Komputasi Statistika
~ Pengujian Hipotesis ~
| Kontak | : \(\downarrow\) |
| dsciencelabs@outlook.com | |
| https://www.instagram.com/dsciencelabs/ | |
| RPubs | https://rpubs.com/dsciencelabs/ |
Pengujian Hipotesis
Ada empat kemungkinan untuk membuat keputusan dalam pengujian hipotesis, yaitu:
* Menolak \(H_o\) ketika salah positif (kesalahan tipe I)
* Menerima \(H_0\) ketika benar positif
* Menolak \(H_a\) ketika salah negatif (kesalahan tipe II)
* Menerima \(H_a\) ketika benar negatif
Jika nilai p kecil, itu berarti ada lebih sedikit peluang (kasus langka) yang mendukung \(H_0\) terjadi, karena perbedaan antara nilai sampel dan nilai yang dihipotesiskan sangat besar sehingga \(H_0\) dapat ditolak, jika tidak maka dapat dipertahankan.
One Tailed(Rata-Rata Populasi dan Deviasi Standar)
Hipotesis nol dari uji One-Tail dimana \(\mu_0\) adalah hipotesis batas kiri/kanan dari mean populasi sebenarnya \(\mu\).
Kasus 20
Misalkan pabrikan mengklaim bahwa kecepatan rata-rata sepeda motor lebih dari 100 km/jam. Dalam sampel 30 sepeda motor, ditemukan bahwa mereka hanya bertahan rata-rata 99 km/jam. Asumsikan simpangan baku populasi adalah 1,2 km/jam. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim oleh produsen?
mu0 = 100 # hypothesized value
xbar = 99 # sample mean
sigma = 1.2 # population standard deviation
n = 30 # sample size
z = (xbar-mu0)/(sigma/sqrt(n));z # test statistic ## [1] -4.564355alpha = .05 # .05 significance level
z.alpha = qnorm(1-alpha) # right tail critical value
-z.alpha # left tail critical value ## [1] -1.644854Karena \(\mu_0 >= \mu\), artinya nilai kritis ekor kiri lebih difokuskan. Di sini, ditemukan bahwa statistik uji -4,5644 lebih kecil dari nilai kritis -1,6449. Akibatnya, pada tingkat signifikansi 0,05, kami menolak klaim bahwa rata-rata masa pakai bola lampu di atas 100 km/jam.
Menggunakan fungsi pnorm untuk menghitung ekor kiri p-value dari statistik uji. Karena ternyata kurang dari tingkat signifikansi 0,05, kami menolak hipotesis nol bahwa \(\mu >=100\).
pval = pnorm(z) # left tail p−value
pval # print p−value## [1] 2.505166e-06Latihan 9
Ekor kanan: Sebuah perusahaan makanan berpendapat bahwa untuk setiap kantong kue produk mereka, ada paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Dalam sampel 40 kue, ditemukan bahwa jumlah rata-rata lemak jenuh per kue adalah 2,1 gram. Asumsikan simpangan baku populasi adalah 0,25 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim tersebut?
m = 2
xb = 2.1
sigma = 0.25
n = 40
z1 = (xb-m)/(sigma/sqrt(n))
z1 ## [1] 2.529822alpha = .05
z.alpha = qnorm(1-alpha)
-z.alpha ## [1] -1.644854nilaip = pnorm(z1)
nilaip## [1] 0.994294Two-Tailed (Rata-Rata Populasi dan Standar Deviasi)
Hipotesis nol dari uji rata-rata populasi dua sisi \(\mu\) dan \(\sigma\) dapat diungkapkan sebagai berikut:
\[ \mu_0=\mu \] dimana \(\mu_0\) nilai yang dihipotesiskan dari mean populasi sebenarnya \(\mu\).
Kasus 21
Misalkan berat rata-rata Penguin Raja yang ditemukan di koloni Antartika tahun lalu adalah 15,4 kg. Dalam sampel 35 penguin pada waktu yang sama tahun ini di koloni yang sama, berat penguin rata-rata adalah 14,6 kg. Asumsikan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa berat rata-rata penguin tidak berbeda dari tahun lalu?
mu0 = 15.4 # hypothesized value
xbar = 14.6 # sample mean
sigma = 2.5 # population standard deviation
n = 35 # sample size
z = (xbar-mu0)/(sigma/sqrt(n));z # test statistic ## [1] -1.893146alpha = .05 # .05 significance level
z.half.alpha = qnorm(1-alpha/2) # per-one tail .025 significance level
c(-z.half.alpha, z.half.alpha) # Two-Tailed 0.05 significance level ## [1] -1.959964 1.959964Statistik uji -1,8931 terletak di antara nilai kritis -1,9600 dan 1,9600. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa berat rata-rata penguin tidak berbeda dari tahun lalu.
One-Tailed (Rata-rata Populasi dan Deviasi Standar Tidak Diketahui)
Hipotesis nol dari uji one-tailed dari rata-rata populasi \(\mu\) dan tidak diketahui \(\sigma\) dapat diungkapkan bahwa \(\mu <=\mu_0\) (ekor kiri) dan \(\mu>=\mu_0\) (ekor kanan) dimana \(\mu_0\) adalah hipotesis batas kiri/kanan dari mean populasi sebenarnya \(\mu\).
Kasus 22
Misalkan pabrikan mengklaim bahwa umur rata-rata bola lampu lebih dari 10.000 jam. Dalam sampel 30 bola lampu, ditemukan bahwa mereka hanya bertahan rata-rata 9.900 jam. Asumsikan simpangan baku sampel adalah 125 jam. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim oleh produsen?
mu0 = 10000 # hypothesized value
xbar = 9900 # sample mean
s = 125 # sample standard deviation
n = 30 # sample size
t = (xbar-mu0)/(s/sqrt(n));t # test statistic ## [1] -4.38178alpha = .05 # use 0.05 left tail significant level
t.alpha = qt(1-alpha, df=n-1) # right tail critical value
-t.alpha # left tail critical value ## [1] -1.699127Statistik uji -4,3818 lebih kecil dari nilai kritis -1,6991. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kita dapat menolak klaim bahwa rata-rata masa pakai bola lampu di atas 10.000 jam.
Menggunakan fungsi pt untuk menghitung P-value dari statistik uji. Karena ternyata kurang dari tingkat signifikansi 0.05, hipotesis nol ditolak.
pval = pt(t, df=n-1) # left tail p−value
pval # print p−value## [1] 7.035026e-05Latihan 10
Ekor kanan: Garuda-food Indonesia mengklaim bahwa untuk setiap kantong kue menyatakan produk mereka, ada paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Dalam sampel 40 kue, ditemukan bahwa jumlah rata-rata lemak jenuh per kue adalah 2,1 gram. Asumsikan simpangan baku sampel adalah 0,3 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim tersebut?
xbar = 2.1 # sample mean
mu0 = 2 # hypothesized value
s = 0.3 # sample standard deviation
n = 40 # sample size
t = (xbar-mu0)/(s/sqrt(n))
t # test statistic## [1] 2.108185alpha = .05
t.alpha = qt(1-alpha, df=n-1)
t.alpha # critical value## [1] 1.684875Two-Tailed (Rata-rata Populasi dan Deviasi Standar Tidak Diketahui)
Hipotesis nol dari uji rata-rata populasi dua sisi μ dan tidak diketahui σ dapat diungkapkan sebagai berikut:
\[ \mu_0=\mu$ \]
dimana \(\mu_0\) adalah nilai yang dihipotesiskan dari mean populasi sebenarnya \(\sigma\).
Kasus 23
Beberapa jurnal menyimpulkan bahwa berat rata-rata Anjing Hachiko di seluruh dunia sepuluh tahun terakhir adalah 15,4 kg. Peneliti ingin memastikan apakah ada perubahan bobot rata-rata varietas tersebut setelah sepuluh tahun. Oleh karena itu, mereka mengambil sampel acak 35 Anjing dari varietas yang sama dan pada waktu yang sama tahun ini, mereka menemukan bahwa berat rata-rata penguin adalah 14,6 kg. Asumsikan simpangan baku sampel adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa rata-rata Anjing Hachiko tidak berbeda dari sepuluh tahun terakhir?
mu0 = 15.4 # hypothesized value
xbar = 14.6 # sample mean
s = 2.5 # sample standard deviation
n = 35 # sample size
t = (xbar-mu0)/(s/sqrt(n));t # test statistic ## [1] -1.893146alpha = .05 # .05 significance level
t.half.alpha = qt(1-alpha/2, df=n-1) # per-one tail .025 significance level
c(-t.half.alpha, t.half.alpha) # Two-Tailed 0.05 significance level## [1] -2.032245 2.032245One-Tailed (Proporsi Populasi)
Dalam hipotesis nol dari uji one-tailed tentang proporsi populasi bisa dinyatakan bahwa \(p>=p_0\) (ekor kiri) dan \(p<=p_0\) (ekor kanan) dimana \(p_0\) adalah batas bawah yang dihipotesiskan dari proporsi sebenarnya \(p\).
Kasus 24
Misalkan 60% orang Indonesia memilih dalam pemilu lalu. 85 dari 148 orang dalam survei telepon mengatakan bahwa mereka memilih dalam pemilihan saat ini. Pada tingkat signifikansi 0,5, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa proporsi pemilih dalam populasi di atas 60% untuk pemilu berikutnya?
p0 = .6 # hypothesized value
pbar = 85/148 # sample proportion
n = 148 # sample size
z = (pbar-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n);z # test statistic ## [1] -0.6375983alpha = .05 # use 0.05 left tail significant level
z.alpha = qnorm(1-alpha) # right tail critical value
-z.alpha # left tail critical value## [1] -1.644854Statistik uji -0,6376 tidak kurang dari nilai kritis -1,6449. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa proporsi pemilih dalam populasi di atas 60% untuk pemilu berikutnya.
Menggunakan fungsi pnorm untuk menghitung P-value ekor kiri dari statistik uji. Karena ternyata lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05, hipotesis nol ditolak.
pval = pnorm(z) # left tail p−value
pval ## [1] 0.2618676Menggunakan fungsi prop.test untuk menghitung P-value secara langsung.
prop.test(85, 148, p=.6, alt="less", correct=FALSE) ##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: 85 out of 148, null probability 0.6
## X-squared = 0.40653, df = 1, p-value = 0.2619
## alternative hypothesis: true p is less than 0.6
## 95 percent confidence interval:
## 0.0000000 0.6392527
## sample estimates:
## p
## 0.5743243Latihan 11
Ekor kanan: Misalkan 12% mangga yang dipanen di kebun tahun lalu busuk. 30 dari 214 apel dalam sampel panen tahun ini ternyata busuk. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa proporsi mangga busuk dalam panen tetap di bawah 12% tahun ini?
pbar = 30/214 # sample proportion
p0 = .12 # hypothesized value
n = 214 # sample size
z = (pbar-p0)/sqrt(p0∗(1-p0)/n)
z # test statistic## [1] 0.908751alpha = .05
z.alpha = qnorm(1-alpha)
z.alpha ## [1] 1.644854Statistik uji 0,90875 tidak lebih besar dari nilai kritis 1,6449. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa proporsi apel busuk dalam panen tetap di bawah 12% tahun ini.
pval = pnorm(z, lower.tail=FALSE)
pval # upper tail p−value## [1] 0.1817408prop.test(30, 214, p=.12, alt="greater", correct=FALSE)##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: 30 out of 214, null probability 0.12
## X-squared = 0.82583, df = 1, p-value = 0.1817
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.12
## 95 percent confidence interval:
## 0.1056274 1.0000000
## sample estimates:
## p
## 0.1401869Two-Tailed (Proporsi Populasi)
Hipotesis nol dari uji two-tailed tentang proporsi populasi dapat dinyatakan sebagai berikut:
\[ p_o=p \] dimana \(p_0\) adalah nilai yang dihipotesiskan dari proporsi populasi sebenarnya \(p\).
Kasus 25
Misalkan lemparan koin menghasilkan 12 kepala dari 20 percobaan. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah seseorang menolak hipotesis nol bahwa lemparan koin itu adil?
p0 = .5 # hypothesized value
pbar = 12/20 # sample proportion
n = 20 # sample size
z = (pbar-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n); z # test statistic ## [1] 0.8944272alpha = .05 # .05 significance level
z.half.alpha = qnorm(1-alpha/2) # per-one tail .025 significance level
c(-z.half.alpha, z.half.alpha) # Two-Tailed 0.05 significance level## [1] -1.959964 1.959964Statistik uji 0,89443 terletak di antara nilai kritis -1,9600 dan 1,9600. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa lemparan koin itu adil.
Menggunakan fungsi pnorm untuk menghitung P-value two-tailed dari statistik uji. P-value kanan karena proporsi sampel lebih besar dari nilai yang dihipotesiskan. Karena ternyata lebih besar dari tingkat signifikansi 0.05, maka hipotesis nol ditolak.
pval = 2 * pnorm(z, lower.tail=FALSE) # right tail
pval # two−tailed p−value ## [1] 0.3710934Menggunakan fungsi prop.test untuk menghitung P-value secara langsung.
prop.test(12, 20, p=0.5, correct=FALSE) ##
## 1-sample proportions test without continuity correction
##
## data: 12 out of 20, null probability 0.5
## X-squared = 0.8, df = 1, p-value = 0.3711
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
## 0.3865815 0.7811935
## sample estimates:
## p
## 0.6Kesalahan Tipe II One-Tailed (Rata-Rata Populasi dan Deviasi Standar)
Dalam uji ekor kiri/kanan dari rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi yang sebenarnya \(\mu\) lebih besar dari nilai hipotetis yang diberikan \(\mu_0\)
Kasus 26
Misalkan pabrikan mengklaim bahwa kecepatan rata-rata sepeda motor lebih dari 100 km/jam. Dalam Asumsikan simpangan baku populasi adalah 1,2 km/jam. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapakah peluang terjadinya kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 30 sepeda motor?
n = 30 # sample size
sigma = 1.2 # population standard deviation
sem = sigma/sqrt(n); sem # standard error ## [1] 0.219089Selanjutnya hitung batas bawah rata-rata sampel yang hipotesis nolnya μ ≥ 10000 tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 100 # hypothetical lower bound
q = qnorm(alpha, mean=mu0, sd=sem); q ## [1] 99.63963Oleh karena itu, selama rata-rata sampel lebih besar dari 99,64 dalam uji hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 99,50, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di atas 99,64, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.
mu = 99.50 # assumed actual mean
pnorm(q, mean=mu, sd=sem, lower.tail=FALSE) ## [1] 0.261957Latihan 12
Dengan asumsi yang sama seperti kasus 26, jika kecepatan rata-rata sepeda motor sebenarnya adalah 9.965 jam, berapakah peluang kesalahan tipe II pada tingkat signifikansi .05? Apa kekuatan uji hipotesis?
Latihan 13
Ekor kanan: Garuda-food Indonesia mengklaim bahwa untuk setiap kantong kue menyatakan produk mereka, ada paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Asumsikan jumlah rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,075 gram dan simpangan baku sampel adalah 0,25 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 cookie?
n = 35 # sample
sigma = 0.25
sem = sigma/sqrt(n); sem## [1] 0.04225771Menghitung batas atas rata-rata sampel dimana hipotesis nol tidak akan ditolak.
alpha = .05
muu = 2
tk = qnorm(alpha, mean=muu, sd=sem, lower.tail=FALSE); tk## [1] 2.069508Oleh karena itu, selama rata-rata sampel kurang dari 2.069508 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 2,075, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di bawah 2.069508, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.
muu = 2.075
pnorm(tk, mean=muu, sd=sem)## [1] 0.448295Kesalahan Tipe II dalam Two-Tailed (rata-rata populasi dan deviasi standar)
Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya μ sebenarnya berbeda dari \(\mu_0\).
Kasus 27
Beberapa jurnal menyimpulkan bahwa berat rata-rata Anjing Hachiko di seluruh dunia sepuluh tahun terakhir adalah 15,4 kg. Peneliti ingin memastikan apakah ada perubahan bobot rata-rata varietas tersebut setelah sepuluh tahun. Asumsikan rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 15,1 kg, dan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 Anjing Hachiko?
n = 35 # sample size
sigma = 2.5 # population standard deviation
sem = sigma/sqrt(n); sem # standard error ## [1] 0.4225771Selanjutnya, hitung batas kiri dan kanan sampel mean yang hipotesis nolnya μ = 15.4 tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 15.4 # hypothetical mean
I = c(alpha/2, 1-alpha/2)
q = qnorm(I, mean=mu0, sd=sem); q ## [1] 14.57176 16.22824Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 14,572 dan 16,228 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak.
mu = 15.1 # assumed actual mean
p = pnorm(q, mean=mu, sd=sem); p ## [1] 0.1056435 0.9962062Akhirnya, probabilitas kesalahan tipe II adalah probabilitas antara dua titik akhir.
diff(p) # p[2]-p[1] ## [1] 0.8905627Latihan 14
Dengan asumsi yang sama seperti kasus 27, jika rata-rata berat populasi aktual adalah 14,9 kg, berapakah peluang kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?
n = 35 # sample size
sigma = 2.5 # population standard deviation
sem = sigma/sqrt(n); sem # standard error ## [1] 0.4225771Kemudian menghitung batas bawah dan atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya = 15.4 tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 15.4 # hypothetical mean
I = c(alpha/2, 1-alpha/2)
q = qnorm(I, mean=mu0, sd=sem); q ## [1] 14.57176 16.22824Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 15 dan 16 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 14.9, maka hipotesis nol ditolak.
Kesalahan Tipe II One-Tailed (Rata-rata populasi dan deviasi standar tidak diketahui)
Dalam uji ekor kiri/kanan dari rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi yang sebenarnya μ lebih besar dari nilai hipotetis yang diberikan \(\mu_0\).
Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya μ sebenarnya kurang dari \(\mu_0\).
Kasus 28
Misalkan pabrikan mengklaim bahwa kecepatan rata-rata sepeda motor lebih dari 100 km/jam. Asumsikan rata-rata umur bohlam lampu adalah 99,50 jam dan simpangan baku umurnya adalah 1,25 jam. Berapa probabilitas kesalahan tipe II untuk uji hipotesis pada tingkat signifikansi 0,05?
n = 30 # sample size
s = 1.25 # sample standard deviation
SE = s/sqrt(n); SE # standard error estimate ## [1] 0.2282177Selanjutnya hitung batas kiri rata-rata sampel yang hipotesis nolnya μ ≥ 10000 tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 100 # hypothetical lower bound
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1) * SE; q ## [1] 99.61223Oleh karena itu, selama rata-rata sampel lebih besar dari 99,612 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 99,50, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di atas 99,612, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.
mu = 99.50 # assumed actual mean
pt((q - mu)/SE, df=n-1, lower.tail=FALSE)## [1] 0.3132943Jika kecepatan sepeda motor ukuran sampel adalah 30, simpangan baku sampel adalah 1,25 jam dan rata-rata umur lampu sebenarnya adalah 9.950 jam, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol μ ≥ 10000 pada taraf signifikansi 0,05 adalah 31,3%, dan kekuatan uji hipotesis adalah 68,7%.
Latihan 15
Dengan asumsi yang sama seperti di atas, jika umur rata-rata bola lampu sebenarnya adalah 9.965 jam, berapakah peluang terjadinya kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?
n = 30 # sample size
s = 1.25 # sample standard deviation
SE = s/sqrt(n); SE # standard error estimate ## [1] 0.2282177Selanjutnya hitung batas kiri rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ≥10000\) tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 100 # hypothetical lower bound
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1) * SE; q ## [1] 99.61223Oleh karena itu, selama rata-rata sampel lebih besar dari 99,612 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 99,50, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di atas 99,612, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.
mu = 9.965 # assumed actual mean
pt((q - mu)/SE, df=n-1, lower.tail=FALSE)## [1] 6.889006e-56Kasus 29
Garuda-food Indonesia mengklaim bahwa untuk setiap bungkus kue yang diproduksinya, terdapat paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Asumsikan jumlah rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,09 gram dan simpangan baku sampel adalah 0,3 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 cookie?
n = 35 # sample size
s = 0.3 # sample standard deviation
SE = s/sqrt(n); SE # standard error estimate ## [1] 0.05070926Kami selanjutnya menghitung batas atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya μ ≤ 2 tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 2 # hypothetical upper bound
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1, lower.tail=FALSE) * SE; q ## [1] 2.085746Oleh karena itu, selama rata-rata sampel kurang dari 2,0857 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 2,09, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di bawah 2,0857, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.
mu = 2.09 # assumed actual mean
pt((q - mu)/SE, df=n-1) ## [1] 0.4668141Jika ukuran sampel kue adalah 35, standar deviasi sampel lemak jenuh per kue adalah 0,3 gram dan jumlah rata-rata sebenarnya dari lemak jenuh per kue adalah 2,09 gram, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol μ ≤ 2 pada taraf signifikansi 0,05 sebesar 46,7%, dan daya uji hipotesis sebesar 53,3%.
Latihan 16
Di bawah asumsi yang sama seperti kasus 29, jika rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,075 gram, berapa probabilitas kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?
n = 35 # sample size
s = 0.3 # sample standard deviation
SE = s/sqrt(n); SE # standard error estimate ## [1] 0.05070926Kemudian menghitung batas atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya μ≤2 tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 2 # hypothetical upper bound
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1, lower.tail=FALSE) * SE; q## [1] 2.085746Oleh karena itu, selama rata-rata sampel kurang dari 2,1 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 2,09, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di bawah 2,1 , dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.
mu = 2.075 # assumed actual mean
pt((q - mu)/SE, df=n-1) ## [1] 0.5832766Jika ukuran sampel kue adalah 35, standar deviasi sampel lemak jenuh per kue adalah 0,3 gram dan jumlah rata-rata sebenarnya dari lemak jenuh per kue adalah 2,075 gram, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol \(μ≤2\) pada taraf signifikansi 0,05 sebesar 58%, dan daya uji hipotesis sebesar 42%.
Kesalahan Tipe II pada Dua Sisi (Rata-rata populasi dan deviasi standar tidak diketahui)
Dalam uji dua sisi rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi sebenarnya μ sama dengan nilai hipotetis yang diberikan \(\mu_0\).
\[ \mu_0 = \mu \]
Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya μ sebenarnya berbeda dari \(\mu_0\).
Kasus 30
Beberapa jurnal menyimpulkan bahwa berat rata-rata Anjing Hachiko di seluruh dunia sepuluh tahun terakhir adalah 15,4 kg. Peneliti ingin memastikan apakah ada perubahan bobot rata-rata varietas tersebut setelah sepuluh tahun. Asumsikan rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 15,1 kg, dan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 Anjing Hachiko?
n = 35 # sample size
s = 2.5 # sample standard deviation
SE = s/sqrt(n); SE # standard error estimate ## [1] 0.4225771Selanjutnya menghitung batas bawah dan atas rata-rata sampel yang dihipotesis nolnya \(\mu =15.4\) tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 15.4 # hypothetical mean
I = c(alpha/2, 1-alpha/2)
q = mu0 + qt(I, df=n-1) * SE; q ## [1] 14.54122 16.25878Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 14,541 dan 16,259 dalam uji hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 15,1, kita dapat menghitung probabilitas ekor bawah dari kedua titik akhir.
mu = 15.1 # assumed actual mean
p = pt((q - mu)/SE, df=n-1); p ## [1] 0.09744507 0.99516802Akhirnya, probabilitas kesalahan tipe II adalah probabilitas antara dua titik akhir.
diff(p) # p[2]-p[1] ## [1] 0.8977229Latihan 17
Dengan asumsi yang sama seperti di atas, jika rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 14,9 kg, berapakah peluang kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?
n = 35 # sample size
s = 2.5 # sample standard deviation
SE = s/sqrt(n); SE # standard error estimate ## [1] 0.4225771Kemudian menghitung batas bawah dan atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ=15.4\) tidak akan ditolak.
alpha = .05 # significance level
mu0 = 15.4 # hypothetical mean
I = c(alpha/2, 1-alpha/2)
q = mu0 + qt(I, df=n-1) * SE; q ## [1] 14.54122 16.25878Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 14,541 dan 16,259 dalam uji hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 15,1, kita dapat menghitung probabilitas ekor bawah dari kedua titik akhir.
mu = 14.9 # assumed actual mean
p = pt((q - mu)/SE, df=n-1); p ## [1] 0.2009020 0.9985729Akhirnya, probabilitas kesalahan tipe II adalah probabilitas antara dua titik akhir.
diff(p) # p[2]-p[1] ## [1] 0.797671