxitos que hay en la población,
\(\binom{N-r}{n-x}\) parte derecha del numerador representa el número de maneras en que se puede tomar \(n - x\) fracasos de un total de \(N - r\) elementos que hay en la población.
\(\binom{N}{n}\) como denominador representan el número de maneras (cantidad de combinaciones) en que es posible tomar una muestra de tamaño \(n\) de una población de tamaño \(N\); (Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).
Recordando la fórmula para determinar el número de combinaciones en
grupos de \(n\) elementos de una
población total de \(N\) está dada
por:
\[C_{n}^{N} = \binom{N}{n} =
\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}\]
Entonces desarrollando la fórmula con las combinaciones la función de probabilidad hipergeométrica queda de la siguiente manera:
\[ f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}} \]
\(N\) es el tamaño de población,
\(n\) es el tamaño de la muestra extraída,
\({\text{k ó r}\) es el número de elementos en la población original que pertenecen a la categoría deseada (exitosos) y
\(x\) es la variable aleatoria o el número de elementos en la muestra que pertenecen a dicha categoría.
3.2 Probabilidad acumulada
\[ F(x) = \sum_{0}^{n}f.x_i \]
3.3 Fórmula para valor esperado
\[E(x) = \mu = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\]
3.4 Fórmula para varianza
\[Var(x) = \sigma^{2} = n \cdot\left(\frac{r}{N}\right)\cdot\left(1 - \frac{r}{N}\right)\cdot\left( \frac{N-n}{N-1}\right)\]
3.5 Fórmula de la desviación estándar
\[\sigma = \sqrt{Var(x)} = \sqrt{\sigma^{2}}\]
En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paquetes base de R para la comprensión de la distribución hipergeométrica. Las funciones base que existen para este tipo de distribución son:
Imagen de distribuciones Hipergeométrica
3.6 Ejemplos:
3.6.1 Ejemplo1: canicas blancas y negras:
Extraer canicas blancas
\(N=15\) Total de canicas de la Población
\(r = 9\) Canicas blancas. Casos Exitosos
\(n =\) Cantidad que se extrae \(5\). Tamaño de la muestra
\(x=3\) Variable aleatoria que puede tener valores desde \(0\) hasta tamaño de la muestra \(n\)
En alguna literatura de la fórmula de hipergeométrica la variable \(m\) es igual a la literal \(n\) y \(r\) es lo mismo que la literal \(k\).
\[ f(x) = \frac{\binom{r}{x} \cdot \binom{N-r}{n-x}}{\binom{N}{n}} = \frac{ (\frac{r!}{x!\cdot(r-x)!})\cdot(\frac{(N-r)!}{(n-x)!\cdot((N-r) - (n-x))!})}{\frac{N!}{n!\cdot(N-n)!}} \]
Entonces, sustituyendo valores de literales:
\[ P(x=3) = \frac{\binom{9}{3} \cdot \binom{15-9}{5-3}}{\binom{15}{5}} = \frac{ (\frac{9!}{3!\cdot(9-3)!})\cdot(\frac{(15-9)!}{(5-3)!\cdot((15-9) - (5-3))!})}{\frac{15!}{5!\cdot(15-5)!}}=\frac{84\times15}{3003}=0.4195 \]
Existe un 41.95% de probabilidades de extraer 3 canicas blancas de un experimento de extraer 5 de una bolsa que contiene 15 canicas de las cuales 9 son blancas y 6 de color negro.
Haciendo operaciones sería:
N <- 15 # Población
r <- k <- 9 # Canicas rojas. Casos exitos
# negras <- (N-k) # Canicas negras # 6
n <- 5 # Extracción de canicas
x <- 3
numerador <- (factorial(r) / (factorial(x) * (factorial(r-x)))) * (factorial(N-r) / (factorial(n-x) * (factorial((N-r)-(n-x)))))
denominador<- factorial(N) / (factorial(n) * factorial(N-n))
prob <- numerador / denominador
prob## [1] 0.4195804Directamente con la función dhyper()
La función dhyper() como parte de los paquetes base recibe como m el tamaño de casos exitosos, como n los casos no exitosos o sea N - r y como k el tamaño de la muestra.
# Se inicializaron los valores en el bloque de código anterior.
prob <- dhyper(x=x, m = r, n = N - r, k = n)
prob## [1] 0.4195804Cargar script que contiene la función f.prob.hiper() que genera el mismo resultado que dhyper()
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")Ejecutando la función
N <- 15 # Población
r <- k <- 9 # Canicas rojas. Casos exitos
# negras <- (N-k) # Canicas negras # 6
n <- 5 # Extracción de canicas
x <- 3
f.prob.hiper(x = x, poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)## [1] 0.41958043.6.2 Ejemplo2: Baraja española
Suponga la extracción aleatoria de 8 elementos de un conjunto formado por 40 elementos totales (cartas baraja española) de los cuales 10 son del tipo A (salir oro) y 30 son del tipo complementario (no salir oro).
Si se realizan las extracciones sin devolver los elementos extraídos y se identifica a \(x\) al número de elementos del tipo A (oros obtenidos) que se extraen en las 8 cartas; \(x\)seguirá una distribución hipergeométrica de parámetros
AJUSTAR … - \(N = 40\) - Total de barajas
\(k = 10\) - Cantidad de oros \(10\)
\(n=8\) - Cuantas cartas se extraen \(8\)
Para calcular la probabilidad de obtener \(4\) oros:
- \(x = 4\)
Calculando con la función dhyper()
N <- 40 # Total de casos
r <- 10 # Cantidad de oros
n <- 8 # Cantidad de extracción
x <- 4 # Variable aleatoria
dhyper(x = x, m = r, n = (N-r), k = n)## [1] 0.07483354Ejecutar función f.prob.hiper() del script previamente cargado
N <- 40 # Total de casos
r <- 10 # Cantidad de casos exitosos a evaluar. Cantidad de cartas que sea oros
n <- 8 # Cantidad de extracción
x <- 4 # Variable aleatoria
f.prob.hiper(x = x, poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)## [1] 0.074833543.6.3 Ejemplo 3: Lotes de componentes
Lotes con 40 componentes cada uno que contengan 3 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar 5 componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso.
¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?
Si se utiliza la distribución hipergeométrica con n = 5, N = 40, k = r = 3 y x = 1, se encuentra que la probabilidad de obtener un componente defectuoso es:
Solución con dhyper()
N <- 40 # Tamaño de lote
r <- 3 # Casos de Exito
n <- 5 # Extracción muestra
x <- 1 # Variable aleatoria
dhyper(x = x, m = r, n = (N - r), k = n)## [1] 0.3011134N <- 40 # Total de casos
r <- 3 # Cantidad de casos exitosos a evaluar. Cantidad de componentes defectuosos
n <- 5 # Cantidad de extracción muestra
x <- 1 # Variable aleatoria
f.prob.hiper(x = x, poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)## [1] 0.30111344 Desarrollo
Se presentan ejercicios de distribuciones hipergeométricas, mostrando tablas de distribución y gráfica de la misma, se calculan probabilidades, valores esperados, varianza y desviaciones. Al final se busca la interpretación de cada ejercicio.
4.1 Cargar librerías
Para nuevas librerías se requiere instalar con anticipación, ejemplo, install.packages(“cowplot”).
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) #Imágenes en el mismo renglón
library(plotly)
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica4.2 Cargar funciones
Se carga la función aunque ya estaba previamente cargada
#source("../funciones/funciones.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")4.3 Fábrica de fusibles
Una empresa fabrica fusibles que empaca en cajas de 12 unidades cada una.
Asuma que un inspector selecciona al azar \(3\) de los \(12\) fusibles de una caja para inspeccionarlos.
Si la caja contiene exactamente 5 fusibles defectuosos,
En este ejercicio::
\(N = 12\) Total de elementos
\(n = 3\) Extracción de la muestra
\(r = 5\) Número de casos exitosos
\(x\) es la cantidad de fusible defectuosos como variable aleatoria discreta, desde \(0\) hasta \(n\) o hasta un valor específico(Anderson, Sweeney, and Williams 2008b).
A partir de este ejercicio se utiliza la función f.hiper.all() del script cargado con anticipación a través de la función source().
Esta función devuelve la tabla de distribución, los estadísticos de valor esperado o esperanza matemática (media de la distribución); la varianza y la desviación estándar como medidas para identificar que tanto varía con respecto al valor esperado; los gráficos histograma, densidad y acumulado con respecto a la distribución hipergeométrica.
4.3.1 Tabla de probabilidad desde cero a tres
Primero inicializar valores
N <- 12 # Población
n <- 3 # Muestra
r <- 5 # Casos exitosos
x <- 0:rSe manda llamar la función y dejar todo en la variable resultado
resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)Distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.prob.hiper() y con cumsum()
tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.15909091 0.1590909
## 2 1 0.47727273 0.6363636
## 3 2 0.31818182 0.9545455
## 4 3 0.04545455 1.00000004.3.2 Gráfica de probabilidad
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)
Histograma y acumulado
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly4.3.3 Probabilidad uno de tres
¿Cuál es la probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso?
4.3.3.1 Utilizando la tabla de distribución.
x <- 1
prob <- tabla$f.x[x+1]
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: 47.7273 %"4.3.3.2 Utilizando dhyper()
prob <- dhyper(x = 1, m = r, n = N - r, k = n)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: 47.7273 %"4.3.4 Probabilidad de menos de tres fusibles
¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres fusibles defectuosos
\(P(x\leq2) = P(X=0) + P(x=1) + P(x=2)\) o la función acumulada hasta tres \(F(x=3)\)
4.3.4.1 Utilizando la tabla de distribución
x <- 2
prob <- tabla$F.x[x+1]
paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles: 95.4545 %"4.3.4.2 Utilizando sum(dhyper())
prob <- sum(dhyper(x = 0:x, m = r, n = N - r, k = n))
paste("La probabilidad de menos de tres fusibles: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de menos de tres fusibles: 95.4545 %"4.3.4.3 Utilizando phyper()
prob <- phyper(q = x, m = r, n = N - r, k = n)
paste("La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que el inspector encuentre que uno de los tres fusibles está defectuoso es: 95.4545 %"4.3.5 Valor esperado
¿Cuál es el valor esperado?
- Mandar llamar la función creada anticipadamente f.va.hiper().
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de: 1.25"4.3.6 Varianza y desviación
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?. También se utilizan las funciones previamente preparadas.
varianza <- resultado$varianza
desvstd <- resultado$desv.std
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))## [1] "El valor de la varianza es de: 0.5966 y la desviación std es de: 0.7724"4.3.7 Interpretación
Existe una probabilidad de aproximadamente 47.72% de que suceda exactamente un fusible defectuoso.
Existe una probabilidad aproximada del 95% de que sucedan fusibles defectuosos menores a 3 componentes
El Valor esperado de 1.25 significa lo que en promedio se espera que suceda por cualquier valor de la variable discreta
La varianza es de 0.5966 y la desviación es de 0.7724 significan el grado de dispersión de los valores de la distribución o que tanto se alejan del valor medio en la distribución de probabilidad en este caso hipergeométrica.
4.4 Lote de Componentes
Lotes con \(100\) componentes cada uno que contengan 6 o más defectuosos se consideran inaceptables. El procedimiento para obtener muestras del lote consiste en seleccionar \(10\) componentes al azar y rechazar el lote si se encuentra un componente defectuoso. En todo el lote hay \(6\) defectuosos.
(Camacho Avila 2019), (Walpole, Myers, and Myers 2012b)
- \(N = 100\),
- \(n = 10\),
- \(r = 6\) y
- \(x = 0,1,2,3,4...n\)
4.4.1 Tabla de probabilidad desde cero a cinco
- Primero inicializar valores
N <- 100 # Población
n <- 10 # Muestra
r <- 6 # Casos Exitosos
x <- 0:n # variable aleatoria discreta xresultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)Se construye la tabla de distribución
tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.52230475 0.5223047
## 2 1 0.36868571 0.8909904
## 3 2 0.09645847 0.9874489
## 4 3 0.01182633 0.9992752
## 5 4 0.00070555 0.9999808
## 6 5 0.00001903 0.9999998
## 7 6 0.00000018 1.0000000
## 8 7 0.00000000 1.0000000
## 9 8 0.00000000 1.0000000
## 10 9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.00000004.4.2 Gráfica de probabilidad
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)
Histograma y acumulado
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly4.4.3 Probabilidad de exactamente un componente
¿Cuál es la probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso, si en todo el lote hay 3 defectuosos?. \(f(x=1)\)
x <- 1
prob <- tabla$f.x[x+1]
paste("La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: ", round(prob * 100,4), "%")## [1] "La probabilidad de que, en la muestra, se encuentre exactamente un componente defectuoso de tres es: 36.8686 %"4.4.4 Probabilidad de a lo más tres
¿Cuál es la probabilidad de encontrar menos de tres componentes defectuosos \(P(x \leq3) = P(x=0)+P(x=1)+P(x=2)+P(x=3)\) o la función acumulada \(F(x=3)\)
x <- 3
prob <- phyper(q = x,m = r, n = N - r, k = n)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de tres componentes", round(prob, 4))## [1] "La probabilidad de encontrar menos de tres componentes 0.9993"4.4.5 ¿Cuál es el valor esperado
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de: 0.6"4.4.6 ¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?
varianza <- resultado$varianza
desvstd <- resultado$desv.std
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))## [1] "El valor de la varianza es de: 0.5127 y la desviación std es de: 0.716"4.4.7 Interpretación
En este ejercicio en su contexto, hay un 89% de probabilidades de detectar 1 componente malo de una muestra de 10 de entre 100. Por lo que el lote se rechaza (Camacho Avila 2019).
4.5 Artículos defectuosos
Se tiene un lote de \(100\) artículos de los cuales \(12\) están defectuosos. Se extraen lotes de \(10\).
4.5.1 Tabla de distribución
- Primero inicializar valores
N <- 100
n <- 10
r <- 12
x <- 0:nDistribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.hiper.all() en la variable resultado
resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.26075027 0.2607503
## 2 1 0.39607636 0.6568266
## 3 2 0.24507225 0.9018989
## 4 3 0.08068222 0.9825811
## 5 4 0.01549689 0.9980780
## 6 5 0.00179241 0.9998704
## 7 6 0.00012447 0.9999949
## 8 7 0.00000502 0.9999999
## 9 8 0.00000011 1.0000000
## 10 9 0.00000000 1.0000000
## 11 10 0.00000000 1.00000004.5.2 Gráfica de probabilidad
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)
Histograma y acumulado
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly4.5.3 Probabilidad de tres defectuosos
¿Cuál es la probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10? \(P(x=3)\)
x <- 3
prob <- tabla$f.x[x+1]
paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"Con la función dhyper()
x <- 3
dhyper(x = x, m = r, n = N - r, k = n)## [1] 0.08068222paste("La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de", prob)## [1] "La probabilidad de que haya 3 defectuosos en una muestra de 10 es de 0.08068222"4.5.4 Valor esperado
¿Cuál es el valor esperado?
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado o media de este ejercicios es de: ", VE)## [1] "El valor esperado o media de este ejercicios es de: 1.2"4.5.5 Varianza y desviación
¿Cuál es la varianza y la desviación estándar?
varianza <- resultado$varianza
desvstd <- resultado$desv.std
paste("El valor de la varianza es de: ", round(varianza,4), " y la desviación std es de: ", round(desvstd, 4))## [1] "El valor de la varianza es de: 0.96 y la desviación std es de: 0.9798"4.5.6 Interpretación
Se tiene in lote de 100 articulos de los cuales 12 se sabe que estan defectuosos los lotes son de 10 se genera una tabla pqra conocer la probabilidad que los lotes contengan los productos defectuosos generando muestras de 10 al revisar la tabla se nota que la probabilidad maxima es de que dos productos esten defectuosos por lote siendo la misams de 24% se revisa el valor esperado por lote siendo este de 1.2 por lota para saber que es mas posible que esten 6 lotes con dos productos defectuosos asegurando de que puede venir un producto confirmado
4.6 Estudiante de leyes
Un estudiante tiene que preparar cien temas. En el examen se sacan tres a sorteo, de los cuales deberá exponer uno y aprobar al menos uno. El estudiante decide estudiar o preparar solamente la mitad y probar suerte. (quintela2019?).
\(N=100\) La población
\(n=3\) La muestra
\(r = 50\). Los que estudia, son los casos de éxito
\(x = 0,1,2,3\)
4.6.1 Tabla de distribución
Valores iniciales
N <- 100
n <- 3
r <- 50
x <- 0:nSe construye la tabla de distribución de la probabilidad por medio de la función creada llamada f.hiper.all() en la variable resultado.
resultado <- f.hiper.all(poblacion = N, muestra = n, exitosos = r)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.1212121 0.1212121
## 2 1 0.3787879 0.5000000
## 3 2 0.3787879 0.8787879
## 4 3 0.1212121 1.00000004.6.2 Gráfica de probabilidad
Se presentan la gráfica de probabilidad con histograma y la densidad respectivamente. Se utiliza la llamada de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)
Histograma y acumulado
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g_all$acum)
Usando plotly para visualizaciones dinámicas
resultado$g.hist.plotlyresultado$g.acum.plotly4.6.3 Probabilidad de que no apruebe,
La probabilidad de que no sepa ninguna de entre la muestra extraída.
Se calcula la probabilidad cuando \(f(x=0)\)
prob <- dhyper(x = 0, m = r, n = N - r, k = n)
paste ("La probabilidad de que no apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")## [1] "La probabilidad de que no apruebe es de: 0.121212121212121 o sea 12.1212 %"4.6.4 Probabilidad de que apruebe
Se requiere que sepa un tema \(f(x=1)\) y con eso pasa
prob <- dhyper(x = 1, m = r, n = N - r, k = n)
paste ("La probabilidad de que apruebe es de: ", prob, " o sea ", round(prob*100, 4), "%")## [1] "La probabilidad de que apruebe es de: 0.378787878787879 o sea 37.8788 %"4.6.5 Interpretación del ejercicio
Hay un \(37\%\) de probabilidades de que sepa una respuesta de entre las tres de la muestra, para aumentar esa probabilidad seguramente tendrá que estudiar más temas.
Existe una probabilidad aproximada del \(12\%\) de que no sepa ningún tema, es decir de que repruebe.
¿Cuál es la probabilidad de que sepa más de 0 preguntas?, que es la condición de aprobar.\(F(x >0) = f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) = 1 - F(x=0) = 1 - 0.1212\) es decir, tiene un \(88\%\) de probabilidades de aprobar habiendo estudiado solo \(50%\) de los cien reactivos. ¡Está bien !
5 Interpretación
Se nos menciona que un estudiante tiene que preparar 100 temas de los cuales se eligiran 3 a sorteo de los cuales debe exponer uno y aprobar al menos uno se sabe que el estudiante solo prepara el 50% de los temas en los que asegura su aprovacion al revisar las probabilidades hay un 37% de que sepa una respuesta de las tres que se tomara como sorteo de igual manera se sabe que existe un 12% de probabilidad de que los temas a elegir no sea uno de los 50 que estudio por lo cual reprueba.