Bab 3 Parameter dan fungsi

3.1 Parameter versus variabel

Mengapa sebenarnya tidak ada perbedaan.

Perbedaan Newton antara a, b, c, dan x, y, z.

3.2 Parameter fungsi pemodelan

Berikan parameterisasi eksponensial, sinus, hukum pangkat …

Idenya adalah untuk membuat argumen ke fungsi matematika berdimensi.

Parameter dan logaritma – Anda dapat mengambil log apa pun yang Anda suka. Satuan muncul sebagai konstanta

3.3 Polinomial dan parameter

Setiap parameter memiliki dimensinya sendiri

3.4 Parameter danmakeFun()

Jelaskan cara makeFun()kerjanya di sini.

3.5 Fungsi tanpa parameter: splines dan smooths

JELASKAN hiper-parameter. Ini adalah angka yang mengatur bentuk fungsi, tetapi dapat diatur secara sewenang-wenang dan masih cocok dengan data. Parameter hiper tidak disetel langsung oleh data.

Model matematika berusaha menangkap pola di dunia nyata. Ini berguna karena model dapat lebih mudah dipelajari dan dimanipulasi daripada dunia itu sendiri. Salah satu kegunaan paling penting dari fungsi adalah untuk mereproduksi atau menangkap atau memodelkan pola yang muncul dalam data.

Kadang-kadang, pilihan bentuk fungsi tertentu — eksponensial atau hukum pangkat, katakanlah — dimotivasi oleh pemahaman tentang proses yang terlibat dalam pola yang digunakan fungsi untuk dimodelkan. Namun di lain waktu, yang dibutuhkan hanyalah fungsi yang mengikuti data dan memiliki properti lain yang diinginkan, misalnya mulus atau meningkat dengan mantap.

“Smoothers” dan “splines” adalah dua jenis fungsi tujuan umum yang dapat menangkap pola dalam data, tetapi tidak ada bentuk aljabar sederhana. Membuat fungsi seperti itu sangat mudah, selama Anda dapat membebaskan diri dari gagasan bahwa fungsi harus selalu memiliki rumus.

Smoother dan splines tidak ditentukan oleh bentuk dan parameter aljabar, tetapi oleh data dan algoritma. Sebagai ilustrasi, pertimbangkan beberapa data sederhana. Kumpulan data Loblollyberisi 84 pengukuran usia dan tinggi pinus loblolly.

library(mosaicCalc)
## Loading required package: mosaic
## Registered S3 method overwritten by 'mosaic':
##   method                           from   
##   fortify.SpatialPolygonsDataFrame ggplot2
## 
## The 'mosaic' package masks several functions from core packages in order to add 
## additional features.  The original behavior of these functions should not be affected by this.
## 
## Attaching package: 'mosaic'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, do, tally
## The following object is masked from 'package:Matrix':
## 
##     mean
## The following object is masked from 'package:ggplot2':
## 
##     stat
## The following objects are masked from 'package:stats':
## 
##     binom.test, cor, cor.test, cov, fivenum, IQR, median, prop.test,
##     quantile, sd, t.test, var
## The following objects are masked from 'package:base':
## 
##     max, mean, min, prod, range, sample, sum
## Loading required package: mosaicCore
## 
## Attaching package: 'mosaicCore'
## The following objects are masked from 'package:dplyr':
## 
##     count, tally
## 
## Attaching package: 'mosaicCalc'
## The following object is masked from 'package:stats':
## 
##     D
gf_point(height ~ age, data=datasets::Loblolly)

dengan tinggi yang sangat mirip diukur dan dilacak dari waktu ke waktu: usia lima tahun, usia sepuluh tahun, dan seterusnya. Pohon-pohon berbeda satu sama lain, tetapi semuanya sangat mirip dan menunjukkan pola sederhana: pertumbuhan linier pada awalnya yang tampaknya menurun seiring waktu.

Mungkin menarik untuk berspekulasi tentang fungsi aljabar macam apa yang diikuti oleh pertumbuhan pinus loblolly, tetapi fungsi semacam itu hanyalah sebuah model. Untuk banyak tujuan, mengukur bagaimana laju pertumbuhan berubah seiring bertambahnya usia pohon, yang dibutuhkan hanyalah fungsi mulus yang terlihat seperti data. Mari kita pertimbangkan dua:

Sebuah “spline kubik”, yang mengikuti kelompok titik data dan kurva dengan mulus dan anggun. f1 <- spliner(height ~ age, data = datasets::Loblolly)

Sebuah “interpolant linier”, yang menghubungkan kelompok titik data dengan garis lurus. f2 <- connector(height ~ age, data = datasets::Loblolly)

Definisi fungsi-fungsi ini mungkin tampak aneh pada awalnya — mereka sepenuhnya ditentukan oleh data: tidak ada parameter! Meskipun demikian, mereka adalah fungsi asli dan dapat bekerja dengan seperti fungsi lainnya. Misalnya, Anda dapat memasukkan input dan mendapatkan output:

f1(age = 8) ## [1] 20.68193 f2(age = 8) ## [1] 20.54729

Anda dapat membuat grafiknya:

gf_point(height ~ age, data = datasets::Loblolly) %>% slice_plot(f1(age) ~ age) %>% slice_plot(f2(age) ~ age, color=“red”, )

Hampir tidak ada apa pun di sini untuk memberi tahu pembaca apa yang dilakukan tubuh fungsi. Definisi tersebut mengacu pada data itu sendiri yang telah disimpan dalam suatu “lingkungan”. Ini adalah fungsi zaman komputer, bukan fungsi dari zaman aljabar.

Seperti yang Anda lihat, fungsi konektor spline dan linier sangat mirip, kecuali untuk rentang input di luar rentang data. Namun, dalam rentang data tersebut, kedua jenis fungsi tersebut tepat berada di tengah setiap kelompok usia.

Spline dan konektor tidak selalu sesuai dengan yang Anda inginkan, terutama bila data tidak dibagi menjadi kelompok-kelompok terpisah, seperti data pinus loblolly. Misalnya, trees.csvkumpulan data adalah pengukuran volume, ketebalan, dan tinggi pohon ceri hitam. Pohon-pohon ditebang untuk diambil kayunya, dan minat dalam melakukan pengukuran adalah untuk membantu memperkirakan berapa banyak volume kayu yang dapat digunakan yang dapat diperoleh dari sebuah pohon, berdasarkan lingkar (yaitu, keliling) dan tinggi. Ini akan berguna, misalnya, dalam memperkirakan berapa nilai uang sebuah pohon. Namun, tidak seperti data pinus loblolly, data ceri hitam tidak melibatkan pohon yang jatuh dengan baik ke dalam kelompok yang ditentukan.

Cherry <- datasets::trees
gf_point(Volume ~ Girth, data = Cherry)

cukup mudah untuk membuat spline atau konektor linier

g1 = spliner(Volume ~ Girth, data = Cherry)
## Warning in regularize.values(x, y, ties, missing(ties)): collapsing to unique
## 'x' values
g2 = connector(Volume ~ Girth, data = Cherry)
## Warning in regularize.values(x, y, ties, missing(ties), na.rm = na.rm):
## collapsing to unique 'x' values
slice_plot(g1(x) ~ x, domain(x = 8:18)) %>%
  slice_plot(g2(x) ~ x, color ="red") %>%
  gf_point(Volume ~ Girth, data = Cherry) %>%
  gf_labs(x = "Girth (inches)")

kedua fungsi sama sama mengikuti data … tapi agak terlalu setia! Masing-masing fungsi bersikeras melewati setiap titik data. (Satu-satunya pengecualian adalah dua titik dengan keliling 13 inci. Tidak ada fungsi yang dapat melewati kedua titik dengan keliling 13, jadi fungsi membagi selisih dan melewati rata-rata dari dua titik.)

Gerakan naik turun adalah fungsi yang sulit dipercaya. Untuk situasi seperti itu, di mana Anda memiliki alasan untuk percaya bahwa fungsi mulus lebih tepat daripada fungsi dengan banyak pasang surut, jenis fungsi yang berbeda sesuai: lebih halus.

g3 <- smoother(Volume ~ Girth, data = Cherry, span=1.5)
gf_point(Volume~Girth, data=Cherry) %>%
  slice_plot(g3(Girth) ~ Girth) %>%
  gf_labs(x = "Girth (inches)")

Tentu saja, Seringkali anda ingin menangkap hubungan di mana ada lebih dari satu variabel sebagai input. Smoother melakukan ini dengan sangat baik; cukup tentukan variabel mana yang akan menjadi input

g5 <- smoother(Volume ~ Girth+Height, 
               data = Cherry, span = 1.0)
gf_point(Height ~ Girth, data = Cherry) %>%
  contour_plot(g5(Girth, Height) ~ Girth + Height) %>%
  gf_labs(x = "Girth (inches)", 
          y = "Height (ft)", 
          title = "Volume (ft^3)")