FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLÓGICAS

Curvas en \(\mathbb{R}^3\)

Definición: Una curva en \(\mathbb{R}^3\) es una función diferenciable \(\alpha\)

\(I \longrightarrow \mathbb{R}^3\) de un intervalo abierto \(I\) en \(\mathbb{R}^3\)

Ecuación de la hélice

Dada la fórmula de la hélice

\[\alpha (t) = (a cost, a sen t, bt)\]

donde \(a>0\) y \(b \neq 0\) (Siempre usaremos el término hélice para representar la hélice circular recta)

Ejercicios propuestos

1- Calcular el vector velocidad de la curva \(\alpha (t) = (2 cos^2 t, sen2t, 2sent)\) para \(t=0\) y \(t=\displaystyle{\frac{\pi}{2}}\)

2- Calcular el vector velocidad y aceleración de la curva \(\alpha (t) =(3t-t^3 , 3t^2 , 3t+ t^3)\)

3- Encuéntrese una recta que pase por los puntos \((1,-3,-1)\) y \((6,2,1)\). ¿Se corta esta recta con la que pasa por los puntos \((-1,1,0)\) y \((-5,-1,-1)\)?

4- Demuéstrese que las curvas dadas por \((t, 1+t^2, t)\), \((sen t, \cos t, t)\) y \((\sinh t, \cosh t, t)\) tienen la misma velocidad inicial \(v_{p}\). Si \(f=x^2-y^2+z^2\), calcúlese \(v_{p} \left[f \right]\) al evaluar \(f\) en cada una de las curvas.

Triedro de Frenet

Vectores unitarios: Tangente, Normal y Binormal

Vector tangente unitario

\[\vec{t}=\frac{\vec{r'}(t)}{\left \| \vec{r'}(t) \right \|}\]

Vector normal unitario

\[\vec{n}=\frac{\left(\vec{r'}(t) \times \vec{r''}(t)\right)\times \vec{r'}(t)} {\left \| \vec{r'}(t) \times \vec{r''}(t)\right \|\left \| \vec{r'}(t) \right \|}\]

Vector binormal

\[\vec{b}=\frac{\left(\vec{r'}(t) \times \vec{r''}(t)\right)} {\left \| \vec{r'}(t) \times \vec{r''}(t)\right \|}\]

Ejercicios propuestos

1- Encuentra las ecuaciones de la normal principal y de la binormal de las curvas siguientes en los puntos indicados:

a- \(\vec{r}(t) = (t ;t^2;e^t)\) para \(t=0\)

b- \(x=t\), \(y=t^2\), \(z=t^3\) para $t=1

2- Encuentra las ecuaciones de la tangente, del plano normal, de la binormal, del plano osculador, de la normal principal y del plano rectificante de la hélice: \(x=acost\); \(y=asent\); \(z=bt\).

Halla además los vectores del sistema de referencia de Frenet.

3- Determine la ecuación del plano osculador de la línea de intersección de una esfera: \(x^2 + y^2 + z^2 =9\) y de un cilindro hiperbólico: \(x^2 - y^2 = 3\) en el punto \(M(2,1,2)\)

4- Dada la curva \(\vec{r}(t)=(t-cost, sent, t)\), hallar los elementos del triedro de Frenet en el punto \((-1,0,0)\).

5- Dada la curva \(\vec{r}(t)=\left(t, (t+1)^2, t^3 -1\right)\), hallar los elementos del triedro de Frenet en punto de intersección de dicha curva con el plano \(z=0\)

6- Reparametrizar la curva \(\vec{r}(t)=\left(cos t- sen t, sent + cost, t+1 \right)\) por longitud de arco, luego hallar los elementos del triedro de Frenet en el punto \((1,1,1)\)

Curvatura

\[k(t)=\frac{\left\|\vec{r}'(t)\times \vec{r}''(t)\right\|}{\left\|\vec{r}'(t)\right\|^3}\]

Radio de curvatura

\[R = \frac{1}{k}\]

Torsión

\[\tau (t)=\frac{\left(\vec{r}'(t) \times \vec{r}''(t)\right)\times \vec{r}'''(t)}{\left\|\vec{r}'(t)\times \vec{r}''(t)\right\|^2}\]

Ejercicios propuestos

1- Hallar la curvatura y la torsión en un punto arbitrario de la curva \(\vec{r}(t)=\left(t, t^2, \displaystyle{\frac{2}{3}t^3}\right)\)

2- Dada la curva \(\vec{r}(t) =(3t-t^3, 3t^2, 3t+t^3)\), probar que la curvatura y la torsión son iguales.

3- Dada la curva de ecuaciones \(\{x=y^2 , z=x^2\}\), hallar la curvatura y la torsión en el punto \((1,1,1)\)

4- Dada la curva \(\vec{r}(t)=(2cost, 2sent,t)\), hallar los puntos de ésta para los cuales el plano osculador por dicho punto es paralelo a la recta \(\{x+2z=2, x-y=2\}\)