Probabilidad

La probabilidad es la posibilidad de que suceda un evento. La utilizamos como herramienta para evaluar la confiabilidad de nuestras conclusiones.

Por ejemplo, sinosotros quisiéramos lanzar una moneda un determinado número de veces, podríamos calcular la probabilidad de obtener águila o sol.

moneda <- c(0,1,0,0,1,0,1,1,0,0,1,0,0,1,1,0,0,1,0,1) #1 es águila, 0 es sol

Vamos a crear un objeto que se llame fr de frecuencia

fr <- prop.table(table(moneda))
fr
## moneda
##    0    1 
## 0.55 0.45

Las frecuencias que obtuvimos en nuestra tabla, son las probabilidades.

Existen tres conceptos importantes en probabilidad: experimento, evento y espacio muestral.

El experimento: es el proceso mediante el cual obtenemos una observación o resultado.

El evento: es el resultado que se observa a partir de una sola repetición del experimento.

El espacio muestral: es el conjunto de todos los eventos simples. Se puede visualizar con un Diagrama de Venn.

El lanzamiento de la moneda, también lo podemos hacer con la función “sample”. ¿Cuál es el experimento, el evento y el espacio muestral?

lanzamientos_10 <- sample(c("A", "S"), 10, replace = TRUE)
lanzamientos_10
##  [1] "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A"

Lo bonito de R es que podemos simular datos si quisiéramos saber que pasaría si lanzamos la moneda 10,000 veces.

lanzamientos_10000 <- sample(c("A", "S"), 10000, replace = TRUE)
lanzamientos_10000
##     [1] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A"
##    [19] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##    [37] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##    [55] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##    [73] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S"
##    [91] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##   [109] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S"
##   [127] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##   [145] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##   [163] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##   [181] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##   [199] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##   [217] "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##   [235] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##   [253] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##   [271] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##   [289] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##   [307] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##   [325] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##   [343] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##   [361] "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A"
##   [379] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##   [397] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A"
##   [415] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S"
##   [433] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##   [451] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##   [469] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##   [487] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##   [505] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##   [523] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##   [541] "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##   [559] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##   [577] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##   [595] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##   [613] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##   [631] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##   [649] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##   [667] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##   [685] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##   [703] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##   [721] "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##   [739] "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##   [757] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A"
##   [775] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##   [793] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##   [811] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##   [829] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##   [847] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##   [865] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##   [883] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##   [901] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##   [919] "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##   [937] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##   [955] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##   [973] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##   [991] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [1009] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [1027] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [1045] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [1063] "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [1081] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [1099] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [1117] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [1135] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [1153] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [1171] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [1189] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [1207] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [1225] "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [1243] "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [1261] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [1279] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [1297] "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [1315] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [1333] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [1351] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [1369] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [1387] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [1405] "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [1423] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [1441] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [1459] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [1477] "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [1495] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [1513] "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [1531] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [1549] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [1567] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [1585] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [1603] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [1621] "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [1639] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [1657] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [1675] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [1693] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [1711] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [1729] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [1747] "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [1765] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [1783] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [1801] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [1819] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [1837] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [1855] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [1873] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [1891] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [1909] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [1927] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [1945] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [1963] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [1981] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [1999] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [2017] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [2035] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [2053] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [2071] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [2089] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [2107] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [2125] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [2143] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [2161] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [2179] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [2197] "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [2215] "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [2233] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [2251] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [2269] "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [2287] "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [2305] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [2323] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [2341] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [2359] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [2377] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [2395] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [2413] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [2431] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [2449] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [2467] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [2485] "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [2503] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [2521] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [2539] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [2557] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [2575] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [2593] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [2611] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [2629] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [2647] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [2665] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [2683] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [2701] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [2719] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [2737] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [2755] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [2773] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [2791] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [2809] "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [2827] "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [2845] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [2863] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [2881] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [2899] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [2917] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [2935] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [2953] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [2971] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [2989] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [3007] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [3025] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [3043] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [3061] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [3079] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [3097] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [3115] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [3133] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [3151] "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [3169] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [3187] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [3205] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [3223] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [3241] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [3259] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [3277] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [3295] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [3313] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [3331] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [3349] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [3367] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [3385] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [3403] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [3421] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [3439] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [3457] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [3475] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [3493] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [3511] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [3529] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [3547] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [3565] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [3583] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [3601] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [3619] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [3637] "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [3655] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [3673] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [3691] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [3709] "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [3727] "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [3745] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [3763] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [3781] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [3799] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [3817] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [3835] "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [3853] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [3871] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [3889] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [3907] "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [3925] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [3943] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [3961] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [3979] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [3997] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [4015] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [4033] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [4051] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [4069] "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [4087] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [4105] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [4123] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [4141] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [4159] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [4177] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [4195] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [4213] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [4231] "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [4249] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [4267] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [4285] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [4303] "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [4321] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [4339] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [4357] "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [4375] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [4393] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [4411] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [4429] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [4447] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [4465] "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [4483] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [4501] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [4519] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [4537] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [4555] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [4573] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [4591] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [4609] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [4627] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [4645] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [4663] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [4681] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [4699] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [4717] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [4735] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [4753] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [4771] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [4789] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [4807] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [4825] "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [4843] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [4861] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [4879] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [4897] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [4915] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [4933] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [4951] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [4969] "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [4987] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [5005] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [5023] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [5041] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [5059] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [5077] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [5095] "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [5113] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [5131] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [5149] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [5167] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [5185] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [5203] "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [5221] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [5239] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [5257] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [5275] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [5293] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [5311] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [5329] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [5347] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [5365] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [5383] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [5401] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [5419] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [5437] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [5455] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [5473] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [5491] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [5509] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [5527] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [5545] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [5563] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [5581] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [5599] "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [5617] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [5635] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [5653] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [5671] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [5689] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [5707] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [5725] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [5743] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [5761] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [5779] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [5797] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [5815] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [5833] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [5851] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [5869] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [5887] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [5905] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [5923] "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [5941] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [5959] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [5977] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [5995] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [6013] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [6031] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [6049] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [6067] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [6085] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [6103] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [6121] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [6139] "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [6157] "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [6175] "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [6193] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [6211] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [6229] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [6247] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [6265] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [6283] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [6301] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [6319] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [6337] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [6355] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [6373] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [6391] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [6409] "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [6427] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [6445] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [6463] "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [6481] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [6499] "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [6517] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [6535] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [6553] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [6571] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [6589] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [6607] "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [6625] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [6643] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [6661] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [6679] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [6697] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [6715] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [6733] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [6751] "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [6769] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [6787] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [6805] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [6823] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [6841] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [6859] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [6877] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [6895] "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [6913] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [6931] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [6949] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [6967] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [6985] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [7003] "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [7021] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [7039] "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [7057] "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [7075] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [7093] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [7111] "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [7129] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [7147] "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [7165] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [7183] "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [7201] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [7219] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [7237] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [7255] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [7273] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [7291] "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [7309] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [7327] "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [7345] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [7363] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [7381] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [7399] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [7417] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [7435] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [7453] "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [7471] "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [7489] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [7507] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [7525] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [7543] "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [7561] "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [7579] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [7597] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [7615] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [7633] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [7651] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [7669] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [7687] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [7705] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [7723] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [7741] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [7759] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [7777] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [7795] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [7813] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [7831] "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [7849] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [7867] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A"
##  [7885] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [7903] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [7921] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [7939] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [7957] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [7975] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [7993] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [8011] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [8029] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [8047] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [8065] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [8083] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [8101] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [8119] "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S"
##  [8137] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [8155] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [8173] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [8191] "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [8209] "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [8227] "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [8245] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [8263] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [8281] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [8299] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [8317] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [8335] "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [8353] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [8371] "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [8389] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [8407] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [8425] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [8443] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [8461] "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S"
##  [8479] "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [8497] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [8515] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [8533] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [8551] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [8569] "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [8587] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [8605] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [8623] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [8641] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [8659] "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [8677] "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [8695] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [8713] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [8731] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [8749] "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [8767] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [8785] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [8803] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [8821] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [8839] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S"
##  [8857] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [8875] "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [8893] "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [8911] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [8929] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S"
##  [8947] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A"
##  [8965] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [8983] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [9001] "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [9019] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [9037] "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A"
##  [9055] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [9073] "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [9091] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [9109] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [9127] "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A"
##  [9145] "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [9163] "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [9181] "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A"
##  [9199] "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [9217] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [9235] "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [9253] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A"
##  [9271] "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [9289] "A" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [9307] "S" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S"
##  [9325] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [9343] "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [9361] "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S"
##  [9379] "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [9397] "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [9415] "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [9433] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [9451] "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A"
##  [9469] "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [9487] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [9505] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [9523] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [9541] "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A"
##  [9559] "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S"
##  [9577] "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A"
##  [9595] "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [9613] "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [9631] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [9649] "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A"
##  [9667] "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A"
##  [9685] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A"
##  [9703] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A"
##  [9721] "S" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S"
##  [9739] "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [9757] "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S"
##  [9775] "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S"
##  [9793] "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S"
##  [9811] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [9829] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S"
##  [9847] "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S"
##  [9865] "S" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "A"
##  [9883] "S" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [9901] "A" "A" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S"
##  [9919] "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "A" "S" "A" "A"
##  [9937] "S" "S" "A" "S" "A" "S" "A" "A" "A" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "A" "A" "S"
##  [9955] "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "S" "A" "A"
##  [9973] "S" "A" "A" "A" "S" "S" "S" "A" "S" "S" "S" "S" "S" "A" "A" "S" "A" "S"
##  [9991] "S" "A" "A" "A" "S" "A" "S" "A" "S" "A"

También podríamos hacer una función. En este caso, lanzaremos dos dados.

La lógica de las funciones es la siguiente:

nombre_de_funcion(argumento1, argumento2, …) { operaciones salida }

dados <- function(no_of_rolls=1){ 
  x <- sample(1:6, size=no_of_rolls, replace=TRUE) #espacio muestral del 1 al 6
  y <- sample(1:6, size=no_of_rolls, replace=TRUE) #espacio muestral del 1 al 6
  return(cbind(x,y)) #resultado
}
set.seed(20485) #número semilla
rolls <- as.data.frame(dados(100000)) #100000 observaciones

mean(rolls$y==1) #la probabilidad de que y sea 1, independientemente del valor de x
## [1] 0.16671

Axiomas de probabilidad

Los axiomas de probabilidad están muy ligados con la teoría de conjuntos.

setA<-c("a", "b", "c", "d", "e")
setB<-c("d", "e", "f", "g")
union(setA,setB) #la probabilidad de A más la probabilidad de B
## [1] "a" "b" "c" "d" "e" "f" "g"
intersect(setA,setB) #la probabilidad de A y B
## [1] "d" "e"
setdiff(setA,setB) #El complemento de A
## [1] "a" "b" "c"
setdiff(setB,setA) #El complemento de B
## [1] "f" "g"
setequal(setA, setB)
## [1] FALSE

Existe una función para encontrar subconjuntos. Es (b%in%a). La podemos utilizar.

setA<-c("a", "b", "c", "d", "e")
setB<-c("d", "e", "f", "g")
setC<- c("b", "d", "f")
setB %in% setA 
## [1]  TRUE  TRUE FALSE FALSE
setA %in% setB 
## [1] FALSE FALSE FALSE  TRUE  TRUE
setA %in% setC
## [1] FALSE  TRUE FALSE  TRUE FALSE

Otra función es la de all(b%in%a). Nos daría “TRUE” si todos los valores del vector b, están dentro del vector a.

all(setB %in% setA) 
## [1] FALSE
all(setA %in% setB)
## [1] FALSE
all(setA %in% setC)
## [1] FALSE

Existe un paquete que se llama “Venn Diagram” con el cual podemos visualizar las uniones e intersecciones.

Para ello vamos a cargar nuestra base de datos.

setwd("C:/Users/molar/Dropbox/2022_Trabajos/FLACSO/Datos") #Directorio de trabajo
load("concentrado.RData") #Carga base de datos

Vamos a ver cuántas mujeres son jefas de hogar en las localidades de menos de 2500 habitantes.

nrow(subset(concentrado, sexo_jefe == 2)) #cuantas mujeres
## [1] 25776
nrow(subset(concentrado, tam_loc == 4)) #localidades de menos de 2500
## [1] 33533
#cuantos hogares en tamaño de localidad
nrow(subset(concentrado, sexo_jefe == 2 & tam_loc == 4)) #intersección
## [1] 8180
#install.packages('VennDiagram')#
library(VennDiagram)
## Loading required package: grid
## Loading required package: futile.logger
grid.newpage()
draw.pairwise.venn(area1 =25776, area2 =33533 , cross.area =8180, category = c("Mujeres", "Localidades menos de 2500 habitantes"))

## (polygon[GRID.polygon.1], polygon[GRID.polygon.2], polygon[GRID.polygon.3], polygon[GRID.polygon.4], text[GRID.text.5], text[GRID.text.6], text[GRID.text.7], text[GRID.text.8], text[GRID.text.9])

Probabilidad conjunta, marginal y condicional

La probabilidad conjunta es la probabilidad que ocurran los sucesos A y B al mismo tiempo.

La probabilidad marginal es la probabilidad de uno de los eventos.

La probabilidad condicional es la probabilidad de que ocurra un evento A, dado que ocurre un evento B.

Por ejemplo, en la base de datos de LAPOP México 2021, se les pregunta a las personas ¿qué tanto confía en que el gobierno nacional hace lo correcto y obtenemos los siguientes resultados:

library(tidyverse)
## ── Attaching packages ─────────────────────────────────────── tidyverse 1.3.2 ──
## ✔ ggplot2 3.3.6      ✔ purrr   0.3.4 
## ✔ tibble  3.1.8      ✔ dplyr   1.0.10
## ✔ tidyr   1.2.0      ✔ stringr 1.4.1 
## ✔ readr   2.1.2      ✔ forcats 0.5.2 
## ── Conflicts ────────────────────────────────────────── tidyverse_conflicts() ──
## ✖ dplyr::filter() masks stats::filter()
## ✖ dplyr::lag()    masks stats::lag()
library(haven)
library(summarytools)
## 
## Attaching package: 'summarytools'
## 
## The following object is masked from 'package:tibble':
## 
##     view
mex2021lapop <- read_dta("Datos/mex2021lapop.dta")

Cross-Tabulation, Total Proportions

sexo_factor * conf_gob

Data Frame: mex2021lapop
conf_gob
sexo_factor Mucho Algo Poco Nada Total
Hombre 418 ( 14.1% ) 470 ( 15.88% ) 377 ( 12.74% ) 266 ( 8.99% ) 1531 ( 51.7% )
Mujer 260 ( 8.8% ) 541 ( 18.28% ) 417 ( 14.09% ) 203 ( 6.86% ) 1421 ( 48.0% )
Otro 3 ( 0.1% ) 2 ( 0.07% ) 1 ( 0.03% ) 1 ( 0.03% ) 7 ( 0.2% )
Total 681 ( 23.0% ) 1013 ( 34.23% ) 795 ( 26.87% ) 470 ( 15.88% ) 2959 ( 100.0% )

Generated by summarytools 1.0.1 (R version 4.2.1)
2022-10-18

¿Cuál es la probabilidad de ser mujer? ¿Cuál es la probabilidad de confiar “mucho”? ¿Cuál es la probabilidad de ser mujer o confiar mucho? ¿Cuál es la probabilidad de confiar mucho, dado que es mujer?

Teorema de Bayes

Vincula la probabilidad de A dado B con la probabilidad de B dado A.

Supongamos que tenemos una prueba para detectar covid que salió positiva. Sabemos que el 90% de las veces que esta prueba se le hace a una persona enferma, resulta negativa. Pero también sabemos que el 95% de las veces que se le hace a una persona no enferma, también resulta negativa.

Los datos muestran que el covid le está afectando al 1% de la población. La población total es de 100000 habitantes

Usted va al doctor y da positivo en la prueba. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga covid?

De una población de 100 000, seleccionamos una muestra de resultados positivos y negativos y especificamos que el 1% tiene covid.

covid <- sample(c('No','Yes'), size=100000, replace=TRUE, prob=c(0.99,0.01))

Creamos un objeto “test” que luego vamos a recodificar.

test <- rep(NA, 100000)

Cuando una persona no está enferma.

test[covid=='No'] <- sample(c('Neg','Pos'), size=sum(covid=='No'), replace=TRUE, prob=c(0.95,0.05))

Cuando una persona está enferma.

test[covid=='Yes'] <- sample(c('Neg','Pos'), size=sum(covid=='Yes'), replace=TRUE, prob=c(0.1, 0.9))

¿Cuál es la probabilidad de que realmente tenga covid?

mean(covid[test=='Pos']=='Yes')
## [1] 0.1550546

Ejercicios 1. Lanza dos dados, 5000 veces y calcula la probabilidad: a) De obtener un número par en el primer dado b) De obtener un número impar en el segundo dado

  1. Crea un conjunto A y un conjunto B. Calcula:
  1. La unión
  2. La intersección
  3. El complemento de A
  4. El complemento de B

  1. De la siguiente tabla, calcule: a)¿Cuál es la probabilidad de ser hombre? b)¿Cuál es la probabilidad de confiar “nada”? c)¿Cuál es la probabilidad de ser hombre o confiar nada? d)¿Cuál es la probabilidad de confiar nada, dado que es hombre?

  2. Del ejemplo de Bayes: ¿cuál es la probabilidad de que no tenga covid, dado que la prueba dio negativo?

Más ejemplos del teorema de Bayes: https://rpubs.com/maarnuro/594459