¿Que es un serie de tiempo?

Cuando una variable se mide secuencialmente en el tiempo a lo largo de un intervalo fijo, conocido como intervalo de muestreo, los datos resultantes forman una serie temporal.

Una serie de tiempo o serie temporal, tiene dos componentes fundamentales: La Tendencia y La Estacionalidad.

Tendencia: se puede identificar una tendencia dentro de una serie temporal como el cambio sistemático que no parece periódico o cíclico.

Estacionalidad: se puede identificar una estacionalidad, como un patrón repetitivo dentro de un periodo de tiempo.

aP<- AirPassengers
aP

##      Jan Feb Mar Apr May Jun Jul Aug Sep Oct Nov Dec
## 1949 112 118 132 129 121 135 148 148 136 119 104 118
## 1950 115 126 141 135 125 149 170 170 158 133 114 140
## 1951 145 150 178 163 172 178 199 199 184 162 146 166
## 1952 171 180 193 181 183 218 230 242 209 191 172 194
## 1953 196 196 236 235 229 243 264 272 237 211 180 201
## 1954 204 188 235 227 234 264 302 293 259 229 203 229
## 1955 242 233 267 269 270 315 364 347 312 274 237 278
## 1956 284 277 317 313 318 374 413 405 355 306 271 306
## 1957 315 301 356 348 355 422 465 467 404 347 305 336
## 1958 340 318 362 348 363 435 491 505 404 359 310 337
## 1959 360 342 406 396 420 472 548 559 463 407 362 405
## 1960 417 391 419 461 472 535 622 606 508 461 390 432

Grafiquemos esta serie temporal y analicemos la tendencia y la estacionalidad. ¿Que podemos concluir?

plot(aP, ylab = "Números de pasajeros")

Se puede “eliminar” o “suprimir” la estacionalidad para ver claramente la tendencia de la serie de tiempo, esto se logra agregando los datos por años. Gráficamente se obtiene lo siguiente:

plot(aggregate(aP))

boxplot(aP ~ cycle(aP))

Descomposición de las series de tiempo

• Notación

  Se representa una serie de tiempo de longitud n por:

  \[\{x_{t}: t=1,....,n\}=\{ x_{1},x_{2},..., x_{n}\}\]

• Modelos

  El modelo mas básico para descomponer una serie de tiempo es conocido como modelo de descomposición aditiva simple:

  \[x_{t}=m_{t}+s_{t}+z_{t}\] donde \(m_{t}\) es la tendencia, \(s_{t}\) es la estacionalidad y \(z_{t}\) es una secuencia de variables aleatorias correlacionadas con media cero.

Descomposición de las series de tiempo

Si la estacionalidad tiende a incrementar conforme incrementa la tendencia, un modelo multiplicativo puede ser apropiado: \[x_{t}=m_{t}*s_{t}+z_{t}\] Si la variación aleatoria es modelada por un factor multiplicativo y la variable es positiva, una transformación de tipo \(log(x_{t})\) puede ser usada:

\[log(x_{t})= m_{t}+s_{t}+z_{t}\] Estimación de tendencias y estacionalidad

Uno de lo métodos mas comunes para estimar la tendencia es de las medias móviles centradas.

• Medias móviles centradas Las medias móviles centradas se caracterizan porque el número de observaciones que entran en su cálculo es impar, asignándose cada media móvil a la observación central.

  \[\hat{m_{t}}= \frac{\frac{1}{2}x_{t-6}+x_{t-5}+...+x_{t-1}+x_{t}+x_{t+1}+...+x_{t+5}+\frac{1}{2}x_{t+6}}{12}\]

  Teniendo estos valores para cada \(t\), es posible estimar el factor estacional de la siguiente manera:

  \[\hat{s_{t}}=x_{t}-\hat{m_{t}}\]

El software R nos puede ayudar fácilmente a descomponer una serie de tiempo (Aditiva, multiplicativa o combinada). Con ayuda de la función decompose nos ayuda a estimar la tendencia y el factor estacional con el método de medias móviles centradas.

plot(decompose(aP))

Referencias Bibliográficas

1. Cowpertwait, P. S., & Metcalfe, A. V. (2009). Introductory time series with R. Springer Science & Business Media.