En este ejercicio se hará una regresión múltiple con el ejemplo de Carter-Hill et. al. (2011) de las ventas de la tienda Andy’s, dado el precio promedio de los artículos vendidos y el gasto en publicidad. Todo medido en dólares de los Estados Unidos. Se exponen las primeras 10 filas de la tabla de datos:
| Ventas | Precio | Publicidad |
|---|---|---|
| 73.2 | 5.69 | 1.3 |
| 71.8 | 6.49 | 2.9 |
| 62.4 | 5.63 | 0.8 |
| 67.4 | 6.22 | 0.7 |
| 89.3 | 5.02 | 1.5 |
| a Cifras en miles de USD. |
La idea es hacer una ecuación que estime la media condicionada de las ventas:
\[\begin{equation} \widehat{ventas}_t=\alpha+\beta_1\cdot precio_t+\beta_2 \cdot publicidad_t \end{equation}\]
Como punto de partida, se hace la primera ecuación del modelo de regresión con todas sus variables:
| Dependent variable: | |
| Ventas | |
| Precio | -7.908*** |
| (1.096) | |
| Publicidad | 1.863*** |
| (0.683) | |
| Constant | 118.914*** |
| (6.352) | |
| Observations | 75 |
| R2 | 0.448 |
| Adjusted R2 | 0.433 |
| Residual Std. Error | 4.886 (df = 72) |
| F Statistic | 29.248*** (df = 2; 72) |
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 |
Como se puede apreciar todos los coeficientes, en lo individual (p-values) y en conjunto (estadístico F) son significativos. A su vez, se cumple la relación estadística esperada. Es decir, existe una relación inversa y significativa entre el precio promedio ponderado de los artículos y el nivel de ventas (en miles de dólares). De manera complementaria, se cumple la expectativa de que existe una relación positiva y significativa entre el gasto en publicidad y el nivel de ventas.
El modelo tiene un nivel de explicación de 43.2931589%.
Sin embargo, cabe una pregunta: se está trabajando con ventas y gasto en publicidad en miles de dólares, así como incrementos unitarios del precio promedio. ¿Qué sucedería si se trabaja con logaritmos (logaritmos naturales) de estas variables? Estos, se interpretan como una potencial variación porcentual de las variables. Dicho esto, se correrá el modelo, con los logaritmos de las variables y se verá si se cumplen las hipótesis del modelo y si es un mejor modelo que el anterior.
#Conversión de variables a logaritmos
Convertimos las 3 variablesoriginales a logaritmos naturales, en la siguiente tabla podemos apreciar sus valores:
| Ventas | Precio | Publicidad | lVentas | lPrecio | lPublicidad |
|---|---|---|---|---|---|
| 73.2 | 5.69 | 1.3 | 4.293195 | 1.738710 | 0.2623643 |
| 71.8 | 6.49 | 2.9 | 4.273885 | 1.870262 | 1.0647107 |
| 62.4 | 5.63 | 0.8 | 4.133565 | 1.728109 | -0.2231436 |
| 67.4 | 6.22 | 0.7 | 4.210645 | 1.827770 | -0.3566749 |
| 89.3 | 5.02 | 1.5 | 4.492001 | 1.613430 | 0.4054651 |
| 70.3 | 6.41 | 1.3 | 4.252772 | 1.857859 | 0.2623643 |
| 73.2 | 5.85 | 1.8 | 4.293195 | 1.766442 | 0.5877867 |
| 86.1 | 5.41 | 2.4 | 4.455509 | 1.688249 | 0.8754687 |
| 81.0 | 6.24 | 0.7 | 4.394449 | 1.830980 | -0.3566749 |
| 76.4 | 6.20 | 3.0 | 4.335983 | 1.824549 | 1.0986123 |
#A continuación se calculará el modelo de regresión con las variables en logaritmos
| Dependent variable: | |
| log(Ventas) | |
| log(Precio) | -0.575*** |
| (0.079) | |
| log(Publicidad) | 0.045*** |
| (0.014) | |
| Constant | 5.320*** |
| (0.138) | |
| Observations | 75 |
| R2 | 0.469 |
| Adjusted R2 | 0.454 |
| Residual Std. Error | 0.062 (df = 72) |
| F Statistic | 31.810*** (df = 2; 72) |
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 |
Podemos apreciar que los coeficientes son significativos en los 3 niveles de significancia, tanto de manera individual (P-values) como de manera conjunta (Estadístico F). Podemos observar que, el estadístico F tiene un valor de 31.810, lo que implica que, la variabilidad de la regresada explicada por el modelo de regresión es 31.810 veces más grande que la no explicada o σεi, dada la SRC. Existe la evidencia para afirmar que existe relación lineal significativa entre la variable dependiente y el conjunto de variables independientes.
Para concluir el ejercicio es conveniente hacer una comparación entre ambos modelos y sus estadísticos, en el siguiente cuadro podemos apreciar cada uno de los resultados de ambos modelos:
| Dependent variable: | ||
| Ventas | log(Ventas) | |
| (1) | (2) | |
| Precio | -7.908*** | |
| (1.096) | ||
| Publicidad | 1.863*** | |
| (0.683) | ||
| log(Precio) | -0.575*** | |
| (0.079) | ||
| log(Publicidad) | 0.045*** | |
| (0.014) | ||
| Constant | 118.914*** | 5.320*** |
| (6.352) | (0.138) | |
| Observations | 75 | 75 |
| R2 | 0.448 | 0.469 |
| Adjusted R2 | 0.433 | 0.454 |
| Residual Std. Error | 4.886 | 0.062 |
| F Statistic | 29.248*** | 31.810*** |
| Note: | p<0.1; p<0.05; p<0.01 | |
Como poedmos observar ambos modelos son significativos, sin embargo el modelo trabajado con variables logaritmicas explica de una mejor manera la relación entre las ventas, el precio y la publicidad, lo anterior debido a que presenta un mejor ajuste en conjunto, haciendo alución al estadístico F.