Caso 16. distribución Binomial
Javier Antonio López Herrera
2022-10-20
1 Objetivo
Encontrar probabilidades de acuerdo a la distribución binomial.
2 Descripción
Se identifican ejercicios casos de la literatura de distribuciones de probabilidad binomial y se realizan cálculos de probabilidades, se determinan el valor esperado y se calcula la varianza y la desviación.
Los ejercicios que se presenta utilizan funciones relacionadas con la distribución binomial dbinom() pbinom(), rbinom() en algunos ejercicios del caso se utiliza la función f.prob.binom() previamente codificada y que encapsula la fórmula para determinar probabilidad binomiales.
3 Fundamento teórico
El experimento de lanzar al aire una moneda es un ejemplo sencillo de una importante variable aleatoria discreta llamada variable aleatoria binomial. Muchos experimentos prácticos resultan en datos similares a que salgan cara o cruz al tirar la moneda (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006)
Un experimento binomial es el que tiene estas cinco características:
El experimento consiste en \(n\) intentos idénticos.
Cada intento resulta en uno de dos resultados, el resultado uno se llama éxito, ‘S’, y el otro se llama fracaso, ‘F’.
La probabilidad de éxito en un solo intento es igual a \(p\) y es igual de un intento a otro. La probabilidad de fracaso es igual a \(q= (1 - p)\).
Los intentos son independientes.
El interés es el valor de \(x\), o sea, el número de éxitos observado durante los \(n\) intentos, para \(x = 0, 1, 2, …, n.\) (Mendenhall, Beaver, and Beaver 2006).
Un experimento de Bernoulli puede tener como resultado un éxito con probabilidad \(p\) y un fracaso con probabilidad \(q = 1 − p\). Entonces, la distribución de probabilidad de la variable aleatoria binomial \(x\), el número de éxito \(k\) en \(n\) ensayos independientes (Walpole, Myers, and Myers 2012):
Fórmula:
\[f(x) = prob(x=k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot q^{(n-k)} \] Para \[x = 0,1,2,3...n\] y recordando las combinaciones cuantos éxitos \(k\) en \(n\) ensayos. Interpretar que \(x = k\) para la fórmula.\[ f(x) = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\cdot(n-k)!} \]
La función acumulada es:
\[ F(x) = \sum_{0}^{n}f.x_i \]
El valor esperado está dado por: \[\mu = n \cdot p\]
La varianza y la desviación estándar se determinan mediante: \[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\] y \[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]
En programación R, para calcular la función de probabilidad binomial para un conjunto de valores discretos, \(x\), un número de ensayos \(n\) y una probabilidad de éxito \(p\) se puede hacer uso de la función dbinom().
De semejante forma, para calcular la probabilidad acumulada de una distribución binomial se puede utilizar la función pbinom() o para calcular la probabilidad de que una variable aleatoria \(x\) que sigue una distribución binomial tome valores menores o iguales a \(x\) puedes hacer uso de la función pbinom() (rcodera?)
En los siguientes ejercicios también se utilizan funciones de paqutes base de R para la comprensión de la distribución binomial.
(rcoder?)
(statology2019?)
4 Desarrollo
4.1 Cargar librerías
library(dplyr)
library(ggplot2)
library(mosaic) # Gráficos de distribuciones
library(cowplot) # Para varios gráficos
library(plotly)
options(scipen=999) # Notación normal
# options(scipen=1) # Notación científica4.2 Cargar funciones
Se carga función de servicio github o de manera local
# source("../funciones/funciones.para.distribuciones.r")
# o
source("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R")Se determina una semilla porque algunos ejercicios calculan valores aleatorios.
set.seed(2022)4.3 Ejercicios
4.3.1 Tienda de ropa MartinClothingStore
Tienda de ropa MartinClothingStore (Anderson, Sweeney, and Williams 2008)
De acuerdo con la experiencia, el gerente de la tienda estima que la probabilidad de que un cliente realice una compra es 0.30 o 30%
Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad acumulada
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes.
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos.
Calcular la probabilidad de que sean mayor que dos
Determinar el valor esperado y su significado
Determinar la varianza y la desviación estándar y si significado
Interpretar
4.3.1.1 Probabilidad para 0,1,2,3 y tabla de distribución
Identificar las probabilidad para cuando se compre 0,1,2,3, determinar la tabla de probabilidad incluyendo probabilidad cumulada
- Inicializar valores
x <- c(0,1,2,3)
n <- 3
exito <- 0.30- Determinar tabla de probabilidad usando la función f.prob.binom() creada y conforme a la fórmula.
tabla1 <- data.frame(x=x, f.prob.x = f.prob.binom(x,n,exito), f.acum.x = cumsum(f.prob.binom(x,n,exito)))
tabla1## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.000- Determinar tabla de probabilidad usando función propia de los paquetes base de R dbinom()
tabla2 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = cumsum(dbinom(x = x, size = n, prob = exito)))
tabla2## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.000con pbinom() en lugar de cumsum()
tabla3 <- data.frame(x=x, f.prob.x = dbinom(x = x, size = n, prob = exito), f.acum.x = pbinom(q = x, size = n, prob = exito))
tabla3## x f.prob.x f.acum.x
## 1 0 0.343 0.343
## 2 1 0.441 0.784
## 3 2 0.189 0.973
## 4 3 0.027 1.0004.3.1.2 Visualizar tabla de distribución
plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ), xlim = c(-1, n+1)) 
plotDist(dist = "binom", size=3, prob=0.30,xlab = paste("Variables ",min(tabla1$x),"-",max(tabla1$x) ), kind = "histogram", xlim = c(-1, n+1)) 
4.3.1.3 Probabilidad de que compren dos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren dos clientes
- Identificar la probabilidad cuando \(P(x=2)\) de la tabla.
- Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 2 0.189 0.973paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )## [1] "La probabilidad cuando x es 2 es igual a : 0.189"Usando dbinom()
dbinom(x = 2, size = 3, prob = exito)## [1] 0.1894.3.1.4 Probabilidad de que compren los tres próximos clientes
Encontrar la probabilidad de que compren los tres próximos clientes
- Identificar la probabilidad cuando \(P(x=3)\) de la tabla.
- Se puede usar tabla1, tabla2 o tabla3 es la misma.
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 3 0.027 1paste("La probabilidad cuando x es ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.prob.x )## [1] "La probabilidad cuando x es 3 es igual a : 0.027"Usando dbinom()
dbinom(x = 3, size = 3, prob = exito)## [1] 0.0274.3.1.5 Probabilidad de que sean menor o igual que dos
Encontrar la probabilidad de que sean menor o igual que dos
- Ahora usar la función acumulada por la pregunta
- \(P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\)
valor.x <- 2
la.probabilidad <- filter(tabla1, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.prob.x f.acum.x
## 1 2 0.189 0.973paste("La probabilidad de que sea menor o igual a ", valor.x, " es igual a : ", la.probabilidad$f.acum.x )## [1] "La probabilidad de que sea menor o igual a 2 es igual a : 0.973"Usando pbinom()
pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito)## [1] 0.9734.3.1.6 Probabilidad de que sean mayor que dos
La expresión lower.tail = FALSE como atributo de la función pbinom() significa encontrar en la tabla de distribución la sumatoria de las probabilidades a partir de el valor de \(x\), o lo que es lo mismo, \(1 - prob.acum(x)\), \(1 - 0.97 = 0.27\).
pbinom(q = 2, size = 3, prob = exito, lower.tail = FALSE)## [1] 0.0274.3.1.7 Valor esperado
Determinar el valor esperado y su significado
- El valor esperado de la distribución binomial
\[\mu = n \cdot p\] Siendo \(p\) el éxito de la probabilidad y \(n\) el número de experimentos
VE <- n * exito
paste ("El valor esperado es: ", VE)## [1] "El valor esperado es: 0.9"El valor esperado \(VE\) significa el valor medio o el valor promedio de todos valores de la distribución de probabilidad.
4.3.1.8 Varianza y desviación estándar
Determinar la varianza y la desviación estándar y su significado.
- La varianza en la distribución binomial \[\sigma^{2} = n \cdot p \cdot(1-p)\]
varianza <- n * exito *( 1 - exito)
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 0.63"- La desviación \[\sigma = \sqrt{\sigma^{2}}\]
desviacion.std <- sqrt(varianza)
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 0.79"4.3.1.9 Interpretar el ejercicio
Por la historia de la tienda ya cuentan con una probabilidad de exito siendo esta del 30% proximamente se nos proporciona de que entran tres clientes a la tienda se nos demuetsr aque la probabilidad de que los tres clientes compres es de aproximadamente 1/4 por lo que lo mas probable revisanmdo el valor esperado es que uno de los clientes es mas seguro que realize la compra teniendo una probabilidad de dos o menos realisen la accion de 97%
4.3.2 Jugador de basquetbol
Un jugador encesta con probabilidad 0.55. (“La Distribución Binomial o de Bernoulli,” n.d.):
Determinar las probabilidad de los tiros del 0 al 10 con la tabla de probabilidad
Determinar la probabilidad de encestar cuatro tiros \(P(x=4)\)
Determinar la probabilidad de encestar todos tiros o sea seis \(P(x=6)\)
Determinar la probabilidad de encestar al menos tres \(P(x \leq 3)\) o, \(P.acum(x = 3)\)
Determinar el valor esperado VE
Determinar la varianza y su desviación estándar
Interpretar el ejercicio
4.3.2.1 Tabla de probabilidad (0-10)
A partir de este ejercicio, se manda llamar la función llamada f.binom.all() que se encuentra en el archivo “funciones para distribuciones.r” del enlace https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Agosto-Diciembre%202022/funciones/funciones%20para%20distribuciones.R
La función en encapsula la construcción de la tabla de distribución de la variable, el cálculo del valor esperado, la varianza y la desviación estándar, así como gráficos relacionados a la distribución de probabilidad binomial discreta.
Se construye la tabla de probabilidades
Se inicializan valores:
x <- 0:6
n <- 10
exito <- 0.55Llamando la función f.binom.all(n = , exito = ) con los argumentos y parámetros adecuados y asignando el contenido a una variable llamada resultado.
A partir de este resultado, se identifican, las tablas de probabilidad, el valor esperado, la varianza, la desviación y algunos gráficos de la distribución.
resultado <- f.binom.all(n = n, exito = exito)Tabla de probabilidad (0-6)
resultado$tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.0003405063 0.0003405063
## 2 1 0.0041617435 0.0045022498
## 3 2 0.0228895894 0.0273918393
## 4 3 0.0746031063 0.1019949456
## 5 4 0.1595677552 0.2615627008
## 6 5 0.2340327076 0.4955954083
## 7 6 0.2383666466 0.7339620550
## 8 7 0.1664782929 0.9004403478
## 9 8 0.0763025509 0.9767428988
## 10 9 0.0207241496 0.9974670484
## 11 10 0.0025329516 1.00000000004.3.2.2 Visualización de probabilidades
Visualizando probabilidades con la función plot_grid() permite visualizar de o más gráficos en el mismo reglón aprovechando el contenido de la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g.hist )
plot_grid(resultado$g.text, resultado$g_all$acum )
Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado
resultado$g.hist.plotly resultado$g.acum.plotly4.3.2.3 Probabilidad de encestar cuatro tiros
Calcular la probabilidad de encestar cuatro tiros \(f(x=4)\)
dbinom(x = 4, size = n, prob = exito)## [1] 0.15956784.3.2.4 Probabilidad de encestar seis tiros
Determinar la probabilidad de encestar seis tiros \(f(x=6)\)
dbinom(x = 6, size = n, prob = exito)## [1] 0.23836664.3.2.5 Probabilidad de encestar al menos tres
Usando la función pbinom() para determinar el valor acumulado.\(f(x \geq3) = 1 - F(x=2)\) como mínimo 3.
pbinom(q = 3, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)## [1] 0.8980051o utilizando el renglón de la tabla de distribución en la columna de probabilidad acumulada F(x).
valor.x <- 3
la.probabilidad <- filter(resultado$tabla, x == valor.x)
la.probabilidad## x f.x F.x
## 1 3 0.07460311 0.10199491 - la.probabilidad$F.x## [1] 0.89800514.3.2.6 Valor esperado
De igual forma utilizar la función
paste("El valor esperado es: ",resultado$VE)## [1] "El valor esperado es: 5.5"El valor esperado de 5.5 significa que es lo que se espera encestar en promedio de los \(n=\) 10 tiros.
4.3.2.7 Varianza y desviación
Varianza
paste ("La varianza es: ", round(resultado$varianza, 4))## [1] "La varianza es: 2.475"Desviación
paste("La desviación std es: ", round(resultado$desv.std, 4))## [1] "La desviación std es: 1.5732"De el valor esperado 5.5 hay una desviación aproximada de 1.5732133 hacia arriba o hacia abajo.
4.3.3 Recuperación de un paciente
La probabilidad de que un paciente se recupere de una rara enfermedad sanguínea es \(0.40\). Si se sabe que \(15\) personas contraen tal enfermedad,
Determine tabla de probabilidad de 1 al 15, incluyendo el 0.
Visualizar la gráfica de probabilidades.
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan al menos diez,
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho? y
¿Cuál es la probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco?
¿Cuál es el valor esperado ‘VE’ o la esperanza media?
¿Cual es la varianza y la desviación estándar?
¿Cómo se comportarían las probabilidades para un experimento de 100 personas?
Interpretación del ejercicio (Walpole, Myers, and Myers 2012).
4.3.3.1 Tabla de distribución
Inicializar valores
x <- 0:15
n <- 15
exito <- 0.40Se construye la tabla de probabilidades con las funciones construidas que se encuentran en enlace citado al principio del documento y con la variable resultado.
resultado <- f.binom.all(n = n, exito = exito)
resultado$tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.000470184985 0.000470185
## 2 1 0.004701849846 0.005172035
## 3 2 0.021941965947 0.027114001
## 4 3 0.063387901624 0.090501902
## 5 4 0.126775803249 0.217277706
## 6 5 0.185937844765 0.403215550
## 7 6 0.206597605294 0.609813156
## 8 7 0.177083661681 0.786896817
## 9 8 0.118055774454 0.904952592
## 10 9 0.061214105272 0.966166697
## 11 10 0.024485642109 0.990652339
## 12 11 0.007419891548 0.998072231
## 13 12 0.001648864788 0.999721096
## 14 13 0.000253671506 0.999974767
## 15 14 0.000024159191 0.999998926
## 16 15 0.000001073742 1.0000000004.3.3.2 Gráfica de probabilidades
La gráfica se presenta con con el contenido de alguna gráfica de la variable resultado que contiene código de la función ejecutada.
plot_grid(resultado$g.hist, resultado$g.dens)
o
plot_grid(resultado$g.text, resultado$g_all$acum)
o
Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado
resultado$g.hist.plotly resultado$g.acum.plotly4.3.3.3 Probabilidad de que sobrevivan al menos diez
Se requiere la suma de las probabilidades en dónde \(f(x\leq 10)\) o bien \(f(x=0) + f(x=1) + f(x=2) ... + f(x=10)\) o mediante la función acumulada de la probabilidad.\(F(x=10)\). Como se necesita la probabilidad acumulada entonces se usa pbinom().
x = 10
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") ## [1] "La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: 0.990652339224576 o el 99.07 %"4.3.3.4 La probabilidad de que sobrevivan de tres a ocho
Se requiere el valor acumulado entre tres y ocho es decir, \(F(x=8) - F(x=2)\) , o sumar las probabilidades de tres a ocho \(f(x=3) + f(x=4) + f(x=5) + f(x=6) + f(x=7)+f(x=8)\)
Se usa la resta usando la función pbinom()
x1 = 2 #
x2 = 8
prob <- pbinom(q = x2, size = n, prob = exito) - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%")## [1] "La probabilidad de que se enfermen de tres a ocho es: 0.877838591066112 o el 87.78 %"Se comprueba sumando las probabilidades de tres a ocho
sum(dbinom(x = 3:8, size = n, prob = exito))## [1] 0.8778386o sumando los renglones de las probabilidades de tres a ocho de la tabla de probabilidad.
sum(filter(resultado$tabla, x %in% 3:8) %>%
select(f.x))## [1] 0.87783864.3.3.5 La probabilidad de que sobrevivan exactamente cinco
Aquí se calcula la probabilidad con la función dbinom() cuando \(f(x=5)\)
x = 5
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: ", prob, " o el ", round(prob * 100, 2), "%") ## [1] "La probabilidad de que se enfermen menos que diez es: 0.185937844764672 o el 18.59 %"Se comprueba la probabilidad extrayendo con la función filter() el registro de la tabla de distribución cuando \(x==10\).
filter(resultado$tabla, x==5)## x f.x F.x
## 1 5 0.1859378 0.40321564.3.3.6 Valor esperado
Se determina el valor medio o el valor esperado de la tabla de distribución.
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado es: ",VE)## [1] "El valor esperado es: 6"Se espera que se recuperen 6 en promedio
4.3.3.7 Varianza y desviación
Se calcula la varianza
varianza <- resultado$varianza
paste ("La varianza es: ", round(varianza,2))## [1] "La varianza es: 3.6"Se determina la desviación
desviacion.std <- resultado$desv.std
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 2))## [1] "La desviación std es: 1.9"Siendo la desviación una medida de variabilidad significa que tanto estarían las probabilidades por encima o por debajo del valor esperado.
4.3.3.8 Probabilidades para un experimento de 100 personas
Con la función de aleatoriedad rbinom() se calculan las probabilidades de una muestra de \(100\), con las proporciones o frecuencias relativas siendo los elementos de la función \(n\) la cantidad de experimentos que serían \(100\), size el tamaño del estudio original es decir \(15\) y prob la probabilidad de éxito.
La variable llamada variables contiene los valores aleatorios de la muestra y la frecuencia es la cantidad de ocasiones de cada variable aleatoria.
muestra <- 100
variables <- rbinom(n = muestra, size = n, prob = exito)
variables## [1] 8 7 4 6 4 7 3 3 5 7 1 4 4 6 6 4 7 6 6 8 8 6 6 4 4
## [26] 9 6 11 6 7 6 7 5 6 4 3 8 6 8 7 7 6 7 6 8 4 8 7 5 8
## [51] 4 5 7 5 7 6 5 6 6 4 6 6 8 8 3 8 6 6 4 6 8 8 8 7 6
## [76] 3 6 7 6 6 5 6 8 7 4 5 3 5 6 8 4 4 7 6 5 5 4 10 7 7frecuencia = table(variables)
frecuencia## variables
## 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11
## 1 6 16 11 29 18 16 1 1 1Las probabilidades relativas de la muestra
probs <- prop.table(frecuencia)
probs## variables
## 1 3 4 5 6 7 8 9 10 11
## 0.01 0.06 0.16 0.11 0.29 0.18 0.16 0.01 0.01 0.01tablaexp <- data.frame(x=1:length(frecuencia), f.prob.x = as.vector(probs), f.acum.x = cumsum(as.vector(probs)))
tablaexp## x f.prob.x f.acum.x
## 1 1 0.01 0.01
## 2 2 0.06 0.07
## 3 3 0.16 0.23
## 4 4 0.11 0.34
## 5 5 0.29 0.63
## 6 6 0.18 0.81
## 7 7 0.16 0.97
## 8 8 0.01 0.98
## 9 9 0.01 0.99
## 10 10 0.01 1.004.3.3.9 Visualizando las probabilidades del experimento
A partir de la nueva tabla del experimento se compara con la tabla original en dos gráficas
Con la función par(mfrow=c(1,2)) se puede ver dos gráficas tipo plot() al mismo tiempo en el mismo renglón.
par(mfrow=c(1,2))
plot(x = resultado$tabla$x, y=resultado$tabla$f.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", main = "15 pacientes")
plot(x = tablaexp$x, y=tablaexp$f.prob.x, type = "h", xlab = "X", ylab= "f(x)", xlim = c(0,15), ylim = range(0, 0.20), main="Simulando 100 pacientes")
¿Cómo se comportan las probabilidades del estudio con 15 y del experimento o simulación con 100 pacientes?, muy similares las probabilidades.
4.3.4 Aprobar un examen
Un estudio refleja que al aplicar un examen de estadística la probabilidad de aprobar (éxito) es del \(60%\). Se pide lo siguiente:
Encuentre la tabla de distribución binomial para 30 estudiantes que presentan el examen
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 5 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 10 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos?
¿Cuál es la probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos?
Determinar el valor esperado VE y su significado.
Determinar la varianza y su desviación estándard y su significado.
4.3.4.1 Tabla de distribución binomial
Se incializan valores
x <- 0:30
n <- 30
exito <- 0.60Se construye la tabla
resultado <- f.binom.all(n = n, exito = exito)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.000000000001152922 0.000000000001152922
## 2 1 0.000000000051881468 0.000000000053034389
## 3 2 0.000000001128421923 0.000000001181456312
## 4 3 0.000000015797906917 0.000000016979363229
## 5 4 0.000000159953807533 0.000000176933170762
## 6 5 0.000001247639698760 0.000001424572869522
## 7 6 0.000007797748117251 0.000009222320986774
## 8 7 0.000040102704603007 0.000049325025589781
## 9 8 0.000172942913600469 0.000222267939190250
## 10 9 0.000634124016535054 0.000856391955725303
## 11 10 0.001997490652085418 0.002853882607810724
## 12 11 0.005447701778414773 0.008301584386225485
## 13 12 0.012938291723735080 0.021239876109960601
## 14 13 0.026871836656988245 0.048111712766948846
## 15 14 0.048945131053800175 0.097056843820749084
## 16 15 0.078312209686080117 0.175369053506829159
## 17 16 0.110126544871050142 0.285495598377879189
## 18 17 0.136038673076003175 0.421534271453882614
## 19 18 0.147375229165670141 0.568909500619552144
## 20 19 0.139618638156950664 0.708528138776503003
## 21 20 0.115185376479484264 0.823713515255987683
## 22 21 0.082275268913917302 0.905988784169904804
## 23 22 0.050487096833540038 0.956475881003445050
## 24 23 0.026341094000107985 0.982816975003552917
## 25 24 0.011524228625047248 0.994341203628600123
## 26 25 0.004148722305017007 0.998489925933617184
## 27 26 0.001196746818754908 0.999686672752372107
## 28 27 0.000265943737501089 0.999952616489873214
## 29 28 0.000042740957812675 0.999995357447685862
## 30 29 0.000004421478394415 0.999999778926080274
## 31 30 0.000000221073919721 1.0000000000000000004.3.4.2 Visualizar gráfica de probabilidades
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g.hist)
o bien
Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado
resultado$g.hist.plotly resultado$g.acum.plotly4.3.4.3 Probabilidad de que aprueben 15 o menos alumnos
Se calcula la probabilidad de \(f(x=0) + f(x=1) + P(f=2) ... + f(x=15)\) o la probabilidad acumulada cuando \(F(x=15)\)
prob <- pbinom(q = 15, size = n, prob = exito)
paste("La probabilidad de que aprueben 15 o menos es de ", round(prob, 4))## [1] "La probabilidad de que aprueben 15 o menos es de 0.1754"4.3.4.4 Probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 alumnos
Se calcula la probabilidad acumulada de \(F(x=20) - F(x=9)\) o sumando \(f(10) + f(11) + f(12) + ... + f(20)\)
prob <- pbinom(q = 20, size = n, prob = exito) - pbinom(q = 9, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: ", prob)## [1] "La probabilidad de que aprueben entre 10 y 20 estudiantes es de: 0.822857123300262"o bien …
# o
sum(dbinom(x = 10:20, size = n, prob = exito))## [1] 0.8228571o bien usando la tabla, se comprueba sumando los valores de los registros 11 al 21
sum(tabla$f.x[11:21]) ## [1] 0.82285714.3.4.5 Probabilidad de que aprueben de 25 o más alumnos alumnos
Se debe calcular \(f(x\geq25)\) o restar el valor acumulado de 24 a 1. \(1 - F(x=24)\) o sumar \(f(25) + f(26) + f(27) + ... + f(30)\)
Con pbinom() y con lower.tail() = TRUE se encuentra la probabilidad mayor a 24.
prob <- pbinom(q = 24, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)
paste ("La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de ", prob)## [1] "La probabilidad de que aprueben mas de 25 alumnos es de 0.0056587963713998"# Se puede comprobar sumando los renglones 26 al 31 de la tabla
sum(tabla$f.x[26:31])## [1] 0.005658796o bien
sum(dbinom(x = 25:30, size = n, prob = exito))## [1] 0.0056587964.3.4.6 Valor esperado
El valor esperado es la cantidad de alumnos que aprueben el examen.
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado es: ",VE)## [1] "El valor esperado es: 18"4.3.4.7 Varianza y desviación
Varianza
varianza <- resultado$varianza
paste ("La varianza es: ", round(varianza, 4))## [1] "La varianza es: 7.2"Desviación
desviacion.std <- resultado$desv.std
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 4))## [1] "La desviación std es: 2.6833"La desviación como parte de la varianza significa la cantidad de alumnos que puede variar con respecto al valor medio \(VE\) previamente calculado.
4.3.5 Autobuses contaminantes
Suponga que un grupo de agentes de tránsito sale a una vía principal para revisar el estado de los autobuses de transporte intermunicipal.
De datos históricos se sabe que un \(10%\)% de los camiones generan una mayor cantidad de humo de la permitida. En cada jornada los agentes revisan siempre \(18\) unidades (autobuses). Se asume que el estado de un autobús es independiente del estado de los otros autobuses. (Hernández 2021).
Construir la tabla de distribución
Visualizar la densidad o las probabilidades para cada variable discreta
Calcular la probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses que generan una mayor cantidad de humo de la permitida.
Calcular la probabilidad de que el número de autobuses que sobrepasan el límite de generación de gases sea al menos 4.
Calcular la probabilidad de que existan MAS DE TRES (a partir de CUATRO) autobuses que emitan gases por encima de lo permitido en la norma
Calcular el valor esperado.
Calcular la varianza y la desviación.
Generar una muestra aleatoria de 100 valores y comparar las frecuencias relativas con las probabilidad originales.
Interpretar el caso.
4.3.5.1 Construir la tabla de distribución
Se inicializan variables
x <- 0:18
n <- 18
exito <- 0.10Se construye la tabla de distribución nuevamente mandando llamar la función.
resultado <- f.binom.all(n = n, exito = exito)tabla <- resultado$tabla
tabla## x f.x F.x
## 1 0 0.150094635296999152 0.1500946
## 2 1 0.300189270593998137 0.4502839
## 3 2 0.283512088894331660 0.7337960
## 4 3 0.168007163789233555 0.9018032
## 5 4 0.070002984912180641 0.9718061
## 6 5 0.021778706417122911 0.9935848
## 7 6 0.005243021915233281 0.9988279
## 8 7 0.000998670840996817 0.9998265
## 9 8 0.000152574711818958 0.9999791
## 10 9 0.000018836384175180 0.9999980
## 11 10 0.000001883638417518 0.9999998
## 12 11 0.000000152213205456 1.0000000
## 13 12 0.000000009865670724 1.0000000
## 14 13 0.000000000505931832 1.0000000
## 15 14 0.000000000020076660 1.0000000
## 16 15 0.000000000000594864 1.0000000
## 17 16 0.000000000000012393 1.0000000
## 18 17 0.000000000000000162 1.0000000
## 19 18 0.000000000000000001 1.00000004.3.5.2 Visualizar probabilidades
Se muestran las probabilidades de cada variable discreta usando directamente la variable resultado.
plot_grid(resultado$g.dens, resultado$g.hist)
plot_grid(resultado$g.text, resultado$g_all$acum)
Utilizando plotly que se encuentra en la variable resultado
resultado$g.hist.plotly resultado$g.acum.plotly4.3.5.3 Probabilidad de que se encuentren exactamente 2 buses
\[ f(x=2) \]
x <- 2
prob <- dbinom(x = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : ", prob)## [1] "La probabilidad de encontrar dos camiones contaminantes es de : 0.283512088894332"4.3.5.4 Probabilidad de menos de cuatro autobuses
Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cero y cuatro. \(f(x=0) + f(x=1) + f(x=2) + f(x=3) + f(x=4)\) o lo que es lo mismo \(P(x\leq 4)\) o en términos de probabilidad acumulada \(F(x=4)\).
x <- 4
prob <- pbinom(q = x, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: ", prob)## [1] "La probabilidad de encontrar menos de cuatro camiones es de: 0.971806143486743"4.3.5.5 Probabilidad de MAS de tres autobuses
Se requiere encontrar la probabilidad de cuando la variables tenga valores entre cuatro y dieciocho. \(f(x=4) + f(x=5) + f(x=6) + f(x=7) ... + ...f(x=18)\) o lo que es lo mismo \(P(x \geq 3)\) o en términos de probabilidad acumulada \(1 - F(x=4)\).
x1 <- 3
x2 <- 18
prob <- 1 - pbinom(q = x1, size = n, prob = exito)
paste ("La probabilidad de encontrar mas de tres camiones es de: ", prob)## [1] "La probabilidad de encontrar mas de tres camiones es de: 0.0981968414254375"Se puede encontrar usando la expresión lower.tail = FALSE
pbinom(q = 3, size = n, prob = exito, lower.tail = FALSE)## [1] 0.098196844.3.5.6 Valor esperado
VE <- resultado$VE
paste("El valor esperado es: ",VE)## [1] "El valor esperado es: 1.8"El valor esperado de 1.8 significa el valor medio de camiones que se pueden encontrar que contaminan
4.3.5.7 Varianza y desviación
Varianza
varianza <- resultado$varianza
paste ("La varianza es: ", round(varianza, 2))## [1] "La varianza es: 1.62"Desviación
desviacion.std <- resultado$desv.std
paste("La desviación std es: ", round(desviacion.std, 4))## [1] "La desviación std es: 1.2728"La varianza y de manera más específica la desviación significa que tanto varía (se aleja o se acerca) con respeto al valor medio o valor esperado \(VE\) el número de autobuses con probabilidad de encontrarse con partículas contaminantes.
4.3.5.8 Valores aleatorios
Se utiliza la función rbinom() para simular un estudio y generar valores aleatorios conforme a la distribución binomial.
El estudio o la simulación se hace con un experimento de 100 camiones, a partir del estudio previo de 18 camiones.
n.muestra <- 100
muestra <- rbinom(n = n.muestra, size = n, prob = exito)
muestra## [1] 4 1 3 3 2 1 3 0 2 5 3 1 2 1 3 2 1 2 2 3 0 1 0 0 1 3 2 2 1 3 2 2 0 2 3 0 5
## [38] 4 2 3 1 2 4 0 2 2 2 4 4 1 1 4 3 4 4 4 4 0 3 2 1 3 4 1 3 2 0 5 0 0 2 1 4 1
## [75] 4 1 6 0 2 0 3 1 2 2 2 2 1 2 6 2 1 2 0 3 3 4 2 1 2 3Calculando frecuencias relativas
Con la función table() se determina la frecuencia y con prop.table() se encuentra la frecuencia relativa.
table(muestra)## muestra
## 0 1 2 3 4 5 6
## 14 20 29 18 14 3 2data.frame(prob = prop.table(table(muestra)))## prob.muestra prob.Freq
## 1 0 0.14
## 2 1 0.20
## 3 2 0.29
## 4 3 0.18
## 5 4 0.14
## 6 5 0.03
## 7 6 0.02Se observa que los mayores valores probabilísticos está entre 1 y 3, entonces la muestra se relaciona con los valores probabilísticos del origen de los datos.
5 Interpretación
Dados lo datos historicos sabemos que el 10% de los autonuses contaminan con este dato se revisan 18 unidades al revisar las probabilidades notamos que el aproximado mas alto es de menos de cuatro autonuses dandonos un 97% dandonos un valor esperado de 2 autonuses si revisamos la desviacion sabremos que es de 2 con lo que nos confirma la probabilidad de acumulacion del 97% con menos de cuatro autonuses
Expresar con sus palabras ideas acerca del caso