Econometria descomplicada

Kaius de Paula Corrêa

2023-02-06

 

Imagem por @homajob.

library(ggplot2) #visualizações
library(ggpmisc) #plota a função do gráfico
library(dplyr) #manipulação de dados
library(data.table) #manipulação de dados
library(kableExtra) #tabelas bonitas em html
library(systemfit) #para estimar e testar modelos de equação dinâmica

1 Sobre mim

Me chamo Kaius, sou um economista formado na UFV e agraciado com a medalha de prata Presidente Bernandes. Tive o privilégio de atuar como monitor da disciplina de ECO450 (Econometria I), ECO455 (Econometria II) e ECO457 (Econometria III), auxiliando os alunos de forma complementar as aulas.

Atuo como Cientista de Dados, uma área que sou completamente apaixonado, que mistura elementos de computação, estatística e conhecimento de área para resolução de inúmeros problemas. Espero fazer jus a minha paixão pelo mundo de dados e lhe introduzir de forma descontraída os principais métodos e ferramentas utilizadas para produção científica ou para utilização de empresas em meio a resolver problemas.

Ao longo deste documento, irei priorizar a utilização de elementos visuais, por meio de um pacote do R chamado ggplot2. Acredito que a matemática seja uma parte importante do processo de aprendizado, mas não podemos depender somente dela e devemos recorrer a lógica como base, por isso meu foco aqui será de instigar você a entender e se entusiasmar com o que pode ser feito com os métodos econométricos sem entrar em muitas expressões mais cabeludas.

2 Introdução a Econometria

Existem muitas definições do que é econometria e o que se pode fazer com ela. Minha visão sobre o que é a econometria é um tanto quanto simples, mas sucinta: a econometria é uma ferramenta que auxilia no desenvolvimento de outras áreas por meio da elaboração de métodos quantitativos e qualitativos.

Por si só, a econometria é também uma área digna de constante expansão e adaptação. Pesquisas são feitas para ampliar o potencial da econometria, dando maior confiabilidade ao conhecimento gerado por essa ferramenta.

2.1 Confiar ou Acreditar?

Não poderia começar a falar sobre produção científica sem dedicar ao menos uma seção para essa questão um tanto quanto polêmica. Você deve confiar ou acreditar na ciência?

Digo isso, porque a compreensão de confiar é algo extremamente relacionado a ciência! Confiar envolve o processo de esperar que algo aconteça com base em evidências e provas. E por que a palavra confiar?

Confiar implica que não podemos dar a mais absoluta certeza de que alguma coisa vai acontecer sempre, mas podemos esperar que isso aconteça com certa frequência. Essa incerteza pode inclusive ser quantificada, e é isso que dá origem ao termo significância.

Imagine que a cada 100 vezes que eu como queijo eu tenha indigestão 5 vezes, eu tenho alguma intolerância a lactose? Acho mais provável que eu tenha comido algo estragado nessas 5 vezes do que seja de fato um problema de intolerância.

E se, a cada 100 vezes que eu como queijo, eu tenha indigestão 10 vezes. Agora a tese de que eu tenha algum nível de intolerância fica mais forte não é? Na linguagem científica dizemos que a chance que eu tenha algum nível de intolerância é cada vez mais significativa!

Claro que, uma pessoa que suspeite que tem intolerância não iria comer queijo 100 vezes pra descobrir isso não é? Pois é aí que entra a ciência. Se você for em um médico ele vai te passar um exame que vai te dizer com ainda mais certeza sobre sua condição ou não. Com o resultado em mãos, você acredita ou confia no diagnóstico?

Sobre esse assunto, eu recomendo um vídeo bem ilustrativo do canal Epifania Experiência.

2.2 Revisão estatística

A estatística é para muitos uma ferramenta, para outros uma ciência por si só, e para alguns empolgados no mundo das apostas, a estatística é uma arte. Mas pra que ela serve? Por que algumas coisas são tão complicadas?

A resposta pra minha última pergunta pode não ser muito encorajadora pra maioria das pessoas: o ser humano busca padrão muitas vezes onde não há. Nos enganamos com certa frequência nos julgamentos do que é aleatório e do que não é aleatório. Isso, somado ao fato que somos guiados por vieses, ou por incapacidade de observar um fenômeno por completo. (Para ver mais sobre esse assunto, clique aqui.)

Além de muitas vezes não ser intuitiva, a estatística pode ser utilizada de forma “maléfica” para mentir sobre um fenômeno. Por isso também é importante conhecer os artifícios para não cair em falsas verdades. Um vídeo excelente descreve muito bem esse caso, acesse ele por aqui.

Por fim, não poderia deixar de recomendar dois livros excepcionais sobre estatística, o primeiro fala sobre como a estatística está relacionada com o nosso dia dia, e o segundo demonstra ferramentas de como omitir e mentir com dados.

  1. O andar do bêbado por Leonard Mlodinow.
  2. Como mentir usando estatística por Darrel Heff.

2.2.1 Distribuição normal

Como uma tentativa de resolver essa falha e dificuldade de generalizar, a estatística ganha um grande foco. Falei que os apostadores gostam tanto da estatística que consideram essa ciência uma arte, e isso é muito verdadeiro! Muitas teorias, e até mesmo a origem da estatística como ciência, vieram de pessoas querendo apostar dinheiro com mais certeza de um ganho futuro.

Com tempo livre, muito estudo de matemática e amor por apostas, Gauss desenvolveu uma função capaz de descrever uma vasta gama de eventos observáveis. Isso quer dizer que Gauss mapeou a incerteza de boa parte das coisas que podemos observar. Um exemplo:

set.seed(42)
dataset <- data.table(altura = round(rnorm(10000, 175, 4.5), 1))

ggplot(dataset, aes(altura)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Esses dados foram gerados por mim, de forma aleatória, mas se assemelham com a distribuição das alturas de homens em algum nível. Por quê? Bom, o quão comum você diria ser encontrar um homem com menos de 1.60m? E um homem maior que 1.90m? Normalmente homens com essas alturas se destacam por serem mais “raros”, e isso é representado no gráfico acima.

A título de transparência, os dados do gráfico acima foram gerados com os seguintes dados:

dataset[, numero_de_ordem := 1:10000] %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
altura numero_de_ordem
181.2 1
172.5 2
176.6 3
177.8 4
176.8 5
174.5 6
181.8 7
174.6 8
184.1 9
174.7 10
180.9 11
185.3 12
168.8 13
173.7 14
174.4 15
177.9 16
173.7 17
163.0 18
164.0 19
180.9 20
173.6 21
167.0 22
174.2 23
180.5 24
183.5 25
173.1 26
173.8 27
167.1 28
177.1 29
172.1 30
177.0 31
178.2 32
179.7 33
172.3 34
177.3 35
167.3 36
171.5 37
171.2 38
164.1 39
175.2 40
175.9 41
173.4 42
178.4 43
171.7 44
168.8 45
176.9 46
171.3 47
181.5 48
173.1 49
178.0 50
176.4 51
171.5 52
182.1 53
177.9 54
175.4 55
176.2 56
178.1 57
175.4 58
161.5 59
176.3 60
173.3 61
175.8 62
177.6 63
181.3 64
171.7 65
180.9 66
176.5 67
179.7 68
179.1 69
178.2 70
170.3 71
174.6 72
177.8 73
170.7 74
172.6 75
177.6 76
178.5 77
177.1 78
171.0 79
170.1 80
181.8 81
176.2 82
175.4 83
174.5 84
169.6 85
177.8 86
174.0 87
174.2 88
179.2 89
178.7 90
181.3 91
172.9 92
177.9 93
181.3 94
170.0 95
171.1 96
169.9 97
168.4 98
175.4 99
177.9 100
180.4 101
179.7 102
170.5 103
183.3 104
172.0 105
175.5 106
173.1 107
174.4 108
175.8 109
175.5 110
174.9 111
175.5 112
172.8 113
172.7 114
167.5 115
173.3 116
172.7 117
187.2 118
168.9 119
175.6 120
168.3 121
168.4 122
175.6 123
170.5 124
175.0 125
173.1 126
172.2 127
165.9 128
169.5 129
175.8 130
177.6 131
172.8 132
175.0 133
180.1 134
181.5 135
170.1 136
174.5 137
180.4 138
172.9 139
174.8 140
174.6 141
171.0 142
173.0 143
174.9 144
173.1 145
180.0 146
172.8 147
173.1 148
178.1 149
170.2 150
174.8 151
168.0 152
180.3 153
173.8 154
172.9 155
169.4 156
175.0 157
171.4 158
172.6 159
180.8 160
174.2 161
170.2 162
175.7 163
173.4 164
177.7 165
181.4 166
170.5 167
177.0 168
175.4 169
179.0 170
174.0 171
178.8 172
167.1 173
182.6 174
178.9 175
174.3 176
168.5 177
177.9 178
177.2 179
175.0 180
175.7 181
172.4 182
176.7 183
176.3 184
173.7 185
169.0 186
178.2 187
177.5 188
171.2 189
167.8 190
175.9 191
173.4 192
176.1 193
169.2 194
170.7 195
179.9 196
176.8 197
177.6 198
183.2 199
175.6 200
166.0 201
176.5 202
180.3 203
184.3 204
168.8 205
169.8 206
171.8 207
170.3 208
172.1 209
174.2 210
169.6 211
184.2 212
175.5 213
174.6 214
177.2 215
175.2 216
174.4 217
181.6 218
174.0 219
169.2 220
176.7 221
173.4 222
172.7 223
170.2 224
176.9 225
174.2 226
177.3 227
173.9 228
172.0 229
180.6 230
173.8 231
179.3 232
169.6 233
172.9 234
173.8 235
173.2 236
181.1 237
174.9 238
176.1 239
170.8 240
171.7 241
179.5 242
180.7 243
180.6 244
168.8 245
184.2 246
179.6 247
174.9 248
178.2 249
170.6 250
170.1 251
175.2 252
169.6 253
175.9 254
180.8 255
170.3 256
171.7 257
175.2 258
170.4 259
173.3 260
178.9 261
179.4 262
176.7 263
166.7 264
174.8 265
179.8 266
178.7 267
174.1 268
162.9 269
175.3 270
177.6 271
175.2 272
175.7 273
176.9 274
173.2 275
180.9 276
177.1 277
169.4 278
181.2 279
180.4 280
178.7 281
167.5 282
172.4 283
177.9 284
175.2 285
176.6 286
186.1 287
171.3 288
165.5 289
176.2 290
171.9 291
177.0 292
171.3 293
185.0 294
174.4 295
172.9 296
174.3 297
178.9 298
175.4 299
167.7 300
175.0 301
178.4 302
175.2 303
178.3 304
174.3 305
174.7 306
177.2 307
179.5 308
169.4 309
174.8 310
174.7 311
171.6 312
170.3 313
172.2 314
177.6 315
173.1 316
171.5 317
175.7 318
169.4 319
179.7 320
172.8 321
175.9 322
175.2 323
175.0 324
183.1 325
171.3 326
180.2 327
175.1 328
171.2 329
174.7 330
178.4 331
173.1 332
171.5 333
175.7 334
179.4 335
174.7 336
168.8 337
169.1 338
171.5 339
172.6 340
174.9 341
178.0 342
173.0 343
170.0 344
177.7 345
176.2 346
180.2 347
167.4 348
175.4 349
181.1 350
178.3 351
171.3 352
178.3 353
171.1 354
173.0 355
180.3 356
173.7 357
178.7 358
173.7 359
167.9 360
171.2 361
170.1 362
172.8 363
173.5 364
174.3 365
173.9 366
183.5 367
168.8 368
173.1 369
176.6 370
182.3 371
175.4 372
180.6 373
167.6 374
181.5 375
171.9 376
173.8 377
170.0 378
175.6 379
183.0 380
185.9 381
170.2 382
177.2 383
181.2 384
174.1 385
174.0 386
173.6 387
177.7 388
181.3 389
178.1 390
176.4 391
173.6 392
177.2 393
172.5 394
173.7 395
179.9 396
177.0 397
176.1 398
173.8 399
179.2 400
181.0 401
171.1 402
175.2 403
175.2 404
172.4 405
170.5 406
175.0 407
177.9 408
181.6 409
166.4 410
171.8 411
173.6 412
167.5 413
171.6 414
171.5 415
171.7 416
165.2 417
176.0 418
172.2 419
181.8 420
178.6 421
168.5 422
175.4 423
172.3 424
179.0 425
175.2 426
172.5 427
177.0 428
175.7 429
174.3 430
184.1 431
172.6 432
172.9 433
168.0 434
174.8 435
179.0 436
165.7 437
173.9 438
169.7 439
181.5 440
181.1 441
176.5 442
181.4 443
171.1 444
179.3 445
172.4 446
176.4 447
173.7 448
173.7 449
177.5 450
169.1 451
173.9 452
175.8 453
173.2 454
175.5 455
173.6 456
182.3 457
178.2 458
188.3 459
171.4 460
178.7 461
184.4 462
176.4 463
170.1 464
170.5 465
174.8 466
180.9 467
178.4 468
165.4 469
171.8 470
175.0 471
168.4 472
178.1 473
163.9 474
175.6 475
173.2 476
172.8 477
173.7 478
176.4 479
176.8 480
174.0 481
166.3 482
168.5 483
168.4 484
178.4 485
173.9 486
176.2 487
168.0 488
172.6 489
177.5 490
174.2 491
174.5 492
174.7 493
180.4 494
172.2 495
178.0 496
179.0 497
169.6 498
175.5 499
174.9 500
179.6 501
179.1 502
175.0 503
175.6 504
171.8 505
174.1 506
170.4 507
170.6 508
169.5 509
178.8 510
180.0 511
173.1 512
169.9 513
174.6 514
185.1 515
184.2 516
167.3 517
173.4 518
181.9 519
174.8 520
182.2 521
173.5 522
177.7 523
176.0 524
189.5 525
179.1 526
169.6 527
172.3 528
176.7 529
166.4 530
166.9 531
170.0 532
173.4 533
180.6 534
173.8 535
175.7 536
174.7 537
171.8 538
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170.1 540
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173.4 542
177.4 543
182.2 544
177.3 545
181.2 546
178.4 547
172.2 548
175.4 549
181.2 550
168.0 551
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173.2 9771
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170.2 9781
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178.6 9783
177.4 9784
174.9 9785
167.1 9786
173.3 9787
176.7 9788
175.9 9789
170.6 9790
180.0 9791
167.4 9792
175.5 9793
173.3 9794
171.3 9795
168.1 9796
178.1 9797
172.7 9798
171.4 9799
168.6 9800
181.1 9801
177.5 9802
176.4 9803
175.6 9804
173.5 9805
173.8 9806
179.4 9807
171.3 9808
184.0 9809
171.3 9810
181.3 9811
172.4 9812
177.3 9813
170.4 9814
172.9 9815
169.9 9816
174.1 9817
177.7 9818
181.2 9819
167.6 9820
178.8 9821
180.7 9822
175.5 9823
172.1 9824
178.3 9825
179.4 9826
176.4 9827
178.8 9828
172.9 9829
184.4 9830
167.4 9831
173.5 9832
173.2 9833
169.7 9834
176.4 9835
170.4 9836
176.5 9837
175.4 9838
174.6 9839
171.7 9840
175.7 9841
176.2 9842
175.8 9843
175.6 9844
175.6 9845
174.8 9846
169.0 9847
166.8 9848
178.9 9849
171.8 9850
173.9 9851
173.8 9852
182.6 9853
181.3 9854
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173.1 9883
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173.5 9887
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174.9 9889
176.4 9890
173.5 9891
177.5 9892
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169.1 9898
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167.8 9900
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171.4 9902
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172.4 9904
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182.7 9907
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177.4 9909
168.6 9910
174.8 9911
169.5 9912
174.0 9913
177.2 9914
181.5 9915
170.7 9916
178.7 9917
178.9 9918
171.3 9919
190.0 9920
173.0 9921
173.7 9922
175.8 9923
162.0 9924
182.2 9925
178.0 9926
174.3 9927
183.3 9928
178.2 9929
176.4 9930
169.2 9931
182.0 9932
175.0 9933
176.1 9934
184.1 9935
177.1 9936
175.6 9937
170.3 9938
174.4 9939
172.2 9940
172.1 9941
173.8 9942
178.4 9943
180.8 9944
175.1 9945
173.5 9946
178.5 9947
171.3 9948
167.5 9949
177.7 9950
174.6 9951
164.2 9952
165.0 9953
176.3 9954
179.6 9955
177.5 9956
173.5 9957
182.2 9958
170.6 9959
173.2 9960
171.5 9961
177.0 9962
167.3 9963
167.7 9964
165.6 9965
174.6 9966
181.0 9967
182.4 9968
170.7 9969
172.7 9970
170.6 9971
176.4 9972
176.5 9973
178.4 9974
166.6 9975
168.5 9976
172.6 9977
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177.3 9979
174.2 9980
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180.3 9982
176.9 9983
171.3 9984
169.2 9985
172.8 9986
170.1 9987
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173.6 9989
175.0 9990
178.5 9991
177.3 9992
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177.2 9994
183.8 9995
172.5 9996
168.3 9997
173.7 9998
176.0 9999
178.5 10000

Isso que você viu acima é um clássico caso de evento normalmente distribuido. Ele apresenta dois extremos simétricos, com um ponto de maior concentração das observações exatamente no ponto médio. Por que isso é relevante? Vou dar um exemplo bem simples…

Em um cenário hipotético, em que você esteja entendiado com um amigo em um evento com várias pessoas, e decide apostar com ele que consegue estimar a altura de todas as pessoas nesse evento com menor erro possível. Qual seria a melhor estimativa possível de altura?

Resposta: O ponto médio da distribuição parece ser em 1.75, essa medida é central e mais comum de aparecer em todo conjunto observado.

Uma forma de encarar esse problema é: sabendo que a maioria dos homens tem uma altura entre 1.60m e 1.90m, qual altura minimiza o erro considerando que existem muitas pessoas no meio desse intervalo e poucas pessoas no final? (\(\frac{1.60 + 1.90}{2} = ?\))

Nesse cenário, estimamos um valor central para todo o evento, com o fim de vencer nosso amigo numa disputa bem tosca, não é mesmo? Agora entra uma questão fundamental da estatística: quando não temos a informação de todas as pessoas.

2.2.2 População e amostra

No gráfico que mostrei, deu pra ter uma noção muito boa de como a altura é distribuida entre os homens de uma cidade pequena, fictícia. Mas pra ter todas essas informações eu precisaria de sair de porta em porta medindo com uma fita métrica todos os 10.000 homens adultos. Já imaginou que trabalhão isso daria?

E se, ao invés de coletar todos os 10.000 dados relativos a homens adultos, eu coletasse somente 1000? A título de simplificação eu vou manter mesmos dados da seção anterior, mas esse exemplo serve para qualquer conjunto de informações que alguém queira coletar, seja idade, renda, quantidade de filhos e entre outras observações interessantes.

Nosso exemplo pode ser ilustrado como segue:

circleFun <- function(centro = c(0,0), diametro = 1, npontos = 100, tipo = "população"){
    r = diametro / 2
    tt <- seq(0,2*pi,length.out = npontos)
    xx <- centro[1] + r * cos(tt)
    yy <- centro[2] + r * sin(tt)
    return(data.frame(x = xx, y = yy, tipo = tipo))
}

dados_circulo <- rbind(
  circleFun(centro = c(0,0), diametro = 1, npontos = 100, tipo = "população"),
  circleFun(centro = c(0.2,0), diametro = 0.1, npontos = 100, tipo = "amostra")
)

ggplot(dados_circulo, aes(x, y, color = tipo)) +
  geom_path() +
  theme(axis.text.x=element_blank(),
      axis.ticks.x=element_blank(),
      axis.text.y=element_blank(),
      axis.ticks.y=element_blank(),
      axis.title = element_blank(),
      panel.grid.major = element_blank(),
      panel.grid.minor = element_blank(),
      panel.background = element_blank()
  )

De toda a área a população (em azul), eu coletei os dados somente daqueles na área vermelha, por meio de uma amostragem simples (escolhi domicílios aleatoriamente). A distribuição dessa amostra foi a seguinte:

set.seed(42)
dados_amostragem <- copy(slice_sample(dataset, n = 1000))

ggplot(dados_amostragem, aes(altura)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Por mais que não seja tão parecida, a amostra apresenta as mesmas características da população! Com essa mesma distribuição, você teria uma boa ideia da altura média de todos os homens da cidade, e poderia inferir sobre o valor verdadeiro da população.

2.2.3 Noções importantes de notação

Vamos lembrar da primeira visualização que utilizei, a distribuição de altura dos homens adultos de uma cidade fictícia:

ggplot(dataset, aes(altura)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Nesse gráfico, temos a informação de todo o nosso grupo de interesse, sendo, portando, uma representação fiel do evento que estamos observando. Essa é nossa população.

Podemos calcular a média de todas as 10.000 alturas registradas, que seria um valor de 1.75. O desvio padrão (que é uma medida de quão dispersos estão os dados com relação a média) é de 4.5.

Como seria muito custoso efetivamente representar todos os homens adultos de uma cidade, uma amostra foi feita com 1000 homens, com a seguinte distribuição:

ggplot(dados_amostragem, aes(altura)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Visualmente, você poderia dizer que a média da amostra é a mesma que a média da população? E o desvio padrão? (Não se preocupe se não conseguir visualizar isso de imediato! Buscarei ao máximo em te dar essa habilidade ao longo desta seção!)

Sempre que falo de valores populacionais, posso me referir a eles de forma matemática com o operador de esperança. Ou seja, caso eu deseja estimar o valor médio de um conjunto de observações em uma população, bastaria eu escrever o seguinte:

\[ E(X) = ? \]

Eu não tinha os dados populacionais disponíveis no meu caso acima? Então a esperança é exatamente a média que eu calculei da população!

\[ E(X) = 1.75 \]

Mas vamos continuar supondo que eu não tenha esse valor acessível. A amostra apresenta uma média minimamente semelhante a populacional?

Como demonstrei, podemos estimar o valor populacional (verdadeiro), com uma amostra menor. Essa estimação não será perfeita, mas será uma ótima estimativa do valor populacional sem muito custo. Uma forma de escrever isso é:

\[ E(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i = \bar{X} \] A média aritmética de uma amostra é uma aproximação da média populacional. Lembra que nosso valor central da amostra era próximo de 1.75m? O valor central da população também é!

Outra estatística de ponto (que retorna um valor unico com base na combinação de variáveis) que podemos calcular é a variância. A ideia dessa medida é ver o quão distante da média estão concentradas as informações. (A dica é ver o que está entre parênteses.)

\[ Var(X) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) ^2 = \sigma^2 \]

Se os valores de \(X_i\) forem todos iguais a média, o que acontece com a variância? Ela é igual a zero! Quer dizer que quanto mais distantes os valores forem da média, maior será o valor da variância.

A título de transparência, vou calcular a média e a variância da nossa amostra anterior. Os dados utilizados são esses, com cada linha sendo uma medida de altura coletada de um adulto:

dados_amostragem %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
altura numero_de_ordem
179.1 2369
171.0 5273
179.9 9290
173.3 1252
174.3 8826
180.3 356
178.7 7700
177.8 3954
166.1 9091
167.9 5403
179.1 932
177.0 9189
176.7 5637
171.3 4002
178.8 9052
170.4 259
169.6 5434
174.0 481
172.7 7326
177.6 8491
174.7 2454
176.2 9028
171.2 9174
176.8 7789
171.6 5468
177.0 6341
178.0 9732
176.8 2274
167.0 2552
178.0 727
169.4 945
177.8 626
174.5 4358
181.4 6534
172.8 1396
178.3 5123
173.6 2818
168.7 9207
167.3 517
171.6 8225
172.7 9970
170.5 103
169.4 5348
175.4 7146
176.3 9545
176.7 1693
172.1 4172
174.5 5897
175.3 5611
167.7 3619
177.9 16
179.4 5445
190.7 988
167.2 7810
179.9 8274
174.9 9106
175.8 2344
178.1 149
175.8 7140
180.0 5689
177.9 100
173.1 2346
180.2 2450
181.3 91
174.7 6925
169.6 7349
179.8 5174
176.8 6995
173.6 4816
181.7 5878
178.8 9501
171.1 6782
170.6 8619
181.0 6586
181.5 5232
177.2 4680
179.5 7453
180.9 951
183.5 8102
170.8 9729
171.5 5261
171.0 1925
173.6 4407
166.9 2859
174.0 9770
173.6 4856
176.5 1889
177.9 9467
179.6 9955
173.4 1907
171.2 8895
168.2 3310
167.1 6670
181.5 2310
172.8 4395
177.4 7614
186.3 8946
175.3 4895
173.6 6050
176.0 2910
182.2 1248
175.8 7382
177.9 4390
167.7 607
176.5 2831
177.3 8738
181.3 2474
170.0 2236
167.8 8446
175.0 8460
176.0 4736
174.7 3482
177.0 2089
170.3 7361
176.1 8856
182.0 1122
175.5 6681
170.2 162
172.0 636
178.1 2754
175.5 9823
166.4 5664
173.5 3995
167.8 5817
174.2 4892
171.4 6774
172.1 3109
176.5 9354
176.2 2821
180.0 4174
176.1 4622
180.3 3740
173.6 3169
167.1 6627
178.8 3546
174.0 1151
186.6 3565
179.7 5675
178.7 7860
174.4 3578
173.6 4433
176.5 4027
178.0 4635
173.5 3252
176.4 9803
171.7 5521
174.7 1293
174.6 2015
179.9 1406
172.2 3196
176.1 7231
174.5 2609
177.3 4669
176.1 7796
172.4 8081
174.4 4001
172.5 2
183.4 8863
184.4 7816
173.5 8963
171.5 8933
177.1 2317
173.0 8897
180.6 8862
174.9 5683
170.3 4540
174.4 7727
179.8 3270
175.2 5130
164.0 1225
177.5 5865
168.9 1945
169.0 7683
176.2 4277
171.5 8943
178.5 5404
178.9 5884
176.4 463
168.3 6749
180.3 9529
175.5 2132
170.4 3958
168.5 5080
172.5 8417
180.1 9318
184.3 4585
174.6 3734
171.0 7066
176.7 6100
176.6 3071
174.1 9423
179.4 9301
172.0 1954
172.8 4249
178.6 7105
173.9 6030
173.1 49
169.4 156
178.6 9783
176.2 2218
168.3 4388
171.6 4244
171.4 2767
175.4 5959
174.8 3185
181.5 7195
170.6 2654
177.6 2693
178.3 8084
178.9 3698
176.4 5003
180.5 4828
179.4 3945
175.2 1939
164.6 9429
175.6 5412
170.7 7594
177.9 9177
178.7 2486
168.8 5947
171.0 4721
173.4 542
171.9 6843
172.0 7110
177.3 3631
176.2 5225
166.0 5322
169.7 7538
176.5 1975
173.6 6535
174.2 4494
174.8 6412
178.7 5642
178.0 7289
175.9 1625
180.5 3359
168.0 4955
169.2 1488
179.1 868
171.5 8568
173.1 8472
174.0 7078
178.4 981
177.9 5524
178.6 8907
177.4 8186
181.6 5345
167.0 9564
172.0 605
180.5 1828
179.2 3936
171.0 7526
176.5 4032
178.5 2813
174.0 4743
175.4 5893
173.9 928
177.5 978
175.6 2983
176.0 5498
165.8 1078
174.5 6531
172.8 7380
173.1 6891
176.1 3337
182.9 9873
177.2 3783
178.3 4060
180.7 9625
180.3 3731
179.4 335
179.7 9463
170.5 6275
176.3 9366
172.2 5181
174.2 5140
175.8 4778
180.6 7522
173.8 9175
176.8 4625
175.3 9427
175.8 7342
175.5 6417
181.3 94
173.5 6323
174.5 2352
174.0 5050
176.6 5956
176.3 8665
169.3 9562
172.7 9447
168.9 5486
171.9 3188
169.2 6252
173.9 601
174.1 3614
183.0 2151
173.2 8947
171.3 1282
170.5 4006
181.8 7561
177.6 9400
171.5 4939
171.1 9606
176.8 197
173.9 1216
176.7 9776
185.1 1217
178.6 5545
171.5 1073
179.0 6604
171.0 5142
176.6 3841
172.1 5497
175.6 8324
172.4 2101
172.2 1083
180.9 6981
173.4 2750
177.3 9620
175.3 6231
173.9 228
169.5 2041
172.9 1593
169.5 1198
180.5 4099
166.0 9897
176.4 6282
168.3 4577
174.7 9013
176.4 7013
174.0 6086
177.3 1774
174.5 8900
170.7 1499
173.6 2953
181.5 3159
174.4 2544
177.4 2266
170.1 6476
175.5 110
177.0 1143
176.6 619
170.1 8919
173.8 27
179.4 8784
182.2 1134
175.0 1753
173.8 7068
172.0 4623
178.7 9533
175.5 4363
171.8 5485
181.1 3658
175.2 2541
171.0 5967
177.7 3409
179.4 2148
165.2 1734
179.8 3530
174.1 1020
182.2 1236
176.3 1535
174.9 1616
170.7 6672
169.8 5875
172.5 6968
174.9 4839
173.0 9768
178.0 925
176.9 5806
176.2 4254
173.1 7085
168.0 1251
173.2 6698
181.9 4194
180.8 7591
178.3 4916
177.9 5333
169.9 1333
175.9 6827
175.7 8126
178.3 826
171.5 6569
182.2 4076
173.8 1468
167.8 5586
170.0 4847
177.2 1057
176.2 3979
182.3 5805
179.3 2446
173.8 2022
168.0 5421
181.0 9472
167.4 6270
172.2 8739
171.6 1581
180.3 3216
166.5 8179
174.5 8429
174.3 5369
166.3 4861
174.7 8695
171.4 8173
170.8 3174
185.9 7112
173.8 8058
181.1 8287
172.2 6053
169.9 3031
165.2 2281
167.5 1018
178.4 331
170.8 1185
171.9 3140
179.6 4924
171.4 4711
180.6 8683
167.3 8330
170.9 8904
174.5 3036
167.3 8877
165.4 3156
181.8 3767
180.0 8200
171.1 9056
167.8 8067
170.2 4201
168.2 4272
178.7 7755
171.0 6674
174.1 5432
182.6 5842
172.1 8945
176.3 7162
177.8 4848
173.2 2312
172.1 9330
173.3 3279
176.5 1853
170.3 8355
170.6 5744
175.5 9248
175.6 8758
177.5 490
173.0 3490
174.4 9227
174.1 589
176.3 9609
172.1 6400
183.7 8538
181.6 722
175.7 273
167.9 8231
175.9 8610
175.3 4300
174.5 9559
176.1 2708
176.3 8666
177.5 9802
172.5 4616
169.5 7444
183.0 8860
167.0 1390
173.0 6241
175.5 1720
181.5 9915
172.8 9202
173.6 2117
178.4 1450
176.3 1283
175.6 2066
179.5 242
180.3 7560
171.4 7656
177.1 5268
174.3 1843
175.6 2722
173.5 9493
174.8 8372
181.3 9811
173.4 3155
172.6 747
174.5 3666
179.4 938
172.2 7325
171.6 5538
178.7 6934
187.3 900
173.2 236
178.4 2423
173.9 3732
178.9 4787
177.7 4391
173.1 2569
169.2 9023
171.6 1726
172.6 6675
165.3 4117
170.5 1387
180.8 959
167.4 2540
177.5 2420
174.5 3975
167.3 3164
172.3 4516
173.7 6841
170.1 9987
170.1 5786
178.5 4153
171.3 7893
175.2 1256
180.7 4899
167.6 7778
181.3 4905
167.4 348
174.3 8586
177.8 2912
173.2 9550
180.8 5185
181.5 3662
175.6 1919
176.8 8250
169.9 7925
171.0 8672
174.8 9195
171.8 4607
170.3 6302
173.7 2419
176.9 757
179.9 4450
183.6 6115
172.7 2732
181.2 7714
172.9 8187
177.7 9818
170.7 816
166.4 530
167.5 5270
181.7 8753
176.7 2772
172.7 8222
173.3 7752
171.6 7091
177.8 9135
173.7 7641
174.4 1540
177.6 6044
163.5 1065
175.3 5473
165.6 2758
168.0 910
178.6 4745
173.1 6236
171.5 415
178.7 9886
173.2 454
170.4 9814
170.6 4593
172.7 6411
176.3 4041
179.5 9067
174.6 7827
182.6 8097
171.2 3435
172.8 1778
169.3 4321
176.9 4919
173.0 4642
184.6 1765
164.9 6967
174.0 5010
172.9 3900
176.6 3023
173.5 8263
175.9 8202
172.4 1991
170.7 2904
171.0 8981
178.9 8255
169.9 1266
179.0 8681
177.3 35
174.7 6403
166.0 4297
180.9 7104
173.7 7679
176.3 9005
170.8 3163
174.3 3869
176.2 487
178.6 6442
177.4 4113
178.8 4578
185.0 2580
170.2 1457
188.7 9866
176.8 4056
177.4 9629
170.8 5578
175.2 7280
176.9 9586
172.6 3178
174.1 3207
176.4 7705
184.2 2584
181.3 5887
171.2 3906
178.5 8484
173.0 8116
172.9 3055
171.2 2801
177.8 9361
180.5 7248
185.2 9482
178.7 8884
178.3 5630
173.6 6339
167.9 7822
176.9 8137
175.4 5815
175.1 6089
172.9 750
162.9 4675
170.1 7459
171.4 1505
171.2 4796
175.1 1829
174.2 1878
184.1 2436
185.1 2333
176.4 8584
173.6 3372
172.5 7468
168.6 9327
174.0 9304
179.2 7875
177.5 4227
177.8 2714
174.2 2988
175.2 8941
177.5 6577
174.7 7471
175.4 1627
178.6 2195
176.3 2966
170.1 2153
169.6 1789
173.7 1714
176.4 9612
175.0 324
176.5 2130
166.6 5694
174.6 4195
174.0 3882
167.4 8345
166.3 4775
175.2 9277
167.3 3931
173.7 9998
178.8 1536
171.5 8087
177.8 7754
167.6 7061
177.7 4166
168.0 7092
169.2 4508
177.4 2824
173.0 3743
172.2 2341
177.4 6458
171.8 5459
160.6 2644
179.8 2059
178.4 1883
170.3 3825
167.3 1464
167.6 374
178.0 6303
183.5 2228
174.6 9951
179.8 8381
166.9 1981
171.7 65
174.5 1553
169.2 5163
179.5 7128
178.0 6689
174.4 594
174.9 3582
179.1 69
169.7 720
170.2 5389
167.2 1400
179.8 5363
170.5 2698
173.5 6762
180.7 7415
178.2 4732
175.0 6737
172.9 7682
165.3 5839
176.9 855
174.0 8064
181.2 9819
174.8 2362
176.3 9871
176.1 5392
177.9 6218
179.5 983
177.0 7414
183.1 6409
171.2 5790
177.7 3166
166.0 201
171.3 293
170.2 3428
178.6 8678
172.5 3682
178.0 3139
169.0 3570
184.3 1809
184.3 6488
173.2 2034
170.0 6347
176.1 4104
180.7 5173
173.7 7060
172.8 9986
173.7 7926
164.3 5053
180.6 3223
173.5 1848
165.2 417
171.1 444
177.6 5240
167.4 1555
165.5 9040
175.1 5364
175.7 6578
174.5 6005
167.0 1482
172.6 1014
179.3 5197
163.5 3180
169.4 309
187.2 118
170.2 5415
173.7 3772
176.7 2725
171.9 3251
171.6 4661
170.5 9391
172.8 6205
174.2 6645
179.4 262
175.4 5018
175.4 6713
172.8 2556
173.5 7507
172.2 2174
172.7 696
182.7 9430
178.4 8595
174.0 3573
172.5 9352
177.4 5753
179.3 1330
174.5 84
177.8 3086
174.1 8802
180.2 6497
171.5 7158
176.0 7598
177.7 3335
177.0 5158
178.2 8812
177.5 8138
170.0 4377
179.5 1438
171.7 5019
163.1 8851
175.5 5290
176.6 6461
172.3 5321
170.5 406
175.7 1115
172.4 1608
178.4 1399
171.2 1040
176.7 1096
172.8 5783
168.0 6864
176.8 7157
171.9 5469
169.7 4281
168.4 586
159.8 980
175.8 896
178.1 1170
171.0 3784
176.7 7269
177.2 7319
173.1 4346
180.5 9389
177.3 6903
175.3 2529
179.1 2975
178.8 7132
182.9 6326
177.8 73
176.2 4897
178.6 6033
181.1 8582
173.7 1747
169.9 3745
177.0 8843
174.2 4416
181.8 2139
172.7 7219
179.2 4533
169.9 7255
173.9 7989
175.0 7379
172.3 1327
170.9 5409
175.6 5528
180.8 3656
176.7 1378
169.0 929
170.1 1758
169.5 9384
180.4 101
178.0 4351
184.3 7595
175.9 3291
182.1 4785
177.5 8017
173.6 825
169.9 6528
176.7 7417
179.7 2843
168.6 8659
175.4 9641
175.8 6001
176.6 1697
167.2 2990
173.5 1479
175.5 7912
176.6 4132
173.2 3769
171.8 6740
175.7 1239
174.8 7955
168.6 4783
172.9 8441
178.2 6082
179.8 7270
175.1 7102
174.2 6759
172.8 9483
173.9 8557
177.4 9784
174.7 9333
172.3 1458
174.9 3690
169.7 7575
175.4 8333
167.9 360
176.7 6772
169.3 3749
168.2 1361
177.8 5769
172.3 424
174.1 5523
190.0 9920
178.3 353
176.8 1420
175.8 1133
174.5 9146
167.8 4133
177.5 2455
175.2 795
172.0 5023
177.4 9230
166.9 9727
168.7 9539
164.1 3534
181.0 1678
171.9 7646
181.4 4546
175.1 2229
177.9 746
177.0 7491
171.6 312
172.1 7580
168.9 6620
168.6 4288
173.2 9717
186.0 9774
173.2 2998
176.0 3026
174.2 1417
166.6 4221
182.4 5448
177.1 3848
177.0 8395
177.0 1200
175.3 1986
173.2 5721
170.9 4462
174.3 8224
180.5 8804
176.4 4656
175.7 9657
178.9 3818
164.0 19
172.8 7127
173.4 7542
179.2 1844
170.3 1851
178.9 298
174.9 7872
167.7 2949
180.6 8149
172.8 4538
176.5 6711
177.2 4206
173.1 9650
164.3 5212
169.2 1274
175.2 216
172.8 716
172.6 7450
175.7 2406
169.2 2977
175.1 1372
179.9 3693
174.3 297
174.4 1036
172.1 5639
179.5 5638
171.8 3219
172.1 8434
176.6 9026
172.3 4936
175.4 1953
178.2 8494
167.3 5758
173.9 6150
180.9 467
175.7 5796
174.3 3605
180.4 897
170.0 4797
169.6 527
180.5 1754
173.1 2715
170.0 7801
181.1 350
174.4 1502
169.6 233
182.5 8184
177.0 3262
174.8 1382
171.1 939
177.5 1222
174.8 2448
169.5 9235
174.0 9678
180.8 6311
173.7 1454
173.6 8047
183.8 8495
173.9 8938
168.7 7346
165.7 5087
176.1 239
173.7 1012
170.1 4695
168.9 119
175.3 9395
166.5 8707
172.0 9137
169.7 1301
171.3 9795
173.7 7839
177.9 6970
181.0 5833
173.3 6251
173.5 9237
172.3 1006
178.8 9356
176.0 6469
179.9 7600
172.1 8702
176.8 5285
184.3 2854
171.1 8085

A média é simplesmente a soma de todos os valores, que resulta em 174700.4. Dividindo esse valor por 1000, que é a quantidade de observações (n), temos uma média de 174.7!

Com base nisso, pra cada valor de X, subtraímos a média e elevamos essa diferença ao quadrado:

dados_amostragem[, altura_menos_media := altura - 174.89]
dados_amostragem[, altura_menos_media_ao_quadrado := altura_menos_media ^ 2]

dados_amostragem %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
altura numero_de_ordem altura_menos_media altura_menos_media_ao_quadrado
179.1 2369 4.21 17.7241
171.0 5273 -3.89 15.1321
179.9 9290 5.01 25.1001
173.3 1252 -1.59 2.5281
174.3 8826 -0.59 0.3481
180.3 356 5.41 29.2681
178.7 7700 3.81 14.5161
177.8 3954 2.91 8.4681
166.1 9091 -8.79 77.2641
167.9 5403 -6.99 48.8601
179.1 932 4.21 17.7241
177.0 9189 2.11 4.4521
176.7 5637 1.81 3.2761
171.3 4002 -3.59 12.8881
178.8 9052 3.91 15.2881
170.4 259 -4.49 20.1601
169.6 5434 -5.29 27.9841
174.0 481 -0.89 0.7921
172.7 7326 -2.19 4.7961
177.6 8491 2.71 7.3441
174.7 2454 -0.19 0.0361
176.2 9028 1.31 1.7161
171.2 9174 -3.69 13.6161
176.8 7789 1.91 3.6481
171.6 5468 -3.29 10.8241
177.0 6341 2.11 4.4521
178.0 9732 3.11 9.6721
176.8 2274 1.91 3.6481
167.0 2552 -7.89 62.2521
178.0 727 3.11 9.6721
169.4 945 -5.49 30.1401
177.8 626 2.91 8.4681
174.5 4358 -0.39 0.1521
181.4 6534 6.51 42.3801
172.8 1396 -2.09 4.3681
178.3 5123 3.41 11.6281
173.6 2818 -1.29 1.6641
168.7 9207 -6.19 38.3161
167.3 517 -7.59 57.6081
171.6 8225 -3.29 10.8241
172.7 9970 -2.19 4.7961
170.5 103 -4.39 19.2721
169.4 5348 -5.49 30.1401
175.4 7146 0.51 0.2601
176.3 9545 1.41 1.9881
176.7 1693 1.81 3.2761
172.1 4172 -2.79 7.7841
174.5 5897 -0.39 0.1521
175.3 5611 0.41 0.1681
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175.5 4363 0.61 0.3721
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174.9 4839 0.01 0.0001
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179.8 2059 4.91 24.1081
178.4 1883 3.51 12.3201
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174.5 1553 -0.39 0.1521
169.2 5163 -5.69 32.3761
179.5 7128 4.61 21.2521
178.0 6689 3.11 9.6721
174.4 594 -0.49 0.2401
174.9 3582 0.01 0.0001
179.1 69 4.21 17.7241
169.7 720 -5.19 26.9361
170.2 5389 -4.69 21.9961
167.2 1400 -7.69 59.1361
179.8 5363 4.91 24.1081
170.5 2698 -4.39 19.2721
173.5 6762 -1.39 1.9321
180.7 7415 5.81 33.7561
178.2 4732 3.31 10.9561
175.0 6737 0.11 0.0121
172.9 7682 -1.99 3.9601
165.3 5839 -9.59 91.9681
176.9 855 2.01 4.0401
174.0 8064 -0.89 0.7921
181.2 9819 6.31 39.8161
174.8 2362 -0.09 0.0081
176.3 9871 1.41 1.9881
176.1 5392 1.21 1.4641
177.9 6218 3.01 9.0601
179.5 983 4.61 21.2521
177.0 7414 2.11 4.4521
183.1 6409 8.21 67.4041
171.2 5790 -3.69 13.6161
177.7 3166 2.81 7.8961
166.0 201 -8.89 79.0321
171.3 293 -3.59 12.8881
170.2 3428 -4.69 21.9961
178.6 8678 3.71 13.7641
172.5 3682 -2.39 5.7121
178.0 3139 3.11 9.6721
169.0 3570 -5.89 34.6921
184.3 1809 9.41 88.5481
184.3 6488 9.41 88.5481
173.2 2034 -1.69 2.8561
170.0 6347 -4.89 23.9121
176.1 4104 1.21 1.4641
180.7 5173 5.81 33.7561
173.7 7060 -1.19 1.4161
172.8 9986 -2.09 4.3681
173.7 7926 -1.19 1.4161
164.3 5053 -10.59 112.1481
180.6 3223 5.71 32.6041
173.5 1848 -1.39 1.9321
165.2 417 -9.69 93.8961
171.1 444 -3.79 14.3641
177.6 5240 2.71 7.3441
167.4 1555 -7.49 56.1001
165.5 9040 -9.39 88.1721
175.1 5364 0.21 0.0441
175.7 6578 0.81 0.6561
174.5 6005 -0.39 0.1521
167.0 1482 -7.89 62.2521
172.6 1014 -2.29 5.2441
179.3 5197 4.41 19.4481
163.5 3180 -11.39 129.7321
169.4 309 -5.49 30.1401
187.2 118 12.31 151.5361
170.2 5415 -4.69 21.9961
173.7 3772 -1.19 1.4161
176.7 2725 1.81 3.2761
171.9 3251 -2.99 8.9401
171.6 4661 -3.29 10.8241
170.5 9391 -4.39 19.2721
172.8 6205 -2.09 4.3681
174.2 6645 -0.69 0.4761
179.4 262 4.51 20.3401
175.4 5018 0.51 0.2601
175.4 6713 0.51 0.2601
172.8 2556 -2.09 4.3681
173.5 7507 -1.39 1.9321
172.2 2174 -2.69 7.2361
172.7 696 -2.19 4.7961
182.7 9430 7.81 60.9961
178.4 8595 3.51 12.3201
174.0 3573 -0.89 0.7921
172.5 9352 -2.39 5.7121
177.4 5753 2.51 6.3001
179.3 1330 4.41 19.4481
174.5 84 -0.39 0.1521
177.8 3086 2.91 8.4681
174.1 8802 -0.79 0.6241
180.2 6497 5.31 28.1961
171.5 7158 -3.39 11.4921
176.0 7598 1.11 1.2321
177.7 3335 2.81 7.8961
177.0 5158 2.11 4.4521
178.2 8812 3.31 10.9561
177.5 8138 2.61 6.8121
170.0 4377 -4.89 23.9121
179.5 1438 4.61 21.2521
171.7 5019 -3.19 10.1761
163.1 8851 -11.79 139.0041
175.5 5290 0.61 0.3721
176.6 6461 1.71 2.9241
172.3 5321 -2.59 6.7081
170.5 406 -4.39 19.2721
175.7 1115 0.81 0.6561
172.4 1608 -2.49 6.2001
178.4 1399 3.51 12.3201
171.2 1040 -3.69 13.6161
176.7 1096 1.81 3.2761
172.8 5783 -2.09 4.3681
168.0 6864 -6.89 47.4721
176.8 7157 1.91 3.6481
171.9 5469 -2.99 8.9401
169.7 4281 -5.19 26.9361
168.4 586 -6.49 42.1201
159.8 980 -15.09 227.7081
175.8 896 0.91 0.8281
178.1 1170 3.21 10.3041
171.0 3784 -3.89 15.1321
176.7 7269 1.81 3.2761
177.2 7319 2.31 5.3361
173.1 4346 -1.79 3.2041
180.5 9389 5.61 31.4721
177.3 6903 2.41 5.8081
175.3 2529 0.41 0.1681
179.1 2975 4.21 17.7241
178.8 7132 3.91 15.2881
182.9 6326 8.01 64.1601
177.8 73 2.91 8.4681
176.2 4897 1.31 1.7161
178.6 6033 3.71 13.7641
181.1 8582 6.21 38.5641
173.7 1747 -1.19 1.4161
169.9 3745 -4.99 24.9001
177.0 8843 2.11 4.4521
174.2 4416 -0.69 0.4761
181.8 2139 6.91 47.7481
172.7 7219 -2.19 4.7961
179.2 4533 4.31 18.5761
169.9 7255 -4.99 24.9001
173.9 7989 -0.99 0.9801
175.0 7379 0.11 0.0121
172.3 1327 -2.59 6.7081
170.9 5409 -3.99 15.9201
175.6 5528 0.71 0.5041
180.8 3656 5.91 34.9281
176.7 1378 1.81 3.2761
169.0 929 -5.89 34.6921
170.1 1758 -4.79 22.9441
169.5 9384 -5.39 29.0521
180.4 101 5.51 30.3601
178.0 4351 3.11 9.6721
184.3 7595 9.41 88.5481
175.9 3291 1.01 1.0201
182.1 4785 7.21 51.9841
177.5 8017 2.61 6.8121
173.6 825 -1.29 1.6641
169.9 6528 -4.99 24.9001
176.7 7417 1.81 3.2761
179.7 2843 4.81 23.1361
168.6 8659 -6.29 39.5641
175.4 9641 0.51 0.2601
175.8 6001 0.91 0.8281
176.6 1697 1.71 2.9241
167.2 2990 -7.69 59.1361
173.5 1479 -1.39 1.9321
175.5 7912 0.61 0.3721
176.6 4132 1.71 2.9241
173.2 3769 -1.69 2.8561
171.8 6740 -3.09 9.5481
175.7 1239 0.81 0.6561
174.8 7955 -0.09 0.0081
168.6 4783 -6.29 39.5641
172.9 8441 -1.99 3.9601
178.2 6082 3.31 10.9561
179.8 7270 4.91 24.1081
175.1 7102 0.21 0.0441
174.2 6759 -0.69 0.4761
172.8 9483 -2.09 4.3681
173.9 8557 -0.99 0.9801
177.4 9784 2.51 6.3001
174.7 9333 -0.19 0.0361
172.3 1458 -2.59 6.7081
174.9 3690 0.01 0.0001
169.7 7575 -5.19 26.9361
175.4 8333 0.51 0.2601
167.9 360 -6.99 48.8601
176.7 6772 1.81 3.2761
169.3 3749 -5.59 31.2481
168.2 1361 -6.69 44.7561
177.8 5769 2.91 8.4681
172.3 424 -2.59 6.7081
174.1 5523 -0.79 0.6241
190.0 9920 15.11 228.3121
178.3 353 3.41 11.6281
176.8 1420 1.91 3.6481
175.8 1133 0.91 0.8281
174.5 9146 -0.39 0.1521
167.8 4133 -7.09 50.2681
177.5 2455 2.61 6.8121
175.2 795 0.31 0.0961
172.0 5023 -2.89 8.3521
177.4 9230 2.51 6.3001
166.9 9727 -7.99 63.8401
168.7 9539 -6.19 38.3161
164.1 3534 -10.79 116.4241
181.0 1678 6.11 37.3321
171.9 7646 -2.99 8.9401
181.4 4546 6.51 42.3801
175.1 2229 0.21 0.0441
177.9 746 3.01 9.0601
177.0 7491 2.11 4.4521
171.6 312 -3.29 10.8241
172.1 7580 -2.79 7.7841
168.9 6620 -5.99 35.8801
168.6 4288 -6.29 39.5641
173.2 9717 -1.69 2.8561
186.0 9774 11.11 123.4321
173.2 2998 -1.69 2.8561
176.0 3026 1.11 1.2321
174.2 1417 -0.69 0.4761
166.6 4221 -8.29 68.7241
182.4 5448 7.51 56.4001
177.1 3848 2.21 4.8841
177.0 8395 2.11 4.4521
177.0 1200 2.11 4.4521
175.3 1986 0.41 0.1681
173.2 5721 -1.69 2.8561
170.9 4462 -3.99 15.9201
174.3 8224 -0.59 0.3481
180.5 8804 5.61 31.4721
176.4 4656 1.51 2.2801
175.7 9657 0.81 0.6561
178.9 3818 4.01 16.0801
164.0 19 -10.89 118.5921
172.8 7127 -2.09 4.3681
173.4 7542 -1.49 2.2201
179.2 1844 4.31 18.5761
170.3 1851 -4.59 21.0681
178.9 298 4.01 16.0801
174.9 7872 0.01 0.0001
167.7 2949 -7.19 51.6961
180.6 8149 5.71 32.6041
172.8 4538 -2.09 4.3681
176.5 6711 1.61 2.5921
177.2 4206 2.31 5.3361
173.1 9650 -1.79 3.2041
164.3 5212 -10.59 112.1481
169.2 1274 -5.69 32.3761
175.2 216 0.31 0.0961
172.8 716 -2.09 4.3681
172.6 7450 -2.29 5.2441
175.7 2406 0.81 0.6561
169.2 2977 -5.69 32.3761
175.1 1372 0.21 0.0441
179.9 3693 5.01 25.1001
174.3 297 -0.59 0.3481
174.4 1036 -0.49 0.2401
172.1 5639 -2.79 7.7841
179.5 5638 4.61 21.2521
171.8 3219 -3.09 9.5481
172.1 8434 -2.79 7.7841
176.6 9026 1.71 2.9241
172.3 4936 -2.59 6.7081
175.4 1953 0.51 0.2601
178.2 8494 3.31 10.9561
167.3 5758 -7.59 57.6081
173.9 6150 -0.99 0.9801
180.9 467 6.01 36.1201
175.7 5796 0.81 0.6561
174.3 3605 -0.59 0.3481
180.4 897 5.51 30.3601
170.0 4797 -4.89 23.9121
169.6 527 -5.29 27.9841
180.5 1754 5.61 31.4721
173.1 2715 -1.79 3.2041
170.0 7801 -4.89 23.9121
181.1 350 6.21 38.5641
174.4 1502 -0.49 0.2401
169.6 233 -5.29 27.9841
182.5 8184 7.61 57.9121
177.0 3262 2.11 4.4521
174.8 1382 -0.09 0.0081
171.1 939 -3.79 14.3641
177.5 1222 2.61 6.8121
174.8 2448 -0.09 0.0081
169.5 9235 -5.39 29.0521
174.0 9678 -0.89 0.7921
180.8 6311 5.91 34.9281
173.7 1454 -1.19 1.4161
173.6 8047 -1.29 1.6641
183.8 8495 8.91 79.3881
173.9 8938 -0.99 0.9801
168.7 7346 -6.19 38.3161
165.7 5087 -9.19 84.4561
176.1 239 1.21 1.4641
173.7 1012 -1.19 1.4161
170.1 4695 -4.79 22.9441
168.9 119 -5.99 35.8801
175.3 9395 0.41 0.1681
166.5 8707 -8.39 70.3921
172.0 9137 -2.89 8.3521
169.7 1301 -5.19 26.9361
171.3 9795 -3.59 12.8881
173.7 7839 -1.19 1.4161
177.9 6970 3.01 9.0601
181.0 5833 6.11 37.3321
173.3 6251 -1.59 2.5281
173.5 9237 -1.39 1.9321
172.3 1006 -2.59 6.7081
178.8 9356 3.91 15.2881
176.0 6469 1.11 1.2321
179.9 7600 5.01 25.1001
172.1 8702 -2.79 7.7841
176.8 5285 1.91 3.6481
184.3 2854 9.41 88.5481
171.1 8085 -3.79 14.3641

Fazer essas contas todas na mão seria trabalhoso não é? O que importa é saber como fazer, e de resto deixar pro computador trabalhar por você!

Calculamos o quadrado da diferença entre altura e média, agora é só somar tudo e dividir por n mais uma vez, resultando em 20.16. Isso quer dizer que, em média, a altura varia em torno da média \(20cm^2\). Note que eu usei centímetros quadrados para me referir a variância, mas isso não nos dá muita interpretabilidade não é mesmo? Pra isso, podemos usar o desvio padrão, que é uma medida de variação mais fácil de interpretar e com um cálculo bem simples:

\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]

Sim, basta fazer a raiz quadrada da variância que teremos o desvio padrão! Nesse caso, o desvio padrão dos dados é de 4.49cm. Ou seja, em nossa amostra, os homens se concentram mais no intervalo de 170cm e 178cm de altura!

A estimativa de média amostral é um bom estimador pra média populacional? No caso da altura, um erro tão pequeno de 1cm não parece muito grave não é mesmo?

Agora quero demonstrar uma variação do que pode ser alvançado com a estatística: se amostrássemos repetidas vezes a população, o que cada amostra nos diria sobre o valor populacional?

Aquele mesmo processo que fiz para selecionar aleatoriamente 1000 homens adultos é chamado de amostragem, lembra? Vou fazer esse mesmo processo 10.000 vezes e calcular a média de cada uma dessas amostras (o motivo de eu fazer isso é bem legal). O resultado de cada uma dessas vezes é o seguinte:

set.seed(42)
medias <- data.table(media_estimada = replicate(10000, mean(sample(dataset$altura, size = 1000))))

medias %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
media_estimada
174.7004
175.1594
174.8865
174.8795
174.8147
174.8043
174.7831
174.9779
175.0944
174.9438
175.2417
175.0846
175.0090
175.1881
175.1072
174.7834
175.0330
174.5701
175.0400
174.9601
174.9198
174.9043
175.0276
174.9857
175.0658
174.7204
174.9553
175.0435
174.9794
174.9525
175.0422
175.0545
174.9212
174.7531
174.9990
174.9380
175.1529
174.8973
174.7242
174.9797
174.9157
174.7084
174.9303
174.8431
175.2170
174.8657
174.8567
175.1662
174.7771
174.8932
175.0901
174.8557
174.9318
175.0516
175.2717
174.9404
174.9234
175.0188
174.9400
174.9962
174.7305
174.9417
175.1380
174.7901
174.9168
174.8437
174.9479
174.8604
174.9981
175.0277
175.1804
174.8283
175.1846
175.0182
175.1227
174.7483
174.7316
175.0687
175.0751
174.7806
175.0052
174.8638
175.2509
175.2369
175.0119
174.9817
175.0110
175.0967
175.0328
174.9315
175.1542
175.1898
175.0178
175.0972
174.8416
175.0659
175.0624
174.8953
174.8528
175.1925
174.8774
175.1103
174.9829
174.9831
175.2915
175.0420
174.9614
175.2133
174.8502
175.1348
175.0203
174.8332
175.0512
174.7133
175.0092
174.8967
175.0007
175.0570
174.9943
174.5988
175.0415
175.0833
175.0377
175.0149
174.8431
174.6611
174.8545
175.0301
174.9848
175.0445
174.8246
175.1040
174.8306
175.0756
174.7977
174.9554
174.8476
175.0297
174.8380
174.9965
174.8553
175.1100
175.2186
174.9504
175.2446
175.3212
175.0956
175.1348
174.9499
174.8125
174.7166
174.9626
174.7475
175.0489
175.0365
174.9966
175.1277
174.7933
174.7237
175.1154
174.8880
174.8272
174.9495
174.7800
174.8101
174.9329
175.1846
174.9455
175.0376
175.0711
174.9208
174.9402
175.1520
175.1038
174.9469
174.9736
174.7937
175.1035
174.9550
174.8196
174.8718
175.2386
174.9181
174.8075
175.1458
175.0132
174.6830
174.9843
174.9554
174.9830
175.1533
174.8323
174.7986
175.1472
174.7742
174.9633
174.9849
174.9392
174.9712
175.1365
175.0822
174.7916
175.1093
175.0951
174.9842
174.8185
174.9631
174.9855
175.0026
175.0299
175.1208
174.8330
174.7344
174.8839
174.9685
174.9546
174.9930
174.9398
175.0791
174.8601
175.0902
175.1265
174.8739
174.9314
174.8666
174.7606
174.8719
175.0666
174.5840
174.9199
175.1237
174.9022
174.8985
175.0761
175.0083
174.9163
175.1094
174.9345
174.9184
174.9936
174.9202
175.0217
175.0316
175.1020
175.0084
175.0339
175.0044
175.1140
174.9798
174.9618
174.8586
174.9853
174.6217
174.9422
175.1197
175.1040
174.6694
174.9905
174.8630
175.0128
175.1346
174.8220
175.2291
174.7872
175.2536
174.7913
174.9557
175.0973
174.9851
175.1781
175.1199
174.9682
175.0350
174.9608
174.8812
175.0428
174.9276
175.0640
175.0653
174.9411
174.7810
174.9120
174.9986
175.0994
175.0064
175.0967
174.9345
175.1281
174.8893
174.9945
174.7973
175.2984
175.0837
175.1203
174.9490
174.8213
175.0143
174.9070
174.9434
174.9643
174.8030
175.1801
174.8472
174.9007
174.9024
174.9944
174.9408
175.1544
174.9065
175.0739
174.9298
174.9949
174.8269
174.8249
174.6835
174.8601
175.2184
174.8064
175.1081
174.8921
175.0111
174.9557
174.8927
174.9002
175.1233
175.1837
175.1545
175.0911
174.8859
175.1047
174.6877
174.8499
174.9740
174.8073
175.0538
175.0117
175.0134
174.8585
175.0818
174.9483
174.8043
175.3443
174.8761
175.1703
174.7689
175.0200
174.9329
174.9813
174.8722
174.8235
174.6815
174.9997
174.9821
174.7758
174.8754
174.8230
174.7865
174.9927
175.0894
175.2060
174.8730
174.8209
174.9252
174.7231
174.8306
174.9738
174.9621
175.0841
174.9687
174.8747
174.9184
174.7537
174.8804
175.1680
174.7859
175.0576
174.9462
175.0207
174.9651
175.1701
175.0190
174.9994
175.0519
175.1134
175.3321
175.0462
175.0033
175.2195
174.9909
174.8207
174.9593
175.3348
174.8752
175.0845
175.0572
175.0304
175.0246
174.8060
174.9850
175.1116
174.9323
174.8044
175.0461
174.9922
174.8286
175.1358
175.0242
175.0340
174.8834
174.8647
174.9102
175.1844
174.8946
174.9329
175.0243
174.9782
174.9196
174.8536
174.8709
175.1563
174.9425
174.9894
175.0007
175.2075
174.9902
174.7906
174.9442
174.8014
174.9623
174.9468
175.0376
175.1206
174.8107
175.1658
174.9813
174.9275
175.3653
174.9040
174.7613
175.0213
174.8450
174.9402
174.8851
175.0382
175.0720
174.7163
175.1929
175.0538
175.0553
175.1041
174.8505
174.8745
174.8483
174.7704
174.6688
174.9122
175.3823
174.9244
174.8689
174.9995
174.8735
175.0051
175.0671
174.8974
175.0179
174.8659
174.8333
174.8093
174.9010
174.7274
174.9046
175.0235
175.0496
174.7512
174.9272
174.8118
174.6174
174.7694
174.8639
175.1001
174.9947
174.9513
174.9405
175.1734
175.3052
174.8199
174.9873
175.1546
174.6538
174.9841
174.7376
174.9706
175.1662
175.0473
175.1261
175.1784
175.0205
175.1567
174.8924
174.7975
174.7853
174.8483
174.9997
174.6947
174.9993
174.9132
175.2287
175.2035
174.9311
175.0175
175.0760
174.9784
175.0642
174.8200
174.6670
174.8816
174.9633
175.0497
174.9819
174.8699
174.9905
174.6301
175.0376
174.8791
175.0389
175.0297
175.2441
174.8441
174.9091
174.8061
174.9317
174.9479
174.7632
174.8499
174.9517
174.9648
174.9655
175.0770
174.9115
174.9174
175.0724
175.0960
175.0661
174.8758
175.1479
174.9745
174.6275
174.8562
174.9240
175.0598
174.8291
175.0776
174.8887
174.8408
174.9376
174.9669
174.8232
174.7993
174.7871
174.8472
174.8832
174.8390
174.8419
174.8661
174.9808
174.9534
175.2668
174.9101
174.8073
174.8475
175.0042
174.8883
175.3082
174.8305
174.9920
175.0098
175.0648
174.9534
174.9682
174.7421
175.0195
175.2775
174.8265
175.0622
174.8622
174.8786
174.9893
174.9836
174.9895
175.2109
174.6774
174.7930
174.9044
174.8408
174.8716
175.3427
175.0504
174.8866
175.0817
175.0263
174.9103
174.8788
174.7743
174.8774
174.8348
174.8933
174.9933
175.1841
174.9551
175.1360
174.8379
174.9912
174.9590
174.9927
174.8722
175.1043
174.8052
175.2009
175.0151
175.0292
174.9432
175.0499
175.2068
174.8915
175.0392
175.0369
174.6825
175.0902
174.8298
175.1500
175.1604
175.0577
174.9115
174.8888
174.9027
174.8807
174.9250
174.7800
174.8905
175.0812
175.1250
175.2349
175.1487
174.7634
174.9293
174.8582
174.9978
175.0327
174.9716
175.0714
174.6474
175.0816
174.9144
175.1435
175.0016
174.9401
174.8148
175.1752
175.0968
174.8686
174.9209
174.9628
174.9834
174.8656
174.8117
175.0695
174.8652
174.9714
174.9092
174.8457
175.0847
175.0683
174.9368
175.0648
174.9562
175.0991
175.1891
174.9318
174.9028
174.9911
174.8324
175.2389
175.0090
174.8550
174.8744
174.7137
174.9799
175.0211
174.8061
174.8585
174.8695
175.0584
174.9615
174.9804
175.0325
174.6917
175.0418
174.8643
174.8450
174.9465
174.9791
175.1644
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174.9073
174.8420
174.9078
174.8321
175.0470
174.9168
174.7237
175.0705
174.9739
175.0746
174.9671
175.0618
175.0533
174.8640
174.8188
174.9593
174.8376
175.2293
174.9210
175.0298
175.0790
174.9122
175.0519
174.9721
174.9601
174.9004
174.9853
174.9865
174.8098
174.9301
174.9709
174.9914
175.0151
175.0692
174.8090
175.0994
174.9438
175.1560
174.8667
175.2223
174.8996
174.5911
175.1046
174.9956
174.9551
174.9817
174.9615
174.7197
174.9771
174.9922
174.8403
174.9806
174.9504
175.0227
174.9904
174.8538
175.0390
174.8798
174.9120
174.8462
174.9737
175.0152
175.1170
174.8127
174.9914
175.0271
175.0031
175.0762
175.1683
174.9979
175.0386
174.9579
174.8915
174.9239
174.8411
174.9710
174.6914
175.2175
174.9559
174.9461
174.6131
174.9102
175.2178
174.8297
174.9321
175.0248
174.9601
174.9867
175.0792
174.8271
174.9982
174.8029
175.0456
175.0748
174.7688
174.6852
174.9479
174.7799
174.8337
175.0334
174.9221
174.8153
174.8617
174.9992
174.9793
174.8643
175.0085
175.0839
174.9060
174.9083
174.8612
174.8746
175.0619
174.9430
174.9490
174.9496
174.9384
175.0028
174.8151
174.8477
175.1031
174.9185
174.8741
175.0156
175.0972
175.1038
174.9863
174.8236
174.7352
174.9156
175.0600
175.2084
175.0162
174.8440
174.8815
174.6316
174.9875
174.9759
175.0538
175.0429
175.1537
174.9453
175.2399
175.1457
175.0523
174.9738
174.9128
174.9506
174.8768
175.1716
174.9801
174.7718
175.0467
175.0728
174.8926
174.9938
174.9321
175.0556
175.2939
175.2628
174.8868
174.9857
174.9099
175.0272
174.9910
174.7561
175.1619
174.8564
175.0612
175.0001
175.1516
175.1022
174.9428
174.9303
174.8309
174.8115
174.8948
174.9129
174.8663
174.9039
174.9112
175.0060
174.9513
175.2020
175.1562
175.1282
175.1117
175.0360
174.8351
174.9436
174.9018
174.9421
175.1308
174.9822
175.1270
174.7842
174.9759
174.9414
175.1484
174.8975
175.0285
174.7386
174.9341
175.0768
175.0325
175.0747
175.0411
174.7363
174.9740
174.9224
174.8096
174.6156
174.9063
174.9700
175.0090
174.9231
174.8243
175.2176
174.8606
174.7629
175.0843
174.9980
174.9212
174.7499
175.2456
175.0062
175.1999
174.9112
175.0567
175.0264
174.8582
175.0143
175.1343
174.8886
174.9570
174.9556
175.0301
174.9940
175.0405
174.8735
175.1814
174.9864
174.9560
175.0672
174.8855
175.1304
174.8858
174.8135
174.9275
174.7696
175.2791
174.9145
174.9906
174.9308
174.9327
174.7980
174.8842
175.3144
174.8375
174.9277
174.9908
175.0164
174.9563
175.1191
175.0532
174.6803
175.0227
174.8785
174.9154
174.7921
174.9535
175.1421
175.0272
175.0757
174.9161
174.9382
174.9784
174.9225
175.0214
174.9250
175.0005
175.0757
175.0199
174.8485
175.0728
174.9085
174.7911
175.0800
175.0074
174.8667
174.9732
174.9323
174.9998
174.9676
174.9205
174.6260
175.0521
175.0291
174.7823
175.2367
175.1813
174.7862
174.9750
175.1257
174.9705
174.7403
174.9038
174.9337
174.7529
174.9401
174.8793
175.1025
174.8564
175.0286
174.8446
175.1295
174.9946
174.8637
175.0227
174.9119
174.8648
175.3241
174.8224
175.0466
175.0203
175.0239
174.9680
174.9646
175.1100
174.8360
175.1211
175.0227
174.8155
175.1320
174.9794
174.9029
174.8387
175.1193
175.1690
174.8956
175.0654
174.8469
175.1905
174.9777
174.5802
175.0341
174.9530
175.0726
174.9354
174.8283
174.9167
174.8922
175.1667
175.0885
174.8541
174.6433
174.8502
174.7077
174.8898
174.9818
174.9019
174.9837
175.1252
175.1512
175.0449
174.9832
174.7931
174.8025
174.9743
175.0278
174.8702
175.2119
175.0685
174.7890
175.0228
174.8165
174.9543
175.0068
175.0616
174.9432
174.9226
174.9870
175.0987
174.8018
174.8560
174.7936
174.9480
174.9376
175.0366
175.2440
174.9561
174.8051
174.8322
175.1456
174.8162
175.0964

Eu posso representar a distribuição de todos esses dados! A visualização seria a seguinte:

ggplot(medias, aes(media_estimada)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição da média estimada em cada amostra", x = "Valor médio de altura", y = "Vezes que essa média foi estimada") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Esse gráfico me permite introduzir precisamente o que venho falado ao longo do capítulo. Na ausência de conhecer tudo que é possível conhecer (no caso perguntar pra todos os moradores homens as suas alturas), podemos estimar um valor e dar uma confiança para nossa estimativa. Sem conhecer a população, você poderia afirmar com 100% de certeza que a média de altura é 1.75? Não! Mas a média é algo próximo a isso!

Se eu pegar o intervalo de 174.75 e 175.25 posso afirmar com 95% de certeza que a média está dentro desse intervalo! Existe uma forma que me permite calcular exatamente isso com apenas a primeira amostra! Essa estimativa se chama erro padrão da média, e pode ser calculado da forma:

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]

Ora, temos todos os valores necessários para calcular isso! O desvio padrão da nossa amostra foi de 4.4879083, como selecionamos 1.000 homens, o tamanho da amostra é de 1.000. Então:

\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4.4879083}{\sqrt{1000}} = \frac{4.4879083}{31.62278} = 0.14 \]

Então o erro padrão da média é de aproximadamente 0.14, como a média é de 174.7004, podemos dizer que a média populacional está entre 174.5604 e 174.8404! (Nesse caso, ainda não introduzi incerteza, mas vamos devagar!)

Passei a seção inteira apresentando a premissa de como usar estatística para nosso objetivo com a econometria. Tradicionalmente, todo método econométrico (paramétrico), visa estimar um valor populacional, utilizando uma amostra como estimador do valor populacional. A média é uma medida muito simples de calcular, mas não é a única! Veremos a frente o que mais pode ser feito com uma amostra.

2.3 Variância, covariância e correlação

Nota: essa seção será muito baseada em vídeos de um canal que recomendo muito, o StatQuest. Já usei muitos vídeos desse canal pra estudar e entender de forma bem simples vários conceitos que são apresentados de forma complexa (rir pra não chorar!).

Observe que os três conceitos abordados nessa seção buscam responder uma simples pergunta: como os dados se relacionam entre si! Para isso, buscamos soluções relativamente simples e que são capazes de nos auxiliar em um diagnóstico inicial sobre a natureza do evento que buscamos explicar.

Na seção de Noções importantes de notação, eu optei por não complicar muito em detalhes, mas agora sinto que somente preciso adicionar uma coisa: quando temos dados populacionais, calculamos os valores de média, variância, etc. No caso de uma amostra, estimamos esses valores. É só uma questão pequena de palavreado, mas faz toda diferença, e veremos o por quê disso a frente.

2.3.1 Variância

Essa é uma medida de ponto (um número definido), que nos diz sobre o quão dispersos estão os dados em torno de uma média. Podemos calcular a variância populacional simplesmente da forma:

\[ var(X_i) = E[X_i - E(X_i)]^2 \]

Ou estimar uma variância em dados amostrais da seguinte forma:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) ^2 \]

A diferença entre as duas fórmulas se dá somente em \(\frac{1}{n -1}\)! Se temos todos os dados de uma população, podemos calcular simplesmente trocando \(\frac{1}{n -1}\) por \(\frac{1}{n}\). Faremos isso na amostra para adicionar incerteza na nossa estimativa e penalizar amostras muito pequenas. (n-1 são os graus de liberdade da amostra! É um conceito estatístico muito importante que não irei abordar com tanto rigor nesse documento.)

Mas o que a variância busca explicar? Se você analisar a fórmula acima, verá que o foco da variância é de estimar o quão distante da média estão suas observações ao longo da amostra. Por exemplo:

set.seed(42)
dados <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10), y = 0)

ggplot(dados, aes(altura, y)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  theme_classic() +
  theme(axis.text.y = element_blank(), axis.title.y = element_blank())

Imagine que eu coletei a altura de 100 pessoas. Como a altura dessas 100 pessoas variam ao longo da média? Para isso eu primeiro calculo a média. Graficamente:

ggplot(dados, aes(altura, y)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  theme(axis.text.y = element_blank(), axis.title.y = element_blank())

A média de altura nesse conjunto de dados foi de 170.3251482. Pessoas muito baixas irão puxar a variância pra cima, assim como pessoas muito altas. Lembrando da fórmula:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) ^2 \]

Como a média foi de aproximadamente 170, posso substituir na fórmula:

\[ \sigma^2 = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - 170) ^2 \]

E pra cada ponto azul eu calculo a diferença, elevo ao quadrado, somo tudo e divido por \(\frac{1}{n -1}\), resultando em 108.4424321. Isso quer dizer que a altura apresenta uma variância de \(108cm^2\). (O desvio padrão apresentado na seção de revisão estatística é melhor para interpretar esse resultado.)

Quanto mais próximo de 0, menos os dados variam ao longo da média, mas isso sozinho não quer dizer muito ainda não é? Veremos a seguir outra medida que nos adiciona mais profundidade a nossa análise.

2.3.2 Covariância

Considere agora que temos a informação de altura dessas 100 pessoas e o tamanho do pé delas. Graficamente teremos:

set.seed(420)
dados[, pe := rnorm(100, 0, 1) + 0.24 * altura]

ggplot(dados, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
  geom_hline(yintercept = mean(dados$pe), color = "indianred1") +
  theme_classic()

O quanto valores maiores de altura se relacionam com valores maiores de pé? Faz todo sentido pessoas mais altas apresentarem um tamanho de pé maior, não faz? A covariância busca explicar essa questão!

Tomei a liberdade de representar no gráfico, em vermelho, as médias de altura e tamanho de pé nesse conjunto de dados. Os valores que estiverem no quadrado inferior esquerdo e superior direito aumentam a covariância do conjunto de dados. Por quê? Veja a fórmula da covariância:

\[ Cov(X,Y) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \]

Selecionando apenas 4 casos do gráfico acima, note o seguinte:

dados_quatro_pontos <- data.table(
  altura = c(dados[[82, 1]], dados[[59, 1]], dados[[23, 1]], dados[[12, 1]]),
  pe = c(dados[[82, 3]], dados[[59, 3]], dados[[23, 3]], dados[[12, 3]])
)

dados_quatro_pontos[order(altura), letra := c("A", "B", "C", "D")]

ggplot(dados_quatro_pontos, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
  geom_hline(yintercept = mean(dados$pe), color = "indianred1") +
  geom_pointrange(aes(x = altura, ymin = pe, ymax= mean(dados$pe)), linetype = "dashed") +
  geom_pointrange(aes(y = pe, xmin = altura, xmax= mean(dados$altura)), linetype = "dashed") +
  geom_text(aes(label = letra), nudge_x = 1, nudge_y = 0.5) +
  theme_classic()

O ponto A apresenta ambos os valores de altura e pé abaixos da média. O ponto D apresenta ambos os valores de altura e pé acima da média. Apenas os pontos B e C apresentam um valor acima da média, e o outro abaixo. Quais pontos contribuem com o aumento da covariância desses dois dados? Os A e D! Nesse caso, covariâncias positivas indicam um relacionamento positivo entre os dois dados. Covariâncias negativas indicam um relacionamento negativo entre dois dados. Covariâncias nulas dão indícios do não relacionamento entre duas variáveis.

dados[, pe := rnorm(100, 0, 1) + 0.24 * altura]

ggplot(dados, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
  geom_hline(yintercept = mean(dados$pe), color = "indianred1") +
  theme_classic()

No caso desse gráfico acima, a covariância entre os dados é de 25.7641086. Isso indica uma relação positiva entre os dois valores, mas indica o quão relacionados os dois valores são? Se a covariância fosse de 1000 ainda assim não poderíamos dizer muito sobre isso, pois a escala poderia ser totalmente diferente! Nesse caso, combinamos as medidas de variância e covariância para calcular a correlação! Essa sim nos diz quanto uma variável se correlaciona com outra! Veremos ela na próxima seção.

Curiosidade: A covariância é extremamente similar a variância. É tão similar, que covariância de uma variável com ela mesma é simplesmente sua variância! Por exemplo, de um conjunto de dados X, estimamos a covariância de X com ele mesmo da forma:

\[ Cov(X,X) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(X_i - \bar{X}) = Var(X) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \]

2.3.3 Correlação

O vídeo sobre correlação é muito bem feito e pode ser acessado aqui, de toda forma, farei o meu melhor para resumir o que significa correlação, como indentificar e calcular!

Imagine que eu tenha coletado informações de altura e tamanho do pé de 2 pessoas. Posso representar essa relação com o seguinte gráfico:

set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dados, n = 2), aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  theme_classic()

Como a altura e o tamanho do pé parecem se relacionar? Positivamente, negativamente ou não se relacionam?

set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dados, n = 2), aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
  theme_classic()

Com base nesses dois pontos consegui desenhar uma linha reta perfeita, que toca todas as observações (todos os pontos tocam a reta) e de inclinação positiva. Essa seria considerada uma correlação perfeita de altura e tamanho de pé. Mas temos uma questão… a quantidade de informações é muito pequena! Imagine que eu tivesse selecionado outras duas pessoas, como essas abaixo:

ggplot(rbind(dados[23], dados[72]), aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
  theme_classic()

Nesse caso, identificamos uma correlação perfeita entre altura e tamanho do pé, mas negativa! Isso faz sentido? Imagine pessoas acima de 1,90m com 32 de pé, é comum de acontecer? Nesse caso, encontramos um caso de correlação espúria. Introduzir mais informações na nossa análise nos impede de cair nesses casos absurdos!

Se eu adicionar mais uma pessoa, veja como ficaria meu gráfico:

set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dados, n = 3), aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
  theme_classic()

Essa reta toca todos os pontos? Não. Mas ela se aproxima bem de cada um deles e apresenta uma inclinação positiva, indicando que, por mais que não seja uma correlação perfeita, existe correlação positiva forte!

Agora você pode estar se questionando, o que significa correlação forte e fraca? Correlação é uma métrica que vai de -1 a 1. Ela basicamente mede o quanto dois conjuntos de dados estão relacionados! Por exemplo, veja o seguinte gráfico:

dados2 <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10))
dados2[, pe := 0.22*altura]

ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  theme_classic()

E se eu desenhar a linha reta, posso cruzar todos esses pontos?

ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
  theme_classic()

Sim!! Essa é uma correlação perfeita entre duas observações! Dizemos que a correlação entre os dois dados é de 1.

E no caso abaixo?

dados2 <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10))
dados2[, pe := rnorm(100, 0, 2) + 0.22*altura]

ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  theme_classic()

Você consegue desenhar uma linha reta que passa por todos os pontos igualmente? Veja abaixo:

ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
  theme_classic()

Não! Mas ainda podemos identificar uma inclinação positiva, indicando uma certa correlação! Nesse caso, a correlação é de 0.7418975!

E agora?

dados2 <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10))
dados2[, pe := rnorm(100, 0, 7) + 0.22*altura]

ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  theme_classic()

A melhor reta que posso traçar seria essa:

ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
  theme_classic()

Ainda é uma correlação positiva, mas é uma correlação mais forte que as outras? Note que ao falar de correlação, não devemos comparar a inclinação da reta, somente o quão distante da reta estão os pontos!

Nesse caso, a correlação ainda é positiva, só que mais fraca, sendo ela de 0.4321114.

O cálculo da correlação pode parecer contra intuitivo no primeiro momento, mas é somente a união das variâncias de X e Y e suas covariâncias! Vimos isso nas seções anteriores. Assim:

\[ Cor(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]

Expandindo a fórmula, podemos calcular a correlação com a seguinte expressão:

\[ \rho = \frac{ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\left( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\right)\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2\right)}} \]

Apenas unimos o conceito de covariância e variância em um único valor, sendo ele o coeficiente de correlação de Spearman.

Como disse previamente, a correlação mede o quão bem podemos tracejar uma linha reta passando por todos os pontos em um conjunto de 2 observações. Não podemos dizer nada sobre causa e efeito, apenas que os dados são correlatos negativamente ou positivamente ou não correlatos.

Além disso, com o coeficiente de correlação em mãos, podemos calcular diretamente o coeficiente de determinação direto entre duas variáveis! (Veja a seção dedicada ao R2 mais a frente para entender mais.)

Elevando o \(\rho\) ao quadrado, encontramos um valor que vai de 0 a 1. Quanto mais próximo de 1, maior será o poder explicativo de X sobre Y. Isso é muito útil quando queremos testar se um modelo se ajusta bem aos dados ou não!

Não me dediquei a falar sobre pvalores do coeficiente de correlação nessa seção por não serem muito o foco da econometria. De toda forma, sugiro assistir o vídeo recomendado no início dessa subseção, pois nele há uma explicação muito boa sobre o assunto além de reforçar os tópicos aqui abordados!

3 Regressão Linear

A regressão linear é, de uma forma simplificada, uma linha que melhor define a interação entre dois ou mais pontos. Neste capítulo, busco apresentar o mecanismo pelo qual podemos estimar, interpretar e validar nossos resultados de forma prática.

No capítulo anterior, trabalhei diretamente com apenas uma observação, a altura. No caso de uma regressão linear, sempre teremos duas ou mais variáveis, porque desejamos representar uma explicada pela outra.

Imagine, que ao invés de estimar a altura das pessoas em uma cidade, você esteja buscando a relação entre os anos de trabalho de um professor, com o salário que ele recebe. Nessa cidade, existem 397 professores, que podem ser representados com os seguintes dados:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario")

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario
18 139750
16 173200
3 79750
39 115000
41 141500
6 97000
23 175000
45 147765
20 119250
18 129000
8 119800
2 79800
1 77700
0 78000
18 104800
3 117150
20 101000
34 103450
23 124750
36 137000
26 89565
31 102580
30 93904
19 113068
8 74830
8 106294
23 134885
3 82379
0 77000
8 118223
4 132261
2 79916
9 117256
2 80225
2 80225
0 77000
21 155750
4 86373
31 125196
9 100938
2 146500
23 93418
27 101299
38 231545
19 94384
15 114778
28 98193
19 151768
25 140096
1 70768
28 126621
11 108875
3 74692
9 106639
11 103760
5 83900
21 117704
8 90215
9 100135
3 75044
8 90304
2 75243
31 109785
11 103613
3 68404
8 100522
12 101000
31 99418
17 111512
36 91412
2 126320
45 146856
19 100131
34 92391
23 113398
3 73266
3 150480
19 193000
1 86100
2 84240
28 150743
16 135585
20 144640
2 88825
18 122960
14 132825
37 152708
2 88400
25 172272
7 107008
5 97032
7 105128
7 105631
38 166024
20 123683
0 84000
12 95611
7 129676
14 102235
26 106689
25 133217
23 126933
5 153303
14 127512
10 83850
28 113543
8 82099
8 82600
8 81500
31 131205
16 112429
16 82100
1 72500
37 104279
0 105000
9 120806
29 148500
36 117515
1 72500
3 73500
14 115313
32 124309
22 97262
22 62884
22 96614
49 78162
26 155500
0 72500
30 113278
2 73000
9 83001
57 76840
8 77500
1 72500
25 168635
18 136000
14 108262
14 105668
7 73877
18 152664
8 100102
10 81500
11 106608
3 89942
27 112696
28 119015
4 92000
27 156938
26 144651
3 95079
12 128148
4 92000
9 111168
10 103994
0 92000
21 118971
18 113341
0 88000
6 95408
16 137167
2 89516
19 176500
7 98510
3 89942
0 88795
8 105890
16 167284
19 130664
6 101210
18 181257
5 91227
19 151575
24 93164
20 134185
6 105000
25 111751
7 95436
9 100944
14 147349
3 92000
11 142467
5 141136
8 100000
22 150000
23 101000
30 134000
10 103750
10 107500
28 106300
19 153750
9 180000
22 133700
18 122100
19 86250
53 90000
7 113600
4 92700
4 92000
33 189409
22 114500
4 92700
40 119700
17 160400
17 152500
5 165000
2 96545
33 162200
18 120000
2 91300
20 163200
3 91000
39 111350
7 128400
19 126200
1 118700
11 145350
11 146000
22 105350
7 109650
11 119500
21 170000
10 145200
6 107150
20 129600
35 87800
20 122400
1 63900
7 70000
11 88175
38 133900
27 91000
24 73300
19 148750
19 117555
3 69700
17 81700
25 114000
6 63100
40 77202
6 96200
3 69200
30 122875
37 102600
23 108200
23 84273
11 90450
23 91100
18 101100
23 128800
7 204000
39 109000
8 102000
12 132000
2 77500
7 116450
8 83000
22 140300
23 74000
3 73800
30 92550
33 88600
45 107550
26 121200
31 126000
35 99000
30 134800
43 143940
10 104350
44 89650
7 103700
40 143250
18 194800
1 73000
4 74000
3 78500
6 93000
48 107200
27 163200
18 107100
46 100600
38 136500
27 103600
51 57800
43 155865
6 88650
49 81800
27 115800
0 85000
27 150500
5 74000
7 174500
28 168500
9 183800
1 104800
7 107300
36 97150
18 126300
11 148800
43 72300
39 70700
36 88600
16 127100
13 170500
4 105260
44 144050
31 111350
4 74500
28 122500
0 74000
15 166800
7 92050
9 108100
19 94350
35 100351
6 146800
3 84716
9 71065
45 67559
16 134550
15 135027
23 104428
9 95642
11 126431
15 161101
31 162221
4 84500
15 124714
37 151650
10 99247
23 134778
60 192253
9 116518
10 105450
19 145098
6 104542
38 151445
23 98053
12 145000
25 128464
15 137317
11 106231
17 124312
38 114596
31 162150
35 150376
10 107986
27 142023
33 128250
3 80139
28 144309
49 186960
38 93519
27 142500
20 138000
1 83600
21 145028
40 88709
35 107309
14 109954
4 78785
11 121946
15 109646
30 138771
17 81285
43 205500
40 101036
10 115435
1 108413
30 131950
31 134690
8 78182
20 110515
7 109707
26 136660
19 103275
26 103649
1 74856
3 77081
38 150680
8 104121
3 75996
23 172505
5 86895
44 105000
21 125192
9 114330
27 139219
15 109305
36 119450
18 186023
19 166605
19 151292
30 103106
19 150564
25 101738
15 95329
4 81035

Olhando somente esses números é difícil de notar algum tipo de relação, não é mesmo? Podemos representar individualmente a distribuição de ambos os dados igual fizemos anteriormente:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico)) +
  geom_bar(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição da anos de serviço entre os professores", x = "Anos de serviço", y = "Quantidade de professores") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +
  scale_x_continuous(n.breaks = 20) +
  scale_y_continuous(n.breaks = 12)

Esse gráfico nos dá informações interessantes sobre os professores desse município. Existem muitos professores com menos de 10 anos de experiência, alguns entre 15 e 32 anos de experiência, e uns bons de guerra que trabalham mais de 32 anos na profissão!

E a distribuição dos salários:

ggplot(dataset, aes(salario)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9, bins = 50) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição dos salários dos professores", x = "Salário anual", y = "Quantidade de professores com esse salário") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +
  geom_vline(xintercept = mean(dataset$salario), color = "indianred1") +
  scale_x_continuous(n.breaks = 10, labels = scales::label_number())

A linha vermelha é a média dos salários, que é de 113706.5. Esse gráfico indica que existem poucos salários muito altos, e boa parte dos professores recebem salários próximos a média.

Muito bem, analisamos individualmente as duas variáveis, mas aprendemos algo muito significativo? Podemos fazer bem mais! E se eu representar os salários em um eixo e o tempo de experiência em outro? O nome clássico desse gráfico é gráfico de dispersão! (veremos muito ele ainda!)

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Com base nessa visualização, você poderia dizer algo sobre o tempo de serviço de um profissional e seu salário?

Tirando alguns pontos extremos, parece que existe uma relação positiva entre salário e tempo de serviço, não é mesmo? Agora surge a principal questão da econometria: como estimar uma linha reta que melhor define a relação entre essas duas variáveis?

Nas próximas seções, irei introduzir a notação clássica de um modelo linear simples e o problema de estimativa desse modelo.

3.1 Notação matemática

Um modelo linear clássico, com intercepto, pode ser representado da seguinte forma:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]

O que quer dizer essa expressão? Bom, representamos Y como sendo uma função de X, mas para tornar essa função possível, precisamos considerar que X pode não explicar perfeitamente Y, então pode existir sempre um erro aleatório e característico \(u_i\).

E o que são \(\beta_0\) e \(\beta_1\)?

  • O \(\beta_0\) é o valor que Y assume quando \(X_i\) é zero! É um valor normalmente associado ao ajustamento do modelo e da natureza dos dados explicada.
  • O \(\beta_1\) é exatamente a relação marginal de X em Y. Ou seja, o quanto Y aumenta, se X aumenta em uma unidade.

No exemplo numérico que dei anteriormente, posso estimar uma linha reta pelo método de mínimos quadrados ordinários (MQO), e determinar os valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\)! (Veremos o passo a passo da estimação mais a diante!)

O modelo estimado para o caso acima teria a seguinte forma funcional:

\[ Y_i = 99974.7 + 779.6X_i + u_i \]

Quando um professor não tem experiência, o salário de entrada estimado para ele é de 99974.7! Um belo salário! Pra cada ano que ele trabalha, ele ganha um adicional de 779.6 no salário anual. Isso quer dizer que trabalhar na área aumenta salário, e faz todo sentido não é?

Ora, como tenho uma relação de X e Y, posso calcular os valores de Y previstos pelo modelo! Assim, o valor previsto na forma de tabela é:

dataset[, salario_previsto := 99974.7 + (779.6*anos_de_servico)]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario salario_previsto
18 139750 114007.5
16 173200 112448.3
3 79750 102313.5
39 115000 130379.1
41 141500 131938.3
6 97000 104652.3
23 175000 117905.5
45 147765 135056.7
20 119250 115566.7
18 129000 114007.5
8 119800 106211.5
2 79800 101533.9
1 77700 100754.3
0 78000 99974.7
18 104800 114007.5
3 117150 102313.5
20 101000 115566.7
34 103450 126481.1
23 124750 117905.5
36 137000 128040.3
26 89565 120244.3
31 102580 124142.3
30 93904 123362.7
19 113068 114787.1
8 74830 106211.5
8 106294 106211.5
23 134885 117905.5
3 82379 102313.5
0 77000 99974.7
8 118223 106211.5
4 132261 103093.1
2 79916 101533.9
9 117256 106991.1
2 80225 101533.9
2 80225 101533.9
0 77000 99974.7
21 155750 116346.3
4 86373 103093.1
31 125196 124142.3
9 100938 106991.1
2 146500 101533.9
23 93418 117905.5
27 101299 121023.9
38 231545 129599.5
19 94384 114787.1
15 114778 111668.7
28 98193 121803.5
19 151768 114787.1
25 140096 119464.7
1 70768 100754.3
28 126621 121803.5
11 108875 108550.3
3 74692 102313.5
9 106639 106991.1
11 103760 108550.3
5 83900 103872.7
21 117704 116346.3
8 90215 106211.5
9 100135 106991.1
3 75044 102313.5
8 90304 106211.5
2 75243 101533.9
31 109785 124142.3
11 103613 108550.3
3 68404 102313.5
8 100522 106211.5
12 101000 109329.9
31 99418 124142.3
17 111512 113227.9
36 91412 128040.3
2 126320 101533.9
45 146856 135056.7
19 100131 114787.1
34 92391 126481.1
23 113398 117905.5
3 73266 102313.5
3 150480 102313.5
19 193000 114787.1
1 86100 100754.3
2 84240 101533.9
28 150743 121803.5
16 135585 112448.3
20 144640 115566.7
2 88825 101533.9
18 122960 114007.5
14 132825 110889.1
37 152708 128819.9
2 88400 101533.9
25 172272 119464.7
7 107008 105431.9
5 97032 103872.7
7 105128 105431.9
7 105631 105431.9
38 166024 129599.5
20 123683 115566.7
0 84000 99974.7
12 95611 109329.9
7 129676 105431.9
14 102235 110889.1
26 106689 120244.3
25 133217 119464.7
23 126933 117905.5
5 153303 103872.7
14 127512 110889.1
10 83850 107770.7
28 113543 121803.5
8 82099 106211.5
8 82600 106211.5
8 81500 106211.5
31 131205 124142.3
16 112429 112448.3
16 82100 112448.3
1 72500 100754.3
37 104279 128819.9
0 105000 99974.7
9 120806 106991.1
29 148500 122583.1
36 117515 128040.3
1 72500 100754.3
3 73500 102313.5
14 115313 110889.1
32 124309 124921.9
22 97262 117125.9
22 62884 117125.9
22 96614 117125.9
49 78162 138175.1
26 155500 120244.3
0 72500 99974.7
30 113278 123362.7
2 73000 101533.9
9 83001 106991.1
57 76840 144411.9
8 77500 106211.5
1 72500 100754.3
25 168635 119464.7
18 136000 114007.5
14 108262 110889.1
14 105668 110889.1
7 73877 105431.9
18 152664 114007.5
8 100102 106211.5
10 81500 107770.7
11 106608 108550.3
3 89942 102313.5
27 112696 121023.9
28 119015 121803.5
4 92000 103093.1
27 156938 121023.9
26 144651 120244.3
3 95079 102313.5
12 128148 109329.9
4 92000 103093.1
9 111168 106991.1
10 103994 107770.7
0 92000 99974.7
21 118971 116346.3
18 113341 114007.5
0 88000 99974.7
6 95408 104652.3
16 137167 112448.3
2 89516 101533.9
19 176500 114787.1
7 98510 105431.9
3 89942 102313.5
0 88795 99974.7
8 105890 106211.5
16 167284 112448.3
19 130664 114787.1
6 101210 104652.3
18 181257 114007.5
5 91227 103872.7
19 151575 114787.1
24 93164 118685.1
20 134185 115566.7
6 105000 104652.3
25 111751 119464.7
7 95436 105431.9
9 100944 106991.1
14 147349 110889.1
3 92000 102313.5
11 142467 108550.3
5 141136 103872.7
8 100000 106211.5
22 150000 117125.9
23 101000 117905.5
30 134000 123362.7
10 103750 107770.7
10 107500 107770.7
28 106300 121803.5
19 153750 114787.1
9 180000 106991.1
22 133700 117125.9
18 122100 114007.5
19 86250 114787.1
53 90000 141293.5
7 113600 105431.9
4 92700 103093.1
4 92000 103093.1
33 189409 125701.5
22 114500 117125.9
4 92700 103093.1
40 119700 131158.7
17 160400 113227.9
17 152500 113227.9
5 165000 103872.7
2 96545 101533.9
33 162200 125701.5
18 120000 114007.5
2 91300 101533.9
20 163200 115566.7
3 91000 102313.5
39 111350 130379.1
7 128400 105431.9
19 126200 114787.1
1 118700 100754.3
11 145350 108550.3
11 146000 108550.3
22 105350 117125.9
7 109650 105431.9
11 119500 108550.3
21 170000 116346.3
10 145200 107770.7
6 107150 104652.3
20 129600 115566.7
35 87800 127260.7
20 122400 115566.7
1 63900 100754.3
7 70000 105431.9
11 88175 108550.3
38 133900 129599.5
27 91000 121023.9
24 73300 118685.1
19 148750 114787.1
19 117555 114787.1
3 69700 102313.5
17 81700 113227.9
25 114000 119464.7
6 63100 104652.3
40 77202 131158.7
6 96200 104652.3
3 69200 102313.5
30 122875 123362.7
37 102600 128819.9
23 108200 117905.5
23 84273 117905.5
11 90450 108550.3
23 91100 117905.5
18 101100 114007.5
23 128800 117905.5
7 204000 105431.9
39 109000 130379.1
8 102000 106211.5
12 132000 109329.9
2 77500 101533.9
7 116450 105431.9
8 83000 106211.5
22 140300 117125.9
23 74000 117905.5
3 73800 102313.5
30 92550 123362.7
33 88600 125701.5
45 107550 135056.7
26 121200 120244.3
31 126000 124142.3
35 99000 127260.7
30 134800 123362.7
43 143940 133497.5
10 104350 107770.7
44 89650 134277.1
7 103700 105431.9
40 143250 131158.7
18 194800 114007.5
1 73000 100754.3
4 74000 103093.1
3 78500 102313.5
6 93000 104652.3
48 107200 137395.5
27 163200 121023.9
18 107100 114007.5
46 100600 135836.3
38 136500 129599.5
27 103600 121023.9
51 57800 139734.3
43 155865 133497.5
6 88650 104652.3
49 81800 138175.1
27 115800 121023.9
0 85000 99974.7
27 150500 121023.9
5 74000 103872.7
7 174500 105431.9
28 168500 121803.5
9 183800 106991.1
1 104800 100754.3
7 107300 105431.9
36 97150 128040.3
18 126300 114007.5
11 148800 108550.3
43 72300 133497.5
39 70700 130379.1
36 88600 128040.3
16 127100 112448.3
13 170500 110109.5
4 105260 103093.1
44 144050 134277.1
31 111350 124142.3
4 74500 103093.1
28 122500 121803.5
0 74000 99974.7
15 166800 111668.7
7 92050 105431.9
9 108100 106991.1
19 94350 114787.1
35 100351 127260.7
6 146800 104652.3
3 84716 102313.5
9 71065 106991.1
45 67559 135056.7
16 134550 112448.3
15 135027 111668.7
23 104428 117905.5
9 95642 106991.1
11 126431 108550.3
15 161101 111668.7
31 162221 124142.3
4 84500 103093.1
15 124714 111668.7
37 151650 128819.9
10 99247 107770.7
23 134778 117905.5
60 192253 146750.7
9 116518 106991.1
10 105450 107770.7
19 145098 114787.1
6 104542 104652.3
38 151445 129599.5
23 98053 117905.5
12 145000 109329.9
25 128464 119464.7
15 137317 111668.7
11 106231 108550.3
17 124312 113227.9
38 114596 129599.5
31 162150 124142.3
35 150376 127260.7
10 107986 107770.7
27 142023 121023.9
33 128250 125701.5
3 80139 102313.5
28 144309 121803.5
49 186960 138175.1
38 93519 129599.5
27 142500 121023.9
20 138000 115566.7
1 83600 100754.3
21 145028 116346.3
40 88709 131158.7
35 107309 127260.7
14 109954 110889.1
4 78785 103093.1
11 121946 108550.3
15 109646 111668.7
30 138771 123362.7
17 81285 113227.9
43 205500 133497.5
40 101036 131158.7
10 115435 107770.7
1 108413 100754.3
30 131950 123362.7
31 134690 124142.3
8 78182 106211.5
20 110515 115566.7
7 109707 105431.9
26 136660 120244.3
19 103275 114787.1
26 103649 120244.3
1 74856 100754.3
3 77081 102313.5
38 150680 129599.5
8 104121 106211.5
3 75996 102313.5
23 172505 117905.5
5 86895 103872.7
44 105000 134277.1
21 125192 116346.3
9 114330 106991.1
27 139219 121023.9
15 109305 111668.7
36 119450 128040.3
18 186023 114007.5
19 166605 114787.1
19 151292 114787.1
30 103106 123362.7
19 150564 114787.1
25 101738 119464.7
15 95329 111668.7
4 81035 103093.1

Graficamente, se adicionarmos o valor previsto como uma linha, teremos algo desse tipo:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, salario_previsto), color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Assim fica fácil ver a que o tempo de serviço se relaciona positivamente com o salário anual, e o papel que o intercepto tem nesse modelo.

E se eu tirar o intercepto? Como ficaria a linha?

O modelo teria a seguinte forma funcional:

\[ Y_i = \beta_1X_i + u_i \]

Faz sentido? Apenas removi o parâmetro \(\beta_0\) que era relativo ao intercepto!

E a estimativa de \(\beta_1\) seria a seguinte:

\[ Y_i = 4456X_i + u_i \]

Agora se um professor não tem experiência, o salário dele é zero! Faz sentido tirar o intercepto? Se fosse um estágio não remunerado, talvez, mas acho que não é bem o caso!

Graficamente o modelo pode ser representado por uma nova linha reta:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, 4456*anos_de_servico), color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Normalmente estimamos um modelo com intercepto por padrão, e analisamos se existe mesmo a necessidade de removê-lo ou não!

3.2 Lógica da estimação

Vamos retornar ao primeiro gráfico de dispersão que apresentei aqui:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Se eu não tivesse em minhas mãos nenhuma forma de estimar um modelo que melhor define a relação de X e Y, eu poderia simplesmente chutar diferentes valores para \(\beta_j\) até que eu encontre valores que minimizem o erro. Isso faz todo sentido, não faz?

Por exemplo, vou estimar 5 modelos diferentes, com diferentes valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\). Matematicamente, cada modelo pode ser escrito da seguinte forma:

  1. \(Y_i = 99974 + 779X_i + u_i\)
  2. \(Y_i = 150000 + 850X_i + u_i\)
  3. \(Y_i = 12000 + 900X_i + u_i\)
  4. \(Y_i = 60000 + 500X_i + u_i\)
  5. \(Y_i = 91000 + u_i\)

E visualmente, a o valor previsto de Y para cada modelo pode ser visto no seguinte gráfico:

dados <- dataset[
  ,
  .(
    modelo_1 = 99974 + 779*anos_de_servico,
    modelo_2 = 150000 + 850*anos_de_servico,
    modelo_3 = 12000 + 900*anos_de_servico,
    modelo_4 = 60000 + 500*anos_de_servico,
    modelo_5 = 91000,
    salario,
    anos_de_servico
  )
]

dados <- melt(
  dados,
  id.vars = c("salario", "anos_de_servico"),
  value.name = "salario_previsto",
  variable.name = "modelo"
)

ggplot(dados, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, salario_previsto, color = modelo)) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Ok, mas “o que eu posso fazer com essas linhas coloridas” você deve ter pensado. Cada uma dessas retas representa a previsão de cada modelo. Quão mais distante a linha estiver de um ponto azul, maior será o erro! Ou seja, uma linha que esteja igualmente próxima de todos os pontos azuis deve ser o melhor ajustamento possível, não concorda?

O que quero dizer nessa seção, é que podemos olhar simplesmente para o resíduo de cada regressão! Lembre da fórmula genérica de um modelo linear:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]

O valor de \(Y_i\) previsto pode ser escrito como \(\hat{Y_i}\). Ou seja:

\[ Y_i = \hat{Y_i} + u_i \rightarrow Y_i - \hat{Y_i} = u_i \]

Então pra cada modelo, basta eu subtrair do valor observado o valor que o modelo preveu e encontramos o resíduo (ou erro)! O quanto mais um modelo erra, pior será o modelo, certo? Queremos minimizar esse resíduo!

No caso dos modelos acima, posso calcular o resíduo para cada valor previsto, e teria algo como isso: (observe os resultados linha por linha, não fiz nada além de subtrair uma coluna por outra!)

dados[, residuo := salario - salario_previsto, by = modelo]

setcolorder(dados, c("anos_de_servico", "modelo", "salario", "salario_previsto", 
"residuo"))

dados %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico modelo salario salario_previsto residuo
18 modelo_1 139750 113996 25754
16 modelo_1 173200 112438 60762
3 modelo_1 79750 102311 -22561
39 modelo_1 115000 130355 -15355
41 modelo_1 141500 131913 9587
6 modelo_1 97000 104648 -7648
23 modelo_1 175000 117891 57109
45 modelo_1 147765 135029 12736
20 modelo_1 119250 115554 3696
18 modelo_1 129000 113996 15004
8 modelo_1 119800 106206 13594
2 modelo_1 79800 101532 -21732
1 modelo_1 77700 100753 -23053
0 modelo_1 78000 99974 -21974
18 modelo_1 104800 113996 -9196
3 modelo_1 117150 102311 14839
20 modelo_1 101000 115554 -14554
34 modelo_1 103450 126460 -23010
23 modelo_1 124750 117891 6859
36 modelo_1 137000 128018 8982
26 modelo_1 89565 120228 -30663
31 modelo_1 102580 124123 -21543
30 modelo_1 93904 123344 -29440
19 modelo_1 113068 114775 -1707
8 modelo_1 74830 106206 -31376
8 modelo_1 106294 106206 88
23 modelo_1 134885 117891 16994
3 modelo_1 82379 102311 -19932
0 modelo_1 77000 99974 -22974
8 modelo_1 118223 106206 12017
4 modelo_1 132261 103090 29171
2 modelo_1 79916 101532 -21616
9 modelo_1 117256 106985 10271
2 modelo_1 80225 101532 -21307
2 modelo_1 80225 101532 -21307
0 modelo_1 77000 99974 -22974
21 modelo_1 155750 116333 39417
4 modelo_1 86373 103090 -16717
31 modelo_1 125196 124123 1073
9 modelo_1 100938 106985 -6047
2 modelo_1 146500 101532 44968
23 modelo_1 93418 117891 -24473
27 modelo_1 101299 121007 -19708
38 modelo_1 231545 129576 101969
19 modelo_1 94384 114775 -20391
15 modelo_1 114778 111659 3119
28 modelo_1 98193 121786 -23593
19 modelo_1 151768 114775 36993
25 modelo_1 140096 119449 20647
1 modelo_1 70768 100753 -29985
28 modelo_1 126621 121786 4835
11 modelo_1 108875 108543 332
3 modelo_1 74692 102311 -27619
9 modelo_1 106639 106985 -346
11 modelo_1 103760 108543 -4783
5 modelo_1 83900 103869 -19969
21 modelo_1 117704 116333 1371
8 modelo_1 90215 106206 -15991
9 modelo_1 100135 106985 -6850
3 modelo_1 75044 102311 -27267
8 modelo_1 90304 106206 -15902
2 modelo_1 75243 101532 -26289
31 modelo_1 109785 124123 -14338
11 modelo_1 103613 108543 -4930
3 modelo_1 68404 102311 -33907
8 modelo_1 100522 106206 -5684
12 modelo_1 101000 109322 -8322
31 modelo_1 99418 124123 -24705
17 modelo_1 111512 113217 -1705
36 modelo_1 91412 128018 -36606
2 modelo_1 126320 101532 24788
45 modelo_1 146856 135029 11827
19 modelo_1 100131 114775 -14644
34 modelo_1 92391 126460 -34069
23 modelo_1 113398 117891 -4493
3 modelo_1 73266 102311 -29045
3 modelo_1 150480 102311 48169
19 modelo_1 193000 114775 78225
1 modelo_1 86100 100753 -14653
2 modelo_1 84240 101532 -17292
28 modelo_1 150743 121786 28957
16 modelo_1 135585 112438 23147
20 modelo_1 144640 115554 29086
2 modelo_1 88825 101532 -12707
18 modelo_1 122960 113996 8964
14 modelo_1 132825 110880 21945
37 modelo_1 152708 128797 23911
2 modelo_1 88400 101532 -13132
25 modelo_1 172272 119449 52823
7 modelo_1 107008 105427 1581
5 modelo_1 97032 103869 -6837
7 modelo_1 105128 105427 -299
7 modelo_1 105631 105427 204
38 modelo_1 166024 129576 36448
20 modelo_1 123683 115554 8129
0 modelo_1 84000 99974 -15974
12 modelo_1 95611 109322 -13711
7 modelo_1 129676 105427 24249
14 modelo_1 102235 110880 -8645
26 modelo_1 106689 120228 -13539
25 modelo_1 133217 119449 13768
23 modelo_1 126933 117891 9042
5 modelo_1 153303 103869 49434
14 modelo_1 127512 110880 16632
10 modelo_1 83850 107764 -23914
28 modelo_1 113543 121786 -8243
8 modelo_1 82099 106206 -24107
8 modelo_1 82600 106206 -23606
8 modelo_1 81500 106206 -24706
31 modelo_1 131205 124123 7082
16 modelo_1 112429 112438 -9
16 modelo_1 82100 112438 -30338
1 modelo_1 72500 100753 -28253
37 modelo_1 104279 128797 -24518
0 modelo_1 105000 99974 5026
9 modelo_1 120806 106985 13821
29 modelo_1 148500 122565 25935
36 modelo_1 117515 128018 -10503
1 modelo_1 72500 100753 -28253
3 modelo_1 73500 102311 -28811
14 modelo_1 115313 110880 4433
32 modelo_1 124309 124902 -593
22 modelo_1 97262 117112 -19850
22 modelo_1 62884 117112 -54228
22 modelo_1 96614 117112 -20498
49 modelo_1 78162 138145 -59983
26 modelo_1 155500 120228 35272
0 modelo_1 72500 99974 -27474
30 modelo_1 113278 123344 -10066
2 modelo_1 73000 101532 -28532
9 modelo_1 83001 106985 -23984
57 modelo_1 76840 144377 -67537
8 modelo_1 77500 106206 -28706
1 modelo_1 72500 100753 -28253
25 modelo_1 168635 119449 49186
18 modelo_1 136000 113996 22004
14 modelo_1 108262 110880 -2618
14 modelo_1 105668 110880 -5212
7 modelo_1 73877 105427 -31550
18 modelo_1 152664 113996 38668
8 modelo_1 100102 106206 -6104
10 modelo_1 81500 107764 -26264
11 modelo_1 106608 108543 -1935
3 modelo_1 89942 102311 -12369
27 modelo_1 112696 121007 -8311
28 modelo_1 119015 121786 -2771
4 modelo_1 92000 103090 -11090
27 modelo_1 156938 121007 35931
26 modelo_1 144651 120228 24423
3 modelo_1 95079 102311 -7232
12 modelo_1 128148 109322 18826
4 modelo_1 92000 103090 -11090
9 modelo_1 111168 106985 4183
10 modelo_1 103994 107764 -3770
0 modelo_1 92000 99974 -7974
21 modelo_1 118971 116333 2638
18 modelo_1 113341 113996 -655
0 modelo_1 88000 99974 -11974
6 modelo_1 95408 104648 -9240
16 modelo_1 137167 112438 24729
2 modelo_1 89516 101532 -12016
19 modelo_1 176500 114775 61725
7 modelo_1 98510 105427 -6917
3 modelo_1 89942 102311 -12369
0 modelo_1 88795 99974 -11179
8 modelo_1 105890 106206 -316
16 modelo_1 167284 112438 54846
19 modelo_1 130664 114775 15889
6 modelo_1 101210 104648 -3438
18 modelo_1 181257 113996 67261
5 modelo_1 91227 103869 -12642
19 modelo_1 151575 114775 36800
24 modelo_1 93164 118670 -25506
20 modelo_1 134185 115554 18631
6 modelo_1 105000 104648 352
25 modelo_1 111751 119449 -7698
7 modelo_1 95436 105427 -9991
9 modelo_1 100944 106985 -6041
14 modelo_1 147349 110880 36469
3 modelo_1 92000 102311 -10311
11 modelo_1 142467 108543 33924
5 modelo_1 141136 103869 37267
8 modelo_1 100000 106206 -6206
22 modelo_1 150000 117112 32888
23 modelo_1 101000 117891 -16891
30 modelo_1 134000 123344 10656
10 modelo_1 103750 107764 -4014
10 modelo_1 107500 107764 -264
28 modelo_1 106300 121786 -15486
19 modelo_1 153750 114775 38975
9 modelo_1 180000 106985 73015
22 modelo_1 133700 117112 16588
18 modelo_1 122100 113996 8104
19 modelo_1 86250 114775 -28525
53 modelo_1 90000 141261 -51261
7 modelo_1 113600 105427 8173
4 modelo_1 92700 103090 -10390
4 modelo_1 92000 103090 -11090
33 modelo_1 189409 125681 63728
22 modelo_1 114500 117112 -2612
4 modelo_1 92700 103090 -10390
40 modelo_1 119700 131134 -11434
17 modelo_1 160400 113217 47183
17 modelo_1 152500 113217 39283
5 modelo_1 165000 103869 61131
2 modelo_1 96545 101532 -4987
33 modelo_1 162200 125681 36519
18 modelo_1 120000 113996 6004
2 modelo_1 91300 101532 -10232
20 modelo_1 163200 115554 47646
3 modelo_1 91000 102311 -11311
39 modelo_1 111350 130355 -19005
7 modelo_1 128400 105427 22973
19 modelo_1 126200 114775 11425
1 modelo_1 118700 100753 17947
11 modelo_1 145350 108543 36807
11 modelo_1 146000 108543 37457
22 modelo_1 105350 117112 -11762
7 modelo_1 109650 105427 4223
11 modelo_1 119500 108543 10957
21 modelo_1 170000 116333 53667
10 modelo_1 145200 107764 37436
6 modelo_1 107150 104648 2502
20 modelo_1 129600 115554 14046
35 modelo_1 87800 127239 -39439
20 modelo_1 122400 115554 6846
1 modelo_1 63900 100753 -36853
7 modelo_1 70000 105427 -35427
11 modelo_1 88175 108543 -20368
38 modelo_1 133900 129576 4324
27 modelo_1 91000 121007 -30007
24 modelo_1 73300 118670 -45370
19 modelo_1 148750 114775 33975
19 modelo_1 117555 114775 2780
3 modelo_1 69700 102311 -32611
17 modelo_1 81700 113217 -31517
25 modelo_1 114000 119449 -5449
6 modelo_1 63100 104648 -41548
40 modelo_1 77202 131134 -53932
6 modelo_1 96200 104648 -8448
3 modelo_1 69200 102311 -33111
30 modelo_1 122875 123344 -469
37 modelo_1 102600 128797 -26197
23 modelo_1 108200 117891 -9691
23 modelo_1 84273 117891 -33618
11 modelo_1 90450 108543 -18093
23 modelo_1 91100 117891 -26791
18 modelo_1 101100 113996 -12896
23 modelo_1 128800 117891 10909
7 modelo_1 204000 105427 98573
39 modelo_1 109000 130355 -21355
8 modelo_1 102000 106206 -4206
12 modelo_1 132000 109322 22678
2 modelo_1 77500 101532 -24032
7 modelo_1 116450 105427 11023
8 modelo_1 83000 106206 -23206
22 modelo_1 140300 117112 23188
23 modelo_1 74000 117891 -43891
3 modelo_1 73800 102311 -28511
30 modelo_1 92550 123344 -30794
33 modelo_1 88600 125681 -37081
45 modelo_1 107550 135029 -27479
26 modelo_1 121200 120228 972
31 modelo_1 126000 124123 1877
35 modelo_1 99000 127239 -28239
30 modelo_1 134800 123344 11456
43 modelo_1 143940 133471 10469
10 modelo_1 104350 107764 -3414
44 modelo_1 89650 134250 -44600
7 modelo_1 103700 105427 -1727
40 modelo_1 143250 131134 12116
18 modelo_1 194800 113996 80804
1 modelo_1 73000 100753 -27753
4 modelo_1 74000 103090 -29090
3 modelo_1 78500 102311 -23811
6 modelo_1 93000 104648 -11648
48 modelo_1 107200 137366 -30166
27 modelo_1 163200 121007 42193
18 modelo_1 107100 113996 -6896
46 modelo_1 100600 135808 -35208
38 modelo_1 136500 129576 6924
27 modelo_1 103600 121007 -17407
51 modelo_1 57800 139703 -81903
43 modelo_1 155865 133471 22394
6 modelo_1 88650 104648 -15998
49 modelo_1 81800 138145 -56345
27 modelo_1 115800 121007 -5207
0 modelo_1 85000 99974 -14974
27 modelo_1 150500 121007 29493
5 modelo_1 74000 103869 -29869
7 modelo_1 174500 105427 69073
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24 modelo_5 73300 91000 -17700
19 modelo_5 148750 91000 57750
19 modelo_5 117555 91000 26555
3 modelo_5 69700 91000 -21300
17 modelo_5 81700 91000 -9300
25 modelo_5 114000 91000 23000
6 modelo_5 63100 91000 -27900
40 modelo_5 77202 91000 -13798
6 modelo_5 96200 91000 5200
3 modelo_5 69200 91000 -21800
30 modelo_5 122875 91000 31875
37 modelo_5 102600 91000 11600
23 modelo_5 108200 91000 17200
23 modelo_5 84273 91000 -6727
11 modelo_5 90450 91000 -550
23 modelo_5 91100 91000 100
18 modelo_5 101100 91000 10100
23 modelo_5 128800 91000 37800
7 modelo_5 204000 91000 113000
39 modelo_5 109000 91000 18000
8 modelo_5 102000 91000 11000
12 modelo_5 132000 91000 41000
2 modelo_5 77500 91000 -13500
7 modelo_5 116450 91000 25450
8 modelo_5 83000 91000 -8000
22 modelo_5 140300 91000 49300
23 modelo_5 74000 91000 -17000
3 modelo_5 73800 91000 -17200
30 modelo_5 92550 91000 1550
33 modelo_5 88600 91000 -2400
45 modelo_5 107550 91000 16550
26 modelo_5 121200 91000 30200
31 modelo_5 126000 91000 35000
35 modelo_5 99000 91000 8000
30 modelo_5 134800 91000 43800
43 modelo_5 143940 91000 52940
10 modelo_5 104350 91000 13350
44 modelo_5 89650 91000 -1350
7 modelo_5 103700 91000 12700
40 modelo_5 143250 91000 52250
18 modelo_5 194800 91000 103800
1 modelo_5 73000 91000 -18000
4 modelo_5 74000 91000 -17000
3 modelo_5 78500 91000 -12500
6 modelo_5 93000 91000 2000
48 modelo_5 107200 91000 16200
27 modelo_5 163200 91000 72200
18 modelo_5 107100 91000 16100
46 modelo_5 100600 91000 9600
38 modelo_5 136500 91000 45500
27 modelo_5 103600 91000 12600
51 modelo_5 57800 91000 -33200
43 modelo_5 155865 91000 64865
6 modelo_5 88650 91000 -2350
49 modelo_5 81800 91000 -9200
27 modelo_5 115800 91000 24800
0 modelo_5 85000 91000 -6000
27 modelo_5 150500 91000 59500
5 modelo_5 74000 91000 -17000
7 modelo_5 174500 91000 83500
28 modelo_5 168500 91000 77500
9 modelo_5 183800 91000 92800
1 modelo_5 104800 91000 13800
7 modelo_5 107300 91000 16300
36 modelo_5 97150 91000 6150
18 modelo_5 126300 91000 35300
11 modelo_5 148800 91000 57800
43 modelo_5 72300 91000 -18700
39 modelo_5 70700 91000 -20300
36 modelo_5 88600 91000 -2400
16 modelo_5 127100 91000 36100
13 modelo_5 170500 91000 79500
4 modelo_5 105260 91000 14260
44 modelo_5 144050 91000 53050
31 modelo_5 111350 91000 20350
4 modelo_5 74500 91000 -16500
28 modelo_5 122500 91000 31500
0 modelo_5 74000 91000 -17000
15 modelo_5 166800 91000 75800
7 modelo_5 92050 91000 1050
9 modelo_5 108100 91000 17100
19 modelo_5 94350 91000 3350
35 modelo_5 100351 91000 9351
6 modelo_5 146800 91000 55800
3 modelo_5 84716 91000 -6284
9 modelo_5 71065 91000 -19935
45 modelo_5 67559 91000 -23441
16 modelo_5 134550 91000 43550
15 modelo_5 135027 91000 44027
23 modelo_5 104428 91000 13428
9 modelo_5 95642 91000 4642
11 modelo_5 126431 91000 35431
15 modelo_5 161101 91000 70101
31 modelo_5 162221 91000 71221
4 modelo_5 84500 91000 -6500
15 modelo_5 124714 91000 33714
37 modelo_5 151650 91000 60650
10 modelo_5 99247 91000 8247
23 modelo_5 134778 91000 43778
60 modelo_5 192253 91000 101253
9 modelo_5 116518 91000 25518
10 modelo_5 105450 91000 14450
19 modelo_5 145098 91000 54098
6 modelo_5 104542 91000 13542
38 modelo_5 151445 91000 60445
23 modelo_5 98053 91000 7053
12 modelo_5 145000 91000 54000
25 modelo_5 128464 91000 37464
15 modelo_5 137317 91000 46317
11 modelo_5 106231 91000 15231
17 modelo_5 124312 91000 33312
38 modelo_5 114596 91000 23596
31 modelo_5 162150 91000 71150
35 modelo_5 150376 91000 59376
10 modelo_5 107986 91000 16986
27 modelo_5 142023 91000 51023
33 modelo_5 128250 91000 37250
3 modelo_5 80139 91000 -10861
28 modelo_5 144309 91000 53309
49 modelo_5 186960 91000 95960
38 modelo_5 93519 91000 2519
27 modelo_5 142500 91000 51500
20 modelo_5 138000 91000 47000
1 modelo_5 83600 91000 -7400
21 modelo_5 145028 91000 54028
40 modelo_5 88709 91000 -2291
35 modelo_5 107309 91000 16309
14 modelo_5 109954 91000 18954
4 modelo_5 78785 91000 -12215
11 modelo_5 121946 91000 30946
15 modelo_5 109646 91000 18646
30 modelo_5 138771 91000 47771
17 modelo_5 81285 91000 -9715
43 modelo_5 205500 91000 114500
40 modelo_5 101036 91000 10036
10 modelo_5 115435 91000 24435
1 modelo_5 108413 91000 17413
30 modelo_5 131950 91000 40950
31 modelo_5 134690 91000 43690
8 modelo_5 78182 91000 -12818
20 modelo_5 110515 91000 19515
7 modelo_5 109707 91000 18707
26 modelo_5 136660 91000 45660
19 modelo_5 103275 91000 12275
26 modelo_5 103649 91000 12649
1 modelo_5 74856 91000 -16144
3 modelo_5 77081 91000 -13919
38 modelo_5 150680 91000 59680
8 modelo_5 104121 91000 13121
3 modelo_5 75996 91000 -15004
23 modelo_5 172505 91000 81505
5 modelo_5 86895 91000 -4105
44 modelo_5 105000 91000 14000
21 modelo_5 125192 91000 34192
9 modelo_5 114330 91000 23330
27 modelo_5 139219 91000 48219
15 modelo_5 109305 91000 18305
36 modelo_5 119450 91000 28450
18 modelo_5 186023 91000 95023
19 modelo_5 166605 91000 75605
19 modelo_5 151292 91000 60292
30 modelo_5 103106 91000 12106
19 modelo_5 150564 91000 59564
25 modelo_5 101738 91000 10738
15 modelo_5 95329 91000 4329
4 modelo_5 81035 91000 -9965

Mas como resumir todos esses erros em um único valor? Poderia simplesmente tirar o erro médio em cima desse resíduo?

Não! Da forma como o resíduo está disposto, se eu somar, por exemplo, 60762 com -22561, isso aumentaria ou diminuiria o erro? Lembre que o menor erro possível é zero!

Se eu elevar o resíduo ao quadrado, erros negativos não vão anular erros positivos! Então farei isso! Terei algo do tipo:

dados[, residuo_ao_quadrado := residuo ^ 2, by = modelo]


dados %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico modelo salario salario_previsto residuo residuo_ao_quadrado
18 modelo_1 139750 113996 25754 663268516
16 modelo_1 173200 112438 60762 3692020644
3 modelo_1 79750 102311 -22561 508998721
39 modelo_1 115000 130355 -15355 235776025
41 modelo_1 141500 131913 9587 91910569
6 modelo_1 97000 104648 -7648 58491904
23 modelo_1 175000 117891 57109 3261437881
45 modelo_1 147765 135029 12736 162205696
20 modelo_1 119250 115554 3696 13660416
18 modelo_1 129000 113996 15004 225120016
8 modelo_1 119800 106206 13594 184796836
2 modelo_1 79800 101532 -21732 472279824
1 modelo_1 77700 100753 -23053 531440809
0 modelo_1 78000 99974 -21974 482856676
18 modelo_1 104800 113996 -9196 84566416
3 modelo_1 117150 102311 14839 220195921
20 modelo_1 101000 115554 -14554 211818916
34 modelo_1 103450 126460 -23010 529460100
23 modelo_1 124750 117891 6859 47045881
36 modelo_1 137000 128018 8982 80676324
26 modelo_1 89565 120228 -30663 940219569
31 modelo_1 102580 124123 -21543 464100849
30 modelo_1 93904 123344 -29440 866713600
19 modelo_1 113068 114775 -1707 2913849
8 modelo_1 74830 106206 -31376 984453376
8 modelo_1 106294 106206 88 7744
23 modelo_1 134885 117891 16994 288796036
3 modelo_1 82379 102311 -19932 397284624
0 modelo_1 77000 99974 -22974 527804676
8 modelo_1 118223 106206 12017 144408289
4 modelo_1 132261 103090 29171 850947241
2 modelo_1 79916 101532 -21616 467251456
9 modelo_1 117256 106985 10271 105493441
2 modelo_1 80225 101532 -21307 453988249
2 modelo_1 80225 101532 -21307 453988249
0 modelo_1 77000 99974 -22974 527804676
21 modelo_1 155750 116333 39417 1553699889
4 modelo_1 86373 103090 -16717 279458089
31 modelo_1 125196 124123 1073 1151329
9 modelo_1 100938 106985 -6047 36566209
2 modelo_1 146500 101532 44968 2022121024
23 modelo_1 93418 117891 -24473 598927729
27 modelo_1 101299 121007 -19708 388405264
38 modelo_1 231545 129576 101969 10397676961
19 modelo_1 94384 114775 -20391 415792881
15 modelo_1 114778 111659 3119 9728161
28 modelo_1 98193 121786 -23593 556629649
19 modelo_1 151768 114775 36993 1368482049
25 modelo_1 140096 119449 20647 426298609
1 modelo_1 70768 100753 -29985 899100225
28 modelo_1 126621 121786 4835 23377225
11 modelo_1 108875 108543 332 110224
3 modelo_1 74692 102311 -27619 762809161
9 modelo_1 106639 106985 -346 119716
11 modelo_1 103760 108543 -4783 22877089
5 modelo_1 83900 103869 -19969 398760961
21 modelo_1 117704 116333 1371 1879641
8 modelo_1 90215 106206 -15991 255712081
9 modelo_1 100135 106985 -6850 46922500
3 modelo_1 75044 102311 -27267 743489289
8 modelo_1 90304 106206 -15902 252873604
2 modelo_1 75243 101532 -26289 691111521
31 modelo_1 109785 124123 -14338 205578244
11 modelo_1 103613 108543 -4930 24304900
3 modelo_1 68404 102311 -33907 1149684649
8 modelo_1 100522 106206 -5684 32307856
12 modelo_1 101000 109322 -8322 69255684
31 modelo_1 99418 124123 -24705 610337025
17 modelo_1 111512 113217 -1705 2907025
36 modelo_1 91412 128018 -36606 1339999236
2 modelo_1 126320 101532 24788 614444944
45 modelo_1 146856 135029 11827 139877929
19 modelo_1 100131 114775 -14644 214446736
34 modelo_1 92391 126460 -34069 1160696761
23 modelo_1 113398 117891 -4493 20187049
3 modelo_1 73266 102311 -29045 843612025
3 modelo_1 150480 102311 48169 2320252561
19 modelo_1 193000 114775 78225 6119150625
1 modelo_1 86100 100753 -14653 214710409
2 modelo_1 84240 101532 -17292 299013264
28 modelo_1 150743 121786 28957 838507849
16 modelo_1 135585 112438 23147 535783609
20 modelo_1 144640 115554 29086 845995396
2 modelo_1 88825 101532 -12707 161467849
18 modelo_1 122960 113996 8964 80353296
14 modelo_1 132825 110880 21945 481583025
37 modelo_1 152708 128797 23911 571735921
2 modelo_1 88400 101532 -13132 172449424
25 modelo_1 172272 119449 52823 2790269329
7 modelo_1 107008 105427 1581 2499561
5 modelo_1 97032 103869 -6837 46744569
7 modelo_1 105128 105427 -299 89401
7 modelo_1 105631 105427 204 41616
38 modelo_1 166024 129576 36448 1328456704
20 modelo_1 123683 115554 8129 66080641
0 modelo_1 84000 99974 -15974 255168676
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2 modelo_5 77500 91000 -13500 182250000
7 modelo_5 116450 91000 25450 647702500
8 modelo_5 83000 91000 -8000 64000000
22 modelo_5 140300 91000 49300 2430490000
23 modelo_5 74000 91000 -17000 289000000
3 modelo_5 73800 91000 -17200 295840000
30 modelo_5 92550 91000 1550 2402500
33 modelo_5 88600 91000 -2400 5760000
45 modelo_5 107550 91000 16550 273902500
26 modelo_5 121200 91000 30200 912040000
31 modelo_5 126000 91000 35000 1225000000
35 modelo_5 99000 91000 8000 64000000
30 modelo_5 134800 91000 43800 1918440000
43 modelo_5 143940 91000 52940 2802643600
10 modelo_5 104350 91000 13350 178222500
44 modelo_5 89650 91000 -1350 1822500
7 modelo_5 103700 91000 12700 161290000
40 modelo_5 143250 91000 52250 2730062500
18 modelo_5 194800 91000 103800 10774440000
1 modelo_5 73000 91000 -18000 324000000
4 modelo_5 74000 91000 -17000 289000000
3 modelo_5 78500 91000 -12500 156250000
6 modelo_5 93000 91000 2000 4000000
48 modelo_5 107200 91000 16200 262440000
27 modelo_5 163200 91000 72200 5212840000
18 modelo_5 107100 91000 16100 259210000
46 modelo_5 100600 91000 9600 92160000
38 modelo_5 136500 91000 45500 2070250000
27 modelo_5 103600 91000 12600 158760000
51 modelo_5 57800 91000 -33200 1102240000
43 modelo_5 155865 91000 64865 4207468225
6 modelo_5 88650 91000 -2350 5522500
49 modelo_5 81800 91000 -9200 84640000
27 modelo_5 115800 91000 24800 615040000
0 modelo_5 85000 91000 -6000 36000000
27 modelo_5 150500 91000 59500 3540250000
5 modelo_5 74000 91000 -17000 289000000
7 modelo_5 174500 91000 83500 6972250000
28 modelo_5 168500 91000 77500 6006250000
9 modelo_5 183800 91000 92800 8611840000
1 modelo_5 104800 91000 13800 190440000
7 modelo_5 107300 91000 16300 265690000
36 modelo_5 97150 91000 6150 37822500
18 modelo_5 126300 91000 35300 1246090000
11 modelo_5 148800 91000 57800 3340840000
43 modelo_5 72300 91000 -18700 349690000
39 modelo_5 70700 91000 -20300 412090000
36 modelo_5 88600 91000 -2400 5760000
16 modelo_5 127100 91000 36100 1303210000
13 modelo_5 170500 91000 79500 6320250000
4 modelo_5 105260 91000 14260 203347600
44 modelo_5 144050 91000 53050 2814302500
31 modelo_5 111350 91000 20350 414122500
4 modelo_5 74500 91000 -16500 272250000
28 modelo_5 122500 91000 31500 992250000
0 modelo_5 74000 91000 -17000 289000000
15 modelo_5 166800 91000 75800 5745640000
7 modelo_5 92050 91000 1050 1102500
9 modelo_5 108100 91000 17100 292410000
19 modelo_5 94350 91000 3350 11222500
35 modelo_5 100351 91000 9351 87441201
6 modelo_5 146800 91000 55800 3113640000
3 modelo_5 84716 91000 -6284 39488656
9 modelo_5 71065 91000 -19935 397404225
45 modelo_5 67559 91000 -23441 549480481
16 modelo_5 134550 91000 43550 1896602500
15 modelo_5 135027 91000 44027 1938376729
23 modelo_5 104428 91000 13428 180311184
9 modelo_5 95642 91000 4642 21548164
11 modelo_5 126431 91000 35431 1255355761
15 modelo_5 161101 91000 70101 4914150201
31 modelo_5 162221 91000 71221 5072430841
4 modelo_5 84500 91000 -6500 42250000
15 modelo_5 124714 91000 33714 1136633796
37 modelo_5 151650 91000 60650 3678422500
10 modelo_5 99247 91000 8247 68013009
23 modelo_5 134778 91000 43778 1916513284
60 modelo_5 192253 91000 101253 10252170009
9 modelo_5 116518 91000 25518 651168324
10 modelo_5 105450 91000 14450 208802500
19 modelo_5 145098 91000 54098 2926593604
6 modelo_5 104542 91000 13542 183385764
38 modelo_5 151445 91000 60445 3653598025
23 modelo_5 98053 91000 7053 49744809
12 modelo_5 145000 91000 54000 2916000000
25 modelo_5 128464 91000 37464 1403551296
15 modelo_5 137317 91000 46317 2145264489
11 modelo_5 106231 91000 15231 231983361
17 modelo_5 124312 91000 33312 1109689344
38 modelo_5 114596 91000 23596 556771216
31 modelo_5 162150 91000 71150 5062322500
35 modelo_5 150376 91000 59376 3525509376
10 modelo_5 107986 91000 16986 288524196
27 modelo_5 142023 91000 51023 2603346529
33 modelo_5 128250 91000 37250 1387562500
3 modelo_5 80139 91000 -10861 117961321
28 modelo_5 144309 91000 53309 2841849481
49 modelo_5 186960 91000 95960 9208321600
38 modelo_5 93519 91000 2519 6345361
27 modelo_5 142500 91000 51500 2652250000
20 modelo_5 138000 91000 47000 2209000000
1 modelo_5 83600 91000 -7400 54760000
21 modelo_5 145028 91000 54028 2919024784
40 modelo_5 88709 91000 -2291 5248681
35 modelo_5 107309 91000 16309 265983481
14 modelo_5 109954 91000 18954 359254116
4 modelo_5 78785 91000 -12215 149206225
11 modelo_5 121946 91000 30946 957654916
15 modelo_5 109646 91000 18646 347673316
30 modelo_5 138771 91000 47771 2282068441
17 modelo_5 81285 91000 -9715 94381225
43 modelo_5 205500 91000 114500 13110250000
40 modelo_5 101036 91000 10036 100721296
10 modelo_5 115435 91000 24435 597069225
1 modelo_5 108413 91000 17413 303212569
30 modelo_5 131950 91000 40950 1676902500
31 modelo_5 134690 91000 43690 1908816100
8 modelo_5 78182 91000 -12818 164301124
20 modelo_5 110515 91000 19515 380835225
7 modelo_5 109707 91000 18707 349951849
26 modelo_5 136660 91000 45660 2084835600
19 modelo_5 103275 91000 12275 150675625
26 modelo_5 103649 91000 12649 159997201
1 modelo_5 74856 91000 -16144 260628736
3 modelo_5 77081 91000 -13919 193738561
38 modelo_5 150680 91000 59680 3561702400
8 modelo_5 104121 91000 13121 172160641
3 modelo_5 75996 91000 -15004 225120016
23 modelo_5 172505 91000 81505 6643065025
5 modelo_5 86895 91000 -4105 16851025
44 modelo_5 105000 91000 14000 196000000
21 modelo_5 125192 91000 34192 1169092864
9 modelo_5 114330 91000 23330 544288900
27 modelo_5 139219 91000 48219 2325071961
15 modelo_5 109305 91000 18305 335073025
36 modelo_5 119450 91000 28450 809402500
18 modelo_5 186023 91000 95023 9029370529
19 modelo_5 166605 91000 75605 5716116025
19 modelo_5 151292 91000 60292 3635125264
30 modelo_5 103106 91000 12106 146555236
19 modelo_5 150564 91000 59564 3547870096
25 modelo_5 101738 91000 10738 115304644
15 modelo_5 95329 91000 4329 18740241
4 modelo_5 81035 91000 -9965 99301225

Agora sim! Se eu tirar a média dos resíduos quadrados de cada modelo, eu terei uma medida única para definir o quanto cada modelo errou! O nome dessa medida se chama Erro Quadrado Médio! Ou seja, minimizando o erro quadrado médio, alcançamos um modelo capaz de se ajustar bem aos dados!

O erro quadrado médio de cada modelo é:

dados[, .(erro_quadrado_medio = mean(residuo_ao_quadrado)), by = modelo] %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
modelo erro_quadrado_medio
modelo_1 812572847
modelo_2 3441608291
modelo_3 8185810686
modelo_4 2841694470
modelo_5 1430698223

Qual dos 5 modelos apresentou o menor erro quadrado médio? O primeiro! Esse, inclusive, foi o modelo que utilizei no exemplo no início do capítulo.

Mas então, como formalizar um estimador para os parâmetros de um modelo linear, sem ter que ficar “chutando” diversos valores até acertar a melhor combinação possível? Matemática! A estimação é um pouco enjoada mas faz todo sentido!

Queremos encontrar uma combinação de parâmetros de \(\beta_j\) que minimize a média do quadrado dos resíduos. A expressão matemática é:

\[ miniminizar \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n {u_i}^2\right) = miniminizar \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (Y_i - \hat{Y_i})^2 \right) = miniminizar \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i))^2 \right) \]

Uma prova completa de como chegar nos estimadores dessa forma funcional é encontrada por meio da derivação dessa expressão feia acima, igualando ela a zero. Mas, sendo muito sincero, é uma fórmula um tanto quanto inútil e dificilmente cobrada em avaliações a nível de graduação. É importante, nesse primeiro momento, entender a lógica do processo de estimação, e não derivar esse trem todo sem saber o que está acontecendo.

Caso você tenha curiosidade, uma prova pelo método acima pode ser visto aqui. Eu resolvi também por dois outros métodos muito usados na estatística tradicional, neste outro documento aqui.

De toda forma, para um modelo de regressão linear, com a forma funcional de \(Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i\), os estimadores \(\beta_0\) e \(\beta_1\) podem ser estimados pelas equações:

\[ \hat{\beta_0} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i - \hat{\beta_1}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \]

\[ \hat{\beta_1}= \frac{n\sum_{i=1}^n Y_iX_i - \sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^n Y_i}{n\sum_{i=1}^nX_i^2-(\sum_{i=1}^nX_i)^2} \]

Destaco o por que conhecer essas fórmulas é inútil a seguir:

  1. Só funciona em modelos com específicamente essa forma funcional.
  2. Não permite a adição de mais variáveis.
  3. É horrível de calcular!

Uma solução melhor, que pode exigir a utilização de recursos computacionais é a fórmula matricial, que é bem mais simples de utilizar! (Dedicarei uma seção a essa fórmula!)

3.3 Formas funcionais

O que é uma forma funcional pode ser uma pergunta que você tenha feito na seção anterior. De forma simples, forma funcional é exatamente o que o nome quer dizer: a forma da função! Se nosso objetivo com a econometria é representar Y como função de X, podemos fazer isso de diferentes formas!

Dei dois exemplos de forma funcional linear na seção acima. Foram formas funcionais de uma linha reta sem e com intercepto. O que mais eu poderia fazer?

3.3.1 Modelos lineares clássicos

Um modelo linear clássico tem a seguinte forma funcional:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]

Ou seja, temos o valor coletado de Y, que no exemplo utilizado nesse capítulo seria o salário, e o valor coletado de X, que seriam os anos de estudo. Já estimamos e interpretamos esse modelo anteriormente! A relação de Y e X é diretamente captada por \(\beta_1\). Ou seja, para cada aumento em uma unidade de \(X_i\), \(Y_i\) aumenta ou diminui em \(\beta_1\)!

3.3.2 Modelos log-log

Os modelos log-log apresentam a seguinte forma funcional:

\[ log(Y_i) = \beta_0 + \beta_1log(X_i) + u_i \]

Note, que após coletar Y e X, eu estimo o modelo em cima do valor de log pra cada uma das observações. Lembrando dos nossos dados, tínhamos:

dataset[, salario_previsto := NULL]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario
18 139750
16 173200
3 79750
39 115000
41 141500
6 97000
23 175000
45 147765
20 119250
18 129000
8 119800
2 79800
1 77700
0 78000
18 104800
3 117150
20 101000
34 103450
23 124750
36 137000
26 89565
31 102580
30 93904
19 113068
8 74830
8 106294
23 134885
3 82379
0 77000
8 118223
4 132261
2 79916
9 117256
2 80225
2 80225
0 77000
21 155750
4 86373
31 125196
9 100938
2 146500
23 93418
27 101299
38 231545
19 94384
15 114778
28 98193
19 151768
25 140096
1 70768
28 126621
11 108875
3 74692
9 106639
11 103760
5 83900
21 117704
8 90215
9 100135
3 75044
8 90304
2 75243
31 109785
11 103613
3 68404
8 100522
12 101000
31 99418
17 111512
36 91412
2 126320
45 146856
19 100131
34 92391
23 113398
3 73266
3 150480
19 193000
1 86100
2 84240
28 150743
16 135585
20 144640
2 88825
18 122960
14 132825
37 152708
2 88400
25 172272
7 107008
5 97032
7 105128
7 105631
38 166024
20 123683
0 84000
12 95611
7 129676
14 102235
26 106689
25 133217
23 126933
5 153303
14 127512
10 83850
28 113543
8 82099
8 82600
8 81500
31 131205
16 112429
16 82100
1 72500
37 104279
0 105000
9 120806
29 148500
36 117515
1 72500
3 73500
14 115313
32 124309
22 97262
22 62884
22 96614
49 78162
26 155500
0 72500
30 113278
2 73000
9 83001
57 76840
8 77500
1 72500
25 168635
18 136000
14 108262
14 105668
7 73877
18 152664
8 100102
10 81500
11 106608
3 89942
27 112696
28 119015
4 92000
27 156938
26 144651
3 95079
12 128148
4 92000
9 111168
10 103994
0 92000
21 118971
18 113341
0 88000
6 95408
16 137167
2 89516
19 176500
7 98510
3 89942
0 88795
8 105890
16 167284
19 130664
6 101210
18 181257
5 91227
19 151575
24 93164
20 134185
6 105000
25 111751
7 95436
9 100944
14 147349
3 92000
11 142467
5 141136
8 100000
22 150000
23 101000
30 134000
10 103750
10 107500
28 106300
19 153750
9 180000
22 133700
18 122100
19 86250
53 90000
7 113600
4 92700
4 92000
33 189409
22 114500
4 92700
40 119700
17 160400
17 152500
5 165000
2 96545
33 162200
18 120000
2 91300
20 163200
3 91000
39 111350
7 128400
19 126200
1 118700
11 145350
11 146000
22 105350
7 109650
11 119500
21 170000
10 145200
6 107150
20 129600
35 87800
20 122400
1 63900
7 70000
11 88175
38 133900
27 91000
24 73300
19 148750
19 117555
3 69700
17 81700
25 114000
6 63100
40 77202
6 96200
3 69200
30 122875
37 102600
23 108200
23 84273
11 90450
23 91100
18 101100
23 128800
7 204000
39 109000
8 102000
12 132000
2 77500
7 116450
8 83000
22 140300
23 74000
3 73800
30 92550
33 88600
45 107550
26 121200
31 126000
35 99000
30 134800
43 143940
10 104350
44 89650
7 103700
40 143250
18 194800
1 73000
4 74000
3 78500
6 93000
48 107200
27 163200
18 107100
46 100600
38 136500
27 103600
51 57800
43 155865
6 88650
49 81800
27 115800
0 85000
27 150500
5 74000
7 174500
28 168500
9 183800
1 104800
7 107300
36 97150
18 126300
11 148800
43 72300
39 70700
36 88600
16 127100
13 170500
4 105260
44 144050
31 111350
4 74500
28 122500
0 74000
15 166800
7 92050
9 108100
19 94350
35 100351
6 146800
3 84716
9 71065
45 67559
16 134550
15 135027
23 104428
9 95642
11 126431
15 161101
31 162221
4 84500
15 124714
37 151650
10 99247
23 134778
60 192253
9 116518
10 105450
19 145098
6 104542
38 151445
23 98053
12 145000
25 128464
15 137317
11 106231
17 124312
38 114596
31 162150
35 150376
10 107986
27 142023
33 128250
3 80139
28 144309
49 186960
38 93519
27 142500
20 138000
1 83600
21 145028
40 88709
35 107309
14 109954
4 78785
11 121946
15 109646
30 138771
17 81285
43 205500
40 101036
10 115435
1 108413
30 131950
31 134690
8 78182
20 110515
7 109707
26 136660
19 103275
26 103649
1 74856
3 77081
38 150680
8 104121
3 75996
23 172505
5 86895
44 105000
21 125192
9 114330
27 139219
15 109305
36 119450
18 186023
19 166605
19 151292
30 103106
19 150564
25 101738
15 95329
4 81035

Nessa forma funcional, não tenho interesse nesses dados da forma como estão, e sim no valor do log deles. Então é só aplicar log para cada valor, gerando:

dataset[
  ,
  `:=` (
    log_salario = log(salario),
    log_anos_de_servico = log(anos_de_servico)
  )
]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario log_salario log_anos_de_servico
18 139750 11.84761 2.8903718
16 173200 12.06220 2.7725887
3 79750 11.28665 1.0986123
39 115000 11.65269 3.6635616
41 141500 11.86005 3.7135721
6 97000 11.48247 1.7917595
23 175000 12.07254 3.1354942
45 147765 11.90338 3.8066625
20 119250 11.68898 2.9957323
18 129000 11.76757 2.8903718
8 119800 11.69358 2.0794415
2 79800 11.28728 0.6931472
1 77700 11.26061 0.0000000
0 78000 11.26446 -Inf
18 104800 11.55981 2.8903718
3 117150 11.67121 1.0986123
20 101000 11.52288 2.9957323
34 103450 11.54684 3.5263605
23 124750 11.73407 3.1354942
36 137000 11.82774 3.5835189
26 89565 11.40272 3.2580965
31 102580 11.53840 3.4339872
30 93904 11.45003 3.4011974
19 113068 11.63574 2.9444390
8 74830 11.22297 2.0794415
8 106294 11.57396 2.0794415
23 134885 11.81218 3.1354942
3 82379 11.31909 1.0986123
0 77000 11.25156 -Inf
8 118223 11.68033 2.0794415
4 132261 11.79253 1.3862944
2 79916 11.28873 0.6931472
9 117256 11.67211 2.1972246
2 80225 11.29259 0.6931472
2 80225 11.29259 0.6931472
0 77000 11.25156 -Inf
21 155750 11.95601 3.0445224
4 86373 11.36643 1.3862944
31 125196 11.73764 3.4339872
9 100938 11.52226 2.1972246
2 146500 11.89478 0.6931472
23 93418 11.44484 3.1354942
27 101299 11.52583 3.2958369
38 231545 12.35253 3.6375862
19 94384 11.45513 2.9444390
15 114778 11.65076 2.7080502
28 98193 11.49469 3.3322045
19 151768 11.93011 2.9444390
25 140096 11.85008 3.2188758
1 70768 11.16716 0.0000000
28 126621 11.74895 3.3322045
11 108875 11.59796 2.3978953
3 74692 11.22113 1.0986123
9 106639 11.57720 2.1972246
11 103760 11.54984 2.3978953
5 83900 11.33738 1.6094379
21 117704 11.67593 3.0445224
8 90215 11.40995 2.0794415
9 100135 11.51427 2.1972246
3 75044 11.22583 1.0986123
8 90304 11.41094 2.0794415
2 75243 11.22848 0.6931472
31 109785 11.60628 3.4339872
11 103613 11.54842 2.3978953
3 68404 11.13319 1.0986123
8 100522 11.51813 2.0794415
12 101000 11.52288 2.4849066
31 99418 11.50709 3.4339872
17 111512 11.62189 2.8332133
36 91412 11.42313 3.5835189
2 126320 11.74657 0.6931472
45 146856 11.89721 3.8066625
19 100131 11.51423 2.9444390
34 92391 11.43378 3.5263605
23 113398 11.63866 3.1354942
3 73266 11.20185 1.0986123
3 150480 11.92159 1.0986123
19 193000 12.17045 2.9444390
1 86100 11.36326 0.0000000
2 84240 11.34143 0.6931472
28 150743 11.92333 3.3322045
16 135585 11.81735 2.7725887
20 144640 11.88200 2.9957323
2 88825 11.39442 0.6931472
18 122960 11.71961 2.8903718
14 132825 11.79679 2.6390573
37 152708 11.93628 3.6109179
2 88400 11.38963 0.6931472
25 172272 12.05683 3.2188758
7 107008 11.58066 1.9459101
5 97032 11.48280 1.6094379
7 105128 11.56293 1.9459101
7 105631 11.56771 1.9459101
38 166024 12.01989 3.6375862
20 123683 11.72548 2.9957323
0 84000 11.33857 -Inf
12 95611 11.46804 2.4849066
7 129676 11.77279 1.9459101
14 102235 11.53503 2.6390573
26 106689 11.57767 3.2580965
25 133217 11.79973 3.2188758
23 126933 11.75141 3.1354942
5 153303 11.94017 1.6094379
14 127512 11.75597 2.6390573
10 83850 11.33678 2.3025851
28 113543 11.63994 3.3322045
8 82099 11.31568 2.0794415
8 82600 11.32176 2.0794415
8 81500 11.30836 2.0794415
31 131205 11.78452 3.4339872
16 112429 11.63008 2.7725887
16 82100 11.31569 2.7725887
1 72500 11.19134 0.0000000
37 104279 11.55483 3.6109179
0 105000 11.56172 -Inf
9 120806 11.70194 2.1972246
29 148500 11.90834 3.3672958
36 117515 11.67432 3.5835189
1 72500 11.19134 0.0000000
3 73500 11.20504 1.0986123
14 115313 11.65541 2.6390573
32 124309 11.73053 3.4657359
22 97262 11.48516 3.0910425
22 62884 11.04905 3.0910425
22 96614 11.47848 3.0910425
49 78162 11.26654 3.8918203
26 155500 11.95440 3.2580965
0 72500 11.19134 -Inf
30 113278 11.63760 3.4011974
2 73000 11.19821 0.6931472
9 83001 11.32661 2.1972246
57 76840 11.24948 4.0430513
8 77500 11.25803 2.0794415
1 72500 11.19134 0.0000000
25 168635 12.03549 3.2188758
18 136000 11.82041 2.8903718
14 108262 11.59231 2.6390573
14 105668 11.56806 2.6390573
7 73877 11.21016 1.9459101
18 152664 11.93599 2.8903718
8 100102 11.51394 2.0794415
10 81500 11.30836 2.3025851
11 106608 11.57691 2.3978953
3 89942 11.40692 1.0986123
27 112696 11.63245 3.2958369
28 119015 11.68700 3.3322045
4 92000 11.42954 1.3862944
27 156938 11.96361 3.2958369
26 144651 11.88208 3.2580965
3 95079 11.46246 1.0986123
12 128148 11.76094 2.4849066
4 92000 11.42954 1.3862944
9 111168 11.61880 2.1972246
10 103994 11.55209 2.3025851
0 92000 11.42954 -Inf
21 118971 11.68664 3.0445224
18 113341 11.63816 2.8903718
0 88000 11.38509 -Inf
6 95408 11.46592 1.7917595
16 137167 11.82895 2.7725887
2 89516 11.40217 0.6931472
19 176500 12.08108 2.9444390
7 98510 11.49791 1.9459101
3 89942 11.40692 1.0986123
0 88795 11.39409 -Inf
8 105890 11.57016 2.0794415
16 167284 12.02745 2.7725887
19 130664 11.78038 2.9444390
6 101210 11.52495 1.7917595
18 181257 12.10767 2.8903718
5 91227 11.42111 1.6094379
19 151575 11.92884 2.9444390
24 93164 11.44212 3.1780538
20 134185 11.80697 2.9957323
6 105000 11.56172 1.7917595
25 111751 11.62403 3.2188758
7 95436 11.46621 1.9459101
9 100944 11.52232 2.1972246
14 147349 11.90056 2.6390573
3 92000 11.42954 1.0986123
11 142467 11.86687 2.3978953
5 141136 11.85748 1.6094379
8 100000 11.51293 2.0794415
22 150000 11.91839 3.0910425
23 101000 11.52288 3.1354942
30 134000 11.80560 3.4011974
10 103750 11.54974 2.3025851
10 107500 11.58525 2.3025851
28 106300 11.57402 3.3322045
19 153750 11.94308 2.9444390
9 180000 12.10071 2.1972246
22 133700 11.80335 3.0910425
18 122100 11.71260 2.8903718
19 86250 11.36501 2.9444390
53 90000 11.40756 3.9702919
7 113600 11.64044 1.9459101
4 92700 11.43712 1.3862944
4 92000 11.42954 1.3862944
33 189409 12.15166 3.4965076
22 114500 11.64833 3.0910425
4 92700 11.43712 1.3862944
40 119700 11.69274 3.6888795
17 160400 11.98543 2.8332133
17 152500 11.93492 2.8332133
5 165000 12.01370 1.6094379
2 96545 11.47776 0.6931472
33 162200 11.99659 3.4965076
18 120000 11.69525 2.8903718
2 91300 11.42191 0.6931472
20 163200 12.00273 2.9957323
3 91000 11.41861 1.0986123
39 111350 11.62043 3.6635616
7 128400 11.76291 1.9459101
19 126200 11.74562 2.9444390
1 118700 11.68435 0.0000000
11 145350 11.88690 2.3978953
11 146000 11.89136 2.3978953
22 105350 11.56504 3.0910425
7 109650 11.60505 1.9459101
11 119500 11.69107 2.3978953
21 170000 12.04355 3.0445224
10 145200 11.88587 2.3025851
6 107150 11.58198 1.7917595
20 129600 11.77221 2.9957323
35 87800 11.38282 3.5553481
20 122400 11.71505 2.9957323
1 63900 11.06507 0.0000000
7 70000 11.15625 1.9459101
11 88175 11.38708 2.3978953
38 133900 11.80485 3.6375862
27 91000 11.41861 3.2958369
24 73300 11.20232 3.1780538
19 148750 11.91002 2.9444390
19 117555 11.67466 2.9444390
3 69700 11.15196 1.0986123
17 81700 11.31081 2.8332133
25 114000 11.64395 3.2188758
6 63100 11.05248 1.7917595
40 77202 11.25418 3.6888795
6 96200 11.47418 1.7917595
3 69200 11.14476 1.0986123
30 122875 11.71892 3.4011974
37 102600 11.53859 3.6109179
23 108200 11.59174 3.1354942
23 84273 11.34182 3.1354942
11 90450 11.41255 2.3978953
23 91100 11.41971 3.1354942
18 101100 11.52387 2.8903718
23 128800 11.76602 3.1354942
7 204000 12.22588 1.9459101
39 109000 11.59910 3.6635616
8 102000 11.53273 2.0794415
12 132000 11.79056 2.4849066
2 77500 11.25803 0.6931472
7 116450 11.66522 1.9459101
8 83000 11.32660 2.0794415
22 140300 11.85154 3.0910425
23 74000 11.21182 3.1354942
3 73800 11.20911 1.0986123
30 92550 11.43550 3.4011974
33 88600 11.39189 3.4965076
45 107550 11.58571 3.8066625
26 121200 11.70520 3.2580965
31 126000 11.74404 3.4339872
35 99000 11.50288 3.5553481
30 134800 11.81155 3.4011974
43 143940 11.87715 3.7612001
10 104350 11.55551 2.3025851
44 89650 11.40367 3.7841896
7 103700 11.54926 1.9459101
40 143250 11.87235 3.6888795
18 194800 12.17973 2.8903718
1 73000 11.19821 0.0000000
4 74000 11.21182 1.3862944
3 78500 11.27085 1.0986123
6 93000 11.44035 1.7917595
48 107200 11.58245 3.8712010
27 163200 12.00273 3.2958369
18 107100 11.58152 2.8903718
46 100600 11.51891 3.8286414
38 136500 11.82408 3.6375862
27 103600 11.54829 3.2958369
51 57800 10.96474 3.9318256
43 155865 11.95675 3.7612001
6 88650 11.39245 1.7917595
49 81800 11.31203 3.8918203
27 115800 11.65962 3.2958369
0 85000 11.35041 -Inf
27 150500 11.92172 3.2958369
5 74000 11.21182 1.6094379
7 174500 12.06968 1.9459101
28 168500 12.03469 3.3322045
9 183800 12.12160 2.1972246
1 104800 11.55981 0.0000000
7 107300 11.58338 1.9459101
36 97150 11.48401 3.5835189
18 126300 11.74642 2.8903718
11 148800 11.91036 2.3978953
43 72300 11.18858 3.7612001
39 70700 11.16620 3.6635616
36 88600 11.39189 3.5835189
16 127100 11.75273 2.7725887
13 170500 12.04649 2.5649494
4 105260 11.56419 1.3862944
44 144050 11.87792 3.7841896
31 111350 11.62043 3.4339872
4 74500 11.21855 1.3862944
28 122500 11.71587 3.3322045
0 74000 11.21182 -Inf
15 166800 12.02455 2.7080502
7 92050 11.43009 1.9459101
9 108100 11.59081 2.1972246
19 94350 11.45477 2.9444390
35 100351 11.51643 3.5553481
6 146800 11.89683 1.7917595
3 84716 11.34706 1.0986123
9 71065 11.17135 2.1972246
45 67559 11.12076 3.8066625
16 134550 11.80969 2.7725887
15 135027 11.81323 2.7080502
23 104428 11.55625 3.1354942
9 95642 11.46837 2.1972246
11 126431 11.74745 2.3978953
15 161101 11.98979 2.7080502
31 162221 11.99671 3.4339872
4 84500 11.34451 1.3862944
15 124714 11.73378 2.7080502
37 151650 11.92933 3.6109179
10 99247 11.50537 2.3025851
23 134778 11.81138 3.1354942
60 192253 12.16657 4.0943446
9 116518 11.66580 2.1972246
10 105450 11.56599 2.3025851
19 145098 11.88516 2.9444390
6 104542 11.55734 1.7917595
38 151445 11.92798 3.6375862
23 98053 11.49326 3.1354942
12 145000 11.88449 2.4849066
25 128464 11.76340 3.2188758
15 137317 11.83005 2.7080502
11 106231 11.57337 2.3978953
17 124312 11.73055 2.8332133
38 114596 11.64917 3.6375862
31 162150 11.99628 3.4339872
35 150376 11.92089 3.5553481
10 107986 11.58976 2.3025851
27 142023 11.86374 3.2958369
33 128250 11.76174 3.4965076
3 80139 11.29152 1.0986123
28 144309 11.87971 3.3322045
49 186960 12.13865 3.8918203
38 93519 11.44592 3.6375862
27 142500 11.86710 3.2958369
20 138000 11.83501 2.9957323
1 83600 11.33380 0.0000000
21 145028 11.88468 3.0445224
40 88709 11.39312 3.6888795
35 107309 11.58347 3.5553481
14 109954 11.60782 2.6390573
4 78785 11.27448 1.3862944
11 121946 11.71133 2.3978953
15 109646 11.60501 2.7080502
30 138771 11.84058 3.4011974
17 81285 11.30572 2.8332133
43 205500 12.23320 3.7612001
40 101036 11.52323 3.6888795
10 115435 11.65646 2.3025851
1 108413 11.59370 0.0000000
30 131950 11.79018 3.4011974
31 134690 11.81073 3.4339872
8 78182 11.26679 2.0794415
20 110515 11.61291 2.9957323
7 109707 11.60557 1.9459101
26 136660 11.82525 3.2580965
19 103275 11.54515 2.9444390
26 103649 11.54877 3.2580965
1 74856 11.22332 0.0000000
3 77081 11.25261 1.0986123
38 150680 11.92291 3.6375862
8 104121 11.55331 2.0794415
3 75996 11.23844 1.0986123
23 172505 12.05818 3.1354942
5 86895 11.37246 1.6094379
44 105000 11.56172 3.7841896
21 125192 11.73760 3.0445224
9 114330 11.64684 2.1972246
27 139219 11.84380 3.2958369
15 109305 11.60190 2.7080502
36 119450 11.69065 3.5835189
18 186023 12.13363 2.8903718
19 166605 12.02338 2.9444390
19 151292 11.92697 2.9444390
30 103106 11.54351 3.4011974
19 150564 11.92214 2.9444390
25 101738 11.53016 3.2188758
15 95329 11.46509 2.7080502
4 81035 11.30264 1.3862944

Agora eu estimo o modelo em cima dessas duas novas colunas! Graficamente teremos:

ggplot(dataset, aes(log_anos_de_servico, log_salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre log dos salários e log do tempo de trabalho",
       x = "Logarítmo do tempo de serviço", y = "Log do salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

A diferença é que agora teremos o seguinte modelo:

\[ log(Y_i) = 11.3115 + 0.1194log(X_i) + u_i \]

A interpretação desses valores também é relativamente simples! O intercepto está em log, podemos aplicar o antilogaritmo pra encontrar o valor em unidades que estamos acostumados. É o mesmo que:

\[ e^{11.3115} = 81756.45 \]

Nesse modelo, os salários de entrada são menores que naquele primeiro modelo estimado. Um professor sem experiência ganha, em média, 81756 por ano! E o parâmetro \(\beta_1\)? Precisamos aplicar o antilogarítmo também? Não! Podemos interpretar diretamente que acontece com Y se aumentamos X, a única diferença é que agora consideramos uma variação percetual em ambos!

No caso, um aumento em 1% dos anos de serviço aumenta o salário do professor em 0.1194%! Nesse caso a utilização do modelo log-log é mais confusa não é? As vezes isso acontece! E cabe ao analista responsável, ou ao pesquisador, definir o que mais faz sentido para o estudo! Por isso a forma funcional é muito importante!

3.3.3 Modelos de regressão polinomial

Essa classe de modelos de regressão apresentam uma forma funcional muito utilizada na área de produção e custos!

Veja o gráfico abaixo. Esse modelo parece melhor que um modelo de linha reta tradicional, mas é uma regressão linear?

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", formula = y ~ poly(x, 2) , color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Se sua resposta foi sim, você acertou! É uma regressão linear com uma forma funcional quadrática! Eu estimei isso daqui:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \beta_2X_i^2 + u_i \]

Na prática só elevei a coluna de tempo de serviço ao quadrado e estimei um \(\beta_2\) pra dar esse formato de curva pro modelo. A interpretação dos coeficientes estimados é um pouco diferente, mas o modelo parece melhor ajustado aos dados. (Quando falarmos de Coeficiente de determinação R2, o ajustamento será melhor aprofundado.)

O próximo modelo também é uma regressão linear. Você consegue adivinhar a forma funcional dele?

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", formula = y ~ poly(x, 3) , color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Dessa vez estimei uma forma funcional cúbica! Veja a expressão matemática estimada:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \beta_2X_i^2 + \beta_3X_i^3 + u_i \]

Note que o objetivo da econometria é estimar exatamente os parâmetros desconhecidos \(\beta_j\)! No início desse documento eu falei muito sobre estimar a média de um evento. Na prática, buscamos a mesma coisa aqui! O valor de \(\beta_j\) que melhor representa um conjunto de dados!

4 As Funções de Regressão Linear Populacional (FRLP) e Amostral (FRLA)

No capítulo de introdução, faço uma revisão rápida sobre os conceitos de população e amostra. Nessa seção, irei explorar um pouco mais esse conceito e aprofundar na lógica da inferência.

Em princípio, uma FRLP é simplesmente uma regressão linear estimada usando os dados de toda uma população. Como muitas vezes não é possível acessar todos os dados de uma população, recorremos a métodos de amostragem para inferir sobre os valores populacionais.

Na seção anterior, utilizei uma base de dados que continha informações referentes a todos os professores de uma cidade. Os dados são dispostos da seguinte forma:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario")

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario
18 139750
16 173200
3 79750
39 115000
41 141500
6 97000
23 175000
45 147765
20 119250
18 129000
8 119800
2 79800
1 77700
0 78000
18 104800
3 117150
20 101000
34 103450
23 124750
36 137000
26 89565
31 102580
30 93904
19 113068
8 74830
8 106294
23 134885
3 82379
0 77000
8 118223
4 132261
2 79916
9 117256
2 80225
2 80225
0 77000
21 155750
4 86373
31 125196
9 100938
2 146500
23 93418
27 101299
38 231545
19 94384
15 114778
28 98193
19 151768
25 140096
1 70768
28 126621
11 108875
3 74692
9 106639
11 103760
5 83900
21 117704
8 90215
9 100135
3 75044
8 90304
2 75243
31 109785
11 103613
3 68404
8 100522
12 101000
31 99418
17 111512
36 91412
2 126320
45 146856
19 100131
34 92391
23 113398
3 73266
3 150480
19 193000
1 86100
2 84240
28 150743
16 135585
20 144640
2 88825
18 122960
14 132825
37 152708
2 88400
25 172272
7 107008
5 97032
7 105128
7 105631
38 166024
20 123683
0 84000
12 95611
7 129676
14 102235
26 106689
25 133217
23 126933
5 153303
14 127512
10 83850
28 113543
8 82099
8 82600
8 81500
31 131205
16 112429
16 82100
1 72500
37 104279
0 105000
9 120806
29 148500
36 117515
1 72500
3 73500
14 115313
32 124309
22 97262
22 62884
22 96614
49 78162
26 155500
0 72500
30 113278
2 73000
9 83001
57 76840
8 77500
1 72500
25 168635
18 136000
14 108262
14 105668
7 73877
18 152664
8 100102
10 81500
11 106608
3 89942
27 112696
28 119015
4 92000
27 156938
26 144651
3 95079
12 128148
4 92000
9 111168
10 103994
0 92000
21 118971
18 113341
0 88000
6 95408
16 137167
2 89516
19 176500
7 98510
3 89942
0 88795
8 105890
16 167284
19 130664
6 101210
18 181257
5 91227
19 151575
24 93164
20 134185
6 105000
25 111751
7 95436
9 100944
14 147349
3 92000
11 142467
5 141136
8 100000
22 150000
23 101000
30 134000
10 103750
10 107500
28 106300
19 153750
9 180000
22 133700
18 122100
19 86250
53 90000
7 113600
4 92700
4 92000
33 189409
22 114500
4 92700
40 119700
17 160400
17 152500
5 165000
2 96545
33 162200
18 120000
2 91300
20 163200
3 91000
39 111350
7 128400
19 126200
1 118700
11 145350
11 146000
22 105350
7 109650
11 119500
21 170000
10 145200
6 107150
20 129600
35 87800
20 122400
1 63900
7 70000
11 88175
38 133900
27 91000
24 73300
19 148750
19 117555
3 69700
17 81700
25 114000
6 63100
40 77202
6 96200
3 69200
30 122875
37 102600
23 108200
23 84273
11 90450
23 91100
18 101100
23 128800
7 204000
39 109000
8 102000
12 132000
2 77500
7 116450
8 83000
22 140300
23 74000
3 73800
30 92550
33 88600
45 107550
26 121200
31 126000
35 99000
30 134800
43 143940
10 104350
44 89650
7 103700
40 143250
18 194800
1 73000
4 74000
3 78500
6 93000
48 107200
27 163200
18 107100
46 100600
38 136500
27 103600
51 57800
43 155865
6 88650
49 81800
27 115800
0 85000
27 150500
5 74000
7 174500
28 168500
9 183800
1 104800
7 107300
36 97150
18 126300
11 148800
43 72300
39 70700
36 88600
16 127100
13 170500
4 105260
44 144050
31 111350
4 74500
28 122500
0 74000
15 166800
7 92050
9 108100
19 94350
35 100351
6 146800
3 84716
9 71065
45 67559
16 134550
15 135027
23 104428
9 95642
11 126431
15 161101
31 162221
4 84500
15 124714
37 151650
10 99247
23 134778
60 192253
9 116518
10 105450
19 145098
6 104542
38 151445
23 98053
12 145000
25 128464
15 137317
11 106231
17 124312
38 114596
31 162150
35 150376
10 107986
27 142023
33 128250
3 80139
28 144309
49 186960
38 93519
27 142500
20 138000
1 83600
21 145028
40 88709
35 107309
14 109954
4 78785
11 121946
15 109646
30 138771
17 81285
43 205500
40 101036
10 115435
1 108413
30 131950
31 134690
8 78182
20 110515
7 109707
26 136660
19 103275
26 103649
1 74856
3 77081
38 150680
8 104121
3 75996
23 172505
5 86895
44 105000
21 125192
9 114330
27 139219
15 109305
36 119450
18 186023
19 166605
19 151292
30 103106
19 150564
25 101738
15 95329
4 81035

Coletar informações de quase 400 professores pode ser uma tarefa fácil, mas duvido que todos concordem em fornecer informações pessoais com tanta facilidade. Assim, alguns podem simplesmente se recusar a fazer parte desse estudo, nos obrigando a trabalhar com uma amostra desses professores!

Nesse caso, digamos que você tenha conseguido coletar dados referentes a um pouco mais que metade dos professores dessa cidade (150). Seus dados amostrais seriam esses:

set.seed(42)
dataset_amostra <- copy(slice_sample(dataset, n = 150))

dataset_amostra %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario
25 140096
23 104428
9 111168
34 92391
7 70000
28 119015
32 124309
4 81035
0 72500
13 170500
19 113068
15 124714
21 145028
25 172272
0 88795
31 131205
36 137000
31 134690
10 115435
18 126300
44 105000
51 57800
8 81500
41 141500
39 111350
33 128250
4 78785
3 73800
35 100351
11 148800
27 139219
0 88000
43 72300
30 131950
18 136000
28 168500
15 161101
19 151292
19 103275
20 110515
4 92700
39 115000
20 122400
1 118700
23 84273
37 104279
45 107550
2 73000
3 79750
23 74000
30 134000
14 105668
9 100938
26 136660
9 117256
5 153303
30 103106
14 109954
10 99247
18 113341
3 73266
35 99000
2 80225
21 170000
3 117150
11 119500
18 101100
31 162221
36 117515
28 144309
16 135585
23 134778
23 172505
36 97150
26 144651
21 117704
26 106689
1 108413
5 97032
44 89650
11 142467
9 106639
0 85000
18 120000
11 90450
3 75044
6 88650
8 82600
49 78162
16 82100
45 146856
7 92050
18 139750
8 100102
2 96545
43 205500
23 93418
36 88600
60 192253
39 109000
12 145000
8 74830
9 180000
2 79916
6 63100
0 78000
16 112429
49 186960
17 81285
19 94350
30 122875
20 129600
5 74000
19 126200
20 123683
6 97000
8 102000
40 143250
2 80225
10 107500
2 77500
10 104350
36 119450
2 146500
18 122100
8 100522
4 92000
7 129676
11 121946
8 82099
15 109646
19 176500
22 62884
19 86250
26 103649
1 104800
23 101000
25 128464
21 155750
10 107986
6 104542
19 193000
43 143940
21 118971
19 166605
12 95611
11 88175
1 63900
5 141136
22 105350

O que muda de uma base pra outra é que na segunda base introduzimos a incerteza na nossa pesquisa. Podemos garantir certa confiabilidade ao que concluirmos sobre esses dados considerando que nossa amostra é boa. (Podem ocorrer erros amostrais que prejudicam a confiança nos dados e invalidam uma pesquisa!)

Representando graficamente os dados, teremos o seguinte gráfico (com uma regressão estimada por MQO) para os dados populacionais:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
  stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
                label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Regressão com dados populacionais",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

E o seguinte gráfico (com uma regressão estimada por MQO) para os dados amostrais:

ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
  stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
                label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Regressão com dados amostrais",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Qual a diferença entre os dois gráficos? (Veja os parâmetros estimados para cada beta desenhados no gráfico!)

Os valores de \(\beta_j\) são diferentes! Assim como na seção em que reviso estatística o valor da média na amostra era diferente da média populacional, os valores de \(\beta_j\) também são diferentes! Isso quer dizer que nossa amostra nos fornece uma estimativa do valor populacional. Matematicamente isso deve ser representado!

Quando falamos de FRLP, podemos simplesmente escrever: \[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]

Mas como não temos acesso aos dados da população, devemos escrever:

\[ Y_i = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}X_i + \hat{u_i} \]

A diferença dessa notação é mais uma questão de transparência com relação aos dados que temos disponíveis. Assim como temos a diferença em termos populacionais \(E(X_i)\) e amostrais \(\bar{X}\) para média, devemos deixar clara a diferença para os valores de \(\beta_j\) estimados.

O que poderia acontecer com minha FRLA se minha amostra fosse ruim? Por exemplo, imagine que eu coletei as informações de somente 30 professores. Igual fiz anteriormente, posso representar graficamente os dados populacionais:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
  stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
                label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Regressão com dados populacionais",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

E amostrais (com apenas 30 observações):

set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dataset, n = 10), aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
  stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
                label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Regressão com dados amostrais",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

A inclinação dessa regressão ficou bem maior! Isso introduz viés na nossa pesquisa e descredibiliza nossos achados! Esse viés, inclusive, pode ser atribuido a uma seleção mal feita da amostra, pois seleciona menos profissionais com menos tempo de experiência do que profissionais mais experientes, inflacionando o peso da experiência na nossa regressão. Iremos tratar mais sobre hipóteses do modelo clássico em um capítulo dedicado.

4.1 Significância individual dos parâmetros

Uma coisa interessante que podemos fazer com o valor de cada \(\beta_j\) estimado e testar se o valor estimado para ele é estatisticamente igual a zero, ou, em outras palavras, se esse valor é estatísticamente significativo!

Para isso, podemos usar teoria estatística com o objetivo de medir o quão certo podemos estar ao assumir uma posição acerca de nossas observações.

Caso você queira uma revisão completa de testes de hipótese e interpretação de valores p, acesse aqui. Nesse documento não irei me desdobrar muito no sentido de mastigar como funcionam os testes de hipótese, apenas farei meu melhor para explicar como interpretar os resultados.

Usarei de exemplo a FRLA estimada no início desse documento, sendo essa:

\[ Y_i = 98914.9 + 798X_i + \hat{u_i} \]

Podemos testar individualmente a significância estatística de cada parâmetro pelo seguinte teste de hipótese:

\[ H_0: \hat{\beta_j} = 0 \] \[ H_a: \hat{\beta_j} \neq 0 \]

E nossa estatística de teste é calculada da seguinte forma:

\[ t_{calculado} = \frac{\hat{\beta_j} - 0}{ep(\hat{\beta_j})} \]

Sendo que \(t_{calculado}\) segue a distribuição bicaudal de t de student, com um nível \(\alpha\) de significância e g graus de liberdade.

No caso do nosso modelo, temos os valores para os dois parâmetros \(\beta_j\) estimados, basta calculamos o erro padrão desses parâmetros e encontraremos o valor t associado a cada um deles!

Calcular o erro padrão muitas vezes não é algo tão simples, assim como estimar os valores de \(\beta_j\). Esse cálculo pode variar a depender da forma funcional do seu modelo! Fora que o cálculo do erro padrão é um processo que envolve muita conta, sendo melhor feito por um computador.

Devido aos motivos acima, vou apenas apresentar o resultado do modelo e com base nele explico como interpretar os resultados!

Abaixo apresento a estimativa do modelo, de forma detalhada, fornecida por uma função do R:

summary(lm(salario ~ anos_de_servico, dataset_amostra))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico, data = dataset_amostra)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81814 -20835  -2395  13627  78923 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      98914.9     4005.4  24.695  < 2e-16 ***
## anos_de_servico    798.0      174.3   4.578 9.86e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28690 on 148 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1241, Adjusted R-squared:  0.1181 
## F-statistic: 20.96 on 1 and 148 DF,  p-value: 9.858e-06

Veja que o R calcula também automaticamente o valor t e o pvalor associado a ele. De forma simples, os valores t dessa regressão, para cada parâmetro, são calulados da seguinte forma:

\[ t_{calculado}^{\beta_0} = \frac{98914.9 - 0}{4005.4} = 24.695 \] \[ t_{calculado}^{\beta_1} = \frac{798 - 0}{174.3} = 4.578 \]

O pvalor serve para facilitar o diagnóstico do teste de hipótese. Se nosso pvalor for menor que o nível de significância, devemos rejeitar a hipótese nula. De acordo com o modelo detalhado acima, os parâmetros são significativos a um nível de 5% de significância (0.05)?

Sim! Diga-se de passagem, os parâmetros são significativos a um nível até mesmo menor que 1% de significância, visto que os pvalores associados a cada parâmetro são menores que 0.01! (Uma explicação sobre cálculo de pvalores e interpretação mais extensiva pode ser visto no documento previamente citado no início dessa seção.)

4.2 Coeficiente de determinação R2

Inicio essa seção indicando um excelente vídeo de um canal que já me ajudou demais, o Stat Quest. O que farei nessa seção será basicamente uma explicação similar ao vídeo de como usar a lógica para interpretar os resultados de um coeficiente de determinação.

Antes de mais nada, abaixo apresento a mesma base utilizada ao longo do capítulo, com uma simples adição: um número que identifica cada um dos professores. Imagine que a cada informação que eu coletei, eu adicionei um número para identificar a ordem de resposta de cada profissional. A base ficaria assim:

dataset_amostra[, professor := 1:150]

dataset_amostra %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario professor
25 140096 1
23 104428 2
9 111168 3
34 92391 4
7 70000 5
28 119015 6
32 124309 7
4 81035 8
0 72500 9
13 170500 10
19 113068 11
15 124714 12
21 145028 13
25 172272 14
0 88795 15
31 131205 16
36 137000 17
31 134690 18
10 115435 19
18 126300 20
44 105000 21
51 57800 22
8 81500 23
41 141500 24
39 111350 25
33 128250 26
4 78785 27
3 73800 28
35 100351 29
11 148800 30
27 139219 31
0 88000 32
43 72300 33
30 131950 34
18 136000 35
28 168500 36
15 161101 37
19 151292 38
19 103275 39
20 110515 40
4 92700 41
39 115000 42
20 122400 43
1 118700 44
23 84273 45
37 104279 46
45 107550 47
2 73000 48
3 79750 49
23 74000 50
30 134000 51
14 105668 52
9 100938 53
26 136660 54
9 117256 55
5 153303 56
30 103106 57
14 109954 58
10 99247 59
18 113341 60
3 73266 61
35 99000 62
2 80225 63
21 170000 64
3 117150 65
11 119500 66
18 101100 67
31 162221 68
36 117515 69
28 144309 70
16 135585 71
23 134778 72
23 172505 73
36 97150 74
26 144651 75
21 117704 76
26 106689 77
1 108413 78
5 97032 79
44 89650 80
11 142467 81
9 106639 82
0 85000 83
18 120000 84
11 90450 85
3 75044 86
6 88650 87
8 82600 88
49 78162 89
16 82100 90
45 146856 91
7 92050 92
18 139750 93
8 100102 94
2 96545 95
43 205500 96
23 93418 97
36 88600 98
60 192253 99
39 109000 100
12 145000 101
8 74830 102
9 180000 103
2 79916 104
6 63100 105
0 78000 106
16 112429 107
49 186960 108
17 81285 109
19 94350 110
30 122875 111
20 129600 112
5 74000 113
19 126200 114
20 123683 115
6 97000 116
8 102000 117
40 143250 118
2 80225 119
10 107500 120
2 77500 121
10 104350 122
36 119450 123
2 146500 124
18 122100 125
8 100522 126
4 92000 127
7 129676 128
11 121946 129
8 82099 130
15 109646 131
19 176500 132
22 62884 133
19 86250 134
26 103649 135
1 104800 136
23 101000 137
25 128464 138
21 155750 139
10 107986 140
6 104542 141
19 193000 142
43 143940 143
21 118971 144
19 166605 145
12 95611 146
11 88175 147
1 63900 148
5 141136 149
22 105350 150

Existe alguma relação entre o número de resposta e o salário do professor? Graficamente teremos algo assim:

ggplot(dataset_amostra, aes(professor, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação entre ordem de resposta e salário",
       x = "Ordem de resposta", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Qual seria a melhor forma de estimar o salário de um profissional, considerando esse gráfico? Na revisão de estatística eu comentei que a média pode ser muito bem usada para isso! Abaixo eu apresento o mesmo gráfico acima, com a adição de uma linha vermelha, que representa a média salarial da amostra:

ggplot(dataset_amostra, aes(professor, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_hline(color = "indianred1", yintercept = mean(dataset_amostra$salario)) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação entre ordem de resposta e salário",
       x = "Ordem de resposta", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Será que com um modelo poderíamos alcançar um resultado melhor que a média? O quão melhor seria esse resultado? Pra isso que usamos o R2!

Um modelo foi estimado usando a ordem de resposta como variável explicativa para o salário, e podemos representar graficamente o modelo como segue:

ggplot(dataset_amostra, aes(professor, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
  stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
                label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação entre ordem de resposta e salário",
       x = "Ordem de resposta", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Esse modelo é melhor que nossa estimativa de média? É bem parecido não é mesmo? Veja os resultados de forma detalhada dessa regressão:

summary(lm(salario ~ professor, dataset_amostra))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ professor, data = dataset_amostra)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -56018 -22942  -5076  20702  91721 
## 
## Coefficients:
##               Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)  1.138e+05  5.031e+03  22.625   <2e-16 ***
## professor   -5.247e-01  5.780e+01  -0.009    0.993    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 30660 on 148 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  5.568e-07,  Adjusted R-squared:  -0.006756 
## F-statistic: 8.241e-05 on 1 and 148 DF,  p-value: 0.9928

Nosso coeficiente de inclinação é estatisticamente diferente de zero? (Veja a última seção!) Veja o resultado do R2 desse modelo em Relação entre ordem de resposta e salário. Deu um valor bem baixo não é? Guarde essa informação!

E se, ao invés de estimar um modelo usando essa variável, usarmos os anos de servico de um professor como preditor do salario? Já fizemos isso anteriormente, resultando nesse gráfico:

ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_hline(color = "gray32", yintercept = mean(dataset_amostra$salario)) +
  stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
  stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
                label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Regressão com dados amostrais",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

A linha cinza é a média dos salários e a linha vermelha é nosso modelo. A média salarial é uma estimativa de salários melhor que nosso modelo? O quão melhor é nosso modelo ao compararmos com a média?

Podemos representar esse problema com matemática:

\[ R2 = \frac{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2 - \sum_{i=1}^n(Y_i - \hat{Y_i})^2}{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2} \]

Para simplificar, posso reescrever essa equação como sendo:

\[ R2 = \frac{var(media) - var(modelo)}{var(media)} \]

Se a variância do meu modelo é igual a variância da média, o que acontece com R2? E se a variância do meu modelo for algo próximo a 0? Como a estimativa mais simples que eu posso dar para um conjunto de dados é a média, o R2 deve, necessariamente, ser um valor entre 0 e 1!

Quando meu modelo varia bem menos que a média, isso quer dizer que meu modelo é mais capaz de explicar meus dados do que a média em alguma proporção. A título de curiosidade, vou calcular o R2 do nosso modelo manualmente, de forma que:

O valor de \(\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2 = var(media)\) e de \(\sum_{i=1}^n(\hat{Y_i}-\bar{Y})^2 = var(modelo)\), calculadas no R, são de:

modelo <- lm(salario ~ anos_de_servico, dataset_amostra)
var_media <- sum((dataset_amostra$salario - mean(dataset_amostra$salario))^2)
var_modelo <- sum((dataset_amostra$salario - predict(modelo))^2)

print(paste0("A variância da média calculada foi de: ", var_media, ", e a variância do modelo calculado foi de: ", var_modelo))
## [1] "A variância da média calculada foi de: 139080468101.893, e a variância do modelo calculado foi de: 121825757589.415"

Assim, o R2 do modelo é de:

\[ R2 = \frac{139080468101.893 - 121825757589.415}{139080468101.893} = 0.1240628 \]

Veja o resultado detalhado desse modelo gerado pelo R:

summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico, data = dataset_amostra)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81814 -20835  -2395  13627  78923 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      98914.9     4005.4  24.695  < 2e-16 ***
## anos_de_servico    798.0      174.3   4.578 9.86e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28690 on 148 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1241, Adjusted R-squared:  0.1181 
## F-statistic: 20.96 on 1 and 148 DF,  p-value: 9.858e-06

Nosso cálculo do R2 manual é exatamente igual ao R2 fornecido pelo R! Podemos interpretar esse valor simplesmente por quanto as variações da variável anos_de_servico explicam as variações do salário. O poder explicativo do nosso modelo é de 12.41%! Se o modelo fosse uma simples média, o R2 dele seria 0%! E se fosse um modelo muito melhor que a média? Algo próximo de 100%!

O R2 pode ser usado também como medida de ajustamento do modelo, podendo medir o quanto a adição de uma variável adiciona no poder explicativo do modelo!

5 Hipóteses do modelo clássico

Nesse capítulo irei abordar as Hipóteses do Modelo Clássico de Regressão Linear HMCRL. Na prática, essas hipóteses existem para garantir duas relações fundamentais em qualquer estudo: a eficiência do estimador; a confiabilidade dos testes estatísticos.

Veremos a frente o que significa não respeitar as hipóteses do modelo clássico, e as consequências para tal.

5.1 Linearidade dos parâmetros

A mais simples das hipóteses exige apenas que nossos parâmetros \(\beta_j\) estimados sejam lineares. Isso quer dizer que:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \] Esse modelo é linear nos parâmetros. E o seguinte modelo?

\[ Y_i = {\beta_0}^2 + \beta_1 X_i + u_i \]

Esse modelo acima não é!

Os parâmetros devem ser lineares simplesmente por uma questão de estimação e nunca teremos esse problema ao usar um computador para estimar uma regressão por mqo!

5.2 A variável explicativa é independente

Essa hipótese também é simples, mas tem um linguajar um pouco mais complexo. Tecnicamente falando, só presumimos que os valores de X não podem ser explicados por nada além de eles mesmos. Ou seja, não poderíamos definir um sistema de equações, como o seguinte:

\[ X_i = \alpha_0 + \alpha_1 Z_i + \epsilon_i \] \[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \]

Caso contrário, poderíamos representar Y como uma função de uma outra função:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 (\alpha_0 + \alpha_1 Z_i + \epsilon_i) + u_i \]

A fuga dessa hipótese pode acontecer! Apesar de não muito comum, a natureza do evento observado normalmente tornará essa questão evidente! Por exemplo, na estimação de curvas de oferta e demanda de um bem qualquer, teríamos duas equações para quantidade consumida:

\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1 P_i + \epsilon_i \space (Oferta) \] \[ Q_i = \beta_0 + \beta_1 P_i + u_i \space (Demanda) \]

O preço é uma variável explicativa fixa pra uma equação ou ela depende do resultado de outra equação? Esse é um caso de endogeneidade de uma variável que deve ser tratada de forma específica!

5.3 A média dos resíduos é zero

É um dos pressupostos do modelo clássico que costuma ter menos relevância, mas é muito importante para verificarmos o ajustamento de um modelo! Vou me dedicar para explicar de forma prática o que significa ter resíduos com média zero.

Novamente irei recorrer a base muito utilizada ao longo desse documento, a relação entre anos de serviço de um professor e seu salário:

rm(list = setdiff(ls(), c("dataset", "dataset_amostra")))
dataset_amostra[, professor := NULL]

dataset_amostra %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario
25 140096
23 104428
9 111168
34 92391
7 70000
28 119015
32 124309
4 81035
0 72500
13 170500
19 113068
15 124714
21 145028
25 172272
0 88795
31 131205
36 137000
31 134690
10 115435
18 126300
44 105000
51 57800
8 81500
41 141500
39 111350
33 128250
4 78785
3 73800
35 100351
11 148800
27 139219
0 88000
43 72300
30 131950
18 136000
28 168500
15 161101
19 151292
19 103275
20 110515
4 92700
39 115000
20 122400
1 118700
23 84273
37 104279
45 107550
2 73000
3 79750
23 74000
30 134000
14 105668
9 100938
26 136660
9 117256
5 153303
30 103106
14 109954
10 99247
18 113341
3 73266
35 99000
2 80225
21 170000
3 117150
11 119500
18 101100
31 162221
36 117515
28 144309
16 135585
23 134778
23 172505
36 97150
26 144651
21 117704
26 106689
1 108413
5 97032
44 89650
11 142467
9 106639
0 85000
18 120000
11 90450
3 75044
6 88650
8 82600
49 78162
16 82100
45 146856
7 92050
18 139750
8 100102
2 96545
43 205500
23 93418
36 88600
60 192253
39 109000
12 145000
8 74830
9 180000
2 79916
6 63100
0 78000
16 112429
49 186960
17 81285
19 94350
30 122875
20 129600
5 74000
19 126200
20 123683
6 97000
8 102000
40 143250
2 80225
10 107500
2 77500
10 104350
36 119450
2 146500
18 122100
8 100522
4 92000
7 129676
11 121946
8 82099
15 109646
19 176500
22 62884
19 86250
26 103649
1 104800
23 101000
25 128464
21 155750
10 107986
6 104542
19 193000
43 143940
21 118971
19 166605
12 95611
11 88175
1 63900
5 141136
22 105350

Graficamente, a relação entre os dados é:

ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Imagine que estimei um modelo com a seguinte forma funcional:

\[ Y_i = 150000 + 800X_i + u_i \]

No gráfico, esse modelo seria representado dessa forma:

ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, 150000 + 800 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Esse modelo parece justo? Ele parece bem ajustado? Se você estivesse decidindo sua profissão e notasse que o ganho salarial como professor com nenhuma experiência beira os 150000 reais anuais, você não se sentiria tentado a trabalhar como professor?

Esse diagnóstico fica ainda mais claro ao observarmos a distribuição do resíduo dessa regressão! Lembro que o resíduo é simplesmente:

\[ u_i = Y_i - (150000 + 800X_i) \]

Abaixo represento a distribuição do resíduo da regressão:

ggplot(dataset_amostra, aes(salario - 150000 + 800 * anos_de_servico)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", bins = 50) +
  geom_vline(xintercept = mean(dataset_amostra$salario - (150000 + 800 * dataset_amostra$anos_de_servico))) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição dos resíduos da regressão",
       x = "Resíduo", y = "Quantidade de vezes que esse resíduo aparece") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

A linha preta é a média dos resíduos. Além de não estarem centrados em zero, existe um enorme viés negativo no modelo! Ou seja, o modelo erra muito pra cima! Isso é catastrofico! E no caso de um modelo gerado por mqo?

Vimos anteriormente que o modelo correto seria:

\[ Y_i = 98914.9 + 798X_i + \hat{u_i} \]

E graficamente:

ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Os resíduos desse modelo são distribuidos da forma:

ggplot(dataset_amostra, aes(salario - 98914.9 + 798 * anos_de_servico)) +
  geom_histogram(fill = "steelblue", bins = 50) +
  geom_vline(xintercept = mean(dataset_amostra$salario - (98914.9 + 798 * dataset_amostra$anos_de_servico))) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Distribuição dos resíduos da regressão",
       x = "Resíduo", y = "Quantidade de vezes que esse resíduo aparece") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Por mais que os resíduos se distribuam muito ao longo da média, eles apresentam média zero! (A linha preta) Isso quer dizer que ao menos nosso modelo apresenta menor viés que outros modelos!

5.4 Os erros são homocedásticos

De forma simples, a hipótese de homocedasticidade implica na variância constante do erro ao longo de uma amostra. A ausência de homocedasticidade é comumente chamada de heterocedasticidade.

Variância constante, de forma matemática, significa isso:

\[ var(u_i) = E[u_i - E(u_i)]^2 \] Se o pressuposto anterior é válido, a média do erro é zero! Então \(E(u_i) = 0\), e:

\[ var(u_i) = E[-E(u_i)]^2 \]

Reescrevendo essa equação, encontramos o valor fixo de:

\[ var(u_i) = E({u_i}^2) = \sigma^2 \]

Mas além disso, o que significa ter variância constante? Usando o mesmo exemplo do pressuposto anterior, teremos um modelo gerado por mqo de:

\[ Y_i = 98914.9 + 798X_i + \hat{u_i} \]

Para simplificar, usarei menos observações para reduzir o número de pontos no gráfico.

No gráfico, esse modelo seria representado dessa forma:

set.seed(42)
dados <- slice_sample(dataset, n=80)
ggplot(dados, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, 98914.9 + 798 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
  geom_segment(aes(yend = 98914.9 + 798 * anos_de_servico, xend = anos_de_servico), color = "gray32", size = 0.5) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Cada linha reta entre o ponto azul e a linha vermelha representa o resíduo dessa regressão. O ideal seria que não houvessem retas muito maiores que as outras!

Se eu dividir esse mesmo gráfico em 2, a variância dos resíduos do modelo é constante? Por exemplo, do intervalo em que anos_de_servico está entre 0 e 20, teria o seguinte gráfico:

ggplot(dados[anos_de_servico %in% 0:20], aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, 98914.9 + 798 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
  geom_segment(aes(yend = 98914.9 + 798 * anos_de_servico, xend = anos_de_servico), color = "gray32", size = 0.5) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

A variância dos resíduos nesse intervalo é 4.7009946^{8}. E no intervalo de anos_de_servico > 20?

O gráfico a seguir representa esse caso:

ggplot(dados[anos_de_servico > 20], aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_line(aes(anos_de_servico, 98914.9 + 798 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
  geom_segment(aes(yend = 98914.9 + 798 * anos_de_servico, xend = anos_de_servico), color = "gray32", size = 0.5) +
  theme_classic() +
  labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

A variância dos resíduos nesse intervalo é 5.8233764^{8}. É a mesma que no outro intervalo? Parece que não! Então nosso modelo acaba violando o pressuposto de homocedasticidade dos erros! Isso acaba sendo muito comum… risos.

O diagnóstico que fizemos acima pode ser mais intuitivo, mas não é robusto estatísticamente! Uma forma mais confiável de testar para presença de homocedasticidade é feita por meio de testes de hipótese! (Tratarei disso em uma seção dedicada.)

O problema de um modelo não se adequar a essa hipótese é a perda de confiabilidade nas estimativas de erro padrão dos estimadores. Eu poderia colocar uma prova matemática disso aqui, apesar de não ser o foco, mas eu prefiro que você pense: se a variância do meu erro não é constante, por que o erro padrão do meu estimador seria confiável? Um não é calculado com base em outro? E qual o problema do erro padrão não ser confiável? Não calculamos teste de hipótese com ele? É uma espiral de problemas isso!

5.5 Ausência de autocorrelação residual

Esse pressuposto pode não ser verdadeiro em regressões que envolvem séries temporais. Imagine que uma pessoa qualquer esteja desenvolvendo uma nova receita de pão de queijo: na primeira vez que fez, queimou todos os pães! Na segunda vez, os pães ficaram quase queimados. Na terceita, o pão estava mais seco. Na quarta, quase perfeito. Na quinta vez a pessoa desenvolveu uma receita maravilhosa. Te pergunto, o erro da primeira vez não serviu de aprendizado para as próximas vezes?

Nesse caso, houve o que chamamos de presença de autocorrelação residual, ou seja, o termo de erro de um período passado tem relação com menores erros em um período futuro!

De maneira geral, podemos descrever essa situação como segue:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \beta_2Xj + u_i \]

No caso de séries temporais, \(X_j\) pode ser, simplesmente: \(X_j = X_{it-1}\). O que fiz aqui foi defasar a série de \(X_i\) em uma unidade de tempo. Essa é uma prática muito comum e explorada em econometria de séries temporais!

Posso simplesmente dividir esse modelo de duas variáveis explicativas em dois modelos, como segue:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \space (1) \]

\[ Y_i = \alpha_0 + \alpha_1Xj + u_j \space (2) \]

E o resíduo dessas duas equações é:

\[ u_i = Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i) \space (1) \]

\[ u_j = Y_i - (\alpha_0 + \alpha_1Xj) \space (2) \]

Nos primeiros capítulos do documento, apresentei a lógica de cálculo do coeficiente de correlação de pearson. Podemos calcular a correlação do resíduo dessas duas regressões para investigar se existe presença de algum tipo de correlação! Se houver, a equação que utiliza as duas variáveis explicativas não irá respeitar esse pressuposto!

Abaixo faço um exemplo prático usando dados do PIB per capita brasileiro.

dados <- data.table(gapminder::gapminder)[country == "Brazil"]
dados <- select(dados, gdpPercap, year)

ggplot(dados, aes(year, gdpPercap)) +
  geom_line(color = "steelblue") +
  labs(x = "Ano", y = "PIB per capita") +
  theme_classic()

Poderia simplesmente aplicar os estimadores de mqo para estimar uma linha de tendência e analisar de forma superficial a progressão da variável com o tempo? Sim. Mas sob presença de autocorrelação residual, os estimadores do MQO deixam de ser MELV (melhores estimadores lineares não viesados), tornando sua análise rasa e propícia a erro! (O motivo é melhor abordado com documentos específicos. Meu objetivo com esse documento não é de fornecer material de aprofundamento e sim de fornecer um ponto de partida a quem esteja confuso com os assuntos aqui abordados.)

Nesse caso, poderia também estimar um modelo bem simples, com a seguinte forma funcional:

\[ PIBPerCapita_t = \beta_0 + \beta_1PIBPerCapita_{t-1} + \beta_2 PIBPerCapita_{t-2} + u_i \]

Esse modelo apresentará ausência de autocorrelação serial? Vejamos. Pela lógica que apresentei acima, divido as duas variáveis explicativas em dois modelos e calculo o resíduo de ambas as regressões, resultando no seguinte gráfico:

dados[, pib_percapita_defasado_1 := lag(gdpPercap)]
dados[, pib_percapita_defasado_2 := lag(gdpPercap, n = 2)]
modelo1 <- lm(gdpPercap ~ pib_percapita_defasado_1, dados)
modelo2 <- lm(gdpPercap ~ pib_percapita_defasado_2, dados)

residuos_total <- data.table(residuos_i = c(NA, modelo1$residuals), residuos_j = c(NA, NA, modelo2$residuals))

ggplot(residuos_total, aes(residuos_i, residuos_j)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
  theme_classic()

A correlação entre os dois resíduos é de 0.6446501! Isso quer dizer que existem fortes indícios de autocorrelação residual nessa série de dados!

Relembrando, a correlação pode ser próxima de -1 ou 1, como os gráficos abaixo:

dados <- data.table(residuos_i = rnorm(1000, 0, 2))
dados[, residuos_j := residuos_i * 2 + rnorm(1000, 0, 0.5)]

ggplot(dados, aes(residuos_i, residuos_j)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
  theme_classic()

dados <- data.table(residuos_i = rnorm(1000, 0, 2))
dados[, residuos_j := residuos_i * -2 + rnorm(1000, 0, 0.5)]

ggplot(dados, aes(residuos_i, residuos_j)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
  theme_classic()

Ou próxima de 0, como o gráfico abaixo:

dados <- data.table(residuos_i = rnorm(1000, 0, 2))
dados[, residuos_j := rnorm(1000, 0, 0.5)]

ggplot(dados, aes(residuos_i, residuos_j)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
  theme_classic()

Por esse pressuposto ser muito mais comum em séries temporais e em dados de seção cruzada, não entrarei no mérito nesse documento. Caso você tenha interesse, escrevi dois outros documentos para econometria II e III, disponíveis no meu rpubs que aprofundam mais sobre os detalhes desse pressuposto.

5.6 O erro e X não covariam

Basicamente, esse pressuposto presume a ausência de uma relação entre o valor da variável explicativa X e o termo de erro associado a previsão. Ou seja, quão maior seja X não pode ter impacto em maiores ou menores valores para o termo de erro. Matematicamente:

\[ cov(X_i,u_i) = 0 \]

Podemos testar isso de forma simples, com uma base previamente utilizada. Lembre-se da relação entre o tempo de serviço e salário anual de um professor:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary", "yrs.since.phd")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario", "anos_desde_phd")

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5, color = "indianred1") +
  theme_classic()

Qual a relação entre o termo de erro dessa regressão com os anos de serviço de um professor? Lembre-se que o resíduo é simplesmente:

\[ u_i = Y_i - \hat{Y_i} = Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i) \]

Calculando o resíduo para cada observação, posso representar o resíduo no eixo y e o tempo de serviço no eixo x. Existe alguma relação?

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, lm(salario~anos_de_servico, dataset)$residuals)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5, color = "indianred1") +
  labs(x = "anos de serviço", y = "Resíduos da regressão") +
  theme_classic()

Nesse caso, não existem indícios de uma covariância entre o termo de erro e a variável explicativa! (Veja a seção de covariância para entender melhor!)

5.7 O número de observações deve ser maior do que os graus de liberdade

É um pressuposto bem simples. Primeiro, vamos lembrar do conceito de graus de liberdade.

Imagine que você tem 6 bolinhas de gude enumeradas de 1 a 6. Se você colocar todas as bolinhas de gude dentro de um pote, e retirar uma, ao acaso, tem como saber qual número será removido do pote? Não!

Agora façamos um trabalho de imaginação. Imagine que você tenha removido a bolinha numero 2. Ao remover a próxima bola desse pote, você pode saber exatamente qual número será removido em seguida? Não!

Imagine agora que removemos as bolinhas 1, 2, 3 e 4. Agora podemos ter certeza de qual bolinha será removida? Não! E se tirarmos todas as bolinhas do pote, menos uma?

Imagine que temos em mãos as bolinhas 1, 2, 3, 4 e 5. Qual a bola está dentro do pote? Precisamente porque sabemos que a bolinha 6 está no pote, os graus de liberdade dessas bolinhas é 5. Mas por que?

Bom, se eu tenho todas as bolinhas em mãos, menos uma, eu necessariamente sei o valor da última bolinha!

Na prática, pra todo conjunto de observações, teremos ao menos n-1 graus de liberdade. E no caso de termos 2 conjuntos de observações? Aí nesse caso teríamos n-2 graus de liberdade!

Vamos a um exemplo:

Veja a base abaixo, referente aos gastos pessoais de moradores dos Estados Unidos:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(t(USPersonalExpenditure))
dataset[, ano := c(1940, 1945, 1950, 1955, 1960)]

names(dataset) <- c("Comida e Tabaco", "Domesticos", "Saude", "Cuidado pessoal", "Educacao privada", "ano")
setcolorder(dataset, c("ano", "Comida e Tabaco", "Domesticos", "Saude", "Cuidado pessoal", "Educacao privada"))

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
ano Comida e Tabaco Domesticos Saude Cuidado pessoal Educacao privada
1940 22.2 10.5 3.53 1.04 0.341
1945 44.5 15.5 5.76 1.98 0.974
1950 59.6 29.0 9.71 2.45 1.800
1955 73.2 36.5 14.00 3.40 2.600
1960 86.8 46.2 21.10 5.40 3.640

Olhando somente para a coluna referente aos gastos com comida e tabaco, quantas observações temos para cada ano? E quantas variáveis? Qual o grau de liberdade nesse caso? Quatro!

E olhando para as colunas comida e tabaco e gastos domésticos, quantas observações temos para cada ano? (Ainda são somente 5 anos!) E quantas variáveis? O grau de liberdade agora é menor, é 3!

Estatísticamente falando, conhecendo todas as informações nessa tabela, temos 0 graus de liberdade (ignore a coluna ano!)! Isso quer dizer simplesmente que não existe qualquer liberdade dentro desse sistema, todos os valores deverão ser os mesmos independente do que a gente faça. (Lembre-se da bolinha, é como se pudéssemos ver tudo que acontece dentro do pote nesse sistema.)

Mas o que significa não ter graus de liberdade na prática? Imagine que eu represente os gastos com saude em função dos gastos com comida e saúde somente em 2 anos. Ou seja, 2 variáveis e 2 observações, resultando em 0 graus de liberdade. A regressão ficaria assim:

ggplot(dataset[ano %in% c(1940, 1960)], aes(`Comida e Tabaco`, Saude)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "indianred1") +
  theme_classic()

Veja os resultados dessa regressão abaixo:

summary(lm(Saude ~ `Comida e Tabaco`, dataset[ano %in% c(1940, 1960)]))
## 
## Call:
## lm(formula = Saude ~ `Comida e Tabaco`, data = dataset[ano %in% 
##     c(1940, 1960)])
## 
## Residuals:
## ALL 2 residuals are 0: no residual degrees of freedom!
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)         -2.508        NaN     NaN      NaN
## `Comida e Tabaco`    0.272        NaN     NaN      NaN
## 
## Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom
## Multiple R-squared:      1,  Adjusted R-squared:    NaN 
## F-statistic:   NaN on 1 and 0 DF,  p-value: NA

Por que tantos erros, você pode acabar se perguntando. Bom, se eu tenho 0 graus de liberdade, eu consigo calcular a variância desses pontos? Não! Outra coisa, com 0 graus de liberdade, você nota que a regressão toca perfeitamente os dois pontos e não apresenta erro algum? Isso é irreal!

Veja o que acontece se eu usar todas as observações que possuo:

ggplot(dataset, aes(`Comida e Tabaco`, Saude)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "indianred1") +
  theme_classic()

summary(lm(Saude ~ `Comida e Tabaco`, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = Saude ~ `Comida e Tabaco`, data = dataset)
## 
## Residuals:
##      1      2      3      4      5 
##  2.043 -1.663 -1.733 -1.063  2.417 
## 
## Coefficients:
##                   Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)  
## (Intercept)       -4.42207    2.90695  -1.521   0.2256  
## `Comida e Tabaco`  0.26619    0.04726   5.633   0.0111 *
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.374 on 3 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9136, Adjusted R-squared:  0.8848 
## F-statistic: 31.73 on 1 and 3 DF,  p-value: 0.01107

Agora sim podemos falar alguma coisa sobre nossas previsões! Existem graus de liberdade nesse modelo de forma que podemos testar nossos resultados. Essa é a importância de termos sempre um número positivo de graus de liberdade em nossas modelagens!

5.8 Ausência de Multicolinearidade

Note que ao longo de todo documento até aqui, segui um caminho não muito tradicional na econometria de usar modelos com mais de uma variável explicativa sem antes me dedicar a explicar precisamente como estimar. Foi proposital. As vezes muito mistério é feito em cima de uma temática que não precisa disso tudo. Estou falando isso por um motivo simples, esse pressuposto do modelo clássico é extremamente relacionado a inclusão de uma variável no modelo.

Mas o que é multicolinearidade? O que ela faz com meus modelos que é tão ruim assim? Em um primeiro momento, precisamos diferenciar multicolinearidade perfeita e multicolinearidade prejudicial.

Multicolinearidade perfeita é algo muito incomum de acontecer na prática. Imagine que você tenha informações perfeitamente correlacionadas no meio de suas variáveis explicativas. A presença dessas duas variáveis inviabiliza completamente a estimação. (Falo mais sobre isso na seção de modelo matricial.)

E a multicolinearidade prejudicial tem o nome “prejucicial” pois simplesmente inflaciona as nossas estimativas de erro padrão dos estimadores, prejudicando as nossas inferências!

Pense no seguinte exemplo:

rm(list = ls())

set.seed(42)
dataset <- data.table(largura_em_metros = round(rnorm(100, 17, 3)), comprimento_em_metros = round(rnorm(100, 7, 1)))
dataset[, area_em_m2 := largura_em_metros * comprimento_em_metros]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
largura_em_metros comprimento_em_metros area_em_m2
21 8 168
15 8 120
18 6 108
19 9 171
18 6 108
17 7 119
22 7 154
17 7 119
23 7 161
17 7 119
21 7 147
24 7 168
13 7 91
16 6 96
17 5 85
19 7 133
16 6 96
9 10 90
10 6 60
21 7 147
16 6 96
12 6 72
16 7 112
21 6 126
23 7 161
16 7 112
16 6 96
12 5 60
18 6 108
15 7 105
18 8 144
19 7 133
20 7 140
15 8 120
19 8 152
12 6 72
15 7 105
14 8 112
10 7 70
17 7 119
18 7 126
16 6 96
19 7 133
15 7 105
13 7 91
18 8 144
15 7 105
21 7 147
16 8 128
19 6 114
18 7 126
15 5 75
22 8 176
19 7 133
17 7 119
18 6 108
19 7 133
17 6 102
8 6 48
18 8 144
16 7 112
18 6 108
19 7 133
21 7 147
15 8 120
21 8 168
18 6 108
20 7 140
20 7 140
19 8 152
14 7 98
17 8 136
19 5 95
14 9 126
15 8 120
19 7 133
19 6 114
18 8 144
14 7 98
14 7 98
22 7 154
18 6 108
17 7 119
17 7 119
13 7 91
19 6 114
16 8 128
16 8 128
20 6 120
19 5 95
21 7 147
16 7 112
19 7 133
21 6 126
14 6 84
14 8 112
14 7 98
13 8 104
17 9 153
19 7 133

Lembre, que a área de um retângulo é simplesmente:

\[ Area = comprimento \cdot largura \]

Dado que uma coluna é calculada perfeitamente com a combinação de duas outras, esse sistema é linearmente dependente (LI)? Não se assuste, o simples fato de podermos determinar perfeitamente uma coluna como alguma combinação das outras duas torna esse sistema extremamente dependente, não torna? O valor de área pode ser diferente da combinação de comprimento e largura (nesse caso, risos)? Não! Nesse caso, aconteceria o que chamamos de multicolinearidade perfeita!

Agora imagine que temos mais uma coluna (completamente fictícia) no conjunto de dados:

set.seed(42)
dataset[, valor_da_propriedade := rnorm(100, 70000, 5000) + dataset$area * 200]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
largura_em_metros comprimento_em_metros area_em_m2 valor_da_propriedade
21 8 168 110454.79
15 8 120 91176.51
18 6 108 93415.64
19 9 171 107364.31
18 6 108 93621.34
17 7 119 93269.38
22 7 154 108357.61
17 7 119 93326.70
23 7 161 112292.12
17 7 119 93486.43
21 7 147 105924.35
24 7 168 115033.23
13 7 91 81255.70
16 6 96 87806.06
17 5 85 86333.39
19 7 133 99779.75
16 6 96 87778.74
9 10 90 74717.72
10 6 60 69797.67
21 7 147 106000.57
16 6 96 87666.81
12 6 72 75493.46
16 7 112 91540.41
21 6 126 101273.37
23 7 161 111675.97
16 7 112 90247.65
16 6 96 87913.65
12 5 60 73184.18
18 6 108 93900.49
15 7 105 87800.03
18 8 144 101077.25
19 7 133 100124.19
20 7 140 103175.52
15 8 120 90955.37
19 8 152 102924.78
12 6 72 75814.96
15 7 105 87077.70
14 8 112 88145.46
10 7 70 71928.96
17 7 119 93980.61
18 7 126 96229.99
16 6 96 87394.71
19 7 133 100390.82
15 7 105 87366.48
13 7 91 81358.59
18 8 144 100964.09
15 7 105 86943.03
21 7 147 106620.51
16 8 128 93442.77
19 6 114 96078.24
18 7 126 96809.63
15 5 75 81080.81
22 8 176 113078.64
19 7 133 99814.50
17 7 119 94248.80
18 6 108 92982.75
19 7 133 99996.44
17 6 102 90849.16
8 6 48 64634.55
18 8 144 100224.41
16 7 112 90563.83
18 6 108 92526.15
19 7 133 99509.12
21 7 147 106398.68
15 8 120 90363.54
21 8 168 110112.71
18 6 108 93279.24
20 7 140 103192.53
20 7 140 102603.64
19 8 152 104004.39
14 7 98 84384.41
17 8 136 96749.07
19 5 95 92117.59
14 9 126 90432.38
15 8 120 91285.86
19 7 133 99504.98
19 6 114 96640.89
18 8 144 101118.84
14 7 98 85171.12
14 7 98 84101.10
22 7 154 108363.54
18 6 108 92889.61
17 7 119 94242.20
17 7 119 93195.52
13 7 91 82228.36
19 6 114 95859.98
16 8 128 94514.30
16 8 128 94686.22
20 6 120 98666.73
19 5 95 93108.87
21 7 147 106360.58
16 7 112 90019.13
19 7 133 99851.74
21 6 126 102155.55
14 6 84 81246.06
14 8 112 88096.04
14 7 98 83941.31
13 8 104 83503.93
17 9 153 100999.91
19 7 133 99866.02

Qual seria a relação do valor da propriedade (variável completamente fictícia criada por mim) com a área em metros quadrados dela? Vejamos:

ggplot(dataset, aes(area_em_m2, valor_da_propriedade)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  theme_classic()

Parece que maiores area estão relacionados com maiores valores de propriedade. O que acontece se eu estimar um modelo usando somente a variável area para explicar o valor? Veja o resultado da regressão abaixo:

summary(lm(valor_da_propriedade ~ area_em_m2, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = valor_da_propriedade ~ area_em_m2, data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
##  -8687  -2027     74   2198   7882 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 50619.81    1400.82   36.14   <2e-16 ***
## area_em_m2    364.28      11.51   31.66   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2982 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9109, Adjusted R-squared:   0.91 
## F-statistic:  1002 on 1 and 98 DF,  p-value: < 2.2e-16

A estimação ocorre da forma como esperamos. E o que acontece se eu estimar o modelo usando todas as variáveis que possuo? A forma funcional dele seria a seguinte:

\[ Valor_i = \beta_0 + \beta_1comprimento_i + \beta_2largura_i + \beta_3area_i +u_i \]

O resultado do modelo seria:

summary(lm(valor_da_propriedade ~ ., dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = valor_da_propriedade ~ ., data = dataset)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -793.15 -361.98  -53.28  346.71  888.77 
## 
## Coefficients:
##                       Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           39089.95    1595.52   24.50   <2e-16 ***
## largura_em_metros      1787.74      98.00   18.24   <2e-16 ***
## comprimento_em_metros   354.79     224.53    1.58    0.117    
## area_em_m2              183.04      13.84   13.22   <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 445.7 on 96 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9981, Adjusted R-squared:  0.998 
## F-statistic: 1.639e+04 on 3 and 96 DF,  p-value: < 2.2e-16

Veja o que acontece com o R2 entre o primeiro e o segundo modelo. Adicionamos alguma informação tão importante assim para o R2 aumentar tão drasticamente? Não… a área já “continha” basicamente as informações novas adicionadas por essas duas novas variáveis.

O mesmo vale para os pvalores de cada parâmetro, por termos erro padrão inflacionados, perdemos confiabilidade em nossas estimativas.

A título de curiosidade, a matriz de correlação de todas as variáveis é a seguinte:

cor(dataset)
##                       largura_em_metros comprimento_em_metros area_em_m2
## largura_em_metros            1.00000000           -0.03282581  0.8175477
## comprimento_em_metros       -0.03282581            1.00000000  0.5351620
## area_em_m2                   0.81754768            0.53516199  1.0000000
## valor_da_propriedade         0.95020557            0.27131866  0.9544331
##                       valor_da_propriedade
## largura_em_metros                0.9502056
## comprimento_em_metros            0.2713187
## area_em_m2                       0.9544331
## valor_da_propriedade             1.0000000

A interpretação da matriz acima é bem simples. Note que existem apenas valores de 1 na diagonal principal. Isso faz todo sentido, a correlação de uma variável com ela mesma tem que ser sempre 1! Note a altíssima correlação de área em metros quadrados com largura em metros, essa alta correlação é um indicativo forte de multicolinearidade prejudicial!

Veremos em uma seção específica como fazer o diagnóstico e tratar multicolinearidade de forma a corrigir esse problema de perda de confiabilidade.

6 Modelos com mais de uma variável

Ao longo dos capítulos anteriores, eu abordei a temática da regressão sob perspectiva de somente uma variável X sobre outra variável Y. (Apesar de em alguns momentos usar mais de uma variável indiretamente.) Neste, buscarei ampliar a compreensão acerca do processo de estimação de modelos lineares sob o método de MQO.

A princípio, tudo que fizemos com duas variáveis é válido para mais de uma variável, e boa parte das interpretações é a mesma. A primeira grande diferença é algo que citei previamente no problema da estimação: como estimar os parâmetros de beta para mais de uma variável? Lembre-se, os estimadores de um modelo linear da seguinte forma funcional:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]

São:

\[ \hat{\beta_0} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i - \hat{\beta_1}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \]

\[ \hat{\beta_1}= \frac{n\sum_{i=1}^n Y_iX_i - \sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^n Y_i}{n\sum_{i=1}^nX_i^2-(\sum_{i=1}^nX_i)^2} \]

Mas e se eu mudar a forma funcional para a seguinte:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + u_i \]

Sendo \(X_{1i}\) e \(X_{2i}\) duas variáveis distintas. Como eu encontraria o valor de \(\beta_2\)?

Lembre-se, que para encontrar os valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\), precisei minimizar a soma do quadrado dos resíduos! É uma conta bem enjoada que precisaria fazer cada vez que eu mudo a forma funcional do modelo estimado!

Por isso, essa dinâmica de estimação não tá com nada! Os estimadores vão ser sempre muito complexos e muito enjoados de calcular na mão. Em meio a resolver esse problema, existe uma solução: o modelo matricial!

(Infelizmente, se você não teve uma boa base de álgebra linear, agora talvez fique um pouco perdido. Tentarei meu melhor para explicar de forma simples!)

Podemos representar qualquer modelo linear da seguinte forma:

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \beta_3x_{3i} + ... + \beta_kx_{ki} + u_i \]

De uma forma ainda mais genérica, podemos representar esse modelo todo de cima em forma de matriz. Como segue:

\[ y = X \beta + u \]

Em que y é um vetor 1xn de variáveis explicadas, \(\beta\) é o vetor 1xk de parâmetros beta, X é uma matriz kxn de variáveis explicativas e u é o vetor de erro.

Por exemplo, podemos traduzir o seguinte modelo:

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \beta_3x_{3i} + u_i \]

Para simplesmente:

\[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & X_{11} & X_{12} & X_{13} \\ 1 & X_{21} & X_{22} & X_{23} \\ 1 & X_{31} & X_{32} & X_{33} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & X_{n1} & X_{n2} & X_{n3} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ ... \\ u_n \end{pmatrix} \]

Note que eu introduzi na matriz X um vetor coluna cheio de números 1. Fiz isso porque preciso adicionar uma coluna com variância 0 para estimar um intercepto do modelo!

Agora, o porquê de usarmos uma forma matricial fique mais clara a partir dessa ideia: e se usarmos a forma matricial na minimização da soma de quadrado de resíduos?

Ou seja, eu busco o seguinte:

\[ minimizar \space SQR = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i) ^ 2 \]

Sendo que: (As estimativas no modelo matricial são simplesmente \(X \beta\))

\[ minimizar \space SQR = \sum_{i=1}^n (y_i - X \hat\beta) ^ 2 \]

Como meu foco neste documento não é comentar sobre técnicas de otimização, recomendo uma leitura de um livro específico de Econometria, como o de Gujarati e Porter, ou, para uma estimação mais direto ao ponto aqui.

Após uma série de manipulações algébricas, concluímos que o estimador genérico para o vetor de betas é:

\[ \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y \]

Essa equação acima basicamente torna mil vezes mais fácil a estimação pelo método de MQO. Não precisa ficar calculando um estimador de cada vez, nem calculando somatório aqui ou ali. Basta ser bom em resolver operações matriciais… ou ter um computador!

6.1 Exemplo prático do modelo matricial

Em todos os exemplos anteriores, sempre buscamos representar uma linha reta em um modelo bidimensional. Ou seja, um modelo que uma variável explica a outra. Podemos visualizar isso com muita facilidade, simplesmente com um gráfico de dispersão:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(longley)

names(dataset) <- c("pib_deflacionado", "pib", "desempregados", "forcas_armadas", "populacao", "ano", "proporcao_empregados")

ggplot(dataset, aes(pib, proporcao_empregados)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
  theme_classic()

Com esse gráfico, fica muito fácil notar a relação entre o PIB de um país e sua proporção da população empregada. Mas o PIB sozinho é um bom estimador para população empregada? E se eu adicionar mais uma variável?

Outro possível estimador para empregabilidade é o tamanho da população! Vejamos como podemos representar essa variável:

ggplot(dataset, aes(populacao, proporcao_empregados)) +
  geom_point(color = "steelblue") +
  geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
  theme_classic()

Aparentemente essas duas variáveis de forma conjunta podem melhorar muito o poder explicativo do meu modelo. Mas como ficaria o gráfico disso?

plotly::plot_ly(dataset, x=~populacao, y=~pib, z=~proporcao_empregados, type="scatter3d", mode="markers", color=~populacao)

Espero que tenha notado a dificuldade que começa a ser a representação visual de um modelo com mais de uma variável explicativa! Normalmente não utilizamos gráficos 3d por serem muito pouco intuitivos, mas espero que tenha notado que podemos traçar uma linha até mesmo em 3 dimensões para definir um modelo!

Mas vamos ao que interessa: como estimar os valores de beta em um modelo com mais de uma variável, usando o modelo matricial. Primeiro definimos o que é y e o que é X.

No caso, y é a proporção de empregados. Por ser unidimensional, posso chamar de vetor y, definido como segue:

\[ y = \begin{pmatrix} 60.323 \\ 61.122 \\ 60.171 \\ 61.187 \\ 63.221 \\ 63.639 \\ 64.989 \\ 63.761 \\ 66.019 \\ 67.857 \\ 68.169 \\ 66.513 \\ 68.655 \\ 69.564 \\ 69.331 \\ 70.551 \end{pmatrix} \]

E X, por ter mais de uma dimensão, é uma matriz, definida como:

\[ X = \begin{pmatrix} 107.608 & 234.289 \\ 108.632 & 259.426 \\ 109.773 & 258.054 \\ 110.929 & 284.599 \\ 112.075 & 328.975 \\ 113.270 & 346.999 \\ 115.094 & 365.385 \\ 116.219 & 363.112 \\ 117.388 & 397.469 \\ 118.734 & 419.180\\ 120.445 & 442.769 \\ 121.950 & 444.546 \\ 123.366 & 482.704 \\ 125.368 & 502.601 \\ 127.852 & 518.173 \\ 130.081 & 554.894 \end{pmatrix} \]

Sendo a primeira coluna referente aos valores coletados do tamanho da população e a segunda referente ao PIB.

Note, que na matriz X, eu não incluí uma coluna de variância 0 (coluna cheia de 1). Caso eu estimasse os betas da forma acima, não teria nenhum parâmetro de intercepto, com uma forma funcional igual a seguinte:

\[ y_i = \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + u_i \]

E se eu quiser estimar um parâmetro de intercepto, com a seguinte forma funcional:

\[ y_i = \beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + u_i \]

Bastaria mudar a matriz X para o seguinte:

\[ X = \begin{pmatrix} 1 & 107.608 & 234.289 \\ 1 & 108.632 & 259.426 \\ 1 & 109.773 & 258.054 \\ 1 & 110.929 & 284.599 \\ 1 & 112.075 & 328.975 \\ 1 & 113.270 & 346.999 \\ 1 & 115.094 & 365.385 \\ 1 & 116.219 & 363.112 \\ 1 & 117.388 & 397.469 \\ 1 & 118.734 & 419.180\\ 1 & 120.445 & 442.769 \\ 1 & 121.950 & 444.546 \\ 1 & 123.366 & 482.704 \\ 1 & 125.368 & 502.601 \\ 1 & 127.852 & 518.173 \\ 1 & 130.081 & 554.894 \end{pmatrix} \]

Mas então, temos X e y. Agora basta realizar as manipulações necessárias! Lembrando da fórmula:

\[ \beta = (X'X)^{-1} X'y \] Note que \(X'\) é a matriz transposta de X. Transpor uma matriz é a mesma coisa que trocar as linhas pelas colunas. Nosso \(X'\) seria:

\[ X' = \small\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 107.608 & 108.632 & 109.773 & 110.929 & 112.075 & 113.270 & 115.094 & 116.219 & 117.388 & 118.734 & 120.445 & 121.950 & 123.366 & 125.368 & 127.852 & 130.081 \\ 234.289 & 259.426 & 258.054 & 284.599 & 328.975 & 346.999 & 365.385 & 363.112 & 397.469 & 419.180 & 442.769 & 444.546 & 482.704 & 502.601 & 518.173 & 554.894\end{pmatrix} \]

Não vou entrar muito no mérito de como multiplicar matrizes nesse documento, mas a multiplicação de X transposta com X resulta em uma matriz simétrica de kxk dimensões. Ou seja, teremos a seguinte matriz:

\[ X'X = \begin{pmatrix} 16 & 1878.784 & 6203.175 \\ 1878.784 & 221340.143 & 738680.235 \\ 6203.175 & 738680.235 & 2553151.560 \end{pmatrix} \]

Agora simplesmente calculamos a inversa dessa matriz e quase finalizaremos nossa estimação!

Observe que caso houvesse presença de multicolinearidade perfeita aqui, NÃO SERIA POSSÍVEL inverter essa matriz! É por isso que sob presença de multicolinearidade perfeita, NÃO podemos estimar os valores de beta.

A inversa de X’X é:

\[ (X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} 637.6148996 & -7.031015316 & 0.4850613895 \\ -7.0310153 & 0.077662557 & -0.0053867455 \\ 0.4850614 & -0.005386746 & 0.0003803776 \end{pmatrix} \]

Agora basta multiplicar matrizes! Chegamos a matriz de betas, resultando em:

\[ \beta = \begin{pmatrix} 88.93879831 \\ -0.40974292 \\ 0.06317244 \end{pmatrix} \]

Ou seja, estimamos 88.9 para o parâmetro de intercepto, -0.40 para o parâmetro de inclinação da população sob a proporção de empregados e 0.06 para a inclinação do PIB sob a proporção de empregados.

Podemos conferir esse resultado com o estimado pelo próprio R, como segue:

summary(lm(proporcao_empregados ~ populacao + pib, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = proporcao_empregados ~ populacao + pib, data = dataset)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.80899 -0.33282 -0.02329  0.25895  1.08800 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 88.93880   13.78503   6.452 2.16e-05 ***
## populacao   -0.40974    0.15214  -2.693   0.0184 *  
## pib          0.06317    0.01065   5.933 4.96e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5459 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9791, Adjusted R-squared:  0.9758 
## F-statistic: 303.9 on 2 and 13 DF,  p-value: 1.221e-11

Fantástico! A matemática ainda não é tão simples mas os resultados são muito mais fáceis de encontrar por ter uma fórmula extremamente mais simplificada!

E no caso do erro padrão de cada estimador? Bom, na abordagem matricial calculamos diretamente as variâncias e covariâncias dos estimadores de beta. Chamamos formalmente essa matriz de matriz de variância-covariância dos estimadores, ou, matriz VarCov de beta. Estimamos pela seguinte fórmula:

\[ Varcov(\hat{\beta}) = \sigma^2(X'X)^{-1} \]

Note que nesse cálculo temos duas coisas absolutamente relevantes para qualquer estimação pelo método de MQO. O valor de \(\sigma^2\), ou da variância homocedástica dos resíduos está diretamente relacionada com a hipótese do modelo clássico de homocedasticidade. Caso essa hipótese não seja válida, o estimador de variância apresentará um viés e inflacionará os valores de erro padrão dos estimadores.

Outra coisa muito relevante é que sob presença de multicolinearidade prejudicial, a matriz \((X'X)^{-1}\) apresentará valores inflacionados, que, também, inflacionam nossas estimativas de erro padrão, reduzindo nossa confiabilidade nos testes de hipótese!

Lembre-se, que a variância dos resíduos é, simplesmente:

\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u}_i^2}{n-k} \]

Ou:

\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}{[y_i - (\beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i})]}^2}{n-k} \]

No nosso exemplo numérico, o valor de \(\hat{\sigma}^2\) é:

\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{3.874361}{16-3} = 0.2980278 \]

Assim, a matriz varcov do modelo é:

\[ varcov(\hat{\beta}) = 0.2980278 \cdot \begin{pmatrix} 637.6148996 & -7.031015316 & 0.4850613895 \\ -7.0310153 & 0.077662557 & -0.0053867455 \\ 0.4850614 & -0.005386746 & 0.0003803776 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 190.0269658 & -2.0954380 & 0.1445617788 \\ -2.0954380 & 0.0231456 & -0.0016053999 \\ 0.1445618 & -0.0016054 & 0.0001133631 \end{pmatrix} \]

Extraindo a diagonal principal da matriz principal, temos a variância de cada parâmetro estimado, sendo: \(var(\beta_0) = 190.02\); \(var(\beta_1) = 0.023\) e \(var(\beta_2) = 0.00011\).

A raíz quadrada das variâncias é o erro padrão, sendo o erro padrão de cada coeficiente: \(ep(\beta_0) = 13.78\); \(ep(\beta_1) = 0.1521\) e \(ep(\beta_2) = 0.01\).

Que são precisamente as estimativas fornecidas diretamente pelo R:

summary(lm(proporcao_empregados ~ populacao + pib, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = proporcao_empregados ~ populacao + pib, data = dataset)
## 
## Residuals:
##      Min       1Q   Median       3Q      Max 
## -0.80899 -0.33282 -0.02329  0.25895  1.08800 
## 
## Coefficients:
##             Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept) 88.93880   13.78503   6.452 2.16e-05 ***
## populacao   -0.40974    0.15214  -2.693   0.0184 *  
## pib          0.06317    0.01065   5.933 4.96e-05 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 0.5459 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9791, Adjusted R-squared:  0.9758 
## F-statistic: 303.9 on 2 and 13 DF,  p-value: 1.221e-11

Lembrando que o valor t é simplesmente \(\frac{\beta_j}{ep(\beta_j)}\)!

Com isso, temos tudo que precisamos para calcular qualquer tipo de modelo pelo método de MQO!

Se você conseguir entender esse capítulo, parabéns! Esse é o grosso de tudo que é preciso para dizer que sabe econometria I.

Os próximos capítulos serão dedicados a estimação com dummies, que são regressões extremamente simples, e, por fim, mecanismo de correção, identificação e robustez de modelos sob fuga de pressupostos.

7 Regressão com dummies

Agora vamos a um ponto bem quente da econometria! Dummies são a solução, o problema, a ferramenta, o assunto do cafézin dos economistas… tudo isso e mais um pouco.

Facilmente esse diálogo deve ter acontecido algumas vezes em conversa de diferentes economistas ao longo de sua vida ou formação: Economista 1: “Ih rapaz, esse COVID foi tenso viu, introduziu ruido na minha análise e não sei o que fazer para indicar…” Economista 2: “Cria uma Dummy!”

Talvez em outro contexto… Economista 1: “Sr. orientador, queria analisar a diferença salarial entre homens e mulheres e não sei como fazer…” Economista 2: “Ô tonto, cria uma dummy sô” (Essa foi em homenagem aos meus ex professores mineiros!)

Brincadeiras a parte, a dummy é uma ferramenta essencial no repertório de qualquer pessoa que trabalhe com dados, mas o que é uma dummy?

Dummy é uma palavra da língua inglesa para boneco, manequim, fantoche… mas no contexto de dados ele tem um significado um pouco menos abrangente. A dummy é uma coluna numa estrutura de dados que indica a ocorrência de um efeito/evento ou não. Simples assim!

Imagine que eu simplesmente quero definir se uma pessoa tem cabelos castanhos. Como posso dizer, em forma numérica se uma pessoa possui essa característica ou não?

Na computação, o termo binário é muito usado para representar absolutamente TUDO que dá pra fazer simplesmente com dos números, 0 e 1. No nosso caso, podemos simplesmente definir uma pessoa com cabelo castanho como 1 e pessoa sem cabelo castanho como 0! Ou seja, a dummy é uma representação de presença ou não presença de cabelo castanho.

De forma ainda mais prática, podemos indicar presença ou ausência de qualquer coisa usando uma dummy, ou dummies (no plural).

Por exemplo, vamos determinar diferença salarial entre homens e mulheres professores (de uma base de dados que já usamos previamente). A base de dados é a seguinte:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary", "sex")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario", "sexo")

dataset[
  ,
  `:=` (
    dummy_sexo_masculino = ifelse(sexo == "Female", 0L, 1L),
    dummy_sexo_feminino = ifelse(sexo == "Male", 0L, 1L)
  )
]

dataset[, sexo := ifelse(sexo == "Female", "feminino", "masculino")]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario sexo dummy_sexo_masculino dummy_sexo_feminino
18 139750 masculino 1 0
16 173200 masculino 1 0
3 79750 masculino 1 0
39 115000 masculino 1 0
41 141500 masculino 1 0
6 97000 masculino 1 0
23 175000 masculino 1 0
45 147765 masculino 1 0
20 119250 masculino 1 0
18 129000 feminino 0 1
8 119800 masculino 1 0
2 79800 masculino 1 0
1 77700 masculino 1 0
0 78000 masculino 1 0
18 104800 masculino 1 0
3 117150 masculino 1 0
20 101000 masculino 1 0
34 103450 masculino 1 0
23 124750 masculino 1 0
36 137000 feminino 0 1
26 89565 masculino 1 0
31 102580 masculino 1 0
30 93904 masculino 1 0
19 113068 masculino 1 0
8 74830 feminino 0 1
8 106294 masculino 1 0
23 134885 masculino 1 0
3 82379 masculino 1 0
0 77000 masculino 1 0
8 118223 masculino 1 0
4 132261 masculino 1 0
2 79916 masculino 1 0
9 117256 masculino 1 0
2 80225 masculino 1 0
2 80225 feminino 0 1
0 77000 feminino 0 1
21 155750 masculino 1 0
4 86373 masculino 1 0
31 125196 masculino 1 0
9 100938 masculino 1 0
2 146500 masculino 1 0
23 93418 masculino 1 0
27 101299 masculino 1 0
38 231545 masculino 1 0
19 94384 masculino 1 0
15 114778 masculino 1 0
28 98193 masculino 1 0
19 151768 feminino 0 1
25 140096 feminino 0 1
1 70768 masculino 1 0
28 126621 masculino 1 0
11 108875 masculino 1 0
3 74692 feminino 0 1
9 106639 masculino 1 0
11 103760 masculino 1 0
5 83900 masculino 1 0
21 117704 masculino 1 0
8 90215 masculino 1 0
9 100135 masculino 1 0
3 75044 masculino 1 0
8 90304 masculino 1 0
2 75243 masculino 1 0
31 109785 masculino 1 0
11 103613 feminino 0 1
3 68404 masculino 1 0
8 100522 masculino 1 0
12 101000 masculino 1 0
31 99418 masculino 1 0
17 111512 feminino 0 1
36 91412 masculino 1 0
2 126320 masculino 1 0
45 146856 masculino 1 0
19 100131 masculino 1 0
34 92391 masculino 1 0
23 113398 masculino 1 0
3 73266 masculino 1 0
3 150480 masculino 1 0
19 193000 masculino 1 0
1 86100 masculino 1 0
2 84240 masculino 1 0
28 150743 masculino 1 0
16 135585 masculino 1 0
20 144640 masculino 1 0
2 88825 masculino 1 0
18 122960 feminino 0 1
14 132825 masculino 1 0
37 152708 masculino 1 0
2 88400 masculino 1 0
25 172272 masculino 1 0
7 107008 masculino 1 0
5 97032 feminino 0 1
7 105128 masculino 1 0
7 105631 masculino 1 0
38 166024 masculino 1 0
20 123683 masculino 1 0
0 84000 masculino 1 0
12 95611 masculino 1 0
7 129676 masculino 1 0
14 102235 masculino 1 0
26 106689 masculino 1 0
25 133217 masculino 1 0
23 126933 masculino 1 0
5 153303 masculino 1 0
14 127512 feminino 0 1
10 83850 masculino 1 0
28 113543 masculino 1 0
8 82099 masculino 1 0
8 82600 masculino 1 0
8 81500 masculino 1 0
31 131205 masculino 1 0
16 112429 masculino 1 0
16 82100 masculino 1 0
1 72500 masculino 1 0
37 104279 masculino 1 0
0 105000 feminino 0 1
9 120806 masculino 1 0
29 148500 masculino 1 0
36 117515 masculino 1 0
1 72500 masculino 1 0
3 73500 feminino 0 1
14 115313 masculino 1 0
32 124309 masculino 1 0
22 97262 masculino 1 0
22 62884 feminino 0 1
22 96614 masculino 1 0
49 78162 masculino 1 0
26 155500 masculino 1 0
0 72500 feminino 0 1
30 113278 masculino 1 0
2 73000 masculino 1 0
9 83001 masculino 1 0
57 76840 masculino 1 0
8 77500 feminino 0 1
1 72500 feminino 0 1
25 168635 masculino 1 0
18 136000 masculino 1 0
14 108262 masculino 1 0
14 105668 masculino 1 0
7 73877 masculino 1 0
18 152664 masculino 1 0
8 100102 masculino 1 0
10 81500 masculino 1 0
11 106608 masculino 1 0
3 89942 masculino 1 0
27 112696 masculino 1 0
28 119015 masculino 1 0
4 92000 masculino 1 0
27 156938 masculino 1 0
26 144651 feminino 0 1
3 95079 masculino 1 0
12 128148 masculino 1 0
4 92000 masculino 1 0
9 111168 masculino 1 0
10 103994 feminino 0 1
0 92000 masculino 1 0
21 118971 masculino 1 0
18 113341 masculino 1 0
0 88000 masculino 1 0
6 95408 masculino 1 0
16 137167 masculino 1 0
2 89516 masculino 1 0
19 176500 masculino 1 0
7 98510 masculino 1 0
3 89942 masculino 1 0
0 88795 masculino 1 0
8 105890 masculino 1 0
16 167284 masculino 1 0
19 130664 masculino 1 0
6 101210 masculino 1 0
18 181257 masculino 1 0
5 91227 masculino 1 0
19 151575 masculino 1 0
24 93164 masculino 1 0
20 134185 masculino 1 0
6 105000 masculino 1 0
25 111751 masculino 1 0
7 95436 masculino 1 0
9 100944 masculino 1 0
14 147349 masculino 1 0
3 92000 feminino 0 1
11 142467 masculino 1 0
5 141136 masculino 1 0
8 100000 masculino 1 0
22 150000 masculino 1 0
23 101000 masculino 1 0
30 134000 masculino 1 0
10 103750 feminino 0 1
10 107500 masculino 1 0
28 106300 masculino 1 0
19 153750 masculino 1 0
9 180000 masculino 1 0
22 133700 masculino 1 0
18 122100 masculino 1 0
19 86250 masculino 1 0
53 90000 masculino 1 0
7 113600 masculino 1 0
4 92700 masculino 1 0
4 92000 masculino 1 0
33 189409 masculino 1 0
22 114500 masculino 1 0
4 92700 masculino 1 0
40 119700 masculino 1 0
17 160400 masculino 1 0
17 152500 masculino 1 0
5 165000 masculino 1 0
2 96545 masculino 1 0
33 162200 masculino 1 0
18 120000 masculino 1 0
2 91300 masculino 1 0
20 163200 masculino 1 0
3 91000 masculino 1 0
39 111350 masculino 1 0
7 128400 masculino 1 0
19 126200 masculino 1 0
1 118700 masculino 1 0
11 145350 masculino 1 0
11 146000 masculino 1 0
22 105350 masculino 1 0
7 109650 feminino 0 1
11 119500 masculino 1 0
21 170000 masculino 1 0
10 145200 masculino 1 0
6 107150 masculino 1 0
20 129600 masculino 1 0
35 87800 masculino 1 0
20 122400 masculino 1 0
1 63900 masculino 1 0
7 70000 masculino 1 0
11 88175 masculino 1 0
38 133900 masculino 1 0
27 91000 feminino 0 1
24 73300 feminino 0 1
19 148750 masculino 1 0
19 117555 feminino 0 1
3 69700 masculino 1 0
17 81700 masculino 1 0
25 114000 masculino 1 0
6 63100 feminino 0 1
40 77202 masculino 1 0
6 96200 masculino 1 0
3 69200 masculino 1 0
30 122875 masculino 1 0
37 102600 masculino 1 0
23 108200 masculino 1 0
23 84273 masculino 1 0
11 90450 feminino 0 1
23 91100 masculino 1 0
18 101100 masculino 1 0
23 128800 masculino 1 0
7 204000 masculino 1 0
39 109000 masculino 1 0
8 102000 masculino 1 0
12 132000 masculino 1 0
2 77500 feminino 0 1
7 116450 feminino 0 1
8 83000 masculino 1 0
22 140300 masculino 1 0
23 74000 masculino 1 0
3 73800 masculino 1 0
30 92550 masculino 1 0
33 88600 masculino 1 0
45 107550 masculino 1 0
26 121200 masculino 1 0
31 126000 masculino 1 0
35 99000 masculino 1 0
30 134800 masculino 1 0
43 143940 masculino 1 0
10 104350 masculino 1 0
44 89650 masculino 1 0
7 103700 masculino 1 0
40 143250 masculino 1 0
18 194800 masculino 1 0
1 73000 masculino 1 0
4 74000 masculino 1 0
3 78500 feminino 0 1
6 93000 masculino 1 0
48 107200 masculino 1 0
27 163200 masculino 1 0
18 107100 masculino 1 0
46 100600 masculino 1 0
38 136500 masculino 1 0
27 103600 masculino 1 0
51 57800 masculino 1 0
43 155865 masculino 1 0
6 88650 masculino 1 0
49 81800 masculino 1 0
27 115800 masculino 1 0
0 85000 masculino 1 0
27 150500 masculino 1 0
5 74000 masculino 1 0
7 174500 masculino 1 0
28 168500 masculino 1 0
9 183800 masculino 1 0
1 104800 masculino 1 0
7 107300 masculino 1 0
36 97150 masculino 1 0
18 126300 masculino 1 0
11 148800 masculino 1 0
43 72300 masculino 1 0
39 70700 masculino 1 0
36 88600 masculino 1 0
16 127100 masculino 1 0
13 170500 masculino 1 0
4 105260 masculino 1 0
44 144050 masculino 1 0
31 111350 masculino 1 0
4 74500 masculino 1 0
28 122500 masculino 1 0
0 74000 masculino 1 0
15 166800 masculino 1 0
7 92050 masculino 1 0
9 108100 masculino 1 0
19 94350 masculino 1 0
35 100351 masculino 1 0
6 146800 masculino 1 0
3 84716 masculino 1 0
9 71065 feminino 0 1
45 67559 masculino 1 0
16 134550 masculino 1 0
15 135027 masculino 1 0
23 104428 masculino 1 0
9 95642 masculino 1 0
11 126431 masculino 1 0
15 161101 feminino 0 1
31 162221 masculino 1 0
4 84500 masculino 1 0
15 124714 masculino 1 0
37 151650 masculino 1 0
10 99247 masculino 1 0
23 134778 masculino 1 0
60 192253 masculino 1 0
9 116518 masculino 1 0
10 105450 feminino 0 1
19 145098 masculino 1 0
6 104542 feminino 0 1
38 151445 masculino 1 0
23 98053 masculino 1 0
12 145000 masculino 1 0
25 128464 masculino 1 0
15 137317 masculino 1 0
11 106231 masculino 1 0
17 124312 feminino 0 1
38 114596 masculino 1 0
31 162150 masculino 1 0
35 150376 masculino 1 0
10 107986 masculino 1 0
27 142023 masculino 1 0
33 128250 masculino 1 0
3 80139 masculino 1 0
28 144309 masculino 1 0
49 186960 masculino 1 0
38 93519 masculino 1 0
27 142500 masculino 1 0
20 138000 masculino 1 0
1 83600 masculino 1 0
21 145028 masculino 1 0
40 88709 masculino 1 0
35 107309 masculino 1 0
14 109954 feminino 0 1
4 78785 masculino 1 0
11 121946 masculino 1 0
15 109646 feminino 0 1
30 138771 masculino 1 0
17 81285 masculino 1 0
43 205500 masculino 1 0
40 101036 masculino 1 0
10 115435 masculino 1 0
1 108413 masculino 1 0
30 131950 masculino 1 0
31 134690 masculino 1 0
8 78182 masculino 1 0
20 110515 masculino 1 0
7 109707 masculino 1 0
26 136660 masculino 1 0
19 103275 masculino 1 0
26 103649 masculino 1 0
1 74856 masculino 1 0
3 77081 masculino 1 0
38 150680 masculino 1 0
8 104121 masculino 1 0
3 75996 masculino 1 0
23 172505 masculino 1 0
5 86895 masculino 1 0
44 105000 masculino 1 0
21 125192 masculino 1 0
9 114330 masculino 1 0
27 139219 masculino 1 0
15 109305 masculino 1 0
36 119450 masculino 1 0
18 186023 masculino 1 0
19 166605 masculino 1 0
19 151292 masculino 1 0
30 103106 masculino 1 0
19 150564 masculino 1 0
25 101738 masculino 1 0
15 95329 masculino 1 0
4 81035 masculino 1 0

Note que onde a pessoa é do sexo masculino, a dummy do sexo masculino é 1 caso contrário 0. Quando a pessoa é do sexo feminino, a dummy do sexo feminino é 1, caso contrário 0.

De forma prática, o que representar os dados dessa forma nos fornece? Primeiro, vamos visualizar a disposição dos dados:

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario, color = sexo)) +
  geom_point() +
  geom_smooth(se = F, method = "lm") +
  theme_classic()

Somente nessa visualização de dois modelos distintos, podemos concluir observações muito interessantes sobre esse conjunto de dados.

Note que o salário inicial para mulheres professoras aparenta ser menor, em virtude intercepto diferente dos dois modelos, e a partir de uns 22 anos de serviço, mulheres passam a ter um salário superior aos homens.

Mas não fizemos uso de nenhuma dummy nessa visualização acima, apenas geramos dois modelos diferentes para homens e mulheres. Um modelo usando dummies não é muito fácil para representar, então não é usual de utilizarmos abordagem gráfica com dummies.

Mas vamos ao que importa, como funciona a estimação de modelos lineares com dummies? Igual a estimação sem dummies, mas com um leve pulo do gato: precisamos sempre de uma base para comparar com outra!

Por exemplo, é possível não ser do sexo masculino ou feminino? Não. Então faria sentido estimar um modelo sem considerar nenhum sexo? Não.

A ideia então é a seguinte, precisamos remover uma dummy do nosso modelo para ser base, e deixar outra para ser nosso indicador de efeito qualitativo.

Podemos criar um modelo simples de intercepto, da seguinte forma:

\[ salario_i = \beta_0 + \beta_1 anosdeservico + \beta_2DummySexoMasculino + u_i \]

Assim, quando a dummy do sexo masculino for 0, teremos simplesmente o modelo \(\beta_0 + \beta_1 anosdeservico\), e quando a dummy for 1, teremos o modelo \(\beta_0 + \beta_1 anosdeservico + \beta_2\). Como \(\beta_2\) não está associado a uma variável, ele simplesmente aumenta, diminui, ou não influencia no intercepto do modelo como um todo.

Por exemplo:

O modelo descrito acima foi estimado abaixo:

summary(lm(salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino, 
##     data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81757 -20614  -3376  16779 101707 
## 
## Coefficients:
##                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           92356.9     4740.2  19.484  < 2e-16 ***
## anos_de_servico         747.6      111.4   6.711 6.74e-11 ***
## dummy_sexo_masculino   9071.8     4861.6   1.866   0.0628 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1198, Adjusted R-squared:  0.1154 
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF,  p-value: 1.201e-11

Assim, teremos duas situações descritas por esse modelo: um intercepto para homens e outro para mulheres.

Um modelo para mulheres:

\[ salario_i = 92356.9 + 747.6 anosdeservico + u_i \]

E outro para homens:

\[ salario_i = 92356.9 + 747.6 anosdeservico + 9071.8 + u_i = 101428.7 + 747.6 anosdeservico + u_i \]

Note que podemos interpretar também diretamente no retorno fornecido pelo r:

summary(lm(salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino, 
##     data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81757 -20614  -3376  16779 101707 
## 
## Coefficients:
##                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           92356.9     4740.2  19.484  < 2e-16 ***
## anos_de_servico         747.6      111.4   6.711 6.74e-11 ***
## dummy_sexo_masculino   9071.8     4861.6   1.866   0.0628 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1198, Adjusted R-squared:  0.1154 
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF,  p-value: 1.201e-11

A dummy do sexo masculino captou uma diferença salarial em um nível de 10% de significância, indicando que homens ganham mais que mulheres no início da profissão de professor.

Podemos também gerar dummies de inclinação, que modificam o quanto a variável explicativa influencia na variável explicada. Pense que, só por ser mulher, ter o mesmo tanto de experiência que um homem possa valer mais para justificar maiores salários. Podemos testar isso de forma similar:

\[ salario_i = \beta_0 + \beta_1 anosdeservico + \beta_2DummySexoMasculino\space \cdot anosdeservico + u_i \]

O resultado desse tipo de modelo pelo r é:

summary(lm(salario ~ anos_de_servico + I(dummy_sexo_masculino * anos_de_servico), dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + I(dummy_sexo_masculino * 
##     anos_de_servico), data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -82107 -20672  -3554  16414 101778 
## 
## Coefficients:
##                                           Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept)                               100125.4     2444.6  40.957   <2e-16
## anos_de_servico                              640.2      344.1   1.860   0.0636
## I(dummy_sexo_masculino * anos_de_servico)    139.9      327.0   0.428   0.6691
##                                              
## (Intercept)                               ***
## anos_de_servico                           .  
## I(dummy_sexo_masculino * anos_de_servico)    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28610 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1125, Adjusted R-squared:  0.108 
## F-statistic: 24.96 on 2 and 394 DF,  p-value: 6.201e-11

Ou seja, a experiência da mulher nesse mercado de trabalho foi de fato positiva pelo modelo, mas esse resultado não foi significativo! Por mais que tenhamos observado esse efeito no primeiro gráfico, não existem indícios que o tempo de serviço de uma pessoa possa ser condicionado por seu sexo.

Poderiamos estimar um modelo de dummy para intercepto e para inclinação de forma bem simples e seguindo a mesma lógica utilizada nos dois casos acima. Deixo para você tentar estimar esse modelo!

7.1 Alerta: multicolinearidade perfeita em modelagem com dummies

Outro motivo de removermos uma dummy do modelo para servir de base tem a ver com uma questão de estimativa. Pense comigo: se eu sei que a pessoa é homem, automaticamente eu sei que ela não é mulher! Veja novamente a base utilizada no início do capítulo:

dataset[, intercepto := 1]
dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario sexo dummy_sexo_masculino dummy_sexo_feminino intercepto
18 139750 masculino 1 0 1
16 173200 masculino 1 0 1
3 79750 masculino 1 0 1
39 115000 masculino 1 0 1
41 141500 masculino 1 0 1
6 97000 masculino 1 0 1
23 175000 masculino 1 0 1
45 147765 masculino 1 0 1
20 119250 masculino 1 0 1
18 129000 feminino 0 1 1
8 119800 masculino 1 0 1
2 79800 masculino 1 0 1
1 77700 masculino 1 0 1
0 78000 masculino 1 0 1
18 104800 masculino 1 0 1
3 117150 masculino 1 0 1
20 101000 masculino 1 0 1
34 103450 masculino 1 0 1
23 124750 masculino 1 0 1
36 137000 feminino 0 1 1
26 89565 masculino 1 0 1
31 102580 masculino 1 0 1
30 93904 masculino 1 0 1
19 113068 masculino 1 0 1
8 74830 feminino 0 1 1
8 106294 masculino 1 0 1
23 134885 masculino 1 0 1
3 82379 masculino 1 0 1
0 77000 masculino 1 0 1
8 118223 masculino 1 0 1
4 132261 masculino 1 0 1
2 79916 masculino 1 0 1
9 117256 masculino 1 0 1
2 80225 masculino 1 0 1
2 80225 feminino 0 1 1
0 77000 feminino 0 1 1
21 155750 masculino 1 0 1
4 86373 masculino 1 0 1
31 125196 masculino 1 0 1
9 100938 masculino 1 0 1
2 146500 masculino 1 0 1
23 93418 masculino 1 0 1
27 101299 masculino 1 0 1
38 231545 masculino 1 0 1
19 94384 masculino 1 0 1
15 114778 masculino 1 0 1
28 98193 masculino 1 0 1
19 151768 feminino 0 1 1
25 140096 feminino 0 1 1
1 70768 masculino 1 0 1
28 126621 masculino 1 0 1
11 108875 masculino 1 0 1
3 74692 feminino 0 1 1
9 106639 masculino 1 0 1
11 103760 masculino 1 0 1
5 83900 masculino 1 0 1
21 117704 masculino 1 0 1
8 90215 masculino 1 0 1
9 100135 masculino 1 0 1
3 75044 masculino 1 0 1
8 90304 masculino 1 0 1
2 75243 masculino 1 0 1
31 109785 masculino 1 0 1
11 103613 feminino 0 1 1
3 68404 masculino 1 0 1
8 100522 masculino 1 0 1
12 101000 masculino 1 0 1
31 99418 masculino 1 0 1
17 111512 feminino 0 1 1
36 91412 masculino 1 0 1
2 126320 masculino 1 0 1
45 146856 masculino 1 0 1
19 100131 masculino 1 0 1
34 92391 masculino 1 0 1
23 113398 masculino 1 0 1
3 73266 masculino 1 0 1
3 150480 masculino 1 0 1
19 193000 masculino 1 0 1
1 86100 masculino 1 0 1
2 84240 masculino 1 0 1
28 150743 masculino 1 0 1
16 135585 masculino 1 0 1
20 144640 masculino 1 0 1
2 88825 masculino 1 0 1
18 122960 feminino 0 1 1
14 132825 masculino 1 0 1
37 152708 masculino 1 0 1
2 88400 masculino 1 0 1
25 172272 masculino 1 0 1
7 107008 masculino 1 0 1
5 97032 feminino 0 1 1
7 105128 masculino 1 0 1
7 105631 masculino 1 0 1
38 166024 masculino 1 0 1
20 123683 masculino 1 0 1
0 84000 masculino 1 0 1
12 95611 masculino 1 0 1
7 129676 masculino 1 0 1
14 102235 masculino 1 0 1
26 106689 masculino 1 0 1
25 133217 masculino 1 0 1
23 126933 masculino 1 0 1
5 153303 masculino 1 0 1
14 127512 feminino 0 1 1
10 83850 masculino 1 0 1
28 113543 masculino 1 0 1
8 82099 masculino 1 0 1
8 82600 masculino 1 0 1
8 81500 masculino 1 0 1
31 131205 masculino 1 0 1
16 112429 masculino 1 0 1
16 82100 masculino 1 0 1
1 72500 masculino 1 0 1
37 104279 masculino 1 0 1
0 105000 feminino 0 1 1
9 120806 masculino 1 0 1
29 148500 masculino 1 0 1
36 117515 masculino 1 0 1
1 72500 masculino 1 0 1
3 73500 feminino 0 1 1
14 115313 masculino 1 0 1
32 124309 masculino 1 0 1
22 97262 masculino 1 0 1
22 62884 feminino 0 1 1
22 96614 masculino 1 0 1
49 78162 masculino 1 0 1
26 155500 masculino 1 0 1
0 72500 feminino 0 1 1
30 113278 masculino 1 0 1
2 73000 masculino 1 0 1
9 83001 masculino 1 0 1
57 76840 masculino 1 0 1
8 77500 feminino 0 1 1
1 72500 feminino 0 1 1
25 168635 masculino 1 0 1
18 136000 masculino 1 0 1
14 108262 masculino 1 0 1
14 105668 masculino 1 0 1
7 73877 masculino 1 0 1
18 152664 masculino 1 0 1
8 100102 masculino 1 0 1
10 81500 masculino 1 0 1
11 106608 masculino 1 0 1
3 89942 masculino 1 0 1
27 112696 masculino 1 0 1
28 119015 masculino 1 0 1
4 92000 masculino 1 0 1
27 156938 masculino 1 0 1
26 144651 feminino 0 1 1
3 95079 masculino 1 0 1
12 128148 masculino 1 0 1
4 92000 masculino 1 0 1
9 111168 masculino 1 0 1
10 103994 feminino 0 1 1
0 92000 masculino 1 0 1
21 118971 masculino 1 0 1
18 113341 masculino 1 0 1
0 88000 masculino 1 0 1
6 95408 masculino 1 0 1
16 137167 masculino 1 0 1
2 89516 masculino 1 0 1
19 176500 masculino 1 0 1
7 98510 masculino 1 0 1
3 89942 masculino 1 0 1
0 88795 masculino 1 0 1
8 105890 masculino 1 0 1
16 167284 masculino 1 0 1
19 130664 masculino 1 0 1
6 101210 masculino 1 0 1
18 181257 masculino 1 0 1
5 91227 masculino 1 0 1
19 151575 masculino 1 0 1
24 93164 masculino 1 0 1
20 134185 masculino 1 0 1
6 105000 masculino 1 0 1
25 111751 masculino 1 0 1
7 95436 masculino 1 0 1
9 100944 masculino 1 0 1
14 147349 masculino 1 0 1
3 92000 feminino 0 1 1
11 142467 masculino 1 0 1
5 141136 masculino 1 0 1
8 100000 masculino 1 0 1
22 150000 masculino 1 0 1
23 101000 masculino 1 0 1
30 134000 masculino 1 0 1
10 103750 feminino 0 1 1
10 107500 masculino 1 0 1
28 106300 masculino 1 0 1
19 153750 masculino 1 0 1
9 180000 masculino 1 0 1
22 133700 masculino 1 0 1
18 122100 masculino 1 0 1
19 86250 masculino 1 0 1
53 90000 masculino 1 0 1
7 113600 masculino 1 0 1
4 92700 masculino 1 0 1
4 92000 masculino 1 0 1
33 189409 masculino 1 0 1
22 114500 masculino 1 0 1
4 92700 masculino 1 0 1
40 119700 masculino 1 0 1
17 160400 masculino 1 0 1
17 152500 masculino 1 0 1
5 165000 masculino 1 0 1
2 96545 masculino 1 0 1
33 162200 masculino 1 0 1
18 120000 masculino 1 0 1
2 91300 masculino 1 0 1
20 163200 masculino 1 0 1
3 91000 masculino 1 0 1
39 111350 masculino 1 0 1
7 128400 masculino 1 0 1
19 126200 masculino 1 0 1
1 118700 masculino 1 0 1
11 145350 masculino 1 0 1
11 146000 masculino 1 0 1
22 105350 masculino 1 0 1
7 109650 feminino 0 1 1
11 119500 masculino 1 0 1
21 170000 masculino 1 0 1
10 145200 masculino 1 0 1
6 107150 masculino 1 0 1
20 129600 masculino 1 0 1
35 87800 masculino 1 0 1
20 122400 masculino 1 0 1
1 63900 masculino 1 0 1
7 70000 masculino 1 0 1
11 88175 masculino 1 0 1
38 133900 masculino 1 0 1
27 91000 feminino 0 1 1
24 73300 feminino 0 1 1
19 148750 masculino 1 0 1
19 117555 feminino 0 1 1
3 69700 masculino 1 0 1
17 81700 masculino 1 0 1
25 114000 masculino 1 0 1
6 63100 feminino 0 1 1
40 77202 masculino 1 0 1
6 96200 masculino 1 0 1
3 69200 masculino 1 0 1
30 122875 masculino 1 0 1
37 102600 masculino 1 0 1
23 108200 masculino 1 0 1
23 84273 masculino 1 0 1
11 90450 feminino 0 1 1
23 91100 masculino 1 0 1
18 101100 masculino 1 0 1
23 128800 masculino 1 0 1
7 204000 masculino 1 0 1
39 109000 masculino 1 0 1
8 102000 masculino 1 0 1
12 132000 masculino 1 0 1
2 77500 feminino 0 1 1
7 116450 feminino 0 1 1
8 83000 masculino 1 0 1
22 140300 masculino 1 0 1
23 74000 masculino 1 0 1
3 73800 masculino 1 0 1
30 92550 masculino 1 0 1
33 88600 masculino 1 0 1
45 107550 masculino 1 0 1
26 121200 masculino 1 0 1
31 126000 masculino 1 0 1
35 99000 masculino 1 0 1
30 134800 masculino 1 0 1
43 143940 masculino 1 0 1
10 104350 masculino 1 0 1
44 89650 masculino 1 0 1
7 103700 masculino 1 0 1
40 143250 masculino 1 0 1
18 194800 masculino 1 0 1
1 73000 masculino 1 0 1
4 74000 masculino 1 0 1
3 78500 feminino 0 1 1
6 93000 masculino 1 0 1
48 107200 masculino 1 0 1
27 163200 masculino 1 0 1
18 107100 masculino 1 0 1
46 100600 masculino 1 0 1
38 136500 masculino 1 0 1
27 103600 masculino 1 0 1
51 57800 masculino 1 0 1
43 155865 masculino 1 0 1
6 88650 masculino 1 0 1
49 81800 masculino 1 0 1
27 115800 masculino 1 0 1
0 85000 masculino 1 0 1
27 150500 masculino 1 0 1
5 74000 masculino 1 0 1
7 174500 masculino 1 0 1
28 168500 masculino 1 0 1
9 183800 masculino 1 0 1
1 104800 masculino 1 0 1
7 107300 masculino 1 0 1
36 97150 masculino 1 0 1
18 126300 masculino 1 0 1
11 148800 masculino 1 0 1
43 72300 masculino 1 0 1
39 70700 masculino 1 0 1
36 88600 masculino 1 0 1
16 127100 masculino 1 0 1
13 170500 masculino 1 0 1
4 105260 masculino 1 0 1
44 144050 masculino 1 0 1
31 111350 masculino 1 0 1
4 74500 masculino 1 0 1
28 122500 masculino 1 0 1
0 74000 masculino 1 0 1
15 166800 masculino 1 0 1
7 92050 masculino 1 0 1
9 108100 masculino 1 0 1
19 94350 masculino 1 0 1
35 100351 masculino 1 0 1
6 146800 masculino 1 0 1
3 84716 masculino 1 0 1
9 71065 feminino 0 1 1
45 67559 masculino 1 0 1
16 134550 masculino 1 0 1
15 135027 masculino 1 0 1
23 104428 masculino 1 0 1
9 95642 masculino 1 0 1
11 126431 masculino 1 0 1
15 161101 feminino 0 1 1
31 162221 masculino 1 0 1
4 84500 masculino 1 0 1
15 124714 masculino 1 0 1
37 151650 masculino 1 0 1
10 99247 masculino 1 0 1
23 134778 masculino 1 0 1
60 192253 masculino 1 0 1
9 116518 masculino 1 0 1
10 105450 feminino 0 1 1
19 145098 masculino 1 0 1
6 104542 feminino 0 1 1
38 151445 masculino 1 0 1
23 98053 masculino 1 0 1
12 145000 masculino 1 0 1
25 128464 masculino 1 0 1
15 137317 masculino 1 0 1
11 106231 masculino 1 0 1
17 124312 feminino 0 1 1
38 114596 masculino 1 0 1
31 162150 masculino 1 0 1
35 150376 masculino 1 0 1
10 107986 masculino 1 0 1
27 142023 masculino 1 0 1
33 128250 masculino 1 0 1
3 80139 masculino 1 0 1
28 144309 masculino 1 0 1
49 186960 masculino 1 0 1
38 93519 masculino 1 0 1
27 142500 masculino 1 0 1
20 138000 masculino 1 0 1
1 83600 masculino 1 0 1
21 145028 masculino 1 0 1
40 88709 masculino 1 0 1
35 107309 masculino 1 0 1
14 109954 feminino 0 1 1
4 78785 masculino 1 0 1
11 121946 masculino 1 0 1
15 109646 feminino 0 1 1
30 138771 masculino 1 0 1
17 81285 masculino 1 0 1
43 205500 masculino 1 0 1
40 101036 masculino 1 0 1
10 115435 masculino 1 0 1
1 108413 masculino 1 0 1
30 131950 masculino 1 0 1
31 134690 masculino 1 0 1
8 78182 masculino 1 0 1
20 110515 masculino 1 0 1
7 109707 masculino 1 0 1
26 136660 masculino 1 0 1
19 103275 masculino 1 0 1
26 103649 masculino 1 0 1
1 74856 masculino 1 0 1
3 77081 masculino 1 0 1
38 150680 masculino 1 0 1
8 104121 masculino 1 0 1
3 75996 masculino 1 0 1
23 172505 masculino 1 0 1
5 86895 masculino 1 0 1
44 105000 masculino 1 0 1
21 125192 masculino 1 0 1
9 114330 masculino 1 0 1
27 139219 masculino 1 0 1
15 109305 masculino 1 0 1
36 119450 masculino 1 0 1
18 186023 masculino 1 0 1
19 166605 masculino 1 0 1
19 151292 masculino 1 0 1
30 103106 masculino 1 0 1
19 150564 masculino 1 0 1
25 101738 masculino 1 0 1
15 95329 masculino 1 0 1
4 81035 masculino 1 0 1

Você concorda que se eu somar a coluna dummy_sexo_masculino com a coluna dummy_sexo_feminino, eu terei exatamente a coluna intercepto? Ora, isso configura uma dependência linear perfeita de uma coluna com a outra!

Se eu estimasse um modelo no R, com as duas colunas, veja o que acontece:

summary(lm(salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino + dummy_sexo_feminino, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino + 
##     dummy_sexo_feminino, data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81757 -20614  -3376  16779 101707 
## 
## Coefficients: (1 not defined because of singularities)
##                      Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)           92356.9     4740.2  19.484  < 2e-16 ***
## anos_de_servico         747.6      111.4   6.711 6.74e-11 ***
## dummy_sexo_masculino   9071.8     4861.6   1.866   0.0628 .  
## dummy_sexo_feminino        NA         NA      NA       NA    
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1198, Adjusted R-squared:  0.1154 
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF,  p-value: 1.201e-11

O R só conseguiu estimar o modelo porque tornou uma das dummies NA (non applicable). Ou seja, ele automaticamente removeu uma para possibilitar nossos cálculos, mas veja o que acontece se eu calculo o modelo com as duas dummies:

matriz_X <- as.matrix(select(dataset, c("intercepto", "anos_de_servico", "dummy_sexo_masculino", "dummy_sexo_feminino")))
matriz_X_transposta <- t(matriz_X)
solve(matriz_X_transposta %*% matriz_X)
## Error in solve.default(matriz_X_transposta %*% matriz_X): system is computationally singular: reciprocal condition number = 1.16016e-20

Um erro chato acontece porque a estimação é impossível. Pra quem lembra de álgebra linear bem, esse erro acontece por conta disso daqui:

round(det(matriz_X_transposta %*% matriz_X), 4)
## [1] 0

O determinante da matriz X’X é zero, ou seja, é um sistema linearmente dependente, e, portanto, não é inversível.

7.2 Uma vantagem do uso do R

Essa seção é mais um jabá para uso de modelagem no R. Note que no capítulo inteiro eu criei dummies para possibilitar a estimação, mas não era preciso de fazer isso no R. Olhe novamente a base:

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
anos_de_servico salario sexo dummy_sexo_masculino dummy_sexo_feminino intercepto
18 139750 masculino 1 0 1
16 173200 masculino 1 0 1
3 79750 masculino 1 0 1
39 115000 masculino 1 0 1
41 141500 masculino 1 0 1
6 97000 masculino 1 0 1
23 175000 masculino 1 0 1
45 147765 masculino 1 0 1
20 119250 masculino 1 0 1
18 129000 feminino 0 1 1
8 119800 masculino 1 0 1
2 79800 masculino 1 0 1
1 77700 masculino 1 0 1
0 78000 masculino 1 0 1
18 104800 masculino 1 0 1
3 117150 masculino 1 0 1
20 101000 masculino 1 0 1
34 103450 masculino 1 0 1
23 124750 masculino 1 0 1
36 137000 feminino 0 1 1
26 89565 masculino 1 0 1
31 102580 masculino 1 0 1
30 93904 masculino 1 0 1
19 113068 masculino 1 0 1
8 74830 feminino 0 1 1
8 106294 masculino 1 0 1
23 134885 masculino 1 0 1
3 82379 masculino 1 0 1
0 77000 masculino 1 0 1
8 118223 masculino 1 0 1
4 132261 masculino 1 0 1
2 79916 masculino 1 0 1
9 117256 masculino 1 0 1
2 80225 masculino 1 0 1
2 80225 feminino 0 1 1
0 77000 feminino 0 1 1
21 155750 masculino 1 0 1
4 86373 masculino 1 0 1
31 125196 masculino 1 0 1
9 100938 masculino 1 0 1
2 146500 masculino 1 0 1
23 93418 masculino 1 0 1
27 101299 masculino 1 0 1
38 231545 masculino 1 0 1
19 94384 masculino 1 0 1
15 114778 masculino 1 0 1
28 98193 masculino 1 0 1
19 151768 feminino 0 1 1
25 140096 feminino 0 1 1
1 70768 masculino 1 0 1
28 126621 masculino 1 0 1
11 108875 masculino 1 0 1
3 74692 feminino 0 1 1
9 106639 masculino 1 0 1
11 103760 masculino 1 0 1
5 83900 masculino 1 0 1
21 117704 masculino 1 0 1
8 90215 masculino 1 0 1
9 100135 masculino 1 0 1
3 75044 masculino 1 0 1
8 90304 masculino 1 0 1
2 75243 masculino 1 0 1
31 109785 masculino 1 0 1
11 103613 feminino 0 1 1
3 68404 masculino 1 0 1
8 100522 masculino 1 0 1
12 101000 masculino 1 0 1
31 99418 masculino 1 0 1
17 111512 feminino 0 1 1
36 91412 masculino 1 0 1
2 126320 masculino 1 0 1
45 146856 masculino 1 0 1
19 100131 masculino 1 0 1
34 92391 masculino 1 0 1
23 113398 masculino 1 0 1
3 73266 masculino 1 0 1
3 150480 masculino 1 0 1
19 193000 masculino 1 0 1
1 86100 masculino 1 0 1
2 84240 masculino 1 0 1
28 150743 masculino 1 0 1
16 135585 masculino 1 0 1
20 144640 masculino 1 0 1
2 88825 masculino 1 0 1
18 122960 feminino 0 1 1
14 132825 masculino 1 0 1
37 152708 masculino 1 0 1
2 88400 masculino 1 0 1
25 172272 masculino 1 0 1
7 107008 masculino 1 0 1
5 97032 feminino 0 1 1
7 105128 masculino 1 0 1
7 105631 masculino 1 0 1
38 166024 masculino 1 0 1
20 123683 masculino 1 0 1
0 84000 masculino 1 0 1
12 95611 masculino 1 0 1
7 129676 masculino 1 0 1
14 102235 masculino 1 0 1
26 106689 masculino 1 0 1
25 133217 masculino 1 0 1
23 126933 masculino 1 0 1
5 153303 masculino 1 0 1
14 127512 feminino 0 1 1
10 83850 masculino 1 0 1
28 113543 masculino 1 0 1
8 82099 masculino 1 0 1
8 82600 masculino 1 0 1
8 81500 masculino 1 0 1
31 131205 masculino 1 0 1
16 112429 masculino 1 0 1
16 82100 masculino 1 0 1
1 72500 masculino 1 0 1
37 104279 masculino 1 0 1
0 105000 feminino 0 1 1
9 120806 masculino 1 0 1
29 148500 masculino 1 0 1
36 117515 masculino 1 0 1
1 72500 masculino 1 0 1
3 73500 feminino 0 1 1
14 115313 masculino 1 0 1
32 124309 masculino 1 0 1
22 97262 masculino 1 0 1
22 62884 feminino 0 1 1
22 96614 masculino 1 0 1
49 78162 masculino 1 0 1
26 155500 masculino 1 0 1
0 72500 feminino 0 1 1
30 113278 masculino 1 0 1
2 73000 masculino 1 0 1
9 83001 masculino 1 0 1
57 76840 masculino 1 0 1
8 77500 feminino 0 1 1
1 72500 feminino 0 1 1
25 168635 masculino 1 0 1
18 136000 masculino 1 0 1
14 108262 masculino 1 0 1
14 105668 masculino 1 0 1
7 73877 masculino 1 0 1
18 152664 masculino 1 0 1
8 100102 masculino 1 0 1
10 81500 masculino 1 0 1
11 106608 masculino 1 0 1
3 89942 masculino 1 0 1
27 112696 masculino 1 0 1
28 119015 masculino 1 0 1
4 92000 masculino 1 0 1
27 156938 masculino 1 0 1
26 144651 feminino 0 1 1
3 95079 masculino 1 0 1
12 128148 masculino 1 0 1
4 92000 masculino 1 0 1
9 111168 masculino 1 0 1
10 103994 feminino 0 1 1
0 92000 masculino 1 0 1
21 118971 masculino 1 0 1
18 113341 masculino 1 0 1
0 88000 masculino 1 0 1
6 95408 masculino 1 0 1
16 137167 masculino 1 0 1
2 89516 masculino 1 0 1
19 176500 masculino 1 0 1
7 98510 masculino 1 0 1
3 89942 masculino 1 0 1
0 88795 masculino 1 0 1
8 105890 masculino 1 0 1
16 167284 masculino 1 0 1
19 130664 masculino 1 0 1
6 101210 masculino 1 0 1
18 181257 masculino 1 0 1
5 91227 masculino 1 0 1
19 151575 masculino 1 0 1
24 93164 masculino 1 0 1
20 134185 masculino 1 0 1
6 105000 masculino 1 0 1
25 111751 masculino 1 0 1
7 95436 masculino 1 0 1
9 100944 masculino 1 0 1
14 147349 masculino 1 0 1
3 92000 feminino 0 1 1
11 142467 masculino 1 0 1
5 141136 masculino 1 0 1
8 100000 masculino 1 0 1
22 150000 masculino 1 0 1
23 101000 masculino 1 0 1
30 134000 masculino 1 0 1
10 103750 feminino 0 1 1
10 107500 masculino 1 0 1
28 106300 masculino 1 0 1
19 153750 masculino 1 0 1
9 180000 masculino 1 0 1
22 133700 masculino 1 0 1
18 122100 masculino 1 0 1
19 86250 masculino 1 0 1
53 90000 masculino 1 0 1
7 113600 masculino 1 0 1
4 92700 masculino 1 0 1
4 92000 masculino 1 0 1
33 189409 masculino 1 0 1
22 114500 masculino 1 0 1
4 92700 masculino 1 0 1
40 119700 masculino 1 0 1
17 160400 masculino 1 0 1
17 152500 masculino 1 0 1
5 165000 masculino 1 0 1
2 96545 masculino 1 0 1
33 162200 masculino 1 0 1
18 120000 masculino 1 0 1
2 91300 masculino 1 0 1
20 163200 masculino 1 0 1
3 91000 masculino 1 0 1
39 111350 masculino 1 0 1
7 128400 masculino 1 0 1
19 126200 masculino 1 0 1
1 118700 masculino 1 0 1
11 145350 masculino 1 0 1
11 146000 masculino 1 0 1
22 105350 masculino 1 0 1
7 109650 feminino 0 1 1
11 119500 masculino 1 0 1
21 170000 masculino 1 0 1
10 145200 masculino 1 0 1
6 107150 masculino 1 0 1
20 129600 masculino 1 0 1
35 87800 masculino 1 0 1
20 122400 masculino 1 0 1
1 63900 masculino 1 0 1
7 70000 masculino 1 0 1
11 88175 masculino 1 0 1
38 133900 masculino 1 0 1
27 91000 feminino 0 1 1
24 73300 feminino 0 1 1
19 148750 masculino 1 0 1
19 117555 feminino 0 1 1
3 69700 masculino 1 0 1
17 81700 masculino 1 0 1
25 114000 masculino 1 0 1
6 63100 feminino 0 1 1
40 77202 masculino 1 0 1
6 96200 masculino 1 0 1
3 69200 masculino 1 0 1
30 122875 masculino 1 0 1
37 102600 masculino 1 0 1
23 108200 masculino 1 0 1
23 84273 masculino 1 0 1
11 90450 feminino 0 1 1
23 91100 masculino 1 0 1
18 101100 masculino 1 0 1
23 128800 masculino 1 0 1
7 204000 masculino 1 0 1
39 109000 masculino 1 0 1
8 102000 masculino 1 0 1
12 132000 masculino 1 0 1
2 77500 feminino 0 1 1
7 116450 feminino 0 1 1
8 83000 masculino 1 0 1
22 140300 masculino 1 0 1
23 74000 masculino 1 0 1
3 73800 masculino 1 0 1
30 92550 masculino 1 0 1
33 88600 masculino 1 0 1
45 107550 masculino 1 0 1
26 121200 masculino 1 0 1
31 126000 masculino 1 0 1
35 99000 masculino 1 0 1
30 134800 masculino 1 0 1
43 143940 masculino 1 0 1
10 104350 masculino 1 0 1
44 89650 masculino 1 0 1
7 103700 masculino 1 0 1
40 143250 masculino 1 0 1
18 194800 masculino 1 0 1
1 73000 masculino 1 0 1
4 74000 masculino 1 0 1
3 78500 feminino 0 1 1
6 93000 masculino 1 0 1
48 107200 masculino 1 0 1
27 163200 masculino 1 0 1
18 107100 masculino 1 0 1
46 100600 masculino 1 0 1
38 136500 masculino 1 0 1
27 103600 masculino 1 0 1
51 57800 masculino 1 0 1
43 155865 masculino 1 0 1
6 88650 masculino 1 0 1
49 81800 masculino 1 0 1
27 115800 masculino 1 0 1
0 85000 masculino 1 0 1
27 150500 masculino 1 0 1
5 74000 masculino 1 0 1
7 174500 masculino 1 0 1
28 168500 masculino 1 0 1
9 183800 masculino 1 0 1
1 104800 masculino 1 0 1
7 107300 masculino 1 0 1
36 97150 masculino 1 0 1
18 126300 masculino 1 0 1
11 148800 masculino 1 0 1
43 72300 masculino 1 0 1
39 70700 masculino 1 0 1
36 88600 masculino 1 0 1
16 127100 masculino 1 0 1
13 170500 masculino 1 0 1
4 105260 masculino 1 0 1
44 144050 masculino 1 0 1
31 111350 masculino 1 0 1
4 74500 masculino 1 0 1
28 122500 masculino 1 0 1
0 74000 masculino 1 0 1
15 166800 masculino 1 0 1
7 92050 masculino 1 0 1
9 108100 masculino 1 0 1
19 94350 masculino 1 0 1
35 100351 masculino 1 0 1
6 146800 masculino 1 0 1
3 84716 masculino 1 0 1
9 71065 feminino 0 1 1
45 67559 masculino 1 0 1
16 134550 masculino 1 0 1
15 135027 masculino 1 0 1
23 104428 masculino 1 0 1
9 95642 masculino 1 0 1
11 126431 masculino 1 0 1
15 161101 feminino 0 1 1
31 162221 masculino 1 0 1
4 84500 masculino 1 0 1
15 124714 masculino 1 0 1
37 151650 masculino 1 0 1
10 99247 masculino 1 0 1
23 134778 masculino 1 0 1
60 192253 masculino 1 0 1
9 116518 masculino 1 0 1
10 105450 feminino 0 1 1
19 145098 masculino 1 0 1
6 104542 feminino 0 1 1
38 151445 masculino 1 0 1
23 98053 masculino 1 0 1
12 145000 masculino 1 0 1
25 128464 masculino 1 0 1
15 137317 masculino 1 0 1
11 106231 masculino 1 0 1
17 124312 feminino 0 1 1
38 114596 masculino 1 0 1
31 162150 masculino 1 0 1
35 150376 masculino 1 0 1
10 107986 masculino 1 0 1
27 142023 masculino 1 0 1
33 128250 masculino 1 0 1
3 80139 masculino 1 0 1
28 144309 masculino 1 0 1
49 186960 masculino 1 0 1
38 93519 masculino 1 0 1
27 142500 masculino 1 0 1
20 138000 masculino 1 0 1
1 83600 masculino 1 0 1
21 145028 masculino 1 0 1
40 88709 masculino 1 0 1
35 107309 masculino 1 0 1
14 109954 feminino 0 1 1
4 78785 masculino 1 0 1
11 121946 masculino 1 0 1
15 109646 feminino 0 1 1
30 138771 masculino 1 0 1
17 81285 masculino 1 0 1
43 205500 masculino 1 0 1
40 101036 masculino 1 0 1
10 115435 masculino 1 0 1
1 108413 masculino 1 0 1
30 131950 masculino 1 0 1
31 134690 masculino 1 0 1
8 78182 masculino 1 0 1
20 110515 masculino 1 0 1
7 109707 masculino 1 0 1
26 136660 masculino 1 0 1
19 103275 masculino 1 0 1
26 103649 masculino 1 0 1
1 74856 masculino 1 0 1
3 77081 masculino 1 0 1
38 150680 masculino 1 0 1
8 104121 masculino 1 0 1
3 75996 masculino 1 0 1
23 172505 masculino 1 0 1
5 86895 masculino 1 0 1
44 105000 masculino 1 0 1
21 125192 masculino 1 0 1
9 114330 masculino 1 0 1
27 139219 masculino 1 0 1
15 109305 masculino 1 0 1
36 119450 masculino 1 0 1
18 186023 masculino 1 0 1
19 166605 masculino 1 0 1
19 151292 masculino 1 0 1
30 103106 masculino 1 0 1
19 150564 masculino 1 0 1
25 101738 masculino 1 0 1
15 95329 masculino 1 0 1
4 81035 masculino 1 0 1

Eu tenho uma coluna que define de forma escrita o sexo da pessoa. No R, para esse tipo de coluna, ele internamente cria as dummies para você de forma dinâmica, e já remove uma para servir de base. Veja como fica simples estimar dessa forma:

summary(lm(salario ~ anos_de_servico + sexo, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + sexo, data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81757 -20614  -3376  16779 101707 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      92356.9     4740.2  19.484  < 2e-16 ***
## anos_de_servico    747.6      111.4   6.711 6.74e-11 ***
## sexomasculino     9071.8     4861.6   1.866   0.0628 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1198, Adjusted R-squared:  0.1154 
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF,  p-value: 1.201e-11

Não precisei criar manualmente as dummies para possibilitar a estimação.

E se quisesse trocar a base, bastaria fazer o seguinte:

dataset[, sexo := factor(sexo, levels = c("masculino", "feminino"))]
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + sexo, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + sexo, data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81757 -20614  -3376  16779 101707 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)     101428.7     2531.9  40.060  < 2e-16 ***
## anos_de_servico    747.6      111.4   6.711 6.74e-11 ***
## sexofeminino     -9071.8     4861.6  -1.866   0.0628 .  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1198, Adjusted R-squared:  0.1154 
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF,  p-value: 1.201e-11

Tudo com uma linha de código! Para quem tem que trabalha com isso todo dia é uma solução bem prática que pode salvar alguns minutinhos do seu dia.

8 Fuga de pressupostos

Esse capítulo é dedicado a lidar com as duas principais quebras de pressupostos do modelo clássico de regressão linear. Como meu objetivo é de dar uma visão extremamente prática a tudo que é visto nos livros de econometria tradicional, e que são normalmente cobrados na disciplina de econometria I, não me dedicarei a pressupostos que acabam se tornando subáreas dentro da própria econometria.

Por exemplo, a presença de autocorrelação serial dentro de uma série de dados acaba sendo muito mais abordada na modelagem de econometria de séries temporais. A modelagem de uma variável discreta é assunto abordado no que costuma ser chamada de microeconometria, assim como modelagem de dados em painel, que ferem o pressuposto de variáveis independente e identicamente distribuídas (iid).

Dito isso, trataremos nesse capítulo apenas de casos de fuga de pressupostos que acabam sendo bem comuns no dia a dia, e que tem maior impacto em estudos por afetarem diretamente uma peça chave de um estudo científico a inferência.

8.1 Lidando com Heterocedasticidade

Na seção dedicada a introdução desse pressuposto, demonstrei como podemos fazer um diagnóstico visual sobre o comportamento da variância dos resíduos estimados pelo nosso modelo. De toda forma, nossos olhos são muito ruins em fazer esse tipo de diagnóstico, por conta disso, em meio a encontrar resultados mais confiáveis, utilizamos testes estatísticos mais confiáveis.

Existem diversos testes para diagnóstico de heterocedasticidade dos resíduos, como o teste de Breusch-Pagan (possivelmente o mais amplamente utilizado) ou o teste de White.

Por uma questão de preferência, utilizarei no exemplo abaixo o teste de Breusch-Pagan.

Se você voltar lá na seção que introduzi homocedasticidade, utilizei a base de tempo de serviço e salário de professores. Visualmente houveram alguns indícios de heterocedasticidade, mas será que isso não é um diagnóstico errado? Podemos dar robustez a nossa análise com o teste de Breusch-Pagan. Primeiro, lembre-se do nosso modelo:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario")

ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
  geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
  geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
  theme_classic() +
  labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
       x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
  theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))

Os resíduos desse modelo apresentam variância constante?

# A função abaixo é de um pacote chamado lmtest, como só vou usar essa função de lá, uso essa sintaxe de :: para não precisar abrir o pacote.
lmtest::bptest(salario ~ anos_de_servico, data = dataset)
## 
##  studentized Breusch-Pagan test
## 
## data:  salario ~ anos_de_servico
## BP = 18.883, df = 1, p-value = 1.39e-05

A hipótese nula do teste de Breusch-Pagan é:

\[ H_0: E(u^2) = \sigma^2 \]

Ou seja, os resíduos são homocedasticos. Como nosso pvalor foi bem baixo (menor que 0.01), podemos rejeitar essa hipótese nula a um nível de 1% de significância, indicando que, de fato, houve quebra de pressuposto de homocedasticidade.

Tá, mas o que isso significa? Bom, como o erro padrão dos estimadores \(\beta_j\) usam diretamente a variância do resíduo, esses erro padrão não são mais confiáveis!

O teste de significância individual dos parâmetros \(\beta_j\) é:

\[ t = \frac{\beta_j - 0}{ep(\beta_j)} \]

Se o erro padrão do parâmetro que eu testo a significância varia, que tipo de consistência eu espero para meu modelo? E como tornar esse erro padrão consistente?

Existem mecanismos de correção para estimação dos erros padrão dos coeficientes que tornam a inferência mais robusta. Esses mecanismos são simplesmente reformulações para a estimativa de erros padrão sob presença de heterocedasticidade.

A título de simplicidade, usaremos a proposta de Newey-West para estimar novos erros padrão.

Compare o modelo sem corrigirmos o erro padrão:

modelo <- lm(salario ~ anos_de_servico, dataset)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico, data = dataset)
## 
## Residuals:
##    Min     1Q Median     3Q    Max 
## -81933 -20511  -3776  16417 101947 
## 
## Coefficients:
##                 Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)      99974.7     2416.6   41.37  < 2e-16 ***
## anos_de_servico    779.6      110.4    7.06 7.53e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 28580 on 395 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.1121, Adjusted R-squared:  0.1098 
## F-statistic: 49.85 on 1 and 395 DF,  p-value: 7.529e-12

E outro, corrigindo os erros padrão com o estimador de Newey West:

varcov_nw <- sandwich::NeweyWest(modelo)
lmtest::coeftest(modelo, varcov_nw)
## 
## t test of coefficients:
## 
##                 Estimate Std. Error t value  Pr(>|t|)    
## (Intercept)     99974.65    2535.84 39.4246 < 2.2e-16 ***
## anos_de_servico   779.57     138.68  5.6215 3.584e-08 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1

Por mais que a significância dos parâmetros tenha permanecido praticamente a mesma, os erros padrão foram maiores, o que indica que o modelo, robusto para presença de heterocedasticidade, apresenta seus parâmetros significativos.

8.2 Lidando com Multicolinearidade

Ao longo desse documento eu propositalmente utilizei uma base que ficou famosa por conta da presença de multicolinearidade prejudicial na inferência desse modelo.

Usarei essa base famosa, conhecida por um estudo de Longley, para demonstrar o diagnóstico de multicolinearidade prejudicial, além de possíveis tratamentos para solucionar esse problema. A base é a seguinte:

rm(list = ls())

dataset <- data.table(longley)

names(dataset) <- c("pib_deflacionado", "pib", "desempregados", "forcas_armadas", "populacao", "ano", "proporcao_empregados")
dataset[, pib_deflacionado := NULL]

dataset %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
pib desempregados forcas_armadas populacao ano proporcao_empregados
234.289 235.6 159.0 107.608 1947 60.323
259.426 232.5 145.6 108.632 1948 61.122
258.054 368.2 161.6 109.773 1949 60.171
284.599 335.1 165.0 110.929 1950 61.187
328.975 209.9 309.9 112.075 1951 63.221
346.999 193.2 359.4 113.270 1952 63.639
365.385 187.0 354.7 115.094 1953 64.989
363.112 357.8 335.0 116.219 1954 63.761
397.469 290.4 304.8 117.388 1955 66.019
419.180 282.2 285.7 118.734 1956 67.857
442.769 293.6 279.8 120.445 1957 68.169
444.546 468.1 263.7 121.950 1958 66.513
482.704 381.3 255.2 123.366 1959 68.655
502.601 393.1 251.4 125.368 1960 69.564
518.173 480.6 257.2 127.852 1961 69.331
554.894 400.7 282.7 130.081 1962 70.551

Eu poderia usar essa base para, por exemplo, testar um modelo de crescimento econômico. Vamos ver se essas variáveis tem impacto na determinação do PIB de um país:

modelo <- lm(pib ~ ., dataset)
summary(modelo)
## 
## Call:
## lm(formula = pib ~ ., data = dataset)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -4.3566 -1.3820 -0.4983  1.2042  8.0413 
## 
## Coefficients:
##                        Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)   
## (Intercept)          -4.277e+04  9.477e+03  -4.513  0.00112 **
## desempregados        -2.173e-01  5.567e-02  -3.903  0.00295 **
## forcas_armadas       -7.019e-02  3.936e-02  -1.784  0.10482   
## populacao             3.667e+00  1.593e+00   2.302  0.04411 * 
## ano                   2.206e+01  5.046e+00   4.372  0.00140 **
## proporcao_empregados -4.646e+00  3.518e+00  -1.321  0.21607   
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 3.493 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9992, Adjusted R-squared:  0.9988 
## F-statistic:  2427 on 5 and 10 DF,  p-value: 4.434e-15

Um diagnóstico sem olhar para robustez do modelo me diria que as variáveis ano, população, desempregados e intercepto são todas significantes a pelo menos 5% de significância. Mas você concorda comigo que a possibilidade de uma alta correlação entre proporção de empregados e desempregados pode inviabilizar nossa análise?

Um diagnóstico inicial para essa questão pode ser feita simplesmente ao olhar para matriz de correlação das nossas variáveis explicativas:

cor(select(dataset, setdiff(names(dataset), "pib")))
##                      desempregados forcas_armadas populacao       ano
## desempregados            1.0000000     -0.1774206 0.6865515 0.6682566
## forcas_armadas          -0.1774206      1.0000000 0.3644163 0.4172451
## populacao                0.6865515      0.3644163 1.0000000 0.9939528
## ano                      0.6682566      0.4172451 0.9939528 1.0000000
## proporcao_empregados     0.5024981      0.4573074 0.9603906 0.9713295
##                      proporcao_empregados
## desempregados                   0.5024981
## forcas_armadas                  0.4573074
## populacao                       0.9603906
## ano                             0.9713295
## proporcao_empregados            1.0000000

Qualquer valor fora da diagonal principal que seja muito próximo de 1 ou -1 é algo a ser investigado. A população e o ano parecem ser variáveis muito preocupantes em sentido de multicolineariadade prejudicial, você não concorda?

De forma ainda mais robusta, podemos diagnosticar multicolinearidade pelo fator de inflacionamento da variância (fiv), ou no inglês variance inflation factor (vif).

Se o VIF for igual a 1 não há multicolinearidade entre os fatores, mas se o VIF for maior que 1, as preditoras podem estar moderadamente correlacionadas. Um VIF entre 5 e 10 indica alta correlação, o que pode ser problemático. E se o VIF for acima de 10, você pode assumir que os coeficientes de regressão estão mal estimados devido à multicolinearidade.

Calculando os VIF para cara variável do modelo, chegamos a:

car::vif(modelo)
##        desempregados       forcas_armadas            populacao 
##            33.271988             9.222652           150.932214 
##                  ano proporcao_empregados 
##           709.561737           187.689092

Esses são valores bem altos de VIF! O que podemos fazer para corrigir isso?

Como temos muitas variáveis explicativas, um caminho seria remover uma variável que tenha alta correlação com outra, e isso pode resolver o problema. Por exemplo, remover a variável ano do meu modelo me retornaria os seguintes vif:

car::vif(lm(pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao + proporcao_empregados, dataset))
##        desempregados       forcas_armadas            populacao 
##             6.668482             1.964550            50.814189 
## proporcao_empregados 
##            32.923691

Remover uma variável problemática praticamente resolveu nosso problema de multicolinearidade prejudicial, mas ainda tem alguma coisa de errado nesse modelo. E se eu remover mais uma variável? Por exemplo, remover a proporcao de empregados do modelo:

car::vif(lm(pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao, dataset))
##  desempregados forcas_armadas      populacao 
##       3.146686       1.918225       3.514335

Olha só! Resolvemos duas variáveis bem problemáticas e praticamente resolvemos um grande problema da nossa estimativa inicial. O modelo com essas três variáveis teria esse retorno pelo r:

summary(lm(pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao, dataset))
## 
## Call:
## lm(formula = pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao, 
##     data = dataset)
## 
## Residuals:
##     Min      1Q  Median      3Q     Max 
## -14.525  -6.989   1.574   5.657  13.434 
## 
## Coefficients:
##                  Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)    
## (Intercept)    -1.352e+03  5.160e+01 -26.195 5.86e-12 ***
## desempregados  -1.142e-01  4.109e-02  -2.780   0.0167 *  
## forcas_armadas  6.480e-02  4.308e-02   1.504   0.1584    
## populacao       1.498e+01  5.834e-01  25.677 7.42e-12 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 8.384 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared:  0.9943, Adjusted R-squared:  0.9929 
## F-statistic: 698.8 on 3 and 12 DF,  p-value: 9.943e-14

Agora sim nossas estimativas de pvalor para o modelo são mais confiáveis.

9 Modelos de Equações Simultâneas

Neste capítulo, abordarei uma temática um tanto quanto diferente do que vem sido discutido ao longo desse documento.

Ao longo dos capítulos anteriores, o foco sempre tem sido de estimar uma representação simples que melhor represente a realidade de uma variável, sem entrar muito em detalhes dessa variável. Mas, vamos supor que essa variável tem natureza diferente a depender da situação em que se analisa. Por exemplo, se eu desejo estimar a quantidade disponível de um bem, como um produtor, meu objetivo é sempre maximizar o lucro, sendo um mecanismo plausível para tal o aumento do preço. Mas como consumidor, a quantidade disponível depende da quantidade ofertada desse bem, que é extremamente importante para definição do preço!

Nesse caso, acontece um exemplo clássico de que uma função de oferta depende da função de demanda e vice-versa!

Dizemos que essa situação introduz endogeneidade na variável preço e quantidade. Lembre-se, que uma representação simples das funções de oferta e demanda são:

\[ Q_d = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot P_i + u_{1i} \] \[ Q_s = \beta_0 + \beta_1 \cdot P_i + u_{2i} \]

É importante considerar a endogeneidade de uma variável nesse tipo de modelo, visto que não podemos estimar os parâmetros de uma única equação sem levar em conta informações fornecidas por outras equações em um sistema.

9.1 Podemos usar o estimador de MQO no caso de equações simultâneas?

A resposta curta é não. Mas existe uma forma simples de utilizar o estimador, considerando a natureza de um modelo de equações simultâneas. É o caso do estimador MQ2E, MQ3E e outros que serão vistos nas próximas seções.

A resposta longa é: uma das hipóteses do MQO é das variáveis explicativas X serem não estocásticas (não aleatórias), e se distribuiem independentemente dos termos de erro, que é aleatório. Se essa hipótese não é atendida, o estimador por MQO é viesado e inconsistente, ou seja, os estimadores não tendem aos valores populacionais verdadeiros, sob grandes amostras.

Observação: para uma demonstração matemática dos viéses comentados acima, confira um material de econometria (Gujarati, por exemplo) para aprofundar sobre o assunto.

9.2 Alguns termos importantes

Variável endógena: é uma variável que depende do valor de outras variáveis.

Variável predeterminada: os valores são determinados fora do modelo.

As variáveis predeterminadas são subdivididas em:

  • Exógenas: é uma variável corrente, ou seja, do período t.

  • Endógenas defasadas: é uma variável do passado, do período t-1. Como o evento já aconteceu no passado, ele é predeterminado, visto que o valor do passado é sempre o mesmo.

Segundo Gujarari (2000), cabe ao criador do modelo especificar quais variáveis são endógenas e quais são predeterminadas. Embora, por exemplo, variáveis como temperatura e precipitação pluviométrica sejam claramente exógenas (predeterminadas), o criuados do modelo deve ter muito cuidado a classificar variáveis que possam não ser predeterminadas.

Nesse sentido, existem testes estatísticos para verificar se uma variável é endógena ou não, como por exemplo o teste de hausman.

9.3 Forma estrutural e forma reduzida

Em livros de econometria, com mais foco teórico, uma forma estrutural genérica é normalmente apresentada. Como meu objetivo é não complicar demais, apenas destaco que a forma estrutural de um modelo de equações simultâneas é literalmente um sistema de equações, que apresenta variáveis endógenas em comum. Por exemplo, o modelo previamente apresentado está em sua forma estrutural:

\[ Q_d = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot P_i + u_{1i} \]

\[ Q_s = \beta_0 + \beta_1 \cdot P_i + u_{2i} \]

Os parâmetros diretamente associados a essas equações são literalmente os parâmetros estruturais das equações.

Além disso, podemos calcular a forma reduzida de um sistema de equações (quando possível), simplesmente ao substituir uma equação na outra. Por exemplo, a forma reduzida do modelo de equações simultâneas abaixo:

\[ C_i = \beta_0 + \beta_1 Y_i + u_i; \space 0 < \beta_1 < 1 \]

\[ Y_i = C_i + I_i \]

Neste modelo, consumo (C) e renda (Y) são variáveis endógenas, e o investimento (I) é exógeno. Substituindo a equação consumo na equação renda, temos:

\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 Y_i + u_i + I_i \] \[ Y_i - \beta_1 Y_i = \beta_0 + I_i + u_i \] \[ (1 - \beta_1) Y_i = \beta_0 + I_i + u_i \]

\[ Y_i = \frac{\beta_0 + I_i + u_i}{(1 - \beta_1)} \]

Podemos fazer: \(\Pi_0 = \frac{\beta_0}{(1 - \beta_1)}\), \(\Pi_1 = \frac{1}{(1 - \beta_1)}\) e \(w_i = \frac{u_i}{(1 - \beta_1)}\), resultando na seguinte equação:

\[ Y_i = \Pi_0 + \Pi_1 I_i + w_i \]

Essa, é uma equação na forma reduzida do sistema que apresentei acima. Ela expressa a variável endógena Y unicamente como uma função da variável exógena I.

Esses coeficientes, na forma reduzida, são conhecidos como multiplicadores de impacto, ou de curto prazo, pois medem o impacto imediato sob a variável endógena na mudança de uma unidade na variável exógena.

Note que, a forma reduzida necessáriamente presume condições de equilíbrio entre as equações apresentadas.

Além disso, podemos estimar diretamente esses coeficientes pelo método de MQO. Estimar esses parâmetros sob a forma reduzida, é conhecido como MQI, o método de mínimos quadrados indiretos, visto que não estimamos diretamente sobre o o modelo original.

9.4 O problema da identificação

Essa será provavelmente a seção mais útil de todo capítulo (se eu for capaz de traduzir o conteúdo pra uma linguagem mais acessível, que é meu objetivo nesse documento). Neste, tenho como objetivo ensinar a identificar um sistema de equações, com base em um método aprentado na literatura, e de explicar a importância da identificação de um modelo.

A grosso modo, dizer que um sistema de equações simultaneas está identificado, significa dizer que podemos extrair desse sistema uma forma reduzida, e representá-lo por meio de uma equação que pode ser estimada por MQI. Na seção anterior, apresentei um sistema de equações sobreidentificado em excesso. E se o sistema não fosse identificado?

Um sistema de equações pode estar exatamente identificado, sobreidentificado em excesso ou subidentificado.

A subidentificação ocorre quando não conseguimos representar um sistema de equações em uma forma reduzida. A identificação exata ocorre quando podemos representar perfeitamente um sistema de equações em uma forma reduzida. A sobreidentificação em excesso ocorre quando existe mais de uma forma de representar um sistema de equações em forma reduzida.

Uma forma bem simples de identificar equações pode ser feito pela seguinte definição da condição de ordem:

Considerando M = número de variáveis endógenas no modelo; m = número de variáveis endógenas em uma equação; K = número de variáveis predeterminadas em um modelo; k = número de variáveis predeterminadas em uma equação.

Em um modelo de M equações simultâneas, para que uma equação seja identificada, o número de variáveis predeterminadas excluídas da equação não deve ser menor que o número de variáveis endógenas incluídas nessa equação menos 1. Ou seja:

\[ K - k \geq m - 1 \]

Assim, se K-k = m-1, a equação está exatamente identificada, se K-k>m-1, ela está sobreidentificada.

Por exemplo, tomemos o sistema abaixo:

\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1P_i+u_1i \]

\[ Q_i = \beta_0 + \beta_1P_i+u_2i \]

Sendo que P e Q são variáveis endógenas. Nesse caso, como seria feita a identificação de cada modelo?

Como cada uma das equações apresenta 2 variáveis endógenas (m = 2), para uma delas estar identificada, ela deve excluir ao menos 1 variável predeterminada. Como não existem variáveis predeterminadas no modelo, ambas as equações não estão identificadas.

Mas e se os modelos fossem assim:

\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1P_i + \alpha_2S_i + u_1i \]

\[ Q_i = \beta_0 + \beta_1P_i + \beta_2I_i + u_2i \]

Sendo I e S variáveis predeterminadas e independentes. Como cada equação se classificaria? Ambas estariam perfeitamente identificadas, visto que agora existem 2 variáveis predeterminadas no sistema e cada equação exclui ao menos uma variável (não apresenta uma).

E no caso abaixo?

\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1P_i + \alpha_2S_i + u_1i \]

\[ Q_i = \beta_0 + \beta_1P_i + u_2i \]

Agora somente a equação de cima não está identificada, equanto que a equação de baixo está perfeitamente identificada pela condição de ordem.

Outra condição importante é a definição de posto. Mas, por ser uma condição um pouco mais complexa, não será abordada nesse documento (e não costuma cair em provas da graduação).

9.5 A estimação por MQI, MQ2E e MQ3E

Nesta seção, utilizarei o seguinte conjunto de dados para estimação:

data("Kmenta")
dados <- Kmenta
rm(Kmenta)

dados %>%
  kbl(align = "cc") %>%
  kable_material() %>%
  scroll_box(width = "800px", height = "350px")
consump price income farmPrice trend
98.485 100.323 87.4 98.0 1
99.187 104.264 97.6 99.1 2
102.163 103.435 96.7 99.1 3
101.504 104.506 98.2 98.1 4
104.240 98.001 99.8 110.8 5
103.243 99.456 100.5 108.2 6
103.993 101.066 103.2 105.6 7
99.900 104.763 107.8 109.8 8
100.350 96.446 96.6 108.7 9
102.820 91.228 88.9 100.6 10
95.435 93.085 75.1 81.0 11
92.424 98.801 76.9 68.6 12
94.535 102.908 84.6 70.9 13
98.757 98.756 90.6 81.4 14
105.797 95.119 103.1 102.3 15
100.225 98.451 105.1 105.0 16
103.522 86.498 96.4 110.5 17
99.929 104.016 104.4 92.5 18
105.223 105.769 110.7 89.3 19
106.232 113.490 127.1 93.0 20

Os dados apresentados são relativos a 20 observações anuais de 5 variáveis:

  1. consump: consumo de comida per capita.
  2. price: proporção de preços de comida a preços gerais de consumo.
  3. income: renda disponível.
  4. farmPrice: proporção de preços do ano passado recebido por fazendeiros comparado a preços do consumidor.
  5. trend: tendencia temporal em anos.

Consumo e preço são variáveis exógenas, e renda, farmPrice e trend são predeterminadas.

Podemos estimar a demanda e oferta por comida com as seguintes equações:

\[ Consumo_t = \alpha_0 Preco_t + \alpha_1 Renda_t + u_{1t} \space (1) \]

\[ Consumo_t = \beta_0 Preco_t + \beta_1 FarmPrice_t + \beta_2 Trend_t + u_{2t} \space (2) \]

A identificação das equações pela condição de ordem pode ser feita como segue:

A equação demanda (1) exclui 0 variáveis endógenas, e exclui 2 das 3 variáveis predeterminadas do sistema. Assim, \(3 - 1 > 2 - 1\), indicando que essa equação está sobreidentificada em excesso.

A equação oferta (2) exclui 0 variáveis endógenas, e exclui 1 das 3 variáveis predeterminadas do sistema. Assim, \(3 - 2 = 2 - 1\), indicando que essa equação está perfeitamente identificada.

Podemos estimar o modelo por MQ2E usando o pacote systemfit, conforme abaixo:

demanda <- consump ~ price + income 
oferta <- consump ~ price + farmPrice + trend 

instrumentos <- ~ income + farmPrice + trend
equacoes <- list(demanda = demanda, oferta = oferta)

modelo_mq2e <- systemfit(equacoes, "2SLS", inst = instrumentos, data = dados)
summary(modelo_mq2e)
## 
## systemfit results 
## method: 2SLS 
## 
##         N DF     SSR detRCov   OLS-R2 McElroy-R2
## system 40 33 162.362 4.36424 0.697214   0.548127
## 
##          N DF     SSR     MSE    RMSE       R2   Adj R2
## demanda 20 17 65.7291 3.86642 1.96632 0.754847 0.726005
## oferta  20 16 96.6332 6.03958 2.45756 0.639582 0.572004
## 
## The covariance matrix of the residuals
##         demanda  oferta
## demanda 3.86642 4.35744
## oferta  4.35744 6.03958
## 
## The correlations of the residuals
##          demanda   oferta
## demanda 1.000000 0.901724
## oferta  0.901724 1.000000
## 
## 
## 2SLS estimates for 'demanda' (equation 1)
## Model Formula: consump ~ price + income
## Instruments: ~income + farmPrice + trend
## 
##               Estimate Std. Error  t value   Pr(>|t|)    
## (Intercept) 94.6333039  7.9208383 11.94738 1.0762e-09 ***
## price       -0.2435565  0.0964843 -2.52431   0.021832 *  
## income       0.3139918  0.0469437  6.68869 3.8109e-06 ***
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 1.966321 on 17 degrees of freedom
## Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17 
## SSR: 65.729088 MSE: 3.866417 Root MSE: 1.966321 
## Multiple R-Squared: 0.754847 Adjusted R-Squared: 0.726005 
## 
## 
## 2SLS estimates for 'oferta' (equation 2)
## Model Formula: consump ~ price + farmPrice + trend
## Instruments: ~income + farmPrice + trend
## 
##               Estimate Std. Error t value   Pr(>|t|)    
## (Intercept) 49.5324417 12.0105264 4.12409 0.00079536 ***
## price        0.2400758  0.0999339 2.40235 0.02878451 *  
## farmPrice    0.2556057  0.0472501 5.40964 5.7854e-05 ***
## trend        0.2529242  0.0996551 2.53800 0.02192877 *  
## ---
## Signif. codes:  0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
## 
## Residual standard error: 2.457555 on 16 degrees of freedom
## Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 16 
## SSR: 96.633244 MSE: 6.039578 Root MSE: 2.457555 
## Multiple R-Squared: 0.639582 Adjusted R-Squared: 0.572004

A interpretação desse modelo é simples, basta analisar os coeficientes estimados para cada equação. Note que o coeficiente do preço para a demanda é negativo, enquanto que para oferta, esse coeficiente é positivo, o que faz todo sentido, afinal, um produtor irá ofertar mais sob maiores preços, e um consumidor irá demandar menos sob maiores preços! A interpretação dos pvalores é a mesma conforme fornecido ao longo deste documento, deixo a interpretação por sua conta!

A estimação por MQ2E ou MQ3E é relativamente simples na teoria. Basta estimar os valores das variáveis endógenas para uma equação e substituir na outra equação e estimar novamente, por isso o nome Mínimos Quadrados em 2 (ou 3) Estágios. Para mais detalhes sobre essa forma de estimação, recomendo a leitura de Gujarati.

Sobre equações simultâneas, espero ter lhe introduzido de forma mais simplificada e tenha lhe auxiliado a melhor compreender o conteúdo.

10 Considerações finais.

Espero que eu tenha lhe ajudado a melhor compreender os principais conceitos e métodos de econometria.

Esse documento foi gerado por meio de um script .Rmd, que é basicamente uma combinação da linguagem R com o Markdown. Todas as linhas de código que eu executar estarão “escondidas” dentro de um botão preto escrito code. Como esse documento tem objetivo de apresentar as diferentes abordagens e objetivos da econometria de séries de tempo, utilizo o R por ser uma linguagem de programação muito bem documentada e com funções de vizualização e manipulação de dados extremamente avançadas.

Caso tenha alguma dúvida, critica ou elogio (sempre bom esse último aí) não exite em me mandar mensagem. Eu tento ao máximo “simplificar” o conteúdo, mas com certeza é uma matéria bem complexa, principalmente sem um contexto de como todo o processo funciona. Bons estudos!