Email             :
RPubs            : https://rpubs.com/brigitatiaraem/
Jurusan          : Statistika
Address         : ARA Center, Matana University Tower
                         Jl. CBD Barat Kav, RT.1, Curug Sangereng, Kelapa Dua, Tangerang, Banten 15810.

Pengujian hipotesis merupakan (mengasmsikan suatu pernyataan) sebuah langkah atau prosedur yang digunakan untuk menguji suatu pernyataan secara statistik dan digunakan untuk menarik kesimpulan apakah pernyataan tersebut dapat diterima atau ditolak. Dalam hal ini pengambilan keputusan dapat menimbulkan risiko.

  • Uji Ekor Kiri: ketika \(\bar{x}\) secara signifikan di bawah rata-rata populasi yang dihipotesiskan \(µ_0\) kemudian \(H_0\) akan ditolak dan pengujian yang digunakan adalah uji arah kiri (lower tailed test) sejak daerah kritis (menunjukkan penolakan \(H_0\)) akan berada di ekor kiri kurva normal (mewakili distribusi sampling statistik sampel \(\bar{x}\)).

  • Uji Ekor Kanan: ketika \(\bar{x}\) secara signifikan di atas rata-rata populasi yang dihipotesiskan \(µ_0\) kemudian \(H_0\) akan ditolak dan pengujian yang digunakan adalah uji arah kanan (upper tailed test) sejak daerah kritis (menunjukkan penolakan terhadap \(H_0\) akan berada di ekor kanan kurva normal (mewakili distribusi sampel statistik sampel \(\bar{x}\)).

  • ketika \(\bar{x}\) berbeda secara signifikan (secara signifikan lebih tinggi atau lebih rendah dari) dari rata-rata populasi hipotesis \(µ_0\) kemudian \(H_0\) akan akan ditolak. Dalam hal ini, uji dua arah akan diterapkan karena akan ada dua daerah kritis (menunjukkan penolakan terhadap \(H_0\) ) pada kedua ekor kurva normal (mewakili distribusi sampling dari statistik sampel \(\bar{x}\)).

Daerah kritis untuk Hypothesis Test ingditunjukkan sebagai bagian yang diarsir pada gambar berikut:

Ada empat kemungkinan untuk membuat keputusan:

  • Menolak \(H_0\) ketika itu salah Positif
  • Menerima \(H_0\) ketika itu benar Positif
  • Menolak \(H_a\) ketika itu salah Negatif
  • Menerima \(H_a\) ketika itu benar Negatif

Jelas, yang pertama menolak hipotesis nol ketika itu positif palsu, yang disebut kesalahan tipe I. Probabilitas melakukan kesalahan tipe I dilambangkan dengan \(α\). Dapat dikatakan sebagai pernyataan pesimis sehingga menolak \(H_0\). Pada Type I berfokus pada alpha \(α\) sebesar 5%.

\(P(kesalahan tipe I)=P()Menolak (H_0|H_α) adalah positif palsu\)

Yang kedua menolak hipotesis alternatif ketika itu negatif palsu, yang disebut kesalahan tipe II. Probabilitas melakukan kesalahan tipe II dilambangkan dengan \(β\). Dapat dikatakan sebagai pernyataan yang optimis ( dengan berpikir negatif maupun positif tetapi yang dijadikan pernyataan utama adalah pernyataan yang positif) sehingga menerima \(H_0\). Pada Type II berfokus pada beta \(β\) sebesar \(1-α\) sebesar 95%.

\(P(kesalahan tipe II)=P()Menolak(H_a|H_β) adalah negatif palsu\)

Dengan membandingkan nilai pengamatan statistik Uji dengan nilai kritis, kita dapat mengidentifikasi apakah nilai pengamatan terletak di daerah kritis (tolak \(H_0\)) atau di wilayah penerimaan (jangan ditolak \(H_0\)) dan memutuskan sesuai.

  • Uji batas Kiri: Jika \(Z_Crit<−1.645\), lalu tolak \(H_0\) pada tingkat Signifikansi 5% (\(α\) diambil sebagai 5% di sebagian besar situasi analitik).
  • Uji batas Kanan: Jika \(Z_Crit< 1.645\), lalu tolak \(H_0\) pada tingkat Signifikansi 5%.
  • Uji Dua Sisi: Jika \(Z_Crit>1.96\) atau jika \(Z_Crit<−1.96\), lalu tolak \(H_0\) pada Tingkat Signifikansi 5%.

Adapun pendekatan alternatif yaitu ilai probabilitas/prob (nilai-p) untuk mendapatkan nilai statistik sejauh ini atau lebih jauh dari nilai hipotesis jika \(H_0\) adalah benar. Ini menunjukkan seberapa besar kemungkinan hasil yang telah kita amati. Jika nilai \(p\) kecil, itu berarti ada lebih sedikit peluang (kasus langka) yang mendukung \(H_0\) terjadi, karena perbedaan antara nilai sampel dan nilai yang dihipotesiskan sangat besar sehingga \(H_0\) dapat ditolak, jika tidak maka dapat dipertahankan.

Pada critical menggunakan alpha pada sampel dengan menggunakan t-score, sedangkan pada p-value menggunakan beta pada populasi dengan menggunakan z-score.

  • Jika nilai \(-p <α\) : menolak \(H_0\)
  • Jika nilai \(-p ≥α\) : Gagal Menolak \(H_0\) p-pavlue akan dibandingkan dengan tingkat sig. 0.05 / 5%. Jikalebih kecil dari alpha maka berada pada daerha penolakan.

Prosedur untuk Menemukan Nilai-P:

Jadi, dapat disebutkan bahwa tingkat signifikansi \(α\) adalah ambang batas maksimum untuk nilai-p. Perlu dicatat bahwa nilai p (uji dua sisi) = 2* nilai p (uji satu sisi).

1 SATU SISI (RATA-RATA POPULASI DAN STANDAR DEVIASI)

Hipotesis nol dari uji one tail (kiri/kanan) dari rata-rata populasi \(μ\) dan \(σ\) dapat diungkapkan sebagai berikut:

di mana \(μ_0\) adalah hipotesis batas kiri/kanan dari mean populasi sebenarnya \(μ\).

Kemudian tentukan statistik uji z dalam hal rata-rata sampel, ukuran sampel, dan simpangan baku populasi \(σ\) :

Maka hipotesis nol dari uji ekor kiri harus ditolak jika \(z≤−z_α\), di mana \(z_α\) adalah \(100(1−α)\) persentil dari distribusi normal standar.

Note: Pada penngujian sampel biasanya menggunakan t-score, sedangakn pada pengujian populasi biasanyua menggunakan z-score. Ini lebih baik daripada menggunakan ukuran jumlah data ( >30 atau <30 data).

1.1 KASUS 20

Misalkan pabrikan mensgklaim bahwa kecepatan rata-rata sepeda motor lebih dari 100 km/jam. Dalam sampel 30 sepeda motor, ditemukan bahwa mereka hanya bertahan rata-rata 99 km/jam. Asumsikan simpangan baku populasi adalah 1,2 km/jam. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim oleh produsen?

mu0 = 100             # nilai yang dihipotesiskan 
xbar = 99             # sample mean 
sigma = 1.2           # population standard deviation 
n = 30                # ukuran sample  
z = (xbar-mu0)/(sigma/sqrt(n));z       # test statistic 
## [1] -4.564355
alpha = .05                  # .05 significance level
z.alpha = qnorm(1-alpha)     # nilai kritis batas kanan
-z.alpha                     # nilai kritis batas kiri
## [1] -1.644854

Karena \(μ_0≥μ\), dalam hal ini kita harus fokus pada nilai kritis batas kiri. Di sini, ditemukan bahwa statistik uji -4,5644 lebih kecil dari nilai kritis -1,6449. Akibatnya, pada tingkat signifikansi 0,05, kami menolak klaim bahwa rata-rata kecepatan motor di atas 100 km/jam.

Solusi alternatif: Alih-alih menggunakan nilai kritis, kami menerapkan pnorm fungsi untuk menghitung batas kiri p-value dari statistik uji. Karena ternyata kurang dari tingkat signifikansi 0,05, kami menolak hipotesis nol bahwa μ≥100.

pval = pnorm(z)            # left tail p−value
pval       
## [1] 2.505166e-06

1.2 LATIHAN 9

Batas kanan: Sebuah perusahaan makanan berpendapat bahwa untuk setiap kantong kue produk mereka, ada paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Dalam sampel 40 kue, ditemukan bahwa jumlah rata-rata lemak jenuh per kue adalah 2,1 gram. Asumsikan simpangan baku populasi adalah 0,25 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim tersebut?

m = 2
xb = 2.1
sigma = 0.25
n = 40

z1 = (xb-m)/(sigma/sqrt(n))
z1  
## [1] 2.529822
alpha = .05                                         
z.alpha = qnorm(1-alpha)                            
-z.alpha 
## [1] -1.644854
nilaip = pnorm(z1)                                
nilaip
## [1] 0.994294

2 DUA SISI (RATA-RATA POPULASI DAN STANDAR EDVIASI)

Hipotesis nol dari uji rata-rata populasi dua sisi \(μ\) dan \(σ\) dapat diungkapkan sebagai berikut:

di mana \(μ_0\) adalah nilai yang dihipotesiskan dari mean populasi sebenarnya \(μ\) .

Maka hipotesis nol dari uji dua sisi harus ditolak jika \(z≤−z_α/2\) atau \(z≥z_α/2\), di mana \(z_α/2\) adalah \(100(1−α/2)\) persentil dari distribusi normal standar.

2.1 KASUS 21

Misalkan berat rata-rata Penguin Raja yang ditemukan di koloni Antartika tahun lalu adalah 15,4 kg. Dalam sampel 35 penguin pada waktu yang sama tahun ini di koloni yang sama, berat penguin rata-rata adalah 14,6 kg. Asumsikan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa berat rata-rata penguin tidak berbeda dari tahun lalu?

mu0 = 15.4                   # hypothesized value 
xbar = 14.6                  # sample mean 
sigma = 2.5                  # population standard deviation 
n = 35                       # sample size 
z = (xbar-mu0)/(sigma/sqrt(n));z    # test statistic 
## [1] -1.893146
alpha = .05                       # .05 significance level
z.half.alpha = qnorm(1-alpha/2)   # per-one tail .025 significance level
c(-z.half.alpha, z.half.alpha)    # Two-Tailed 0.05 significance level    
## [1] -1.959964  1.959964

Statistik uji -1,8931 terletak di antara nilai kritis -1,9600 dan 1,9600. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa berat rata-rata penguin tidak berbeda dari tahun lalu.

3 SATU SISI (RATA-RATA POPULASI DAN STANDAR DEVIASI TIDAK DIKETAHUI)

Hipotesis nol dari uji satu sisi (kiri/kanan) dari rata-rata populasi \(μ\) dan tidak diketahui \(σ\) dapat diungkapkan sebagai berikut:

di mana \(μ_0\) adalah hipotesis batas kiri/kanan dari mean populasi sebenarnya \(μ\).

Kemudian tentukan statistik uji \(t\) dalam hal rata-rata sampel, ukuran sampel dan standar deviasi sampel \(s\) :

Maka hipotesis nol dari uji ekor bawah harus ditolak jika \(t≤−t_α\), di mana tα adalah \(100(1−α)\) persentil student-t distribusi dengan \(n−1\) derajat kebebasan.

3.1 KASUS 22

Misalkan pabrikan mengklaim bahwa umur rata-rata bola lampu lebih dari 10.000 jam. Dalam sampel 30 bola lampu, ditemukan bahwa mereka hanya bertahan rata-rata 9.900 jam. Asumsikan simpangan baku sampel adalah 125 jam. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim oleh produsen?

mu0 = 10000           # hypothesized value  
xbar = 9900           # sample mean 
s = 125               # sample standard deviation 
n = 30                # sample size 
t = (xbar-mu0)/(s/sqrt(n));t      # test statistic  
## [1] -4.38178
alpha = .05                    # use 0.05 left tail significant level 
t.alpha = qt(1-alpha, df=n-1)  # right tail critical value    
-t.alpha                       # left tail critical value 
## [1] -1.699127

Statistik uji -4,3818 lebih kecil dari nilai kritis -1,6991. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kita dapat menolak klaim bahwa rata-rata masa pakai bola lampu di atas 10.000 jam.

Solusi Alternatif: Alih-alih menggunakan nilai kritis, kami menerapkan ptfungsi untuk menghitung nilai-p ekor bawah dari statistik uji. Karena ternyata kurang dari tingkat signifikansi 0,05, kami menolak hipotesis nol bahwa \(μ≥10.000\).

pval = pt(t, df=n-1)            # left tail p−value
pval                                                   
## [1] 7.035026e-05

3.2 LATIHAN 10

Batas kanan: Garuda-food Indonesia mengklaim bahwa untuk setiap kantong kue menyatakan produk mereka, ada paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Dalam sampel 40 kue, ditemukan bahwa jumlah rata-rata lemak jenuh per kue adalah 2,1 gram. Asumsikan simpangan baku sampel adalah 0,3 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak klaim tersebut?

xbar = 2.1                    # sample mean 
mu0 = 2                       # hypothesized value 
s = 0.3                       # sample standard deviation 
n = 40                        # sample size 
t = (xbar−mu0)/(s/sqrt(n)) 
t                             # test statistic 
## [1] 2.108185
alpha = .05 
t.alpha = qt(1−alpha, df=n−1) 
t.alpha                       # critical value 
## [1] 1.684875

4 DUA SISI (RATA-RATA POPPULASI DAN STANDAR DEVIASI TIDAK DIKETAHUI)

Hipotesis nol dari uji rata-rata populasi dua sisi μ dan tidak diketahui σ dapat diungkapkan sebagai berikut:

di mana \(μ_0\) adalah nilai yang dihipotesiskan dari mean populasi sebenarnya \(μ\).

Kemudian tentukan statistik uji t dalam hal rata-rata sampel, ukuran sampel dan standar deviasi sampel \(s\):

Maka hipotesis nol dari uji dua sisi harus ditolak jika \(t≤−tα_/2\) atau \(t≥tα_/2\), di mana tα∕2 adalah \(100(1−α)\) persentil student-t distribusi dengan \(n−1\) derajat kebebasan.

4.1 KASUS 23

Beberapa jurnal menyimpulkan bahwa berat rata-rata Anjing Hachiko di seluruh dunia sepuluh tahun terakhir adalah 15,4 kg. Peneliti ingin memastikan apakah ada perubahan bobot rata-rata varietas tersebut setelah sepuluh tahun. Oleh karena itu, mereka mengambil sampel acak 35 Anjing dari varietas yang sama dan pada waktu yang sama tahun ini, mereka menemukan bahwa berat rata-rata penguin adalah 14,6 kg. Asumsikan simpangan baku sampel adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa rata-rata Anjing Hachiko tidak berbeda dari sepuluh tahun terakhir?

mu0 = 15.4                  # hypothesized value 
xbar = 14.6                 # sample mean 
s = 2.5                     # sample standard deviation 
n = 35                      # sample size 
t = (xbar-mu0)/(s/sqrt(n));t   # test statistic 
## [1] -1.893146
alpha = .05                            # .05 significance level
t.half.alpha = qt(1-alpha/2, df=n-1)   # per-one tail .025 significance level
c(-t.half.alpha, t.half.alpha)         # Two-Tailed 0.05 significance level
## [1] -2.032245  2.032245

Statistik uji -1,8931 terletak di antara nilai kritis -2,0322, dan 2,0322. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa rata-rata Anjing Hachiko tidak berbeda dari sepuluh tahun terakhir.

Solusi Alternatif: Alih-alih menggunakan nilai kritis, kami menerapkan ptfungsi untuk menghitung nilai-p dua sisi dari statistik uji. Karena ternyata lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa \(μ=15.4\).

pval = 2*pt(t, df=n-1)            # left tail p−value
pval              
## [1] 0.06687552

5 SATU SISI (PROPORSI POPULASI)

Hipotesis nol dari uji ekor kiri tentang proporsi populasi dapat dinyatakan sebagai berikut:

di mana \(p_0\) adalah batas bawah yang dihipotesiskan dari proporsi populasi sebenarnya \(p\).

Kemudian tentukan statistik uji z dalam hal proporsi sampel dan ukuran sampel:

Maka hipotesis nol dari uji ekor kiri harus ditolak jika \(z≤−z_α\), di mana \(z_α\) adalah \(100(1−α)\) persentil dari distribusi normal standar.

5.1 KASUS 24

Misalkan 60% orang Indonesia memilih dalam pemilu lalu. 85 dari 148 orang dalam survei telepon mengatakan bahwa mereka memilih dalam pemilihan saat ini. Pada tingkat signifikansi 0,5, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa proporsi pemilih dalam populasi di atas 60% untuk pemilu berikutnya?

p0 = .6                   # hypothesized value 
pbar = 85/148             # sample proportion 
n = 148                   # sample size 
z = (pbar-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n);z       # test statistic 
## [1] -0.6375983
alpha = .05                 # use 0.05 left tail significant level 
z.alpha = qnorm(1-alpha)    # right tail critical value  
-z.alpha                    # left tail critical value
## [1] -1.644854

Statistik uji -0,6376 tidak kurang dari nilai kritis -1,6449. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa proporsi pemilih dalam populasi di atas 60% untuk pemilu berikutnya.

Solusi Alternatif 1: Alih-alih menggunakan nilai kritis, kami menerapkan pnormfungsi untuk menghitung nilai-p ekor kiri dari statistik uji. Karena ternyata lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa \(p≥0.6\).

pval = pnorm(z)      # left tail p−value 
pval                   
## [1] 0.2618676

Dengan menerapkan prop.test fungsi untuk menghitung nilai-p secara langsung.

prop.test(85, 148, p=.6, alt="less", correct=FALSE)               
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  85 out of 148, null probability 0.6
## X-squared = 0.40653, df = 1, p-value = 0.2619
## alternative hypothesis: true p is less than 0.6
## 95 percent confidence interval:
##  0.0000000 0.6392527
## sample estimates:
##         p 
## 0.5743243

5.2 LATIHAN 11

Batas kanan: Misalkan 12% mangga yang dipanen di kebun tahun lalu busuk. 30 dari 214 apel dalam sampel panen tahun ini ternyata busuk. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah kita menolak hipotesis nol bahwa proporsi mangga busuk dalam panen tetap di bawah 12% tahun ini?

pbar = 30/214          # sample proportion 
p0 = .12               # hypothesized value 
n = 214                # sample size 
z = (pbar−p0)/sqrt(p0*(1−p0)/n) 
z                      # test statistic
## [1] 0.908751
alpha = .05 
z.alpha = qnorm(1−alpha) 
z.alpha                # critical value
## [1] 1.644854

Statistik uji 0,90875 tidak lebih besar dari nilai kritis 1,6449. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa proporsi apel busuk dalam panen tetap di bawah 12% tahun ini.

Solusi Alternatif

pval = pnorm(z, lower.tail=FALSE) 
pval                   # upper tail p−value
## [1] 0.1817408
prop.test(30, 214, p=.12, alt="greater", correct=FALSE)
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  30 out of 214, null probability 0.12
## X-squared = 0.82583, df = 1, p-value = 0.1817
## alternative hypothesis: true p is greater than 0.12
## 95 percent confidence interval:
##  0.1056274 1.0000000
## sample estimates:
##         p 
## 0.1401869

6 DUA SISI (PROPORSI POPULASI)

Hipotesis nol dari uji dua sisi tentang proporsi populasi dapat dinyatakan sebagai berikut:

\(p_0=p\)

di mana p0 adalah nilai yang dihipotesiskan dari proporsi populasi sebenarnya p. Mari kita definisikan statistik uji z dalam hal proporsi sampel dan ukuran sampel:

Maka hipotesis nol dari uji dua sisi harus ditolak jika \(z≤−zα_/2\) atau \(z≥zα_/2\), di mana \(zα/_2\) adalah \(100(1−α)\) persentil dari distribusi normal standar.

6.1 KASUS 25

Misalkan lemparan koin menghasilkan 12 kepala dari 20 percobaan. Pada tingkat signifikansi 0,05, dapatkah seseorang menolak hipotesis nol bahwa lemparan koin itu adil?

p0 = .5                    # hypothesized value 
pbar = 12/20               # sample proportion 
n = 20                     # sample size 
z = (pbar-p0)/sqrt(p0*(1-p0)/n); z        # test statistic  
## [1] 0.8944272
alpha = .05                     # .05 significance level
z.half.alpha = qnorm(1-alpha/2) # per-one tail .025 significance level
c(-z.half.alpha, z.half.alpha)  # Two-Tailed 0.05 significance level
## [1] -1.959964  1.959964

Statistik uji 0,89443 terletak di antara nilai kritis -1,9600 dan 1,9600. Oleh karena itu, pada tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa lemparan koin itu adil.

Solusi Alternatif 1: Alih-alih menggunakan nilai kritis, kami menerapkan pnormfungsi untuk menghitung nilai-p dua sisi dari statistik uji. Ini menggandakan nilai p ekor kanan karena proporsi sampel lebih besar dari nilai yang dihipotesiskan. Karena ternyata lebih besar dari tingkat signifikansi 0,05, kami tidak menolak hipotesis nol bahwa \(p=0,5\).

pval = 2 * pnorm(z, lower.tail=FALSE)      # right tail 
pval                                       # two−tailed p−value 
## [1] 0.3710934
prop.test(12, 20, p=0.5, correct=FALSE) 
## 
##  1-sample proportions test without continuity correction
## 
## data:  12 out of 20, null probability 0.5
## X-squared = 0.8, df = 1, p-value = 0.3711
## alternative hypothesis: true p is not equal to 0.5
## 95 percent confidence interval:
##  0.3865815 0.7811935
## sample estimates:
##   p 
## 0.6

Kemudian dapat dilihat pada kesalahan tipe II karena kegagalan menolak hipotesis nol yang tidak valid. Probabilitas menghindari kesalahan tipe II disebut kekuatan uji hipotesis, dan dilambangkan dengan kuantitas 1−β. Probabilitas kesalahan tipe II kemudian diturunkan berdasarkan nilai salah hipotetis, sebagai berikut:

7 KESALAHAN TIPE II 1-BATAS (RATA-RATA POPULASI DAN STANDAR DEVIASI)

Dalam uji ekor kiri/kanan dari rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi yang sebenarnya μ lebih besar dari nilai hipotetis yang diberikan μ0.

Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya μ sebenarnya kurang dari μ0.

7.1 KASUS 26

Misalkan pabrikan mengklaim bahwa kecepatan rata-rata sepeda motor lebih dari 100 km/jam. Dalam Asumsikan simpangan baku populasi adalah 1,2 km/jam. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapakah peluang terjadinya kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 30 sepeda motor?

n = 30                     # sample size 
sigma = 1.2                # population standard deviation 
sem = sigma/sqrt(n); sem   # standard error 
## [1] 0.219089

Hitung batas bawah rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ≥10000\) tidak akan ditolak.

alpha = .05                            # significance level 
mu0 = 100                              # hypothetical lower bound 
q = qnorm(alpha, mean=mu0, sd=sem); q 
## [1] 99.63963

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel lebih besar dari 99,64 dalam uji hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 99,50, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di atas 99,64, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.

mu = 99.50                       # assumed actual mean 
pnorm(q, mean=mu, sd=sem, lower.tail=FALSE) 
## [1] 0.261957

Jika ukuran sampel sepeda motor adalah 30, kecepatan rata-rata sepeda motor yang sebenarnya adalah 9.950 jam dan simpangan baku populasinya adalah 120 jam, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol \(μ≥10000\) pada taraf signifikansi 0,05 sebesar 26,2%, dan kekuatan uji hipotesis sebesar 73,8%.

7.2 LATIHAN 12

Dengan asumsi yang sama seperti kasus 26, jika kecepatan rata-rata sepeda motor sebenarnya adalah 9.965 jam, berapakah peluang kesalahan tipe II pada tingkat signifikansi .05? Apa kekuatan uji hipotesis?

7.3 LATIHAN 13

Batas kanan: Garuda-food Indonesia mengklaim bahwa untuk setiap kantong kue menyatakan produk mereka, ada paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Asumsikan jumlah rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,075 gram dan simpangan baku sampel adalah 0,25 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 cookie?

n = 35                # sample size 
sigma = 0.25          # population standard deviation 
sem = sigma/sqrt(n); sem   # standard error 
## [1] 0.04225771

Kami selanjutnya menghitung batas atas rata-rata sampel di mana hipotesis \(μ≤2\) tidak akan ditolak.

alpha = .05           # significance level 
mu0 = 2               # hypothetical upper bound 
q = qnorm(alpha, mean=mu0, sd=sem, lower.tail=FALSE); q 
## [1] 2.069508

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel kurang dari 2,1 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 2,075, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di bawah 2,1, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.

mu = 2.075             # assumed actual mean 
pnorm(q, mean=mu, sd=sem) 
## [1] 0.448295

Jika ukuran sampel kue adalah 35, jumlah rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,075 gram dan simpangan baku populasi adalah 0,25 gram, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis \(μ≤2\) pada tingkat signifikansi 0,05 adalah 45%, dan kekuatan uji hipotesis sebesar 55%.

8 KESALAHAN TIPE II DALAM DUA SISI (RATA-RATA POPULASI DAN STANDAR DEVIASI)

Dalam uji dua sisi rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi sebenarnya \(μ\) sama dengan nilai hipotetis yang diberikan \(μ_0\).

\(μ_0=μ\)

Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya \(μ\) sebenarnya berbeda dari \(μ_0\).

Asumsikan bahwa populasi memiliki standar deviasi yang diketahui σ. Dengan Teorema Limit Pusat, populasi dari semua sarana yang mungkin dari sampel berukuran cukup besar n kira-kira mengikuti distribusi normal. Oleh karena itu kita dapat menghitung kisaran rata-rata sampel yang hipotesis nolnya tidak akan ditolak, dan kemudian memperoleh perkiraan probabilitas kesalahan tipe II.

8.1 KASUS 27

Beberapa jurnal menyimpulkan bahwa berat rata-rata Anjing Hachiko di seluruh dunia sepuluh tahun terakhir adalah 15,4 kg. Peneliti ingin memastikan apakah ada perubahan bobot rata-rata varietas tersebut setelah sepuluh tahun. Asumsikan rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 15,1 kg, dan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 Anjing Hachiko?

n = 35                            # sample size 
sigma = 2.5                       # population standard deviation 
sem = sigma/sqrt(n); sem          # standard error 
## [1] 0.4225771

Kemudian, hitung batas kiri dan kanan sampel mean yang hipotesis nolnya μ=15.4 tidak akan ditolak.

alpha = .05                           # significance level 
mu0 = 15.4                            # hypothetical mean 
I = c(alpha/2, 1-alpha/2) 
q = qnorm(I, mean=mu0, sd=sem); q 
## [1] 14.57176 16.22824

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 14,572 dan 16,228 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 15,1, kita dapat menghitung probabilitas ekor bawah dari kedua titik akhir.

mu = 15.1                            # assumed actual mean 
p = pnorm(q, mean=mu, sd=sem); p 
## [1] 0.1056435 0.9962062

Akhirnya, probabilitas kesalahan tipe II adalah probabilitas antara dua titik akhir.

diff(p)      # p[2]-p[1] 
## [1] 0.8905627

Jika ukuran sampel Anjing Hachiko adalah 35, berat rata-rata populasi sebenarnya adalah 15,1 kg dan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol \(μ=15.4\) pada taraf signifikansi 0,05 adalah 89,1%, dan kekuatan uji hipotesis adalah 10,9%.

8.2 LATIHAN 14

Dengan asumsi yang sama seperti kasus 27, jika rata-rata berat populasi aktual adalah 14,9 kg, berapakah peluang kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?

n = 35                # sample size 
sigma = 2.5           # population standard deviation 
sem = sigma/sqrt(n); sem   # standard error 
## [1] 0.4225771

Kemudian menghitung batas bawah dan atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya = 15.4 tidak akan ditolak.

alpha = .05           # significance level 
mu0 = 15.4            # hypothetical mean 
I = c(alpha/2, 1-alpha/2) 
q = qnorm(I, mean=mu0, sd=sem); q 
## [1] 14.57176 16.22824

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 15 dan 16 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 14.9, maka hipotesis nol ditolak.

9 KESALAHAN TIPE II SATU SISI (RATA-RATA POPULASI DAN STANDAR DEVIASI TIDAK DIKETAHUI)

Dalam uji ekor kiri/kanan dari rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi yang sebenarnya \(μ\) lebih besar dari nilai hipotetis yang diberikan \(μ_0\).

Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya \(μ\) sebenarnya kurang dari \(μ_0\).

Membiarkan \(s\) menjadi standar deviasi sampel. Untuk cukup besar \(n\), populasi statistik berikut dari semua kemungkinan ukuran sampel \(n\) kira-kira seorang student-t distribusi dengan \(n−1\) derajat kebebasan.

Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung kisaran rata-rata sampel yang hipotesis nolnya tidak akan ditolak, dan untuk mendapatkan probabilitas kesalahan tipe II.

9.1 KASUS 28

Misalkan pabrikan mengklaim bahwa kecepatan rata-rata sepeda motor lebih dari 100 km/jam. Asumsikan rata-rata umur bohlam lampu adalah 99,50 jam dan simpangan baku umurnya adalah 1,25 jam. Berapa probabilitas kesalahan tipe II untuk uji hipotesis pada tingkat signifikansi 0,05?

n = 30                         # sample size 
s = 1.25                       # sample standard deviation 
SE = s/sqrt(n); SE             # standard error estimate 
## [1] 0.2282177

Selanjutnya hitung batas kiri rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ≥10000\) tidak akan ditolak.

alpha = .05                           # significance level 
mu0 = 100                             # hypothetical lower bound 
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1) * SE; q 
## [1] 99.61223

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel lebih besar dari 99,612 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 99,50, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di atas 99,612, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.

mu = 99.50                                  # assumed actual mean 
pt((q - mu)/SE, df=n-1, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.3132943

Jika kecepatan sepeda motor ukuran sampel adalah 30, simpangan baku sampel adalah 1,25 jam dan rata-rata umur lampu sebenarnya adalah 9.950 jam, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol \(μ≥10000\) pada taraf signifikansi 0,05 adalah 31,3%, dan kekuatan uji hipotesis adalah 68,7%.

9.2 LATIHAN 15

Dengan asumsi yang sama seperti di atas, jika umur rata-rata bola lampu sebenarnya adalah 9.965 jam, berapakah peluang terjadinya kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?

n = 30                         # sample size 
s = 1.25                       # sample standard deviation 
SE = s/sqrt(n); SE             # standard error estimate 
## [1] 0.2282177

Selanjutnya hitung batas kiri rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ≥10000\) tidak akan ditolak.

alpha = .05                           # significance level 
mu0 = 100                             # hypothetical lower bound 
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1) * SE; q 
## [1] 99.61223

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel lebih besar dari 99,612 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 99,50, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di atas 99,612, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.

mu = 99.65                                  # assumed actual mean 
pt((q - mu)/SE, df=n-1, lower.tail=FALSE)
## [1] 0.5651521

9.3 KASUS 29

Garuda-food Indonesia mengklaim bahwa untuk setiap bungkus kue yang diproduksinya, terdapat paling banyak 2 gram lemak jenuh dalam satu kue. Asumsikan jumlah rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,09 gram dan simpangan baku sampel adalah 0,3 gram. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 cookie?

n = 35                        # sample size 
s = 0.3                       # sample standard deviation 
SE = s/sqrt(n); SE            # standard error estimate 
## [1] 0.05070926

Kemudian menghitung batas atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya μ≤2 tidak akan ditolak.

alpha = .05                     # significance level 
mu0 = 2                         # hypothetical upper bound 
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1, lower.tail=FALSE) * SE; q  
## [1] 2.085746

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel kurang dari 2,0857 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 2,09, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di bawah 2,0857, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.

mu = 2.09                 # assumed actual mean 
pt((q - mu)/SE, df=n-1) 
## [1] 0.4668141

Jika ukuran sampel kue adalah 35, standar deviasi sampel lemak jenuh per kue adalah 0,3 gram dan jumlah rata-rata sebenarnya dari lemak jenuh per kue adalah 2,09 gram, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol μ≤2 pada taraf signifikansi 0,05 sebesar 46,7%, dan daya uji hipotesis sebesar 53,3%.

9.4 LATIHAN 16

Di bawah asumsi yang sama seperti kasus 29, jika rata-rata lemak jenuh sebenarnya per kue adalah 2,075 gram, berapa probabilitas kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?

n = 35                        # sample size 
s = 0.3                       # sample standard deviation 
SE = s/sqrt(n); SE            # standard error estimate 
## [1] 0.05070926

Kemudian menghitung batas atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya μ≤2 tidak akan ditolak.

alpha = .05                     # significance level 
mu0 = 2                         # hypothetical upper bound 
q = mu0 + qt(alpha, df=n-1, lower.tail=FALSE) * SE; q  
## [1] 2.085746

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel kurang dari 2,0857 dalam suatu pengujian hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 2,09, kita dapat menghitung probabilitas rata-rata sampel di bawah 2,0857, dan dengan demikian menemukan probabilitas kesalahan tipe II.

mu = 2.075                 # assumed actual mean 
pt((q - mu)/SE, df=n-1) 
## [1] 0.5832766

Jika ukuran sampel kue adalah 35, standar deviasi sampel lemak jenuh per kue adalah 0,3 gram dan jumlah rata-rata sebenarnya dari lemak jenuh per kue adalah 2,075 gram, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol \(μ≤2\) pada taraf signifikansi 0,05 sebesar 58%, dan daya uji hipotesis sebesar 42%.

10 KESALAHAN TIPE II PADA DUA SISI (RATA-RATA POULASI DAN STANDAR DEVIASI TIDAK DIKETAHUI)

Dalam uji dua sisi rata-rata populasi, hipotesis nol menyatakan bahwa rata-rata populasi sebenarnya \(μ\) sama dengan nilai hipotetis yang diberikan \(μ_0\).

\(μ_0=μ\)

Kesalahan tipe II terjadi jika uji hipotesis berdasarkan sampel acak gagal menolak hipotesis nol bahkan ketika rata-rata populasi sebenarnya \(μ\) sebenarnya berbeda dari \(μ_0\).

Membiarkan s menjadi standar deviasi sampel. Untuk cukup besar \(n\), populasi statistik berikut dari semua kemungkinan ukuran sampel \(n\) kira-kira seorang student-t distribusi dengan \(n−1\) derajat kebebasan.

Hal ini memungkinkan kita untuk menghitung kisaran rata-rata sampel yang hipotesis nolnya tidak akan ditolak, dan untuk mendapatkan probabilitas kesalahan tipe II. Kami mendemonstrasikan prosedur dengan yang berikut:

10.1 KASUS 30

Beberapa jurnal menyimpulkan bahwa berat rata-rata Anjing Hachiko di seluruh dunia sepuluh tahun terakhir adalah 15,4 kg. Peneliti ingin memastikan apakah ada perubahan bobot rata-rata varietas tersebut setelah sepuluh tahun. Asumsikan rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 15,1 kg, dan simpangan baku populasi adalah 2,5 kg. Pada tingkat signifikansi 0,05, berapa probabilitas memiliki kesalahan tipe II untuk ukuran sampel 35 Anjing Hachiko?

n = 35                         # sample size 
s = 2.5                        # sample standard deviation 
SE = s/sqrt(n); SE             # standard error estimate 
## [1] 0.4225771

Kemudian menghitung batas bawah dan atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ=15.4\) tidak akan ditolak.

alpha = .05                        # significance level 
mu0 = 15.4                         # hypothetical mean 
I = c(alpha/2, 1-alpha/2) 
q = mu0 + qt(I, df=n-1) * SE; q 
## [1] 14.54122 16.25878

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 14,541 dan 16,259 dalam uji hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 15,1, kita dapat menghitung probabilitas ekor bawah dari kedua titik akhir.

mu = 15.1                       # assumed actual mean 
p = pt((q - mu)/SE, df=n-1); p 
## [1] 0.09744507 0.99516802

Akhirnya, probabilitas kesalahan tipe II adalah probabilitas antara dua titik akhir.

diff(p)    # p[2]-p[1] 
## [1] 0.8977229

Jika ukuran sampel penguin adalah 35, standar deviasi sampel berat penguin adalah 2,5 kg dan rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 15,1 kg, maka probabilitas kesalahan tipe II untuk menguji hipotesis nol \(μ=15.4\) pada taraf signifikansi 0,05 adalah 89,8%, dan kekuatan uji hipotesis adalah 10,2%.

10.2 LATIHAN 17

Dengan asumsi yang sama seperti di atas, jika rata-rata berat populasi sebenarnya adalah 14,9 kg, berapakah peluang kesalahan tipe II? Apa kekuatan uji hipotesis?

n = 35                         # sample size 
s = 2.5                        # sample standard deviation 
SE = s/sqrt(n); SE             # standard error estimate 
## [1] 0.4225771

Kemudian menghitung batas bawah dan atas rata-rata sampel yang hipotesis nolnya \(μ=15.4\) tidak akan ditolak.

alpha = .05                        # significance level 
mu0 = 15.4                         # hypothetical mean 
I = c(alpha/2, 1-alpha/2) 
q = mu0 + qt(I, df=n-1) * SE; q 
## [1] 14.54122 16.25878

Oleh karena itu, selama rata-rata sampel antara 14,541 dan 16,259 dalam uji hipotesis, hipotesis nol tidak akan ditolak. Karena kita berasumsi bahwa rata-rata populasi sebenarnya adalah 15,1, kita dapat menghitung probabilitas ekor bawah dari kedua titik akhir.

mu = 14.9                      # assumed actual mean 
p = pt((q - mu)/SE, df=n-1); p 
## [1] 0.2009020 0.9985729

Akhirnya, probabilitas kesalahan tipe II adalah probabilitas antara dua titik akhir.

diff(p)    # p[2]-p[1] 
## [1] 0.797671

11 R NOTE

11.1 t.test [ stats Paket]

Melakukan satu dan dua uji t sampel pada vektor data.

library(stats) 
t.test(df$x, mu=mu_initial, alternative = "less", conf.level = 0.95)       # left tail t-tets
t.test(df$x, mu=mu_initial, alternative = "greater", conf.level = 0.95) # right tail t-tets
t.test(Before, After, mu=0, alternative = "two.sided", conf.level = 0.99) # two tail
?t.test                                                                   # for t.tets (n<30 sampel)

11.2 z.test [ BSDA Paket]

Fungsi ini didasarkan pada distribusi normal standar dan menciptakan interval kepercayaan dan menguji hipotesis untuk satu dan dua masalah sampel.

library(BSDA) 
?z.test                       # for z.test (n >= 30 sample)

11.3 Uji Levene [ car Paket]

Tes ini digunakan untuk memeriksa apakah varians populasi sama atau tidak.

library(car)
?leveneTest