Bab 4 Pemecahan

4.1 Fungsi vs persamaan

Sebagian besar isi aljabar sekolah menengah melibatkan “pemecahan.” Dalam situasi tipikal, Anda memiliki persamaan, katakanlah3x+2=kamu3x+2=kamudan Anda diminta untuk “menyelesaikan” persamaan untukxx. Ini melibatkan penataan ulang simbol-simbol persamaan dengan cara yang sudah dikenal, misalnya, memindahkan22ke sisi kanan dan membaginya dengan33. Langkah-langkah ini, awalnya disebut “penyeimbangan” dan “pengurangan”

4.1.1 Dari Persamaan ke Nol Fungsi

Bentuk umum dari masalah yang biasanya digunakan dalam perhitungan numerik di komputer adalah bahwa persamaan yang akan diselesaikan benar-benar merupakan fungsi yang akan dibalik. Artinya, untuk perhitungan numerik, masalahnya harus dinyatakan seperti ini:

Anda memiliki fungsif(x)f(x). Anda kebetulan tahu bentuk fungsinyaffdan nilai keluarannyakamukamuuntuk beberapa nilai input yang tidak diketahuixx. Masalah Anda adalah menemukan inputxxdiberikan fungsiffdan nilai keluarankamukamu.

Salah satu cara untuk menyelesaikan masalah tersebut adalah dengan mencari invers dariff. Ini sering ditulisf −1f −1(yang oleh banyak siswa dapat dimengerti tetapi secara keliru diartikan1/f(x)1/f(x)). Tetapi menemukan kebalikan dariffbisa sangat sulit dan berlebihan. Sebaliknya, masalahnya dapat ditangani dengan menemukan nol dariff.

Jika Anda dapat merencanakan fungsinyaf(x)f(x)untuk berbagaixx, Anda dapat dengan mudah menemukan nol. Temukan saja di manaxxdi mana fungsi melintasikamukamu-sumbu. Ini berfungsi untuk fungsi apa pun, bahkan yang sangat rumit sehingga tidak ada prosedur aljabar untuk menemukan solusi.
Sebagai ilustrasi, perhatikan fungsig()

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
g <- makeFun(sin(x^2)*cos(sqrt(x^4 + 3 )-x^2) - x + 1 ~ x)
slice_plot(g(x) ~ x, domain(x = -3:3)) %>%
  gf_hline(yintercept  = 0, color = "red")

Anda dapat melihat dengan cukup mudah bahwa fungsi tersebut melintasikamukamusumbu di suatu tempat antarax=1x=1danx=2x=2. Anda bisa mendapatkan lebih banyak detail dengan memperbesar sekitar solusi perkiraan:

library(mosaicCalc)
slice_plot(g(x) ~ x, domain(x=1:2)) %>%
  gf_hline(yintercept = 0, color = "red")

Persimpangannya kira-kirax≈1.6x≈1.6. Anda tentu saja dapat memperbesar lebih jauh untuk mendapatkan perkiraan yang lebih baik. Atau, Anda dapat membiarkan perangkat lunak melakukan ini untuk Anda:

Argumen xlimdigunakan untuk menyatakan di mana mencari solusi. (Karena bug perangkat lunak, itu selalu dipanggil xlimbahkan jika Anda menggunakan variabel selain xdalam ekspresi Anda.)

Anda hanya perlu memiliki gambaran kasar tentang di mana solusinya. Sebagai contoh:

findZeros(g(x) ~ x, xlim = range(-1000,  1000))
##        x
## 1 1.5576

findZeros()hanya akan melihat ke dalam interval yang Anda berikan. Ini akan melakukan pekerjaan yang lebih tepat jika Anda dapat menyatakan interval dengan cara yang sempit.

4.1.2 Beberapa Solusi

Fungsi findZeros( )akan mencoba menemukan beberapa solusi jika ada. Misalnya persamaandosax=0.35dosa⁡x=0.35memiliki jumlah solusi yang tak terbatas. Berikut adalah beberapa di antaranya:

findZeros( sin(x) - 0.35 ~ x, xlim=range(-20,20) )
##           x
## 1  -12.2088
## 2   -9.7823
## 3   -5.9256
## 4   -3.4991
## 5    0.3576
## 6    2.7840
## 7    6.6407
## 8    9.0672
## 9   12.9239
## 10  15.3504

Perhatikan bahwa persamaan dosax=0.35dosa⁡x=0.35diubah menjadi fungsi sin(3) - 0.35.

4.1.3 Menyiapkan Masalah

Seperti namanya, findZeros( )menemukan fungsi nol. Anda dapat mengatur masalah solusi apa pun dalam formulir ini. Misalnya, Anda ingin menyelesaikan4+ekt=2bt4+ekt=2btuntukbb, biarkan parameterkkmenjadik=0,00035k. Anda mungkin, tentu saja, ingat bagaimana mengerjakan soal ini dengan menggunakan logaritma. Tapi inilah pengaturan untuk findZeros( ):

g <- makeFun(4 + exp(k*t) - 2^(b*t) ~ b, k=0.00035, t=1)
findZeros( g(b) ~ b , xlim=range(-1000, 1000) )
##       b
## 1 2.322

4.1.4 Latihan

4.1.4.1 Latihan 1

Selesaikan persamaandosa(karena(x2)−x)−x=0,5dosa⁡(karena⁡(x2)−x)−x=0,5untukxx. {0.0000,0.1328, 0.2098 ,0.3654,0.4217}

MENJAWAB:

findZeros( sin(cos(x^2) - x) -x - 0.5 ~ x, xlim=range(-10,10))
##        x
## 1 0.2098

4.1.4.2 Latihan 2

Temukan nol dari fungsi tersebut3e−t/5dosa(2π2t)3e−t/5dosa⁡(2π2t)yang berada di antarat=1t=1dant=10t=10.

  1. Tidak ada nol dalam interval itu.}

  2. Tidak ada nol sama sekali!}

  3. $ 2, 4, 6, 8$}

  4. $ 1, 3, 5, 7, 9$}

  5. {1,2,3,4,5,6,7,8,91,2,3,4,5,6,7,8,9}

MENJAWAB:

findZeros( 3*exp(-t/5)*sin(pi*t) ~ t, xlim=range(1,10))
##    t
## 1  0
## 2  1
## 3  2
## 4  3
## 5  4
## 6  5
## 7  6
## 8  7
## 9  8
## 10 9

4.1.4.3 Latihan 3

Gunakan findZeros()untuk menemukan nol dari masing-masing polinomial ini:

  1. 3x2+7x−103x2+7x−10

Dimana angka nolnya? sebuah.x=−3.33x=−3.33atau11 b.x=3.33x=3.33atau11 c. x=−3.33x=−3.33atau−1−1 d. x=3.33x=3.33atau−1−1 e. Tidak ada nol

MENJAWAB:

findZeros( 3*x^2 + 7*x - 10 ~ x, xlim=range(-100,100))
##         x
## 1 -3.3334
## 2  1.0000
  1. 4x2−2x+204x2−2x+20

Dimana angka nolnya? sebuah.x=−3.33x=−3.33atau11} b.x=3.33x=3.33atau11} c. x=−3.33x=−3.33atau−1−1} d. x=3.33x=3.33atau−1−1} e. Tidak ada nol

  1. 2x3−4x2−3x−102x3−4x2−3x−10

Yang mana dari ini yang nol? {-1.0627,0,1.5432,1.8011,2.1223, 3.0363 ,tidak ada}

MENJAWAB:

findZeros(2*x^3 - 4*x^2 - 3*x - 10 ~ x, xlim=c(-10,10))
##        x
## 1 3.0363
  1. 7x4−2x3−4x2−3x−107x4−2x3−4x2−3x−10

Yang mana dari ini yang nol? { -1.0627 ,0,1.5432,1.8011,2.1223,3.0363,tidak ada}

MENJAWAB:

findZeros( 7*x^4 -2*x^3 - 4*x^2 - 3*x - 10 ~ x, xlim=c(-10,10))
##         x
## 1 -1.0628
## 2  1.4123
  1. 6x5−7x4−2x3−4x2−3x−106x5−7x4−2x3−4x2−3x−10

Yang mana dari ini yang nol? {-1.0627,0,1.5432, 1.8012 ,2.1223,3.0363,none}

MENJAWAB:

findZeros( 6*x^5-7*x^4 -2*x^3 - 4*x^2 - 3*x - 10 ~ x, xlim=c(-10,10))
##        x
## 1 1.8012