Imagem por @homajob.
library(ggplot2) #visualizações
library(ggpmisc) #plota a função do gráfico
library(dplyr) #manipulação de dados
library(data.table) #manipulação de dados
library(kableExtra) #tabelas bonitas em html
library(systemfit) #para estimar e testar modelos de equação dinâmica
1 Sobre mim
Me chamo Kaius, sou um economista formado na UFV e agraciado com a medalha de prata Presidente Bernandes. Tive o privilégio de atuar como monitor da disciplina de ECO450 (Econometria I), ECO455 (Econometria II) e ECO457 (Econometria III), auxiliando os alunos de forma complementar as aulas.
Atuo como Cientista de Dados, uma área que sou completamente apaixonado, que mistura elementos de computação, estatística e conhecimento de área para resolução de inúmeros problemas. Espero fazer jus a minha paixão pelo mundo de dados e lhe introduzir de forma descontraída os principais métodos e ferramentas utilizadas para produção científica ou para utilização de empresas em meio a resolver problemas.
Ao longo deste documento, irei priorizar a utilização de elementos visuais, por meio de um pacote do R chamado ggplot2. Acredito que a matemática seja uma parte importante do processo de aprendizado, mas não podemos depender somente dela e devemos recorrer a lógica como base, por isso meu foco aqui será de instigar você a entender e se entusiasmar com o que pode ser feito com os métodos econométricos sem entrar em muitas expressões mais cabeludas.
2 Introdução a Econometria
Existem muitas definições do que é econometria e o que se pode fazer com ela. Minha visão sobre o que é a econometria é um tanto quanto simples, mas sucinta: a econometria é uma ferramenta que auxilia no desenvolvimento de outras áreas por meio da elaboração de métodos quantitativos e qualitativos.
Por si só, a econometria é também uma área digna de constante expansão e adaptação. Pesquisas são feitas para ampliar o potencial da econometria, dando maior confiabilidade ao conhecimento gerado por essa ferramenta.
2.1 Confiar ou Acreditar?
Não poderia começar a falar sobre produção científica sem dedicar ao menos uma seção para essa questão um tanto quanto polêmica. Você deve confiar ou acreditar na ciência?
Digo isso, porque a compreensão de confiar é algo extremamente relacionado a ciência! Confiar envolve o processo de esperar que algo aconteça com base em evidências e provas. E por que a palavra confiar?
Confiar implica que não podemos dar a mais absoluta certeza de que alguma coisa vai acontecer sempre, mas podemos esperar que isso aconteça com certa frequência. Essa incerteza pode inclusive ser quantificada, e é isso que dá origem ao termo significância.
Imagine que a cada 100 vezes que eu como queijo eu tenha indigestão 5 vezes, eu tenho alguma intolerância a lactose? Acho mais provável que eu tenha comido algo estragado nessas 5 vezes do que seja de fato um problema de intolerância.
E se, a cada 100 vezes que eu como queijo, eu tenha indigestão 10 vezes. Agora a tese de que eu tenha algum nível de intolerância fica mais forte não é? Na linguagem científica dizemos que a chance que eu tenha algum nível de intolerância é cada vez mais significativa!
Claro que, uma pessoa que suspeite que tem intolerância não iria comer queijo 100 vezes pra descobrir isso não é? Pois é aí que entra a ciência. Se você for em um médico ele vai te passar um exame que vai te dizer com ainda mais certeza sobre sua condição ou não. Com o resultado em mãos, você acredita ou confia no diagnóstico?
Sobre esse assunto, eu recomendo um vídeo bem ilustrativo do canal Epifania Experiência.
2.2 Revisão estatística
A estatística é para muitos uma ferramenta, para outros uma ciência por si só, e para alguns empolgados no mundo das apostas, a estatística é uma arte. Mas pra que ela serve? Por que algumas coisas são tão complicadas?
A resposta pra minha última pergunta pode não ser muito encorajadora pra maioria das pessoas: o ser humano busca padrão muitas vezes onde não há. Nos enganamos com certa frequência nos julgamentos do que é aleatório e do que não é aleatório. Isso, somado ao fato que somos guiados por vieses, ou por incapacidade de observar um fenômeno por completo. (Para ver mais sobre esse assunto, clique aqui.)
Além de muitas vezes não ser intuitiva, a estatística pode ser utilizada de forma “maléfica” para mentir sobre um fenômeno. Por isso também é importante conhecer os artifícios para não cair em falsas verdades. Um vídeo excelente descreve muito bem esse caso, acesse ele por aqui.
Por fim, não poderia deixar de recomendar dois livros excepcionais sobre estatística, o primeiro fala sobre como a estatística está relacionada com o nosso dia dia, e o segundo demonstra ferramentas de como omitir e mentir com dados.
2.2.1 Distribuição normal
Como uma tentativa de resolver essa falha e dificuldade de generalizar, a estatística ganha um grande foco. Falei que os apostadores gostam tanto da estatística que consideram essa ciência uma arte, e isso é muito verdadeiro! Muitas teorias, e até mesmo a origem da estatística como ciência, vieram de pessoas querendo apostar dinheiro com mais certeza de um ganho futuro.
Com tempo livre, muito estudo de matemática e amor por apostas, Gauss desenvolveu uma função capaz de descrever uma vasta gama de eventos observáveis. Isso quer dizer que Gauss mapeou a incerteza de boa parte das coisas que podemos observar. Um exemplo:
set.seed(42)
dataset <- data.table(altura = round(rnorm(10000, 175, 4.5), 1))
ggplot(dataset, aes(altura)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Esses dados foram gerados por mim, de forma aleatória, mas se assemelham com a distribuição das alturas de homens em algum nível. Por quê? Bom, o quão comum você diria ser encontrar um homem com menos de 1.60m? E um homem maior que 1.90m? Normalmente homens com essas alturas se destacam por serem mais “raros”, e isso é representado no gráfico acima.
A título de transparência, os dados do gráfico acima foram gerados com os seguintes dados:
dataset[, numero_de_ordem := 1:10000] %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| altura | numero_de_ordem |
|---|---|
| 181.2 | 1 |
| 172.5 | 2 |
| 176.6 | 3 |
| 177.8 | 4 |
| 176.8 | 5 |
| 174.5 | 6 |
| 181.8 | 7 |
| 174.6 | 8 |
| 184.1 | 9 |
| 174.7 | 10 |
| 180.9 | 11 |
| 185.3 | 12 |
| 168.8 | 13 |
| 173.7 | 14 |
| 174.4 | 15 |
| 177.9 | 16 |
| 173.7 | 17 |
| 163.0 | 18 |
| 164.0 | 19 |
| 180.9 | 20 |
| 173.6 | 21 |
| 167.0 | 22 |
| 174.2 | 23 |
| 180.5 | 24 |
| 183.5 | 25 |
| 173.1 | 26 |
| 173.8 | 27 |
| 167.1 | 28 |
| 177.1 | 29 |
| 172.1 | 30 |
| 177.0 | 31 |
| 178.2 | 32 |
| 179.7 | 33 |
| 172.3 | 34 |
| 177.3 | 35 |
| 167.3 | 36 |
| 171.5 | 37 |
| 171.2 | 38 |
| 164.1 | 39 |
| 175.2 | 40 |
| 175.9 | 41 |
| 173.4 | 42 |
| 178.4 | 43 |
| 171.7 | 44 |
| 168.8 | 45 |
| 176.9 | 46 |
| 171.3 | 47 |
| 181.5 | 48 |
| 173.1 | 49 |
| 178.0 | 50 |
| 176.4 | 51 |
| 171.5 | 52 |
| 182.1 | 53 |
| 177.9 | 54 |
| 175.4 | 55 |
| 176.2 | 56 |
| 178.1 | 57 |
| 175.4 | 58 |
| 161.5 | 59 |
| 176.3 | 60 |
| 173.3 | 61 |
| 175.8 | 62 |
| 177.6 | 63 |
| 181.3 | 64 |
| 171.7 | 65 |
| 180.9 | 66 |
| 176.5 | 67 |
| 179.7 | 68 |
| 179.1 | 69 |
| 178.2 | 70 |
| 170.3 | 71 |
| 174.6 | 72 |
| 177.8 | 73 |
| 170.7 | 74 |
| 172.6 | 75 |
| 177.6 | 76 |
| 178.5 | 77 |
| 177.1 | 78 |
| 171.0 | 79 |
| 170.1 | 80 |
| 181.8 | 81 |
| 176.2 | 82 |
| 175.4 | 83 |
| 174.5 | 84 |
| 169.6 | 85 |
| 177.8 | 86 |
| 174.0 | 87 |
| 174.2 | 88 |
| 179.2 | 89 |
| 178.7 | 90 |
| 181.3 | 91 |
| 172.9 | 92 |
| 177.9 | 93 |
| 181.3 | 94 |
| 170.0 | 95 |
| 171.1 | 96 |
| 169.9 | 97 |
| 168.4 | 98 |
| 175.4 | 99 |
| 177.9 | 100 |
| 180.4 | 101 |
| 179.7 | 102 |
| 170.5 | 103 |
| 183.3 | 104 |
| 172.0 | 105 |
| 175.5 | 106 |
| 173.1 | 107 |
| 174.4 | 108 |
| 175.8 | 109 |
| 175.5 | 110 |
| 174.9 | 111 |
| 175.5 | 112 |
| 172.8 | 113 |
| 172.7 | 114 |
| 167.5 | 115 |
| 173.3 | 116 |
| 172.7 | 117 |
| 187.2 | 118 |
| 168.9 | 119 |
| 175.6 | 120 |
| 168.3 | 121 |
| 168.4 | 122 |
| 175.6 | 123 |
| 170.5 | 124 |
| 175.0 | 125 |
| 173.1 | 126 |
| 172.2 | 127 |
| 165.9 | 128 |
| 169.5 | 129 |
| 175.8 | 130 |
| 177.6 | 131 |
| 172.8 | 132 |
| 175.0 | 133 |
| 180.1 | 134 |
| 181.5 | 135 |
| 170.1 | 136 |
| 174.5 | 137 |
| 180.4 | 138 |
| 172.9 | 139 |
| 174.8 | 140 |
| 174.6 | 141 |
| 171.0 | 142 |
| 173.0 | 143 |
| 174.9 | 144 |
| 173.1 | 145 |
| 180.0 | 146 |
| 172.8 | 147 |
| 173.1 | 148 |
| 178.1 | 149 |
| 170.2 | 150 |
| 174.8 | 151 |
| 168.0 | 152 |
| 180.3 | 153 |
| 173.8 | 154 |
| 172.9 | 155 |
| 169.4 | 156 |
| 175.0 | 157 |
| 171.4 | 158 |
| 172.6 | 159 |
| 180.8 | 160 |
| 174.2 | 161 |
| 170.2 | 162 |
| 175.7 | 163 |
| 173.4 | 164 |
| 177.7 | 165 |
| 181.4 | 166 |
| 170.5 | 167 |
| 177.0 | 168 |
| 175.4 | 169 |
| 179.0 | 170 |
| 174.0 | 171 |
| 178.8 | 172 |
| 167.1 | 173 |
| 182.6 | 174 |
| 178.9 | 175 |
| 174.3 | 176 |
| 168.5 | 177 |
| 177.9 | 178 |
| 177.2 | 179 |
| 175.0 | 180 |
| 175.7 | 181 |
| 172.4 | 182 |
| 176.7 | 183 |
| 176.3 | 184 |
| 173.7 | 185 |
| 169.0 | 186 |
| 178.2 | 187 |
| 177.5 | 188 |
| 171.2 | 189 |
| 167.8 | 190 |
| 175.9 | 191 |
| 173.4 | 192 |
| 176.1 | 193 |
| 169.2 | 194 |
| 170.7 | 195 |
| 179.9 | 196 |
| 176.8 | 197 |
| 177.6 | 198 |
| 183.2 | 199 |
| 175.6 | 200 |
| 166.0 | 201 |
| 176.5 | 202 |
| 180.3 | 203 |
| 184.3 | 204 |
| 168.8 | 205 |
| 169.8 | 206 |
| 171.8 | 207 |
| 170.3 | 208 |
| 172.1 | 209 |
| 174.2 | 210 |
| 169.6 | 211 |
| 184.2 | 212 |
| 175.5 | 213 |
| 174.6 | 214 |
| 177.2 | 215 |
| 175.2 | 216 |
| 174.4 | 217 |
| 181.6 | 218 |
| 174.0 | 219 |
| 169.2 | 220 |
| 176.7 | 221 |
| 173.4 | 222 |
| 172.7 | 223 |
| 170.2 | 224 |
| 176.9 | 225 |
| 174.2 | 226 |
| 177.3 | 227 |
| 173.9 | 228 |
| 172.0 | 229 |
| 180.6 | 230 |
| 173.8 | 231 |
| 179.3 | 232 |
| 169.6 | 233 |
| 172.9 | 234 |
| 173.8 | 235 |
| 173.2 | 236 |
| 181.1 | 237 |
| 174.9 | 238 |
| 176.1 | 239 |
| 170.8 | 240 |
| 171.7 | 241 |
| 179.5 | 242 |
| 180.7 | 243 |
| 180.6 | 244 |
| 168.8 | 245 |
| 184.2 | 246 |
| 179.6 | 247 |
| 174.9 | 248 |
| 178.2 | 249 |
| 170.6 | 250 |
| 170.1 | 251 |
| 175.2 | 252 |
| 169.6 | 253 |
| 175.9 | 254 |
| 180.8 | 255 |
| 170.3 | 256 |
| 171.7 | 257 |
| 175.2 | 258 |
| 170.4 | 259 |
| 173.3 | 260 |
| 178.9 | 261 |
| 179.4 | 262 |
| 176.7 | 263 |
| 166.7 | 264 |
| 174.8 | 265 |
| 179.8 | 266 |
| 178.7 | 267 |
| 174.1 | 268 |
| 162.9 | 269 |
| 175.3 | 270 |
| 177.6 | 271 |
| 175.2 | 272 |
| 175.7 | 273 |
| 176.9 | 274 |
| 173.2 | 275 |
| 180.9 | 276 |
| 177.1 | 277 |
| 169.4 | 278 |
| 181.2 | 279 |
| 180.4 | 280 |
| 178.7 | 281 |
| 167.5 | 282 |
| 172.4 | 283 |
| 177.9 | 284 |
| 175.2 | 285 |
| 176.6 | 286 |
| 186.1 | 287 |
| 171.3 | 288 |
| 165.5 | 289 |
| 176.2 | 290 |
| 171.9 | 291 |
| 177.0 | 292 |
| 171.3 | 293 |
| 185.0 | 294 |
| 174.4 | 295 |
| 172.9 | 296 |
| 174.3 | 297 |
| 178.9 | 298 |
| 175.4 | 299 |
| 167.7 | 300 |
| 175.0 | 301 |
| 178.4 | 302 |
| 175.2 | 303 |
| 178.3 | 304 |
| 174.3 | 305 |
| 174.7 | 306 |
| 177.2 | 307 |
| 179.5 | 308 |
| 169.4 | 309 |
| 174.8 | 310 |
| 174.7 | 311 |
| 171.6 | 312 |
| 170.3 | 313 |
| 172.2 | 314 |
| 177.6 | 315 |
| 173.1 | 316 |
| 171.5 | 317 |
| 175.7 | 318 |
| 169.4 | 319 |
| 179.7 | 320 |
| 172.8 | 321 |
| 175.9 | 322 |
| 175.2 | 323 |
| 175.0 | 324 |
| 183.1 | 325 |
| 171.3 | 326 |
| 180.2 | 327 |
| 175.1 | 328 |
| 171.2 | 329 |
| 174.7 | 330 |
| 178.4 | 331 |
| 173.1 | 332 |
| 171.5 | 333 |
| 175.7 | 334 |
| 179.4 | 335 |
| 174.7 | 336 |
| 168.8 | 337 |
| 169.1 | 338 |
| 171.5 | 339 |
| 172.6 | 340 |
| 174.9 | 341 |
| 178.0 | 342 |
| 173.0 | 343 |
| 170.0 | 344 |
| 177.7 | 345 |
| 176.2 | 346 |
| 180.2 | 347 |
| 167.4 | 348 |
| 175.4 | 349 |
| 181.1 | 350 |
| 178.3 | 351 |
| 171.3 | 352 |
| 178.3 | 353 |
| 171.1 | 354 |
| 173.0 | 355 |
| 180.3 | 356 |
| 173.7 | 357 |
| 178.7 | 358 |
| 173.7 | 359 |
| 167.9 | 360 |
| 171.2 | 361 |
| 170.1 | 362 |
| 172.8 | 363 |
| 173.5 | 364 |
| 174.3 | 365 |
| 173.9 | 366 |
| 183.5 | 367 |
| 168.8 | 368 |
| 173.1 | 369 |
| 176.6 | 370 |
| 182.3 | 371 |
| 175.4 | 372 |
| 180.6 | 373 |
| 167.6 | 374 |
| 181.5 | 375 |
| 171.9 | 376 |
| 173.8 | 377 |
| 170.0 | 378 |
| 175.6 | 379 |
| 183.0 | 380 |
| 185.9 | 381 |
| 170.2 | 382 |
| 177.2 | 383 |
| 181.2 | 384 |
| 174.1 | 385 |
| 174.0 | 386 |
| 173.6 | 387 |
| 177.7 | 388 |
| 181.3 | 389 |
| 178.1 | 390 |
| 176.4 | 391 |
| 173.6 | 392 |
| 177.2 | 393 |
| 172.5 | 394 |
| 173.7 | 395 |
| 179.9 | 396 |
| 177.0 | 397 |
| 176.1 | 398 |
| 173.8 | 399 |
| 179.2 | 400 |
| 181.0 | 401 |
| 171.1 | 402 |
| 175.2 | 403 |
| 175.2 | 404 |
| 172.4 | 405 |
| 170.5 | 406 |
| 175.0 | 407 |
| 177.9 | 408 |
| 181.6 | 409 |
| 166.4 | 410 |
| 171.8 | 411 |
| 173.6 | 412 |
| 167.5 | 413 |
| 171.6 | 414 |
| 171.5 | 415 |
| 171.7 | 416 |
| 165.2 | 417 |
| 176.0 | 418 |
| 172.2 | 419 |
| 181.8 | 420 |
| 178.6 | 421 |
| 168.5 | 422 |
| 175.4 | 423 |
| 172.3 | 424 |
| 179.0 | 425 |
| 175.2 | 426 |
| 172.5 | 427 |
| 177.0 | 428 |
| 175.7 | 429 |
| 174.3 | 430 |
| 184.1 | 431 |
| 172.6 | 432 |
| 172.9 | 433 |
| 168.0 | 434 |
| 174.8 | 435 |
| 179.0 | 436 |
| 165.7 | 437 |
| 173.9 | 438 |
| 169.7 | 439 |
| 181.5 | 440 |
| 181.1 | 441 |
| 176.5 | 442 |
| 181.4 | 443 |
| 171.1 | 444 |
| 179.3 | 445 |
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| 173.7 | 9644 |
| 171.4 | 9645 |
| 172.9 | 9646 |
| 171.9 | 9647 |
| 165.3 | 9648 |
| 173.8 | 9649 |
| 173.1 | 9650 |
| 173.5 | 9651 |
| 171.6 | 9652 |
| 181.3 | 9653 |
| 173.1 | 9654 |
| 171.9 | 9655 |
| 175.5 | 9656 |
| 175.7 | 9657 |
| 176.8 | 9658 |
| 167.3 | 9659 |
| 179.0 | 9660 |
| 174.4 | 9661 |
| 175.8 | 9662 |
| 173.3 | 9663 |
| 173.0 | 9664 |
| 176.7 | 9665 |
| 176.3 | 9666 |
| 174.5 | 9667 |
| 177.6 | 9668 |
| 180.2 | 9669 |
| 170.9 | 9670 |
| 173.0 | 9671 |
| 174.3 | 9672 |
| 169.3 | 9673 |
| 179.1 | 9674 |
| 174.8 | 9675 |
| 169.6 | 9676 |
| 175.9 | 9677 |
| 174.0 | 9678 |
| 172.7 | 9679 |
| 171.7 | 9680 |
| 183.5 | 9681 |
| 180.6 | 9682 |
| 172.4 | 9683 |
| 176.1 | 9684 |
| 175.8 | 9685 |
| 178.3 | 9686 |
| 172.8 | 9687 |
| 182.6 | 9688 |
| 178.2 | 9689 |
| 177.8 | 9690 |
| 173.1 | 9691 |
| 179.6 | 9692 |
| 178.1 | 9693 |
| 177.8 | 9694 |
| 171.7 | 9695 |
| 176.5 | 9696 |
| 174.4 | 9697 |
| 175.3 | 9698 |
| 175.5 | 9699 |
| 169.2 | 9700 |
| 176.2 | 9701 |
| 169.0 | 9702 |
| 176.0 | 9703 |
| 182.1 | 9704 |
| 180.3 | 9705 |
| 176.7 | 9706 |
| 170.2 | 9707 |
| 172.7 | 9708 |
| 175.1 | 9709 |
| 172.0 | 9710 |
| 175.3 | 9711 |
| 170.6 | 9712 |
| 177.4 | 9713 |
| 174.5 | 9714 |
| 171.7 | 9715 |
| 171.7 | 9716 |
| 173.2 | 9717 |
| 176.0 | 9718 |
| 175.7 | 9719 |
| 174.4 | 9720 |
| 171.2 | 9721 |
| 180.6 | 9722 |
| 176.2 | 9723 |
| 172.8 | 9724 |
| 174.4 | 9725 |
| 177.3 | 9726 |
| 166.9 | 9727 |
| 169.4 | 9728 |
| 170.8 | 9729 |
| 178.9 | 9730 |
| 174.1 | 9731 |
| 178.0 | 9732 |
| 173.0 | 9733 |
| 180.7 | 9734 |
| 180.0 | 9735 |
| 176.5 | 9736 |
| 169.3 | 9737 |
| 173.9 | 9738 |
| 168.8 | 9739 |
| 167.9 | 9740 |
| 171.3 | 9741 |
| 178.9 | 9742 |
| 180.1 | 9743 |
| 176.1 | 9744 |
| 178.0 | 9745 |
| 171.6 | 9746 |
| 174.2 | 9747 |
| 169.4 | 9748 |
| 174.2 | 9749 |
| 185.0 | 9750 |
| 176.3 | 9751 |
| 175.6 | 9752 |
| 181.6 | 9753 |
| 183.2 | 9754 |
| 175.3 | 9755 |
| 179.1 | 9756 |
| 171.8 | 9757 |
| 165.3 | 9758 |
| 174.5 | 9759 |
| 172.5 | 9760 |
| 179.9 | 9761 |
| 179.4 | 9762 |
| 177.3 | 9763 |
| 177.4 | 9764 |
| 176.9 | 9765 |
| 175.7 | 9766 |
| 174.6 | 9767 |
| 173.0 | 9768 |
| 174.2 | 9769 |
| 174.0 | 9770 |
| 173.2 | 9771 |
| 176.5 | 9772 |
| 177.0 | 9773 |
| 186.0 | 9774 |
| 177.3 | 9775 |
| 176.7 | 9776 |
| 176.8 | 9777 |
| 169.3 | 9778 |
| 174.3 | 9779 |
| 171.9 | 9780 |
| 170.2 | 9781 |
| 168.1 | 9782 |
| 178.6 | 9783 |
| 177.4 | 9784 |
| 174.9 | 9785 |
| 167.1 | 9786 |
| 173.3 | 9787 |
| 176.7 | 9788 |
| 175.9 | 9789 |
| 170.6 | 9790 |
| 180.0 | 9791 |
| 167.4 | 9792 |
| 175.5 | 9793 |
| 173.3 | 9794 |
| 171.3 | 9795 |
| 168.1 | 9796 |
| 178.1 | 9797 |
| 172.7 | 9798 |
| 171.4 | 9799 |
| 168.6 | 9800 |
| 181.1 | 9801 |
| 177.5 | 9802 |
| 176.4 | 9803 |
| 175.6 | 9804 |
| 173.5 | 9805 |
| 173.8 | 9806 |
| 179.4 | 9807 |
| 171.3 | 9808 |
| 184.0 | 9809 |
| 171.3 | 9810 |
| 181.3 | 9811 |
| 172.4 | 9812 |
| 177.3 | 9813 |
| 170.4 | 9814 |
| 172.9 | 9815 |
| 169.9 | 9816 |
| 174.1 | 9817 |
| 177.7 | 9818 |
| 181.2 | 9819 |
| 167.6 | 9820 |
| 178.8 | 9821 |
| 180.7 | 9822 |
| 175.5 | 9823 |
| 172.1 | 9824 |
| 178.3 | 9825 |
| 179.4 | 9826 |
| 176.4 | 9827 |
| 178.8 | 9828 |
| 172.9 | 9829 |
| 184.4 | 9830 |
| 167.4 | 9831 |
| 173.5 | 9832 |
| 173.2 | 9833 |
| 169.7 | 9834 |
| 176.4 | 9835 |
| 170.4 | 9836 |
| 176.5 | 9837 |
| 175.4 | 9838 |
| 174.6 | 9839 |
| 171.7 | 9840 |
| 175.7 | 9841 |
| 176.2 | 9842 |
| 175.8 | 9843 |
| 175.6 | 9844 |
| 175.6 | 9845 |
| 174.8 | 9846 |
| 169.0 | 9847 |
| 166.8 | 9848 |
| 178.9 | 9849 |
| 171.8 | 9850 |
| 173.9 | 9851 |
| 173.8 | 9852 |
| 182.6 | 9853 |
| 181.3 | 9854 |
| 173.9 | 9855 |
| 173.5 | 9856 |
| 169.0 | 9857 |
| 178.8 | 9858 |
| 163.9 | 9859 |
| 173.4 | 9860 |
| 175.8 | 9861 |
| 170.9 | 9862 |
| 180.6 | 9863 |
| 175.9 | 9864 |
| 183.3 | 9865 |
| 188.7 | 9866 |
| 173.4 | 9867 |
| 171.4 | 9868 |
| 185.3 | 9869 |
| 165.7 | 9870 |
| 176.3 | 9871 |
| 177.5 | 9872 |
| 182.9 | 9873 |
| 171.8 | 9874 |
| 170.2 | 9875 |
| 175.6 | 9876 |
| 178.5 | 9877 |
| 181.2 | 9878 |
| 182.1 | 9879 |
| 173.1 | 9880 |
| 168.0 | 9881 |
| 179.3 | 9882 |
| 173.1 | 9883 |
| 169.2 | 9884 |
| 178.5 | 9885 |
| 178.7 | 9886 |
| 173.5 | 9887 |
| 162.5 | 9888 |
| 174.9 | 9889 |
| 176.4 | 9890 |
| 173.5 | 9891 |
| 177.5 | 9892 |
| 178.4 | 9893 |
| 175.4 | 9894 |
| 177.9 | 9895 |
| 171.1 | 9896 |
| 166.0 | 9897 |
| 169.1 | 9898 |
| 171.0 | 9899 |
| 167.8 | 9900 |
| 183.9 | 9901 |
| 171.4 | 9902 |
| 175.5 | 9903 |
| 172.4 | 9904 |
| 182.5 | 9905 |
| 175.7 | 9906 |
| 182.7 | 9907 |
| 170.2 | 9908 |
| 177.4 | 9909 |
| 168.6 | 9910 |
| 174.8 | 9911 |
| 169.5 | 9912 |
| 174.0 | 9913 |
| 177.2 | 9914 |
| 181.5 | 9915 |
| 170.7 | 9916 |
| 178.7 | 9917 |
| 178.9 | 9918 |
| 171.3 | 9919 |
| 190.0 | 9920 |
| 173.0 | 9921 |
| 173.7 | 9922 |
| 175.8 | 9923 |
| 162.0 | 9924 |
| 182.2 | 9925 |
| 178.0 | 9926 |
| 174.3 | 9927 |
| 183.3 | 9928 |
| 178.2 | 9929 |
| 176.4 | 9930 |
| 169.2 | 9931 |
| 182.0 | 9932 |
| 175.0 | 9933 |
| 176.1 | 9934 |
| 184.1 | 9935 |
| 177.1 | 9936 |
| 175.6 | 9937 |
| 170.3 | 9938 |
| 174.4 | 9939 |
| 172.2 | 9940 |
| 172.1 | 9941 |
| 173.8 | 9942 |
| 178.4 | 9943 |
| 180.8 | 9944 |
| 175.1 | 9945 |
| 173.5 | 9946 |
| 178.5 | 9947 |
| 171.3 | 9948 |
| 167.5 | 9949 |
| 177.7 | 9950 |
| 174.6 | 9951 |
| 164.2 | 9952 |
| 165.0 | 9953 |
| 176.3 | 9954 |
| 179.6 | 9955 |
| 177.5 | 9956 |
| 173.5 | 9957 |
| 182.2 | 9958 |
| 170.6 | 9959 |
| 173.2 | 9960 |
| 171.5 | 9961 |
| 177.0 | 9962 |
| 167.3 | 9963 |
| 167.7 | 9964 |
| 165.6 | 9965 |
| 174.6 | 9966 |
| 181.0 | 9967 |
| 182.4 | 9968 |
| 170.7 | 9969 |
| 172.7 | 9970 |
| 170.6 | 9971 |
| 176.4 | 9972 |
| 176.5 | 9973 |
| 178.4 | 9974 |
| 166.6 | 9975 |
| 168.5 | 9976 |
| 172.6 | 9977 |
| 171.6 | 9978 |
| 177.3 | 9979 |
| 174.2 | 9980 |
| 167.6 | 9981 |
| 180.3 | 9982 |
| 176.9 | 9983 |
| 171.3 | 9984 |
| 169.2 | 9985 |
| 172.8 | 9986 |
| 170.1 | 9987 |
| 181.5 | 9988 |
| 173.6 | 9989 |
| 175.0 | 9990 |
| 178.5 | 9991 |
| 177.3 | 9992 |
| 182.8 | 9993 |
| 177.2 | 9994 |
| 183.8 | 9995 |
| 172.5 | 9996 |
| 168.3 | 9997 |
| 173.7 | 9998 |
| 176.0 | 9999 |
| 178.5 | 10000 |
Isso que você viu acima é um clássico caso de evento normalmente distribuido. Ele apresenta dois extremos simétricos, com um ponto de maior concentração das observações exatamente no ponto médio. Por que isso é relevante? Vou dar um exemplo bem simples…
Em um cenário hipotético, em que você esteja entendiado com um amigo em um evento com várias pessoas, e decide apostar com ele que consegue estimar a altura de todas as pessoas nesse evento com menor erro possível. Qual seria a melhor estimativa possível de altura?
Resposta:
O ponto médio da distribuição parece ser em 1.75, essa medida é central e mais comum de aparecer em todo conjunto observado.Uma forma de encarar esse problema é: sabendo que a maioria dos homens tem uma altura entre 1.60m e 1.90m, qual altura minimiza o erro considerando que existem muitas pessoas no meio desse intervalo e poucas pessoas no final? (\(\frac{1.60 + 1.90}{2} = ?\))
Nesse cenário, estimamos um valor central para todo o evento, com o fim de vencer nosso amigo numa disputa bem tosca, não é mesmo? Agora entra uma questão fundamental da estatística: quando não temos a informação de todas as pessoas.
2.2.2 População e amostra
No gráfico que mostrei, deu pra ter uma noção muito boa de como a altura é distribuida entre os homens de uma cidade pequena, fictícia. Mas pra ter todas essas informações eu precisaria de sair de porta em porta medindo com uma fita métrica todos os 10.000 homens adultos. Já imaginou que trabalhão isso daria?
E se, ao invés de coletar todos os 10.000 dados relativos a homens adultos, eu coletasse somente 1000? A título de simplificação eu vou manter mesmos dados da seção anterior, mas esse exemplo serve para qualquer conjunto de informações que alguém queira coletar, seja idade, renda, quantidade de filhos e entre outras observações interessantes.
Nosso exemplo pode ser ilustrado como segue:
circleFun <- function(centro = c(0,0), diametro = 1, npontos = 100, tipo = "população"){
r = diametro / 2
tt <- seq(0,2*pi,length.out = npontos)
xx <- centro[1] + r * cos(tt)
yy <- centro[2] + r * sin(tt)
return(data.frame(x = xx, y = yy, tipo = tipo))
}
dados_circulo <- rbind(
circleFun(centro = c(0,0), diametro = 1, npontos = 100, tipo = "população"),
circleFun(centro = c(0.2,0), diametro = 0.1, npontos = 100, tipo = "amostra")
)
ggplot(dados_circulo, aes(x, y, color = tipo)) +
geom_path() +
theme(axis.text.x=element_blank(),
axis.ticks.x=element_blank(),
axis.text.y=element_blank(),
axis.ticks.y=element_blank(),
axis.title = element_blank(),
panel.grid.major = element_blank(),
panel.grid.minor = element_blank(),
panel.background = element_blank()
)
De toda a área a população (em azul), eu coletei os dados somente daqueles na área vermelha, por meio de uma amostragem simples (escolhi domicílios aleatoriamente). A distribuição dessa amostra foi a seguinte:
set.seed(42)
dados_amostragem <- copy(slice_sample(dataset, n = 1000))
ggplot(dados_amostragem, aes(altura)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Por mais que não seja tão parecida, a amostra apresenta as mesmas características da população! Com essa mesma distribuição, você teria uma boa ideia da altura média de todos os homens da cidade, e poderia inferir sobre o valor verdadeiro da população.
2.2.3 Noções importantes de notação
Vamos lembrar da primeira visualização que utilizei, a distribuição de altura dos homens adultos de uma cidade fictícia:
ggplot(dataset, aes(altura)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Nesse gráfico, temos a informação de todo o nosso grupo de interesse, sendo, portando, uma representação fiel do evento que estamos observando. Essa é nossa população.
Podemos calcular a média de todas as 10.000 alturas registradas, que seria um valor de 1.75. O desvio padrão (que é uma medida de quão dispersos estão os dados com relação a média) é de 4.5.
Como seria muito custoso efetivamente representar todos os homens adultos de uma cidade, uma amostra foi feita com 1000 homens, com a seguinte distribuição:
ggplot(dados_amostragem, aes(altura)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição da altura de homens", x = "Altura", y = "Quantidade de homens") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Visualmente, você poderia dizer que a média da amostra é a mesma que a média da população? E o desvio padrão? (Não se preocupe se não conseguir visualizar isso de imediato! Buscarei ao máximo em te dar essa habilidade ao longo desta seção!)
Sempre que falo de valores populacionais, posso me referir a eles de forma matemática com o operador de esperança. Ou seja, caso eu deseja estimar o valor médio de um conjunto de observações em uma população, bastaria eu escrever o seguinte:
\[ E(X) = ? \]
Eu não tinha os dados populacionais disponíveis no meu caso acima? Então a esperança é exatamente a média que eu calculei da população!
\[ E(X) = 1.75 \]
Mas vamos continuar supondo que eu não tenha esse valor acessível. A amostra apresenta uma média minimamente semelhante a populacional?
Como demonstrei, podemos estimar o valor populacional (verdadeiro), com uma amostra menor. Essa estimação não será perfeita, mas será uma ótima estimativa do valor populacional sem muito custo. Uma forma de escrever isso é:
\[ E(X) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^nX_i = \bar{X} \] A média aritmética de uma amostra é uma aproximação da média populacional. Lembra que nosso valor central da amostra era próximo de 1.75m? O valor central da população também é!
Outra estatística de ponto (que retorna um valor unico com base na combinação de variáveis) que podemos calcular é a variância. A ideia dessa medida é ver o quão distante da média estão concentradas as informações. (A dica é ver o que está entre parênteses.)
\[ Var(X) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) ^2 = \sigma^2 \]
Se os valores de \(X_i\) forem todos iguais a média, o que acontece com a variância? Ela é igual a zero! Quer dizer que quanto mais distantes os valores forem da média, maior será o valor da variância.
A título de transparência, vou calcular a média e a variância da nossa amostra anterior. Os dados utilizados são esses, com cada linha sendo uma medida de altura coletada de um adulto:
dados_amostragem %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| altura | numero_de_ordem |
|---|---|
| 179.1 | 2369 |
| 171.0 | 5273 |
| 179.9 | 9290 |
| 173.3 | 1252 |
| 174.3 | 8826 |
| 180.3 | 356 |
| 178.7 | 7700 |
| 177.8 | 3954 |
| 166.1 | 9091 |
| 167.9 | 5403 |
| 179.1 | 932 |
| 177.0 | 9189 |
| 176.7 | 5637 |
| 171.3 | 4002 |
| 178.8 | 9052 |
| 170.4 | 259 |
| 169.6 | 5434 |
| 174.0 | 481 |
| 172.7 | 7326 |
| 177.6 | 8491 |
| 174.7 | 2454 |
| 176.2 | 9028 |
| 171.2 | 9174 |
| 176.8 | 7789 |
| 171.6 | 5468 |
| 177.0 | 6341 |
| 178.0 | 9732 |
| 176.8 | 2274 |
| 167.0 | 2552 |
| 178.0 | 727 |
| 169.4 | 945 |
| 177.8 | 626 |
| 174.5 | 4358 |
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| 178.3 | 5123 |
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| 171.6 | 7091 |
| 177.8 | 9135 |
| 173.7 | 7641 |
| 174.4 | 1540 |
| 177.6 | 6044 |
| 163.5 | 1065 |
| 175.3 | 5473 |
| 165.6 | 2758 |
| 168.0 | 910 |
| 178.6 | 4745 |
| 173.1 | 6236 |
| 171.5 | 415 |
| 178.7 | 9886 |
| 173.2 | 454 |
| 170.4 | 9814 |
| 170.6 | 4593 |
| 172.7 | 6411 |
| 176.3 | 4041 |
| 179.5 | 9067 |
| 174.6 | 7827 |
| 182.6 | 8097 |
| 171.2 | 3435 |
| 172.8 | 1778 |
| 169.3 | 4321 |
| 176.9 | 4919 |
| 173.0 | 4642 |
| 184.6 | 1765 |
| 164.9 | 6967 |
| 174.0 | 5010 |
| 172.9 | 3900 |
| 176.6 | 3023 |
| 173.5 | 8263 |
| 175.9 | 8202 |
| 172.4 | 1991 |
| 170.7 | 2904 |
| 171.0 | 8981 |
| 178.9 | 8255 |
| 169.9 | 1266 |
| 179.0 | 8681 |
| 177.3 | 35 |
| 174.7 | 6403 |
| 166.0 | 4297 |
| 180.9 | 7104 |
| 173.7 | 7679 |
| 176.3 | 9005 |
| 170.8 | 3163 |
| 174.3 | 3869 |
| 176.2 | 487 |
| 178.6 | 6442 |
| 177.4 | 4113 |
| 178.8 | 4578 |
| 185.0 | 2580 |
| 170.2 | 1457 |
| 188.7 | 9866 |
| 176.8 | 4056 |
| 177.4 | 9629 |
| 170.8 | 5578 |
| 175.2 | 7280 |
| 176.9 | 9586 |
| 172.6 | 3178 |
| 174.1 | 3207 |
| 176.4 | 7705 |
| 184.2 | 2584 |
| 181.3 | 5887 |
| 171.2 | 3906 |
| 178.5 | 8484 |
| 173.0 | 8116 |
| 172.9 | 3055 |
| 171.2 | 2801 |
| 177.8 | 9361 |
| 180.5 | 7248 |
| 185.2 | 9482 |
| 178.7 | 8884 |
| 178.3 | 5630 |
| 173.6 | 6339 |
| 167.9 | 7822 |
| 176.9 | 8137 |
| 175.4 | 5815 |
| 175.1 | 6089 |
| 172.9 | 750 |
| 162.9 | 4675 |
| 170.1 | 7459 |
| 171.4 | 1505 |
| 171.2 | 4796 |
| 175.1 | 1829 |
| 174.2 | 1878 |
| 184.1 | 2436 |
| 185.1 | 2333 |
| 176.4 | 8584 |
| 173.6 | 3372 |
| 172.5 | 7468 |
| 168.6 | 9327 |
| 174.0 | 9304 |
| 179.2 | 7875 |
| 177.5 | 4227 |
| 177.8 | 2714 |
| 174.2 | 2988 |
| 175.2 | 8941 |
| 177.5 | 6577 |
| 174.7 | 7471 |
| 175.4 | 1627 |
| 178.6 | 2195 |
| 176.3 | 2966 |
| 170.1 | 2153 |
| 169.6 | 1789 |
| 173.7 | 1714 |
| 176.4 | 9612 |
| 175.0 | 324 |
| 176.5 | 2130 |
| 166.6 | 5694 |
| 174.6 | 4195 |
| 174.0 | 3882 |
| 167.4 | 8345 |
| 166.3 | 4775 |
| 175.2 | 9277 |
| 167.3 | 3931 |
| 173.7 | 9998 |
| 178.8 | 1536 |
| 171.5 | 8087 |
| 177.8 | 7754 |
| 167.6 | 7061 |
| 177.7 | 4166 |
| 168.0 | 7092 |
| 169.2 | 4508 |
| 177.4 | 2824 |
| 173.0 | 3743 |
| 172.2 | 2341 |
| 177.4 | 6458 |
| 171.8 | 5459 |
| 160.6 | 2644 |
| 179.8 | 2059 |
| 178.4 | 1883 |
| 170.3 | 3825 |
| 167.3 | 1464 |
| 167.6 | 374 |
| 178.0 | 6303 |
| 183.5 | 2228 |
| 174.6 | 9951 |
| 179.8 | 8381 |
| 166.9 | 1981 |
| 171.7 | 65 |
| 174.5 | 1553 |
| 169.2 | 5163 |
| 179.5 | 7128 |
| 178.0 | 6689 |
| 174.4 | 594 |
| 174.9 | 3582 |
| 179.1 | 69 |
| 169.7 | 720 |
| 170.2 | 5389 |
| 167.2 | 1400 |
| 179.8 | 5363 |
| 170.5 | 2698 |
| 173.5 | 6762 |
| 180.7 | 7415 |
| 178.2 | 4732 |
| 175.0 | 6737 |
| 172.9 | 7682 |
| 165.3 | 5839 |
| 176.9 | 855 |
| 174.0 | 8064 |
| 181.2 | 9819 |
| 174.8 | 2362 |
| 176.3 | 9871 |
| 176.1 | 5392 |
| 177.9 | 6218 |
| 179.5 | 983 |
| 177.0 | 7414 |
| 183.1 | 6409 |
| 171.2 | 5790 |
| 177.7 | 3166 |
| 166.0 | 201 |
| 171.3 | 293 |
| 170.2 | 3428 |
| 178.6 | 8678 |
| 172.5 | 3682 |
| 178.0 | 3139 |
| 169.0 | 3570 |
| 184.3 | 1809 |
| 184.3 | 6488 |
| 173.2 | 2034 |
| 170.0 | 6347 |
| 176.1 | 4104 |
| 180.7 | 5173 |
| 173.7 | 7060 |
| 172.8 | 9986 |
| 173.7 | 7926 |
| 164.3 | 5053 |
| 180.6 | 3223 |
| 173.5 | 1848 |
| 165.2 | 417 |
| 171.1 | 444 |
| 177.6 | 5240 |
| 167.4 | 1555 |
| 165.5 | 9040 |
| 175.1 | 5364 |
| 175.7 | 6578 |
| 174.5 | 6005 |
| 167.0 | 1482 |
| 172.6 | 1014 |
| 179.3 | 5197 |
| 163.5 | 3180 |
| 169.4 | 309 |
| 187.2 | 118 |
| 170.2 | 5415 |
| 173.7 | 3772 |
| 176.7 | 2725 |
| 171.9 | 3251 |
| 171.6 | 4661 |
| 170.5 | 9391 |
| 172.8 | 6205 |
| 174.2 | 6645 |
| 179.4 | 262 |
| 175.4 | 5018 |
| 175.4 | 6713 |
| 172.8 | 2556 |
| 173.5 | 7507 |
| 172.2 | 2174 |
| 172.7 | 696 |
| 182.7 | 9430 |
| 178.4 | 8595 |
| 174.0 | 3573 |
| 172.5 | 9352 |
| 177.4 | 5753 |
| 179.3 | 1330 |
| 174.5 | 84 |
| 177.8 | 3086 |
| 174.1 | 8802 |
| 180.2 | 6497 |
| 171.5 | 7158 |
| 176.0 | 7598 |
| 177.7 | 3335 |
| 177.0 | 5158 |
| 178.2 | 8812 |
| 177.5 | 8138 |
| 170.0 | 4377 |
| 179.5 | 1438 |
| 171.7 | 5019 |
| 163.1 | 8851 |
| 175.5 | 5290 |
| 176.6 | 6461 |
| 172.3 | 5321 |
| 170.5 | 406 |
| 175.7 | 1115 |
| 172.4 | 1608 |
| 178.4 | 1399 |
| 171.2 | 1040 |
| 176.7 | 1096 |
| 172.8 | 5783 |
| 168.0 | 6864 |
| 176.8 | 7157 |
| 171.9 | 5469 |
| 169.7 | 4281 |
| 168.4 | 586 |
| 159.8 | 980 |
| 175.8 | 896 |
| 178.1 | 1170 |
| 171.0 | 3784 |
| 176.7 | 7269 |
| 177.2 | 7319 |
| 173.1 | 4346 |
| 180.5 | 9389 |
| 177.3 | 6903 |
| 175.3 | 2529 |
| 179.1 | 2975 |
| 178.8 | 7132 |
| 182.9 | 6326 |
| 177.8 | 73 |
| 176.2 | 4897 |
| 178.6 | 6033 |
| 181.1 | 8582 |
| 173.7 | 1747 |
| 169.9 | 3745 |
| 177.0 | 8843 |
| 174.2 | 4416 |
| 181.8 | 2139 |
| 172.7 | 7219 |
| 179.2 | 4533 |
| 169.9 | 7255 |
| 173.9 | 7989 |
| 175.0 | 7379 |
| 172.3 | 1327 |
| 170.9 | 5409 |
| 175.6 | 5528 |
| 180.8 | 3656 |
| 176.7 | 1378 |
| 169.0 | 929 |
| 170.1 | 1758 |
| 169.5 | 9384 |
| 180.4 | 101 |
| 178.0 | 4351 |
| 184.3 | 7595 |
| 175.9 | 3291 |
| 182.1 | 4785 |
| 177.5 | 8017 |
| 173.6 | 825 |
| 169.9 | 6528 |
| 176.7 | 7417 |
| 179.7 | 2843 |
| 168.6 | 8659 |
| 175.4 | 9641 |
| 175.8 | 6001 |
| 176.6 | 1697 |
| 167.2 | 2990 |
| 173.5 | 1479 |
| 175.5 | 7912 |
| 176.6 | 4132 |
| 173.2 | 3769 |
| 171.8 | 6740 |
| 175.7 | 1239 |
| 174.8 | 7955 |
| 168.6 | 4783 |
| 172.9 | 8441 |
| 178.2 | 6082 |
| 179.8 | 7270 |
| 175.1 | 7102 |
| 174.2 | 6759 |
| 172.8 | 9483 |
| 173.9 | 8557 |
| 177.4 | 9784 |
| 174.7 | 9333 |
| 172.3 | 1458 |
| 174.9 | 3690 |
| 169.7 | 7575 |
| 175.4 | 8333 |
| 167.9 | 360 |
| 176.7 | 6772 |
| 169.3 | 3749 |
| 168.2 | 1361 |
| 177.8 | 5769 |
| 172.3 | 424 |
| 174.1 | 5523 |
| 190.0 | 9920 |
| 178.3 | 353 |
| 176.8 | 1420 |
| 175.8 | 1133 |
| 174.5 | 9146 |
| 167.8 | 4133 |
| 177.5 | 2455 |
| 175.2 | 795 |
| 172.0 | 5023 |
| 177.4 | 9230 |
| 166.9 | 9727 |
| 168.7 | 9539 |
| 164.1 | 3534 |
| 181.0 | 1678 |
| 171.9 | 7646 |
| 181.4 | 4546 |
| 175.1 | 2229 |
| 177.9 | 746 |
| 177.0 | 7491 |
| 171.6 | 312 |
| 172.1 | 7580 |
| 168.9 | 6620 |
| 168.6 | 4288 |
| 173.2 | 9717 |
| 186.0 | 9774 |
| 173.2 | 2998 |
| 176.0 | 3026 |
| 174.2 | 1417 |
| 166.6 | 4221 |
| 182.4 | 5448 |
| 177.1 | 3848 |
| 177.0 | 8395 |
| 177.0 | 1200 |
| 175.3 | 1986 |
| 173.2 | 5721 |
| 170.9 | 4462 |
| 174.3 | 8224 |
| 180.5 | 8804 |
| 176.4 | 4656 |
| 175.7 | 9657 |
| 178.9 | 3818 |
| 164.0 | 19 |
| 172.8 | 7127 |
| 173.4 | 7542 |
| 179.2 | 1844 |
| 170.3 | 1851 |
| 178.9 | 298 |
| 174.9 | 7872 |
| 167.7 | 2949 |
| 180.6 | 8149 |
| 172.8 | 4538 |
| 176.5 | 6711 |
| 177.2 | 4206 |
| 173.1 | 9650 |
| 164.3 | 5212 |
| 169.2 | 1274 |
| 175.2 | 216 |
| 172.8 | 716 |
| 172.6 | 7450 |
| 175.7 | 2406 |
| 169.2 | 2977 |
| 175.1 | 1372 |
| 179.9 | 3693 |
| 174.3 | 297 |
| 174.4 | 1036 |
| 172.1 | 5639 |
| 179.5 | 5638 |
| 171.8 | 3219 |
| 172.1 | 8434 |
| 176.6 | 9026 |
| 172.3 | 4936 |
| 175.4 | 1953 |
| 178.2 | 8494 |
| 167.3 | 5758 |
| 173.9 | 6150 |
| 180.9 | 467 |
| 175.7 | 5796 |
| 174.3 | 3605 |
| 180.4 | 897 |
| 170.0 | 4797 |
| 169.6 | 527 |
| 180.5 | 1754 |
| 173.1 | 2715 |
| 170.0 | 7801 |
| 181.1 | 350 |
| 174.4 | 1502 |
| 169.6 | 233 |
| 182.5 | 8184 |
| 177.0 | 3262 |
| 174.8 | 1382 |
| 171.1 | 939 |
| 177.5 | 1222 |
| 174.8 | 2448 |
| 169.5 | 9235 |
| 174.0 | 9678 |
| 180.8 | 6311 |
| 173.7 | 1454 |
| 173.6 | 8047 |
| 183.8 | 8495 |
| 173.9 | 8938 |
| 168.7 | 7346 |
| 165.7 | 5087 |
| 176.1 | 239 |
| 173.7 | 1012 |
| 170.1 | 4695 |
| 168.9 | 119 |
| 175.3 | 9395 |
| 166.5 | 8707 |
| 172.0 | 9137 |
| 169.7 | 1301 |
| 171.3 | 9795 |
| 173.7 | 7839 |
| 177.9 | 6970 |
| 181.0 | 5833 |
| 173.3 | 6251 |
| 173.5 | 9237 |
| 172.3 | 1006 |
| 178.8 | 9356 |
| 176.0 | 6469 |
| 179.9 | 7600 |
| 172.1 | 8702 |
| 176.8 | 5285 |
| 184.3 | 2854 |
| 171.1 | 8085 |
A média é simplesmente a soma de todos os valores, que resulta em 174700.4. Dividindo esse valor por 1000, que é a quantidade de observações (n), temos uma média de 174.7!
Com base nisso, pra cada valor de X, subtraímos a média e elevamos essa diferença ao quadrado:
dados_amostragem[, altura_menos_media := altura - 174.89]
dados_amostragem[, altura_menos_media_ao_quadrado := altura_menos_media ^ 2]
dados_amostragem %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| altura | numero_de_ordem | altura_menos_media | altura_menos_media_ao_quadrado |
|---|---|---|---|
| 179.1 | 2369 | 4.21 | 17.7241 |
| 171.0 | 5273 | -3.89 | 15.1321 |
| 179.9 | 9290 | 5.01 | 25.1001 |
| 173.3 | 1252 | -1.59 | 2.5281 |
| 174.3 | 8826 | -0.59 | 0.3481 |
| 180.3 | 356 | 5.41 | 29.2681 |
| 178.7 | 7700 | 3.81 | 14.5161 |
| 177.8 | 3954 | 2.91 | 8.4681 |
| 166.1 | 9091 | -8.79 | 77.2641 |
| 167.9 | 5403 | -6.99 | 48.8601 |
| 179.1 | 932 | 4.21 | 17.7241 |
| 177.0 | 9189 | 2.11 | 4.4521 |
| 176.7 | 5637 | 1.81 | 3.2761 |
| 171.3 | 4002 | -3.59 | 12.8881 |
| 178.8 | 9052 | 3.91 | 15.2881 |
| 170.4 | 259 | -4.49 | 20.1601 |
| 169.6 | 5434 | -5.29 | 27.9841 |
| 174.0 | 481 | -0.89 | 0.7921 |
| 172.7 | 7326 | -2.19 | 4.7961 |
| 177.6 | 8491 | 2.71 | 7.3441 |
| 174.7 | 2454 | -0.19 | 0.0361 |
| 176.2 | 9028 | 1.31 | 1.7161 |
| 171.2 | 9174 | -3.69 | 13.6161 |
| 176.8 | 7789 | 1.91 | 3.6481 |
| 171.6 | 5468 | -3.29 | 10.8241 |
| 177.0 | 6341 | 2.11 | 4.4521 |
| 178.0 | 9732 | 3.11 | 9.6721 |
| 176.8 | 2274 | 1.91 | 3.6481 |
| 167.0 | 2552 | -7.89 | 62.2521 |
| 178.0 | 727 | 3.11 | 9.6721 |
| 169.4 | 945 | -5.49 | 30.1401 |
| 177.8 | 626 | 2.91 | 8.4681 |
| 174.5 | 4358 | -0.39 | 0.1521 |
| 181.4 | 6534 | 6.51 | 42.3801 |
| 172.8 | 1396 | -2.09 | 4.3681 |
| 178.3 | 5123 | 3.41 | 11.6281 |
| 173.6 | 2818 | -1.29 | 1.6641 |
| 168.7 | 9207 | -6.19 | 38.3161 |
| 167.3 | 517 | -7.59 | 57.6081 |
| 171.6 | 8225 | -3.29 | 10.8241 |
| 172.7 | 9970 | -2.19 | 4.7961 |
| 170.5 | 103 | -4.39 | 19.2721 |
| 169.4 | 5348 | -5.49 | 30.1401 |
| 175.4 | 7146 | 0.51 | 0.2601 |
| 176.3 | 9545 | 1.41 | 1.9881 |
| 176.7 | 1693 | 1.81 | 3.2761 |
| 172.1 | 4172 | -2.79 | 7.7841 |
| 174.5 | 5897 | -0.39 | 0.1521 |
| 175.3 | 5611 | 0.41 | 0.1681 |
| 167.7 | 3619 | -7.19 | 51.6961 |
| 177.9 | 16 | 3.01 | 9.0601 |
| 179.4 | 5445 | 4.51 | 20.3401 |
| 190.7 | 988 | 15.81 | 249.9561 |
| 167.2 | 7810 | -7.69 | 59.1361 |
| 179.9 | 8274 | 5.01 | 25.1001 |
| 174.9 | 9106 | 0.01 | 0.0001 |
| 175.8 | 2344 | 0.91 | 0.8281 |
| 178.1 | 149 | 3.21 | 10.3041 |
| 175.8 | 7140 | 0.91 | 0.8281 |
| 180.0 | 5689 | 5.11 | 26.1121 |
| 177.9 | 100 | 3.01 | 9.0601 |
| 173.1 | 2346 | -1.79 | 3.2041 |
| 180.2 | 2450 | 5.31 | 28.1961 |
| 181.3 | 91 | 6.41 | 41.0881 |
| 174.7 | 6925 | -0.19 | 0.0361 |
| 169.6 | 7349 | -5.29 | 27.9841 |
| 179.8 | 5174 | 4.91 | 24.1081 |
| 176.8 | 6995 | 1.91 | 3.6481 |
| 173.6 | 4816 | -1.29 | 1.6641 |
| 181.7 | 5878 | 6.81 | 46.3761 |
| 178.8 | 9501 | 3.91 | 15.2881 |
| 171.1 | 6782 | -3.79 | 14.3641 |
| 170.6 | 8619 | -4.29 | 18.4041 |
| 181.0 | 6586 | 6.11 | 37.3321 |
| 181.5 | 5232 | 6.61 | 43.6921 |
| 177.2 | 4680 | 2.31 | 5.3361 |
| 179.5 | 7453 | 4.61 | 21.2521 |
| 180.9 | 951 | 6.01 | 36.1201 |
| 183.5 | 8102 | 8.61 | 74.1321 |
| 170.8 | 9729 | -4.09 | 16.7281 |
| 171.5 | 5261 | -3.39 | 11.4921 |
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| 166.9 | 2859 | -7.99 | 63.8401 |
| 174.0 | 9770 | -0.89 | 0.7921 |
| 173.6 | 4856 | -1.29 | 1.6641 |
| 176.5 | 1889 | 1.61 | 2.5921 |
| 177.9 | 9467 | 3.01 | 9.0601 |
| 179.6 | 9955 | 4.71 | 22.1841 |
| 173.4 | 1907 | -1.49 | 2.2201 |
| 171.2 | 8895 | -3.69 | 13.6161 |
| 168.2 | 3310 | -6.69 | 44.7561 |
| 167.1 | 6670 | -7.79 | 60.6841 |
| 181.5 | 2310 | 6.61 | 43.6921 |
| 172.8 | 4395 | -2.09 | 4.3681 |
| 177.4 | 7614 | 2.51 | 6.3001 |
| 186.3 | 8946 | 11.41 | 130.1881 |
| 175.3 | 4895 | 0.41 | 0.1681 |
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| 176.0 | 2910 | 1.11 | 1.2321 |
| 182.2 | 1248 | 7.31 | 53.4361 |
| 175.8 | 7382 | 0.91 | 0.8281 |
| 177.9 | 4390 | 3.01 | 9.0601 |
| 167.7 | 607 | -7.19 | 51.6961 |
| 176.5 | 2831 | 1.61 | 2.5921 |
| 177.3 | 8738 | 2.41 | 5.8081 |
| 181.3 | 2474 | 6.41 | 41.0881 |
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| 167.8 | 8446 | -7.09 | 50.2681 |
| 175.0 | 8460 | 0.11 | 0.0121 |
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| 174.7 | 3482 | -0.19 | 0.0361 |
| 177.0 | 2089 | 2.11 | 4.4521 |
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| 176.1 | 8856 | 1.21 | 1.4641 |
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| 175.5 | 6681 | 0.61 | 0.3721 |
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| 175.5 | 9823 | 0.61 | 0.3721 |
| 166.4 | 5664 | -8.49 | 72.0801 |
| 173.5 | 3995 | -1.39 | 1.9321 |
| 167.8 | 5817 | -7.09 | 50.2681 |
| 174.2 | 4892 | -0.69 | 0.4761 |
| 171.4 | 6774 | -3.49 | 12.1801 |
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| 176.5 | 9354 | 1.61 | 2.5921 |
| 176.2 | 2821 | 1.31 | 1.7161 |
| 180.0 | 4174 | 5.11 | 26.1121 |
| 176.1 | 4622 | 1.21 | 1.4641 |
| 180.3 | 3740 | 5.41 | 29.2681 |
| 173.6 | 3169 | -1.29 | 1.6641 |
| 167.1 | 6627 | -7.79 | 60.6841 |
| 178.8 | 3546 | 3.91 | 15.2881 |
| 174.0 | 1151 | -0.89 | 0.7921 |
| 186.6 | 3565 | 11.71 | 137.1241 |
| 179.7 | 5675 | 4.81 | 23.1361 |
| 178.7 | 7860 | 3.81 | 14.5161 |
| 174.4 | 3578 | -0.49 | 0.2401 |
| 173.6 | 4433 | -1.29 | 1.6641 |
| 176.5 | 4027 | 1.61 | 2.5921 |
| 178.0 | 4635 | 3.11 | 9.6721 |
| 173.5 | 3252 | -1.39 | 1.9321 |
| 176.4 | 9803 | 1.51 | 2.2801 |
| 171.7 | 5521 | -3.19 | 10.1761 |
| 174.7 | 1293 | -0.19 | 0.0361 |
| 174.6 | 2015 | -0.29 | 0.0841 |
| 179.9 | 1406 | 5.01 | 25.1001 |
| 172.2 | 3196 | -2.69 | 7.2361 |
| 176.1 | 7231 | 1.21 | 1.4641 |
| 174.5 | 2609 | -0.39 | 0.1521 |
| 177.3 | 4669 | 2.41 | 5.8081 |
| 176.1 | 7796 | 1.21 | 1.4641 |
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| 174.4 | 4001 | -0.49 | 0.2401 |
| 172.5 | 2 | -2.39 | 5.7121 |
| 183.4 | 8863 | 8.51 | 72.4201 |
| 184.4 | 7816 | 9.51 | 90.4401 |
| 173.5 | 8963 | -1.39 | 1.9321 |
| 171.5 | 8933 | -3.39 | 11.4921 |
| 177.1 | 2317 | 2.21 | 4.8841 |
| 173.0 | 8897 | -1.89 | 3.5721 |
| 180.6 | 8862 | 5.71 | 32.6041 |
| 174.9 | 5683 | 0.01 | 0.0001 |
| 170.3 | 4540 | -4.59 | 21.0681 |
| 174.4 | 7727 | -0.49 | 0.2401 |
| 179.8 | 3270 | 4.91 | 24.1081 |
| 175.2 | 5130 | 0.31 | 0.0961 |
| 164.0 | 1225 | -10.89 | 118.5921 |
| 177.5 | 5865 | 2.61 | 6.8121 |
| 168.9 | 1945 | -5.99 | 35.8801 |
| 169.0 | 7683 | -5.89 | 34.6921 |
| 176.2 | 4277 | 1.31 | 1.7161 |
| 171.5 | 8943 | -3.39 | 11.4921 |
| 178.5 | 5404 | 3.61 | 13.0321 |
| 178.9 | 5884 | 4.01 | 16.0801 |
| 176.4 | 463 | 1.51 | 2.2801 |
| 168.3 | 6749 | -6.59 | 43.4281 |
| 180.3 | 9529 | 5.41 | 29.2681 |
| 175.5 | 2132 | 0.61 | 0.3721 |
| 170.4 | 3958 | -4.49 | 20.1601 |
| 168.5 | 5080 | -6.39 | 40.8321 |
| 172.5 | 8417 | -2.39 | 5.7121 |
| 180.1 | 9318 | 5.21 | 27.1441 |
| 184.3 | 4585 | 9.41 | 88.5481 |
| 174.6 | 3734 | -0.29 | 0.0841 |
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| 176.7 | 6100 | 1.81 | 3.2761 |
| 176.6 | 3071 | 1.71 | 2.9241 |
| 174.1 | 9423 | -0.79 | 0.6241 |
| 179.4 | 9301 | 4.51 | 20.3401 |
| 172.0 | 1954 | -2.89 | 8.3521 |
| 172.8 | 4249 | -2.09 | 4.3681 |
| 178.6 | 7105 | 3.71 | 13.7641 |
| 173.9 | 6030 | -0.99 | 0.9801 |
| 173.1 | 49 | -1.79 | 3.2041 |
| 169.4 | 156 | -5.49 | 30.1401 |
| 178.6 | 9783 | 3.71 | 13.7641 |
| 176.2 | 2218 | 1.31 | 1.7161 |
| 168.3 | 4388 | -6.59 | 43.4281 |
| 171.6 | 4244 | -3.29 | 10.8241 |
| 171.4 | 2767 | -3.49 | 12.1801 |
| 175.4 | 5959 | 0.51 | 0.2601 |
| 174.8 | 3185 | -0.09 | 0.0081 |
| 181.5 | 7195 | 6.61 | 43.6921 |
| 170.6 | 2654 | -4.29 | 18.4041 |
| 177.6 | 2693 | 2.71 | 7.3441 |
| 178.3 | 8084 | 3.41 | 11.6281 |
| 178.9 | 3698 | 4.01 | 16.0801 |
| 176.4 | 5003 | 1.51 | 2.2801 |
| 180.5 | 4828 | 5.61 | 31.4721 |
| 179.4 | 3945 | 4.51 | 20.3401 |
| 175.2 | 1939 | 0.31 | 0.0961 |
| 164.6 | 9429 | -10.29 | 105.8841 |
| 175.6 | 5412 | 0.71 | 0.5041 |
| 170.7 | 7594 | -4.19 | 17.5561 |
| 177.9 | 9177 | 3.01 | 9.0601 |
| 178.7 | 2486 | 3.81 | 14.5161 |
| 168.8 | 5947 | -6.09 | 37.0881 |
| 171.0 | 4721 | -3.89 | 15.1321 |
| 173.4 | 542 | -1.49 | 2.2201 |
| 171.9 | 6843 | -2.99 | 8.9401 |
| 172.0 | 7110 | -2.89 | 8.3521 |
| 177.3 | 3631 | 2.41 | 5.8081 |
| 176.2 | 5225 | 1.31 | 1.7161 |
| 166.0 | 5322 | -8.89 | 79.0321 |
| 169.7 | 7538 | -5.19 | 26.9361 |
| 176.5 | 1975 | 1.61 | 2.5921 |
| 173.6 | 6535 | -1.29 | 1.6641 |
| 174.2 | 4494 | -0.69 | 0.4761 |
| 174.8 | 6412 | -0.09 | 0.0081 |
| 178.7 | 5642 | 3.81 | 14.5161 |
| 178.0 | 7289 | 3.11 | 9.6721 |
| 175.9 | 1625 | 1.01 | 1.0201 |
| 180.5 | 3359 | 5.61 | 31.4721 |
| 168.0 | 4955 | -6.89 | 47.4721 |
| 169.2 | 1488 | -5.69 | 32.3761 |
| 179.1 | 868 | 4.21 | 17.7241 |
| 171.5 | 8568 | -3.39 | 11.4921 |
| 173.1 | 8472 | -1.79 | 3.2041 |
| 174.0 | 7078 | -0.89 | 0.7921 |
| 178.4 | 981 | 3.51 | 12.3201 |
| 177.9 | 5524 | 3.01 | 9.0601 |
| 178.6 | 8907 | 3.71 | 13.7641 |
| 177.4 | 8186 | 2.51 | 6.3001 |
| 181.6 | 5345 | 6.71 | 45.0241 |
| 167.0 | 9564 | -7.89 | 62.2521 |
| 172.0 | 605 | -2.89 | 8.3521 |
| 180.5 | 1828 | 5.61 | 31.4721 |
| 179.2 | 3936 | 4.31 | 18.5761 |
| 171.0 | 7526 | -3.89 | 15.1321 |
| 176.5 | 4032 | 1.61 | 2.5921 |
| 178.5 | 2813 | 3.61 | 13.0321 |
| 174.0 | 4743 | -0.89 | 0.7921 |
| 175.4 | 5893 | 0.51 | 0.2601 |
| 173.9 | 928 | -0.99 | 0.9801 |
| 177.5 | 978 | 2.61 | 6.8121 |
| 175.6 | 2983 | 0.71 | 0.5041 |
| 176.0 | 5498 | 1.11 | 1.2321 |
| 165.8 | 1078 | -9.09 | 82.6281 |
| 174.5 | 6531 | -0.39 | 0.1521 |
| 172.8 | 7380 | -2.09 | 4.3681 |
| 173.1 | 6891 | -1.79 | 3.2041 |
| 176.1 | 3337 | 1.21 | 1.4641 |
| 182.9 | 9873 | 8.01 | 64.1601 |
| 177.2 | 3783 | 2.31 | 5.3361 |
| 178.3 | 4060 | 3.41 | 11.6281 |
| 180.7 | 9625 | 5.81 | 33.7561 |
| 180.3 | 3731 | 5.41 | 29.2681 |
| 179.4 | 335 | 4.51 | 20.3401 |
| 179.7 | 9463 | 4.81 | 23.1361 |
| 170.5 | 6275 | -4.39 | 19.2721 |
| 176.3 | 9366 | 1.41 | 1.9881 |
| 172.2 | 5181 | -2.69 | 7.2361 |
| 174.2 | 5140 | -0.69 | 0.4761 |
| 175.8 | 4778 | 0.91 | 0.8281 |
| 180.6 | 7522 | 5.71 | 32.6041 |
| 173.8 | 9175 | -1.09 | 1.1881 |
| 176.8 | 4625 | 1.91 | 3.6481 |
| 175.3 | 9427 | 0.41 | 0.1681 |
| 175.8 | 7342 | 0.91 | 0.8281 |
| 175.5 | 6417 | 0.61 | 0.3721 |
| 181.3 | 94 | 6.41 | 41.0881 |
| 173.5 | 6323 | -1.39 | 1.9321 |
| 174.5 | 2352 | -0.39 | 0.1521 |
| 174.0 | 5050 | -0.89 | 0.7921 |
| 176.6 | 5956 | 1.71 | 2.9241 |
| 176.3 | 8665 | 1.41 | 1.9881 |
| 169.3 | 9562 | -5.59 | 31.2481 |
| 172.7 | 9447 | -2.19 | 4.7961 |
| 168.9 | 5486 | -5.99 | 35.8801 |
| 171.9 | 3188 | -2.99 | 8.9401 |
| 169.2 | 6252 | -5.69 | 32.3761 |
| 173.9 | 601 | -0.99 | 0.9801 |
| 174.1 | 3614 | -0.79 | 0.6241 |
| 183.0 | 2151 | 8.11 | 65.7721 |
| 173.2 | 8947 | -1.69 | 2.8561 |
| 171.3 | 1282 | -3.59 | 12.8881 |
| 170.5 | 4006 | -4.39 | 19.2721 |
| 181.8 | 7561 | 6.91 | 47.7481 |
| 177.6 | 9400 | 2.71 | 7.3441 |
| 171.5 | 4939 | -3.39 | 11.4921 |
| 171.1 | 9606 | -3.79 | 14.3641 |
| 176.8 | 197 | 1.91 | 3.6481 |
| 173.9 | 1216 | -0.99 | 0.9801 |
| 176.7 | 9776 | 1.81 | 3.2761 |
| 185.1 | 1217 | 10.21 | 104.2441 |
| 178.6 | 5545 | 3.71 | 13.7641 |
| 171.5 | 1073 | -3.39 | 11.4921 |
| 179.0 | 6604 | 4.11 | 16.8921 |
| 171.0 | 5142 | -3.89 | 15.1321 |
| 176.6 | 3841 | 1.71 | 2.9241 |
| 172.1 | 5497 | -2.79 | 7.7841 |
| 175.6 | 8324 | 0.71 | 0.5041 |
| 172.4 | 2101 | -2.49 | 6.2001 |
| 172.2 | 1083 | -2.69 | 7.2361 |
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| 173.4 | 2750 | -1.49 | 2.2201 |
| 177.3 | 9620 | 2.41 | 5.8081 |
| 175.3 | 6231 | 0.41 | 0.1681 |
| 173.9 | 228 | -0.99 | 0.9801 |
| 169.5 | 2041 | -5.39 | 29.0521 |
| 172.9 | 1593 | -1.99 | 3.9601 |
| 169.5 | 1198 | -5.39 | 29.0521 |
| 180.5 | 4099 | 5.61 | 31.4721 |
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| 176.4 | 6282 | 1.51 | 2.2801 |
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| 176.4 | 7013 | 1.51 | 2.2801 |
| 174.0 | 6086 | -0.89 | 0.7921 |
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| 174.5 | 8900 | -0.39 | 0.1521 |
| 170.7 | 1499 | -4.19 | 17.5561 |
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| 181.5 | 3159 | 6.61 | 43.6921 |
| 174.4 | 2544 | -0.49 | 0.2401 |
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| 170.1 | 8919 | -4.79 | 22.9441 |
| 173.8 | 27 | -1.09 | 1.1881 |
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| 173.8 | 7068 | -1.09 | 1.1881 |
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| 178.7 | 9533 | 3.81 | 14.5161 |
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| 171.8 | 5485 | -3.09 | 9.5481 |
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| 175.2 | 2541 | 0.31 | 0.0961 |
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| 177.7 | 3409 | 2.81 | 7.8961 |
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| 179.8 | 3530 | 4.91 | 24.1081 |
| 174.1 | 1020 | -0.79 | 0.6241 |
| 182.2 | 1236 | 7.31 | 53.4361 |
| 176.3 | 1535 | 1.41 | 1.9881 |
| 174.9 | 1616 | 0.01 | 0.0001 |
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| 174.5 | 3666 | -0.39 | 0.1521 |
| 179.4 | 938 | 4.51 | 20.3401 |
| 172.2 | 7325 | -2.69 | 7.2361 |
| 171.6 | 5538 | -3.29 | 10.8241 |
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| 187.3 | 900 | 12.41 | 154.0081 |
| 173.2 | 236 | -1.69 | 2.8561 |
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| 173.9 | 3732 | -0.99 | 0.9801 |
| 178.9 | 4787 | 4.01 | 16.0801 |
| 177.7 | 4391 | 2.81 | 7.8961 |
| 173.1 | 2569 | -1.79 | 3.2041 |
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| 180.8 | 959 | 5.91 | 34.9281 |
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| 173.7 | 6841 | -1.19 | 1.4161 |
| 170.1 | 9987 | -4.79 | 22.9441 |
| 170.1 | 5786 | -4.79 | 22.9441 |
| 178.5 | 4153 | 3.61 | 13.0321 |
| 171.3 | 7893 | -3.59 | 12.8881 |
| 175.2 | 1256 | 0.31 | 0.0961 |
| 180.7 | 4899 | 5.81 | 33.7561 |
| 167.6 | 7778 | -7.29 | 53.1441 |
| 181.3 | 4905 | 6.41 | 41.0881 |
| 167.4 | 348 | -7.49 | 56.1001 |
| 174.3 | 8586 | -0.59 | 0.3481 |
| 177.8 | 2912 | 2.91 | 8.4681 |
| 173.2 | 9550 | -1.69 | 2.8561 |
| 180.8 | 5185 | 5.91 | 34.9281 |
| 181.5 | 3662 | 6.61 | 43.6921 |
| 175.6 | 1919 | 0.71 | 0.5041 |
| 176.8 | 8250 | 1.91 | 3.6481 |
| 169.9 | 7925 | -4.99 | 24.9001 |
| 171.0 | 8672 | -3.89 | 15.1321 |
| 174.8 | 9195 | -0.09 | 0.0081 |
| 171.8 | 4607 | -3.09 | 9.5481 |
| 170.3 | 6302 | -4.59 | 21.0681 |
| 173.7 | 2419 | -1.19 | 1.4161 |
| 176.9 | 757 | 2.01 | 4.0401 |
| 179.9 | 4450 | 5.01 | 25.1001 |
| 183.6 | 6115 | 8.71 | 75.8641 |
| 172.7 | 2732 | -2.19 | 4.7961 |
| 181.2 | 7714 | 6.31 | 39.8161 |
| 172.9 | 8187 | -1.99 | 3.9601 |
| 177.7 | 9818 | 2.81 | 7.8961 |
| 170.7 | 816 | -4.19 | 17.5561 |
| 166.4 | 530 | -8.49 | 72.0801 |
| 167.5 | 5270 | -7.39 | 54.6121 |
| 181.7 | 8753 | 6.81 | 46.3761 |
| 176.7 | 2772 | 1.81 | 3.2761 |
| 172.7 | 8222 | -2.19 | 4.7961 |
| 173.3 | 7752 | -1.59 | 2.5281 |
| 171.6 | 7091 | -3.29 | 10.8241 |
| 177.8 | 9135 | 2.91 | 8.4681 |
| 173.7 | 7641 | -1.19 | 1.4161 |
| 174.4 | 1540 | -0.49 | 0.2401 |
| 177.6 | 6044 | 2.71 | 7.3441 |
| 163.5 | 1065 | -11.39 | 129.7321 |
| 175.3 | 5473 | 0.41 | 0.1681 |
| 165.6 | 2758 | -9.29 | 86.3041 |
| 168.0 | 910 | -6.89 | 47.4721 |
| 178.6 | 4745 | 3.71 | 13.7641 |
| 173.1 | 6236 | -1.79 | 3.2041 |
| 171.5 | 415 | -3.39 | 11.4921 |
| 178.7 | 9886 | 3.81 | 14.5161 |
| 173.2 | 454 | -1.69 | 2.8561 |
| 170.4 | 9814 | -4.49 | 20.1601 |
| 170.6 | 4593 | -4.29 | 18.4041 |
| 172.7 | 6411 | -2.19 | 4.7961 |
| 176.3 | 4041 | 1.41 | 1.9881 |
| 179.5 | 9067 | 4.61 | 21.2521 |
| 174.6 | 7827 | -0.29 | 0.0841 |
| 182.6 | 8097 | 7.71 | 59.4441 |
| 171.2 | 3435 | -3.69 | 13.6161 |
| 172.8 | 1778 | -2.09 | 4.3681 |
| 169.3 | 4321 | -5.59 | 31.2481 |
| 176.9 | 4919 | 2.01 | 4.0401 |
| 173.0 | 4642 | -1.89 | 3.5721 |
| 184.6 | 1765 | 9.71 | 94.2841 |
| 164.9 | 6967 | -9.99 | 99.8001 |
| 174.0 | 5010 | -0.89 | 0.7921 |
| 172.9 | 3900 | -1.99 | 3.9601 |
| 176.6 | 3023 | 1.71 | 2.9241 |
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| 175.9 | 8202 | 1.01 | 1.0201 |
| 172.4 | 1991 | -2.49 | 6.2001 |
| 170.7 | 2904 | -4.19 | 17.5561 |
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| 178.9 | 8255 | 4.01 | 16.0801 |
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| 179.0 | 8681 | 4.11 | 16.8921 |
| 177.3 | 35 | 2.41 | 5.8081 |
| 174.7 | 6403 | -0.19 | 0.0361 |
| 166.0 | 4297 | -8.89 | 79.0321 |
| 180.9 | 7104 | 6.01 | 36.1201 |
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| 176.3 | 9005 | 1.41 | 1.9881 |
| 170.8 | 3163 | -4.09 | 16.7281 |
| 174.3 | 3869 | -0.59 | 0.3481 |
| 176.2 | 487 | 1.31 | 1.7161 |
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| 178.8 | 4578 | 3.91 | 15.2881 |
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| 170.2 | 1457 | -4.69 | 21.9961 |
| 188.7 | 9866 | 13.81 | 190.7161 |
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| 170.8 | 5578 | -4.09 | 16.7281 |
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| 172.6 | 3178 | -2.29 | 5.2441 |
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| 178.7 | 8884 | 3.81 | 14.5161 |
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| 176.9 | 8137 | 2.01 | 4.0401 |
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| 170.1 | 7459 | -4.79 | 22.9441 |
| 171.4 | 1505 | -3.49 | 12.1801 |
| 171.2 | 4796 | -3.69 | 13.6161 |
| 175.1 | 1829 | 0.21 | 0.0441 |
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| 174.0 | 9304 | -0.89 | 0.7921 |
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| 176.3 | 2966 | 1.41 | 1.9881 |
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| 169.6 | 1789 | -5.29 | 27.9841 |
| 173.7 | 1714 | -1.19 | 1.4161 |
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| 167.4 | 8345 | -7.49 | 56.1001 |
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| 175.2 | 9277 | 0.31 | 0.0961 |
| 167.3 | 3931 | -7.59 | 57.6081 |
| 173.7 | 9998 | -1.19 | 1.4161 |
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| 171.5 | 8087 | -3.39 | 11.4921 |
| 177.8 | 7754 | 2.91 | 8.4681 |
| 167.6 | 7061 | -7.29 | 53.1441 |
| 177.7 | 4166 | 2.81 | 7.8961 |
| 168.0 | 7092 | -6.89 | 47.4721 |
| 169.2 | 4508 | -5.69 | 32.3761 |
| 177.4 | 2824 | 2.51 | 6.3001 |
| 173.0 | 3743 | -1.89 | 3.5721 |
| 172.2 | 2341 | -2.69 | 7.2361 |
| 177.4 | 6458 | 2.51 | 6.3001 |
| 171.8 | 5459 | -3.09 | 9.5481 |
| 160.6 | 2644 | -14.29 | 204.2041 |
| 179.8 | 2059 | 4.91 | 24.1081 |
| 178.4 | 1883 | 3.51 | 12.3201 |
| 170.3 | 3825 | -4.59 | 21.0681 |
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| 178.0 | 6303 | 3.11 | 9.6721 |
| 183.5 | 2228 | 8.61 | 74.1321 |
| 174.6 | 9951 | -0.29 | 0.0841 |
| 179.8 | 8381 | 4.91 | 24.1081 |
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| 174.9 | 3582 | 0.01 | 0.0001 |
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| 178.2 | 4732 | 3.31 | 10.9561 |
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| 165.3 | 5839 | -9.59 | 91.9681 |
| 176.9 | 855 | 2.01 | 4.0401 |
| 174.0 | 8064 | -0.89 | 0.7921 |
| 181.2 | 9819 | 6.31 | 39.8161 |
| 174.8 | 2362 | -0.09 | 0.0081 |
| 176.3 | 9871 | 1.41 | 1.9881 |
| 176.1 | 5392 | 1.21 | 1.4641 |
| 177.9 | 6218 | 3.01 | 9.0601 |
| 179.5 | 983 | 4.61 | 21.2521 |
| 177.0 | 7414 | 2.11 | 4.4521 |
| 183.1 | 6409 | 8.21 | 67.4041 |
| 171.2 | 5790 | -3.69 | 13.6161 |
| 177.7 | 3166 | 2.81 | 7.8961 |
| 166.0 | 201 | -8.89 | 79.0321 |
| 171.3 | 293 | -3.59 | 12.8881 |
| 170.2 | 3428 | -4.69 | 21.9961 |
| 178.6 | 8678 | 3.71 | 13.7641 |
| 172.5 | 3682 | -2.39 | 5.7121 |
| 178.0 | 3139 | 3.11 | 9.6721 |
| 169.0 | 3570 | -5.89 | 34.6921 |
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| 184.3 | 6488 | 9.41 | 88.5481 |
| 173.2 | 2034 | -1.69 | 2.8561 |
| 170.0 | 6347 | -4.89 | 23.9121 |
| 176.1 | 4104 | 1.21 | 1.4641 |
| 180.7 | 5173 | 5.81 | 33.7561 |
| 173.7 | 7060 | -1.19 | 1.4161 |
| 172.8 | 9986 | -2.09 | 4.3681 |
| 173.7 | 7926 | -1.19 | 1.4161 |
| 164.3 | 5053 | -10.59 | 112.1481 |
| 180.6 | 3223 | 5.71 | 32.6041 |
| 173.5 | 1848 | -1.39 | 1.9321 |
| 165.2 | 417 | -9.69 | 93.8961 |
| 171.1 | 444 | -3.79 | 14.3641 |
| 177.6 | 5240 | 2.71 | 7.3441 |
| 167.4 | 1555 | -7.49 | 56.1001 |
| 165.5 | 9040 | -9.39 | 88.1721 |
| 175.1 | 5364 | 0.21 | 0.0441 |
| 175.7 | 6578 | 0.81 | 0.6561 |
| 174.5 | 6005 | -0.39 | 0.1521 |
| 167.0 | 1482 | -7.89 | 62.2521 |
| 172.6 | 1014 | -2.29 | 5.2441 |
| 179.3 | 5197 | 4.41 | 19.4481 |
| 163.5 | 3180 | -11.39 | 129.7321 |
| 169.4 | 309 | -5.49 | 30.1401 |
| 187.2 | 118 | 12.31 | 151.5361 |
| 170.2 | 5415 | -4.69 | 21.9961 |
| 173.7 | 3772 | -1.19 | 1.4161 |
| 176.7 | 2725 | 1.81 | 3.2761 |
| 171.9 | 3251 | -2.99 | 8.9401 |
| 171.6 | 4661 | -3.29 | 10.8241 |
| 170.5 | 9391 | -4.39 | 19.2721 |
| 172.8 | 6205 | -2.09 | 4.3681 |
| 174.2 | 6645 | -0.69 | 0.4761 |
| 179.4 | 262 | 4.51 | 20.3401 |
| 175.4 | 5018 | 0.51 | 0.2601 |
| 175.4 | 6713 | 0.51 | 0.2601 |
| 172.8 | 2556 | -2.09 | 4.3681 |
| 173.5 | 7507 | -1.39 | 1.9321 |
| 172.2 | 2174 | -2.69 | 7.2361 |
| 172.7 | 696 | -2.19 | 4.7961 |
| 182.7 | 9430 | 7.81 | 60.9961 |
| 178.4 | 8595 | 3.51 | 12.3201 |
| 174.0 | 3573 | -0.89 | 0.7921 |
| 172.5 | 9352 | -2.39 | 5.7121 |
| 177.4 | 5753 | 2.51 | 6.3001 |
| 179.3 | 1330 | 4.41 | 19.4481 |
| 174.5 | 84 | -0.39 | 0.1521 |
| 177.8 | 3086 | 2.91 | 8.4681 |
| 174.1 | 8802 | -0.79 | 0.6241 |
| 180.2 | 6497 | 5.31 | 28.1961 |
| 171.5 | 7158 | -3.39 | 11.4921 |
| 176.0 | 7598 | 1.11 | 1.2321 |
| 177.7 | 3335 | 2.81 | 7.8961 |
| 177.0 | 5158 | 2.11 | 4.4521 |
| 178.2 | 8812 | 3.31 | 10.9561 |
| 177.5 | 8138 | 2.61 | 6.8121 |
| 170.0 | 4377 | -4.89 | 23.9121 |
| 179.5 | 1438 | 4.61 | 21.2521 |
| 171.7 | 5019 | -3.19 | 10.1761 |
| 163.1 | 8851 | -11.79 | 139.0041 |
| 175.5 | 5290 | 0.61 | 0.3721 |
| 176.6 | 6461 | 1.71 | 2.9241 |
| 172.3 | 5321 | -2.59 | 6.7081 |
| 170.5 | 406 | -4.39 | 19.2721 |
| 175.7 | 1115 | 0.81 | 0.6561 |
| 172.4 | 1608 | -2.49 | 6.2001 |
| 178.4 | 1399 | 3.51 | 12.3201 |
| 171.2 | 1040 | -3.69 | 13.6161 |
| 176.7 | 1096 | 1.81 | 3.2761 |
| 172.8 | 5783 | -2.09 | 4.3681 |
| 168.0 | 6864 | -6.89 | 47.4721 |
| 176.8 | 7157 | 1.91 | 3.6481 |
| 171.9 | 5469 | -2.99 | 8.9401 |
| 169.7 | 4281 | -5.19 | 26.9361 |
| 168.4 | 586 | -6.49 | 42.1201 |
| 159.8 | 980 | -15.09 | 227.7081 |
| 175.8 | 896 | 0.91 | 0.8281 |
| 178.1 | 1170 | 3.21 | 10.3041 |
| 171.0 | 3784 | -3.89 | 15.1321 |
| 176.7 | 7269 | 1.81 | 3.2761 |
| 177.2 | 7319 | 2.31 | 5.3361 |
| 173.1 | 4346 | -1.79 | 3.2041 |
| 180.5 | 9389 | 5.61 | 31.4721 |
| 177.3 | 6903 | 2.41 | 5.8081 |
| 175.3 | 2529 | 0.41 | 0.1681 |
| 179.1 | 2975 | 4.21 | 17.7241 |
| 178.8 | 7132 | 3.91 | 15.2881 |
| 182.9 | 6326 | 8.01 | 64.1601 |
| 177.8 | 73 | 2.91 | 8.4681 |
| 176.2 | 4897 | 1.31 | 1.7161 |
| 178.6 | 6033 | 3.71 | 13.7641 |
| 181.1 | 8582 | 6.21 | 38.5641 |
| 173.7 | 1747 | -1.19 | 1.4161 |
| 169.9 | 3745 | -4.99 | 24.9001 |
| 177.0 | 8843 | 2.11 | 4.4521 |
| 174.2 | 4416 | -0.69 | 0.4761 |
| 181.8 | 2139 | 6.91 | 47.7481 |
| 172.7 | 7219 | -2.19 | 4.7961 |
| 179.2 | 4533 | 4.31 | 18.5761 |
| 169.9 | 7255 | -4.99 | 24.9001 |
| 173.9 | 7989 | -0.99 | 0.9801 |
| 175.0 | 7379 | 0.11 | 0.0121 |
| 172.3 | 1327 | -2.59 | 6.7081 |
| 170.9 | 5409 | -3.99 | 15.9201 |
| 175.6 | 5528 | 0.71 | 0.5041 |
| 180.8 | 3656 | 5.91 | 34.9281 |
| 176.7 | 1378 | 1.81 | 3.2761 |
| 169.0 | 929 | -5.89 | 34.6921 |
| 170.1 | 1758 | -4.79 | 22.9441 |
| 169.5 | 9384 | -5.39 | 29.0521 |
| 180.4 | 101 | 5.51 | 30.3601 |
| 178.0 | 4351 | 3.11 | 9.6721 |
| 184.3 | 7595 | 9.41 | 88.5481 |
| 175.9 | 3291 | 1.01 | 1.0201 |
| 182.1 | 4785 | 7.21 | 51.9841 |
| 177.5 | 8017 | 2.61 | 6.8121 |
| 173.6 | 825 | -1.29 | 1.6641 |
| 169.9 | 6528 | -4.99 | 24.9001 |
| 176.7 | 7417 | 1.81 | 3.2761 |
| 179.7 | 2843 | 4.81 | 23.1361 |
| 168.6 | 8659 | -6.29 | 39.5641 |
| 175.4 | 9641 | 0.51 | 0.2601 |
| 175.8 | 6001 | 0.91 | 0.8281 |
| 176.6 | 1697 | 1.71 | 2.9241 |
| 167.2 | 2990 | -7.69 | 59.1361 |
| 173.5 | 1479 | -1.39 | 1.9321 |
| 175.5 | 7912 | 0.61 | 0.3721 |
| 176.6 | 4132 | 1.71 | 2.9241 |
| 173.2 | 3769 | -1.69 | 2.8561 |
| 171.8 | 6740 | -3.09 | 9.5481 |
| 175.7 | 1239 | 0.81 | 0.6561 |
| 174.8 | 7955 | -0.09 | 0.0081 |
| 168.6 | 4783 | -6.29 | 39.5641 |
| 172.9 | 8441 | -1.99 | 3.9601 |
| 178.2 | 6082 | 3.31 | 10.9561 |
| 179.8 | 7270 | 4.91 | 24.1081 |
| 175.1 | 7102 | 0.21 | 0.0441 |
| 174.2 | 6759 | -0.69 | 0.4761 |
| 172.8 | 9483 | -2.09 | 4.3681 |
| 173.9 | 8557 | -0.99 | 0.9801 |
| 177.4 | 9784 | 2.51 | 6.3001 |
| 174.7 | 9333 | -0.19 | 0.0361 |
| 172.3 | 1458 | -2.59 | 6.7081 |
| 174.9 | 3690 | 0.01 | 0.0001 |
| 169.7 | 7575 | -5.19 | 26.9361 |
| 175.4 | 8333 | 0.51 | 0.2601 |
| 167.9 | 360 | -6.99 | 48.8601 |
| 176.7 | 6772 | 1.81 | 3.2761 |
| 169.3 | 3749 | -5.59 | 31.2481 |
| 168.2 | 1361 | -6.69 | 44.7561 |
| 177.8 | 5769 | 2.91 | 8.4681 |
| 172.3 | 424 | -2.59 | 6.7081 |
| 174.1 | 5523 | -0.79 | 0.6241 |
| 190.0 | 9920 | 15.11 | 228.3121 |
| 178.3 | 353 | 3.41 | 11.6281 |
| 176.8 | 1420 | 1.91 | 3.6481 |
| 175.8 | 1133 | 0.91 | 0.8281 |
| 174.5 | 9146 | -0.39 | 0.1521 |
| 167.8 | 4133 | -7.09 | 50.2681 |
| 177.5 | 2455 | 2.61 | 6.8121 |
| 175.2 | 795 | 0.31 | 0.0961 |
| 172.0 | 5023 | -2.89 | 8.3521 |
| 177.4 | 9230 | 2.51 | 6.3001 |
| 166.9 | 9727 | -7.99 | 63.8401 |
| 168.7 | 9539 | -6.19 | 38.3161 |
| 164.1 | 3534 | -10.79 | 116.4241 |
| 181.0 | 1678 | 6.11 | 37.3321 |
| 171.9 | 7646 | -2.99 | 8.9401 |
| 181.4 | 4546 | 6.51 | 42.3801 |
| 175.1 | 2229 | 0.21 | 0.0441 |
| 177.9 | 746 | 3.01 | 9.0601 |
| 177.0 | 7491 | 2.11 | 4.4521 |
| 171.6 | 312 | -3.29 | 10.8241 |
| 172.1 | 7580 | -2.79 | 7.7841 |
| 168.9 | 6620 | -5.99 | 35.8801 |
| 168.6 | 4288 | -6.29 | 39.5641 |
| 173.2 | 9717 | -1.69 | 2.8561 |
| 186.0 | 9774 | 11.11 | 123.4321 |
| 173.2 | 2998 | -1.69 | 2.8561 |
| 176.0 | 3026 | 1.11 | 1.2321 |
| 174.2 | 1417 | -0.69 | 0.4761 |
| 166.6 | 4221 | -8.29 | 68.7241 |
| 182.4 | 5448 | 7.51 | 56.4001 |
| 177.1 | 3848 | 2.21 | 4.8841 |
| 177.0 | 8395 | 2.11 | 4.4521 |
| 177.0 | 1200 | 2.11 | 4.4521 |
| 175.3 | 1986 | 0.41 | 0.1681 |
| 173.2 | 5721 | -1.69 | 2.8561 |
| 170.9 | 4462 | -3.99 | 15.9201 |
| 174.3 | 8224 | -0.59 | 0.3481 |
| 180.5 | 8804 | 5.61 | 31.4721 |
| 176.4 | 4656 | 1.51 | 2.2801 |
| 175.7 | 9657 | 0.81 | 0.6561 |
| 178.9 | 3818 | 4.01 | 16.0801 |
| 164.0 | 19 | -10.89 | 118.5921 |
| 172.8 | 7127 | -2.09 | 4.3681 |
| 173.4 | 7542 | -1.49 | 2.2201 |
| 179.2 | 1844 | 4.31 | 18.5761 |
| 170.3 | 1851 | -4.59 | 21.0681 |
| 178.9 | 298 | 4.01 | 16.0801 |
| 174.9 | 7872 | 0.01 | 0.0001 |
| 167.7 | 2949 | -7.19 | 51.6961 |
| 180.6 | 8149 | 5.71 | 32.6041 |
| 172.8 | 4538 | -2.09 | 4.3681 |
| 176.5 | 6711 | 1.61 | 2.5921 |
| 177.2 | 4206 | 2.31 | 5.3361 |
| 173.1 | 9650 | -1.79 | 3.2041 |
| 164.3 | 5212 | -10.59 | 112.1481 |
| 169.2 | 1274 | -5.69 | 32.3761 |
| 175.2 | 216 | 0.31 | 0.0961 |
| 172.8 | 716 | -2.09 | 4.3681 |
| 172.6 | 7450 | -2.29 | 5.2441 |
| 175.7 | 2406 | 0.81 | 0.6561 |
| 169.2 | 2977 | -5.69 | 32.3761 |
| 175.1 | 1372 | 0.21 | 0.0441 |
| 179.9 | 3693 | 5.01 | 25.1001 |
| 174.3 | 297 | -0.59 | 0.3481 |
| 174.4 | 1036 | -0.49 | 0.2401 |
| 172.1 | 5639 | -2.79 | 7.7841 |
| 179.5 | 5638 | 4.61 | 21.2521 |
| 171.8 | 3219 | -3.09 | 9.5481 |
| 172.1 | 8434 | -2.79 | 7.7841 |
| 176.6 | 9026 | 1.71 | 2.9241 |
| 172.3 | 4936 | -2.59 | 6.7081 |
| 175.4 | 1953 | 0.51 | 0.2601 |
| 178.2 | 8494 | 3.31 | 10.9561 |
| 167.3 | 5758 | -7.59 | 57.6081 |
| 173.9 | 6150 | -0.99 | 0.9801 |
| 180.9 | 467 | 6.01 | 36.1201 |
| 175.7 | 5796 | 0.81 | 0.6561 |
| 174.3 | 3605 | -0.59 | 0.3481 |
| 180.4 | 897 | 5.51 | 30.3601 |
| 170.0 | 4797 | -4.89 | 23.9121 |
| 169.6 | 527 | -5.29 | 27.9841 |
| 180.5 | 1754 | 5.61 | 31.4721 |
| 173.1 | 2715 | -1.79 | 3.2041 |
| 170.0 | 7801 | -4.89 | 23.9121 |
| 181.1 | 350 | 6.21 | 38.5641 |
| 174.4 | 1502 | -0.49 | 0.2401 |
| 169.6 | 233 | -5.29 | 27.9841 |
| 182.5 | 8184 | 7.61 | 57.9121 |
| 177.0 | 3262 | 2.11 | 4.4521 |
| 174.8 | 1382 | -0.09 | 0.0081 |
| 171.1 | 939 | -3.79 | 14.3641 |
| 177.5 | 1222 | 2.61 | 6.8121 |
| 174.8 | 2448 | -0.09 | 0.0081 |
| 169.5 | 9235 | -5.39 | 29.0521 |
| 174.0 | 9678 | -0.89 | 0.7921 |
| 180.8 | 6311 | 5.91 | 34.9281 |
| 173.7 | 1454 | -1.19 | 1.4161 |
| 173.6 | 8047 | -1.29 | 1.6641 |
| 183.8 | 8495 | 8.91 | 79.3881 |
| 173.9 | 8938 | -0.99 | 0.9801 |
| 168.7 | 7346 | -6.19 | 38.3161 |
| 165.7 | 5087 | -9.19 | 84.4561 |
| 176.1 | 239 | 1.21 | 1.4641 |
| 173.7 | 1012 | -1.19 | 1.4161 |
| 170.1 | 4695 | -4.79 | 22.9441 |
| 168.9 | 119 | -5.99 | 35.8801 |
| 175.3 | 9395 | 0.41 | 0.1681 |
| 166.5 | 8707 | -8.39 | 70.3921 |
| 172.0 | 9137 | -2.89 | 8.3521 |
| 169.7 | 1301 | -5.19 | 26.9361 |
| 171.3 | 9795 | -3.59 | 12.8881 |
| 173.7 | 7839 | -1.19 | 1.4161 |
| 177.9 | 6970 | 3.01 | 9.0601 |
| 181.0 | 5833 | 6.11 | 37.3321 |
| 173.3 | 6251 | -1.59 | 2.5281 |
| 173.5 | 9237 | -1.39 | 1.9321 |
| 172.3 | 1006 | -2.59 | 6.7081 |
| 178.8 | 9356 | 3.91 | 15.2881 |
| 176.0 | 6469 | 1.11 | 1.2321 |
| 179.9 | 7600 | 5.01 | 25.1001 |
| 172.1 | 8702 | -2.79 | 7.7841 |
| 176.8 | 5285 | 1.91 | 3.6481 |
| 184.3 | 2854 | 9.41 | 88.5481 |
| 171.1 | 8085 | -3.79 | 14.3641 |
Fazer essas contas todas na mão seria trabalhoso não é? O que importa é saber como fazer, e de resto deixar pro computador trabalhar por você!
Calculamos o quadrado da diferença entre altura e média, agora é só somar tudo e dividir por n mais uma vez, resultando em 20.16. Isso quer dizer que, em média, a altura varia em torno da média \(20cm^2\). Note que eu usei centímetros quadrados para me referir a variância, mas isso não nos dá muita interpretabilidade não é mesmo? Pra isso, podemos usar o desvio padrão, que é uma medida de variação mais fácil de interpretar e com um cálculo bem simples:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Sim, basta fazer a raiz quadrada da variância que teremos o desvio padrão! Nesse caso, o desvio padrão dos dados é de 4.49cm. Ou seja, em nossa amostra, os homens se concentram mais no intervalo de 170cm e 178cm de altura!
A estimativa de média amostral é um bom estimador pra média populacional? No caso da altura, um erro tão pequeno de 1cm não parece muito grave não é mesmo?
Agora quero demonstrar uma variação do que pode ser alvançado com a estatística: se amostrássemos repetidas vezes a população, o que cada amostra nos diria sobre o valor populacional?
Aquele mesmo processo que fiz para selecionar aleatoriamente 1000 homens adultos é chamado de amostragem, lembra? Vou fazer esse mesmo processo 10.000 vezes e calcular a média de cada uma dessas amostras (o motivo de eu fazer isso é bem legal). O resultado de cada uma dessas vezes é o seguinte:
set.seed(42)
medias <- data.table(media_estimada = replicate(10000, mean(sample(dataset$altura, size = 1000))))
medias %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| media_estimada |
|---|
| 174.7004 |
| 175.1594 |
| 174.8865 |
| 174.8795 |
| 174.8147 |
| 174.8043 |
| 174.7831 |
| 174.9779 |
| 175.0944 |
| 174.9438 |
| 175.2417 |
| 175.0846 |
| 175.0090 |
| 175.1881 |
| 175.1072 |
| 174.7834 |
| 175.0330 |
| 174.5701 |
| 175.0400 |
| 174.9601 |
| 174.9198 |
| 174.9043 |
| 175.0276 |
| 174.9857 |
| 175.0658 |
| 174.7204 |
| 174.9553 |
| 175.0435 |
| 174.9794 |
| 174.9525 |
| 175.0422 |
| 175.0545 |
| 174.9212 |
| 174.7531 |
| 174.9990 |
| 174.9380 |
| 175.1529 |
| 174.8973 |
| 174.7242 |
| 174.9797 |
| 174.9157 |
| 174.7084 |
| 174.9303 |
| 174.8431 |
| 175.2170 |
| 174.8657 |
| 174.8567 |
| 175.1662 |
| 174.7771 |
| 174.8932 |
| 175.0901 |
| 174.8557 |
| 174.9318 |
| 175.0516 |
| 175.2717 |
| 174.9404 |
| 174.9234 |
| 175.0188 |
| 174.9400 |
| 174.9962 |
| 174.7305 |
| 174.9417 |
| 175.1380 |
| 174.7901 |
| 174.9168 |
| 174.8437 |
| 174.9479 |
| 174.8604 |
| 174.9981 |
| 175.0277 |
| 175.1804 |
| 174.8283 |
| 175.1846 |
| 175.0182 |
| 175.1227 |
| 174.7483 |
| 174.7316 |
| 175.0687 |
| 175.0751 |
| 174.7806 |
| 175.0052 |
| 174.8638 |
| 175.2509 |
| 175.2369 |
| 175.0119 |
| 174.9817 |
| 175.0110 |
| 175.0967 |
| 175.0328 |
| 174.9315 |
| 175.1542 |
| 175.1898 |
| 175.0178 |
| 175.0972 |
| 174.8416 |
| 175.0659 |
| 175.0624 |
| 174.8953 |
| 174.8528 |
| 175.1925 |
| 174.8774 |
| 175.1103 |
| 174.9829 |
| 174.9831 |
| 175.2915 |
| 175.0420 |
| 174.9614 |
| 175.2133 |
| 174.8502 |
| 175.1348 |
| 175.0203 |
| 174.8332 |
| 175.0512 |
| 174.7133 |
| 175.0092 |
| 174.8967 |
| 175.0007 |
| 175.0570 |
| 174.9943 |
| 174.5988 |
| 175.0415 |
| 175.0833 |
| 175.0377 |
| 175.0149 |
| 174.8431 |
| 174.6611 |
| 174.8545 |
| 175.0301 |
| 174.9848 |
| 175.0445 |
| 174.8246 |
| 175.1040 |
| 174.8306 |
| 175.0756 |
| 174.7977 |
| 174.9554 |
| 174.8476 |
| 175.0297 |
| 174.8380 |
| 174.9965 |
| 174.8553 |
| 175.1100 |
| 175.2186 |
| 174.9504 |
| 175.2446 |
| 175.3212 |
| 175.0956 |
| 175.1348 |
| 174.9499 |
| 174.8125 |
| 174.7166 |
| 174.9626 |
| 174.7475 |
| 175.0489 |
| 175.0365 |
| 174.9966 |
| 175.1277 |
| 174.7933 |
| 174.7237 |
| 175.1154 |
| 174.8880 |
| 174.8272 |
| 174.9495 |
| 174.7800 |
| 174.8101 |
| 174.9329 |
| 175.1846 |
| 174.9455 |
| 175.0376 |
| 175.0711 |
| 174.9208 |
| 174.9402 |
| 175.1520 |
| 175.1038 |
| 174.9469 |
| 174.9736 |
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| 174.9269 |
| 174.9587 |
| 175.0339 |
| 174.8565 |
| 174.9241 |
| 175.0794 |
| 175.2330 |
| 175.0520 |
| 174.8290 |
| 174.9396 |
| 174.9073 |
| 174.8420 |
| 174.9078 |
| 174.8321 |
| 175.0470 |
| 174.9168 |
| 174.7237 |
| 175.0705 |
| 174.9739 |
| 175.0746 |
| 174.9671 |
| 175.0618 |
| 175.0533 |
| 174.8640 |
| 174.8188 |
| 174.9593 |
| 174.8376 |
| 175.2293 |
| 174.9210 |
| 175.0298 |
| 175.0790 |
| 174.9122 |
| 175.0519 |
| 174.9721 |
| 174.9601 |
| 174.9004 |
| 174.9853 |
| 174.9865 |
| 174.8098 |
| 174.9301 |
| 174.9709 |
| 174.9914 |
| 175.0151 |
| 175.0692 |
| 174.8090 |
| 175.0994 |
| 174.9438 |
| 175.1560 |
| 174.8667 |
| 175.2223 |
| 174.8996 |
| 174.5911 |
| 175.1046 |
| 174.9956 |
| 174.9551 |
| 174.9817 |
| 174.9615 |
| 174.7197 |
| 174.9771 |
| 174.9922 |
| 174.8403 |
| 174.9806 |
| 174.9504 |
| 175.0227 |
| 174.9904 |
| 174.8538 |
| 175.0390 |
| 174.8798 |
| 174.9120 |
| 174.8462 |
| 174.9737 |
| 175.0152 |
| 175.1170 |
| 174.8127 |
| 174.9914 |
| 175.0271 |
| 175.0031 |
| 175.0762 |
| 175.1683 |
| 174.9979 |
| 175.0386 |
| 174.9579 |
| 174.8915 |
| 174.9239 |
| 174.8411 |
| 174.9710 |
| 174.6914 |
| 175.2175 |
| 174.9559 |
| 174.9461 |
| 174.6131 |
| 174.9102 |
| 175.2178 |
| 174.8297 |
| 174.9321 |
| 175.0248 |
| 174.9601 |
| 174.9867 |
| 175.0792 |
| 174.8271 |
| 174.9982 |
| 174.8029 |
| 175.0456 |
| 175.0748 |
| 174.7688 |
| 174.6852 |
| 174.9479 |
| 174.7799 |
| 174.8337 |
| 175.0334 |
| 174.9221 |
| 174.8153 |
| 174.8617 |
| 174.9992 |
| 174.9793 |
| 174.8643 |
| 175.0085 |
| 175.0839 |
| 174.9060 |
| 174.9083 |
| 174.8612 |
| 174.8746 |
| 175.0619 |
| 174.9430 |
| 174.9490 |
| 174.9496 |
| 174.9384 |
| 175.0028 |
| 174.8151 |
| 174.8477 |
| 175.1031 |
| 174.9185 |
| 174.8741 |
| 175.0156 |
| 175.0972 |
| 175.1038 |
| 174.9863 |
| 174.8236 |
| 174.7352 |
| 174.9156 |
| 175.0600 |
| 175.2084 |
| 175.0162 |
| 174.8440 |
| 174.8815 |
| 174.6316 |
| 174.9875 |
| 174.9759 |
| 175.0538 |
| 175.0429 |
| 175.1537 |
| 174.9453 |
| 175.2399 |
| 175.1457 |
| 175.0523 |
| 174.9738 |
| 174.9128 |
| 174.9506 |
| 174.8768 |
| 175.1716 |
| 174.9801 |
| 174.7718 |
| 175.0467 |
| 175.0728 |
| 174.8926 |
| 174.9938 |
| 174.9321 |
| 175.0556 |
| 175.2939 |
| 175.2628 |
| 174.8868 |
| 174.9857 |
| 174.9099 |
| 175.0272 |
| 174.9910 |
| 174.7561 |
| 175.1619 |
| 174.8564 |
| 175.0612 |
| 175.0001 |
| 175.1516 |
| 175.1022 |
| 174.9428 |
| 174.9303 |
| 174.8309 |
| 174.8115 |
| 174.8948 |
| 174.9129 |
| 174.8663 |
| 174.9039 |
| 174.9112 |
| 175.0060 |
| 174.9513 |
| 175.2020 |
| 175.1562 |
| 175.1282 |
| 175.1117 |
| 175.0360 |
| 174.8351 |
| 174.9436 |
| 174.9018 |
| 174.9421 |
| 175.1308 |
| 174.9822 |
| 175.1270 |
| 174.7842 |
| 174.9759 |
| 174.9414 |
| 175.1484 |
| 174.8975 |
| 175.0285 |
| 174.7386 |
| 174.9341 |
| 175.0768 |
| 175.0325 |
| 175.0747 |
| 175.0411 |
| 174.7363 |
| 174.9740 |
| 174.9224 |
| 174.8096 |
| 174.6156 |
| 174.9063 |
| 174.9700 |
| 175.0090 |
| 174.9231 |
| 174.8243 |
| 175.2176 |
| 174.8606 |
| 174.7629 |
| 175.0843 |
| 174.9980 |
| 174.9212 |
| 174.7499 |
| 175.2456 |
| 175.0062 |
| 175.1999 |
| 174.9112 |
| 175.0567 |
| 175.0264 |
| 174.8582 |
| 175.0143 |
| 175.1343 |
| 174.8886 |
| 174.9570 |
| 174.9556 |
| 175.0301 |
| 174.9940 |
| 175.0405 |
| 174.8735 |
| 175.1814 |
| 174.9864 |
| 174.9560 |
| 175.0672 |
| 174.8855 |
| 175.1304 |
| 174.8858 |
| 174.8135 |
| 174.9275 |
| 174.7696 |
| 175.2791 |
| 174.9145 |
| 174.9906 |
| 174.9308 |
| 174.9327 |
| 174.7980 |
| 174.8842 |
| 175.3144 |
| 174.8375 |
| 174.9277 |
| 174.9908 |
| 175.0164 |
| 174.9563 |
| 175.1191 |
| 175.0532 |
| 174.6803 |
| 175.0227 |
| 174.8785 |
| 174.9154 |
| 174.7921 |
| 174.9535 |
| 175.1421 |
| 175.0272 |
| 175.0757 |
| 174.9161 |
| 174.9382 |
| 174.9784 |
| 174.9225 |
| 175.0214 |
| 174.9250 |
| 175.0005 |
| 175.0757 |
| 175.0199 |
| 174.8485 |
| 175.0728 |
| 174.9085 |
| 174.7911 |
| 175.0800 |
| 175.0074 |
| 174.8667 |
| 174.9732 |
| 174.9323 |
| 174.9998 |
| 174.9676 |
| 174.9205 |
| 174.6260 |
| 175.0521 |
| 175.0291 |
| 174.7823 |
| 175.2367 |
| 175.1813 |
| 174.7862 |
| 174.9750 |
| 175.1257 |
| 174.9705 |
| 174.7403 |
| 174.9038 |
| 174.9337 |
| 174.7529 |
| 174.9401 |
| 174.8793 |
| 175.1025 |
| 174.8564 |
| 175.0286 |
| 174.8446 |
| 175.1295 |
| 174.9946 |
| 174.8637 |
| 175.0227 |
| 174.9119 |
| 174.8648 |
| 175.3241 |
| 174.8224 |
| 175.0466 |
| 175.0203 |
| 175.0239 |
| 174.9680 |
| 174.9646 |
| 175.1100 |
| 174.8360 |
| 175.1211 |
| 175.0227 |
| 174.8155 |
| 175.1320 |
| 174.9794 |
| 174.9029 |
| 174.8387 |
| 175.1193 |
| 175.1690 |
| 174.8956 |
| 175.0654 |
| 174.8469 |
| 175.1905 |
| 174.9777 |
| 174.5802 |
| 175.0341 |
| 174.9530 |
| 175.0726 |
| 174.9354 |
| 174.8283 |
| 174.9167 |
| 174.8922 |
| 175.1667 |
| 175.0885 |
| 174.8541 |
| 174.6433 |
| 174.8502 |
| 174.7077 |
| 174.8898 |
| 174.9818 |
| 174.9019 |
| 174.9837 |
| 175.1252 |
| 175.1512 |
| 175.0449 |
| 174.9832 |
| 174.7931 |
| 174.8025 |
| 174.9743 |
| 175.0278 |
| 174.8702 |
| 175.2119 |
| 175.0685 |
| 174.7890 |
| 175.0228 |
| 174.8165 |
| 174.9543 |
| 175.0068 |
| 175.0616 |
| 174.9432 |
| 174.9226 |
| 174.9870 |
| 175.0987 |
| 174.8018 |
| 174.8560 |
| 174.7936 |
| 174.9480 |
| 174.9376 |
| 175.0366 |
| 175.2440 |
| 174.9561 |
| 174.8051 |
| 174.8322 |
| 175.1456 |
| 174.8162 |
| 175.0964 |
Eu posso representar a distribuição de todos esses dados! A visualização seria a seguinte:
ggplot(medias, aes(media_estimada)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição da média estimada em cada amostra", x = "Valor médio de altura", y = "Vezes que essa média foi estimada") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Esse gráfico me permite introduzir precisamente o que venho falado ao longo do capítulo. Na ausência de conhecer tudo que é possível conhecer (no caso perguntar pra todos os moradores homens as suas alturas), podemos estimar um valor e dar uma confiança para nossa estimativa. Sem conhecer a população, você poderia afirmar com 100% de certeza que a média de altura é 1.75? Não! Mas a média é algo próximo a isso!
Se eu pegar o intervalo de 174.75 e 175.25 posso afirmar com 95% de certeza que a média está dentro desse intervalo! Existe uma forma que me permite calcular exatamente isso com apenas a primeira amostra! Essa estimativa se chama erro padrão da média, e pode ser calculado da forma:
\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} \]
Ora, temos todos os valores necessários para calcular isso! O desvio padrão da nossa amostra foi de 4.4879083, como selecionamos 1.000 homens, o tamanho da amostra é de 1.000. Então:
\[ SE = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{4.4879083}{\sqrt{1000}} = \frac{4.4879083}{31.62278} = 0.14 \]
Então o erro padrão da média é de aproximadamente 0.14, como a média é de 174.7004, podemos dizer que a média populacional está entre 174.5604 e 174.8404! (Nesse caso, ainda não introduzi incerteza, mas vamos devagar!)
Passei a seção inteira apresentando a premissa de como usar estatística para nosso objetivo com a econometria. Tradicionalmente, todo método econométrico (paramétrico), visa estimar um valor populacional, utilizando uma amostra como estimador do valor populacional. A média é uma medida muito simples de calcular, mas não é a única! Veremos a frente o que mais pode ser feito com uma amostra.
2.3 Variância, covariância e correlação
Nota: essa seção será muito baseada em vídeos de um canal que recomendo muito, o StatQuest. Já usei muitos vídeos desse canal pra estudar e entender de forma bem simples vários conceitos que são apresentados de forma complexa (rir pra não chorar!).
Observe que os três conceitos abordados nessa seção buscam responder uma simples pergunta: como os dados se relacionam entre si! Para isso, buscamos soluções relativamente simples e que são capazes de nos auxiliar em um diagnóstico inicial sobre a natureza do evento que buscamos explicar.
Na seção de Noções importantes de notação, eu optei por
não complicar muito em detalhes, mas agora sinto que somente preciso
adicionar uma coisa: quando temos dados populacionais,
calculamos os valores de média, variância, etc. No caso
de uma amostra, estimamos esses valores. É só uma
questão pequena de palavreado, mas faz toda diferença, e veremos o por
quê disso a frente.
2.3.1 Variância
Essa é uma medida de ponto (um número definido), que nos diz sobre o quão dispersos estão os dados em torno de uma média. Podemos calcular a variância populacional simplesmente da forma:
\[ var(X_i) = E[X_i - E(X_i)]^2 \]
Ou estimar uma variância em dados amostrais da seguinte forma:
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) ^2 \]
A diferença entre as duas fórmulas se dá somente em \(\frac{1}{n -1}\)! Se temos todos os dados de uma população, podemos calcular simplesmente trocando \(\frac{1}{n -1}\) por \(\frac{1}{n}\). Faremos isso na amostra para adicionar incerteza na nossa estimativa e penalizar amostras muito pequenas. (n-1 são os graus de liberdade da amostra! É um conceito estatístico muito importante que não irei abordar com tanto rigor nesse documento.)
Mas o que a variância busca explicar? Se você analisar a fórmula acima, verá que o foco da variância é de estimar o quão distante da média estão suas observações ao longo da amostra. Por exemplo:
set.seed(42)
dados <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10), y = 0)
ggplot(dados, aes(altura, y)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
theme_classic() +
theme(axis.text.y = element_blank(), axis.title.y = element_blank())
Imagine que eu coletei a altura de 100 pessoas. Como a altura dessas 100 pessoas variam ao longo da média? Para isso eu primeiro calculo a média. Graficamente:
ggplot(dados, aes(altura, y)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
theme_classic() +
theme(axis.text.y = element_blank(), axis.title.y = element_blank())
A média de altura nesse conjunto de dados foi de 170.3251482. Pessoas muito baixas irão puxar a variância pra cima, assim como pessoas muito altas. Lembrando da fórmula:
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X}) ^2 \]
Como a média foi de aproximadamente 170, posso substituir na fórmula:
\[ \sigma^2 = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - 170) ^2 \]
E pra cada ponto azul eu calculo a diferença, elevo ao quadrado, somo tudo e divido por \(\frac{1}{n -1}\), resultando em 108.4424321. Isso quer dizer que a altura apresenta uma variância de \(108cm^2\). (O desvio padrão apresentado na seção de revisão estatística é melhor para interpretar esse resultado.)
Quanto mais próximo de 0, menos os dados variam ao longo da média, mas isso sozinho não quer dizer muito ainda não é? Veremos a seguir outra medida que nos adiciona mais profundidade a nossa análise.
2.3.2 Covariância
Considere agora que temos a informação de altura dessas 100 pessoas e o tamanho do pé delas. Graficamente teremos:
set.seed(420)
dados[, pe := rnorm(100, 0, 1) + 0.24 * altura]
ggplot(dados, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
geom_hline(yintercept = mean(dados$pe), color = "indianred1") +
theme_classic()
O quanto valores maiores de altura se relacionam com valores maiores de pé? Faz todo sentido pessoas mais altas apresentarem um tamanho de pé maior, não faz? A covariância busca explicar essa questão!
Tomei a liberdade de representar no gráfico, em vermelho, as médias de altura e tamanho de pé nesse conjunto de dados. Os valores que estiverem no quadrado inferior esquerdo e superior direito aumentam a covariância do conjunto de dados. Por quê? Veja a fórmula da covariância:
\[ Cov(X,Y) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y}) \]
Selecionando apenas 4 casos do gráfico acima, note o seguinte:
dados_quatro_pontos <- data.table(
altura = c(dados[[82, 1]], dados[[59, 1]], dados[[23, 1]], dados[[12, 1]]),
pe = c(dados[[82, 3]], dados[[59, 3]], dados[[23, 3]], dados[[12, 3]])
)
dados_quatro_pontos[order(altura), letra := c("A", "B", "C", "D")]
ggplot(dados_quatro_pontos, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
geom_hline(yintercept = mean(dados$pe), color = "indianred1") +
geom_pointrange(aes(x = altura, ymin = pe, ymax= mean(dados$pe)), linetype = "dashed") +
geom_pointrange(aes(y = pe, xmin = altura, xmax= mean(dados$altura)), linetype = "dashed") +
geom_text(aes(label = letra), nudge_x = 1, nudge_y = 0.5) +
theme_classic()
O ponto A apresenta ambos os valores de altura e pé abaixos da média. O ponto D apresenta ambos os valores de altura e pé acima da média. Apenas os pontos B e C apresentam um valor acima da média, e o outro abaixo. Quais pontos contribuem com o aumento da covariância desses dois dados? Os A e D! Nesse caso, covariâncias positivas indicam um relacionamento positivo entre os dois dados. Covariâncias negativas indicam um relacionamento negativo entre dois dados. Covariâncias nulas dão indícios do não relacionamento entre duas variáveis.
dados[, pe := rnorm(100, 0, 1) + 0.24 * altura]
ggplot(dados, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_vline(xintercept = mean(dados$altura), color = "indianred1") +
geom_hline(yintercept = mean(dados$pe), color = "indianred1") +
theme_classic()
No caso desse gráfico acima, a covariância entre os dados é de 25.7641086. Isso indica uma relação positiva entre os dois valores, mas indica o quão relacionados os dois valores são? Se a covariância fosse de 1000 ainda assim não poderíamos dizer muito sobre isso, pois a escala poderia ser totalmente diferente! Nesse caso, combinamos as medidas de variância e covariância para calcular a correlação! Essa sim nos diz quanto uma variável se correlaciona com outra! Veremos ela na próxima seção.
Curiosidade: A covariância é extremamente similar a variância. É tão similar, que covariância de uma variável com ela mesma é simplesmente sua variância! Por exemplo, de um conjunto de dados X, estimamos a covariância de X com ele mesmo da forma:
\[ Cov(X,X) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(X_i - \bar{X}) = Var(X) = \frac{1}{n -1} \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2 \]
2.3.3 Correlação
O vídeo sobre correlação é muito bem feito e pode ser acessado aqui, de toda forma, farei o meu melhor para resumir o que significa correlação, como indentificar e calcular!
Imagine que eu tenha coletado informações de altura e tamanho do pé de 2 pessoas. Posso representar essa relação com o seguinte gráfico:
set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dados, n = 2), aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
theme_classic()
Como a altura e o tamanho do pé parecem se relacionar? Positivamente, negativamente ou não se relacionam?
set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dados, n = 2), aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
theme_classic()
Com base nesses dois pontos consegui desenhar uma linha reta perfeita, que toca todas as observações (todos os pontos tocam a reta) e de inclinação positiva. Essa seria considerada uma correlação perfeita de altura e tamanho de pé. Mas temos uma questão… a quantidade de informações é muito pequena! Imagine que eu tivesse selecionado outras duas pessoas, como essas abaixo:
ggplot(rbind(dados[23], dados[72]), aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
theme_classic()
Nesse caso, identificamos uma correlação perfeita entre altura e tamanho do pé, mas negativa! Isso faz sentido? Imagine pessoas acima de 1,90m com 32 de pé, é comum de acontecer? Nesse caso, encontramos um caso de correlação espúria. Introduzir mais informações na nossa análise nos impede de cair nesses casos absurdos!
Se eu adicionar mais uma pessoa, veja como ficaria meu gráfico:
set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dados, n = 3), aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
theme_classic()
Essa reta toca todos os pontos? Não. Mas ela se aproxima bem de cada um deles e apresenta uma inclinação positiva, indicando que, por mais que não seja uma correlação perfeita, existe correlação positiva forte!
Agora você pode estar se questionando, o que significa correlação forte e fraca? Correlação é uma métrica que vai de -1 a 1. Ela basicamente mede o quanto dois conjuntos de dados estão relacionados! Por exemplo, veja o seguinte gráfico:
dados2 <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10))
dados2[, pe := 0.22*altura]
ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
theme_classic()
E se eu desenhar a linha reta, posso cruzar todos esses pontos?
ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
theme_classic()
Sim!! Essa é uma correlação perfeita entre duas observações! Dizemos que a correlação entre os dois dados é de 1.
E no caso abaixo?
dados2 <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10))
dados2[, pe := rnorm(100, 0, 2) + 0.22*altura]
ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
theme_classic()
Você consegue desenhar uma linha reta que passa por todos os pontos igualmente? Veja abaixo:
ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
theme_classic()
Não! Mas ainda podemos identificar uma inclinação positiva, indicando uma certa correlação! Nesse caso, a correlação é de 0.7418975!
E agora?
dados2 <- data.table(altura = rnorm(100, 170, 10))
dados2[, pe := rnorm(100, 0, 7) + 0.22*altura]
ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
theme_classic()
A melhor reta que posso traçar seria essa:
ggplot(dados2, aes(altura, pe)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 2) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "gray32") +
theme_classic()
Ainda é uma correlação positiva, mas é uma correlação mais forte que as outras? Note que ao falar de correlação, não devemos comparar a inclinação da reta, somente o quão distante da reta estão os pontos!
Nesse caso, a correlação ainda é positiva, só que mais fraca, sendo ela de 0.4321114.
O cálculo da correlação pode parecer contra intuitivo no primeiro momento, mas é somente a união das variâncias de X e Y e suas covariâncias! Vimos isso nas seções anteriores. Assim:
\[ Cor(X,Y) = \frac{Cov(X,Y)}{\sqrt{Var(X)Var(Y)}} \]
Expandindo a fórmula, podemos calcular a correlação com a seguinte expressão:
\[ \rho = \frac{ \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})(Y_i - \bar{Y})}{\sqrt{\left( \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2\right)\left( \sum_{i=1}^n (Y_i - \bar{Y})^2\right)}} \]
Apenas unimos o conceito de covariância e variância em um único valor, sendo ele o coeficiente de correlação de Spearman.
Como disse previamente, a correlação mede o quão bem podemos tracejar uma linha reta passando por todos os pontos em um conjunto de 2 observações. Não podemos dizer nada sobre causa e efeito, apenas que os dados são correlatos negativamente ou positivamente ou não correlatos.
Além disso, com o coeficiente de correlação em mãos, podemos calcular diretamente o coeficiente de determinação direto entre duas variáveis! (Veja a seção dedicada ao R2 mais a frente para entender mais.)
Elevando o \(\rho\) ao quadrado, encontramos um valor que vai de 0 a 1. Quanto mais próximo de 1, maior será o poder explicativo de X sobre Y. Isso é muito útil quando queremos testar se um modelo se ajusta bem aos dados ou não!
Não me dediquei a falar sobre pvalores do coeficiente de correlação nessa seção por não serem muito o foco da econometria. De toda forma, sugiro assistir o vídeo recomendado no início dessa subseção, pois nele há uma explicação muito boa sobre o assunto além de reforçar os tópicos aqui abordados!
3 Regressão Linear
A regressão linear é, de uma forma simplificada, uma linha que melhor define a interação entre dois ou mais pontos. Neste capítulo, busco apresentar o mecanismo pelo qual podemos estimar, interpretar e validar nossos resultados de forma prática.
No capítulo anterior, trabalhei diretamente com apenas uma observação, a altura. No caso de uma regressão linear, sempre teremos duas ou mais variáveis, porque desejamos representar uma explicada pela outra.
Imagine, que ao invés de estimar a altura das pessoas em uma cidade, você esteja buscando a relação entre os anos de trabalho de um professor, com o salário que ele recebe. Nessa cidade, existem 397 professores, que podem ser representados com os seguintes dados:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario")
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario |
|---|---|
| 18 | 139750 |
| 16 | 173200 |
| 3 | 79750 |
| 39 | 115000 |
| 41 | 141500 |
| 6 | 97000 |
| 23 | 175000 |
| 45 | 147765 |
| 20 | 119250 |
| 18 | 129000 |
| 8 | 119800 |
| 2 | 79800 |
| 1 | 77700 |
| 0 | 78000 |
| 18 | 104800 |
| 3 | 117150 |
| 20 | 101000 |
| 34 | 103450 |
| 23 | 124750 |
| 36 | 137000 |
| 26 | 89565 |
| 31 | 102580 |
| 30 | 93904 |
| 19 | 113068 |
| 8 | 74830 |
| 8 | 106294 |
| 23 | 134885 |
| 3 | 82379 |
| 0 | 77000 |
| 8 | 118223 |
| 4 | 132261 |
| 2 | 79916 |
| 9 | 117256 |
| 2 | 80225 |
| 2 | 80225 |
| 0 | 77000 |
| 21 | 155750 |
| 4 | 86373 |
| 31 | 125196 |
| 9 | 100938 |
| 2 | 146500 |
| 23 | 93418 |
| 27 | 101299 |
| 38 | 231545 |
| 19 | 94384 |
| 15 | 114778 |
| 28 | 98193 |
| 19 | 151768 |
| 25 | 140096 |
| 1 | 70768 |
| 28 | 126621 |
| 11 | 108875 |
| 3 | 74692 |
| 9 | 106639 |
| 11 | 103760 |
| 5 | 83900 |
| 21 | 117704 |
| 8 | 90215 |
| 9 | 100135 |
| 3 | 75044 |
| 8 | 90304 |
| 2 | 75243 |
| 31 | 109785 |
| 11 | 103613 |
| 3 | 68404 |
| 8 | 100522 |
| 12 | 101000 |
| 31 | 99418 |
| 17 | 111512 |
| 36 | 91412 |
| 2 | 126320 |
| 45 | 146856 |
| 19 | 100131 |
| 34 | 92391 |
| 23 | 113398 |
| 3 | 73266 |
| 3 | 150480 |
| 19 | 193000 |
| 1 | 86100 |
| 2 | 84240 |
| 28 | 150743 |
| 16 | 135585 |
| 20 | 144640 |
| 2 | 88825 |
| 18 | 122960 |
| 14 | 132825 |
| 37 | 152708 |
| 2 | 88400 |
| 25 | 172272 |
| 7 | 107008 |
| 5 | 97032 |
| 7 | 105128 |
| 7 | 105631 |
| 38 | 166024 |
| 20 | 123683 |
| 0 | 84000 |
| 12 | 95611 |
| 7 | 129676 |
| 14 | 102235 |
| 26 | 106689 |
| 25 | 133217 |
| 23 | 126933 |
| 5 | 153303 |
| 14 | 127512 |
| 10 | 83850 |
| 28 | 113543 |
| 8 | 82099 |
| 8 | 82600 |
| 8 | 81500 |
| 31 | 131205 |
| 16 | 112429 |
| 16 | 82100 |
| 1 | 72500 |
| 37 | 104279 |
| 0 | 105000 |
| 9 | 120806 |
| 29 | 148500 |
| 36 | 117515 |
| 1 | 72500 |
| 3 | 73500 |
| 14 | 115313 |
| 32 | 124309 |
| 22 | 97262 |
| 22 | 62884 |
| 22 | 96614 |
| 49 | 78162 |
| 26 | 155500 |
| 0 | 72500 |
| 30 | 113278 |
| 2 | 73000 |
| 9 | 83001 |
| 57 | 76840 |
| 8 | 77500 |
| 1 | 72500 |
| 25 | 168635 |
| 18 | 136000 |
| 14 | 108262 |
| 14 | 105668 |
| 7 | 73877 |
| 18 | 152664 |
| 8 | 100102 |
| 10 | 81500 |
| 11 | 106608 |
| 3 | 89942 |
| 27 | 112696 |
| 28 | 119015 |
| 4 | 92000 |
| 27 | 156938 |
| 26 | 144651 |
| 3 | 95079 |
| 12 | 128148 |
| 4 | 92000 |
| 9 | 111168 |
| 10 | 103994 |
| 0 | 92000 |
| 21 | 118971 |
| 18 | 113341 |
| 0 | 88000 |
| 6 | 95408 |
| 16 | 137167 |
| 2 | 89516 |
| 19 | 176500 |
| 7 | 98510 |
| 3 | 89942 |
| 0 | 88795 |
| 8 | 105890 |
| 16 | 167284 |
| 19 | 130664 |
| 6 | 101210 |
| 18 | 181257 |
| 5 | 91227 |
| 19 | 151575 |
| 24 | 93164 |
| 20 | 134185 |
| 6 | 105000 |
| 25 | 111751 |
| 7 | 95436 |
| 9 | 100944 |
| 14 | 147349 |
| 3 | 92000 |
| 11 | 142467 |
| 5 | 141136 |
| 8 | 100000 |
| 22 | 150000 |
| 23 | 101000 |
| 30 | 134000 |
| 10 | 103750 |
| 10 | 107500 |
| 28 | 106300 |
| 19 | 153750 |
| 9 | 180000 |
| 22 | 133700 |
| 18 | 122100 |
| 19 | 86250 |
| 53 | 90000 |
| 7 | 113600 |
| 4 | 92700 |
| 4 | 92000 |
| 33 | 189409 |
| 22 | 114500 |
| 4 | 92700 |
| 40 | 119700 |
| 17 | 160400 |
| 17 | 152500 |
| 5 | 165000 |
| 2 | 96545 |
| 33 | 162200 |
| 18 | 120000 |
| 2 | 91300 |
| 20 | 163200 |
| 3 | 91000 |
| 39 | 111350 |
| 7 | 128400 |
| 19 | 126200 |
| 1 | 118700 |
| 11 | 145350 |
| 11 | 146000 |
| 22 | 105350 |
| 7 | 109650 |
| 11 | 119500 |
| 21 | 170000 |
| 10 | 145200 |
| 6 | 107150 |
| 20 | 129600 |
| 35 | 87800 |
| 20 | 122400 |
| 1 | 63900 |
| 7 | 70000 |
| 11 | 88175 |
| 38 | 133900 |
| 27 | 91000 |
| 24 | 73300 |
| 19 | 148750 |
| 19 | 117555 |
| 3 | 69700 |
| 17 | 81700 |
| 25 | 114000 |
| 6 | 63100 |
| 40 | 77202 |
| 6 | 96200 |
| 3 | 69200 |
| 30 | 122875 |
| 37 | 102600 |
| 23 | 108200 |
| 23 | 84273 |
| 11 | 90450 |
| 23 | 91100 |
| 18 | 101100 |
| 23 | 128800 |
| 7 | 204000 |
| 39 | 109000 |
| 8 | 102000 |
| 12 | 132000 |
| 2 | 77500 |
| 7 | 116450 |
| 8 | 83000 |
| 22 | 140300 |
| 23 | 74000 |
| 3 | 73800 |
| 30 | 92550 |
| 33 | 88600 |
| 45 | 107550 |
| 26 | 121200 |
| 31 | 126000 |
| 35 | 99000 |
| 30 | 134800 |
| 43 | 143940 |
| 10 | 104350 |
| 44 | 89650 |
| 7 | 103700 |
| 40 | 143250 |
| 18 | 194800 |
| 1 | 73000 |
| 4 | 74000 |
| 3 | 78500 |
| 6 | 93000 |
| 48 | 107200 |
| 27 | 163200 |
| 18 | 107100 |
| 46 | 100600 |
| 38 | 136500 |
| 27 | 103600 |
| 51 | 57800 |
| 43 | 155865 |
| 6 | 88650 |
| 49 | 81800 |
| 27 | 115800 |
| 0 | 85000 |
| 27 | 150500 |
| 5 | 74000 |
| 7 | 174500 |
| 28 | 168500 |
| 9 | 183800 |
| 1 | 104800 |
| 7 | 107300 |
| 36 | 97150 |
| 18 | 126300 |
| 11 | 148800 |
| 43 | 72300 |
| 39 | 70700 |
| 36 | 88600 |
| 16 | 127100 |
| 13 | 170500 |
| 4 | 105260 |
| 44 | 144050 |
| 31 | 111350 |
| 4 | 74500 |
| 28 | 122500 |
| 0 | 74000 |
| 15 | 166800 |
| 7 | 92050 |
| 9 | 108100 |
| 19 | 94350 |
| 35 | 100351 |
| 6 | 146800 |
| 3 | 84716 |
| 9 | 71065 |
| 45 | 67559 |
| 16 | 134550 |
| 15 | 135027 |
| 23 | 104428 |
| 9 | 95642 |
| 11 | 126431 |
| 15 | 161101 |
| 31 | 162221 |
| 4 | 84500 |
| 15 | 124714 |
| 37 | 151650 |
| 10 | 99247 |
| 23 | 134778 |
| 60 | 192253 |
| 9 | 116518 |
| 10 | 105450 |
| 19 | 145098 |
| 6 | 104542 |
| 38 | 151445 |
| 23 | 98053 |
| 12 | 145000 |
| 25 | 128464 |
| 15 | 137317 |
| 11 | 106231 |
| 17 | 124312 |
| 38 | 114596 |
| 31 | 162150 |
| 35 | 150376 |
| 10 | 107986 |
| 27 | 142023 |
| 33 | 128250 |
| 3 | 80139 |
| 28 | 144309 |
| 49 | 186960 |
| 38 | 93519 |
| 27 | 142500 |
| 20 | 138000 |
| 1 | 83600 |
| 21 | 145028 |
| 40 | 88709 |
| 35 | 107309 |
| 14 | 109954 |
| 4 | 78785 |
| 11 | 121946 |
| 15 | 109646 |
| 30 | 138771 |
| 17 | 81285 |
| 43 | 205500 |
| 40 | 101036 |
| 10 | 115435 |
| 1 | 108413 |
| 30 | 131950 |
| 31 | 134690 |
| 8 | 78182 |
| 20 | 110515 |
| 7 | 109707 |
| 26 | 136660 |
| 19 | 103275 |
| 26 | 103649 |
| 1 | 74856 |
| 3 | 77081 |
| 38 | 150680 |
| 8 | 104121 |
| 3 | 75996 |
| 23 | 172505 |
| 5 | 86895 |
| 44 | 105000 |
| 21 | 125192 |
| 9 | 114330 |
| 27 | 139219 |
| 15 | 109305 |
| 36 | 119450 |
| 18 | 186023 |
| 19 | 166605 |
| 19 | 151292 |
| 30 | 103106 |
| 19 | 150564 |
| 25 | 101738 |
| 15 | 95329 |
| 4 | 81035 |
Olhando somente esses números é difícil de notar algum tipo de relação, não é mesmo? Podemos representar individualmente a distribuição de ambos os dados igual fizemos anteriormente:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico)) +
geom_bar(fill = "steelblue", alpha = 0.9) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição da anos de serviço entre os professores", x = "Anos de serviço", y = "Quantidade de professores") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +
scale_x_continuous(n.breaks = 20) +
scale_y_continuous(n.breaks = 12)
Esse gráfico nos dá informações interessantes sobre os professores desse município. Existem muitos professores com menos de 10 anos de experiência, alguns entre 15 e 32 anos de experiência, e uns bons de guerra que trabalham mais de 32 anos na profissão!
E a distribuição dos salários:
ggplot(dataset, aes(salario)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", alpha = 0.9, bins = 50) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição dos salários dos professores", x = "Salário anual", y = "Quantidade de professores com esse salário") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5)) +
geom_vline(xintercept = mean(dataset$salario), color = "indianred1") +
scale_x_continuous(n.breaks = 10, labels = scales::label_number())
A linha vermelha é a média dos salários, que é de 113706.5. Esse gráfico indica que existem poucos salários muito altos, e boa parte dos professores recebem salários próximos a média.
Muito bem, analisamos individualmente as duas variáveis, mas aprendemos algo muito significativo? Podemos fazer bem mais! E se eu representar os salários em um eixo e o tempo de experiência em outro? O nome clássico desse gráfico é gráfico de dispersão! (veremos muito ele ainda!)
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Com base nessa visualização, você poderia dizer algo sobre o tempo de serviço de um profissional e seu salário?
Tirando alguns pontos extremos, parece que existe uma relação positiva entre salário e tempo de serviço, não é mesmo? Agora surge a principal questão da econometria: como estimar uma linha reta que melhor define a relação entre essas duas variáveis?
Nas próximas seções, irei introduzir a notação clássica de um modelo linear simples e o problema de estimativa desse modelo.
3.1 Notação matemática
Um modelo linear clássico, com intercepto, pode ser representado da seguinte forma:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]
O que quer dizer essa expressão? Bom, representamos Y como sendo uma função de X, mas para tornar essa função possível, precisamos considerar que X pode não explicar perfeitamente Y, então pode existir sempre um erro aleatório e característico \(u_i\).
E o que são \(\beta_0\) e \(\beta_1\)?
- O \(\beta_0\) é o valor que Y assume quando \(X_i\) é zero! É um valor normalmente associado ao ajustamento do modelo e da natureza dos dados explicada.
- O \(\beta_1\) é exatamente a relação marginal de X em Y. Ou seja, o quanto Y aumenta, se X aumenta em uma unidade.
No exemplo numérico que dei anteriormente, posso estimar uma linha reta pelo método de mínimos quadrados ordinários (MQO), e determinar os valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\)! (Veremos o passo a passo da estimação mais a diante!)
O modelo estimado para o caso acima teria a seguinte forma funcional:
\[ Y_i = 99974.7 + 779.6X_i + u_i \]
Quando um professor não tem experiência, o salário de entrada estimado para ele é de 99974.7! Um belo salário! Pra cada ano que ele trabalha, ele ganha um adicional de 779.6 no salário anual. Isso quer dizer que trabalhar na área aumenta salário, e faz todo sentido não é?
Ora, como tenho uma relação de X e Y, posso calcular os valores de Y previstos pelo modelo! Assim, o valor previsto na forma de tabela é:
dataset[, salario_previsto := 99974.7 + (779.6*anos_de_servico)]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario | salario_previsto |
|---|---|---|
| 18 | 139750 | 114007.5 |
| 16 | 173200 | 112448.3 |
| 3 | 79750 | 102313.5 |
| 39 | 115000 | 130379.1 |
| 41 | 141500 | 131938.3 |
| 6 | 97000 | 104652.3 |
| 23 | 175000 | 117905.5 |
| 45 | 147765 | 135056.7 |
| 20 | 119250 | 115566.7 |
| 18 | 129000 | 114007.5 |
| 8 | 119800 | 106211.5 |
| 2 | 79800 | 101533.9 |
| 1 | 77700 | 100754.3 |
| 0 | 78000 | 99974.7 |
| 18 | 104800 | 114007.5 |
| 3 | 117150 | 102313.5 |
| 20 | 101000 | 115566.7 |
| 34 | 103450 | 126481.1 |
| 23 | 124750 | 117905.5 |
| 36 | 137000 | 128040.3 |
| 26 | 89565 | 120244.3 |
| 31 | 102580 | 124142.3 |
| 30 | 93904 | 123362.7 |
| 19 | 113068 | 114787.1 |
| 8 | 74830 | 106211.5 |
| 8 | 106294 | 106211.5 |
| 23 | 134885 | 117905.5 |
| 3 | 82379 | 102313.5 |
| 0 | 77000 | 99974.7 |
| 8 | 118223 | 106211.5 |
| 4 | 132261 | 103093.1 |
| 2 | 79916 | 101533.9 |
| 9 | 117256 | 106991.1 |
| 2 | 80225 | 101533.9 |
| 2 | 80225 | 101533.9 |
| 0 | 77000 | 99974.7 |
| 21 | 155750 | 116346.3 |
| 4 | 86373 | 103093.1 |
| 31 | 125196 | 124142.3 |
| 9 | 100938 | 106991.1 |
| 2 | 146500 | 101533.9 |
| 23 | 93418 | 117905.5 |
| 27 | 101299 | 121023.9 |
| 38 | 231545 | 129599.5 |
| 19 | 94384 | 114787.1 |
| 15 | 114778 | 111668.7 |
| 28 | 98193 | 121803.5 |
| 19 | 151768 | 114787.1 |
| 25 | 140096 | 119464.7 |
| 1 | 70768 | 100754.3 |
| 28 | 126621 | 121803.5 |
| 11 | 108875 | 108550.3 |
| 3 | 74692 | 102313.5 |
| 9 | 106639 | 106991.1 |
| 11 | 103760 | 108550.3 |
| 5 | 83900 | 103872.7 |
| 21 | 117704 | 116346.3 |
| 8 | 90215 | 106211.5 |
| 9 | 100135 | 106991.1 |
| 3 | 75044 | 102313.5 |
| 8 | 90304 | 106211.5 |
| 2 | 75243 | 101533.9 |
| 31 | 109785 | 124142.3 |
| 11 | 103613 | 108550.3 |
| 3 | 68404 | 102313.5 |
| 8 | 100522 | 106211.5 |
| 12 | 101000 | 109329.9 |
| 31 | 99418 | 124142.3 |
| 17 | 111512 | 113227.9 |
| 36 | 91412 | 128040.3 |
| 2 | 126320 | 101533.9 |
| 45 | 146856 | 135056.7 |
| 19 | 100131 | 114787.1 |
| 34 | 92391 | 126481.1 |
| 23 | 113398 | 117905.5 |
| 3 | 73266 | 102313.5 |
| 3 | 150480 | 102313.5 |
| 19 | 193000 | 114787.1 |
| 1 | 86100 | 100754.3 |
| 2 | 84240 | 101533.9 |
| 28 | 150743 | 121803.5 |
| 16 | 135585 | 112448.3 |
| 20 | 144640 | 115566.7 |
| 2 | 88825 | 101533.9 |
| 18 | 122960 | 114007.5 |
| 14 | 132825 | 110889.1 |
| 37 | 152708 | 128819.9 |
| 2 | 88400 | 101533.9 |
| 25 | 172272 | 119464.7 |
| 7 | 107008 | 105431.9 |
| 5 | 97032 | 103872.7 |
| 7 | 105128 | 105431.9 |
| 7 | 105631 | 105431.9 |
| 38 | 166024 | 129599.5 |
| 20 | 123683 | 115566.7 |
| 0 | 84000 | 99974.7 |
| 12 | 95611 | 109329.9 |
| 7 | 129676 | 105431.9 |
| 14 | 102235 | 110889.1 |
| 26 | 106689 | 120244.3 |
| 25 | 133217 | 119464.7 |
| 23 | 126933 | 117905.5 |
| 5 | 153303 | 103872.7 |
| 14 | 127512 | 110889.1 |
| 10 | 83850 | 107770.7 |
| 28 | 113543 | 121803.5 |
| 8 | 82099 | 106211.5 |
| 8 | 82600 | 106211.5 |
| 8 | 81500 | 106211.5 |
| 31 | 131205 | 124142.3 |
| 16 | 112429 | 112448.3 |
| 16 | 82100 | 112448.3 |
| 1 | 72500 | 100754.3 |
| 37 | 104279 | 128819.9 |
| 0 | 105000 | 99974.7 |
| 9 | 120806 | 106991.1 |
| 29 | 148500 | 122583.1 |
| 36 | 117515 | 128040.3 |
| 1 | 72500 | 100754.3 |
| 3 | 73500 | 102313.5 |
| 14 | 115313 | 110889.1 |
| 32 | 124309 | 124921.9 |
| 22 | 97262 | 117125.9 |
| 22 | 62884 | 117125.9 |
| 22 | 96614 | 117125.9 |
| 49 | 78162 | 138175.1 |
| 26 | 155500 | 120244.3 |
| 0 | 72500 | 99974.7 |
| 30 | 113278 | 123362.7 |
| 2 | 73000 | 101533.9 |
| 9 | 83001 | 106991.1 |
| 57 | 76840 | 144411.9 |
| 8 | 77500 | 106211.5 |
| 1 | 72500 | 100754.3 |
| 25 | 168635 | 119464.7 |
| 18 | 136000 | 114007.5 |
| 14 | 108262 | 110889.1 |
| 14 | 105668 | 110889.1 |
| 7 | 73877 | 105431.9 |
| 18 | 152664 | 114007.5 |
| 8 | 100102 | 106211.5 |
| 10 | 81500 | 107770.7 |
| 11 | 106608 | 108550.3 |
| 3 | 89942 | 102313.5 |
| 27 | 112696 | 121023.9 |
| 28 | 119015 | 121803.5 |
| 4 | 92000 | 103093.1 |
| 27 | 156938 | 121023.9 |
| 26 | 144651 | 120244.3 |
| 3 | 95079 | 102313.5 |
| 12 | 128148 | 109329.9 |
| 4 | 92000 | 103093.1 |
| 9 | 111168 | 106991.1 |
| 10 | 103994 | 107770.7 |
| 0 | 92000 | 99974.7 |
| 21 | 118971 | 116346.3 |
| 18 | 113341 | 114007.5 |
| 0 | 88000 | 99974.7 |
| 6 | 95408 | 104652.3 |
| 16 | 137167 | 112448.3 |
| 2 | 89516 | 101533.9 |
| 19 | 176500 | 114787.1 |
| 7 | 98510 | 105431.9 |
| 3 | 89942 | 102313.5 |
| 0 | 88795 | 99974.7 |
| 8 | 105890 | 106211.5 |
| 16 | 167284 | 112448.3 |
| 19 | 130664 | 114787.1 |
| 6 | 101210 | 104652.3 |
| 18 | 181257 | 114007.5 |
| 5 | 91227 | 103872.7 |
| 19 | 151575 | 114787.1 |
| 24 | 93164 | 118685.1 |
| 20 | 134185 | 115566.7 |
| 6 | 105000 | 104652.3 |
| 25 | 111751 | 119464.7 |
| 7 | 95436 | 105431.9 |
| 9 | 100944 | 106991.1 |
| 14 | 147349 | 110889.1 |
| 3 | 92000 | 102313.5 |
| 11 | 142467 | 108550.3 |
| 5 | 141136 | 103872.7 |
| 8 | 100000 | 106211.5 |
| 22 | 150000 | 117125.9 |
| 23 | 101000 | 117905.5 |
| 30 | 134000 | 123362.7 |
| 10 | 103750 | 107770.7 |
| 10 | 107500 | 107770.7 |
| 28 | 106300 | 121803.5 |
| 19 | 153750 | 114787.1 |
| 9 | 180000 | 106991.1 |
| 22 | 133700 | 117125.9 |
| 18 | 122100 | 114007.5 |
| 19 | 86250 | 114787.1 |
| 53 | 90000 | 141293.5 |
| 7 | 113600 | 105431.9 |
| 4 | 92700 | 103093.1 |
| 4 | 92000 | 103093.1 |
| 33 | 189409 | 125701.5 |
| 22 | 114500 | 117125.9 |
| 4 | 92700 | 103093.1 |
| 40 | 119700 | 131158.7 |
| 17 | 160400 | 113227.9 |
| 17 | 152500 | 113227.9 |
| 5 | 165000 | 103872.7 |
| 2 | 96545 | 101533.9 |
| 33 | 162200 | 125701.5 |
| 18 | 120000 | 114007.5 |
| 2 | 91300 | 101533.9 |
| 20 | 163200 | 115566.7 |
| 3 | 91000 | 102313.5 |
| 39 | 111350 | 130379.1 |
| 7 | 128400 | 105431.9 |
| 19 | 126200 | 114787.1 |
| 1 | 118700 | 100754.3 |
| 11 | 145350 | 108550.3 |
| 11 | 146000 | 108550.3 |
| 22 | 105350 | 117125.9 |
| 7 | 109650 | 105431.9 |
| 11 | 119500 | 108550.3 |
| 21 | 170000 | 116346.3 |
| 10 | 145200 | 107770.7 |
| 6 | 107150 | 104652.3 |
| 20 | 129600 | 115566.7 |
| 35 | 87800 | 127260.7 |
| 20 | 122400 | 115566.7 |
| 1 | 63900 | 100754.3 |
| 7 | 70000 | 105431.9 |
| 11 | 88175 | 108550.3 |
| 38 | 133900 | 129599.5 |
| 27 | 91000 | 121023.9 |
| 24 | 73300 | 118685.1 |
| 19 | 148750 | 114787.1 |
| 19 | 117555 | 114787.1 |
| 3 | 69700 | 102313.5 |
| 17 | 81700 | 113227.9 |
| 25 | 114000 | 119464.7 |
| 6 | 63100 | 104652.3 |
| 40 | 77202 | 131158.7 |
| 6 | 96200 | 104652.3 |
| 3 | 69200 | 102313.5 |
| 30 | 122875 | 123362.7 |
| 37 | 102600 | 128819.9 |
| 23 | 108200 | 117905.5 |
| 23 | 84273 | 117905.5 |
| 11 | 90450 | 108550.3 |
| 23 | 91100 | 117905.5 |
| 18 | 101100 | 114007.5 |
| 23 | 128800 | 117905.5 |
| 7 | 204000 | 105431.9 |
| 39 | 109000 | 130379.1 |
| 8 | 102000 | 106211.5 |
| 12 | 132000 | 109329.9 |
| 2 | 77500 | 101533.9 |
| 7 | 116450 | 105431.9 |
| 8 | 83000 | 106211.5 |
| 22 | 140300 | 117125.9 |
| 23 | 74000 | 117905.5 |
| 3 | 73800 | 102313.5 |
| 30 | 92550 | 123362.7 |
| 33 | 88600 | 125701.5 |
| 45 | 107550 | 135056.7 |
| 26 | 121200 | 120244.3 |
| 31 | 126000 | 124142.3 |
| 35 | 99000 | 127260.7 |
| 30 | 134800 | 123362.7 |
| 43 | 143940 | 133497.5 |
| 10 | 104350 | 107770.7 |
| 44 | 89650 | 134277.1 |
| 7 | 103700 | 105431.9 |
| 40 | 143250 | 131158.7 |
| 18 | 194800 | 114007.5 |
| 1 | 73000 | 100754.3 |
| 4 | 74000 | 103093.1 |
| 3 | 78500 | 102313.5 |
| 6 | 93000 | 104652.3 |
| 48 | 107200 | 137395.5 |
| 27 | 163200 | 121023.9 |
| 18 | 107100 | 114007.5 |
| 46 | 100600 | 135836.3 |
| 38 | 136500 | 129599.5 |
| 27 | 103600 | 121023.9 |
| 51 | 57800 | 139734.3 |
| 43 | 155865 | 133497.5 |
| 6 | 88650 | 104652.3 |
| 49 | 81800 | 138175.1 |
| 27 | 115800 | 121023.9 |
| 0 | 85000 | 99974.7 |
| 27 | 150500 | 121023.9 |
| 5 | 74000 | 103872.7 |
| 7 | 174500 | 105431.9 |
| 28 | 168500 | 121803.5 |
| 9 | 183800 | 106991.1 |
| 1 | 104800 | 100754.3 |
| 7 | 107300 | 105431.9 |
| 36 | 97150 | 128040.3 |
| 18 | 126300 | 114007.5 |
| 11 | 148800 | 108550.3 |
| 43 | 72300 | 133497.5 |
| 39 | 70700 | 130379.1 |
| 36 | 88600 | 128040.3 |
| 16 | 127100 | 112448.3 |
| 13 | 170500 | 110109.5 |
| 4 | 105260 | 103093.1 |
| 44 | 144050 | 134277.1 |
| 31 | 111350 | 124142.3 |
| 4 | 74500 | 103093.1 |
| 28 | 122500 | 121803.5 |
| 0 | 74000 | 99974.7 |
| 15 | 166800 | 111668.7 |
| 7 | 92050 | 105431.9 |
| 9 | 108100 | 106991.1 |
| 19 | 94350 | 114787.1 |
| 35 | 100351 | 127260.7 |
| 6 | 146800 | 104652.3 |
| 3 | 84716 | 102313.5 |
| 9 | 71065 | 106991.1 |
| 45 | 67559 | 135056.7 |
| 16 | 134550 | 112448.3 |
| 15 | 135027 | 111668.7 |
| 23 | 104428 | 117905.5 |
| 9 | 95642 | 106991.1 |
| 11 | 126431 | 108550.3 |
| 15 | 161101 | 111668.7 |
| 31 | 162221 | 124142.3 |
| 4 | 84500 | 103093.1 |
| 15 | 124714 | 111668.7 |
| 37 | 151650 | 128819.9 |
| 10 | 99247 | 107770.7 |
| 23 | 134778 | 117905.5 |
| 60 | 192253 | 146750.7 |
| 9 | 116518 | 106991.1 |
| 10 | 105450 | 107770.7 |
| 19 | 145098 | 114787.1 |
| 6 | 104542 | 104652.3 |
| 38 | 151445 | 129599.5 |
| 23 | 98053 | 117905.5 |
| 12 | 145000 | 109329.9 |
| 25 | 128464 | 119464.7 |
| 15 | 137317 | 111668.7 |
| 11 | 106231 | 108550.3 |
| 17 | 124312 | 113227.9 |
| 38 | 114596 | 129599.5 |
| 31 | 162150 | 124142.3 |
| 35 | 150376 | 127260.7 |
| 10 | 107986 | 107770.7 |
| 27 | 142023 | 121023.9 |
| 33 | 128250 | 125701.5 |
| 3 | 80139 | 102313.5 |
| 28 | 144309 | 121803.5 |
| 49 | 186960 | 138175.1 |
| 38 | 93519 | 129599.5 |
| 27 | 142500 | 121023.9 |
| 20 | 138000 | 115566.7 |
| 1 | 83600 | 100754.3 |
| 21 | 145028 | 116346.3 |
| 40 | 88709 | 131158.7 |
| 35 | 107309 | 127260.7 |
| 14 | 109954 | 110889.1 |
| 4 | 78785 | 103093.1 |
| 11 | 121946 | 108550.3 |
| 15 | 109646 | 111668.7 |
| 30 | 138771 | 123362.7 |
| 17 | 81285 | 113227.9 |
| 43 | 205500 | 133497.5 |
| 40 | 101036 | 131158.7 |
| 10 | 115435 | 107770.7 |
| 1 | 108413 | 100754.3 |
| 30 | 131950 | 123362.7 |
| 31 | 134690 | 124142.3 |
| 8 | 78182 | 106211.5 |
| 20 | 110515 | 115566.7 |
| 7 | 109707 | 105431.9 |
| 26 | 136660 | 120244.3 |
| 19 | 103275 | 114787.1 |
| 26 | 103649 | 120244.3 |
| 1 | 74856 | 100754.3 |
| 3 | 77081 | 102313.5 |
| 38 | 150680 | 129599.5 |
| 8 | 104121 | 106211.5 |
| 3 | 75996 | 102313.5 |
| 23 | 172505 | 117905.5 |
| 5 | 86895 | 103872.7 |
| 44 | 105000 | 134277.1 |
| 21 | 125192 | 116346.3 |
| 9 | 114330 | 106991.1 |
| 27 | 139219 | 121023.9 |
| 15 | 109305 | 111668.7 |
| 36 | 119450 | 128040.3 |
| 18 | 186023 | 114007.5 |
| 19 | 166605 | 114787.1 |
| 19 | 151292 | 114787.1 |
| 30 | 103106 | 123362.7 |
| 19 | 150564 | 114787.1 |
| 25 | 101738 | 119464.7 |
| 15 | 95329 | 111668.7 |
| 4 | 81035 | 103093.1 |
Graficamente, se adicionarmos o valor previsto como uma linha, teremos algo desse tipo:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, salario_previsto), color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Assim fica fácil ver a que o tempo de serviço se relaciona positivamente com o salário anual, e o papel que o intercepto tem nesse modelo.
E se eu tirar o intercepto? Como ficaria a linha?
O modelo teria a seguinte forma funcional:
\[ Y_i = \beta_1X_i + u_i \]
Faz sentido? Apenas removi o parâmetro \(\beta_0\) que era relativo ao intercepto!
E a estimativa de \(\beta_1\) seria a seguinte:
\[ Y_i = 4456X_i + u_i \]
Agora se um professor não tem experiência, o salário dele é zero! Faz sentido tirar o intercepto? Se fosse um estágio não remunerado, talvez, mas acho que não é bem o caso!
Graficamente o modelo pode ser representado por uma nova linha reta:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, 4456*anos_de_servico), color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Normalmente estimamos um modelo com intercepto por padrão, e analisamos se existe mesmo a necessidade de removê-lo ou não!
3.2 Lógica da estimação
Vamos retornar ao primeiro gráfico de dispersão que apresentei aqui:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Se eu não tivesse em minhas mãos nenhuma forma de estimar um modelo que melhor define a relação de X e Y, eu poderia simplesmente chutar diferentes valores para \(\beta_j\) até que eu encontre valores que minimizem o erro. Isso faz todo sentido, não faz?
Por exemplo, vou estimar 5 modelos diferentes, com diferentes valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\). Matematicamente, cada modelo pode ser escrito da seguinte forma:
- \(Y_i = 99974 + 779X_i + u_i\)
- \(Y_i = 150000 + 850X_i + u_i\)
- \(Y_i = 12000 + 900X_i + u_i\)
- \(Y_i = 60000 + 500X_i + u_i\)
- \(Y_i = 91000 + u_i\)
E visualmente, a o valor previsto de Y para cada modelo pode ser visto no seguinte gráfico:
dados <- dataset[
,
.(
modelo_1 = 99974 + 779*anos_de_servico,
modelo_2 = 150000 + 850*anos_de_servico,
modelo_3 = 12000 + 900*anos_de_servico,
modelo_4 = 60000 + 500*anos_de_servico,
modelo_5 = 91000,
salario,
anos_de_servico
)
]
dados <- melt(
dados,
id.vars = c("salario", "anos_de_servico"),
value.name = "salario_previsto",
variable.name = "modelo"
)
ggplot(dados, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, salario_previsto, color = modelo)) +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Ok, mas “o que eu posso fazer com essas linhas coloridas” você deve ter pensado. Cada uma dessas retas representa a previsão de cada modelo. Quão mais distante a linha estiver de um ponto azul, maior será o erro! Ou seja, uma linha que esteja igualmente próxima de todos os pontos azuis deve ser o melhor ajustamento possível, não concorda?
O que quero dizer nessa seção, é que podemos olhar simplesmente para o resíduo de cada regressão! Lembre da fórmula genérica de um modelo linear:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]
O valor de \(Y_i\) previsto pode ser escrito como \(\hat{Y_i}\). Ou seja:
\[ Y_i = \hat{Y_i} + u_i \rightarrow Y_i - \hat{Y_i} = u_i \]
Então pra cada modelo, basta eu subtrair do valor observado o valor que o modelo preveu e encontramos o resíduo (ou erro)! O quanto mais um modelo erra, pior será o modelo, certo? Queremos minimizar esse resíduo!
No caso dos modelos acima, posso calcular o resíduo para cada valor previsto, e teria algo como isso: (observe os resultados linha por linha, não fiz nada além de subtrair uma coluna por outra!)
dados[, residuo := salario - salario_previsto, by = modelo]
setcolorder(dados, c("anos_de_servico", "modelo", "salario", "salario_previsto",
"residuo"))
dados %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | modelo | salario | salario_previsto | residuo |
|---|---|---|---|---|
| 18 | modelo_1 | 139750 | 113996 | 25754 |
| 16 | modelo_1 | 173200 | 112438 | 60762 |
| 3 | modelo_1 | 79750 | 102311 | -22561 |
| 39 | modelo_1 | 115000 | 130355 | -15355 |
| 41 | modelo_1 | 141500 | 131913 | 9587 |
| 6 | modelo_1 | 97000 | 104648 | -7648 |
| 23 | modelo_1 | 175000 | 117891 | 57109 |
| 45 | modelo_1 | 147765 | 135029 | 12736 |
| 20 | modelo_1 | 119250 | 115554 | 3696 |
| 18 | modelo_1 | 129000 | 113996 | 15004 |
| 8 | modelo_1 | 119800 | 106206 | 13594 |
| 2 | modelo_1 | 79800 | 101532 | -21732 |
| 1 | modelo_1 | 77700 | 100753 | -23053 |
| 0 | modelo_1 | 78000 | 99974 | -21974 |
| 18 | modelo_1 | 104800 | 113996 | -9196 |
| 3 | modelo_1 | 117150 | 102311 | 14839 |
| 20 | modelo_1 | 101000 | 115554 | -14554 |
| 34 | modelo_1 | 103450 | 126460 | -23010 |
| 23 | modelo_1 | 124750 | 117891 | 6859 |
| 36 | modelo_1 | 137000 | 128018 | 8982 |
| 26 | modelo_1 | 89565 | 120228 | -30663 |
| 31 | modelo_1 | 102580 | 124123 | -21543 |
| 30 | modelo_1 | 93904 | 123344 | -29440 |
| 19 | modelo_1 | 113068 | 114775 | -1707 |
| 8 | modelo_1 | 74830 | 106206 | -31376 |
| 8 | modelo_1 | 106294 | 106206 | 88 |
| 23 | modelo_1 | 134885 | 117891 | 16994 |
| 3 | modelo_1 | 82379 | 102311 | -19932 |
| 0 | modelo_1 | 77000 | 99974 | -22974 |
| 8 | modelo_1 | 118223 | 106206 | 12017 |
| 4 | modelo_1 | 132261 | 103090 | 29171 |
| 2 | modelo_1 | 79916 | 101532 | -21616 |
| 9 | modelo_1 | 117256 | 106985 | 10271 |
| 2 | modelo_1 | 80225 | 101532 | -21307 |
| 2 | modelo_1 | 80225 | 101532 | -21307 |
| 0 | modelo_1 | 77000 | 99974 | -22974 |
| 21 | modelo_1 | 155750 | 116333 | 39417 |
| 4 | modelo_1 | 86373 | 103090 | -16717 |
| 31 | modelo_1 | 125196 | 124123 | 1073 |
| 9 | modelo_1 | 100938 | 106985 | -6047 |
| 2 | modelo_1 | 146500 | 101532 | 44968 |
| 23 | modelo_1 | 93418 | 117891 | -24473 |
| 27 | modelo_1 | 101299 | 121007 | -19708 |
| 38 | modelo_1 | 231545 | 129576 | 101969 |
| 19 | modelo_1 | 94384 | 114775 | -20391 |
| 15 | modelo_1 | 114778 | 111659 | 3119 |
| 28 | modelo_1 | 98193 | 121786 | -23593 |
| 19 | modelo_1 | 151768 | 114775 | 36993 |
| 25 | modelo_1 | 140096 | 119449 | 20647 |
| 1 | modelo_1 | 70768 | 100753 | -29985 |
| 28 | modelo_1 | 126621 | 121786 | 4835 |
| 11 | modelo_1 | 108875 | 108543 | 332 |
| 3 | modelo_1 | 74692 | 102311 | -27619 |
| 9 | modelo_1 | 106639 | 106985 | -346 |
| 11 | modelo_1 | 103760 | 108543 | -4783 |
| 5 | modelo_1 | 83900 | 103869 | -19969 |
| 21 | modelo_1 | 117704 | 116333 | 1371 |
| 8 | modelo_1 | 90215 | 106206 | -15991 |
| 9 | modelo_1 | 100135 | 106985 | -6850 |
| 3 | modelo_1 | 75044 | 102311 | -27267 |
| 8 | modelo_1 | 90304 | 106206 | -15902 |
| 2 | modelo_1 | 75243 | 101532 | -26289 |
| 31 | modelo_1 | 109785 | 124123 | -14338 |
| 11 | modelo_1 | 103613 | 108543 | -4930 |
| 3 | modelo_1 | 68404 | 102311 | -33907 |
| 8 | modelo_1 | 100522 | 106206 | -5684 |
| 12 | modelo_1 | 101000 | 109322 | -8322 |
| 31 | modelo_1 | 99418 | 124123 | -24705 |
| 17 | modelo_1 | 111512 | 113217 | -1705 |
| 36 | modelo_1 | 91412 | 128018 | -36606 |
| 2 | modelo_1 | 126320 | 101532 | 24788 |
| 45 | modelo_1 | 146856 | 135029 | 11827 |
| 19 | modelo_1 | 100131 | 114775 | -14644 |
| 34 | modelo_1 | 92391 | 126460 | -34069 |
| 23 | modelo_1 | 113398 | 117891 | -4493 |
| 3 | modelo_1 | 73266 | 102311 | -29045 |
| 3 | modelo_1 | 150480 | 102311 | 48169 |
| 19 | modelo_1 | 193000 | 114775 | 78225 |
| 1 | modelo_1 | 86100 | 100753 | -14653 |
| 2 | modelo_1 | 84240 | 101532 | -17292 |
| 28 | modelo_1 | 150743 | 121786 | 28957 |
| 16 | modelo_1 | 135585 | 112438 | 23147 |
| 20 | modelo_1 | 144640 | 115554 | 29086 |
| 2 | modelo_1 | 88825 | 101532 | -12707 |
| 18 | modelo_1 | 122960 | 113996 | 8964 |
| 14 | modelo_1 | 132825 | 110880 | 21945 |
| 37 | modelo_1 | 152708 | 128797 | 23911 |
| 2 | modelo_1 | 88400 | 101532 | -13132 |
| 25 | modelo_1 | 172272 | 119449 | 52823 |
| 7 | modelo_1 | 107008 | 105427 | 1581 |
| 5 | modelo_1 | 97032 | 103869 | -6837 |
| 7 | modelo_1 | 105128 | 105427 | -299 |
| 7 | modelo_1 | 105631 | 105427 | 204 |
| 38 | modelo_1 | 166024 | 129576 | 36448 |
| 20 | modelo_1 | 123683 | 115554 | 8129 |
| 0 | modelo_1 | 84000 | 99974 | -15974 |
| 12 | modelo_1 | 95611 | 109322 | -13711 |
| 7 | modelo_1 | 129676 | 105427 | 24249 |
| 14 | modelo_1 | 102235 | 110880 | -8645 |
| 26 | modelo_1 | 106689 | 120228 | -13539 |
| 25 | modelo_1 | 133217 | 119449 | 13768 |
| 23 | modelo_1 | 126933 | 117891 | 9042 |
| 5 | modelo_1 | 153303 | 103869 | 49434 |
| 14 | modelo_1 | 127512 | 110880 | 16632 |
| 10 | modelo_1 | 83850 | 107764 | -23914 |
| 28 | modelo_1 | 113543 | 121786 | -8243 |
| 8 | modelo_1 | 82099 | 106206 | -24107 |
| 8 | modelo_1 | 82600 | 106206 | -23606 |
| 8 | modelo_1 | 81500 | 106206 | -24706 |
| 31 | modelo_1 | 131205 | 124123 | 7082 |
| 16 | modelo_1 | 112429 | 112438 | -9 |
| 16 | modelo_1 | 82100 | 112438 | -30338 |
| 1 | modelo_1 | 72500 | 100753 | -28253 |
| 37 | modelo_1 | 104279 | 128797 | -24518 |
| 0 | modelo_1 | 105000 | 99974 | 5026 |
| 9 | modelo_1 | 120806 | 106985 | 13821 |
| 29 | modelo_1 | 148500 | 122565 | 25935 |
| 36 | modelo_1 | 117515 | 128018 | -10503 |
| 1 | modelo_1 | 72500 | 100753 | -28253 |
| 3 | modelo_1 | 73500 | 102311 | -28811 |
| 14 | modelo_1 | 115313 | 110880 | 4433 |
| 32 | modelo_1 | 124309 | 124902 | -593 |
| 22 | modelo_1 | 97262 | 117112 | -19850 |
| 22 | modelo_1 | 62884 | 117112 | -54228 |
| 22 | modelo_1 | 96614 | 117112 | -20498 |
| 49 | modelo_1 | 78162 | 138145 | -59983 |
| 26 | modelo_1 | 155500 | 120228 | 35272 |
| 0 | modelo_1 | 72500 | 99974 | -27474 |
| 30 | modelo_1 | 113278 | 123344 | -10066 |
| 2 | modelo_1 | 73000 | 101532 | -28532 |
| 9 | modelo_1 | 83001 | 106985 | -23984 |
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| 8 | modelo_1 | 77500 | 106206 | -28706 |
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| 49 | modelo_5 | 81800 | 91000 | -9200 |
| 27 | modelo_5 | 115800 | 91000 | 24800 |
| 0 | modelo_5 | 85000 | 91000 | -6000 |
| 27 | modelo_5 | 150500 | 91000 | 59500 |
| 5 | modelo_5 | 74000 | 91000 | -17000 |
| 7 | modelo_5 | 174500 | 91000 | 83500 |
| 28 | modelo_5 | 168500 | 91000 | 77500 |
| 9 | modelo_5 | 183800 | 91000 | 92800 |
| 1 | modelo_5 | 104800 | 91000 | 13800 |
| 7 | modelo_5 | 107300 | 91000 | 16300 |
| 36 | modelo_5 | 97150 | 91000 | 6150 |
| 18 | modelo_5 | 126300 | 91000 | 35300 |
| 11 | modelo_5 | 148800 | 91000 | 57800 |
| 43 | modelo_5 | 72300 | 91000 | -18700 |
| 39 | modelo_5 | 70700 | 91000 | -20300 |
| 36 | modelo_5 | 88600 | 91000 | -2400 |
| 16 | modelo_5 | 127100 | 91000 | 36100 |
| 13 | modelo_5 | 170500 | 91000 | 79500 |
| 4 | modelo_5 | 105260 | 91000 | 14260 |
| 44 | modelo_5 | 144050 | 91000 | 53050 |
| 31 | modelo_5 | 111350 | 91000 | 20350 |
| 4 | modelo_5 | 74500 | 91000 | -16500 |
| 28 | modelo_5 | 122500 | 91000 | 31500 |
| 0 | modelo_5 | 74000 | 91000 | -17000 |
| 15 | modelo_5 | 166800 | 91000 | 75800 |
| 7 | modelo_5 | 92050 | 91000 | 1050 |
| 9 | modelo_5 | 108100 | 91000 | 17100 |
| 19 | modelo_5 | 94350 | 91000 | 3350 |
| 35 | modelo_5 | 100351 | 91000 | 9351 |
| 6 | modelo_5 | 146800 | 91000 | 55800 |
| 3 | modelo_5 | 84716 | 91000 | -6284 |
| 9 | modelo_5 | 71065 | 91000 | -19935 |
| 45 | modelo_5 | 67559 | 91000 | -23441 |
| 16 | modelo_5 | 134550 | 91000 | 43550 |
| 15 | modelo_5 | 135027 | 91000 | 44027 |
| 23 | modelo_5 | 104428 | 91000 | 13428 |
| 9 | modelo_5 | 95642 | 91000 | 4642 |
| 11 | modelo_5 | 126431 | 91000 | 35431 |
| 15 | modelo_5 | 161101 | 91000 | 70101 |
| 31 | modelo_5 | 162221 | 91000 | 71221 |
| 4 | modelo_5 | 84500 | 91000 | -6500 |
| 15 | modelo_5 | 124714 | 91000 | 33714 |
| 37 | modelo_5 | 151650 | 91000 | 60650 |
| 10 | modelo_5 | 99247 | 91000 | 8247 |
| 23 | modelo_5 | 134778 | 91000 | 43778 |
| 60 | modelo_5 | 192253 | 91000 | 101253 |
| 9 | modelo_5 | 116518 | 91000 | 25518 |
| 10 | modelo_5 | 105450 | 91000 | 14450 |
| 19 | modelo_5 | 145098 | 91000 | 54098 |
| 6 | modelo_5 | 104542 | 91000 | 13542 |
| 38 | modelo_5 | 151445 | 91000 | 60445 |
| 23 | modelo_5 | 98053 | 91000 | 7053 |
| 12 | modelo_5 | 145000 | 91000 | 54000 |
| 25 | modelo_5 | 128464 | 91000 | 37464 |
| 15 | modelo_5 | 137317 | 91000 | 46317 |
| 11 | modelo_5 | 106231 | 91000 | 15231 |
| 17 | modelo_5 | 124312 | 91000 | 33312 |
| 38 | modelo_5 | 114596 | 91000 | 23596 |
| 31 | modelo_5 | 162150 | 91000 | 71150 |
| 35 | modelo_5 | 150376 | 91000 | 59376 |
| 10 | modelo_5 | 107986 | 91000 | 16986 |
| 27 | modelo_5 | 142023 | 91000 | 51023 |
| 33 | modelo_5 | 128250 | 91000 | 37250 |
| 3 | modelo_5 | 80139 | 91000 | -10861 |
| 28 | modelo_5 | 144309 | 91000 | 53309 |
| 49 | modelo_5 | 186960 | 91000 | 95960 |
| 38 | modelo_5 | 93519 | 91000 | 2519 |
| 27 | modelo_5 | 142500 | 91000 | 51500 |
| 20 | modelo_5 | 138000 | 91000 | 47000 |
| 1 | modelo_5 | 83600 | 91000 | -7400 |
| 21 | modelo_5 | 145028 | 91000 | 54028 |
| 40 | modelo_5 | 88709 | 91000 | -2291 |
| 35 | modelo_5 | 107309 | 91000 | 16309 |
| 14 | modelo_5 | 109954 | 91000 | 18954 |
| 4 | modelo_5 | 78785 | 91000 | -12215 |
| 11 | modelo_5 | 121946 | 91000 | 30946 |
| 15 | modelo_5 | 109646 | 91000 | 18646 |
| 30 | modelo_5 | 138771 | 91000 | 47771 |
| 17 | modelo_5 | 81285 | 91000 | -9715 |
| 43 | modelo_5 | 205500 | 91000 | 114500 |
| 40 | modelo_5 | 101036 | 91000 | 10036 |
| 10 | modelo_5 | 115435 | 91000 | 24435 |
| 1 | modelo_5 | 108413 | 91000 | 17413 |
| 30 | modelo_5 | 131950 | 91000 | 40950 |
| 31 | modelo_5 | 134690 | 91000 | 43690 |
| 8 | modelo_5 | 78182 | 91000 | -12818 |
| 20 | modelo_5 | 110515 | 91000 | 19515 |
| 7 | modelo_5 | 109707 | 91000 | 18707 |
| 26 | modelo_5 | 136660 | 91000 | 45660 |
| 19 | modelo_5 | 103275 | 91000 | 12275 |
| 26 | modelo_5 | 103649 | 91000 | 12649 |
| 1 | modelo_5 | 74856 | 91000 | -16144 |
| 3 | modelo_5 | 77081 | 91000 | -13919 |
| 38 | modelo_5 | 150680 | 91000 | 59680 |
| 8 | modelo_5 | 104121 | 91000 | 13121 |
| 3 | modelo_5 | 75996 | 91000 | -15004 |
| 23 | modelo_5 | 172505 | 91000 | 81505 |
| 5 | modelo_5 | 86895 | 91000 | -4105 |
| 44 | modelo_5 | 105000 | 91000 | 14000 |
| 21 | modelo_5 | 125192 | 91000 | 34192 |
| 9 | modelo_5 | 114330 | 91000 | 23330 |
| 27 | modelo_5 | 139219 | 91000 | 48219 |
| 15 | modelo_5 | 109305 | 91000 | 18305 |
| 36 | modelo_5 | 119450 | 91000 | 28450 |
| 18 | modelo_5 | 186023 | 91000 | 95023 |
| 19 | modelo_5 | 166605 | 91000 | 75605 |
| 19 | modelo_5 | 151292 | 91000 | 60292 |
| 30 | modelo_5 | 103106 | 91000 | 12106 |
| 19 | modelo_5 | 150564 | 91000 | 59564 |
| 25 | modelo_5 | 101738 | 91000 | 10738 |
| 15 | modelo_5 | 95329 | 91000 | 4329 |
| 4 | modelo_5 | 81035 | 91000 | -9965 |
Mas como resumir todos esses erros em um único valor? Poderia simplesmente tirar o erro médio em cima desse resíduo?
Não! Da forma como o resíduo está disposto, se eu somar, por exemplo, 60762 com -22561, isso aumentaria ou diminuiria o erro? Lembre que o menor erro possível é zero!
Se eu elevar o resíduo ao quadrado, erros negativos não vão anular erros positivos! Então farei isso! Terei algo do tipo:
dados[, residuo_ao_quadrado := residuo ^ 2, by = modelo]
dados %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | modelo | salario | salario_previsto | residuo | residuo_ao_quadrado |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | modelo_1 | 139750 | 113996 | 25754 | 663268516 |
| 16 | modelo_1 | 173200 | 112438 | 60762 | 3692020644 |
| 3 | modelo_1 | 79750 | 102311 | -22561 | 508998721 |
| 39 | modelo_1 | 115000 | 130355 | -15355 | 235776025 |
| 41 | modelo_1 | 141500 | 131913 | 9587 | 91910569 |
| 6 | modelo_1 | 97000 | 104648 | -7648 | 58491904 |
| 23 | modelo_1 | 175000 | 117891 | 57109 | 3261437881 |
| 45 | modelo_1 | 147765 | 135029 | 12736 | 162205696 |
| 20 | modelo_1 | 119250 | 115554 | 3696 | 13660416 |
| 18 | modelo_1 | 129000 | 113996 | 15004 | 225120016 |
| 8 | modelo_1 | 119800 | 106206 | 13594 | 184796836 |
| 2 | modelo_1 | 79800 | 101532 | -21732 | 472279824 |
| 1 | modelo_1 | 77700 | 100753 | -23053 | 531440809 |
| 0 | modelo_1 | 78000 | 99974 | -21974 | 482856676 |
| 18 | modelo_1 | 104800 | 113996 | -9196 | 84566416 |
| 3 | modelo_1 | 117150 | 102311 | 14839 | 220195921 |
| 20 | modelo_1 | 101000 | 115554 | -14554 | 211818916 |
| 34 | modelo_1 | 103450 | 126460 | -23010 | 529460100 |
| 23 | modelo_1 | 124750 | 117891 | 6859 | 47045881 |
| 36 | modelo_1 | 137000 | 128018 | 8982 | 80676324 |
| 26 | modelo_1 | 89565 | 120228 | -30663 | 940219569 |
| 31 | modelo_1 | 102580 | 124123 | -21543 | 464100849 |
| 30 | modelo_1 | 93904 | 123344 | -29440 | 866713600 |
| 19 | modelo_1 | 113068 | 114775 | -1707 | 2913849 |
| 8 | modelo_1 | 74830 | 106206 | -31376 | 984453376 |
| 8 | modelo_1 | 106294 | 106206 | 88 | 7744 |
| 23 | modelo_1 | 134885 | 117891 | 16994 | 288796036 |
| 3 | modelo_1 | 82379 | 102311 | -19932 | 397284624 |
| 0 | modelo_1 | 77000 | 99974 | -22974 | 527804676 |
| 8 | modelo_1 | 118223 | 106206 | 12017 | 144408289 |
| 4 | modelo_1 | 132261 | 103090 | 29171 | 850947241 |
| 2 | modelo_1 | 79916 | 101532 | -21616 | 467251456 |
| 9 | modelo_1 | 117256 | 106985 | 10271 | 105493441 |
| 2 | modelo_1 | 80225 | 101532 | -21307 | 453988249 |
| 2 | modelo_1 | 80225 | 101532 | -21307 | 453988249 |
| 0 | modelo_1 | 77000 | 99974 | -22974 | 527804676 |
| 21 | modelo_1 | 155750 | 116333 | 39417 | 1553699889 |
| 4 | modelo_1 | 86373 | 103090 | -16717 | 279458089 |
| 31 | modelo_1 | 125196 | 124123 | 1073 | 1151329 |
| 9 | modelo_1 | 100938 | 106985 | -6047 | 36566209 |
| 2 | modelo_1 | 146500 | 101532 | 44968 | 2022121024 |
| 23 | modelo_1 | 93418 | 117891 | -24473 | 598927729 |
| 27 | modelo_1 | 101299 | 121007 | -19708 | 388405264 |
| 38 | modelo_1 | 231545 | 129576 | 101969 | 10397676961 |
| 19 | modelo_1 | 94384 | 114775 | -20391 | 415792881 |
| 15 | modelo_1 | 114778 | 111659 | 3119 | 9728161 |
| 28 | modelo_1 | 98193 | 121786 | -23593 | 556629649 |
| 19 | modelo_1 | 151768 | 114775 | 36993 | 1368482049 |
| 25 | modelo_1 | 140096 | 119449 | 20647 | 426298609 |
| 1 | modelo_1 | 70768 | 100753 | -29985 | 899100225 |
| 28 | modelo_1 | 126621 | 121786 | 4835 | 23377225 |
| 11 | modelo_1 | 108875 | 108543 | 332 | 110224 |
| 3 | modelo_1 | 74692 | 102311 | -27619 | 762809161 |
| 9 | modelo_1 | 106639 | 106985 | -346 | 119716 |
| 11 | modelo_1 | 103760 | 108543 | -4783 | 22877089 |
| 5 | modelo_1 | 83900 | 103869 | -19969 | 398760961 |
| 21 | modelo_1 | 117704 | 116333 | 1371 | 1879641 |
| 8 | modelo_1 | 90215 | 106206 | -15991 | 255712081 |
| 9 | modelo_1 | 100135 | 106985 | -6850 | 46922500 |
| 3 | modelo_1 | 75044 | 102311 | -27267 | 743489289 |
| 8 | modelo_1 | 90304 | 106206 | -15902 | 252873604 |
| 2 | modelo_1 | 75243 | 101532 | -26289 | 691111521 |
| 31 | modelo_1 | 109785 | 124123 | -14338 | 205578244 |
| 11 | modelo_1 | 103613 | 108543 | -4930 | 24304900 |
| 3 | modelo_1 | 68404 | 102311 | -33907 | 1149684649 |
| 8 | modelo_1 | 100522 | 106206 | -5684 | 32307856 |
| 12 | modelo_1 | 101000 | 109322 | -8322 | 69255684 |
| 31 | modelo_1 | 99418 | 124123 | -24705 | 610337025 |
| 17 | modelo_1 | 111512 | 113217 | -1705 | 2907025 |
| 36 | modelo_1 | 91412 | 128018 | -36606 | 1339999236 |
| 2 | modelo_1 | 126320 | 101532 | 24788 | 614444944 |
| 45 | modelo_1 | 146856 | 135029 | 11827 | 139877929 |
| 19 | modelo_1 | 100131 | 114775 | -14644 | 214446736 |
| 34 | modelo_1 | 92391 | 126460 | -34069 | 1160696761 |
| 23 | modelo_1 | 113398 | 117891 | -4493 | 20187049 |
| 3 | modelo_1 | 73266 | 102311 | -29045 | 843612025 |
| 3 | modelo_1 | 150480 | 102311 | 48169 | 2320252561 |
| 19 | modelo_1 | 193000 | 114775 | 78225 | 6119150625 |
| 1 | modelo_1 | 86100 | 100753 | -14653 | 214710409 |
| 2 | modelo_1 | 84240 | 101532 | -17292 | 299013264 |
| 28 | modelo_1 | 150743 | 121786 | 28957 | 838507849 |
| 16 | modelo_1 | 135585 | 112438 | 23147 | 535783609 |
| 20 | modelo_1 | 144640 | 115554 | 29086 | 845995396 |
| 2 | modelo_1 | 88825 | 101532 | -12707 | 161467849 |
| 18 | modelo_1 | 122960 | 113996 | 8964 | 80353296 |
| 14 | modelo_1 | 132825 | 110880 | 21945 | 481583025 |
| 37 | modelo_1 | 152708 | 128797 | 23911 | 571735921 |
| 2 | modelo_1 | 88400 | 101532 | -13132 | 172449424 |
| 25 | modelo_1 | 172272 | 119449 | 52823 | 2790269329 |
| 7 | modelo_1 | 107008 | 105427 | 1581 | 2499561 |
| 5 | modelo_1 | 97032 | 103869 | -6837 | 46744569 |
| 7 | modelo_1 | 105128 | 105427 | -299 | 89401 |
| 7 | modelo_1 | 105631 | 105427 | 204 | 41616 |
| 38 | modelo_1 | 166024 | 129576 | 36448 | 1328456704 |
| 20 | modelo_1 | 123683 | 115554 | 8129 | 66080641 |
| 0 | modelo_1 | 84000 | 99974 | -15974 | 255168676 |
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| 25 | modelo_5 | 128464 | 91000 | 37464 | 1403551296 |
| 15 | modelo_5 | 137317 | 91000 | 46317 | 2145264489 |
| 11 | modelo_5 | 106231 | 91000 | 15231 | 231983361 |
| 17 | modelo_5 | 124312 | 91000 | 33312 | 1109689344 |
| 38 | modelo_5 | 114596 | 91000 | 23596 | 556771216 |
| 31 | modelo_5 | 162150 | 91000 | 71150 | 5062322500 |
| 35 | modelo_5 | 150376 | 91000 | 59376 | 3525509376 |
| 10 | modelo_5 | 107986 | 91000 | 16986 | 288524196 |
| 27 | modelo_5 | 142023 | 91000 | 51023 | 2603346529 |
| 33 | modelo_5 | 128250 | 91000 | 37250 | 1387562500 |
| 3 | modelo_5 | 80139 | 91000 | -10861 | 117961321 |
| 28 | modelo_5 | 144309 | 91000 | 53309 | 2841849481 |
| 49 | modelo_5 | 186960 | 91000 | 95960 | 9208321600 |
| 38 | modelo_5 | 93519 | 91000 | 2519 | 6345361 |
| 27 | modelo_5 | 142500 | 91000 | 51500 | 2652250000 |
| 20 | modelo_5 | 138000 | 91000 | 47000 | 2209000000 |
| 1 | modelo_5 | 83600 | 91000 | -7400 | 54760000 |
| 21 | modelo_5 | 145028 | 91000 | 54028 | 2919024784 |
| 40 | modelo_5 | 88709 | 91000 | -2291 | 5248681 |
| 35 | modelo_5 | 107309 | 91000 | 16309 | 265983481 |
| 14 | modelo_5 | 109954 | 91000 | 18954 | 359254116 |
| 4 | modelo_5 | 78785 | 91000 | -12215 | 149206225 |
| 11 | modelo_5 | 121946 | 91000 | 30946 | 957654916 |
| 15 | modelo_5 | 109646 | 91000 | 18646 | 347673316 |
| 30 | modelo_5 | 138771 | 91000 | 47771 | 2282068441 |
| 17 | modelo_5 | 81285 | 91000 | -9715 | 94381225 |
| 43 | modelo_5 | 205500 | 91000 | 114500 | 13110250000 |
| 40 | modelo_5 | 101036 | 91000 | 10036 | 100721296 |
| 10 | modelo_5 | 115435 | 91000 | 24435 | 597069225 |
| 1 | modelo_5 | 108413 | 91000 | 17413 | 303212569 |
| 30 | modelo_5 | 131950 | 91000 | 40950 | 1676902500 |
| 31 | modelo_5 | 134690 | 91000 | 43690 | 1908816100 |
| 8 | modelo_5 | 78182 | 91000 | -12818 | 164301124 |
| 20 | modelo_5 | 110515 | 91000 | 19515 | 380835225 |
| 7 | modelo_5 | 109707 | 91000 | 18707 | 349951849 |
| 26 | modelo_5 | 136660 | 91000 | 45660 | 2084835600 |
| 19 | modelo_5 | 103275 | 91000 | 12275 | 150675625 |
| 26 | modelo_5 | 103649 | 91000 | 12649 | 159997201 |
| 1 | modelo_5 | 74856 | 91000 | -16144 | 260628736 |
| 3 | modelo_5 | 77081 | 91000 | -13919 | 193738561 |
| 38 | modelo_5 | 150680 | 91000 | 59680 | 3561702400 |
| 8 | modelo_5 | 104121 | 91000 | 13121 | 172160641 |
| 3 | modelo_5 | 75996 | 91000 | -15004 | 225120016 |
| 23 | modelo_5 | 172505 | 91000 | 81505 | 6643065025 |
| 5 | modelo_5 | 86895 | 91000 | -4105 | 16851025 |
| 44 | modelo_5 | 105000 | 91000 | 14000 | 196000000 |
| 21 | modelo_5 | 125192 | 91000 | 34192 | 1169092864 |
| 9 | modelo_5 | 114330 | 91000 | 23330 | 544288900 |
| 27 | modelo_5 | 139219 | 91000 | 48219 | 2325071961 |
| 15 | modelo_5 | 109305 | 91000 | 18305 | 335073025 |
| 36 | modelo_5 | 119450 | 91000 | 28450 | 809402500 |
| 18 | modelo_5 | 186023 | 91000 | 95023 | 9029370529 |
| 19 | modelo_5 | 166605 | 91000 | 75605 | 5716116025 |
| 19 | modelo_5 | 151292 | 91000 | 60292 | 3635125264 |
| 30 | modelo_5 | 103106 | 91000 | 12106 | 146555236 |
| 19 | modelo_5 | 150564 | 91000 | 59564 | 3547870096 |
| 25 | modelo_5 | 101738 | 91000 | 10738 | 115304644 |
| 15 | modelo_5 | 95329 | 91000 | 4329 | 18740241 |
| 4 | modelo_5 | 81035 | 91000 | -9965 | 99301225 |
Agora sim! Se eu tirar a média dos resíduos quadrados de cada modelo, eu terei uma medida única para definir o quanto cada modelo errou! O nome dessa medida se chama Erro Quadrado Médio! Ou seja, minimizando o erro quadrado médio, alcançamos um modelo capaz de se ajustar bem aos dados!
O erro quadrado médio de cada modelo é:
dados[, .(erro_quadrado_medio = mean(residuo_ao_quadrado)), by = modelo] %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| modelo | erro_quadrado_medio |
|---|---|
| modelo_1 | 812572847 |
| modelo_2 | 3441608291 |
| modelo_3 | 8185810686 |
| modelo_4 | 2841694470 |
| modelo_5 | 1430698223 |
Qual dos 5 modelos apresentou o menor erro quadrado médio? O primeiro! Esse, inclusive, foi o modelo que utilizei no exemplo no início do capítulo.
Mas então, como formalizar um estimador para os parâmetros de um modelo linear, sem ter que ficar “chutando” diversos valores até acertar a melhor combinação possível? Matemática! A estimação é um pouco enjoada mas faz todo sentido!
Queremos encontrar uma combinação de parâmetros de \(\beta_j\) que minimize a média do quadrado dos resíduos. A expressão matemática é:
\[ miniminizar \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n {u_i}^2\right) = miniminizar \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (Y_i - \hat{Y_i})^2 \right) = miniminizar \left(\frac{1}{n} \sum_{i = 1}^n (Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i))^2 \right) \]
Uma prova completa de como chegar nos estimadores dessa forma funcional é encontrada por meio da derivação dessa expressão feia acima, igualando ela a zero. Mas, sendo muito sincero, é uma fórmula um tanto quanto inútil e dificilmente cobrada em avaliações a nível de graduação. É importante, nesse primeiro momento, entender a lógica do processo de estimação, e não derivar esse trem todo sem saber o que está acontecendo.
Caso você tenha curiosidade, uma prova pelo método acima pode ser visto aqui. Eu resolvi também por dois outros métodos muito usados na estatística tradicional, neste outro documento aqui.
De toda forma, para um modelo de regressão linear, com a forma funcional de \(Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i\), os estimadores \(\beta_0\) e \(\beta_1\) podem ser estimados pelas equações:
\[ \hat{\beta_0} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i - \hat{\beta_1}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \]
\[ \hat{\beta_1}= \frac{n\sum_{i=1}^n Y_iX_i - \sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^n Y_i}{n\sum_{i=1}^nX_i^2-(\sum_{i=1}^nX_i)^2} \]
Destaco o por que conhecer essas fórmulas é inútil a seguir:
- Só funciona em modelos com específicamente essa forma funcional.
- Não permite a adição de mais variáveis.
- É horrível de calcular!
Uma solução melhor, que pode exigir a utilização de recursos computacionais é a fórmula matricial, que é bem mais simples de utilizar! (Dedicarei uma seção a essa fórmula!)
3.3 Formas funcionais
O que é uma forma funcional pode ser uma pergunta que você tenha feito na seção anterior. De forma simples, forma funcional é exatamente o que o nome quer dizer: a forma da função! Se nosso objetivo com a econometria é representar Y como função de X, podemos fazer isso de diferentes formas!
Dei dois exemplos de forma funcional linear na seção acima. Foram formas funcionais de uma linha reta sem e com intercepto. O que mais eu poderia fazer?
3.3.1 Modelos lineares clássicos
Um modelo linear clássico tem a seguinte forma funcional:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]
Ou seja, temos o valor coletado de Y, que no exemplo utilizado nesse capítulo seria o salário, e o valor coletado de X, que seriam os anos de estudo. Já estimamos e interpretamos esse modelo anteriormente! A relação de Y e X é diretamente captada por \(\beta_1\). Ou seja, para cada aumento em uma unidade de \(X_i\), \(Y_i\) aumenta ou diminui em \(\beta_1\)!
3.3.2 Modelos log-log
Os modelos log-log apresentam a seguinte forma funcional:
\[ log(Y_i) = \beta_0 + \beta_1log(X_i) + u_i \]
Note, que após coletar Y e X, eu estimo o modelo em cima do valor de log pra cada uma das observações. Lembrando dos nossos dados, tínhamos:
dataset[, salario_previsto := NULL]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario |
|---|---|
| 18 | 139750 |
| 16 | 173200 |
| 3 | 79750 |
| 39 | 115000 |
| 41 | 141500 |
| 6 | 97000 |
| 23 | 175000 |
| 45 | 147765 |
| 20 | 119250 |
| 18 | 129000 |
| 8 | 119800 |
| 2 | 79800 |
| 1 | 77700 |
| 0 | 78000 |
| 18 | 104800 |
| 3 | 117150 |
| 20 | 101000 |
| 34 | 103450 |
| 23 | 124750 |
| 36 | 137000 |
| 26 | 89565 |
| 31 | 102580 |
| 30 | 93904 |
| 19 | 113068 |
| 8 | 74830 |
| 8 | 106294 |
| 23 | 134885 |
| 3 | 82379 |
| 0 | 77000 |
| 8 | 118223 |
| 4 | 132261 |
| 2 | 79916 |
| 9 | 117256 |
| 2 | 80225 |
| 2 | 80225 |
| 0 | 77000 |
| 21 | 155750 |
| 4 | 86373 |
| 31 | 125196 |
| 9 | 100938 |
| 2 | 146500 |
| 23 | 93418 |
| 27 | 101299 |
| 38 | 231545 |
| 19 | 94384 |
| 15 | 114778 |
| 28 | 98193 |
| 19 | 151768 |
| 25 | 140096 |
| 1 | 70768 |
| 28 | 126621 |
| 11 | 108875 |
| 3 | 74692 |
| 9 | 106639 |
| 11 | 103760 |
| 5 | 83900 |
| 21 | 117704 |
| 8 | 90215 |
| 9 | 100135 |
| 3 | 75044 |
| 8 | 90304 |
| 2 | 75243 |
| 31 | 109785 |
| 11 | 103613 |
| 3 | 68404 |
| 8 | 100522 |
| 12 | 101000 |
| 31 | 99418 |
| 17 | 111512 |
| 36 | 91412 |
| 2 | 126320 |
| 45 | 146856 |
| 19 | 100131 |
| 34 | 92391 |
| 23 | 113398 |
| 3 | 73266 |
| 3 | 150480 |
| 19 | 193000 |
| 1 | 86100 |
| 2 | 84240 |
| 28 | 150743 |
| 16 | 135585 |
| 20 | 144640 |
| 2 | 88825 |
| 18 | 122960 |
| 14 | 132825 |
| 37 | 152708 |
| 2 | 88400 |
| 25 | 172272 |
| 7 | 107008 |
| 5 | 97032 |
| 7 | 105128 |
| 7 | 105631 |
| 38 | 166024 |
| 20 | 123683 |
| 0 | 84000 |
| 12 | 95611 |
| 7 | 129676 |
| 14 | 102235 |
| 26 | 106689 |
| 25 | 133217 |
| 23 | 126933 |
| 5 | 153303 |
| 14 | 127512 |
| 10 | 83850 |
| 28 | 113543 |
| 8 | 82099 |
| 8 | 82600 |
| 8 | 81500 |
| 31 | 131205 |
| 16 | 112429 |
| 16 | 82100 |
| 1 | 72500 |
| 37 | 104279 |
| 0 | 105000 |
| 9 | 120806 |
| 29 | 148500 |
| 36 | 117515 |
| 1 | 72500 |
| 3 | 73500 |
| 14 | 115313 |
| 32 | 124309 |
| 22 | 97262 |
| 22 | 62884 |
| 22 | 96614 |
| 49 | 78162 |
| 26 | 155500 |
| 0 | 72500 |
| 30 | 113278 |
| 2 | 73000 |
| 9 | 83001 |
| 57 | 76840 |
| 8 | 77500 |
| 1 | 72500 |
| 25 | 168635 |
| 18 | 136000 |
| 14 | 108262 |
| 14 | 105668 |
| 7 | 73877 |
| 18 | 152664 |
| 8 | 100102 |
| 10 | 81500 |
| 11 | 106608 |
| 3 | 89942 |
| 27 | 112696 |
| 28 | 119015 |
| 4 | 92000 |
| 27 | 156938 |
| 26 | 144651 |
| 3 | 95079 |
| 12 | 128148 |
| 4 | 92000 |
| 9 | 111168 |
| 10 | 103994 |
| 0 | 92000 |
| 21 | 118971 |
| 18 | 113341 |
| 0 | 88000 |
| 6 | 95408 |
| 16 | 137167 |
| 2 | 89516 |
| 19 | 176500 |
| 7 | 98510 |
| 3 | 89942 |
| 0 | 88795 |
| 8 | 105890 |
| 16 | 167284 |
| 19 | 130664 |
| 6 | 101210 |
| 18 | 181257 |
| 5 | 91227 |
| 19 | 151575 |
| 24 | 93164 |
| 20 | 134185 |
| 6 | 105000 |
| 25 | 111751 |
| 7 | 95436 |
| 9 | 100944 |
| 14 | 147349 |
| 3 | 92000 |
| 11 | 142467 |
| 5 | 141136 |
| 8 | 100000 |
| 22 | 150000 |
| 23 | 101000 |
| 30 | 134000 |
| 10 | 103750 |
| 10 | 107500 |
| 28 | 106300 |
| 19 | 153750 |
| 9 | 180000 |
| 22 | 133700 |
| 18 | 122100 |
| 19 | 86250 |
| 53 | 90000 |
| 7 | 113600 |
| 4 | 92700 |
| 4 | 92000 |
| 33 | 189409 |
| 22 | 114500 |
| 4 | 92700 |
| 40 | 119700 |
| 17 | 160400 |
| 17 | 152500 |
| 5 | 165000 |
| 2 | 96545 |
| 33 | 162200 |
| 18 | 120000 |
| 2 | 91300 |
| 20 | 163200 |
| 3 | 91000 |
| 39 | 111350 |
| 7 | 128400 |
| 19 | 126200 |
| 1 | 118700 |
| 11 | 145350 |
| 11 | 146000 |
| 22 | 105350 |
| 7 | 109650 |
| 11 | 119500 |
| 21 | 170000 |
| 10 | 145200 |
| 6 | 107150 |
| 20 | 129600 |
| 35 | 87800 |
| 20 | 122400 |
| 1 | 63900 |
| 7 | 70000 |
| 11 | 88175 |
| 38 | 133900 |
| 27 | 91000 |
| 24 | 73300 |
| 19 | 148750 |
| 19 | 117555 |
| 3 | 69700 |
| 17 | 81700 |
| 25 | 114000 |
| 6 | 63100 |
| 40 | 77202 |
| 6 | 96200 |
| 3 | 69200 |
| 30 | 122875 |
| 37 | 102600 |
| 23 | 108200 |
| 23 | 84273 |
| 11 | 90450 |
| 23 | 91100 |
| 18 | 101100 |
| 23 | 128800 |
| 7 | 204000 |
| 39 | 109000 |
| 8 | 102000 |
| 12 | 132000 |
| 2 | 77500 |
| 7 | 116450 |
| 8 | 83000 |
| 22 | 140300 |
| 23 | 74000 |
| 3 | 73800 |
| 30 | 92550 |
| 33 | 88600 |
| 45 | 107550 |
| 26 | 121200 |
| 31 | 126000 |
| 35 | 99000 |
| 30 | 134800 |
| 43 | 143940 |
| 10 | 104350 |
| 44 | 89650 |
| 7 | 103700 |
| 40 | 143250 |
| 18 | 194800 |
| 1 | 73000 |
| 4 | 74000 |
| 3 | 78500 |
| 6 | 93000 |
| 48 | 107200 |
| 27 | 163200 |
| 18 | 107100 |
| 46 | 100600 |
| 38 | 136500 |
| 27 | 103600 |
| 51 | 57800 |
| 43 | 155865 |
| 6 | 88650 |
| 49 | 81800 |
| 27 | 115800 |
| 0 | 85000 |
| 27 | 150500 |
| 5 | 74000 |
| 7 | 174500 |
| 28 | 168500 |
| 9 | 183800 |
| 1 | 104800 |
| 7 | 107300 |
| 36 | 97150 |
| 18 | 126300 |
| 11 | 148800 |
| 43 | 72300 |
| 39 | 70700 |
| 36 | 88600 |
| 16 | 127100 |
| 13 | 170500 |
| 4 | 105260 |
| 44 | 144050 |
| 31 | 111350 |
| 4 | 74500 |
| 28 | 122500 |
| 0 | 74000 |
| 15 | 166800 |
| 7 | 92050 |
| 9 | 108100 |
| 19 | 94350 |
| 35 | 100351 |
| 6 | 146800 |
| 3 | 84716 |
| 9 | 71065 |
| 45 | 67559 |
| 16 | 134550 |
| 15 | 135027 |
| 23 | 104428 |
| 9 | 95642 |
| 11 | 126431 |
| 15 | 161101 |
| 31 | 162221 |
| 4 | 84500 |
| 15 | 124714 |
| 37 | 151650 |
| 10 | 99247 |
| 23 | 134778 |
| 60 | 192253 |
| 9 | 116518 |
| 10 | 105450 |
| 19 | 145098 |
| 6 | 104542 |
| 38 | 151445 |
| 23 | 98053 |
| 12 | 145000 |
| 25 | 128464 |
| 15 | 137317 |
| 11 | 106231 |
| 17 | 124312 |
| 38 | 114596 |
| 31 | 162150 |
| 35 | 150376 |
| 10 | 107986 |
| 27 | 142023 |
| 33 | 128250 |
| 3 | 80139 |
| 28 | 144309 |
| 49 | 186960 |
| 38 | 93519 |
| 27 | 142500 |
| 20 | 138000 |
| 1 | 83600 |
| 21 | 145028 |
| 40 | 88709 |
| 35 | 107309 |
| 14 | 109954 |
| 4 | 78785 |
| 11 | 121946 |
| 15 | 109646 |
| 30 | 138771 |
| 17 | 81285 |
| 43 | 205500 |
| 40 | 101036 |
| 10 | 115435 |
| 1 | 108413 |
| 30 | 131950 |
| 31 | 134690 |
| 8 | 78182 |
| 20 | 110515 |
| 7 | 109707 |
| 26 | 136660 |
| 19 | 103275 |
| 26 | 103649 |
| 1 | 74856 |
| 3 | 77081 |
| 38 | 150680 |
| 8 | 104121 |
| 3 | 75996 |
| 23 | 172505 |
| 5 | 86895 |
| 44 | 105000 |
| 21 | 125192 |
| 9 | 114330 |
| 27 | 139219 |
| 15 | 109305 |
| 36 | 119450 |
| 18 | 186023 |
| 19 | 166605 |
| 19 | 151292 |
| 30 | 103106 |
| 19 | 150564 |
| 25 | 101738 |
| 15 | 95329 |
| 4 | 81035 |
Nessa forma funcional, não tenho interesse nesses dados da forma como estão, e sim no valor do log deles. Então é só aplicar log para cada valor, gerando:
dataset[
,
`:=` (
log_salario = log(salario),
log_anos_de_servico = log(anos_de_servico)
)
]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario | log_salario | log_anos_de_servico |
|---|---|---|---|
| 18 | 139750 | 11.84761 | 2.8903718 |
| 16 | 173200 | 12.06220 | 2.7725887 |
| 3 | 79750 | 11.28665 | 1.0986123 |
| 39 | 115000 | 11.65269 | 3.6635616 |
| 41 | 141500 | 11.86005 | 3.7135721 |
| 6 | 97000 | 11.48247 | 1.7917595 |
| 23 | 175000 | 12.07254 | 3.1354942 |
| 45 | 147765 | 11.90338 | 3.8066625 |
| 20 | 119250 | 11.68898 | 2.9957323 |
| 18 | 129000 | 11.76757 | 2.8903718 |
| 8 | 119800 | 11.69358 | 2.0794415 |
| 2 | 79800 | 11.28728 | 0.6931472 |
| 1 | 77700 | 11.26061 | 0.0000000 |
| 0 | 78000 | 11.26446 | -Inf |
| 18 | 104800 | 11.55981 | 2.8903718 |
| 3 | 117150 | 11.67121 | 1.0986123 |
| 20 | 101000 | 11.52288 | 2.9957323 |
| 34 | 103450 | 11.54684 | 3.5263605 |
| 23 | 124750 | 11.73407 | 3.1354942 |
| 36 | 137000 | 11.82774 | 3.5835189 |
| 26 | 89565 | 11.40272 | 3.2580965 |
| 31 | 102580 | 11.53840 | 3.4339872 |
| 30 | 93904 | 11.45003 | 3.4011974 |
| 19 | 113068 | 11.63574 | 2.9444390 |
| 8 | 74830 | 11.22297 | 2.0794415 |
| 8 | 106294 | 11.57396 | 2.0794415 |
| 23 | 134885 | 11.81218 | 3.1354942 |
| 3 | 82379 | 11.31909 | 1.0986123 |
| 0 | 77000 | 11.25156 | -Inf |
| 8 | 118223 | 11.68033 | 2.0794415 |
| 4 | 132261 | 11.79253 | 1.3862944 |
| 2 | 79916 | 11.28873 | 0.6931472 |
| 9 | 117256 | 11.67211 | 2.1972246 |
| 2 | 80225 | 11.29259 | 0.6931472 |
| 2 | 80225 | 11.29259 | 0.6931472 |
| 0 | 77000 | 11.25156 | -Inf |
| 21 | 155750 | 11.95601 | 3.0445224 |
| 4 | 86373 | 11.36643 | 1.3862944 |
| 31 | 125196 | 11.73764 | 3.4339872 |
| 9 | 100938 | 11.52226 | 2.1972246 |
| 2 | 146500 | 11.89478 | 0.6931472 |
| 23 | 93418 | 11.44484 | 3.1354942 |
| 27 | 101299 | 11.52583 | 3.2958369 |
| 38 | 231545 | 12.35253 | 3.6375862 |
| 19 | 94384 | 11.45513 | 2.9444390 |
| 15 | 114778 | 11.65076 | 2.7080502 |
| 28 | 98193 | 11.49469 | 3.3322045 |
| 19 | 151768 | 11.93011 | 2.9444390 |
| 25 | 140096 | 11.85008 | 3.2188758 |
| 1 | 70768 | 11.16716 | 0.0000000 |
| 28 | 126621 | 11.74895 | 3.3322045 |
| 11 | 108875 | 11.59796 | 2.3978953 |
| 3 | 74692 | 11.22113 | 1.0986123 |
| 9 | 106639 | 11.57720 | 2.1972246 |
| 11 | 103760 | 11.54984 | 2.3978953 |
| 5 | 83900 | 11.33738 | 1.6094379 |
| 21 | 117704 | 11.67593 | 3.0445224 |
| 8 | 90215 | 11.40995 | 2.0794415 |
| 9 | 100135 | 11.51427 | 2.1972246 |
| 3 | 75044 | 11.22583 | 1.0986123 |
| 8 | 90304 | 11.41094 | 2.0794415 |
| 2 | 75243 | 11.22848 | 0.6931472 |
| 31 | 109785 | 11.60628 | 3.4339872 |
| 11 | 103613 | 11.54842 | 2.3978953 |
| 3 | 68404 | 11.13319 | 1.0986123 |
| 8 | 100522 | 11.51813 | 2.0794415 |
| 12 | 101000 | 11.52288 | 2.4849066 |
| 31 | 99418 | 11.50709 | 3.4339872 |
| 17 | 111512 | 11.62189 | 2.8332133 |
| 36 | 91412 | 11.42313 | 3.5835189 |
| 2 | 126320 | 11.74657 | 0.6931472 |
| 45 | 146856 | 11.89721 | 3.8066625 |
| 19 | 100131 | 11.51423 | 2.9444390 |
| 34 | 92391 | 11.43378 | 3.5263605 |
| 23 | 113398 | 11.63866 | 3.1354942 |
| 3 | 73266 | 11.20185 | 1.0986123 |
| 3 | 150480 | 11.92159 | 1.0986123 |
| 19 | 193000 | 12.17045 | 2.9444390 |
| 1 | 86100 | 11.36326 | 0.0000000 |
| 2 | 84240 | 11.34143 | 0.6931472 |
| 28 | 150743 | 11.92333 | 3.3322045 |
| 16 | 135585 | 11.81735 | 2.7725887 |
| 20 | 144640 | 11.88200 | 2.9957323 |
| 2 | 88825 | 11.39442 | 0.6931472 |
| 18 | 122960 | 11.71961 | 2.8903718 |
| 14 | 132825 | 11.79679 | 2.6390573 |
| 37 | 152708 | 11.93628 | 3.6109179 |
| 2 | 88400 | 11.38963 | 0.6931472 |
| 25 | 172272 | 12.05683 | 3.2188758 |
| 7 | 107008 | 11.58066 | 1.9459101 |
| 5 | 97032 | 11.48280 | 1.6094379 |
| 7 | 105128 | 11.56293 | 1.9459101 |
| 7 | 105631 | 11.56771 | 1.9459101 |
| 38 | 166024 | 12.01989 | 3.6375862 |
| 20 | 123683 | 11.72548 | 2.9957323 |
| 0 | 84000 | 11.33857 | -Inf |
| 12 | 95611 | 11.46804 | 2.4849066 |
| 7 | 129676 | 11.77279 | 1.9459101 |
| 14 | 102235 | 11.53503 | 2.6390573 |
| 26 | 106689 | 11.57767 | 3.2580965 |
| 25 | 133217 | 11.79973 | 3.2188758 |
| 23 | 126933 | 11.75141 | 3.1354942 |
| 5 | 153303 | 11.94017 | 1.6094379 |
| 14 | 127512 | 11.75597 | 2.6390573 |
| 10 | 83850 | 11.33678 | 2.3025851 |
| 28 | 113543 | 11.63994 | 3.3322045 |
| 8 | 82099 | 11.31568 | 2.0794415 |
| 8 | 82600 | 11.32176 | 2.0794415 |
| 8 | 81500 | 11.30836 | 2.0794415 |
| 31 | 131205 | 11.78452 | 3.4339872 |
| 16 | 112429 | 11.63008 | 2.7725887 |
| 16 | 82100 | 11.31569 | 2.7725887 |
| 1 | 72500 | 11.19134 | 0.0000000 |
| 37 | 104279 | 11.55483 | 3.6109179 |
| 0 | 105000 | 11.56172 | -Inf |
| 9 | 120806 | 11.70194 | 2.1972246 |
| 29 | 148500 | 11.90834 | 3.3672958 |
| 36 | 117515 | 11.67432 | 3.5835189 |
| 1 | 72500 | 11.19134 | 0.0000000 |
| 3 | 73500 | 11.20504 | 1.0986123 |
| 14 | 115313 | 11.65541 | 2.6390573 |
| 32 | 124309 | 11.73053 | 3.4657359 |
| 22 | 97262 | 11.48516 | 3.0910425 |
| 22 | 62884 | 11.04905 | 3.0910425 |
| 22 | 96614 | 11.47848 | 3.0910425 |
| 49 | 78162 | 11.26654 | 3.8918203 |
| 26 | 155500 | 11.95440 | 3.2580965 |
| 0 | 72500 | 11.19134 | -Inf |
| 30 | 113278 | 11.63760 | 3.4011974 |
| 2 | 73000 | 11.19821 | 0.6931472 |
| 9 | 83001 | 11.32661 | 2.1972246 |
| 57 | 76840 | 11.24948 | 4.0430513 |
| 8 | 77500 | 11.25803 | 2.0794415 |
| 1 | 72500 | 11.19134 | 0.0000000 |
| 25 | 168635 | 12.03549 | 3.2188758 |
| 18 | 136000 | 11.82041 | 2.8903718 |
| 14 | 108262 | 11.59231 | 2.6390573 |
| 14 | 105668 | 11.56806 | 2.6390573 |
| 7 | 73877 | 11.21016 | 1.9459101 |
| 18 | 152664 | 11.93599 | 2.8903718 |
| 8 | 100102 | 11.51394 | 2.0794415 |
| 10 | 81500 | 11.30836 | 2.3025851 |
| 11 | 106608 | 11.57691 | 2.3978953 |
| 3 | 89942 | 11.40692 | 1.0986123 |
| 27 | 112696 | 11.63245 | 3.2958369 |
| 28 | 119015 | 11.68700 | 3.3322045 |
| 4 | 92000 | 11.42954 | 1.3862944 |
| 27 | 156938 | 11.96361 | 3.2958369 |
| 26 | 144651 | 11.88208 | 3.2580965 |
| 3 | 95079 | 11.46246 | 1.0986123 |
| 12 | 128148 | 11.76094 | 2.4849066 |
| 4 | 92000 | 11.42954 | 1.3862944 |
| 9 | 111168 | 11.61880 | 2.1972246 |
| 10 | 103994 | 11.55209 | 2.3025851 |
| 0 | 92000 | 11.42954 | -Inf |
| 21 | 118971 | 11.68664 | 3.0445224 |
| 18 | 113341 | 11.63816 | 2.8903718 |
| 0 | 88000 | 11.38509 | -Inf |
| 6 | 95408 | 11.46592 | 1.7917595 |
| 16 | 137167 | 11.82895 | 2.7725887 |
| 2 | 89516 | 11.40217 | 0.6931472 |
| 19 | 176500 | 12.08108 | 2.9444390 |
| 7 | 98510 | 11.49791 | 1.9459101 |
| 3 | 89942 | 11.40692 | 1.0986123 |
| 0 | 88795 | 11.39409 | -Inf |
| 8 | 105890 | 11.57016 | 2.0794415 |
| 16 | 167284 | 12.02745 | 2.7725887 |
| 19 | 130664 | 11.78038 | 2.9444390 |
| 6 | 101210 | 11.52495 | 1.7917595 |
| 18 | 181257 | 12.10767 | 2.8903718 |
| 5 | 91227 | 11.42111 | 1.6094379 |
| 19 | 151575 | 11.92884 | 2.9444390 |
| 24 | 93164 | 11.44212 | 3.1780538 |
| 20 | 134185 | 11.80697 | 2.9957323 |
| 6 | 105000 | 11.56172 | 1.7917595 |
| 25 | 111751 | 11.62403 | 3.2188758 |
| 7 | 95436 | 11.46621 | 1.9459101 |
| 9 | 100944 | 11.52232 | 2.1972246 |
| 14 | 147349 | 11.90056 | 2.6390573 |
| 3 | 92000 | 11.42954 | 1.0986123 |
| 11 | 142467 | 11.86687 | 2.3978953 |
| 5 | 141136 | 11.85748 | 1.6094379 |
| 8 | 100000 | 11.51293 | 2.0794415 |
| 22 | 150000 | 11.91839 | 3.0910425 |
| 23 | 101000 | 11.52288 | 3.1354942 |
| 30 | 134000 | 11.80560 | 3.4011974 |
| 10 | 103750 | 11.54974 | 2.3025851 |
| 10 | 107500 | 11.58525 | 2.3025851 |
| 28 | 106300 | 11.57402 | 3.3322045 |
| 19 | 153750 | 11.94308 | 2.9444390 |
| 9 | 180000 | 12.10071 | 2.1972246 |
| 22 | 133700 | 11.80335 | 3.0910425 |
| 18 | 122100 | 11.71260 | 2.8903718 |
| 19 | 86250 | 11.36501 | 2.9444390 |
| 53 | 90000 | 11.40756 | 3.9702919 |
| 7 | 113600 | 11.64044 | 1.9459101 |
| 4 | 92700 | 11.43712 | 1.3862944 |
| 4 | 92000 | 11.42954 | 1.3862944 |
| 33 | 189409 | 12.15166 | 3.4965076 |
| 22 | 114500 | 11.64833 | 3.0910425 |
| 4 | 92700 | 11.43712 | 1.3862944 |
| 40 | 119700 | 11.69274 | 3.6888795 |
| 17 | 160400 | 11.98543 | 2.8332133 |
| 17 | 152500 | 11.93492 | 2.8332133 |
| 5 | 165000 | 12.01370 | 1.6094379 |
| 2 | 96545 | 11.47776 | 0.6931472 |
| 33 | 162200 | 11.99659 | 3.4965076 |
| 18 | 120000 | 11.69525 | 2.8903718 |
| 2 | 91300 | 11.42191 | 0.6931472 |
| 20 | 163200 | 12.00273 | 2.9957323 |
| 3 | 91000 | 11.41861 | 1.0986123 |
| 39 | 111350 | 11.62043 | 3.6635616 |
| 7 | 128400 | 11.76291 | 1.9459101 |
| 19 | 126200 | 11.74562 | 2.9444390 |
| 1 | 118700 | 11.68435 | 0.0000000 |
| 11 | 145350 | 11.88690 | 2.3978953 |
| 11 | 146000 | 11.89136 | 2.3978953 |
| 22 | 105350 | 11.56504 | 3.0910425 |
| 7 | 109650 | 11.60505 | 1.9459101 |
| 11 | 119500 | 11.69107 | 2.3978953 |
| 21 | 170000 | 12.04355 | 3.0445224 |
| 10 | 145200 | 11.88587 | 2.3025851 |
| 6 | 107150 | 11.58198 | 1.7917595 |
| 20 | 129600 | 11.77221 | 2.9957323 |
| 35 | 87800 | 11.38282 | 3.5553481 |
| 20 | 122400 | 11.71505 | 2.9957323 |
| 1 | 63900 | 11.06507 | 0.0000000 |
| 7 | 70000 | 11.15625 | 1.9459101 |
| 11 | 88175 | 11.38708 | 2.3978953 |
| 38 | 133900 | 11.80485 | 3.6375862 |
| 27 | 91000 | 11.41861 | 3.2958369 |
| 24 | 73300 | 11.20232 | 3.1780538 |
| 19 | 148750 | 11.91002 | 2.9444390 |
| 19 | 117555 | 11.67466 | 2.9444390 |
| 3 | 69700 | 11.15196 | 1.0986123 |
| 17 | 81700 | 11.31081 | 2.8332133 |
| 25 | 114000 | 11.64395 | 3.2188758 |
| 6 | 63100 | 11.05248 | 1.7917595 |
| 40 | 77202 | 11.25418 | 3.6888795 |
| 6 | 96200 | 11.47418 | 1.7917595 |
| 3 | 69200 | 11.14476 | 1.0986123 |
| 30 | 122875 | 11.71892 | 3.4011974 |
| 37 | 102600 | 11.53859 | 3.6109179 |
| 23 | 108200 | 11.59174 | 3.1354942 |
| 23 | 84273 | 11.34182 | 3.1354942 |
| 11 | 90450 | 11.41255 | 2.3978953 |
| 23 | 91100 | 11.41971 | 3.1354942 |
| 18 | 101100 | 11.52387 | 2.8903718 |
| 23 | 128800 | 11.76602 | 3.1354942 |
| 7 | 204000 | 12.22588 | 1.9459101 |
| 39 | 109000 | 11.59910 | 3.6635616 |
| 8 | 102000 | 11.53273 | 2.0794415 |
| 12 | 132000 | 11.79056 | 2.4849066 |
| 2 | 77500 | 11.25803 | 0.6931472 |
| 7 | 116450 | 11.66522 | 1.9459101 |
| 8 | 83000 | 11.32660 | 2.0794415 |
| 22 | 140300 | 11.85154 | 3.0910425 |
| 23 | 74000 | 11.21182 | 3.1354942 |
| 3 | 73800 | 11.20911 | 1.0986123 |
| 30 | 92550 | 11.43550 | 3.4011974 |
| 33 | 88600 | 11.39189 | 3.4965076 |
| 45 | 107550 | 11.58571 | 3.8066625 |
| 26 | 121200 | 11.70520 | 3.2580965 |
| 31 | 126000 | 11.74404 | 3.4339872 |
| 35 | 99000 | 11.50288 | 3.5553481 |
| 30 | 134800 | 11.81155 | 3.4011974 |
| 43 | 143940 | 11.87715 | 3.7612001 |
| 10 | 104350 | 11.55551 | 2.3025851 |
| 44 | 89650 | 11.40367 | 3.7841896 |
| 7 | 103700 | 11.54926 | 1.9459101 |
| 40 | 143250 | 11.87235 | 3.6888795 |
| 18 | 194800 | 12.17973 | 2.8903718 |
| 1 | 73000 | 11.19821 | 0.0000000 |
| 4 | 74000 | 11.21182 | 1.3862944 |
| 3 | 78500 | 11.27085 | 1.0986123 |
| 6 | 93000 | 11.44035 | 1.7917595 |
| 48 | 107200 | 11.58245 | 3.8712010 |
| 27 | 163200 | 12.00273 | 3.2958369 |
| 18 | 107100 | 11.58152 | 2.8903718 |
| 46 | 100600 | 11.51891 | 3.8286414 |
| 38 | 136500 | 11.82408 | 3.6375862 |
| 27 | 103600 | 11.54829 | 3.2958369 |
| 51 | 57800 | 10.96474 | 3.9318256 |
| 43 | 155865 | 11.95675 | 3.7612001 |
| 6 | 88650 | 11.39245 | 1.7917595 |
| 49 | 81800 | 11.31203 | 3.8918203 |
| 27 | 115800 | 11.65962 | 3.2958369 |
| 0 | 85000 | 11.35041 | -Inf |
| 27 | 150500 | 11.92172 | 3.2958369 |
| 5 | 74000 | 11.21182 | 1.6094379 |
| 7 | 174500 | 12.06968 | 1.9459101 |
| 28 | 168500 | 12.03469 | 3.3322045 |
| 9 | 183800 | 12.12160 | 2.1972246 |
| 1 | 104800 | 11.55981 | 0.0000000 |
| 7 | 107300 | 11.58338 | 1.9459101 |
| 36 | 97150 | 11.48401 | 3.5835189 |
| 18 | 126300 | 11.74642 | 2.8903718 |
| 11 | 148800 | 11.91036 | 2.3978953 |
| 43 | 72300 | 11.18858 | 3.7612001 |
| 39 | 70700 | 11.16620 | 3.6635616 |
| 36 | 88600 | 11.39189 | 3.5835189 |
| 16 | 127100 | 11.75273 | 2.7725887 |
| 13 | 170500 | 12.04649 | 2.5649494 |
| 4 | 105260 | 11.56419 | 1.3862944 |
| 44 | 144050 | 11.87792 | 3.7841896 |
| 31 | 111350 | 11.62043 | 3.4339872 |
| 4 | 74500 | 11.21855 | 1.3862944 |
| 28 | 122500 | 11.71587 | 3.3322045 |
| 0 | 74000 | 11.21182 | -Inf |
| 15 | 166800 | 12.02455 | 2.7080502 |
| 7 | 92050 | 11.43009 | 1.9459101 |
| 9 | 108100 | 11.59081 | 2.1972246 |
| 19 | 94350 | 11.45477 | 2.9444390 |
| 35 | 100351 | 11.51643 | 3.5553481 |
| 6 | 146800 | 11.89683 | 1.7917595 |
| 3 | 84716 | 11.34706 | 1.0986123 |
| 9 | 71065 | 11.17135 | 2.1972246 |
| 45 | 67559 | 11.12076 | 3.8066625 |
| 16 | 134550 | 11.80969 | 2.7725887 |
| 15 | 135027 | 11.81323 | 2.7080502 |
| 23 | 104428 | 11.55625 | 3.1354942 |
| 9 | 95642 | 11.46837 | 2.1972246 |
| 11 | 126431 | 11.74745 | 2.3978953 |
| 15 | 161101 | 11.98979 | 2.7080502 |
| 31 | 162221 | 11.99671 | 3.4339872 |
| 4 | 84500 | 11.34451 | 1.3862944 |
| 15 | 124714 | 11.73378 | 2.7080502 |
| 37 | 151650 | 11.92933 | 3.6109179 |
| 10 | 99247 | 11.50537 | 2.3025851 |
| 23 | 134778 | 11.81138 | 3.1354942 |
| 60 | 192253 | 12.16657 | 4.0943446 |
| 9 | 116518 | 11.66580 | 2.1972246 |
| 10 | 105450 | 11.56599 | 2.3025851 |
| 19 | 145098 | 11.88516 | 2.9444390 |
| 6 | 104542 | 11.55734 | 1.7917595 |
| 38 | 151445 | 11.92798 | 3.6375862 |
| 23 | 98053 | 11.49326 | 3.1354942 |
| 12 | 145000 | 11.88449 | 2.4849066 |
| 25 | 128464 | 11.76340 | 3.2188758 |
| 15 | 137317 | 11.83005 | 2.7080502 |
| 11 | 106231 | 11.57337 | 2.3978953 |
| 17 | 124312 | 11.73055 | 2.8332133 |
| 38 | 114596 | 11.64917 | 3.6375862 |
| 31 | 162150 | 11.99628 | 3.4339872 |
| 35 | 150376 | 11.92089 | 3.5553481 |
| 10 | 107986 | 11.58976 | 2.3025851 |
| 27 | 142023 | 11.86374 | 3.2958369 |
| 33 | 128250 | 11.76174 | 3.4965076 |
| 3 | 80139 | 11.29152 | 1.0986123 |
| 28 | 144309 | 11.87971 | 3.3322045 |
| 49 | 186960 | 12.13865 | 3.8918203 |
| 38 | 93519 | 11.44592 | 3.6375862 |
| 27 | 142500 | 11.86710 | 3.2958369 |
| 20 | 138000 | 11.83501 | 2.9957323 |
| 1 | 83600 | 11.33380 | 0.0000000 |
| 21 | 145028 | 11.88468 | 3.0445224 |
| 40 | 88709 | 11.39312 | 3.6888795 |
| 35 | 107309 | 11.58347 | 3.5553481 |
| 14 | 109954 | 11.60782 | 2.6390573 |
| 4 | 78785 | 11.27448 | 1.3862944 |
| 11 | 121946 | 11.71133 | 2.3978953 |
| 15 | 109646 | 11.60501 | 2.7080502 |
| 30 | 138771 | 11.84058 | 3.4011974 |
| 17 | 81285 | 11.30572 | 2.8332133 |
| 43 | 205500 | 12.23320 | 3.7612001 |
| 40 | 101036 | 11.52323 | 3.6888795 |
| 10 | 115435 | 11.65646 | 2.3025851 |
| 1 | 108413 | 11.59370 | 0.0000000 |
| 30 | 131950 | 11.79018 | 3.4011974 |
| 31 | 134690 | 11.81073 | 3.4339872 |
| 8 | 78182 | 11.26679 | 2.0794415 |
| 20 | 110515 | 11.61291 | 2.9957323 |
| 7 | 109707 | 11.60557 | 1.9459101 |
| 26 | 136660 | 11.82525 | 3.2580965 |
| 19 | 103275 | 11.54515 | 2.9444390 |
| 26 | 103649 | 11.54877 | 3.2580965 |
| 1 | 74856 | 11.22332 | 0.0000000 |
| 3 | 77081 | 11.25261 | 1.0986123 |
| 38 | 150680 | 11.92291 | 3.6375862 |
| 8 | 104121 | 11.55331 | 2.0794415 |
| 3 | 75996 | 11.23844 | 1.0986123 |
| 23 | 172505 | 12.05818 | 3.1354942 |
| 5 | 86895 | 11.37246 | 1.6094379 |
| 44 | 105000 | 11.56172 | 3.7841896 |
| 21 | 125192 | 11.73760 | 3.0445224 |
| 9 | 114330 | 11.64684 | 2.1972246 |
| 27 | 139219 | 11.84380 | 3.2958369 |
| 15 | 109305 | 11.60190 | 2.7080502 |
| 36 | 119450 | 11.69065 | 3.5835189 |
| 18 | 186023 | 12.13363 | 2.8903718 |
| 19 | 166605 | 12.02338 | 2.9444390 |
| 19 | 151292 | 11.92697 | 2.9444390 |
| 30 | 103106 | 11.54351 | 3.4011974 |
| 19 | 150564 | 11.92214 | 2.9444390 |
| 25 | 101738 | 11.53016 | 3.2188758 |
| 15 | 95329 | 11.46509 | 2.7080502 |
| 4 | 81035 | 11.30264 | 1.3862944 |
Agora eu estimo o modelo em cima dessas duas novas colunas! Graficamente teremos:
ggplot(dataset, aes(log_anos_de_servico, log_salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre log dos salários e log do tempo de trabalho",
x = "Logarítmo do tempo de serviço", y = "Log do salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
A diferença é que agora teremos o seguinte modelo:
\[ log(Y_i) = 11.3115 + 0.1194log(X_i) + u_i \]
A interpretação desses valores também é relativamente simples! O intercepto está em log, podemos aplicar o antilogaritmo pra encontrar o valor em unidades que estamos acostumados. É o mesmo que:
\[ e^{11.3115} = 81756.45 \]
Nesse modelo, os salários de entrada são menores que naquele primeiro modelo estimado. Um professor sem experiência ganha, em média, 81756 por ano! E o parâmetro \(\beta_1\)? Precisamos aplicar o antilogarítmo também? Não! Podemos interpretar diretamente que acontece com Y se aumentamos X, a única diferença é que agora consideramos uma variação percetual em ambos!
No caso, um aumento em 1% dos anos de serviço aumenta o salário do professor em 0.1194%! Nesse caso a utilização do modelo log-log é mais confusa não é? As vezes isso acontece! E cabe ao analista responsável, ou ao pesquisador, definir o que mais faz sentido para o estudo! Por isso a forma funcional é muito importante!
3.3.3 Modelos de regressão polinomial
Essa classe de modelos de regressão apresentam uma forma funcional muito utilizada na área de produção e custos!
Veja o gráfico abaixo. Esse modelo parece melhor que um modelo de linha reta tradicional, mas é uma regressão linear?
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", formula = y ~ poly(x, 2) , color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Se sua resposta foi sim, você acertou! É uma regressão linear com uma forma funcional quadrática! Eu estimei isso daqui:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \beta_2X_i^2 + u_i \]
Na prática só elevei a coluna de tempo de serviço ao quadrado e estimei um \(\beta_2\) pra dar esse formato de curva pro modelo. A interpretação dos coeficientes estimados é um pouco diferente, mas o modelo parece melhor ajustado aos dados. (Quando falarmos de Coeficiente de determinação R2, o ajustamento será melhor aprofundado.)
O próximo modelo também é uma regressão linear. Você consegue adivinhar a forma funcional dele?
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_smooth(se = F, method = "lm", formula = y ~ poly(x, 3) , color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Dessa vez estimei uma forma funcional cúbica! Veja a expressão matemática estimada:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \beta_2X_i^2 + \beta_3X_i^3 + u_i \]
Note que o objetivo da econometria é estimar exatamente os parâmetros desconhecidos \(\beta_j\)! No início desse documento eu falei muito sobre estimar a média de um evento. Na prática, buscamos a mesma coisa aqui! O valor de \(\beta_j\) que melhor representa um conjunto de dados!
4 As Funções de Regressão Linear Populacional (FRLP) e Amostral (FRLA)
No capítulo de introdução, faço uma revisão rápida sobre os conceitos de população e amostra. Nessa seção, irei explorar um pouco mais esse conceito e aprofundar na lógica da inferência.
Em princípio, uma FRLP é simplesmente uma regressão linear estimada usando os dados de toda uma população. Como muitas vezes não é possível acessar todos os dados de uma população, recorremos a métodos de amostragem para inferir sobre os valores populacionais.
Na seção anterior, utilizei uma base de dados que continha informações referentes a todos os professores de uma cidade. Os dados são dispostos da seguinte forma:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario")
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario |
|---|---|
| 18 | 139750 |
| 16 | 173200 |
| 3 | 79750 |
| 39 | 115000 |
| 41 | 141500 |
| 6 | 97000 |
| 23 | 175000 |
| 45 | 147765 |
| 20 | 119250 |
| 18 | 129000 |
| 8 | 119800 |
| 2 | 79800 |
| 1 | 77700 |
| 0 | 78000 |
| 18 | 104800 |
| 3 | 117150 |
| 20 | 101000 |
| 34 | 103450 |
| 23 | 124750 |
| 36 | 137000 |
| 26 | 89565 |
| 31 | 102580 |
| 30 | 93904 |
| 19 | 113068 |
| 8 | 74830 |
| 8 | 106294 |
| 23 | 134885 |
| 3 | 82379 |
| 0 | 77000 |
| 8 | 118223 |
| 4 | 132261 |
| 2 | 79916 |
| 9 | 117256 |
| 2 | 80225 |
| 2 | 80225 |
| 0 | 77000 |
| 21 | 155750 |
| 4 | 86373 |
| 31 | 125196 |
| 9 | 100938 |
| 2 | 146500 |
| 23 | 93418 |
| 27 | 101299 |
| 38 | 231545 |
| 19 | 94384 |
| 15 | 114778 |
| 28 | 98193 |
| 19 | 151768 |
| 25 | 140096 |
| 1 | 70768 |
| 28 | 126621 |
| 11 | 108875 |
| 3 | 74692 |
| 9 | 106639 |
| 11 | 103760 |
| 5 | 83900 |
| 21 | 117704 |
| 8 | 90215 |
| 9 | 100135 |
| 3 | 75044 |
| 8 | 90304 |
| 2 | 75243 |
| 31 | 109785 |
| 11 | 103613 |
| 3 | 68404 |
| 8 | 100522 |
| 12 | 101000 |
| 31 | 99418 |
| 17 | 111512 |
| 36 | 91412 |
| 2 | 126320 |
| 45 | 146856 |
| 19 | 100131 |
| 34 | 92391 |
| 23 | 113398 |
| 3 | 73266 |
| 3 | 150480 |
| 19 | 193000 |
| 1 | 86100 |
| 2 | 84240 |
| 28 | 150743 |
| 16 | 135585 |
| 20 | 144640 |
| 2 | 88825 |
| 18 | 122960 |
| 14 | 132825 |
| 37 | 152708 |
| 2 | 88400 |
| 25 | 172272 |
| 7 | 107008 |
| 5 | 97032 |
| 7 | 105128 |
| 7 | 105631 |
| 38 | 166024 |
| 20 | 123683 |
| 0 | 84000 |
| 12 | 95611 |
| 7 | 129676 |
| 14 | 102235 |
| 26 | 106689 |
| 25 | 133217 |
| 23 | 126933 |
| 5 | 153303 |
| 14 | 127512 |
| 10 | 83850 |
| 28 | 113543 |
| 8 | 82099 |
| 8 | 82600 |
| 8 | 81500 |
| 31 | 131205 |
| 16 | 112429 |
| 16 | 82100 |
| 1 | 72500 |
| 37 | 104279 |
| 0 | 105000 |
| 9 | 120806 |
| 29 | 148500 |
| 36 | 117515 |
| 1 | 72500 |
| 3 | 73500 |
| 14 | 115313 |
| 32 | 124309 |
| 22 | 97262 |
| 22 | 62884 |
| 22 | 96614 |
| 49 | 78162 |
| 26 | 155500 |
| 0 | 72500 |
| 30 | 113278 |
| 2 | 73000 |
| 9 | 83001 |
| 57 | 76840 |
| 8 | 77500 |
| 1 | 72500 |
| 25 | 168635 |
| 18 | 136000 |
| 14 | 108262 |
| 14 | 105668 |
| 7 | 73877 |
| 18 | 152664 |
| 8 | 100102 |
| 10 | 81500 |
| 11 | 106608 |
| 3 | 89942 |
| 27 | 112696 |
| 28 | 119015 |
| 4 | 92000 |
| 27 | 156938 |
| 26 | 144651 |
| 3 | 95079 |
| 12 | 128148 |
| 4 | 92000 |
| 9 | 111168 |
| 10 | 103994 |
| 0 | 92000 |
| 21 | 118971 |
| 18 | 113341 |
| 0 | 88000 |
| 6 | 95408 |
| 16 | 137167 |
| 2 | 89516 |
| 19 | 176500 |
| 7 | 98510 |
| 3 | 89942 |
| 0 | 88795 |
| 8 | 105890 |
| 16 | 167284 |
| 19 | 130664 |
| 6 | 101210 |
| 18 | 181257 |
| 5 | 91227 |
| 19 | 151575 |
| 24 | 93164 |
| 20 | 134185 |
| 6 | 105000 |
| 25 | 111751 |
| 7 | 95436 |
| 9 | 100944 |
| 14 | 147349 |
| 3 | 92000 |
| 11 | 142467 |
| 5 | 141136 |
| 8 | 100000 |
| 22 | 150000 |
| 23 | 101000 |
| 30 | 134000 |
| 10 | 103750 |
| 10 | 107500 |
| 28 | 106300 |
| 19 | 153750 |
| 9 | 180000 |
| 22 | 133700 |
| 18 | 122100 |
| 19 | 86250 |
| 53 | 90000 |
| 7 | 113600 |
| 4 | 92700 |
| 4 | 92000 |
| 33 | 189409 |
| 22 | 114500 |
| 4 | 92700 |
| 40 | 119700 |
| 17 | 160400 |
| 17 | 152500 |
| 5 | 165000 |
| 2 | 96545 |
| 33 | 162200 |
| 18 | 120000 |
| 2 | 91300 |
| 20 | 163200 |
| 3 | 91000 |
| 39 | 111350 |
| 7 | 128400 |
| 19 | 126200 |
| 1 | 118700 |
| 11 | 145350 |
| 11 | 146000 |
| 22 | 105350 |
| 7 | 109650 |
| 11 | 119500 |
| 21 | 170000 |
| 10 | 145200 |
| 6 | 107150 |
| 20 | 129600 |
| 35 | 87800 |
| 20 | 122400 |
| 1 | 63900 |
| 7 | 70000 |
| 11 | 88175 |
| 38 | 133900 |
| 27 | 91000 |
| 24 | 73300 |
| 19 | 148750 |
| 19 | 117555 |
| 3 | 69700 |
| 17 | 81700 |
| 25 | 114000 |
| 6 | 63100 |
| 40 | 77202 |
| 6 | 96200 |
| 3 | 69200 |
| 30 | 122875 |
| 37 | 102600 |
| 23 | 108200 |
| 23 | 84273 |
| 11 | 90450 |
| 23 | 91100 |
| 18 | 101100 |
| 23 | 128800 |
| 7 | 204000 |
| 39 | 109000 |
| 8 | 102000 |
| 12 | 132000 |
| 2 | 77500 |
| 7 | 116450 |
| 8 | 83000 |
| 22 | 140300 |
| 23 | 74000 |
| 3 | 73800 |
| 30 | 92550 |
| 33 | 88600 |
| 45 | 107550 |
| 26 | 121200 |
| 31 | 126000 |
| 35 | 99000 |
| 30 | 134800 |
| 43 | 143940 |
| 10 | 104350 |
| 44 | 89650 |
| 7 | 103700 |
| 40 | 143250 |
| 18 | 194800 |
| 1 | 73000 |
| 4 | 74000 |
| 3 | 78500 |
| 6 | 93000 |
| 48 | 107200 |
| 27 | 163200 |
| 18 | 107100 |
| 46 | 100600 |
| 38 | 136500 |
| 27 | 103600 |
| 51 | 57800 |
| 43 | 155865 |
| 6 | 88650 |
| 49 | 81800 |
| 27 | 115800 |
| 0 | 85000 |
| 27 | 150500 |
| 5 | 74000 |
| 7 | 174500 |
| 28 | 168500 |
| 9 | 183800 |
| 1 | 104800 |
| 7 | 107300 |
| 36 | 97150 |
| 18 | 126300 |
| 11 | 148800 |
| 43 | 72300 |
| 39 | 70700 |
| 36 | 88600 |
| 16 | 127100 |
| 13 | 170500 |
| 4 | 105260 |
| 44 | 144050 |
| 31 | 111350 |
| 4 | 74500 |
| 28 | 122500 |
| 0 | 74000 |
| 15 | 166800 |
| 7 | 92050 |
| 9 | 108100 |
| 19 | 94350 |
| 35 | 100351 |
| 6 | 146800 |
| 3 | 84716 |
| 9 | 71065 |
| 45 | 67559 |
| 16 | 134550 |
| 15 | 135027 |
| 23 | 104428 |
| 9 | 95642 |
| 11 | 126431 |
| 15 | 161101 |
| 31 | 162221 |
| 4 | 84500 |
| 15 | 124714 |
| 37 | 151650 |
| 10 | 99247 |
| 23 | 134778 |
| 60 | 192253 |
| 9 | 116518 |
| 10 | 105450 |
| 19 | 145098 |
| 6 | 104542 |
| 38 | 151445 |
| 23 | 98053 |
| 12 | 145000 |
| 25 | 128464 |
| 15 | 137317 |
| 11 | 106231 |
| 17 | 124312 |
| 38 | 114596 |
| 31 | 162150 |
| 35 | 150376 |
| 10 | 107986 |
| 27 | 142023 |
| 33 | 128250 |
| 3 | 80139 |
| 28 | 144309 |
| 49 | 186960 |
| 38 | 93519 |
| 27 | 142500 |
| 20 | 138000 |
| 1 | 83600 |
| 21 | 145028 |
| 40 | 88709 |
| 35 | 107309 |
| 14 | 109954 |
| 4 | 78785 |
| 11 | 121946 |
| 15 | 109646 |
| 30 | 138771 |
| 17 | 81285 |
| 43 | 205500 |
| 40 | 101036 |
| 10 | 115435 |
| 1 | 108413 |
| 30 | 131950 |
| 31 | 134690 |
| 8 | 78182 |
| 20 | 110515 |
| 7 | 109707 |
| 26 | 136660 |
| 19 | 103275 |
| 26 | 103649 |
| 1 | 74856 |
| 3 | 77081 |
| 38 | 150680 |
| 8 | 104121 |
| 3 | 75996 |
| 23 | 172505 |
| 5 | 86895 |
| 44 | 105000 |
| 21 | 125192 |
| 9 | 114330 |
| 27 | 139219 |
| 15 | 109305 |
| 36 | 119450 |
| 18 | 186023 |
| 19 | 166605 |
| 19 | 151292 |
| 30 | 103106 |
| 19 | 150564 |
| 25 | 101738 |
| 15 | 95329 |
| 4 | 81035 |
Coletar informações de quase 400 professores pode ser uma tarefa fácil, mas duvido que todos concordem em fornecer informações pessoais com tanta facilidade. Assim, alguns podem simplesmente se recusar a fazer parte desse estudo, nos obrigando a trabalhar com uma amostra desses professores!
Nesse caso, digamos que você tenha conseguido coletar dados referentes a um pouco mais que metade dos professores dessa cidade (150). Seus dados amostrais seriam esses:
set.seed(42)
dataset_amostra <- copy(slice_sample(dataset, n = 150))
dataset_amostra %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario |
|---|---|
| 25 | 140096 |
| 23 | 104428 |
| 9 | 111168 |
| 34 | 92391 |
| 7 | 70000 |
| 28 | 119015 |
| 32 | 124309 |
| 4 | 81035 |
| 0 | 72500 |
| 13 | 170500 |
| 19 | 113068 |
| 15 | 124714 |
| 21 | 145028 |
| 25 | 172272 |
| 0 | 88795 |
| 31 | 131205 |
| 36 | 137000 |
| 31 | 134690 |
| 10 | 115435 |
| 18 | 126300 |
| 44 | 105000 |
| 51 | 57800 |
| 8 | 81500 |
| 41 | 141500 |
| 39 | 111350 |
| 33 | 128250 |
| 4 | 78785 |
| 3 | 73800 |
| 35 | 100351 |
| 11 | 148800 |
| 27 | 139219 |
| 0 | 88000 |
| 43 | 72300 |
| 30 | 131950 |
| 18 | 136000 |
| 28 | 168500 |
| 15 | 161101 |
| 19 | 151292 |
| 19 | 103275 |
| 20 | 110515 |
| 4 | 92700 |
| 39 | 115000 |
| 20 | 122400 |
| 1 | 118700 |
| 23 | 84273 |
| 37 | 104279 |
| 45 | 107550 |
| 2 | 73000 |
| 3 | 79750 |
| 23 | 74000 |
| 30 | 134000 |
| 14 | 105668 |
| 9 | 100938 |
| 26 | 136660 |
| 9 | 117256 |
| 5 | 153303 |
| 30 | 103106 |
| 14 | 109954 |
| 10 | 99247 |
| 18 | 113341 |
| 3 | 73266 |
| 35 | 99000 |
| 2 | 80225 |
| 21 | 170000 |
| 3 | 117150 |
| 11 | 119500 |
| 18 | 101100 |
| 31 | 162221 |
| 36 | 117515 |
| 28 | 144309 |
| 16 | 135585 |
| 23 | 134778 |
| 23 | 172505 |
| 36 | 97150 |
| 26 | 144651 |
| 21 | 117704 |
| 26 | 106689 |
| 1 | 108413 |
| 5 | 97032 |
| 44 | 89650 |
| 11 | 142467 |
| 9 | 106639 |
| 0 | 85000 |
| 18 | 120000 |
| 11 | 90450 |
| 3 | 75044 |
| 6 | 88650 |
| 8 | 82600 |
| 49 | 78162 |
| 16 | 82100 |
| 45 | 146856 |
| 7 | 92050 |
| 18 | 139750 |
| 8 | 100102 |
| 2 | 96545 |
| 43 | 205500 |
| 23 | 93418 |
| 36 | 88600 |
| 60 | 192253 |
| 39 | 109000 |
| 12 | 145000 |
| 8 | 74830 |
| 9 | 180000 |
| 2 | 79916 |
| 6 | 63100 |
| 0 | 78000 |
| 16 | 112429 |
| 49 | 186960 |
| 17 | 81285 |
| 19 | 94350 |
| 30 | 122875 |
| 20 | 129600 |
| 5 | 74000 |
| 19 | 126200 |
| 20 | 123683 |
| 6 | 97000 |
| 8 | 102000 |
| 40 | 143250 |
| 2 | 80225 |
| 10 | 107500 |
| 2 | 77500 |
| 10 | 104350 |
| 36 | 119450 |
| 2 | 146500 |
| 18 | 122100 |
| 8 | 100522 |
| 4 | 92000 |
| 7 | 129676 |
| 11 | 121946 |
| 8 | 82099 |
| 15 | 109646 |
| 19 | 176500 |
| 22 | 62884 |
| 19 | 86250 |
| 26 | 103649 |
| 1 | 104800 |
| 23 | 101000 |
| 25 | 128464 |
| 21 | 155750 |
| 10 | 107986 |
| 6 | 104542 |
| 19 | 193000 |
| 43 | 143940 |
| 21 | 118971 |
| 19 | 166605 |
| 12 | 95611 |
| 11 | 88175 |
| 1 | 63900 |
| 5 | 141136 |
| 22 | 105350 |
O que muda de uma base pra outra é que na segunda base introduzimos a incerteza na nossa pesquisa. Podemos garantir certa confiabilidade ao que concluirmos sobre esses dados considerando que nossa amostra é boa. (Podem ocorrer erros amostrais que prejudicam a confiança nos dados e invalidam uma pesquisa!)
Representando graficamente os dados, teremos o seguinte gráfico (com uma regressão estimada por MQO) para os dados populacionais:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
theme_classic() +
labs(title = "Regressão com dados populacionais",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
E o seguinte gráfico (com uma regressão estimada por MQO) para os dados amostrais:
ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
theme_classic() +
labs(title = "Regressão com dados amostrais",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Qual a diferença entre os dois gráficos? (Veja os parâmetros estimados para cada beta desenhados no gráfico!)
Os valores de \(\beta_j\) são diferentes! Assim como na seção em que reviso estatística o valor da média na amostra era diferente da média populacional, os valores de \(\beta_j\) também são diferentes! Isso quer dizer que nossa amostra nos fornece uma estimativa do valor populacional. Matematicamente isso deve ser representado!
Quando falamos de FRLP, podemos simplesmente escrever: \[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]
Mas como não temos acesso aos dados da população, devemos escrever:
\[ Y_i = \hat{\beta_0} + \hat{\beta_1}X_i + \hat{u_i} \]
A diferença dessa notação é mais uma questão de transparência com relação aos dados que temos disponíveis. Assim como temos a diferença em termos populacionais \(E(X_i)\) e amostrais \(\bar{X}\) para média, devemos deixar clara a diferença para os valores de \(\beta_j\) estimados.
O que poderia acontecer com minha FRLA se minha amostra fosse ruim? Por exemplo, imagine que eu coletei as informações de somente 30 professores. Igual fiz anteriormente, posso representar graficamente os dados populacionais:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
theme_classic() +
labs(title = "Regressão com dados populacionais",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
E amostrais (com apenas 30 observações):
set.seed(42)
ggplot(slice_sample(dataset, n = 10), aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
theme_classic() +
labs(title = "Regressão com dados amostrais",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
A inclinação dessa regressão ficou bem maior! Isso introduz viés na nossa pesquisa e descredibiliza nossos achados! Esse viés, inclusive, pode ser atribuido a uma seleção mal feita da amostra, pois seleciona menos profissionais com menos tempo de experiência do que profissionais mais experientes, inflacionando o peso da experiência na nossa regressão. Iremos tratar mais sobre hipóteses do modelo clássico em um capítulo dedicado.
4.1 Significância individual dos parâmetros
Uma coisa interessante que podemos fazer com o valor de cada \(\beta_j\) estimado e testar se o valor estimado para ele é estatisticamente igual a zero, ou, em outras palavras, se esse valor é estatísticamente significativo!
Para isso, podemos usar teoria estatística com o objetivo de medir o quão certo podemos estar ao assumir uma posição acerca de nossas observações.
Caso você queira uma revisão completa de testes de hipótese e interpretação de valores p, acesse aqui. Nesse documento não irei me desdobrar muito no sentido de mastigar como funcionam os testes de hipótese, apenas farei meu melhor para explicar como interpretar os resultados.
Usarei de exemplo a FRLA estimada no início desse documento, sendo essa:
\[ Y_i = 98914.9 + 798X_i + \hat{u_i} \]
Podemos testar individualmente a significância estatística de cada parâmetro pelo seguinte teste de hipótese:
\[ H_0: \hat{\beta_j} = 0 \] \[ H_a: \hat{\beta_j} \neq 0 \]
E nossa estatística de teste é calculada da seguinte forma:
\[ t_{calculado} = \frac{\hat{\beta_j} - 0}{ep(\hat{\beta_j})} \]
Sendo que \(t_{calculado}\) segue a distribuição bicaudal de t de student, com um nível \(\alpha\) de significância e g graus de liberdade.
No caso do nosso modelo, temos os valores para os dois parâmetros \(\beta_j\) estimados, basta calculamos o erro padrão desses parâmetros e encontraremos o valor t associado a cada um deles!
Calcular o erro padrão muitas vezes não é algo tão simples, assim como estimar os valores de \(\beta_j\). Esse cálculo pode variar a depender da forma funcional do seu modelo! Fora que o cálculo do erro padrão é um processo que envolve muita conta, sendo melhor feito por um computador.
Devido aos motivos acima, vou apenas apresentar o resultado do modelo e com base nele explico como interpretar os resultados!
Abaixo apresento a estimativa do modelo, de forma detalhada, fornecida por uma função do R:
summary(lm(salario ~ anos_de_servico, dataset_amostra))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico, data = dataset_amostra)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81814 -20835 -2395 13627 78923
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 98914.9 4005.4 24.695 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 798.0 174.3 4.578 9.86e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28690 on 148 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1241, Adjusted R-squared: 0.1181
## F-statistic: 20.96 on 1 and 148 DF, p-value: 9.858e-06
Veja que o R calcula também automaticamente o valor t e o pvalor associado a ele. De forma simples, os valores t dessa regressão, para cada parâmetro, são calulados da seguinte forma:
\[ t_{calculado}^{\beta_0} = \frac{98914.9 - 0}{4005.4} = 24.695 \] \[ t_{calculado}^{\beta_1} = \frac{798 - 0}{174.3} = 4.578 \]
O pvalor serve para facilitar o diagnóstico do teste de hipótese. Se nosso pvalor for menor que o nível de significância, devemos rejeitar a hipótese nula. De acordo com o modelo detalhado acima, os parâmetros são significativos a um nível de 5% de significância (0.05)?
Sim! Diga-se de passagem, os parâmetros são significativos a um nível até mesmo menor que 1% de significância, visto que os pvalores associados a cada parâmetro são menores que 0.01! (Uma explicação sobre cálculo de pvalores e interpretação mais extensiva pode ser visto no documento previamente citado no início dessa seção.)
4.2 Coeficiente de determinação R2
Inicio essa seção indicando um excelente vídeo de um canal que já me ajudou demais, o Stat Quest. O que farei nessa seção será basicamente uma explicação similar ao vídeo de como usar a lógica para interpretar os resultados de um coeficiente de determinação.
Antes de mais nada, abaixo apresento a mesma base utilizada ao longo do capítulo, com uma simples adição: um número que identifica cada um dos professores. Imagine que a cada informação que eu coletei, eu adicionei um número para identificar a ordem de resposta de cada profissional. A base ficaria assim:
dataset_amostra[, professor := 1:150]
dataset_amostra %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario | professor |
|---|---|---|
| 25 | 140096 | 1 |
| 23 | 104428 | 2 |
| 9 | 111168 | 3 |
| 34 | 92391 | 4 |
| 7 | 70000 | 5 |
| 28 | 119015 | 6 |
| 32 | 124309 | 7 |
| 4 | 81035 | 8 |
| 0 | 72500 | 9 |
| 13 | 170500 | 10 |
| 19 | 113068 | 11 |
| 15 | 124714 | 12 |
| 21 | 145028 | 13 |
| 25 | 172272 | 14 |
| 0 | 88795 | 15 |
| 31 | 131205 | 16 |
| 36 | 137000 | 17 |
| 31 | 134690 | 18 |
| 10 | 115435 | 19 |
| 18 | 126300 | 20 |
| 44 | 105000 | 21 |
| 51 | 57800 | 22 |
| 8 | 81500 | 23 |
| 41 | 141500 | 24 |
| 39 | 111350 | 25 |
| 33 | 128250 | 26 |
| 4 | 78785 | 27 |
| 3 | 73800 | 28 |
| 35 | 100351 | 29 |
| 11 | 148800 | 30 |
| 27 | 139219 | 31 |
| 0 | 88000 | 32 |
| 43 | 72300 | 33 |
| 30 | 131950 | 34 |
| 18 | 136000 | 35 |
| 28 | 168500 | 36 |
| 15 | 161101 | 37 |
| 19 | 151292 | 38 |
| 19 | 103275 | 39 |
| 20 | 110515 | 40 |
| 4 | 92700 | 41 |
| 39 | 115000 | 42 |
| 20 | 122400 | 43 |
| 1 | 118700 | 44 |
| 23 | 84273 | 45 |
| 37 | 104279 | 46 |
| 45 | 107550 | 47 |
| 2 | 73000 | 48 |
| 3 | 79750 | 49 |
| 23 | 74000 | 50 |
| 30 | 134000 | 51 |
| 14 | 105668 | 52 |
| 9 | 100938 | 53 |
| 26 | 136660 | 54 |
| 9 | 117256 | 55 |
| 5 | 153303 | 56 |
| 30 | 103106 | 57 |
| 14 | 109954 | 58 |
| 10 | 99247 | 59 |
| 18 | 113341 | 60 |
| 3 | 73266 | 61 |
| 35 | 99000 | 62 |
| 2 | 80225 | 63 |
| 21 | 170000 | 64 |
| 3 | 117150 | 65 |
| 11 | 119500 | 66 |
| 18 | 101100 | 67 |
| 31 | 162221 | 68 |
| 36 | 117515 | 69 |
| 28 | 144309 | 70 |
| 16 | 135585 | 71 |
| 23 | 134778 | 72 |
| 23 | 172505 | 73 |
| 36 | 97150 | 74 |
| 26 | 144651 | 75 |
| 21 | 117704 | 76 |
| 26 | 106689 | 77 |
| 1 | 108413 | 78 |
| 5 | 97032 | 79 |
| 44 | 89650 | 80 |
| 11 | 142467 | 81 |
| 9 | 106639 | 82 |
| 0 | 85000 | 83 |
| 18 | 120000 | 84 |
| 11 | 90450 | 85 |
| 3 | 75044 | 86 |
| 6 | 88650 | 87 |
| 8 | 82600 | 88 |
| 49 | 78162 | 89 |
| 16 | 82100 | 90 |
| 45 | 146856 | 91 |
| 7 | 92050 | 92 |
| 18 | 139750 | 93 |
| 8 | 100102 | 94 |
| 2 | 96545 | 95 |
| 43 | 205500 | 96 |
| 23 | 93418 | 97 |
| 36 | 88600 | 98 |
| 60 | 192253 | 99 |
| 39 | 109000 | 100 |
| 12 | 145000 | 101 |
| 8 | 74830 | 102 |
| 9 | 180000 | 103 |
| 2 | 79916 | 104 |
| 6 | 63100 | 105 |
| 0 | 78000 | 106 |
| 16 | 112429 | 107 |
| 49 | 186960 | 108 |
| 17 | 81285 | 109 |
| 19 | 94350 | 110 |
| 30 | 122875 | 111 |
| 20 | 129600 | 112 |
| 5 | 74000 | 113 |
| 19 | 126200 | 114 |
| 20 | 123683 | 115 |
| 6 | 97000 | 116 |
| 8 | 102000 | 117 |
| 40 | 143250 | 118 |
| 2 | 80225 | 119 |
| 10 | 107500 | 120 |
| 2 | 77500 | 121 |
| 10 | 104350 | 122 |
| 36 | 119450 | 123 |
| 2 | 146500 | 124 |
| 18 | 122100 | 125 |
| 8 | 100522 | 126 |
| 4 | 92000 | 127 |
| 7 | 129676 | 128 |
| 11 | 121946 | 129 |
| 8 | 82099 | 130 |
| 15 | 109646 | 131 |
| 19 | 176500 | 132 |
| 22 | 62884 | 133 |
| 19 | 86250 | 134 |
| 26 | 103649 | 135 |
| 1 | 104800 | 136 |
| 23 | 101000 | 137 |
| 25 | 128464 | 138 |
| 21 | 155750 | 139 |
| 10 | 107986 | 140 |
| 6 | 104542 | 141 |
| 19 | 193000 | 142 |
| 43 | 143940 | 143 |
| 21 | 118971 | 144 |
| 19 | 166605 | 145 |
| 12 | 95611 | 146 |
| 11 | 88175 | 147 |
| 1 | 63900 | 148 |
| 5 | 141136 | 149 |
| 22 | 105350 | 150 |
Existe alguma relação entre o número de resposta e o salário do professor? Graficamente teremos algo assim:
ggplot(dataset_amostra, aes(professor, salario)) +
geom_point(color = "steelblue") +
theme_classic() +
labs(title = "Relação entre ordem de resposta e salário",
x = "Ordem de resposta", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Qual seria a melhor forma de estimar o salário de um profissional, considerando esse gráfico? Na revisão de estatística eu comentei que a média pode ser muito bem usada para isso! Abaixo eu apresento o mesmo gráfico acima, com a adição de uma linha vermelha, que representa a média salarial da amostra:
ggplot(dataset_amostra, aes(professor, salario)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_hline(color = "indianred1", yintercept = mean(dataset_amostra$salario)) +
theme_classic() +
labs(title = "Relação entre ordem de resposta e salário",
x = "Ordem de resposta", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Será que com um modelo poderíamos alcançar um resultado melhor que a média? O quão melhor seria esse resultado? Pra isso que usamos o R2!
Um modelo foi estimado usando a ordem de resposta como variável explicativa para o salário, e podemos representar graficamente o modelo como segue:
ggplot(dataset_amostra, aes(professor, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
theme_classic() +
labs(title = "Relação entre ordem de resposta e salário",
x = "Ordem de resposta", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Esse modelo é melhor que nossa estimativa de média? É bem parecido não é mesmo? Veja os resultados de forma detalhada dessa regressão:
summary(lm(salario ~ professor, dataset_amostra))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ professor, data = dataset_amostra)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -56018 -22942 -5076 20702 91721
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 1.138e+05 5.031e+03 22.625 <2e-16 ***
## professor -5.247e-01 5.780e+01 -0.009 0.993
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 30660 on 148 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 5.568e-07, Adjusted R-squared: -0.006756
## F-statistic: 8.241e-05 on 1 and 148 DF, p-value: 0.9928
Nosso coeficiente de inclinação é estatisticamente diferente de zero?
(Veja a última seção!) Veja o resultado do R2 desse modelo em
Relação entre ordem de resposta e salário. Deu um valor bem
baixo não é? Guarde essa informação!
E se, ao invés de estimar um modelo usando essa variável, usarmos os
anos de servico de um professor como preditor do
salario? Já fizemos isso anteriormente, resultando nesse
gráfico:
ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_hline(color = "gray32", yintercept = mean(dataset_amostra$salario)) +
stat_poly_line(se = FALSE, color = "indianred1") +
stat_poly_eq(geom = "text", aes(label = after_stat(eq.label)),
label.y = 130000, label.x = 60, hjust = "inward") +
theme_classic() +
labs(title = "Regressão com dados amostrais",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
A linha cinza é a média dos salários e a linha vermelha é nosso modelo. A média salarial é uma estimativa de salários melhor que nosso modelo? O quão melhor é nosso modelo ao compararmos com a média?
Podemos representar esse problema com matemática:
\[ R2 = \frac{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2 - \sum_{i=1}^n(Y_i - \hat{Y_i})^2}{\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2} \]
Para simplificar, posso reescrever essa equação como sendo:
\[ R2 = \frac{var(media) - var(modelo)}{var(media)} \]
Se a variância do meu modelo é igual a variância da média, o que acontece com R2? E se a variância do meu modelo for algo próximo a 0? Como a estimativa mais simples que eu posso dar para um conjunto de dados é a média, o R2 deve, necessariamente, ser um valor entre 0 e 1!
Quando meu modelo varia bem menos que a média, isso quer dizer que meu modelo é mais capaz de explicar meus dados do que a média em alguma proporção. A título de curiosidade, vou calcular o R2 do nosso modelo manualmente, de forma que:
O valor de \(\sum_{i=1}^n(Y_i-\bar{Y})^2 = var(media)\) e de \(\sum_{i=1}^n(\hat{Y_i}-\bar{Y})^2 = var(modelo)\), calculadas no R, são de:
modelo <- lm(salario ~ anos_de_servico, dataset_amostra)
var_media <- sum((dataset_amostra$salario - mean(dataset_amostra$salario))^2)
var_modelo <- sum((dataset_amostra$salario - predict(modelo))^2)
print(paste0("A variância da média calculada foi de: ", var_media, ", e a variância do modelo calculado foi de: ", var_modelo))
## [1] "A variância da média calculada foi de: 139080468101.893, e a variância do modelo calculado foi de: 121825757589.415"
Assim, o R2 do modelo é de:
\[ R2 = \frac{139080468101.893 - 121825757589.415}{139080468101.893} = 0.1240628 \]
Veja o resultado detalhado desse modelo gerado pelo R:
summary(modelo)
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico, data = dataset_amostra)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81814 -20835 -2395 13627 78923
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 98914.9 4005.4 24.695 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 798.0 174.3 4.578 9.86e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28690 on 148 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1241, Adjusted R-squared: 0.1181
## F-statistic: 20.96 on 1 and 148 DF, p-value: 9.858e-06
Nosso cálculo do R2 manual é exatamente igual ao R2 fornecido pelo R!
Podemos interpretar esse valor simplesmente por quanto as variações da
variável anos_de_servico explicam as variações do salário.
O poder explicativo do nosso modelo é de 12.41%! Se o modelo fosse uma
simples média, o R2 dele seria 0%! E se fosse um modelo
muito melhor que a média? Algo próximo de 100%!
O R2 pode ser usado também como medida de ajustamento do modelo, podendo medir o quanto a adição de uma variável adiciona no poder explicativo do modelo!
5 Hipóteses do modelo clássico
Nesse capítulo irei abordar as Hipóteses do Modelo Clássico de Regressão Linear HMCRL. Na prática, essas hipóteses existem para garantir duas relações fundamentais em qualquer estudo: a eficiência do estimador; a confiabilidade dos testes estatísticos.
Veremos a frente o que significa não respeitar as hipóteses do modelo clássico, e as consequências para tal.
5.1 Linearidade dos parâmetros
A mais simples das hipóteses exige apenas que nossos parâmetros \(\beta_j\) estimados sejam lineares. Isso quer dizer que:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \] Esse modelo é linear nos parâmetros. E o seguinte modelo?
\[ Y_i = {\beta_0}^2 + \beta_1 X_i + u_i \]
Esse modelo acima não é!
Os parâmetros devem ser lineares simplesmente por uma questão de estimação e nunca teremos esse problema ao usar um computador para estimar uma regressão por mqo!
5.2 A variável explicativa é independente
Essa hipótese também é simples, mas tem um linguajar um pouco mais complexo. Tecnicamente falando, só presumimos que os valores de X não podem ser explicados por nada além de eles mesmos. Ou seja, não poderíamos definir um sistema de equações, como o seguinte:
\[ X_i = \alpha_0 + \alpha_1 Z_i + \epsilon_i \] \[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i \]
Caso contrário, poderíamos representar Y como uma função de uma outra função:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 (\alpha_0 + \alpha_1 Z_i + \epsilon_i) + u_i \]
A fuga dessa hipótese pode acontecer! Apesar de não muito comum, a natureza do evento observado normalmente tornará essa questão evidente! Por exemplo, na estimação de curvas de oferta e demanda de um bem qualquer, teríamos duas equações para quantidade consumida:
\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1 P_i + \epsilon_i \space (Oferta) \] \[ Q_i = \beta_0 + \beta_1 P_i + u_i \space (Demanda) \]
O preço é uma variável explicativa fixa pra uma equação ou ela depende do resultado de outra equação? Esse é um caso de endogeneidade de uma variável que deve ser tratada de forma específica!
5.3 A média dos resíduos é zero
É um dos pressupostos do modelo clássico que costuma ter menos relevância, mas é muito importante para verificarmos o ajustamento de um modelo! Vou me dedicar para explicar de forma prática o que significa ter resíduos com média zero.
Novamente irei recorrer a base muito utilizada ao longo desse documento, a relação entre anos de serviço de um professor e seu salário:
rm(list = setdiff(ls(), c("dataset", "dataset_amostra")))
dataset_amostra[, professor := NULL]
dataset_amostra %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario |
|---|---|
| 25 | 140096 |
| 23 | 104428 |
| 9 | 111168 |
| 34 | 92391 |
| 7 | 70000 |
| 28 | 119015 |
| 32 | 124309 |
| 4 | 81035 |
| 0 | 72500 |
| 13 | 170500 |
| 19 | 113068 |
| 15 | 124714 |
| 21 | 145028 |
| 25 | 172272 |
| 0 | 88795 |
| 31 | 131205 |
| 36 | 137000 |
| 31 | 134690 |
| 10 | 115435 |
| 18 | 126300 |
| 44 | 105000 |
| 51 | 57800 |
| 8 | 81500 |
| 41 | 141500 |
| 39 | 111350 |
| 33 | 128250 |
| 4 | 78785 |
| 3 | 73800 |
| 35 | 100351 |
| 11 | 148800 |
| 27 | 139219 |
| 0 | 88000 |
| 43 | 72300 |
| 30 | 131950 |
| 18 | 136000 |
| 28 | 168500 |
| 15 | 161101 |
| 19 | 151292 |
| 19 | 103275 |
| 20 | 110515 |
| 4 | 92700 |
| 39 | 115000 |
| 20 | 122400 |
| 1 | 118700 |
| 23 | 84273 |
| 37 | 104279 |
| 45 | 107550 |
| 2 | 73000 |
| 3 | 79750 |
| 23 | 74000 |
| 30 | 134000 |
| 14 | 105668 |
| 9 | 100938 |
| 26 | 136660 |
| 9 | 117256 |
| 5 | 153303 |
| 30 | 103106 |
| 14 | 109954 |
| 10 | 99247 |
| 18 | 113341 |
| 3 | 73266 |
| 35 | 99000 |
| 2 | 80225 |
| 21 | 170000 |
| 3 | 117150 |
| 11 | 119500 |
| 18 | 101100 |
| 31 | 162221 |
| 36 | 117515 |
| 28 | 144309 |
| 16 | 135585 |
| 23 | 134778 |
| 23 | 172505 |
| 36 | 97150 |
| 26 | 144651 |
| 21 | 117704 |
| 26 | 106689 |
| 1 | 108413 |
| 5 | 97032 |
| 44 | 89650 |
| 11 | 142467 |
| 9 | 106639 |
| 0 | 85000 |
| 18 | 120000 |
| 11 | 90450 |
| 3 | 75044 |
| 6 | 88650 |
| 8 | 82600 |
| 49 | 78162 |
| 16 | 82100 |
| 45 | 146856 |
| 7 | 92050 |
| 18 | 139750 |
| 8 | 100102 |
| 2 | 96545 |
| 43 | 205500 |
| 23 | 93418 |
| 36 | 88600 |
| 60 | 192253 |
| 39 | 109000 |
| 12 | 145000 |
| 8 | 74830 |
| 9 | 180000 |
| 2 | 79916 |
| 6 | 63100 |
| 0 | 78000 |
| 16 | 112429 |
| 49 | 186960 |
| 17 | 81285 |
| 19 | 94350 |
| 30 | 122875 |
| 20 | 129600 |
| 5 | 74000 |
| 19 | 126200 |
| 20 | 123683 |
| 6 | 97000 |
| 8 | 102000 |
| 40 | 143250 |
| 2 | 80225 |
| 10 | 107500 |
| 2 | 77500 |
| 10 | 104350 |
| 36 | 119450 |
| 2 | 146500 |
| 18 | 122100 |
| 8 | 100522 |
| 4 | 92000 |
| 7 | 129676 |
| 11 | 121946 |
| 8 | 82099 |
| 15 | 109646 |
| 19 | 176500 |
| 22 | 62884 |
| 19 | 86250 |
| 26 | 103649 |
| 1 | 104800 |
| 23 | 101000 |
| 25 | 128464 |
| 21 | 155750 |
| 10 | 107986 |
| 6 | 104542 |
| 19 | 193000 |
| 43 | 143940 |
| 21 | 118971 |
| 19 | 166605 |
| 12 | 95611 |
| 11 | 88175 |
| 1 | 63900 |
| 5 | 141136 |
| 22 | 105350 |
Graficamente, a relação entre os dados é:
ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
theme_classic() +
labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Imagine que estimei um modelo com a seguinte forma funcional:
\[ Y_i = 150000 + 800X_i + u_i \]
No gráfico, esse modelo seria representado dessa forma:
ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, 150000 + 800 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Esse modelo parece justo? Ele parece bem ajustado? Se você estivesse decidindo sua profissão e notasse que o ganho salarial como professor com nenhuma experiência beira os 150000 reais anuais, você não se sentiria tentado a trabalhar como professor?
Esse diagnóstico fica ainda mais claro ao observarmos a distribuição do resíduo dessa regressão! Lembro que o resíduo é simplesmente:
\[ u_i = Y_i - (150000 + 800X_i) \]
Abaixo represento a distribuição do resíduo da regressão:
ggplot(dataset_amostra, aes(salario - 150000 + 800 * anos_de_servico)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", bins = 50) +
geom_vline(xintercept = mean(dataset_amostra$salario - (150000 + 800 * dataset_amostra$anos_de_servico))) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição dos resíduos da regressão",
x = "Resíduo", y = "Quantidade de vezes que esse resíduo aparece") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
A linha preta é a média dos resíduos. Além de não estarem centrados em zero, existe um enorme viés negativo no modelo! Ou seja, o modelo erra muito pra cima! Isso é catastrofico! E no caso de um modelo gerado por mqo?
Vimos anteriormente que o modelo correto seria:
\[ Y_i = 98914.9 + 798X_i + \hat{u_i} \]
E graficamente:
ggplot(dataset_amostra, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Os resíduos desse modelo são distribuidos da forma:
ggplot(dataset_amostra, aes(salario - 98914.9 + 798 * anos_de_servico)) +
geom_histogram(fill = "steelblue", bins = 50) +
geom_vline(xintercept = mean(dataset_amostra$salario - (98914.9 + 798 * dataset_amostra$anos_de_servico))) +
theme_classic() +
labs(title = "Distribuição dos resíduos da regressão",
x = "Resíduo", y = "Quantidade de vezes que esse resíduo aparece") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Por mais que os resíduos se distribuam muito ao longo da média, eles apresentam média zero! (A linha preta) Isso quer dizer que ao menos nosso modelo apresenta menor viés que outros modelos!
5.4 Os erros são homocedásticos
De forma simples, a hipótese de homocedasticidade implica na variância constante do erro ao longo de uma amostra. A ausência de homocedasticidade é comumente chamada de heterocedasticidade.
Variância constante, de forma matemática, significa isso:
\[ var(u_i) = E[u_i - E(u_i)]^2 \] Se o pressuposto anterior é válido, a média do erro é zero! Então \(E(u_i) = 0\), e:
\[ var(u_i) = E[-E(u_i)]^2 \]
Reescrevendo essa equação, encontramos o valor fixo de:
\[ var(u_i) = E({u_i}^2) = \sigma^2 \]
Mas além disso, o que significa ter variância constante? Usando o mesmo exemplo do pressuposto anterior, teremos um modelo gerado por mqo de:
\[ Y_i = 98914.9 + 798X_i + \hat{u_i} \]
Para simplificar, usarei menos observações para reduzir o número de pontos no gráfico.
No gráfico, esse modelo seria representado dessa forma:
set.seed(42)
dados <- slice_sample(dataset, n=80)
ggplot(dados, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, 98914.9 + 798 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
geom_segment(aes(yend = 98914.9 + 798 * anos_de_servico, xend = anos_de_servico), color = "gray32", size = 0.5) +
theme_classic() +
labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Cada linha reta entre o ponto azul e a linha vermelha representa o resíduo dessa regressão. O ideal seria que não houvessem retas muito maiores que as outras!
Se eu dividir esse mesmo gráfico em 2, a variância dos resíduos do modelo é constante? Por exemplo, do intervalo em que anos_de_servico está entre 0 e 20, teria o seguinte gráfico:
ggplot(dados[anos_de_servico %in% 0:20], aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, 98914.9 + 798 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
geom_segment(aes(yend = 98914.9 + 798 * anos_de_servico, xend = anos_de_servico), color = "gray32", size = 0.5) +
theme_classic() +
labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
A variância dos resíduos nesse intervalo é 4.7009946^{8}. E no intervalo de anos_de_servico > 20?
O gráfico a seguir representa esse caso:
ggplot(dados[anos_de_servico > 20], aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_line(aes(anos_de_servico, 98914.9 + 798 * anos_de_servico), color = "indianred1") +
geom_segment(aes(yend = 98914.9 + 798 * anos_de_servico, xend = anos_de_servico), color = "gray32", size = 0.5) +
theme_classic() +
labs(title = "Relação de tempo de serviço e salário anual",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
A variância dos resíduos nesse intervalo é 5.8233764^{8}. É a mesma que no outro intervalo? Parece que não! Então nosso modelo acaba violando o pressuposto de homocedasticidade dos erros! Isso acaba sendo muito comum… risos.
O diagnóstico que fizemos acima pode ser mais intuitivo, mas não é robusto estatísticamente! Uma forma mais confiável de testar para presença de homocedasticidade é feita por meio de testes de hipótese! (Tratarei disso em uma seção dedicada.)
O problema de um modelo não se adequar a essa hipótese é a perda de confiabilidade nas estimativas de erro padrão dos estimadores. Eu poderia colocar uma prova matemática disso aqui, apesar de não ser o foco, mas eu prefiro que você pense: se a variância do meu erro não é constante, por que o erro padrão do meu estimador seria confiável? Um não é calculado com base em outro? E qual o problema do erro padrão não ser confiável? Não calculamos teste de hipótese com ele? É uma espiral de problemas isso!
5.5 Ausência de autocorrelação residual
Esse pressuposto pode não ser verdadeiro em regressões que envolvem séries temporais. Imagine que uma pessoa qualquer esteja desenvolvendo uma nova receita de pão de queijo: na primeira vez que fez, queimou todos os pães! Na segunda vez, os pães ficaram quase queimados. Na terceita, o pão estava mais seco. Na quarta, quase perfeito. Na quinta vez a pessoa desenvolveu uma receita maravilhosa. Te pergunto, o erro da primeira vez não serviu de aprendizado para as próximas vezes?
Nesse caso, houve o que chamamos de presença de autocorrelação residual, ou seja, o termo de erro de um período passado tem relação com menores erros em um período futuro!
De maneira geral, podemos descrever essa situação como segue:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + \beta_2Xj + u_i \]
No caso de séries temporais, \(X_j\) pode ser, simplesmente: \(X_j = X_{it-1}\). O que fiz aqui foi defasar a série de \(X_i\) em uma unidade de tempo. Essa é uma prática muito comum e explorada em econometria de séries temporais!
Posso simplesmente dividir esse modelo de duas variáveis explicativas em dois modelos, como segue:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \space (1) \]
\[ Y_i = \alpha_0 + \alpha_1Xj + u_j \space (2) \]
E o resíduo dessas duas equações é:
\[ u_i = Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i) \space (1) \]
\[ u_j = Y_i - (\alpha_0 + \alpha_1Xj) \space (2) \]
Nos primeiros capítulos do documento, apresentei a lógica de cálculo do coeficiente de correlação de pearson. Podemos calcular a correlação do resíduo dessas duas regressões para investigar se existe presença de algum tipo de correlação! Se houver, a equação que utiliza as duas variáveis explicativas não irá respeitar esse pressuposto!
Abaixo faço um exemplo prático usando dados do PIB per capita brasileiro.
dados <- data.table(gapminder::gapminder)[country == "Brazil"]
dados <- select(dados, gdpPercap, year)
ggplot(dados, aes(year, gdpPercap)) +
geom_line(color = "steelblue") +
labs(x = "Ano", y = "PIB per capita") +
theme_classic()
Poderia simplesmente aplicar os estimadores de mqo para estimar uma linha de tendência e analisar de forma superficial a progressão da variável com o tempo? Sim. Mas sob presença de autocorrelação residual, os estimadores do MQO deixam de ser MELV (melhores estimadores lineares não viesados), tornando sua análise rasa e propícia a erro! (O motivo é melhor abordado com documentos específicos. Meu objetivo com esse documento não é de fornecer material de aprofundamento e sim de fornecer um ponto de partida a quem esteja confuso com os assuntos aqui abordados.)
Nesse caso, poderia também estimar um modelo bem simples, com a seguinte forma funcional:
\[ PIBPerCapita_t = \beta_0 + \beta_1PIBPerCapita_{t-1} + \beta_2 PIBPerCapita_{t-2} + u_i \]
Esse modelo apresentará ausência de autocorrelação serial? Vejamos. Pela lógica que apresentei acima, divido as duas variáveis explicativas em dois modelos e calculo o resíduo de ambas as regressões, resultando no seguinte gráfico:
dados[, pib_percapita_defasado_1 := lag(gdpPercap)]
dados[, pib_percapita_defasado_2 := lag(gdpPercap, n = 2)]
modelo1 <- lm(gdpPercap ~ pib_percapita_defasado_1, dados)
modelo2 <- lm(gdpPercap ~ pib_percapita_defasado_2, dados)
residuos_total <- data.table(residuos_i = c(NA, modelo1$residuals), residuos_j = c(NA, NA, modelo2$residuals))
ggplot(residuos_total, aes(residuos_i, residuos_j)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
theme_classic()
A correlação entre os dois resíduos é de 0.6446501! Isso quer dizer que existem fortes indícios de autocorrelação residual nessa série de dados!
Relembrando, a correlação pode ser próxima de -1 ou 1, como os gráficos abaixo:
dados <- data.table(residuos_i = rnorm(1000, 0, 2))
dados[, residuos_j := residuos_i * 2 + rnorm(1000, 0, 0.5)]
ggplot(dados, aes(residuos_i, residuos_j)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
theme_classic()
dados <- data.table(residuos_i = rnorm(1000, 0, 2))
dados[, residuos_j := residuos_i * -2 + rnorm(1000, 0, 0.5)]
ggplot(dados, aes(residuos_i, residuos_j)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
theme_classic()
Ou próxima de 0, como o gráfico abaixo:
dados <- data.table(residuos_i = rnorm(1000, 0, 2))
dados[, residuos_j := rnorm(1000, 0, 0.5)]
ggplot(dados, aes(residuos_i, residuos_j)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5) +
theme_classic()
Por esse pressuposto ser muito mais comum em séries temporais e em dados de seção cruzada, não entrarei no mérito nesse documento. Caso você tenha interesse, escrevi dois outros documentos para econometria II e III, disponíveis no meu rpubs que aprofundam mais sobre os detalhes desse pressuposto.
5.6 O erro e X não covariam
Basicamente, esse pressuposto presume a ausência de uma relação entre o valor da variável explicativa X e o termo de erro associado a previsão. Ou seja, quão maior seja X não pode ter impacto em maiores ou menores valores para o termo de erro. Matematicamente:
\[ cov(X_i,u_i) = 0 \]
Podemos testar isso de forma simples, com uma base previamente utilizada. Lembre-se da relação entre o tempo de serviço e salário anual de um professor:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary", "yrs.since.phd")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario", "anos_desde_phd")
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5, color = "indianred1") +
theme_classic()
Qual a relação entre o termo de erro dessa regressão com os anos de serviço de um professor? Lembre-se que o resíduo é simplesmente:
\[ u_i = Y_i - \hat{Y_i} = Y_i - (\beta_0 + \beta_1X_i) \]
Calculando o resíduo para cada observação, posso representar o resíduo no eixo y e o tempo de serviço no eixo x. Existe alguma relação?
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, lm(salario~anos_de_servico, dataset)$residuals)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(se = F, method = "lm", size = 0.5, color = "indianred1") +
labs(x = "anos de serviço", y = "Resíduos da regressão") +
theme_classic()
Nesse caso, não existem indícios de uma covariância entre o termo de erro e a variável explicativa! (Veja a seção de covariância para entender melhor!)
5.7 O número de observações deve ser maior do que os graus de liberdade
É um pressuposto bem simples. Primeiro, vamos lembrar do conceito de graus de liberdade.
Imagine que você tem 6 bolinhas de gude enumeradas de 1 a 6. Se você colocar todas as bolinhas de gude dentro de um pote, e retirar uma, ao acaso, tem como saber qual número será removido do pote? Não!
Agora façamos um trabalho de imaginação. Imagine que você tenha removido a bolinha numero 2. Ao remover a próxima bola desse pote, você pode saber exatamente qual número será removido em seguida? Não!
Imagine agora que removemos as bolinhas 1, 2, 3 e 4. Agora podemos ter certeza de qual bolinha será removida? Não! E se tirarmos todas as bolinhas do pote, menos uma?
Imagine que temos em mãos as bolinhas 1, 2, 3, 4 e 5. Qual a bola está dentro do pote? Precisamente porque sabemos que a bolinha 6 está no pote, os graus de liberdade dessas bolinhas é 5. Mas por que?
Bom, se eu tenho todas as bolinhas em mãos, menos uma, eu necessariamente sei o valor da última bolinha!
Na prática, pra todo conjunto de observações, teremos ao menos n-1 graus de liberdade. E no caso de termos 2 conjuntos de observações? Aí nesse caso teríamos n-2 graus de liberdade!
Vamos a um exemplo:
Veja a base abaixo, referente aos gastos pessoais de moradores dos Estados Unidos:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(t(USPersonalExpenditure))
dataset[, ano := c(1940, 1945, 1950, 1955, 1960)]
names(dataset) <- c("Comida e Tabaco", "Domesticos", "Saude", "Cuidado pessoal", "Educacao privada", "ano")
setcolorder(dataset, c("ano", "Comida e Tabaco", "Domesticos", "Saude", "Cuidado pessoal", "Educacao privada"))
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| ano | Comida e Tabaco | Domesticos | Saude | Cuidado pessoal | Educacao privada |
|---|---|---|---|---|---|
| 1940 | 22.2 | 10.5 | 3.53 | 1.04 | 0.341 |
| 1945 | 44.5 | 15.5 | 5.76 | 1.98 | 0.974 |
| 1950 | 59.6 | 29.0 | 9.71 | 2.45 | 1.800 |
| 1955 | 73.2 | 36.5 | 14.00 | 3.40 | 2.600 |
| 1960 | 86.8 | 46.2 | 21.10 | 5.40 | 3.640 |
Olhando somente para a coluna referente aos gastos com comida e tabaco, quantas observações temos para cada ano? E quantas variáveis? Qual o grau de liberdade nesse caso? Quatro!
E olhando para as colunas comida e tabaco e gastos domésticos, quantas observações temos para cada ano? (Ainda são somente 5 anos!) E quantas variáveis? O grau de liberdade agora é menor, é 3!
Estatísticamente falando, conhecendo todas as informações nessa tabela, temos 0 graus de liberdade (ignore a coluna ano!)! Isso quer dizer simplesmente que não existe qualquer liberdade dentro desse sistema, todos os valores deverão ser os mesmos independente do que a gente faça. (Lembre-se da bolinha, é como se pudéssemos ver tudo que acontece dentro do pote nesse sistema.)
Mas o que significa não ter graus de liberdade na prática? Imagine que eu represente os gastos com saude em função dos gastos com comida e saúde somente em 2 anos. Ou seja, 2 variáveis e 2 observações, resultando em 0 graus de liberdade. A regressão ficaria assim:
ggplot(dataset[ano %in% c(1940, 1960)], aes(`Comida e Tabaco`, Saude)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "indianred1") +
theme_classic()
Veja os resultados dessa regressão abaixo:
summary(lm(Saude ~ `Comida e Tabaco`, dataset[ano %in% c(1940, 1960)]))
##
## Call:
## lm(formula = Saude ~ `Comida e Tabaco`, data = dataset[ano %in%
## c(1940, 1960)])
##
## Residuals:
## ALL 2 residuals are 0: no residual degrees of freedom!
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -2.508 NaN NaN NaN
## `Comida e Tabaco` 0.272 NaN NaN NaN
##
## Residual standard error: NaN on 0 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 1, Adjusted R-squared: NaN
## F-statistic: NaN on 1 and 0 DF, p-value: NA
Por que tantos erros, você pode acabar se perguntando. Bom, se eu tenho 0 graus de liberdade, eu consigo calcular a variância desses pontos? Não! Outra coisa, com 0 graus de liberdade, você nota que a regressão toca perfeitamente os dois pontos e não apresenta erro algum? Isso é irreal!
Veja o que acontece se eu usar todas as observações que possuo:
ggplot(dataset, aes(`Comida e Tabaco`, Saude)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(method = "lm", se = FALSE, color = "indianred1") +
theme_classic()
summary(lm(Saude ~ `Comida e Tabaco`, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = Saude ~ `Comida e Tabaco`, data = dataset)
##
## Residuals:
## 1 2 3 4 5
## 2.043 -1.663 -1.733 -1.063 2.417
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -4.42207 2.90695 -1.521 0.2256
## `Comida e Tabaco` 0.26619 0.04726 5.633 0.0111 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.374 on 3 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9136, Adjusted R-squared: 0.8848
## F-statistic: 31.73 on 1 and 3 DF, p-value: 0.01107
Agora sim podemos falar alguma coisa sobre nossas previsões! Existem graus de liberdade nesse modelo de forma que podemos testar nossos resultados. Essa é a importância de termos sempre um número positivo de graus de liberdade em nossas modelagens!
5.8 Ausência de Multicolinearidade
Note que ao longo de todo documento até aqui, segui um caminho não muito tradicional na econometria de usar modelos com mais de uma variável explicativa sem antes me dedicar a explicar precisamente como estimar. Foi proposital. As vezes muito mistério é feito em cima de uma temática que não precisa disso tudo. Estou falando isso por um motivo simples, esse pressuposto do modelo clássico é extremamente relacionado a inclusão de uma variável no modelo.
Mas o que é multicolinearidade? O que ela faz com meus modelos que é tão ruim assim? Em um primeiro momento, precisamos diferenciar multicolinearidade perfeita e multicolinearidade prejudicial.
Multicolinearidade perfeita é algo muito incomum de acontecer na prática. Imagine que você tenha informações perfeitamente correlacionadas no meio de suas variáveis explicativas. A presença dessas duas variáveis inviabiliza completamente a estimação. (Falo mais sobre isso na seção de modelo matricial.)
E a multicolinearidade prejudicial tem o nome “prejucicial” pois simplesmente inflaciona as nossas estimativas de erro padrão dos estimadores, prejudicando as nossas inferências!
Pense no seguinte exemplo:
rm(list = ls())
set.seed(42)
dataset <- data.table(largura_em_metros = round(rnorm(100, 17, 3)), comprimento_em_metros = round(rnorm(100, 7, 1)))
dataset[, area_em_m2 := largura_em_metros * comprimento_em_metros]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| largura_em_metros | comprimento_em_metros | area_em_m2 |
|---|---|---|
| 21 | 8 | 168 |
| 15 | 8 | 120 |
| 18 | 6 | 108 |
| 19 | 9 | 171 |
| 18 | 6 | 108 |
| 17 | 7 | 119 |
| 22 | 7 | 154 |
| 17 | 7 | 119 |
| 23 | 7 | 161 |
| 17 | 7 | 119 |
| 21 | 7 | 147 |
| 24 | 7 | 168 |
| 13 | 7 | 91 |
| 16 | 6 | 96 |
| 17 | 5 | 85 |
| 19 | 7 | 133 |
| 16 | 6 | 96 |
| 9 | 10 | 90 |
| 10 | 6 | 60 |
| 21 | 7 | 147 |
| 16 | 6 | 96 |
| 12 | 6 | 72 |
| 16 | 7 | 112 |
| 21 | 6 | 126 |
| 23 | 7 | 161 |
| 16 | 7 | 112 |
| 16 | 6 | 96 |
| 12 | 5 | 60 |
| 18 | 6 | 108 |
| 15 | 7 | 105 |
| 18 | 8 | 144 |
| 19 | 7 | 133 |
| 20 | 7 | 140 |
| 15 | 8 | 120 |
| 19 | 8 | 152 |
| 12 | 6 | 72 |
| 15 | 7 | 105 |
| 14 | 8 | 112 |
| 10 | 7 | 70 |
| 17 | 7 | 119 |
| 18 | 7 | 126 |
| 16 | 6 | 96 |
| 19 | 7 | 133 |
| 15 | 7 | 105 |
| 13 | 7 | 91 |
| 18 | 8 | 144 |
| 15 | 7 | 105 |
| 21 | 7 | 147 |
| 16 | 8 | 128 |
| 19 | 6 | 114 |
| 18 | 7 | 126 |
| 15 | 5 | 75 |
| 22 | 8 | 176 |
| 19 | 7 | 133 |
| 17 | 7 | 119 |
| 18 | 6 | 108 |
| 19 | 7 | 133 |
| 17 | 6 | 102 |
| 8 | 6 | 48 |
| 18 | 8 | 144 |
| 16 | 7 | 112 |
| 18 | 6 | 108 |
| 19 | 7 | 133 |
| 21 | 7 | 147 |
| 15 | 8 | 120 |
| 21 | 8 | 168 |
| 18 | 6 | 108 |
| 20 | 7 | 140 |
| 20 | 7 | 140 |
| 19 | 8 | 152 |
| 14 | 7 | 98 |
| 17 | 8 | 136 |
| 19 | 5 | 95 |
| 14 | 9 | 126 |
| 15 | 8 | 120 |
| 19 | 7 | 133 |
| 19 | 6 | 114 |
| 18 | 8 | 144 |
| 14 | 7 | 98 |
| 14 | 7 | 98 |
| 22 | 7 | 154 |
| 18 | 6 | 108 |
| 17 | 7 | 119 |
| 17 | 7 | 119 |
| 13 | 7 | 91 |
| 19 | 6 | 114 |
| 16 | 8 | 128 |
| 16 | 8 | 128 |
| 20 | 6 | 120 |
| 19 | 5 | 95 |
| 21 | 7 | 147 |
| 16 | 7 | 112 |
| 19 | 7 | 133 |
| 21 | 6 | 126 |
| 14 | 6 | 84 |
| 14 | 8 | 112 |
| 14 | 7 | 98 |
| 13 | 8 | 104 |
| 17 | 9 | 153 |
| 19 | 7 | 133 |
Lembre, que a área de um retângulo é simplesmente:
\[ Area = comprimento \cdot largura \]
Dado que uma coluna é calculada perfeitamente com a combinação de duas outras, esse sistema é linearmente dependente (LI)? Não se assuste, o simples fato de podermos determinar perfeitamente uma coluna como alguma combinação das outras duas torna esse sistema extremamente dependente, não torna? O valor de área pode ser diferente da combinação de comprimento e largura (nesse caso, risos)? Não! Nesse caso, aconteceria o que chamamos de multicolinearidade perfeita!
Agora imagine que temos mais uma coluna (completamente fictícia) no conjunto de dados:
set.seed(42)
dataset[, valor_da_propriedade := rnorm(100, 70000, 5000) + dataset$area * 200]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| largura_em_metros | comprimento_em_metros | area_em_m2 | valor_da_propriedade |
|---|---|---|---|
| 21 | 8 | 168 | 110454.79 |
| 15 | 8 | 120 | 91176.51 |
| 18 | 6 | 108 | 93415.64 |
| 19 | 9 | 171 | 107364.31 |
| 18 | 6 | 108 | 93621.34 |
| 17 | 7 | 119 | 93269.38 |
| 22 | 7 | 154 | 108357.61 |
| 17 | 7 | 119 | 93326.70 |
| 23 | 7 | 161 | 112292.12 |
| 17 | 7 | 119 | 93486.43 |
| 21 | 7 | 147 | 105924.35 |
| 24 | 7 | 168 | 115033.23 |
| 13 | 7 | 91 | 81255.70 |
| 16 | 6 | 96 | 87806.06 |
| 17 | 5 | 85 | 86333.39 |
| 19 | 7 | 133 | 99779.75 |
| 16 | 6 | 96 | 87778.74 |
| 9 | 10 | 90 | 74717.72 |
| 10 | 6 | 60 | 69797.67 |
| 21 | 7 | 147 | 106000.57 |
| 16 | 6 | 96 | 87666.81 |
| 12 | 6 | 72 | 75493.46 |
| 16 | 7 | 112 | 91540.41 |
| 21 | 6 | 126 | 101273.37 |
| 23 | 7 | 161 | 111675.97 |
| 16 | 7 | 112 | 90247.65 |
| 16 | 6 | 96 | 87913.65 |
| 12 | 5 | 60 | 73184.18 |
| 18 | 6 | 108 | 93900.49 |
| 15 | 7 | 105 | 87800.03 |
| 18 | 8 | 144 | 101077.25 |
| 19 | 7 | 133 | 100124.19 |
| 20 | 7 | 140 | 103175.52 |
| 15 | 8 | 120 | 90955.37 |
| 19 | 8 | 152 | 102924.78 |
| 12 | 6 | 72 | 75814.96 |
| 15 | 7 | 105 | 87077.70 |
| 14 | 8 | 112 | 88145.46 |
| 10 | 7 | 70 | 71928.96 |
| 17 | 7 | 119 | 93980.61 |
| 18 | 7 | 126 | 96229.99 |
| 16 | 6 | 96 | 87394.71 |
| 19 | 7 | 133 | 100390.82 |
| 15 | 7 | 105 | 87366.48 |
| 13 | 7 | 91 | 81358.59 |
| 18 | 8 | 144 | 100964.09 |
| 15 | 7 | 105 | 86943.03 |
| 21 | 7 | 147 | 106620.51 |
| 16 | 8 | 128 | 93442.77 |
| 19 | 6 | 114 | 96078.24 |
| 18 | 7 | 126 | 96809.63 |
| 15 | 5 | 75 | 81080.81 |
| 22 | 8 | 176 | 113078.64 |
| 19 | 7 | 133 | 99814.50 |
| 17 | 7 | 119 | 94248.80 |
| 18 | 6 | 108 | 92982.75 |
| 19 | 7 | 133 | 99996.44 |
| 17 | 6 | 102 | 90849.16 |
| 8 | 6 | 48 | 64634.55 |
| 18 | 8 | 144 | 100224.41 |
| 16 | 7 | 112 | 90563.83 |
| 18 | 6 | 108 | 92526.15 |
| 19 | 7 | 133 | 99509.12 |
| 21 | 7 | 147 | 106398.68 |
| 15 | 8 | 120 | 90363.54 |
| 21 | 8 | 168 | 110112.71 |
| 18 | 6 | 108 | 93279.24 |
| 20 | 7 | 140 | 103192.53 |
| 20 | 7 | 140 | 102603.64 |
| 19 | 8 | 152 | 104004.39 |
| 14 | 7 | 98 | 84384.41 |
| 17 | 8 | 136 | 96749.07 |
| 19 | 5 | 95 | 92117.59 |
| 14 | 9 | 126 | 90432.38 |
| 15 | 8 | 120 | 91285.86 |
| 19 | 7 | 133 | 99504.98 |
| 19 | 6 | 114 | 96640.89 |
| 18 | 8 | 144 | 101118.84 |
| 14 | 7 | 98 | 85171.12 |
| 14 | 7 | 98 | 84101.10 |
| 22 | 7 | 154 | 108363.54 |
| 18 | 6 | 108 | 92889.61 |
| 17 | 7 | 119 | 94242.20 |
| 17 | 7 | 119 | 93195.52 |
| 13 | 7 | 91 | 82228.36 |
| 19 | 6 | 114 | 95859.98 |
| 16 | 8 | 128 | 94514.30 |
| 16 | 8 | 128 | 94686.22 |
| 20 | 6 | 120 | 98666.73 |
| 19 | 5 | 95 | 93108.87 |
| 21 | 7 | 147 | 106360.58 |
| 16 | 7 | 112 | 90019.13 |
| 19 | 7 | 133 | 99851.74 |
| 21 | 6 | 126 | 102155.55 |
| 14 | 6 | 84 | 81246.06 |
| 14 | 8 | 112 | 88096.04 |
| 14 | 7 | 98 | 83941.31 |
| 13 | 8 | 104 | 83503.93 |
| 17 | 9 | 153 | 100999.91 |
| 19 | 7 | 133 | 99866.02 |
Qual seria a relação do valor da propriedade (variável completamente fictícia criada por mim) com a área em metros quadrados dela? Vejamos:
ggplot(dataset, aes(area_em_m2, valor_da_propriedade)) +
geom_point(color = "steelblue") +
theme_classic()
Parece que maiores area estão relacionados com maiores valores de propriedade. O que acontece se eu estimar um modelo usando somente a variável area para explicar o valor? Veja o resultado da regressão abaixo:
summary(lm(valor_da_propriedade ~ area_em_m2, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = valor_da_propriedade ~ area_em_m2, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -8687 -2027 74 2198 7882
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 50619.81 1400.82 36.14 <2e-16 ***
## area_em_m2 364.28 11.51 31.66 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2982 on 98 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9109, Adjusted R-squared: 0.91
## F-statistic: 1002 on 1 and 98 DF, p-value: < 2.2e-16
A estimação ocorre da forma como esperamos. E o que acontece se eu estimar o modelo usando todas as variáveis que possuo? A forma funcional dele seria a seguinte:
\[ Valor_i = \beta_0 + \beta_1comprimento_i + \beta_2largura_i + \beta_3area_i +u_i \]
O resultado do modelo seria:
summary(lm(valor_da_propriedade ~ ., dataset))
##
## Call:
## lm(formula = valor_da_propriedade ~ ., data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -793.15 -361.98 -53.28 346.71 888.77
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 39089.95 1595.52 24.50 <2e-16 ***
## largura_em_metros 1787.74 98.00 18.24 <2e-16 ***
## comprimento_em_metros 354.79 224.53 1.58 0.117
## area_em_m2 183.04 13.84 13.22 <2e-16 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 445.7 on 96 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9981, Adjusted R-squared: 0.998
## F-statistic: 1.639e+04 on 3 and 96 DF, p-value: < 2.2e-16
Veja o que acontece com o R2 entre o primeiro e o segundo modelo. Adicionamos alguma informação tão importante assim para o R2 aumentar tão drasticamente? Não… a área já “continha” basicamente as informações novas adicionadas por essas duas novas variáveis.
O mesmo vale para os pvalores de cada parâmetro, por termos erro padrão inflacionados, perdemos confiabilidade em nossas estimativas.
A título de curiosidade, a matriz de correlação de todas as variáveis é a seguinte:
cor(dataset)
## largura_em_metros comprimento_em_metros area_em_m2
## largura_em_metros 1.00000000 -0.03282581 0.8175477
## comprimento_em_metros -0.03282581 1.00000000 0.5351620
## area_em_m2 0.81754768 0.53516199 1.0000000
## valor_da_propriedade 0.95020557 0.27131866 0.9544331
## valor_da_propriedade
## largura_em_metros 0.9502056
## comprimento_em_metros 0.2713187
## area_em_m2 0.9544331
## valor_da_propriedade 1.0000000
A interpretação da matriz acima é bem simples. Note que existem apenas valores de 1 na diagonal principal. Isso faz todo sentido, a correlação de uma variável com ela mesma tem que ser sempre 1! Note a altíssima correlação de área em metros quadrados com largura em metros, essa alta correlação é um indicativo forte de multicolinearidade prejudicial!
Veremos em uma seção específica como fazer o diagnóstico e tratar multicolinearidade de forma a corrigir esse problema de perda de confiabilidade.
6 Modelos com mais de uma variável
Ao longo dos capítulos anteriores, eu abordei a temática da regressão sob perspectiva de somente uma variável X sobre outra variável Y. (Apesar de em alguns momentos usar mais de uma variável indiretamente.) Neste, buscarei ampliar a compreensão acerca do processo de estimação de modelos lineares sob o método de MQO.
A princípio, tudo que fizemos com duas variáveis é válido para mais de uma variável, e boa parte das interpretações é a mesma. A primeira grande diferença é algo que citei previamente no problema da estimação: como estimar os parâmetros de beta para mais de uma variável? Lembre-se, os estimadores de um modelo linear da seguinte forma funcional:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_i + u_i \]
São:
\[ \hat{\beta_0} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n Y_i - \hat{\beta_1}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^nX_i \]
\[ \hat{\beta_1}= \frac{n\sum_{i=1}^n Y_iX_i - \sum_{i=1}^nX_i\sum_{i=1}^n Y_i}{n\sum_{i=1}^nX_i^2-(\sum_{i=1}^nX_i)^2} \]
Mas e se eu mudar a forma funcional para a seguinte:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + u_i \]
Sendo \(X_{1i}\) e \(X_{2i}\) duas variáveis distintas. Como eu encontraria o valor de \(\beta_2\)?
Lembre-se, que para encontrar os valores de \(\beta_0\) e \(\beta_1\), precisei minimizar a soma do quadrado dos resíduos! É uma conta bem enjoada que precisaria fazer cada vez que eu mudo a forma funcional do modelo estimado!
Por isso, essa dinâmica de estimação não tá com nada! Os estimadores vão ser sempre muito complexos e muito enjoados de calcular na mão. Em meio a resolver esse problema, existe uma solução: o modelo matricial!
(Infelizmente, se você não teve uma boa base de álgebra linear, agora talvez fique um pouco perdido. Tentarei meu melhor para explicar de forma simples!)
Podemos representar qualquer modelo linear da seguinte forma:
\[ y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \beta_3x_{3i} + ... + \beta_kx_{ki} + u_i \]
De uma forma ainda mais genérica, podemos representar esse modelo todo de cima em forma de matriz. Como segue:
\[ y = X \beta + u \]
Em que y é um vetor 1xn de variáveis explicadas, \(\beta\) é o vetor 1xk de parâmetros beta, X é uma matriz kxn de variáveis explicativas e u é o vetor de erro.
Por exemplo, podemos traduzir o seguinte modelo:
\[ y_i = \beta_0 + \beta_1x_{1i} + \beta_2x_{2i} + \beta_3x_{3i} + u_i \]
Para simplesmente:
\[ \begin{pmatrix} y_1 \\ y_2 \\ y_3 \\ ... \\ y_n \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & X_{11} & X_{12} & X_{13} \\ 1 & X_{21} & X_{22} & X_{23} \\ 1 & X_{31} & X_{32} & X_{33} \\ ... & ... & ... & ... \\ 1 & X_{n1} & X_{n2} & X_{n3} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \\ \beta_2 \\ \beta_3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \\ ... \\ u_n \end{pmatrix} \]
Note que eu introduzi na matriz X um vetor coluna cheio de números 1. Fiz isso porque preciso adicionar uma coluna com variância 0 para estimar um intercepto do modelo!
Agora, o porquê de usarmos uma forma matricial fique mais clara a partir dessa ideia: e se usarmos a forma matricial na minimização da soma de quadrado de resíduos?
Ou seja, eu busco o seguinte:
\[ minimizar \space SQR = \sum_{i=1}^n (y_i - \hat{y}_i) ^ 2 \]
Sendo que: (As estimativas no modelo matricial são simplesmente \(X \beta\))
\[ minimizar \space SQR = \sum_{i=1}^n (y_i - X \hat\beta) ^ 2 \]
Como meu foco neste documento não é comentar sobre técnicas de otimização, recomendo uma leitura de um livro específico de Econometria, como o de Gujarati e Porter, ou, para uma estimação mais direto ao ponto aqui.
Após uma série de manipulações algébricas, concluímos que o estimador genérico para o vetor de betas é:
\[ \hat{\beta} = (X'X)^{-1}X'y \]
Essa equação acima basicamente torna mil vezes mais fácil a estimação pelo método de MQO. Não precisa ficar calculando um estimador de cada vez, nem calculando somatório aqui ou ali. Basta ser bom em resolver operações matriciais… ou ter um computador!
6.1 Exemplo prático do modelo matricial
Em todos os exemplos anteriores, sempre buscamos representar uma linha reta em um modelo bidimensional. Ou seja, um modelo que uma variável explica a outra. Podemos visualizar isso com muita facilidade, simplesmente com um gráfico de dispersão:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(longley)
names(dataset) <- c("pib_deflacionado", "pib", "desempregados", "forcas_armadas", "populacao", "ano", "proporcao_empregados")
ggplot(dataset, aes(pib, proporcao_empregados)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
theme_classic()
Com esse gráfico, fica muito fácil notar a relação entre o PIB de um país e sua proporção da população empregada. Mas o PIB sozinho é um bom estimador para população empregada? E se eu adicionar mais uma variável?
Outro possível estimador para empregabilidade é o tamanho da população! Vejamos como podemos representar essa variável:
ggplot(dataset, aes(populacao, proporcao_empregados)) +
geom_point(color = "steelblue") +
geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
theme_classic()
Aparentemente essas duas variáveis de forma conjunta podem melhorar muito o poder explicativo do meu modelo. Mas como ficaria o gráfico disso?
plotly::plot_ly(dataset, x=~populacao, y=~pib, z=~proporcao_empregados, type="scatter3d", mode="markers", color=~populacao)
Espero que tenha notado a dificuldade que começa a ser a representação visual de um modelo com mais de uma variável explicativa! Normalmente não utilizamos gráficos 3d por serem muito pouco intuitivos, mas espero que tenha notado que podemos traçar uma linha até mesmo em 3 dimensões para definir um modelo!
Mas vamos ao que interessa: como estimar os valores de beta em um modelo com mais de uma variável, usando o modelo matricial. Primeiro definimos o que é y e o que é X.
No caso, y é a proporção de empregados. Por ser unidimensional, posso chamar de vetor y, definido como segue:
\[ y = \begin{pmatrix} 60.323 \\ 61.122 \\ 60.171 \\ 61.187 \\ 63.221 \\ 63.639 \\ 64.989 \\ 63.761 \\ 66.019 \\ 67.857 \\ 68.169 \\ 66.513 \\ 68.655 \\ 69.564 \\ 69.331 \\ 70.551 \end{pmatrix} \]
E X, por ter mais de uma dimensão, é uma matriz, definida como:
\[ X = \begin{pmatrix} 107.608 & 234.289 \\ 108.632 & 259.426 \\ 109.773 & 258.054 \\ 110.929 & 284.599 \\ 112.075 & 328.975 \\ 113.270 & 346.999 \\ 115.094 & 365.385 \\ 116.219 & 363.112 \\ 117.388 & 397.469 \\ 118.734 & 419.180\\ 120.445 & 442.769 \\ 121.950 & 444.546 \\ 123.366 & 482.704 \\ 125.368 & 502.601 \\ 127.852 & 518.173 \\ 130.081 & 554.894 \end{pmatrix} \]
Sendo a primeira coluna referente aos valores coletados do tamanho da população e a segunda referente ao PIB.
Note, que na matriz X, eu não incluí uma coluna de variância 0 (coluna cheia de 1). Caso eu estimasse os betas da forma acima, não teria nenhum parâmetro de intercepto, com uma forma funcional igual a seguinte:
\[ y_i = \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + u_i \]
E se eu quiser estimar um parâmetro de intercepto, com a seguinte forma funcional:
\[ y_i = \beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i} + u_i \]
Bastaria mudar a matriz X para o seguinte:
\[ X = \begin{pmatrix} 1 & 107.608 & 234.289 \\ 1 & 108.632 & 259.426 \\ 1 & 109.773 & 258.054 \\ 1 & 110.929 & 284.599 \\ 1 & 112.075 & 328.975 \\ 1 & 113.270 & 346.999 \\ 1 & 115.094 & 365.385 \\ 1 & 116.219 & 363.112 \\ 1 & 117.388 & 397.469 \\ 1 & 118.734 & 419.180\\ 1 & 120.445 & 442.769 \\ 1 & 121.950 & 444.546 \\ 1 & 123.366 & 482.704 \\ 1 & 125.368 & 502.601 \\ 1 & 127.852 & 518.173 \\ 1 & 130.081 & 554.894 \end{pmatrix} \]
Mas então, temos X e y. Agora basta realizar as manipulações necessárias! Lembrando da fórmula:
\[ \beta = (X'X)^{-1} X'y \] Note que \(X'\) é a matriz transposta de X. Transpor uma matriz é a mesma coisa que trocar as linhas pelas colunas. Nosso \(X'\) seria:
\[ X' = \small\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ 107.608 & 108.632 & 109.773 & 110.929 & 112.075 & 113.270 & 115.094 & 116.219 & 117.388 & 118.734 & 120.445 & 121.950 & 123.366 & 125.368 & 127.852 & 130.081 \\ 234.289 & 259.426 & 258.054 & 284.599 & 328.975 & 346.999 & 365.385 & 363.112 & 397.469 & 419.180 & 442.769 & 444.546 & 482.704 & 502.601 & 518.173 & 554.894\end{pmatrix} \]
Não vou entrar muito no mérito de como multiplicar matrizes nesse documento, mas a multiplicação de X transposta com X resulta em uma matriz simétrica de kxk dimensões. Ou seja, teremos a seguinte matriz:
\[ X'X = \begin{pmatrix} 16 & 1878.784 & 6203.175 \\ 1878.784 & 221340.143 & 738680.235 \\ 6203.175 & 738680.235 & 2553151.560 \end{pmatrix} \]
Agora simplesmente calculamos a inversa dessa matriz e quase finalizaremos nossa estimação!
Observe que caso houvesse presença de multicolinearidade perfeita aqui, NÃO SERIA POSSÍVEL inverter essa matriz! É por isso que sob presença de multicolinearidade perfeita, NÃO podemos estimar os valores de beta.
A inversa de X’X é:
\[ (X'X)^{-1} = \begin{pmatrix} 637.6148996 & -7.031015316 & 0.4850613895 \\ -7.0310153 & 0.077662557 & -0.0053867455 \\ 0.4850614 & -0.005386746 & 0.0003803776 \end{pmatrix} \]
Agora basta multiplicar matrizes! Chegamos a matriz de betas, resultando em:
\[ \beta = \begin{pmatrix} 88.93879831 \\ -0.40974292 \\ 0.06317244 \end{pmatrix} \]
Ou seja, estimamos 88.9 para o parâmetro de intercepto, -0.40 para o parâmetro de inclinação da população sob a proporção de empregados e 0.06 para a inclinação do PIB sob a proporção de empregados.
Podemos conferir esse resultado com o estimado pelo próprio R, como segue:
summary(lm(proporcao_empregados ~ populacao + pib, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = proporcao_empregados ~ populacao + pib, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.80899 -0.33282 -0.02329 0.25895 1.08800
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 88.93880 13.78503 6.452 2.16e-05 ***
## populacao -0.40974 0.15214 -2.693 0.0184 *
## pib 0.06317 0.01065 5.933 4.96e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.5459 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9791, Adjusted R-squared: 0.9758
## F-statistic: 303.9 on 2 and 13 DF, p-value: 1.221e-11
Fantástico! A matemática ainda não é tão simples mas os resultados são muito mais fáceis de encontrar por ter uma fórmula extremamente mais simplificada!
E no caso do erro padrão de cada estimador? Bom, na abordagem matricial calculamos diretamente as variâncias e covariâncias dos estimadores de beta. Chamamos formalmente essa matriz de matriz de variância-covariância dos estimadores, ou, matriz VarCov de beta. Estimamos pela seguinte fórmula:
\[ Varcov(\hat{\beta}) = \sigma^2(X'X)^{-1} \]
Note que nesse cálculo temos duas coisas absolutamente relevantes para qualquer estimação pelo método de MQO. O valor de \(\sigma^2\), ou da variância homocedástica dos resíduos está diretamente relacionada com a hipótese do modelo clássico de homocedasticidade. Caso essa hipótese não seja válida, o estimador de variância apresentará um viés e inflacionará os valores de erro padrão dos estimadores.
Outra coisa muito relevante é que sob presença de multicolinearidade prejudicial, a matriz \((X'X)^{-1}\) apresentará valores inflacionados, que, também, inflacionam nossas estimativas de erro padrão, reduzindo nossa confiabilidade nos testes de hipótese!
Lembre-se, que a variância dos resíduos é, simplesmente:
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}\hat{u}_i^2}{n-k} \]
Ou:
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}{[y_i - (\beta_0 + \beta_1X_{1i} + \beta_2X_{2i})]}^2}{n-k} \]
No nosso exemplo numérico, o valor de \(\hat{\sigma}^2\) é:
\[ \hat{\sigma}^2 = \frac{3.874361}{16-3} = 0.2980278 \]
Assim, a matriz varcov do modelo é:
\[ varcov(\hat{\beta}) = 0.2980278 \cdot \begin{pmatrix} 637.6148996 & -7.031015316 & 0.4850613895 \\ -7.0310153 & 0.077662557 & -0.0053867455 \\ 0.4850614 & -0.005386746 & 0.0003803776 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 190.0269658 & -2.0954380 & 0.1445617788 \\ -2.0954380 & 0.0231456 & -0.0016053999 \\ 0.1445618 & -0.0016054 & 0.0001133631 \end{pmatrix} \]
Extraindo a diagonal principal da matriz principal, temos a variância de cada parâmetro estimado, sendo: \(var(\beta_0) = 190.02\); \(var(\beta_1) = 0.023\) e \(var(\beta_2) = 0.00011\).
A raíz quadrada das variâncias é o erro padrão, sendo o erro padrão de cada coeficiente: \(ep(\beta_0) = 13.78\); \(ep(\beta_1) = 0.1521\) e \(ep(\beta_2) = 0.01\).
Que são precisamente as estimativas fornecidas diretamente pelo R:
summary(lm(proporcao_empregados ~ populacao + pib, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = proporcao_empregados ~ populacao + pib, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -0.80899 -0.33282 -0.02329 0.25895 1.08800
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 88.93880 13.78503 6.452 2.16e-05 ***
## populacao -0.40974 0.15214 -2.693 0.0184 *
## pib 0.06317 0.01065 5.933 4.96e-05 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 0.5459 on 13 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9791, Adjusted R-squared: 0.9758
## F-statistic: 303.9 on 2 and 13 DF, p-value: 1.221e-11
Lembrando que o valor t é simplesmente \(\frac{\beta_j}{ep(\beta_j)}\)!
Com isso, temos tudo que precisamos para calcular qualquer tipo de modelo pelo método de MQO!
Se você conseguir entender esse capítulo, parabéns! Esse é o grosso de tudo que é preciso para dizer que sabe econometria I.
Os próximos capítulos serão dedicados a estimação com dummies, que são regressões extremamente simples, e, por fim, mecanismo de correção, identificação e robustez de modelos sob fuga de pressupostos.
7 Regressão com dummies
Agora vamos a um ponto bem quente da econometria! Dummies são a solução, o problema, a ferramenta, o assunto do cafézin dos economistas… tudo isso e mais um pouco.
Facilmente esse diálogo deve ter acontecido algumas vezes em conversa de diferentes economistas ao longo de sua vida ou formação: Economista 1: “Ih rapaz, esse COVID foi tenso viu, introduziu ruido na minha análise e não sei o que fazer para indicar…” Economista 2: “Cria uma Dummy!”
Talvez em outro contexto… Economista 1: “Sr. orientador, queria analisar a diferença salarial entre homens e mulheres e não sei como fazer…” Economista 2: “Ô tonto, cria uma dummy sô” (Essa foi em homenagem aos meus ex professores mineiros!)
Brincadeiras a parte, a dummy é uma ferramenta essencial no repertório de qualquer pessoa que trabalhe com dados, mas o que é uma dummy?
Dummy é uma palavra da língua inglesa para boneco, manequim, fantoche… mas no contexto de dados ele tem um significado um pouco menos abrangente. A dummy é uma coluna numa estrutura de dados que indica a ocorrência de um efeito/evento ou não. Simples assim!
Imagine que eu simplesmente quero definir se uma pessoa tem cabelos castanhos. Como posso dizer, em forma numérica se uma pessoa possui essa característica ou não?
Na computação, o termo binário é muito usado para representar absolutamente TUDO que dá pra fazer simplesmente com dos números, 0 e 1. No nosso caso, podemos simplesmente definir uma pessoa com cabelo castanho como 1 e pessoa sem cabelo castanho como 0! Ou seja, a dummy é uma representação de presença ou não presença de cabelo castanho.
De forma ainda mais prática, podemos indicar presença ou ausência de qualquer coisa usando uma dummy, ou dummies (no plural).
Por exemplo, vamos determinar diferença salarial entre homens e mulheres professores (de uma base de dados que já usamos previamente). A base de dados é a seguinte:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary", "sex")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario", "sexo")
dataset[
,
`:=` (
dummy_sexo_masculino = ifelse(sexo == "Female", 0L, 1L),
dummy_sexo_feminino = ifelse(sexo == "Male", 0L, 1L)
)
]
dataset[, sexo := ifelse(sexo == "Female", "feminino", "masculino")]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario | sexo | dummy_sexo_masculino | dummy_sexo_feminino |
|---|---|---|---|---|
| 18 | 139750 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 173200 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 79750 | masculino | 1 | 0 |
| 39 | 115000 | masculino | 1 | 0 |
| 41 | 141500 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 97000 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 175000 | masculino | 1 | 0 |
| 45 | 147765 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 119250 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 129000 | feminino | 0 | 1 |
| 8 | 119800 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 79800 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 77700 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 78000 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 104800 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 117150 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 101000 | masculino | 1 | 0 |
| 34 | 103450 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 124750 | masculino | 1 | 0 |
| 36 | 137000 | feminino | 0 | 1 |
| 26 | 89565 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 102580 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 93904 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 113068 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 74830 | feminino | 0 | 1 |
| 8 | 106294 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 134885 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 82379 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 77000 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 118223 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 132261 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 79916 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 117256 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 80225 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 80225 | feminino | 0 | 1 |
| 0 | 77000 | feminino | 0 | 1 |
| 21 | 155750 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 86373 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 125196 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 100938 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 146500 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 93418 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 101299 | masculino | 1 | 0 |
| 38 | 231545 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 94384 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 114778 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 98193 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 151768 | feminino | 0 | 1 |
| 25 | 140096 | feminino | 0 | 1 |
| 1 | 70768 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 126621 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 108875 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 74692 | feminino | 0 | 1 |
| 9 | 106639 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 103760 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 83900 | masculino | 1 | 0 |
| 21 | 117704 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 90215 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 100135 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 75044 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 90304 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 75243 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 109785 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 103613 | feminino | 0 | 1 |
| 3 | 68404 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 100522 | masculino | 1 | 0 |
| 12 | 101000 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 99418 | masculino | 1 | 0 |
| 17 | 111512 | feminino | 0 | 1 |
| 36 | 91412 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 126320 | masculino | 1 | 0 |
| 45 | 146856 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 100131 | masculino | 1 | 0 |
| 34 | 92391 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 113398 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 73266 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 150480 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 193000 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 86100 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 84240 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 150743 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 135585 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 144640 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 88825 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 122960 | feminino | 0 | 1 |
| 14 | 132825 | masculino | 1 | 0 |
| 37 | 152708 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 88400 | masculino | 1 | 0 |
| 25 | 172272 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 107008 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 97032 | feminino | 0 | 1 |
| 7 | 105128 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 105631 | masculino | 1 | 0 |
| 38 | 166024 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 123683 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 84000 | masculino | 1 | 0 |
| 12 | 95611 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 129676 | masculino | 1 | 0 |
| 14 | 102235 | masculino | 1 | 0 |
| 26 | 106689 | masculino | 1 | 0 |
| 25 | 133217 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 126933 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 153303 | masculino | 1 | 0 |
| 14 | 127512 | feminino | 0 | 1 |
| 10 | 83850 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 113543 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 82099 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 82600 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 81500 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 131205 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 112429 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 82100 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 72500 | masculino | 1 | 0 |
| 37 | 104279 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 105000 | feminino | 0 | 1 |
| 9 | 120806 | masculino | 1 | 0 |
| 29 | 148500 | masculino | 1 | 0 |
| 36 | 117515 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 72500 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 73500 | feminino | 0 | 1 |
| 14 | 115313 | masculino | 1 | 0 |
| 32 | 124309 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 97262 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 62884 | feminino | 0 | 1 |
| 22 | 96614 | masculino | 1 | 0 |
| 49 | 78162 | masculino | 1 | 0 |
| 26 | 155500 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 72500 | feminino | 0 | 1 |
| 30 | 113278 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 73000 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 83001 | masculino | 1 | 0 |
| 57 | 76840 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 77500 | feminino | 0 | 1 |
| 1 | 72500 | feminino | 0 | 1 |
| 25 | 168635 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 136000 | masculino | 1 | 0 |
| 14 | 108262 | masculino | 1 | 0 |
| 14 | 105668 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 73877 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 152664 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 100102 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 81500 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 106608 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 89942 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 112696 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 119015 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 156938 | masculino | 1 | 0 |
| 26 | 144651 | feminino | 0 | 1 |
| 3 | 95079 | masculino | 1 | 0 |
| 12 | 128148 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 111168 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 103994 | feminino | 0 | 1 |
| 0 | 92000 | masculino | 1 | 0 |
| 21 | 118971 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 113341 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 88000 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 95408 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 137167 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 89516 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 176500 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 98510 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 89942 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 88795 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 105890 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 167284 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 130664 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 101210 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 181257 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 91227 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 151575 | masculino | 1 | 0 |
| 24 | 93164 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 134185 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 105000 | masculino | 1 | 0 |
| 25 | 111751 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 95436 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 100944 | masculino | 1 | 0 |
| 14 | 147349 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 92000 | feminino | 0 | 1 |
| 11 | 142467 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 141136 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 100000 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 150000 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 101000 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 134000 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 103750 | feminino | 0 | 1 |
| 10 | 107500 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 106300 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 153750 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 180000 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 133700 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 122100 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 86250 | masculino | 1 | 0 |
| 53 | 90000 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 113600 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 92700 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 |
| 33 | 189409 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 114500 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 92700 | masculino | 1 | 0 |
| 40 | 119700 | masculino | 1 | 0 |
| 17 | 160400 | masculino | 1 | 0 |
| 17 | 152500 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 165000 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 96545 | masculino | 1 | 0 |
| 33 | 162200 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 120000 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 91300 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 163200 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 91000 | masculino | 1 | 0 |
| 39 | 111350 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 128400 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 126200 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 118700 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 145350 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 146000 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 105350 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 109650 | feminino | 0 | 1 |
| 11 | 119500 | masculino | 1 | 0 |
| 21 | 170000 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 145200 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 107150 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 129600 | masculino | 1 | 0 |
| 35 | 87800 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 122400 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 63900 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 70000 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 88175 | masculino | 1 | 0 |
| 38 | 133900 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 91000 | feminino | 0 | 1 |
| 24 | 73300 | feminino | 0 | 1 |
| 19 | 148750 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 117555 | feminino | 0 | 1 |
| 3 | 69700 | masculino | 1 | 0 |
| 17 | 81700 | masculino | 1 | 0 |
| 25 | 114000 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 63100 | feminino | 0 | 1 |
| 40 | 77202 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 96200 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 69200 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 122875 | masculino | 1 | 0 |
| 37 | 102600 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 108200 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 84273 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 90450 | feminino | 0 | 1 |
| 23 | 91100 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 101100 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 128800 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 204000 | masculino | 1 | 0 |
| 39 | 109000 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 102000 | masculino | 1 | 0 |
| 12 | 132000 | masculino | 1 | 0 |
| 2 | 77500 | feminino | 0 | 1 |
| 7 | 116450 | feminino | 0 | 1 |
| 8 | 83000 | masculino | 1 | 0 |
| 22 | 140300 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 74000 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 73800 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 92550 | masculino | 1 | 0 |
| 33 | 88600 | masculino | 1 | 0 |
| 45 | 107550 | masculino | 1 | 0 |
| 26 | 121200 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 126000 | masculino | 1 | 0 |
| 35 | 99000 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 134800 | masculino | 1 | 0 |
| 43 | 143940 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 104350 | masculino | 1 | 0 |
| 44 | 89650 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 103700 | masculino | 1 | 0 |
| 40 | 143250 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 194800 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 73000 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 74000 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 78500 | feminino | 0 | 1 |
| 6 | 93000 | masculino | 1 | 0 |
| 48 | 107200 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 163200 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 107100 | masculino | 1 | 0 |
| 46 | 100600 | masculino | 1 | 0 |
| 38 | 136500 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 103600 | masculino | 1 | 0 |
| 51 | 57800 | masculino | 1 | 0 |
| 43 | 155865 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 88650 | masculino | 1 | 0 |
| 49 | 81800 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 115800 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 85000 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 150500 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 74000 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 174500 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 168500 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 183800 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 104800 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 107300 | masculino | 1 | 0 |
| 36 | 97150 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 126300 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 148800 | masculino | 1 | 0 |
| 43 | 72300 | masculino | 1 | 0 |
| 39 | 70700 | masculino | 1 | 0 |
| 36 | 88600 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 127100 | masculino | 1 | 0 |
| 13 | 170500 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 105260 | masculino | 1 | 0 |
| 44 | 144050 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 111350 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 74500 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 122500 | masculino | 1 | 0 |
| 0 | 74000 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 166800 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 92050 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 108100 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 94350 | masculino | 1 | 0 |
| 35 | 100351 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 146800 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 84716 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 71065 | feminino | 0 | 1 |
| 45 | 67559 | masculino | 1 | 0 |
| 16 | 134550 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 135027 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 104428 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 95642 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 126431 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 161101 | feminino | 0 | 1 |
| 31 | 162221 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 84500 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 124714 | masculino | 1 | 0 |
| 37 | 151650 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 99247 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 134778 | masculino | 1 | 0 |
| 60 | 192253 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 116518 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 105450 | feminino | 0 | 1 |
| 19 | 145098 | masculino | 1 | 0 |
| 6 | 104542 | feminino | 0 | 1 |
| 38 | 151445 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 98053 | masculino | 1 | 0 |
| 12 | 145000 | masculino | 1 | 0 |
| 25 | 128464 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 137317 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 106231 | masculino | 1 | 0 |
| 17 | 124312 | feminino | 0 | 1 |
| 38 | 114596 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 162150 | masculino | 1 | 0 |
| 35 | 150376 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 107986 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 142023 | masculino | 1 | 0 |
| 33 | 128250 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 80139 | masculino | 1 | 0 |
| 28 | 144309 | masculino | 1 | 0 |
| 49 | 186960 | masculino | 1 | 0 |
| 38 | 93519 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 142500 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 138000 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 83600 | masculino | 1 | 0 |
| 21 | 145028 | masculino | 1 | 0 |
| 40 | 88709 | masculino | 1 | 0 |
| 35 | 107309 | masculino | 1 | 0 |
| 14 | 109954 | feminino | 0 | 1 |
| 4 | 78785 | masculino | 1 | 0 |
| 11 | 121946 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 109646 | feminino | 0 | 1 |
| 30 | 138771 | masculino | 1 | 0 |
| 17 | 81285 | masculino | 1 | 0 |
| 43 | 205500 | masculino | 1 | 0 |
| 40 | 101036 | masculino | 1 | 0 |
| 10 | 115435 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 108413 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 131950 | masculino | 1 | 0 |
| 31 | 134690 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 78182 | masculino | 1 | 0 |
| 20 | 110515 | masculino | 1 | 0 |
| 7 | 109707 | masculino | 1 | 0 |
| 26 | 136660 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 103275 | masculino | 1 | 0 |
| 26 | 103649 | masculino | 1 | 0 |
| 1 | 74856 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 77081 | masculino | 1 | 0 |
| 38 | 150680 | masculino | 1 | 0 |
| 8 | 104121 | masculino | 1 | 0 |
| 3 | 75996 | masculino | 1 | 0 |
| 23 | 172505 | masculino | 1 | 0 |
| 5 | 86895 | masculino | 1 | 0 |
| 44 | 105000 | masculino | 1 | 0 |
| 21 | 125192 | masculino | 1 | 0 |
| 9 | 114330 | masculino | 1 | 0 |
| 27 | 139219 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 109305 | masculino | 1 | 0 |
| 36 | 119450 | masculino | 1 | 0 |
| 18 | 186023 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 166605 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 151292 | masculino | 1 | 0 |
| 30 | 103106 | masculino | 1 | 0 |
| 19 | 150564 | masculino | 1 | 0 |
| 25 | 101738 | masculino | 1 | 0 |
| 15 | 95329 | masculino | 1 | 0 |
| 4 | 81035 | masculino | 1 | 0 |
Note que onde a pessoa é do sexo masculino, a dummy do sexo masculino é 1 caso contrário 0. Quando a pessoa é do sexo feminino, a dummy do sexo feminino é 1, caso contrário 0.
De forma prática, o que representar os dados dessa forma nos fornece? Primeiro, vamos visualizar a disposição dos dados:
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario, color = sexo)) +
geom_point() +
geom_smooth(se = F, method = "lm") +
theme_classic()
Somente nessa visualização de dois modelos distintos, podemos concluir observações muito interessantes sobre esse conjunto de dados.
Note que o salário inicial para mulheres professoras aparenta ser menor, em virtude intercepto diferente dos dois modelos, e a partir de uns 22 anos de serviço, mulheres passam a ter um salário superior aos homens.
Mas não fizemos uso de nenhuma dummy nessa visualização acima, apenas geramos dois modelos diferentes para homens e mulheres. Um modelo usando dummies não é muito fácil para representar, então não é usual de utilizarmos abordagem gráfica com dummies.
Mas vamos ao que importa, como funciona a estimação de modelos lineares com dummies? Igual a estimação sem dummies, mas com um leve pulo do gato: precisamos sempre de uma base para comparar com outra!
Por exemplo, é possível não ser do sexo masculino ou feminino? Não. Então faria sentido estimar um modelo sem considerar nenhum sexo? Não.
A ideia então é a seguinte, precisamos remover uma dummy do nosso modelo para ser base, e deixar outra para ser nosso indicador de efeito qualitativo.
Podemos criar um modelo simples de intercepto, da seguinte forma:
\[ salario_i = \beta_0 + \beta_1 anosdeservico + \beta_2DummySexoMasculino + u_i \]
Assim, quando a dummy do sexo masculino for 0, teremos simplesmente o modelo \(\beta_0 + \beta_1 anosdeservico\), e quando a dummy for 1, teremos o modelo \(\beta_0 + \beta_1 anosdeservico + \beta_2\). Como \(\beta_2\) não está associado a uma variável, ele simplesmente aumenta, diminui, ou não influencia no intercepto do modelo como um todo.
Por exemplo:
O modelo descrito acima foi estimado abaixo:
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino,
## data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81757 -20614 -3376 16779 101707
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 92356.9 4740.2 19.484 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 747.6 111.4 6.711 6.74e-11 ***
## dummy_sexo_masculino 9071.8 4861.6 1.866 0.0628 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1198, Adjusted R-squared: 0.1154
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF, p-value: 1.201e-11
Assim, teremos duas situações descritas por esse modelo: um intercepto para homens e outro para mulheres.
Um modelo para mulheres:
\[ salario_i = 92356.9 + 747.6 anosdeservico + u_i \]
E outro para homens:
\[ salario_i = 92356.9 + 747.6 anosdeservico + 9071.8 + u_i = 101428.7 + 747.6 anosdeservico + u_i \]
Note que podemos interpretar também diretamente no retorno fornecido pelo r:
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino,
## data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81757 -20614 -3376 16779 101707
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 92356.9 4740.2 19.484 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 747.6 111.4 6.711 6.74e-11 ***
## dummy_sexo_masculino 9071.8 4861.6 1.866 0.0628 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1198, Adjusted R-squared: 0.1154
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF, p-value: 1.201e-11
A dummy do sexo masculino captou uma diferença salarial em um nível de 10% de significância, indicando que homens ganham mais que mulheres no início da profissão de professor.
Podemos também gerar dummies de inclinação, que modificam o quanto a variável explicativa influencia na variável explicada. Pense que, só por ser mulher, ter o mesmo tanto de experiência que um homem possa valer mais para justificar maiores salários. Podemos testar isso de forma similar:
\[ salario_i = \beta_0 + \beta_1 anosdeservico + \beta_2DummySexoMasculino\space \cdot anosdeservico + u_i \]
O resultado desse tipo de modelo pelo r é:
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + I(dummy_sexo_masculino * anos_de_servico), dataset))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + I(dummy_sexo_masculino *
## anos_de_servico), data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -82107 -20672 -3554 16414 101778
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 100125.4 2444.6 40.957 <2e-16
## anos_de_servico 640.2 344.1 1.860 0.0636
## I(dummy_sexo_masculino * anos_de_servico) 139.9 327.0 0.428 0.6691
##
## (Intercept) ***
## anos_de_servico .
## I(dummy_sexo_masculino * anos_de_servico)
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28610 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1125, Adjusted R-squared: 0.108
## F-statistic: 24.96 on 2 and 394 DF, p-value: 6.201e-11
Ou seja, a experiência da mulher nesse mercado de trabalho foi de fato positiva pelo modelo, mas esse resultado não foi significativo! Por mais que tenhamos observado esse efeito no primeiro gráfico, não existem indícios que o tempo de serviço de uma pessoa possa ser condicionado por seu sexo.
Poderiamos estimar um modelo de dummy para intercepto e para inclinação de forma bem simples e seguindo a mesma lógica utilizada nos dois casos acima. Deixo para você tentar estimar esse modelo!
7.1 Alerta: multicolinearidade perfeita em modelagem com dummies
Outro motivo de removermos uma dummy do modelo para servir de base tem a ver com uma questão de estimativa. Pense comigo: se eu sei que a pessoa é homem, automaticamente eu sei que ela não é mulher! Veja novamente a base utilizada no início do capítulo:
dataset[, intercepto := 1]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario | sexo | dummy_sexo_masculino | dummy_sexo_feminino | intercepto |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 139750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 173200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 79750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 115000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 41 | 141500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 97000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 175000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 45 | 147765 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 119250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 129000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 119800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 79800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 77700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 78000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 104800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 117150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 101000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 34 | 103450 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 124750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 137000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 26 | 89565 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 102580 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 93904 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 113068 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 74830 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 106294 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 134885 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 82379 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 77000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 118223 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 132261 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 79916 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 117256 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 80225 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 80225 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 77000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 21 | 155750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 86373 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 125196 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 100938 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 146500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 93418 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 101299 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 231545 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 94384 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 114778 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 98193 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 151768 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 25 | 140096 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 70768 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 126621 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 108875 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 74692 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 106639 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 103760 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 83900 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 117704 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 90215 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 100135 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 75044 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 90304 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 75243 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 109785 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 103613 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 68404 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 100522 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 101000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 99418 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 111512 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 36 | 91412 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 126320 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 45 | 146856 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 100131 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 34 | 92391 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 113398 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 73266 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 150480 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 193000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 86100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 84240 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 150743 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 135585 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 144640 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 88825 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 122960 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 132825 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 152708 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 88400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 172272 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 107008 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 97032 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 105128 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 105631 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 166024 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 123683 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 84000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 95611 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 129676 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 102235 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 106689 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 133217 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 126933 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 153303 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 127512 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 83850 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 113543 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 82099 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 82600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 81500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 131205 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 112429 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 82100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 72500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 104279 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 105000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 120806 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 29 | 148500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 117515 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 72500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 73500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 115313 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 32 | 124309 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 97262 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 62884 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 22 | 96614 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 49 | 78162 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 155500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 72500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 30 | 113278 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 73000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 83001 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 57 | 76840 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 77500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 72500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 25 | 168635 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 136000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 108262 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 105668 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 73877 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 152664 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 100102 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 81500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 106608 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 89942 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 112696 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 119015 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 156938 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 144651 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 95079 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 128148 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 111168 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 103994 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 118971 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 113341 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 88000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 95408 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 137167 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 89516 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 176500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 98510 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 89942 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 88795 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 105890 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 167284 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 130664 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 101210 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 181257 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 91227 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 151575 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 24 | 93164 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 134185 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 105000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 111751 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 95436 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 100944 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 147349 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 92000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 11 | 142467 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 141136 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 100000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 150000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 101000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 134000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 103750 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 107500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 106300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 153750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 180000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 133700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 122100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 86250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 53 | 90000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 113600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 189409 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 114500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 119700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 160400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 152500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 165000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 96545 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 162200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 120000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 91300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 163200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 91000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 111350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 128400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 126200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 118700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 145350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 146000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 105350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 109650 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 11 | 119500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 170000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 145200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 107150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 129600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 87800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 122400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 63900 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 70000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 88175 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 133900 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 91000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 24 | 73300 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 19 | 148750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 117555 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 69700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 81700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 114000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 63100 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 40 | 77202 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 96200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 69200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 122875 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 102600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 108200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 84273 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 90450 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 23 | 91100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 101100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 128800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 204000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 109000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 102000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 132000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 77500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 116450 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 83000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 140300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 73800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 92550 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 88600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 45 | 107550 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 121200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 126000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 99000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 134800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 143940 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 104350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 44 | 89650 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 103700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 143250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 194800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 73000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 78500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 93000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 48 | 107200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 163200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 107100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 46 | 100600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 136500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 103600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 51 | 57800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 155865 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 88650 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 49 | 81800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 115800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 85000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 150500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 174500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 168500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 183800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 104800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 107300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 97150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 126300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 148800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 72300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 70700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 88600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 127100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 13 | 170500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 105260 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 44 | 144050 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 111350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 74500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 122500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 166800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 92050 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 108100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 94350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 100351 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 146800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 84716 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 71065 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 45 | 67559 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 134550 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 135027 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 104428 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 95642 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 126431 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 161101 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 31 | 162221 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 84500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 124714 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 151650 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 99247 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 134778 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 60 | 192253 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 116518 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 105450 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 19 | 145098 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 104542 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 38 | 151445 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 98053 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 145000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 128464 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 137317 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 106231 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 124312 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 38 | 114596 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 162150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 150376 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 107986 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 142023 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 128250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 80139 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 144309 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 49 | 186960 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 93519 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 142500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 138000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 83600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 145028 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 88709 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 107309 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 109954 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 78785 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 121946 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 109646 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 30 | 138771 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 81285 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 205500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 101036 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 115435 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 108413 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 131950 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 134690 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 78182 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 110515 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 109707 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 136660 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 103275 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 103649 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 74856 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 77081 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 150680 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 104121 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 75996 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 172505 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 86895 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 44 | 105000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 125192 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 114330 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 139219 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 109305 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 119450 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 186023 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 166605 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 151292 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 103106 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 150564 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 101738 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 95329 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 81035 | masculino | 1 | 0 | 1 |
Você concorda que se eu somar a coluna dummy_sexo_masculino com a coluna dummy_sexo_feminino, eu terei exatamente a coluna intercepto? Ora, isso configura uma dependência linear perfeita de uma coluna com a outra!
Se eu estimasse um modelo no R, com as duas colunas, veja o que acontece:
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino + dummy_sexo_feminino, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + dummy_sexo_masculino +
## dummy_sexo_feminino, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81757 -20614 -3376 16779 101707
##
## Coefficients: (1 not defined because of singularities)
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 92356.9 4740.2 19.484 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 747.6 111.4 6.711 6.74e-11 ***
## dummy_sexo_masculino 9071.8 4861.6 1.866 0.0628 .
## dummy_sexo_feminino NA NA NA NA
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1198, Adjusted R-squared: 0.1154
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF, p-value: 1.201e-11
O R só conseguiu estimar o modelo porque tornou uma das dummies NA (non applicable). Ou seja, ele automaticamente removeu uma para possibilitar nossos cálculos, mas veja o que acontece se eu calculo o modelo com as duas dummies:
matriz_X <- as.matrix(select(dataset, c("intercepto", "anos_de_servico", "dummy_sexo_masculino", "dummy_sexo_feminino")))
matriz_X_transposta <- t(matriz_X)
solve(matriz_X_transposta %*% matriz_X)
## Error in solve.default(matriz_X_transposta %*% matriz_X): system is computationally singular: reciprocal condition number = 1.16016e-20
Um erro chato acontece porque a estimação é impossível. Pra quem lembra de álgebra linear bem, esse erro acontece por conta disso daqui:
round(det(matriz_X_transposta %*% matriz_X), 4)
## [1] 0
O determinante da matriz X’X é zero, ou seja, é um sistema linearmente dependente, e, portanto, não é inversível.
7.2 Uma vantagem do uso do R
Essa seção é mais um jabá para uso de modelagem no R. Note que no capítulo inteiro eu criei dummies para possibilitar a estimação, mas não era preciso de fazer isso no R. Olhe novamente a base:
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| anos_de_servico | salario | sexo | dummy_sexo_masculino | dummy_sexo_feminino | intercepto |
|---|---|---|---|---|---|
| 18 | 139750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 173200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 79750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 115000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 41 | 141500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 97000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 175000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 45 | 147765 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 119250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 129000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 119800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 79800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 77700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 78000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 104800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 117150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 101000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 34 | 103450 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 124750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 137000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 26 | 89565 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 102580 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 93904 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 113068 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 74830 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 106294 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 134885 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 82379 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 77000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 118223 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 132261 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 79916 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 117256 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 80225 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 80225 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 77000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 21 | 155750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 86373 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 125196 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 100938 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 146500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 93418 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 101299 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 231545 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 94384 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 114778 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 98193 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 151768 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 25 | 140096 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 70768 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 126621 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 108875 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 74692 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 106639 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 103760 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 83900 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 117704 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 90215 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 100135 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 75044 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 90304 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 75243 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 109785 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 103613 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 68404 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 100522 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 101000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 99418 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 111512 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 36 | 91412 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 126320 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 45 | 146856 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 100131 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 34 | 92391 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 113398 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 73266 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 150480 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 193000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 86100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 84240 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 150743 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 135585 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 144640 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 88825 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 122960 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 132825 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 152708 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 88400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 172272 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 107008 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 97032 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 105128 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 105631 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 166024 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 123683 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 84000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 95611 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 129676 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 102235 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 106689 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 133217 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 126933 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 153303 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 127512 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 83850 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 113543 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 82099 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 82600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 81500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 131205 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 112429 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 82100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 72500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 104279 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 105000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 9 | 120806 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 29 | 148500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 117515 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 72500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 73500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 14 | 115313 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 32 | 124309 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 97262 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 62884 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 22 | 96614 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 49 | 78162 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 155500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 72500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 30 | 113278 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 73000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 83001 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 57 | 76840 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 77500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 72500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 25 | 168635 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 136000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 108262 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 105668 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 73877 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 152664 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 100102 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 81500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 106608 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 89942 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 112696 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 119015 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 156938 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 144651 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 95079 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 128148 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 111168 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 103994 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 0 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 118971 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 113341 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 88000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 95408 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 137167 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 89516 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 176500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 98510 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 89942 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 88795 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 105890 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 167284 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 130664 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 101210 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 181257 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 91227 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 151575 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 24 | 93164 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 134185 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 105000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 111751 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 95436 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 100944 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 147349 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 92000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 11 | 142467 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 141136 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 100000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 150000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 101000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 134000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 103750 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 10 | 107500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 106300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 153750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 180000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 133700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 122100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 86250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 53 | 90000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 113600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 189409 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 114500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 92700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 119700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 160400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 152500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 165000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 96545 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 162200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 120000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 91300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 163200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 91000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 111350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 128400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 126200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 118700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 145350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 146000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 105350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 109650 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 11 | 119500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 170000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 145200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 107150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 129600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 87800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 122400 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 63900 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 70000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 88175 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 133900 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 91000 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 24 | 73300 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 19 | 148750 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 117555 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 3 | 69700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 81700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 114000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 63100 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 40 | 77202 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 96200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 69200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 122875 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 102600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 108200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 84273 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 90450 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 23 | 91100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 101100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 128800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 204000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 109000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 102000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 132000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 2 | 77500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 7 | 116450 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 8 | 83000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 22 | 140300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 73800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 92550 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 88600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 45 | 107550 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 121200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 126000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 99000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 134800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 143940 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 104350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 44 | 89650 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 103700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 143250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 194800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 73000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 78500 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 6 | 93000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 48 | 107200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 163200 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 107100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 46 | 100600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 136500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 103600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 51 | 57800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 155865 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 88650 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 49 | 81800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 115800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 85000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 150500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 174500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 168500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 183800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 104800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 107300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 97150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 126300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 148800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 72300 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 39 | 70700 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 88600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 127100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 13 | 170500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 105260 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 44 | 144050 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 111350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 74500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 122500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 0 | 74000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 166800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 92050 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 108100 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 94350 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 100351 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 146800 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 84716 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 71065 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 45 | 67559 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 16 | 134550 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 135027 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 104428 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 95642 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 126431 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 161101 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 31 | 162221 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 84500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 124714 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 37 | 151650 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 99247 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 134778 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 60 | 192253 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 116518 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 105450 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 19 | 145098 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 6 | 104542 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 38 | 151445 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 98053 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 12 | 145000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 128464 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 137317 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 106231 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 124312 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 38 | 114596 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 162150 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 150376 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 107986 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 142023 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 33 | 128250 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 80139 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 28 | 144309 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 49 | 186960 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 93519 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 142500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 138000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 83600 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 145028 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 88709 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 35 | 107309 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 14 | 109954 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 4 | 78785 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 11 | 121946 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 109646 | feminino | 0 | 1 | 1 |
| 30 | 138771 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 17 | 81285 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 43 | 205500 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 40 | 101036 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 10 | 115435 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 108413 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 131950 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 31 | 134690 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 78182 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 20 | 110515 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 7 | 109707 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 136660 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 103275 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 26 | 103649 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 1 | 74856 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 77081 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 38 | 150680 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 8 | 104121 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 3 | 75996 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 23 | 172505 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 5 | 86895 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 44 | 105000 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 21 | 125192 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 9 | 114330 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 27 | 139219 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 109305 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 36 | 119450 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 18 | 186023 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 166605 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 151292 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 30 | 103106 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 19 | 150564 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 25 | 101738 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 15 | 95329 | masculino | 1 | 0 | 1 |
| 4 | 81035 | masculino | 1 | 0 | 1 |
Eu tenho uma coluna que define de forma escrita o sexo da pessoa. No R, para esse tipo de coluna, ele internamente cria as dummies para você de forma dinâmica, e já remove uma para servir de base. Veja como fica simples estimar dessa forma:
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + sexo, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + sexo, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81757 -20614 -3376 16779 101707
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 92356.9 4740.2 19.484 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 747.6 111.4 6.711 6.74e-11 ***
## sexomasculino 9071.8 4861.6 1.866 0.0628 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1198, Adjusted R-squared: 0.1154
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF, p-value: 1.201e-11
Não precisei criar manualmente as dummies para possibilitar a estimação.
E se quisesse trocar a base, bastaria fazer o seguinte:
dataset[, sexo := factor(sexo, levels = c("masculino", "feminino"))]
summary(lm(salario ~ anos_de_servico + sexo, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico + sexo, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81757 -20614 -3376 16779 101707
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 101428.7 2531.9 40.060 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 747.6 111.4 6.711 6.74e-11 ***
## sexofeminino -9071.8 4861.6 -1.866 0.0628 .
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28490 on 394 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1198, Adjusted R-squared: 0.1154
## F-statistic: 26.82 on 2 and 394 DF, p-value: 1.201e-11
Tudo com uma linha de código! Para quem tem que trabalha com isso todo dia é uma solução bem prática que pode salvar alguns minutinhos do seu dia.
8 Fuga de pressupostos
Esse capítulo é dedicado a lidar com as duas principais quebras de pressupostos do modelo clássico de regressão linear. Como meu objetivo é de dar uma visão extremamente prática a tudo que é visto nos livros de econometria tradicional, e que são normalmente cobrados na disciplina de econometria I, não me dedicarei a pressupostos que acabam se tornando subáreas dentro da própria econometria.
Por exemplo, a presença de autocorrelação serial dentro de uma série de dados acaba sendo muito mais abordada na modelagem de econometria de séries temporais. A modelagem de uma variável discreta é assunto abordado no que costuma ser chamada de microeconometria, assim como modelagem de dados em painel, que ferem o pressuposto de variáveis independente e identicamente distribuídas (iid).
Dito isso, trataremos nesse capítulo apenas de casos de fuga de pressupostos que acabam sendo bem comuns no dia a dia, e que tem maior impacto em estudos por afetarem diretamente uma peça chave de um estudo científico a inferência.
8.1 Lidando com Heterocedasticidade
Na seção dedicada a introdução desse pressuposto, demonstrei como podemos fazer um diagnóstico visual sobre o comportamento da variância dos resíduos estimados pelo nosso modelo. De toda forma, nossos olhos são muito ruins em fazer esse tipo de diagnóstico, por conta disso, em meio a encontrar resultados mais confiáveis, utilizamos testes estatísticos mais confiáveis.
Existem diversos testes para diagnóstico de heterocedasticidade dos resíduos, como o teste de Breusch-Pagan (possivelmente o mais amplamente utilizado) ou o teste de White.
Por uma questão de preferência, utilizarei no exemplo abaixo o teste de Breusch-Pagan.
Se você voltar lá na seção que introduzi homocedasticidade, utilizei a base de tempo de serviço e salário de professores. Visualmente houveram alguns indícios de heterocedasticidade, mas será que isso não é um diagnóstico errado? Podemos dar robustez a nossa análise com o teste de Breusch-Pagan. Primeiro, lembre-se do nosso modelo:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(carData::Salaries)
dataset <- select(dataset, "yrs.service", "salary")
names(dataset) <- c("anos_de_servico", "salario")
ggplot(dataset, aes(anos_de_servico, salario)) +
geom_point(color = "steelblue", size = 1) +
geom_smooth(method = "lm", se = F, color = "indianred1") +
theme_classic() +
labs(title = "Gráfico de dispersão entre salários e tempo de trabalho",
x = "Tempo de serviço", y = "Salário anual") +
theme(plot.title = element_text(hjust = 0.5))
Os resíduos desse modelo apresentam variância constante?
# A função abaixo é de um pacote chamado lmtest, como só vou usar essa função de lá, uso essa sintaxe de :: para não precisar abrir o pacote.
lmtest::bptest(salario ~ anos_de_servico, data = dataset)
##
## studentized Breusch-Pagan test
##
## data: salario ~ anos_de_servico
## BP = 18.883, df = 1, p-value = 1.39e-05
A hipótese nula do teste de Breusch-Pagan é:
\[ H_0: E(u^2) = \sigma^2 \]
Ou seja, os resíduos são homocedasticos. Como nosso pvalor foi bem baixo (menor que 0.01), podemos rejeitar essa hipótese nula a um nível de 1% de significância, indicando que, de fato, houve quebra de pressuposto de homocedasticidade.
Tá, mas o que isso significa? Bom, como o erro padrão dos estimadores \(\beta_j\) usam diretamente a variância do resíduo, esses erro padrão não são mais confiáveis!
O teste de significância individual dos parâmetros \(\beta_j\) é:
\[ t = \frac{\beta_j - 0}{ep(\beta_j)} \]
Se o erro padrão do parâmetro que eu testo a significância varia, que tipo de consistência eu espero para meu modelo? E como tornar esse erro padrão consistente?
Existem mecanismos de correção para estimação dos erros padrão dos coeficientes que tornam a inferência mais robusta. Esses mecanismos são simplesmente reformulações para a estimativa de erros padrão sob presença de heterocedasticidade.
A título de simplicidade, usaremos a proposta de Newey-West para estimar novos erros padrão.
Compare o modelo sem corrigirmos o erro padrão:
modelo <- lm(salario ~ anos_de_servico, dataset)
summary(modelo)
##
## Call:
## lm(formula = salario ~ anos_de_servico, data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -81933 -20511 -3776 16417 101947
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 99974.7 2416.6 41.37 < 2e-16 ***
## anos_de_servico 779.6 110.4 7.06 7.53e-12 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 28580 on 395 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.1121, Adjusted R-squared: 0.1098
## F-statistic: 49.85 on 1 and 395 DF, p-value: 7.529e-12
E outro, corrigindo os erros padrão com o estimador de Newey West:
varcov_nw <- sandwich::NeweyWest(modelo)
lmtest::coeftest(modelo, varcov_nw)
##
## t test of coefficients:
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 99974.65 2535.84 39.4246 < 2.2e-16 ***
## anos_de_servico 779.57 138.68 5.6215 3.584e-08 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
Por mais que a significância dos parâmetros tenha permanecido praticamente a mesma, os erros padrão foram maiores, o que indica que o modelo, robusto para presença de heterocedasticidade, apresenta seus parâmetros significativos.
8.2 Lidando com Multicolinearidade
Ao longo desse documento eu propositalmente utilizei uma base que ficou famosa por conta da presença de multicolinearidade prejudicial na inferência desse modelo.
Usarei essa base famosa, conhecida por um estudo de Longley, para demonstrar o diagnóstico de multicolinearidade prejudicial, além de possíveis tratamentos para solucionar esse problema. A base é a seguinte:
rm(list = ls())
dataset <- data.table(longley)
names(dataset) <- c("pib_deflacionado", "pib", "desempregados", "forcas_armadas", "populacao", "ano", "proporcao_empregados")
dataset[, pib_deflacionado := NULL]
dataset %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| pib | desempregados | forcas_armadas | populacao | ano | proporcao_empregados |
|---|---|---|---|---|---|
| 234.289 | 235.6 | 159.0 | 107.608 | 1947 | 60.323 |
| 259.426 | 232.5 | 145.6 | 108.632 | 1948 | 61.122 |
| 258.054 | 368.2 | 161.6 | 109.773 | 1949 | 60.171 |
| 284.599 | 335.1 | 165.0 | 110.929 | 1950 | 61.187 |
| 328.975 | 209.9 | 309.9 | 112.075 | 1951 | 63.221 |
| 346.999 | 193.2 | 359.4 | 113.270 | 1952 | 63.639 |
| 365.385 | 187.0 | 354.7 | 115.094 | 1953 | 64.989 |
| 363.112 | 357.8 | 335.0 | 116.219 | 1954 | 63.761 |
| 397.469 | 290.4 | 304.8 | 117.388 | 1955 | 66.019 |
| 419.180 | 282.2 | 285.7 | 118.734 | 1956 | 67.857 |
| 442.769 | 293.6 | 279.8 | 120.445 | 1957 | 68.169 |
| 444.546 | 468.1 | 263.7 | 121.950 | 1958 | 66.513 |
| 482.704 | 381.3 | 255.2 | 123.366 | 1959 | 68.655 |
| 502.601 | 393.1 | 251.4 | 125.368 | 1960 | 69.564 |
| 518.173 | 480.6 | 257.2 | 127.852 | 1961 | 69.331 |
| 554.894 | 400.7 | 282.7 | 130.081 | 1962 | 70.551 |
Eu poderia usar essa base para, por exemplo, testar um modelo de crescimento econômico. Vamos ver se essas variáveis tem impacto na determinação do PIB de um país:
modelo <- lm(pib ~ ., dataset)
summary(modelo)
##
## Call:
## lm(formula = pib ~ ., data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -4.3566 -1.3820 -0.4983 1.2042 8.0413
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -4.277e+04 9.477e+03 -4.513 0.00112 **
## desempregados -2.173e-01 5.567e-02 -3.903 0.00295 **
## forcas_armadas -7.019e-02 3.936e-02 -1.784 0.10482
## populacao 3.667e+00 1.593e+00 2.302 0.04411 *
## ano 2.206e+01 5.046e+00 4.372 0.00140 **
## proporcao_empregados -4.646e+00 3.518e+00 -1.321 0.21607
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 3.493 on 10 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9992, Adjusted R-squared: 0.9988
## F-statistic: 2427 on 5 and 10 DF, p-value: 4.434e-15
Um diagnóstico sem olhar para robustez do modelo me diria que as variáveis ano, população, desempregados e intercepto são todas significantes a pelo menos 5% de significância. Mas você concorda comigo que a possibilidade de uma alta correlação entre proporção de empregados e desempregados pode inviabilizar nossa análise?
Um diagnóstico inicial para essa questão pode ser feita simplesmente ao olhar para matriz de correlação das nossas variáveis explicativas:
cor(select(dataset, setdiff(names(dataset), "pib")))
## desempregados forcas_armadas populacao ano
## desempregados 1.0000000 -0.1774206 0.6865515 0.6682566
## forcas_armadas -0.1774206 1.0000000 0.3644163 0.4172451
## populacao 0.6865515 0.3644163 1.0000000 0.9939528
## ano 0.6682566 0.4172451 0.9939528 1.0000000
## proporcao_empregados 0.5024981 0.4573074 0.9603906 0.9713295
## proporcao_empregados
## desempregados 0.5024981
## forcas_armadas 0.4573074
## populacao 0.9603906
## ano 0.9713295
## proporcao_empregados 1.0000000
Qualquer valor fora da diagonal principal que seja muito próximo de 1 ou -1 é algo a ser investigado. A população e o ano parecem ser variáveis muito preocupantes em sentido de multicolineariadade prejudicial, você não concorda?
De forma ainda mais robusta, podemos diagnosticar multicolinearidade pelo fator de inflacionamento da variância (fiv), ou no inglês variance inflation factor (vif).
Se o VIF for igual a 1 não há multicolinearidade entre os fatores, mas se o VIF for maior que 1, as preditoras podem estar moderadamente correlacionadas. Um VIF entre 5 e 10 indica alta correlação, o que pode ser problemático. E se o VIF for acima de 10, você pode assumir que os coeficientes de regressão estão mal estimados devido à multicolinearidade.
Calculando os VIF para cara variável do modelo, chegamos a:
car::vif(modelo)
## desempregados forcas_armadas populacao
## 33.271988 9.222652 150.932214
## ano proporcao_empregados
## 709.561737 187.689092
Esses são valores bem altos de VIF! O que podemos fazer para corrigir isso?
Como temos muitas variáveis explicativas, um caminho seria remover uma variável que tenha alta correlação com outra, e isso pode resolver o problema. Por exemplo, remover a variável ano do meu modelo me retornaria os seguintes vif:
car::vif(lm(pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao + proporcao_empregados, dataset))
## desempregados forcas_armadas populacao
## 6.668482 1.964550 50.814189
## proporcao_empregados
## 32.923691
Remover uma variável problemática praticamente resolveu nosso problema de multicolinearidade prejudicial, mas ainda tem alguma coisa de errado nesse modelo. E se eu remover mais uma variável? Por exemplo, remover a proporcao de empregados do modelo:
car::vif(lm(pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao, dataset))
## desempregados forcas_armadas populacao
## 3.146686 1.918225 3.514335
Olha só! Resolvemos duas variáveis bem problemáticas e praticamente resolvemos um grande problema da nossa estimativa inicial. O modelo com essas três variáveis teria esse retorno pelo r:
summary(lm(pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao, dataset))
##
## Call:
## lm(formula = pib ~ desempregados + forcas_armadas + populacao,
## data = dataset)
##
## Residuals:
## Min 1Q Median 3Q Max
## -14.525 -6.989 1.574 5.657 13.434
##
## Coefficients:
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) -1.352e+03 5.160e+01 -26.195 5.86e-12 ***
## desempregados -1.142e-01 4.109e-02 -2.780 0.0167 *
## forcas_armadas 6.480e-02 4.308e-02 1.504 0.1584
## populacao 1.498e+01 5.834e-01 25.677 7.42e-12 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 8.384 on 12 degrees of freedom
## Multiple R-squared: 0.9943, Adjusted R-squared: 0.9929
## F-statistic: 698.8 on 3 and 12 DF, p-value: 9.943e-14
Agora sim nossas estimativas de pvalor para o modelo são mais confiáveis.
9 Modelos de Equações Simultâneas
Neste capítulo, abordarei uma temática um tanto quanto diferente do que vem sido discutido ao longo desse documento.
Ao longo dos capítulos anteriores, o foco sempre tem sido de estimar uma representação simples que melhor represente a realidade de uma variável, sem entrar muito em detalhes dessa variável. Mas, vamos supor que essa variável tem natureza diferente a depender da situação em que se analisa. Por exemplo, se eu desejo estimar a quantidade disponível de um bem, como um produtor, meu objetivo é sempre maximizar o lucro, sendo um mecanismo plausível para tal o aumento do preço. Mas como consumidor, a quantidade disponível depende da quantidade ofertada desse bem, que é extremamente importante para definição do preço!
Nesse caso, acontece um exemplo clássico de que uma função de oferta depende da função de demanda e vice-versa!
Dizemos que essa situação introduz endogeneidade na variável preço e quantidade. Lembre-se, que uma representação simples das funções de oferta e demanda são:
\[ Q_d = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot P_i + u_{1i} \] \[ Q_s = \beta_0 + \beta_1 \cdot P_i + u_{2i} \]
É importante considerar a endogeneidade de uma variável nesse tipo de modelo, visto que não podemos estimar os parâmetros de uma única equação sem levar em conta informações fornecidas por outras equações em um sistema.
9.1 Podemos usar o estimador de MQO no caso de equações simultâneas?
A resposta curta é não. Mas existe uma forma simples de utilizar o estimador, considerando a natureza de um modelo de equações simultâneas. É o caso do estimador MQ2E, MQ3E e outros que serão vistos nas próximas seções.
A resposta longa é: uma das hipóteses do MQO é das variáveis explicativas X serem não estocásticas (não aleatórias), e se distribuiem independentemente dos termos de erro, que é aleatório. Se essa hipótese não é atendida, o estimador por MQO é viesado e inconsistente, ou seja, os estimadores não tendem aos valores populacionais verdadeiros, sob grandes amostras.
Observação: para uma demonstração matemática dos viéses comentados acima, confira um material de econometria (Gujarati, por exemplo) para aprofundar sobre o assunto.
9.2 Alguns termos importantes
Variável endógena: é uma variável que depende do valor de outras variáveis.
Variável predeterminada: os valores são determinados fora do modelo.
As variáveis predeterminadas são subdivididas em:
Exógenas: é uma variável corrente, ou seja, do período t.
Endógenas defasadas: é uma variável do passado, do período t-1. Como o evento já aconteceu no passado, ele é predeterminado, visto que o valor do passado é sempre o mesmo.
Segundo Gujarari (2000), cabe ao criador do modelo especificar quais variáveis são endógenas e quais são predeterminadas. Embora, por exemplo, variáveis como temperatura e precipitação pluviométrica sejam claramente exógenas (predeterminadas), o criuados do modelo deve ter muito cuidado a classificar variáveis que possam não ser predeterminadas.
Nesse sentido, existem testes estatísticos para verificar se uma variável é endógena ou não, como por exemplo o teste de hausman.
9.3 Forma estrutural e forma reduzida
Em livros de econometria, com mais foco teórico, uma forma estrutural genérica é normalmente apresentada. Como meu objetivo é não complicar demais, apenas destaco que a forma estrutural de um modelo de equações simultâneas é literalmente um sistema de equações, que apresenta variáveis endógenas em comum. Por exemplo, o modelo previamente apresentado está em sua forma estrutural:
\[ Q_d = \alpha_0 + \alpha_1 \cdot P_i + u_{1i} \]
\[ Q_s = \beta_0 + \beta_1 \cdot P_i + u_{2i} \]
Os parâmetros diretamente associados a essas equações são literalmente os parâmetros estruturais das equações.
Além disso, podemos calcular a forma reduzida de um sistema de equações (quando possível), simplesmente ao substituir uma equação na outra. Por exemplo, a forma reduzida do modelo de equações simultâneas abaixo:
\[ C_i = \beta_0 + \beta_1 Y_i + u_i; \space 0 < \beta_1 < 1 \]
\[ Y_i = C_i + I_i \]
Neste modelo, consumo (C) e renda (Y) são variáveis endógenas, e o investimento (I) é exógeno. Substituindo a equação consumo na equação renda, temos:
\[ Y_i = \beta_0 + \beta_1 Y_i + u_i + I_i \] \[ Y_i - \beta_1 Y_i = \beta_0 + I_i + u_i \] \[ (1 - \beta_1) Y_i = \beta_0 + I_i + u_i \]
\[ Y_i = \frac{\beta_0 + I_i + u_i}{(1 - \beta_1)} \]
Podemos fazer: \(\Pi_0 = \frac{\beta_0}{(1 - \beta_1)}\), \(\Pi_1 = \frac{1}{(1 - \beta_1)}\) e \(w_i = \frac{u_i}{(1 - \beta_1)}\), resultando na seguinte equação:
\[ Y_i = \Pi_0 + \Pi_1 I_i + w_i \]
Essa, é uma equação na forma reduzida do sistema que apresentei acima. Ela expressa a variável endógena Y unicamente como uma função da variável exógena I.
Esses coeficientes, na forma reduzida, são conhecidos como multiplicadores de impacto, ou de curto prazo, pois medem o impacto imediato sob a variável endógena na mudança de uma unidade na variável exógena.
Note que, a forma reduzida necessáriamente presume condições de equilíbrio entre as equações apresentadas.
Além disso, podemos estimar diretamente esses coeficientes pelo método de MQO. Estimar esses parâmetros sob a forma reduzida, é conhecido como MQI, o método de mínimos quadrados indiretos, visto que não estimamos diretamente sobre o o modelo original.
9.4 O problema da identificação
Essa será provavelmente a seção mais útil de todo capítulo (se eu for capaz de traduzir o conteúdo pra uma linguagem mais acessível, que é meu objetivo nesse documento). Neste, tenho como objetivo ensinar a identificar um sistema de equações, com base em um método aprentado na literatura, e de explicar a importância da identificação de um modelo.
A grosso modo, dizer que um sistema de equações simultaneas está identificado, significa dizer que podemos extrair desse sistema uma forma reduzida, e representá-lo por meio de uma equação que pode ser estimada por MQI. Na seção anterior, apresentei um sistema de equações sobreidentificado em excesso. E se o sistema não fosse identificado?
Um sistema de equações pode estar exatamente identificado, sobreidentificado em excesso ou subidentificado.
A subidentificação ocorre quando não conseguimos representar um sistema de equações em uma forma reduzida. A identificação exata ocorre quando podemos representar perfeitamente um sistema de equações em uma forma reduzida. A sobreidentificação em excesso ocorre quando existe mais de uma forma de representar um sistema de equações em forma reduzida.
Uma forma bem simples de identificar equações pode ser feito pela seguinte definição da condição de ordem:
Considerando M = número de variáveis endógenas no modelo; m = número de variáveis endógenas em uma equação; K = número de variáveis predeterminadas em um modelo; k = número de variáveis predeterminadas em uma equação.
Em um modelo de M equações simultâneas, para que uma equação seja identificada, o número de variáveis predeterminadas excluídas da equação não deve ser menor que o número de variáveis endógenas incluídas nessa equação menos 1. Ou seja:
\[ K - k \geq m - 1 \]
Assim, se K-k = m-1, a equação está exatamente identificada, se K-k>m-1, ela está sobreidentificada.
Por exemplo, tomemos o sistema abaixo:
\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1P_i+u_1i \]
\[ Q_i = \beta_0 + \beta_1P_i+u_2i \]
Sendo que P e Q são variáveis endógenas. Nesse caso, como seria feita a identificação de cada modelo?
Como cada uma das equações apresenta 2 variáveis endógenas (m = 2), para uma delas estar identificada, ela deve excluir ao menos 1 variável predeterminada. Como não existem variáveis predeterminadas no modelo, ambas as equações não estão identificadas.
Mas e se os modelos fossem assim:
\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1P_i + \alpha_2S_i + u_1i \]
\[ Q_i = \beta_0 + \beta_1P_i + \beta_2I_i + u_2i \]
Sendo I e S variáveis predeterminadas e independentes. Como cada equação se classificaria? Ambas estariam perfeitamente identificadas, visto que agora existem 2 variáveis predeterminadas no sistema e cada equação exclui ao menos uma variável (não apresenta uma).
E no caso abaixo?
\[ Q_i = \alpha_0 + \alpha_1P_i + \alpha_2S_i + u_1i \]
\[ Q_i = \beta_0 + \beta_1P_i + u_2i \]
Agora somente a equação de cima não está identificada, equanto que a equação de baixo está perfeitamente identificada pela condição de ordem.
Outra condição importante é a definição de posto. Mas, por ser uma condição um pouco mais complexa, não será abordada nesse documento (e não costuma cair em provas da graduação).
9.5 A estimação por MQI, MQ2E e MQ3E
Nesta seção, utilizarei o seguinte conjunto de dados para estimação:
data("Kmenta")
dados <- Kmenta
rm(Kmenta)
dados %>%
kbl(align = "cc") %>%
kable_material() %>%
scroll_box(width = "800px", height = "350px")
| consump | price | income | farmPrice | trend |
|---|---|---|---|---|
| 98.485 | 100.323 | 87.4 | 98.0 | 1 |
| 99.187 | 104.264 | 97.6 | 99.1 | 2 |
| 102.163 | 103.435 | 96.7 | 99.1 | 3 |
| 101.504 | 104.506 | 98.2 | 98.1 | 4 |
| 104.240 | 98.001 | 99.8 | 110.8 | 5 |
| 103.243 | 99.456 | 100.5 | 108.2 | 6 |
| 103.993 | 101.066 | 103.2 | 105.6 | 7 |
| 99.900 | 104.763 | 107.8 | 109.8 | 8 |
| 100.350 | 96.446 | 96.6 | 108.7 | 9 |
| 102.820 | 91.228 | 88.9 | 100.6 | 10 |
| 95.435 | 93.085 | 75.1 | 81.0 | 11 |
| 92.424 | 98.801 | 76.9 | 68.6 | 12 |
| 94.535 | 102.908 | 84.6 | 70.9 | 13 |
| 98.757 | 98.756 | 90.6 | 81.4 | 14 |
| 105.797 | 95.119 | 103.1 | 102.3 | 15 |
| 100.225 | 98.451 | 105.1 | 105.0 | 16 |
| 103.522 | 86.498 | 96.4 | 110.5 | 17 |
| 99.929 | 104.016 | 104.4 | 92.5 | 18 |
| 105.223 | 105.769 | 110.7 | 89.3 | 19 |
| 106.232 | 113.490 | 127.1 | 93.0 | 20 |
Os dados apresentados são relativos a 20 observações anuais de 5 variáveis:
- consump: consumo de comida per capita.
- price: proporção de preços de comida a preços gerais de consumo.
- income: renda disponível.
- farmPrice: proporção de preços do ano passado recebido por fazendeiros comparado a preços do consumidor.
- trend: tendencia temporal em anos.
Consumo e preço são variáveis exógenas, e renda, farmPrice e trend são predeterminadas.
Podemos estimar a demanda e oferta por comida com as seguintes equações:
\[ Consumo_t = \alpha_0 Preco_t + \alpha_1 Renda_t + u_{1t} \space (1) \]
\[ Consumo_t = \beta_0 Preco_t + \beta_1 FarmPrice_t + \beta_2 Trend_t + u_{2t} \space (2) \]
A identificação das equações pela condição de ordem pode ser feita como segue:
A equação demanda (1) exclui 0 variáveis endógenas, e exclui 2 das 3 variáveis predeterminadas do sistema. Assim, \(3 - 1 > 2 - 1\), indicando que essa equação está sobreidentificada em excesso.
A equação oferta (2) exclui 0 variáveis endógenas, e exclui 1 das 3 variáveis predeterminadas do sistema. Assim, \(3 - 2 = 2 - 1\), indicando que essa equação está perfeitamente identificada.
Podemos estimar o modelo por MQ2E usando o pacote
systemfit, conforme abaixo:
demanda <- consump ~ price + income
oferta <- consump ~ price + farmPrice + trend
instrumentos <- ~ income + farmPrice + trend
equacoes <- list(demanda = demanda, oferta = oferta)
modelo_mq2e <- systemfit(equacoes, "2SLS", inst = instrumentos, data = dados)
summary(modelo_mq2e)
##
## systemfit results
## method: 2SLS
##
## N DF SSR detRCov OLS-R2 McElroy-R2
## system 40 33 162.362 4.36424 0.697214 0.548127
##
## N DF SSR MSE RMSE R2 Adj R2
## demanda 20 17 65.7291 3.86642 1.96632 0.754847 0.726005
## oferta 20 16 96.6332 6.03958 2.45756 0.639582 0.572004
##
## The covariance matrix of the residuals
## demanda oferta
## demanda 3.86642 4.35744
## oferta 4.35744 6.03958
##
## The correlations of the residuals
## demanda oferta
## demanda 1.000000 0.901724
## oferta 0.901724 1.000000
##
##
## 2SLS estimates for 'demanda' (equation 1)
## Model Formula: consump ~ price + income
## Instruments: ~income + farmPrice + trend
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 94.6333039 7.9208383 11.94738 1.0762e-09 ***
## price -0.2435565 0.0964843 -2.52431 0.021832 *
## income 0.3139918 0.0469437 6.68869 3.8109e-06 ***
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 1.966321 on 17 degrees of freedom
## Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 17
## SSR: 65.729088 MSE: 3.866417 Root MSE: 1.966321
## Multiple R-Squared: 0.754847 Adjusted R-Squared: 0.726005
##
##
## 2SLS estimates for 'oferta' (equation 2)
## Model Formula: consump ~ price + farmPrice + trend
## Instruments: ~income + farmPrice + trend
##
## Estimate Std. Error t value Pr(>|t|)
## (Intercept) 49.5324417 12.0105264 4.12409 0.00079536 ***
## price 0.2400758 0.0999339 2.40235 0.02878451 *
## farmPrice 0.2556057 0.0472501 5.40964 5.7854e-05 ***
## trend 0.2529242 0.0996551 2.53800 0.02192877 *
## ---
## Signif. codes: 0 '***' 0.001 '**' 0.01 '*' 0.05 '.' 0.1 ' ' 1
##
## Residual standard error: 2.457555 on 16 degrees of freedom
## Number of observations: 20 Degrees of Freedom: 16
## SSR: 96.633244 MSE: 6.039578 Root MSE: 2.457555
## Multiple R-Squared: 0.639582 Adjusted R-Squared: 0.572004
A interpretação desse modelo é simples, basta analisar os coeficientes estimados para cada equação. Note que o coeficiente do preço para a demanda é negativo, enquanto que para oferta, esse coeficiente é positivo, o que faz todo sentido, afinal, um produtor irá ofertar mais sob maiores preços, e um consumidor irá demandar menos sob maiores preços! A interpretação dos pvalores é a mesma conforme fornecido ao longo deste documento, deixo a interpretação por sua conta!
A estimação por MQ2E ou MQ3E é relativamente simples na teoria. Basta estimar os valores das variáveis endógenas para uma equação e substituir na outra equação e estimar novamente, por isso o nome Mínimos Quadrados em 2 (ou 3) Estágios. Para mais detalhes sobre essa forma de estimação, recomendo a leitura de Gujarati.
Sobre equações simultâneas, espero ter lhe introduzido de forma mais simplificada e tenha lhe auxiliado a melhor compreender o conteúdo.
10 Considerações finais.
Espero que eu tenha lhe ajudado a melhor compreender os principais conceitos e métodos de econometria.
Esse documento foi gerado por meio de um script .Rmd, que é basicamente uma combinação da linguagem R com o Markdown. Todas as linhas de código que eu executar estarão “escondidas” dentro de um botão preto escrito code. Como esse documento tem objetivo de apresentar as diferentes abordagens e objetivos da econometria de séries de tempo, utilizo o R por ser uma linguagem de programação muito bem documentada e com funções de vizualização e manipulação de dados extremamente avançadas.
Caso tenha alguma dúvida, critica ou elogio (sempre bom esse último aí) não exite em me mandar mensagem. Eu tento ao máximo “simplificar” o conteúdo, mas com certeza é uma matéria bem complexa, principalmente sem um contexto de como todo o processo funciona. Bons estudos!