¿Qué es la estadística?

La estadística es una rama de la matemática que se ocupa de los métodos de recolección, organización, análisis de datos y que permite tomar decisiones de acuerdo a los resultados obtenidos durante el proceso del análisis.

Tipos de estadística

Existen dos tipos de estadística, Descríptiva e Inferencial.

A<-matrix(data=c(2.2, 4.1, 3.5, 4.5, 3.2, 3.7, 3.0, 2.6, 3.4, 1.6, 3.1, 3.3, 3.8, 3.1, 4.7, 3.7, 2.5, 4.3, 3.4, 3.6, 2.9, 3.3, 3.9, 3.1, 3.3, 3.1, 3.7, 4.4, 3.2, 4.1, 1.9, 3.4, 4.7, 3.8, 3.2, 2.6, 3.9, 3.0, 4.2, 3.5), nrow = 8, ncol = 5, byrow = TRUE)

A

##      [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,]  2.2  4.1  3.5  4.5  3.2
## [2,]  3.7  3.0  2.6  3.4  1.6
## [3,]  3.1  3.3  3.8  3.1  4.7
## [4,]  3.7  2.5  4.3  3.4  3.6
## [5,]  2.9  3.3  3.9  3.1  3.3
## [6,]  3.1  3.7  4.4  3.2  4.1
## [7,]  1.9  3.4  4.7  3.8  3.2
## [8,]  2.6  3.9  3.0  4.2  3.5

matriz<-sort(A, decreasing = FALSE)

matriz

##  [1] 1.6 1.9 2.2 2.5 2.6 2.6 2.9 3.0 3.0 3.1 3.1 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.3 3.3 3.3
## [20] 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 3.9 4.1 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
## [39] 4.7 4.7

vida<-data.frame(matriz)

names(vida)

## [1] "matriz"

attach(vida)

## The following object is masked _by_ .GlobalEnv:
## 
##     matriz

library(fdth)
distribution<-fdt(matriz, start=1.6, end=5, h=0.5)

distribution<-fdt(matriz, start=1.6, end=5.1, h=0.5)

##  Class limits  f   rf rf(%) cf cf(%)
##     [1.6,2.1)  2 0.05   5.0  2   5.0
##     [2.1,2.6)  2 0.05   5.0  4  10.0
##     [2.6,3.1)  5 0.12  12.5  9  22.5
##     [3.1,3.6) 15 0.38  37.5 24  60.0
##     [3.6,4.1)  8 0.20  20.0 32  80.0
##     [4.1,4.6)  6 0.15  15.0 38  95.0
##     [4.6,5.1)  2 0.05   5.0 40 100.0

plot(distribution,type ="fh", col="#a432a8")

plot(distribution,type ="cfp", col="#9c170e")

Ejercicios

1- Los siguientes datos son los lapsos, en minutos, necesarios para que 50 clientes de un banco comercial, lleve a cabo una transacción bancaria:

a- Construir una tabla de frecuencia relativa

b- Construir una distribución de frecuencia relativa acumulada

c- Construir un histograma

d- Construir la ojiva y el polígono de frecuencias

2- La siguiente información agrupada representa el número de puntos anotados por equipo y por juego en la liga Nacional del futbol paraguayo durante la temporada de 2020.

a- Graficar la distribución de frecuencia relativa.

b- Graficar la ojiva y el polígono de frecuencia.

3- Los siguientes datos agrupados representan los pagos por almacenamiento para los 50 más grandes detallistas durante el año 2016.

Medidas de tendencia central para datos no agrupados

Variabilidad para datos no agrupados

Ejercicios resueltos

A<-matrix(data=c(2.2, 4.1, 3.5, 4.5, 3.2, 3.7, 3.0, 2.6, 3.4, 1.6, 3.1, 3.3, 3.8, 3.1, 4.7, 3.7, 2.5, 4.3, 3.4, 3.6, 2.9, 3.3, 3.9, 3.1, 3.3, 3.1, 3.7, 4.4, 3.2, 4.1, 1.9, 3.4, 4.7, 3.8, 3.2, 2.6, 3.9, 3.0, 4.2, 3.5), nrow = 8, ncol = 5, byrow = TRUE)

promedio<-mean(A)
paste("La media de la matriz A es: ", promedio)

## [1] "La media de la matriz A es:  3.4125"

mediana<-median(A)
paste("La mediana de la matriz A es: ", mediana)

## [1] "La mediana de la matriz A es:  3.4"

library(modeest)

moda<-mlv(A, method="mfv") # en method podemos usar: meanshift, mlv y mfv

paste("El valor de la moda es: ", moda)

## [1] "El valor de la moda es:  3.1"

ordenado<-sort(A, decreasing = FALSE)
ordenado

##  [1] 1.6 1.9 2.2 2.5 2.6 2.6 2.9 3.0 3.0 3.1 3.1 3.1 3.1 3.2 3.2 3.2 3.3 3.3 3.3
## [20] 3.4 3.4 3.4 3.5 3.5 3.6 3.7 3.7 3.7 3.8 3.8 3.9 3.9 4.1 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
## [39] 4.7 4.7

varianza<-var(ordenado)
print( sprintf(varianza, fmt = '%.6f')  ) # %.nf donde n es el número de decimales que nosotros queremos que imprima

## [1] "0.493942"

standar<-sd(ordenado)
print( sprintf(standar, fmt = '%.6f')  ) # %.nf donde n es el número de decimales que nosotros queremos que imprima

## [1] "0.702810"

des_med<-mean(abs(A-promedio)) # Esto devuelve el valor de la desviación media
print( sprintf(des_med, fmt = '%.4f')  ) # %.nf donde n es el número de decimales que nosotros queremos que imprima

## [1] "0.5337"

des_mediana<-mean(abs(A-mediana)) # Esto devuelve el valor de la desviación mediana
print( sprintf(des_mediana, fmt = '%.6f')  ) # %.nf donde n es el número de decimales que nosotros queremos que imprima

## [1] "0.532500"

Medidas de tendencia central para datos agrupados

Variabilidad para datos agrupados

Ejercicios resueltos

Medidas de tendencia central

Para calcular la media con datos agrupados, necesitamos calcular primeramente el punto medio \(x_{i}\) de cada clase.

A nuestra matriz de distribución de frecuencias debemos añadir \(x_{i}\) que es la marca de clase:

Luego tenemos que el valor de la media es:

\[\bar{x} = \frac{1}{40} \times 139.5= 3.4875 \]

Ejercicios propuestos

1- Los siguientes datos son los lapsos, en minutos, necesarios para que 50 clientes de un banco comercial, lleven acabo una transacción bancaria:

Calcule para datos no agrupados y para los datos agrupados las siguientes medidas:

a- Media, Mediana y Moda

b- Varianza, Desviación Estándar, Desviación Media y Desviación Mediana

c- Compare los resultados

2- Aquí se presenta tres conjuntos de datos:

1, 2, 3, 4, 5, 6;

1, 1, 1, 6, 6, 6;

-13, 2, 3, 4, 5, 20.

Calcular la media y la varianza para cada conjunto de datos. ¿Qué se puede concluir?

Probabilidad

Conceptualizaciones

• Interpretaciones de la probabilidad

Desarrollo axiomático

• Probabilidad conjunta, marginal y condicional.

• Eventos estadísticamente independientes.

• Teorema de Bayes.

Conceptualizaciones

• Interpretaciones de la probabilidad
  • Definición clásica
  • Interpretación como frecuencia relativa
  • Interpretación subjetiva

Definición clásica de probabilidad

Supongamos que se tiran dos dados ¿Cuál es la probabilidad que la suma sea 7?

Definición: Si un evento que está sujeto al azar, resulta de \(n\) formas igualmente probables y mutuamente excluyentes, y si \(n_{A}\) de estos resultados tienen un atributo \(A\), la probabilidad de \(A\) es la proporción de \(n_{A}\) con respecto a \(n\).

\[\begin{equation} P(A) = \frac{n_{A}}{n} \end{equation}\]

• Aplicando la fórmula, tenemos que:

\(n = 36\) y \(n_{A} = 6\)

luego;

\[P(A) = \frac{6}{36} = 0,1666 \cdots\]

Interpretación Subjetiva de la Probabilidad

Definición: La probabilidad se interpreta como el grado de creencia o de convicción con respecto a la ocurrencia de una afirmación.

En este contexto, la probabilidad representa el juicio personal acerca de un fenómeno impredecible.

Ejercicios

I- Los empleados de la compañia New Horizons se encuentran separados en tres divisiones: administración, operación de planta y ventas. La siguiente tabla indica el número de empleados en cada división clasificados por sexo:

Si se elige aleatoriamente un empleado:

1- ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer?

2- ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en ventas?

3- ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre y trabaje en la división de administración?

4- ¿Cuál es la probabilidad de que trabaje en la división de operación de planta, si es mujer?

5- ¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer si trabaja en la división de operación de planta?

II- Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?. ¿Cuál es la probabilidad de que en el decimoprimero lanzamiento el resultado sea cruz?

¿Qué tipo de probabilidad utilicé en cada ejercicio?

Desarrollo axiomático

Definición: El conjunto de todos los posibles resultados de un experimento aleatorio recibe el nombre de espacio muestral \(S\).

El espacio muestral puede ser discreto o continuo:

Discreto

• \(S =\{ x \in \mathbb{Z} / x > 0\}\)

  • \(S = \{0,1,2, \cdots \}\)

Continuo

• \(S = \{x \in \mathbb{R} / a\leq x \leq b\}\)

  • \(S = \{x \in \mathbb{R} / 0 \leq x \leq 500\}\)

Definición. Un evento \(𝑬\) del espacio muestral \(𝑺\) es un grupo de resultados contenidos en este, cuyos miembros tienen un característica común.

El evento que contiene a ningún resultado del espacio muestral recibe el nombre de Vacío \(\emptyset\)

Sean \(𝑬_𝟏\) y \(𝑬_𝟐\) dos eventos que se encuentran en un espacio muestral \(𝑺\).

El evento formado por todos los posibles resultados en \(𝑬_𝟏\) o \(𝑬_𝟐\) o en ambos recibe el nombre de unión.

\[𝑬_𝟏 \bigcup 𝑬_𝟐\]

Sean \(𝑬_𝟏\) y \(𝑬_𝟐\) dos eventos que se encuentran en un espacio muestral \(𝑺\).

El evento formado por todos los resultados comunes tanto a \(𝑬_𝟏\) como \(𝑬_𝟐\) recibe el nombre de intersección.

\[𝑬_{𝟏} \bigcap 𝑬_{𝟐}\]

Sean \(𝑬_𝟏\) y \(𝑬_𝟐\) dos eventos que se encuentran en un espacio muestral \(𝑺\).

Se dice que los eventos \(𝑬_𝟏\) y \(𝑬_𝟐\) son mutuamente excluyentes o disjuntos si no tienen resultados en común.

\[𝑬_𝟏\bigcap𝑬_𝟐=\emptyset\]

Sean \(𝑬_𝟏\) y \(𝑬_𝟐\) dos eventos que se encuentran en un espacio muestral \(𝑺\).

Si cualquier resultado de \(𝑬_𝟏\) también es resultados de \(𝑬_𝟐\) se dice que \(𝑬_𝟏\) está contenido en \(𝑬_𝟐\).

\[𝑬_𝟏\subset 𝑬_𝟐\]

Sean \(𝑬\) un evento del espacio muestral \(𝑺\).

El complemento de un evento \(𝑬\) con respecto al espacio muestral \(𝑺\), es aquel que contiene todos los resultados de \(𝑺\) que no se encuentran en \(𝑬\).

Se denota por \(\overline{\text{E}}\)

Desarrollo axiomático de la probabilidad

Sea \(𝑺\) un espacio muestral y \(𝑬\) un evento cualquiera. Se llamará función de probabilidad \(𝑷(𝑬)\) sobre el espacio muestral \(𝑺\) si satisface los siguientes axiomas:

• Axioma 1

\[P(E) \geq 0\]

• Axioma 2

\[P(S) = 1\]

• Axioma 3: Si para los eventos \(E_{1}\), \(E_{2}\), \(E_{3}\), \(\cdots\)

\[E_{i} \bigcap E_{j} = \emptyset \quad \text{para toda} \quad i\neq j\]

\[\begin{equation} P(E_{1} \bigcup E_{2} \bigcup \cdots) = P(E_{1}) + P(E_{2}) + \cdots \end{equation}\]

\(P(\emptyset)=0\)

Si para cualquier evento \(E \subset S\), \[0 \leq P(E) \leq 1\]

Sea \(S\) un espacio muestral que contiene a cualesquiera dos eventos \(A\) y \(B\), entonces: \[P\left(A \bigcup B\right) = P(A) + P(B) - P\left(A \bigcap B\right)\]

Probabilidad Conjunta y Marginal

	M	H
A	\(P(A\cap M)\)	\(P(A\cap H)\)	\(P(A)\)
O	\(P(O\cap M)\)	\(P(O\cap H)\)	\(P(O)\)
V	\(P(V\cap M)\)	\(P(V\cap H)\)	\(P(V)\)
	\(P(M)\)	\(P(H)\)	\(P(S)\)

La probabilidad conjunta es la probabilidad de la ocurrencia simultánea de dos eventos. \[P(A_{i} \cap B_{j}) = \frac{n_{ij}}{n}\]

	\(B_1\)	\(B_2\)
\(A_1\)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)
\(A_2\)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)

\[\sum_{j} \sum_{i} n_{ij} = n\]

Si el interés recae en determinar la probabilidad de \(A_{i}\) sin considerar el evento \(B_{j}\) \[P(A_{i}) = \frac{\sum_{j} n_{ij}}{n}\]

	\(B_1\)	\(B_2\)
\(A_1\)	\(n_{11}\)	\(n_{12}\)
\(A_2\)	\(n_{21}\)	\(n_{22}\)

\[\sum_{j} \sum_{i} n_{ij} = n\]

Probabilidad Condicional

¿Cuál es la probabilidad que un empleado sea Mujer si trabaja en la división de ventas?

	M	H
A	\(P(A\cap M)\)	\(P(A\cap H)\)	\(P(A)\)
O	\(P(O\cap M)\)	\(P(O\cap H)\)	\(P(O)\)
V	\(P(V\cap M)\)	\(P(V\cap H)\)	\(P(V)\)
	\(P(M)\)	\(P(H)\)	\(P(S)\)

\[\begin{equation} P(M/V) = \frac{P(V \cap M)}{P(V)} \end{equation}\]

Definición. Sean \(𝑨\) y \(𝑩\) dos eventos que se encuentran en un espacio muestral \(𝑺\) de manera tal que \(𝑷(𝑩)>𝟎\). La probabilidad condicional de \(𝑨\) al ocurrir el evento \(𝑩\), es el cociente de la probabilidad conjunta de \(𝑨\) y \(𝑩\) con respecto a la probabilidad marginal de \(𝑩\). De esta manera se tiene:

\[\begin{equation} P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \quad P(B)>0 \end{equation}\]

Regla de multiplicación

Si se escribe la fórmula de probabilidad condicional como producto da como resultado la regla de multiplicación de probabilidades.

\[\begin{equation} P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad \Longrightarrow \quad P(A \cap B) = P(B) P(A/B) \end{equation}\]

Eventos estadísticamente independientes

Definición. Los eventos \(𝑨_𝟏\),\(𝑨_𝟐\),\(\cdots\), \(𝑨_𝒌\) de un espacio muestral \(𝑺\) son estadísticamente independientes si y solo si la probabilidad conjunta de cualquier \(2\), \(3\), \(\cdots\), \(k\), de ellos es igual al producto de sus respectivas probabilidades marginales.

\[\begin{equation} P(A_1 \cap A_2 \cap \cdots A_k)=P(A_1)P(A_2) \cdots P(A_{k}) \end{equation}\]

Probabilidad Total

\[\sum_{i=1}^{n} P(B_{i}) = 1\]

Si existen \(𝒏\) eventos mutuamente excluyentes \(𝑩_𝟏\), \(𝑩_𝟐\), \(\cdots\), \(𝑩_𝒏\) de un espacio muestral 𝑺. La probabilidad total de un evento \(𝑨\), está dada por:

\[\begin{equation} P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(B_i) P(A/B_i) \end{equation}\]

Teorema de Bayes

\[P(B_j /A) \text{?}\]

\[P(B_j / A) = \frac{P(B_j \cap A)}{P(A)}\]

Ejercicios

1- Demuéstrese que para dos eventos cualesquiera \(A\) y \(B\), \(P(A/B) + P(\overline{\text{A}} /B) = 1\) con tal que \(P(B) \neq 0\)

2- Demuestre el teorema de probabilidad Total

3- Demuestre el teorema de Bayes

4- Un sistema contiene cinco componentes que se encuentran conectadas entre si como se muestra en la figura, donde las probabilidades indican la seguridad de que la componente funcione adecuadamente. Si se supone que el funcionamiento de una componente en particular es independiente del de las demás, ¿Cuál es la probabilidad de que el sistema trabaje?

5- Sean \(A\) y \(B\) dos eventos cualesquiera de \(S\). Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, muéstrese que no pueden ser independientes. Dedúzcase cuándo dos eventos independientes son, mutuamente excluyentes.

6- Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posible permutaciones, con respecto al sexo de los hijos. Bajo suposiciones adecuadas, ¿Cuál es la probabilidad de que, exactamente, dos de los hijos tengan el mismo sexo?, ¿Cuál es la probabilidad de tener un varón y dos mujeres?, ¿Cuál es la probabilidad de tener tres hijos del mismo sexo?

7- Se lanza una moneda diez veces y en todos los lanzamientos el resultado es cara. ¿Cuál es la probabilidad de este evento?, ¿Cuál es la probabilidad de que en el decimoprimero lanzamiento el resultado sea cruz?

8- Se lanza una moneda con una probabilidad de \(\displaystyle{\frac{2}{3}}\) que el resultado sea cara. Si aparece una cara, se extrae una pelota, aleatoriamente, de una urna que contiene dos pelotas rojas y tres verdes. Si el resultado es cruz se extrae una pelota, de otra urna, que contiene dos rojas y dos verdes. ¿Cuál es la probabilidad de extraer una pelota roja?

9- La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. un aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes.

a- Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no ¿Cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la operación entre los componentes)

b- ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

10- Durante los últimos año se ha escrito sobre la posible relación entre fumar y el cáncer pulmonar. Supóngase que en un centro médico, de todos los fumadores de quienes se sospecha que tenían cáncer pulmonar, el \(90\%\) lo tenía mientras que únicamente el \(5\%\) de los no fumadores lo padecía. Si la proporción de fumadores es de 0.45, ¿Cuál es la probabilidad de que un paciente con cáncer pulmonar, seleccionado al azar, sea fumador?

11- El \(5\%\) de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce una 30% de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?

Ejercicios Resueltos

Sean \(A\) y \(B\) dos eventos cualesquiera de \(S\). Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, muéstrese que no pueden ser independientes. Dedúzcase cuándo dos eventos independientes son, mutuamente excluyentes.

Solución

Si \(A\) y \(B\) son mutuamente excluyentes, es decir \(𝑨\cap𝑩= \emptyset\) , entonces \[P(A\cap B)=P(\emptyset)=0\]

Para que \(A\) y \(B\) sean independientes se debe cumplir \[P(A)𝑷(B)= P(A\cap B)=0\]

Esto solo puede ocurrir en el caso que

\[P(A)=0 \vee P(B)=0\]

\[A =\emptyset \vee B=\emptyset\]

Una familia tiene tres hijos. Determinar todas las posible permutaciones, con respecto al sexo de los hijos. Bajo suposiciones adecuadas, ¿Cuál es la probabilidad de que, exactamente, dos de los hijos tengan el mismo sexo?, ¿Cuál es la probabilidad de tener un varón y dos mujeres?, ¿Cuál es la probabilidad de tener tres hijos del mismo sexo?

Todas las posibles permutaciones son:

\[S=\{VVV, VVM, VMV, VMM, MVV, MVM, MMV, MMM\}\]

Probabilidad de que exactamente dos tengan el mismo sexo

\(P(\text{2 del mismo sexo}) = \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)\)

\(\Longrightarrow + \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{4}\)

\(P(\text{2 del mismo sexo}) = \displaystyle{\frac{3}{4} = 0,75}\)

\(P(\text{1 varón y 2 mujeres})= \displaystyle{\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{3}{8}}\)

\(P(\text{1 varón y 2 mujeres})= \displaystyle{\frac{3}{8} = 0,375}\)

\(P(\text{3 hijos del mismo sexo}) = \displaystyle{\left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right)+ \left(\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}\right) = \frac{1}{4}}\)

\(P(\text{3 hijos del mismo sexo}) = \displaystyle{\frac{1}{4} = 0,25}\)

La probabilidad de que cierto componente eléctrico funcione es de 0.9. un aparato contiene dos de éstos componentes. El aparato funcionará mientras lo haga, por lo menos, uno de los componentes.

a- Sin importar cuál de los dos componentes funcione o no ¿Cuáles son los posibles resultados y sus respectivas probabilidades? (Puede suponerse independencia en la operación entre los componentes)

b- ¿Cuál es la probabilidad de que el aparato funcione?

• \(\displaystyle{P(A_{1} \cap A_{2}) = P(A_1) \cdot P(A_2)}\)

• \(\displaystyle{P(A_{1}' \cap A_{2}) = P(A_{1}') \cdot P(A_{2})}\)

• \(\displaystyle{P(A_{1} \cap A_{2}') = P(A_{1}) \cdot P(A_{2}')}\)

• \(\displaystyle{P(A_{1}' \cap A_{2}') = P(A_{1}') \cdot P(A_{2}')}\)

\[\displaystyle{P(A_{1} \cup A_{2}) = P(A_1) + P(A_2) - P(A_1 \cap A_2)}\]

El \(5\%\) de las unidades producidas en una fábrica se encuentran defectuosas cuando el proceso de fabricación se encuentra bajo control. Si el proceso se encuentra fuera de control, se produce una \(30\%\) de unidades defectuosas. La probabilidad marginal de que el proceso se encuentre bajo control es de 0.92. Si se escoge aleatoriamente una unidad y se encuentra que es defectuosa, ¿Cuál es la probabilidad de que el proceso se encuentre bajo control?

Variables aleatorias

• Concepto y clasificación
• Distribución de Probabilidad

Distribuciones de probabilidad

• Distribución discreta
• Distribución continua

Valor esperado

• Media de variable aleatoria
• Varianza de variable aleatoria

Concepto de variable aleatoria

Definición. Sea \(S\) un espacio muestral sobre el que se encuentra definida un función de probabilidad. Sea \(X\) una función de valor real definida sobre \(S\), de manera que transforme los resultados de \(S\) sobre la recta de los reales. Entonces se dice que \(X\) es una variable aleatoria.

Tipos de variable

Distribución de Probabilidad

Al considerar los valores de una variable aleatoria es posible desarrollar una función matemática que asigne una probabilidad a cada realización \(x\) de la variable aleatoria \(X\). Esta función recibe el nombre de función de probabilidad de la variable aleatoria \(X\).

Distribución discreta de probabilidad

Definición. Sea \(X\) una variable aleatoria discreta. Se llamará \(p(x)=P(X=x)\) función de probabilidad de la variable aleatoria \(X\). Si satisface las siguientes propiedades:

1. \(p(x) \geq 0\) para todos los \(X\).

2. \(\displaystyle{\sum_{x} p(x) = 1}\)

Ejercicios

1. Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de llamadas telefónicas que recibe un conmutador en un intervalo de cinco minutos y cuya función de probabilidad está dada por \(p(x) = e^{-x}(3)^x\)!, \(x= 0,1,2,\cdots\)

a- Determinar las probabilidades de que \(X\) sea igual a \(0,1,2,3,4,5,6\) y \(7\).

b- Graficar la función de probabilidad para estos valores de \(X\).

Distribución discreta de probabilidad

Definición. La función de distribución acumulativa de la variable aleatoria \(X\) es la probabilidad que \(X\) sea menor o igual a un valor específico de \(x\) y está dada por:

\[\begin{equation} F(x) = P(X \leq x) = \sum_{x_{i} \leq x} p(x_{i}) \end{equation}\]

\(F(x)\) de una variable aleatoria discreta es una función no decreciente de los valores de \(X\), de tal manera que:

1. \(0 \leq F(x) \leq 1\) para cualquier \(x\).

2. \(F(x_{i}) \geq F(x_{j})\) para todo \(x_{i} \geq x_{j}\)

3. \(P(X >x) = 1-F(x)\)

4. \(P(X=x) = F(x) - F(x-1)\)

5. \(P(x_{i} \leq X \leq x_{j}) = F(x_{j} - F(x_{i} -1)\)

2. Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de llamadas telefónicas que recibe un conmutador en un intervalo de cinco minutos y cuya función de probabilidad está dada por \(p(x) = e^{-x}(3)^x\)!, \(x= 0,1,2,\cdots\)

a- Determinar las probabilidades de que \(X\) sea igual a \(0,1,2,3,4,5,6\) y \(7\).

b- Graficar la función de probabilidad para estos valores de \(X\).

c- Determinar la función de distribución acumulativa para estos valores de \(X\).

d- Graficar la función de distribución acumulativa.

Distribución continua de probabilidad

Definición. Si para cualesquiera a y b, existe una función \(f(x)\) tal que:

1. \(f(x) \geq 0\) para \(- \infty \leq x \leq \infty\)

2. \(\displaystyle{\int_{-\infty}^{\infty} f(x) dx = 1}\)

3. \(P(a\leq x \leq b) = \displaystyle{\int_{a}^{b} f(x) dx}\)

Entonces \(f(x)\) es la función densidad de probabilidad de la variable aleatoria continua \(X\).

3. Sea \(X\) una variable aleatoria continua.

a- Determinar el valor de \(k\), de manera tal que la función.

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} kx^2 & -1\leq x \leq 1 \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right.\]

sea la función de densidad de probabilidad de \(X\).

Definición

Definición. La función de distribución acumulativa de una variable aleatoria continua \(X\) es la probabilidad que \(X\) tome un valor menor o igual que un \(x\).

\[\begin{equation} P(X\leq x) = F(x) = \int_{-\infty}^{x} f(t) dt \end{equation}\]

Donde \(t\) es una variable artificial de integración.

\(F(x)\) es una función lisa no decreciente de los valores de la variable aleatoria con las siguientes propiedades:

1. \(F(-\infty) = 0\)

2. \(F(\infty) = 1\)

3. \(P(a<x<b)=F(𝑏)-F(a)\)

4. \(\displaystyle{\frac{dF(x)}{dx} = f(x)}\)

4. Sea \(X\) una variable aleatoria continua.

a- Determinar el valor de \(k\), de manera tal que la función.

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} kx^2 & -1\leq x \leq 1 \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right.\]

sea la función de densidad de probabilidad de \(X\).

b- Determinar la función de distribución acumulativa de \(x\) y graficar \(F(x)\).

c- Calcular \(\displaystyle{P(x \geq \frac{1}{2})}\) y \(\displaystyle{-\frac{1}{2} \leq x \leq \frac{1}{2}}\)

5. Sea \(X\) una variable aleatoria discreta. Determinar el valor de \(k\) para que la función \(\displaystyle{p(x) = \frac{k}{x}}\) para \(x= 1, 2,3,4,\) sea la función de probabilidad de \(X\). Determinar \(P(1\leq X \leq 3)\)

6. Sea \(X\) una variable aleatoria continua.

a- Determinar el valor de \(k\) para que la función.

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} k exp^{-x/5} & x>o \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right.\]

b- Graficar \(f(x)\)

c- Calcular \(P(X\leq 5)\) y \(P(0 \leq x \leq 8)\).

d- Determinar \(F(x)\) y graficarla.

7. La duración en horas de un componente electrónico, es una variable aleatoria cuya función de distribución acumulativa es \(F(x) = 1 - exp(-x/100)\), \(x>0\).

a- Determinar la función de probabilidad de \(X\).

b- Determinar la probabilidad de que el componente trabaje más de 200 horas

Valor esperado de una variable aleatoria

El valor esperado de una variable aleatoria \(X\) (o media de la variable aleatoria \(X\)) y está dado por:

\[\begin{equation} E(X) = \sum_{x} xp(x) \quad \longrightarrow \quad \text{si X es una variable discreta} \end{equation}\]

\[\begin{equation} E(X) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx \quad \longrightarrow \quad \text{si X es una variable continua} \end{equation}\]

en donde \(p(x)\) y \(f(x)\) son la función de probabilidad y densidad de probabilidad, respectivamente

Ejemplo con una variable aleatoria discreta

Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

\(\displaystyle{E(X) = \sum_{x} xp(x) }\)

x<-c(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
prob.x<-c(0.05,0.10,0.10,0.10,0.20,0.25,0.10,0.05,0.05)
v.e<-sum(x*prob.x)
v.e

## [1] 4

\(E(X) = 4\)

Ejemplo con una variable aleatoria continua

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria \(X\) está dada por:

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} 2(1-x) & 0<x<1 \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right.\]

\(\displaystyle{E(x) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx}\)

\(\displaystyle{E(x) = \int_{-\infty}^{\infty} x\cdot (1-x) dx}\)

\(\displaystyle{E(x) = 2 \int_{0}^{1} \left[\frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{1}}\)

\(\displaystyle{E(x) = 2 \cdot \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{3}\right) = \frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{E(x) = \frac{1}{3}}\)

Aplicación en Rstudio

integrate(function(x) 2*(1-x)*x,0,1)

## 0.3333333 with absolute error < 3.7e-15

Valor esperado de una función de variable aleatoria

En general el valor esperado de la función \(g(x)\) de una variable aleatoria \(X\) está dado por:

\[\begin{equation} E\left[g(x)\right] = \sum_{x} g(x)\cdot p(x) \quad \longrightarrow \quad \text{si X es una variable discreta} \end{equation}\]

\[\begin{equation} E\left[g(x)\right] = \int_{-\infty}^{\infty} g(x)\cdot f(x) dx \quad \longrightarrow \quad \text{si X es una variable continua} \end{equation}\]

en donde \(p(x)\) y \(f(x)\) son la función de probabilidad y densidad de probabilidad de \(X\), respectivamente.

Propiedades del valor esperado

1. \(E(c)=c\) donde \(c\) es una constante

2. \(E(aX + b)= aE(X)+b\) donde \(a\) y \(b\) son constantes

3. \(E[g(X)+h(X)]=E[g(X)]+E[h(X)]\) donde \(g(X)\) y \(h(X)\) son funciones de la variable aleatoria \(X\).

Varianza de una variable aleatoria

\[\begin{equation} V(X)= E(X -\mu)^2 \end{equation}\]

\[\begin{equation} V(X) = \sum_{x} (x - \mu)^2 p(x) \quad \longrightarrow \quad \text{si X es una variable discreta} \end{equation}\]

\[\begin{equation} V(X) = \int_{-\infty}^{\infty} (x- \mu)^2 f(x) dx \quad \longrightarrow \quad \text{si X es una variable continua} \end{equation}\]

Propiedad del valor esperado

\(V(X) = E(X - \mu)^2= E(X^2-2X\mu +\mu ^2) = E(X^2) -2\mu E(X) + E(\mu ^2)\)

\(V(X) = E(X^2) - 2\mu \cdot \mu + \mu ^2 = E(X^2) - \mu ^2\)

Ejemplo con variable aleatoria discreta

Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de clientes que llega a una tienda en un periodo de una hora. Dada la siguiente información.

\(V(X) = E(X^2) - \mu ^2\)

\(E(x) = \mu = 4\)

Calculo de \(E(X^2)\)

x<-c(0,1,2,3,4,5,6,7,8)
prob.x<-c(0.05,0.10,0.10,0.10,0.20,0.25,0.10,0.05,0.05)
EX2<-sum((x^2)*prob.x)
EX2

## [1] 20.1

Por lo tanto \(E(X^2) = 20.1\)

Luego:

var <- sum((x - v.e) ^ 2 * prob.x)
var

## [1] 4.1

o también podríamos calcularlo de la siguiente forma:

var <- EX2-(v.e)^2
var

## [1] 4.1

que es lo mismo a decir:

\[V(X) = 20.1 - 4^2 = 4.1\]

Para calcular la probabilidad acumulada tendríamos que aplicar el siguiente calculo:

prob.acum.x <- c(sum(prob.x[1]), sum(prob.x[1:2]), sum(prob.x[1:3]),
                 sum(prob.x[1:4]), sum(prob.x[1:5]), sum(prob.x[1:6]),
                 sum(prob.x[1:7]), sum(prob.x[1:8]), sum(prob.x[1:9]))

Veamos en nuestro resumen de la tabla:

tabla <- data.frame(1:9, x, prob.x, prob.acum.x, x * prob.x, (x - v.e) ^ 2, (x - v.e) ^ 2 * prob.x)

colnames(tabla) <- c("i","x", "prob.x", "prob.acum.x", "x.prob.x", "x-v.e^2", "x-v.e^2prob.x")
knitr::kable(tabla)

Para visualizar la gráfica de barra de la variable aleatoria x con respecto a su probabilidad

Escribimos en Rstudio la función barplot

barplot(height = tabla$prob.x, names.arg = tabla$x, col="#b00b69" )

Si queremos Visualizar la gráfica de la probabilidad acumulada F(x)

plot(x,prob.acum.x, type = 'b',col="#8d349b")

Ejemplo con variable aleatoria continua

La función de densidad de probabilidad de una variable aleatoria \(X\) está dada por:

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} 2(1-x) & 0<x<1 \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right.\]

\(V(X) = E(X^2) - \mu ^2\)

\(\displaystyle{E(x) = \int_{-\infty}^{\infty} xf(x) dx}\)

\(\displaystyle{E(X^2) = \int_{-\infty}^{\infty} x^2\cdot [2\cdot (1-x)] dx}\)

\(\displaystyle{E(X^2) = 2 \cdot \int_{0}^{1} (x^2-x^3)dx}\)

\(\displaystyle{E(X^2) = 2 \int_{0}^{1} \left[\frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4}\right]_{0}^{1}}\)

\(\displaystyle{E(X^2) = 2 \cdot \left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right) = \frac{1}{6}}\)

\(E(X) = \mu = \displaystyle{\frac{1}{3}}\)

\(\displaystyle{V(X) = E(X^2) - \mu ^2 =\frac{1}{6} - \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{1}{18}}\)

Aplicación en Rstudio

integrate(function(x) 2*(1-x)*x^2,0,1)

## 0.1666667 with absolute error < 1.9e-15

Resumen

table <- data.frame(1,1/3,1/6, 1/6-(1/3)^2)
colnames(table) <- c("i","E(X)", "E(X2)", "V(X)")
knitr::kable(table)

Ejercicios

1. Supóngase que la duración en minutos de una llamada de negocios, es una variable aleatoria cuya función de densidad de probabilidad está determinada.

\[f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{4}exp(-x/4) & x>0, \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right.\]

Determinar:

1. \(E(X)\)

2. \(Var(X)\)

2. Sea \(X\) una variable aleatoria con media \(\mu\) y varianza \(\sigma ^2\).

1. Evaluar \(E(X-c)^2\) en términos de \(\mu\) y \(\sigma ^2\) en donde \(c\) es una constante.

2. ¿Para qué valor de \(c\) es \(E(X-c)^2\) mínimo?

Distribuciones de Probabilidad

1. Distribuciones discretas
   • Distribución Binomial
   • Distribución Hipergeométrica
   • Distribución de Poisson

2. Distribuciones Continuas
   • Distribución uniforme
   • Distribución Normal

Distribución Binomial

Supóngase un experimento donde los resultados posibles son: la ocurrencia (éxito) o no ocurrencia (fracaso) de un evento. Sea \(p\) la probabilidad de éxito cada vez que el experimento se lleva a cabo. El experimento se realiza \(𝒏\) veces, y cada uno es independiente a los demás. Sea \(X\) la variable aleatoria que representa el número de éxitos en \(𝒏\) ensayos.

Definición. Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de éxitos en \(n\) ensayos y \(p\) la probabilidad de éxito con cualquiera de éstos. Se dice entonces que \(X\) tiene una distribución binomial con función de probabilidad:

\[\begin{equation} P(X=x)= \left\{\begin{matrix} \frac{n!}{(n-x)!x!}p^x (1-p)^x & x=0,1,2,3,\cdots, n\\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right. \end{equation}\]

Tengamos en cuenta que \(\displaystyle{nCx = \frac{n!}{(n-x)!x!}}\)

Además se demostrar que \(E(x) = n\cdot p\) y \(V(x) = n\cdot p \cdot (1-p)\)

Ejericicios

1- Todos los días se seleccionan, de manera aleatoria, 15 unidades de un proceso de manufactura con el propósito de verificar el porcentaje de unidades defectuosas en la producción. Con base en información pasada, la probabilidad de tener una unidad defectuosa es de 0.05. La gerencia ha decidido detener la producción cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o más defectuosas. ¿Cuál es la probabilidad de que, en cualquier día, la producción se detenga?

2- Sea \(X\) una variable aleatoria distribuida binomialmente con \(n = 10\) y \(p = 0.5\)

a- Determinar las probabilidades de que $X$ se encuentre dentro de una desviación estándar de la media y a dos desviaciones estándares de la media.

3- En una fábrica de circuitos electrónicos, se afirma que la proporción de unidades defectuosas de cierto componente que ésta produce, es del \(5\%\). Un buen comprador de estos componentes revisa 15 unidades seleccionadas al azar y encuentra cuatro defectuosas. Si la compañia se encuentra en locorrecto y prevalecen las supociones para que la distribución binomial sea el modelo de probabilidad adecuado para esta situación. ¿Cuál es la probabilidad de este hecho?. Con base en el resultado anterior ¿Puede concluirse que la compañia está equivocada?

Distribución Hipergeométrica

Definición. Sea \(N\) el número total de objetos en una población finita, de manera tal que \(k\) de éstos es de un tipo y \(N-k\) de otros. Si se selecciona un muestra aleatoria “sin reemplazo” constituida por 𝒏 objetos. La probabilidad de que 𝒙 sea de un tipo exactamente y \(n-x\) sea del otro está dada por la función:

\[\begin{equation} P(X=x) = \left\{\begin{matrix} \frac{\binom{k}{x} \binom{N-k}{n-x}}{\binom{N}{n}} & x=0,1,2,\cdots, n\\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right. \end{equation}\]

• Donde \(\displaystyle{kCx = \binom{k}{x}}\).

• Además se puede demostrar que \(\displaystyle{E(X)= \frac{nk}{N}}\) y \(\displaystyle{V(X) = np(1-p)\frac{(N-n)}{N-1}}\)

Ejercicios

1- Considérese un fabricante de automóviles que compra los motores a una compañia donde se fabrican bajo estrictas especificaciones. El fabricante recibe un lote de 40 motores. Su plan para aceptar el lote consiste en seleccionar ocho, de manera aleatoria, y someterlos a prueba. Si encuentra que ninguno de los motores presenta serios defectos, el fabricante acepta el lote; de otra forma lo rechaza. Si el lote contiene dos motores con serios defectos, ¿Cuál es la probabilidad de que sea aceptado?

2- El Departamento de Protección del Ambiente ha adquirido 40 instrumentos de precisión para medir la contaminación del aire en distintas localidades. Se seleccionan aleatoriamente ocho instrumentos y se someten a una prueba para encontrar defectos. Si cuatro de los 40 instrumentos se encuentran defectuosos, ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra contenga no más de un instrumento defectuoso?

Distribución de Poisson

Definición. Sea \(X\) una variable aleatoria que representa el número de eventos aleatorios independientes que ocurren a una rapidez constante sobre el tiempo o el espacio. Se dice entonces que la variable aleatoria \(X\) tiene una distribución de Poisson con función de probabilidad.

\[\begin{equation} P(X=x) = \left\{\begin{matrix} \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!} & x=0,1,2,\cdots\\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right. \end{equation}\]

• Además se puede demostrar que \(E(X) =\lambda\) y \(V(X) = \lambda\)

Ejercicios

1- Después de una prueba de laboratorio muy rigurosa con cierto componente eléctrico, el fabricante determina que en promedio, sólo fallarán dos componentes antes de tener 1000 horas de operación. Un comprador observa que son cinco los que fallan antes de las 1000 horas. Si el número de componentes que fallan es una variable aleatoria de Poisson, ¿existe suficiente evidencia para dudar de la conclusión del fabricante?

2- Para un volumen fijo, el número de células sanguíneas rojas es una variable aleatoria que se presenta con una frecuencia constante. Si el número promedio para un volumn dado es de nueve células para personas normales, determinar la probabilidad de que el número de célular rojas para una persona se encuentra dentro de una desviación estándar del valor promedio y a dos desviaciones estándar del promedio

Distribución Uniforme

Definición. Se dice que una variable aleatoria \(X\) está distribuida uniformemente sobre el intervalo \((a,b)\) si su función de densidad de probabilidad está dada por:

\[\begin{equation} f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{b-a} & a \leq x \leq b \\ 0 & \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right. \end{equation}\]

\[\displaystyle{E(X) = \mu =\frac{a+b}{2}}\]

\[\sigma^2 = \displaystyle{\frac{(b-a)^2}{12}}\]

Ejercicios

1. Sea \(X\) una variable aleatoria con distribución uniforme sobre el intervalo \((a,b)\). Si \(E(X) = 10\) y \(Var(X)=12\), encontrar los valores de \(a\) y de \(b\).

2. Supóngase la concentración de cierto contaminante se encuentra distribuida de una manera uniforme en elintervalo de 4 a 20 ppm (partes por millón). Si se considera como tóxica una concentración de 15 ppm o más, ¿cuál es la probabilidad de que al tomarse una muestra la concentración de ésta sea tóxica?

Distribución Normal \(N(\mu, \sigma ^2)\)

Definición. Se dice que una variable aleatoria \(X\) está distribuida normalmente si su función de densidad de probabilidad está dada por:

\[\begin{equation} f(x) = \left\{\begin{matrix} \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma} e^{\frac{1}{2}\left(\frac{x - \mu}{\sigma} \right )^2} & -\infty \leq x \leq \infty \\ 0& \text{para cualquier otro valor} \end{matrix}\right. \end{equation}\]

• Además se puede demostrar que \(E(X) = \mu\) y \(V(X) = \sigma ^2\)

• \(\mu\) es la media de la distribución

• \(\sigma\) es la desviación estándar \((\sigma > 0)\)

• Para estandarizar la distribución Normal consiste en transformar la variable \(N(\mu, \sigma)\) en \(N(0,1)\), es decir:

\[Z = \frac{X- \mu}{\sigma} \sim N(0,1)\]

1- Dada una distribución normal estándar, calcule el área bajo la curva que se localiza

a- A la derecha de \(z =1.84\)

1-pnorm(1.84)

## [1] 0.03288412

b- entre \(z = –1.97\) y \(z =0.86.\)

pnorm(0.86)-pnorm(-1.97)

## [1] 0.7806863

Ejercicios

1- Sea \(X \sim N(200,20)\). Determinar las siguientes probabilidades.

1. \(P (185<X<210)\)

pnorm(210,mean = 200,sd=20,lower.tail = TRUE)-pnorm(185,mean = 200,sd=20,lower.tail = TRUE)

## [1] 0.4648351

La función dnorm nos ayudará a construir el gráfico de la distribución de probabilidad de \(X\) con la ayuda del comando curve

2. \(P(215 < X<250)\)

3. \(P(X>240)\)

pnorm(240,mean = 200,sd=20,lower.tail = TRUE)

## [1] 0.9772499

4. \(P(X>178)\)

2- Una universidad espera recibir, para el siguiente año escolar, 16000 solicitudes de ingreso al primer año de licenciatura. Se supone que las calificaciones obtenidas por los aspirantes en prueba SAT se pueden calcular, de manera adecuada, por una distribución normal con media 950 y desviación estándar 100. Si la universidad decide admitir al \(25\%\) de todos los aspirantes que obtengan las calificaciones más altas en la prueba SAT, ¿cuál es la mínima calificación que es necesario obtener en esta prueba, para ser admitido por la universidad?

Poblaciones y Muestras

• Una población consta de la totalidad de las observaciones en las que estamos interesados.

• Una muestra es un subconjunto de una población.

Muestra aleatoria

Sea \(X_1\), \(X_2\),\(\cdots\), \(X_n\) variables aleatorias independientes \(n\), cada una con la misma distribución de probabilidad \(f(x)\). Definimos \(X_1\), \(X_2\),\(\cdots\), \(X_n\) como una muestra aleatoria de tamaño \(n\) de la población \(f(x)\) y escribimos su distribución de probabilidad conjunta como:

\[\begin{equation} f(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}) = f(x_1)f(x_2)\cdots f(x_{n}) \end{equation}\]

Estadísticos

Cualquier función de las variables aleatorias que forman una muestra aleatoria se llama Estadístico.

1. Media muestral:

\[\begin{equation} \overline{X} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} x_{i} \end{equation}\]

2. Mediana muestral

\[\begin{equation} \widetilde{X}= \left\{\begin{matrix} x_{\frac{(n+1)}{2}} & \text{si n es impar}\\ \frac{1}{2} \left(x_{\frac{n}{2}} + x_{\frac{n}{2}+1} \right )& \text{si n es par} \end{matrix}\right. \end{equation}\]

3. La moda muestral es el valor que ocurre con mayor frecuencia en la muestra

4. La varianza muestral

\[\begin{equation} S^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} \left(X_{i} - \overline{X} \right)^2 \end{equation}\]

5. Desviación estándar muestral

\[\begin{equation} S = \sqrt{S^2} \end{equation}\]

Ejercicios

Distribuciones muestrales

La distribución de probabilidad de un estadístico se denomina distribución muestral.

La distribución muestral de un estadístico depende de la distribución de la población, del tamaño de las muestras y del metodo de selección de las muestras.

¿Qué es la distribución muestral de \(\overline{X}\) ?

Se deberían considerar las distribuciones muestrales de \(\overline{X}\) y \(S^2\) como los mecanismos a partir de los cuales se puede hacer inferencias acerca de los parámetros \(\mu\) y \(\sigma ^2\). La distribución muestral de \(\overline{X}\) con tamaño muestral \(n\) es la distribución que resulta cuando un experimento se lleva a cabo una y otra vez (siempre muestra de tamaño \(n\)) y resultan los diversos valores de \(\overline{X}\). Por lo tanto, esta distribución muestral describe la variabilidad de los promedios muestrales alrededor de la media de la población \(\mu\).

Teorema de Límite Central

Teorema de límite central: Si \(\overline{X}\) es la media de una muestra aleatoria de tamaño \(n\), tomada de una población con media \(\mu\) y varianza finita \(\sigma ^2\), entonces la forma de la distribución de

\[\begin{equation} Z = \frac{\overline{X} - \mu}{\sigma/ \sqrt{n}} \end{equation}\]

a medida que \(n \to \infty\), es la distribución estándar \(n(z;0,1).\)

Ejemplo

Una empresa de material eléctrico fabrica bombillas que tienen una duración que se distribuye aproximadamente en forma normal, con media de 800 horas y desviación estándar de 40 horas. Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 16 bombillas tenga una vida promedio de menos de 775 horas.

pnorm(775,mean = 800,sd=10,lower.tail = TRUE)

## [1] 0.006209665

curve(dnorm(x, mean = 800, sd = 10), xlim = c(775,840), xlab = "Valores de X", ylab = "Densidad de X", col="blue")

Ejercicios

1- La vida media de una máquina para elaboar pan es de 7 años, con una desviación estándar de 1 año. Suponga que la vida de estas máquinas sigue aproximadamente una distribución normal y calcule.

a- la probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de 9 máquinas de estas caiga entre 6.4 y 7.2 años: `0.6898`

b- el valor de $x$ a la derecha del cual caería $15\%$ de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamaño 9. `7.35`

2- La cantidad de tiempo que le toma al cajero de un banco con servicio en el automóvil atender a un cliente es una variable aleatoria con media de \(\mu = 3.2\) minutos y una desviación estándar \(\sigma =1.6\) minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, calcule la probabilidad de que el tiempo medio que el cliente pasa en la ventanilla del cajero sea

a- a los sumo 2.7 minutos `0.0062`

b- más de 3.5 minutos `0.0668`

c- al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos `0.3413`

Distribución muestra de \(S^2\)

Si \(S^2\) es la varianza de una muestra aleatoria de tamaño \(n\) que se toma de una población normal que tiene la varianza \(\sigma ^2\), entonces el estadístico.

\[\begin{equation} \chi ^2 = \frac{(n-1)S^2}{\sigma ^2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{(X_{i} - \overline{X})^2}{\sigma ^2} \end{equation}\]

tiene una distribución chi cuadrada con \(v=n-1\) grados de libertad.

Ejemplo

1- Suponga que las varianzas muestrales son mediciones continuas. Calcule la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una población normal con varianza \(\sigma ^2 =6\), tenga una varianza muestral \(S^2\).

a- mayor que 9.1

b- entre 3.462 y 10.745

Solución

a- \(P(S^2 > 9.1) = P(\chi ^2 >36.4 ) = 0.05\)

\(\chi ^2 = \displaystyle{\frac{(n-1)S^2}{\sigma ^2} = \frac{(24)(9.1)}{6} = 36.4}\)

b- \(P(3.462<s^2<10.745)= P(13.848<\chi ^2<42.980) = 0.95-0.01 = 0.94\)

Ejercicios

1- Para una distribución chi cuadrada calcule \(\chi_{\alpha}^2\), tal que.

1. \(P(X^2 > \chi_{\alpha}^2) = 0.99\) cuando \(v=4\); 0.297

2. \(P(X^2 > \chi_{\alpha}^2) = 0.025\) cuando \(v=19\); 32.852

3. \(P(37.652<X^2 < \chi_{\alpha}^2) = 0.045\) cuando \(v=25\); 46.928