Probability Distributions

Chapter 1

Kontak	: \(\downarrow\)
Email	clara.evania@student.matanauniversity.ac.id
Instagram	https://www.instagram.com/claraevania/
RPubs	https://rpubs.com/claradellaevania/

Probabilitas merupakan kemungkinan suatu kejadian akan terjadi atau tidak terjadi relatif terhadap kejadian lain. Distribusi probabilitas adalah suatu model probabilitas yang memungkinkanuntuk menjelaskan dan menduga hasil yang akan terjadi dari suatu peristiwa jika kondisi-kondisi tertentu terjadi.Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa semakin kecil probabilitas suatu peristiwa (probabilitas semakin mendekati 0), semakin kecil kesempatan peristiwa tersebut akan terjadi. Sebaliknya, semakin besar probabilitas suatu peristiwa (probabilitas semakin mendekati 1), semakin besar kesempatan peristiwa tersebut akan terjadi.

Binomial Distribusion

Distribusi Binomial merupakan salah satu distribusi probabilitas diskrit dimana menggambarkan hasil uji coba independen dalam suatu percobaan. Setiap percobaan diasumsikan hanya memiliki dua hasil, baik “keberhasilan” atau “kegagalan.” Distribusi binomial terkait erat dengan distribusi Bernoulli. Dimana rumusnya adalah :

Dimana artinya : B : Peluang Binomial n = banyaknya ulangan x = banyaknya keberhasilan dalam variabel random x, x = 0,1,2, 3…, n P = peluang berhasil dalam setiap ulangan

Kasus 1

Berapa probabilitas 2 Gambar dalam 10 lemparan koin di mana probabilitas gambar 0,3?

dbinom(x = 2, size = 10, prob = 0.3)          # akurat

## [1] 0.2334744

mean(rbinom(n=10000,size=10,prob=0.3)==2)     # simulasi

## [1] 0.2277

Untuk detail yang lebih lanjut, kita dapat mempertimbangkan visualisasi berikut:

library(dplyr)
library(ggplot2)
library(scales)
data.frame(heads = 0:10, prob = dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 0.3)) %>%
  mutate(Heads = ifelse(heads == 2, "2", "other")) %>%
  ggplot(aes(x = factor(heads), y = prob, fill = Heads)) +
  theme_minimal()+
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(prob,2), y = prob + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) +
  labs(title = "Probability of X = 2 sukses",
       subtitle = "b(10, .3)",
       x = "Sukses(x)",
       y = "Probability")

Kasus 2

Berapa probabilitas <= 5 gamvar dalam pelemparan 10 koin di mana probabilitas gambar 0,3?

Untuk menemukan probabilitas <= 5 Gambar dengan upaya acak dalam Pelemparan 10 koin di mana probabilitas Gambar adalah 0,3, daoat diterapkan fungsi dbinom dengan x = 0, ⋯, 5.

dbinom(0, size=10, prob=0.3) + 
  dbinom(1, size=10, prob=0.3) + 
  dbinom(2, size=10, prob=0.3) + 
  dbinom(3, size=10, prob=0.3) + 
  dbinom(4, size=10, prob=0.3) +
  dbinom(5, size=10, prob=0.3)                # Perhitungan manual untuk distribusi binomial

## [1] 0.952651

pbinom(5, size=10, prob=0.3)                  # Cara alternatif untuk distribusi binomial

## [1] 0.952651

pbinom(q=5,size=10,p=0.3,lower.tail=TRUE)     # Cara alternatif untuk distribusi binomial

## [1] 0.952651

mean(rbinom(n=10000,size=10,prob=0.3)<= 5)    # Simulasi

## [1] 0.9571

Untuk detail yang lebih lanjut, kita dapat mempertimbangkan visualisasi berikut:

library(dplyr)
library(ggplot2)
data.frame(heads = 0:10, 
           pmf = dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 0.3),
           cdf = pbinom(q = 0:10, size = 10, prob = 0.3, 
                        lower.tail = TRUE)) %>%
  mutate(Heads = ifelse(heads <= 5, "<=5", "other")) %>%
  ggplot(aes(x = factor(heads), y = cdf, fill = Heads)) +
  geom_col() +
  theme_minimal()+
  geom_text(
    aes(label = round(cdf,2), y = cdf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) +
  labs(title = "Probability of X <= 5 Sukses",
       subtitle = "b(10, .3)",
       x = "Sukses (x)",
       y = "Probability")

Kasus 3

Berapa probabilitas >= 5 Gambar dalam Pelemparan 10 koin di mana probabilitas Gambar 0,3?

library(dplyr)
library(ggplot2)
data.frame(heads = 0:10, 
           pmf = dbinom(x = 0:10, size = 10, prob = 0.3),
           cdf = pbinom(q = -1:9, size = 10, prob = 0.3, 
                        lower.tail = FALSE)) %>%
  mutate(Heads = ifelse(heads >= 5, ">=5", "other")) %>%
  ggplot(aes(x = factor(heads), y = cdf, fill = Heads)) +
  geom_col() +
  theme_minimal()+
  geom_text(
    aes(label = round(cdf,2), y = cdf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) +
  labs(title = "Probability of X >= 5 Sukses",
       subtitle = "b(10, .3)",
       x = "Sukses (x)",
       y = "Probability")

Kasus 4

Berapa jumlah Gambar yang diharapkan dalam Pelemparan 25 koin di mana probabilitas Gambar 0,3?

25 * 0.3                                      # Jumlah Gambar yang diharapkan dalam 25 flip koin

## [1] 7.5

mean(rbinom(n = 10000, size = 25, prob = .3)) # Jumlah Gambar yang diharapkan dalam 25 flip koin

## [1] 7.4555

25 * 0.3 * (1 - 0.3)                          # variansi

## [1] 5.25

var(rbinom(n = 10000, size = 25, prob = .3))  # variansi

## [1] 5.233126

library(dplyr)
library(ggplot2)
data.frame(heads = 0:25, 
           pmf = dbinom(x = 0:25, size = 25, prob = 0.3)) %>%
  mutate(Heads = ifelse(heads == 7, "7", "other"))%>%
  ggplot(aes(x = factor(heads), y = pmf, fill = Heads)) +
  geom_col() +
  theme_minimal()+
  geom_text(
    aes(label = round(pmf,2), y = pmf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) +
  labs(title = "Probability of X = x Sukses.",
       subtitle = "b(25, .3)",
       x = "Sukses (x)",
       y = "probability")

Latihan 1

Misalkan terdapat 20 pertanyaan pilihan ganda dalam kuis kelas statistik. Setiap pertanyaan memiliki 5 kemungkinan jawaban, dan hanya 1 dari mereka yang benar. Temukan probabilitas memiliki empat atau kurang jawaban yang benar jika seorang siswa mencoba menjawab setiap pertanyaan secara acak.

JAWAB

Karena hanya 1 dari 5 kemungkinan jawaban yang benar, probabilitas menjawab pertanyaan dengan benar secara acak adalah 1/5 = 0,2. Kita dapat menemukan probabilitas memiliki 4 jawaban yang benar dengan upaya acak sebagai berikut.

dbinom(4, size = 20, prob = 0.2)

## [1] 0.2181994

Untuk menemukan probabilitas memiliki empat atau kurang jawaban yang benar dengan upaya acak, kami menerapkan fungsi dbinom dengan x = 0,…, 4.

dbinom(0, size=20, prob=0.2) + 
+ dbinom(1, size=20, prob=0.2) + 
+ dbinom(2, size=20, prob=0.2) + 
+ dbinom(3, size=20, prob=0.2) + 
+ dbinom(4, size=20, prob=0.2)

## [1] 0.6296483

Atau,dapat juga menggunakan fungsi probabilitas kumulatif untuk pbinom distribusi binomial.

pbinom(4, size=20, prob=0.2)

## [1] 0.6296483

Visualisasinya adalah sebagai berikut

library(dplyr)
library(ggplot2)
data.frame(heads = 0:10, 
           pmf = dbinom(x = 0:10, size = 20, prob = 0.2),
           cdf = pbinom(q = 0:10, size = 20, prob = 0.2, 
                        lower.tail = TRUE)) %>%
  mutate(Heads = ifelse(heads <= 4, "<=4", "other")) %>%
  ggplot(aes(x = factor(heads), y = cdf, fill = Heads)) +
  geom_col() +
  theme_minimal()+
  geom_text(
    aes(label = round(cdf,2), y = cdf + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) +
  labs(title = "Probability of X <= 4 Sukses",
       subtitle = "b(20, .2)",
       x = "Sukses(x)",
       y = "Probability")

Distribusi Poisson

Distribusi Poisson adalah distribusi probabilitas diskrit dari kejadian peristiwa independen dalam interval. Distribusi poisson adalah distribusi teoritis yang digunakan untuk menentukan probabilitas suatu kejadian yang jarang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Jika \(λ\) adalah kejadian rata -rata per interval, maka probabilitas memiliki \(x\) kejadian dalam interval yang diberikan adalah:

Kasus 5

Berapa probabilitas membuat 2 hingga 4 penjualan dalam seminggu jika tingkat penjualan rata -rata 3 per minggu?

library(ggplot2)
library(dplyr)
# Menggunakan Probability kumulatif
ppois(q = 4, lambda = 3, lower.tail = TRUE) - 
  ppois(q = 1, lambda = 3, lower.tail = TRUE)

## [1] 0.616115

# Menggunakan Probability Akurat
dpois(x = 2, lambda = 3) +
  dpois(x = 3, lambda = 3) +
  dpois(x = 4, lambda = 4)

## [1] 0.6434504

Visualisasinya sebagai berikut:

# variance = lambda = 3
options(scipen = 999, digits = 2) # sig digits
events <- 0:10
density <- dpois(x = events, lambda = 3)
prob <- ppois(q = events, lambda = 3, lower.tail = TRUE)
df <- data.frame(events, density, prob)
ggplot(df, aes(x = factor(events), y = density)) +
  theme_minimal()+
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(density,2), y = density + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0) +
  labs(title = "PMF and CDF of Poisson Distribution",
       subtitle = "P(3).",
       x = "Events (x)",
       y = "Density") +
  geom_line(data = df, aes(x = events, y = prob))

Kasus 6

Misalkan pemain baseball memiliki P = 0,300 rata -rata batting. Berapa probabilitas x≤ hits pada N = 500 pada bats? x = 150? x> 150?

library(ggplot2)
library(dplyr)
ppois(q=150,lambda=.300*500,lower.tail=TRUE)  # probability of x <= 150

## [1] 0.52

dpois(x=150,lambda=.300*500)                  # probability of x = 150

## [1] 0.033

ppois(q=150,lambda=.300*500,lower.tail=FALSE) # probability of x > 150

## [1] 0.48

options(scipen = 999, digits = 2)             # sig digits
hits <- 0:100 * 3
density <- dpois(x = hits, lambda = .300 * 500)
prob <- ppois(q = hits, lambda = .300 * 500, lower.tail = TRUE)
df <- data.frame(hits, density, prob)
ggplot(df, aes(x = hits, y = density)) +
  geom_col() +
  theme_minimal()+
  labs(title = "Poisson(150)",
       subtitle = "PMF and CDF of Poisson(3) distribution.",
       x = "Hits (x)",
       y = "Density") +
  geom_line(data = df, aes(x = hits, y = prob))

Kasus 7

Apa distribusi keberhasilan dari sampel n = 50 ketika probabilitas keberhasilan adalah p = 0,03?

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(tidyr)
options(scipen = 999, digits = 2) # sig digits
n = 0:10
df <- data.frame(events = 0:10, 
                 Poisson = dpois(x = n, lambda = .03 * 50),
                 Binomial = dbinom(x = n, size = 50, p = .03))
df_tidy <- gather(df, key = "Distribution", value = "density", -c(events))
ggplot(df_tidy, aes(x = factor(events), y = density, fill = Distribution)) +
  geom_col(position = "dodge") +
  theme_minimal()+
  labs(title = "Poisson(15) and Binomial(50, .03)",
       subtitle = "Poisson approximates binomial when n >= 20 and p <= .05.",
       x = "Events (x)",
       y = "Density")

Latihan 2

Jika ada 20 mobil yang melintasi jembatan per menit rata -rata, temukan kemungkinan memiliki 13 atau lebih mobil yang melintasi jembatan dalam satu menit tertentu

JAWAB Probabilitas memiliki 12 atau kurang mobil yang melintasi jembatan pada menit tertentu diberikan oleh fungsi PPOIS.

ppois(12, lambda = 20) # lower tail

## [1] 0.039

Oleh karena itu probabilitas memiliki 13 atau lebih mobil yang melintasi jembatan dalam satu menit adalah di bagian atas fungsi kepadatan probabilitas.

ppois(12, lambda = 20, lower=FALSE) #upper tail

## [1] 0.96

Sehingga jika terdapat 20 mobil yang melintasi jembatan rata rata per menit, kemungkinan memiliki 13 atau lebih mobil yang melintasi jembatan pada menit tertentu adalah 96%.

Latihan 3

Misalkan probabilitas bahwa obat menghasilkan efek samping tertentu adalah p = 0,1% dan n = 1.000 pasien dalam uji klinis menerima obat. Berapa probabilitas 0 orang mengalami efek samping dengan menggunakan teknik visualisasi?

dpois(x=0 , lambda = 1000*0.001)

## [1] 0.37

library(ggplot2)
library(dplyr)

options(scipen = 999, digits = 2) # sig digits

n = 0:10
density = dpois(x=n, lambda = 1000*0.001)
probability = ppois(q = n ,lambda = 1000*0.001, lower.tail = TRUE )
df <- data.frame(n, density, probability)
ggplot(df, aes(x = n, y = density)) +
  geom_col() +
  geom_text(
    aes(label = round(density,2), y = density + 0.01),
    position = position_dodge(0.9),
    size = 3,
    vjust = 0
  )+
  
  labs(title = "Poisson(1)",
       subtitle = "PMF dan CDF of Poisson(1) distribution.",
       x = "Events (x)",
       y = "Density")+
  geom_line (data=df, aes(x=n, y= probability))

# Distribusi Seragam Kontinu Distribusi yang seragam adalah jenis probabilitas di mana semua hasil sama -sama mungkin; Setiap variabel memiliki probabilitas yang sama dengan hasilnya. Selain itu, distribusi probabilitas pemilihan nomor acak dari interval kontinu antara a dan b. Fungsi kepadatannya didefinisikan sebagai berikut:

Kasus 8

Memilih 100 angka acak antara -1 dan 5. Kami menerapkan fungsi runif dari distribusi seragam untuk menghasilkan sepuluh angka acak antara minus satu dan lima.

rand.unif <- runif(100, min=-3, max=5)        # 10 angka acak dari -1 sampai 5
hist(rand.unif, col = "cornflowerblue",               # Membuat Plot hasil dengan histogram
     freq = FALSE, 
     xlab = 'x', 
     density = 20)

Sehingga hasilnya, histogram kepadatan dari atas serta distribusi probabilitas yang seragam untuk interval [-3,5], dengan menerapkan fungsi dunif ().

a <- -3
b <- 5
hist(rand.unif, 
     freq = FALSE,
     col = "azure4",
     xlab = 'x',  
     ylim = c(0, 0.2),
     xlim = c(-4,6),
     density = 20,
     main = "Uniform distribution for the interval [-3,5]")
curve(dunif(x, min = a, max = b), 
      from = -4, to = 6, 
      n = 100000, 
      col = "darkblue", 
      lwd = 2, 
      add = TRUE)

Dimana nilai x yang sesuai dengan nilai yang membagi distribusi seragam yang diberikan menjadi dua bagian yang sama, atau ditulis lebih formal

qunif(0.5, min=a, max=b)                      # Nilai Hasil Seragam Dist menjadi dua bagian yang sama

## [1] 1

punif(1, min= a, max = b, lower.tail = FALSE) # pengukuran menghasilkan nilai `>=1`

## [1] 0.5

Distribusi Eksponensial

Distribusi eksponensial menggambarkan waktu kedatangan dari urutan peristiwa independen yang berulang secara acak. Jika \(μ\) adalah waktu tunggu rata -rata untuk kekambuhan peristiwa berikutnya, fungsi kepadatan probabilitasnya adalah:

Sampel acak diambil dari distribusi eksponensial yang dihasilkan menggunakan rexp(n) dengan ukuran sampel (n).

set.seed (1) # Untuk menghasilkan hasil nomor acak yang sama 
rexp (10) # nomor acak dengan 10 ukuran sampel

##  [1] 0.76 1.18 0.15 0.14 0.44 2.89 1.23 0.54 0.96 0.15

par(mfrow=c(2,2))                             # Partisi grafik dengan 2x2 baris dan kolom
hist(rexp(10),col = "azure1")                 # Plot histogram dengan 10 ukuran sampel
hist(rexp(100),col = "azure2")                # Plot histogram dengan 100 ukuran sampel
hist(rexp(1000),col = "azure3")               # Plot histogram dengan 1000 ukuran sampel
hist(rexp(10000),col = "azure4")              # Plot histogram dengan 10000 ukuran sampel

Kasus 9

Dimana jika menghasilkan distribusi rata -rata 40 eksponensial acak dengan 10.000 simulasi dengan lambda (parameter laju) = 0,2.

library(ggplot2)
set.seed(1)                                   # untuk menghasilkan hasil bilangan acak yang sama
mns=NULL
for (i in 1 : 10000) mns = c(mns, mean(rexp(40,0.2)))
Exp <- data.frame(mns,size=40)
ggplot(Exp,aes(x=mns,fill=size))+
  geom_histogram(aes(y=..density..),binwidth=.25,col="black") + 
  ylim(c(0,0.6))+
  stat_function(fun=dnorm,arg=list(mean=5,sd=sd(mns)))+
  theme_minimal()+
  geom_vline(aes(xintercept=mean(mns),colour="red"))+
  geom_text(aes(x=mean(mns),
                label="\n sample mean",
                y=0.2),colour="black",
            angle=90, text = element_text(size=11))+
  xlab("Averages of the distribution") + ylab("Frequency")+
  ggtitle("Distribution of the averages of \n 40 random exponentials (10000 simulations)")

Kasus menggambarkan Teorema Batas Pusat - menyatakan bahwa distribusi rata -rata variabel independen dan terdistribusi secara identik (IID) menghasilkan a -setengah dari standar normal seiring dengan meningkatnya ukuran sampel.

Latihan 4

Misalkan waktu checkout rata -rata dari kasir supermarket adalah tiga menit. Temukan probabilitas checkout pelanggan yang diselesaikan oleh kasir dalam waktu kurang dari dua menit.

pexp(2, rate=1/3)

## [1] 0.49

Distribusi Normal

Distribusi normal merupakan distribusi yang secara luas banyak digunakan dalam berbagai penerapan. Distribusi normal merupakan distribusi kontinu yang mensyaratkan variabel yang diukur harus kontinu misalnya tinggi badan, berat badan, dan sebagainya.Distribusi normal didefinisikan oleh fungsi kepadatan probabilitas berikut, di mana \(μ\) adalah rata -rata populasi dan \(σ^2\) adalah varians.

Jika variabel acak x mengikuti distribusi normal, maka dapat menulis:

Mari kita dapatkan sampel dari distribusi normal dengan \(\bar{y}=100\) dan \(σ = 5\):

data<- rnorm(n=10000, mean=100, sd=5)
mean(data)

## [1] 100

sd(data)

## [1] 5

# Membuat Histogram
hist(data, main ="", 
     col = "blue", 
     xlim = c(80, 120), 
     freq = FALSE,
     xlab = "")
# ...and add a density curve
curve(dnorm(x, 
            mean=mean(data), 
            sd=sd(data)), add=TRUE, 
            col="black", lwd=3)

Secara khusus, distribusi normal dengan μ = 0 dan σ = 1 disebut distribusi normal standar, dan dilambangkan sebagai N(0,1). Ini dapat grafik sebagai berikut. Distribusi normal penting karena teorema batas pusat, yang menyatakan bahwa populasi semua sampel ukuran n yang mungkin dari suatu populasi dengan rata -rata μ dan varian \(σ^2\) mendekati distribusi normal dengan rata -rata μ dan \(σ^2/n\) Ketika \(n\) mendekati infinity.

library(visualize)                                     # Distribusi Visualisasi
par(mfrow=c(2,2))                                      # Grafik partisi dengan 2x2 baris dan kolom
visualize.norm(stat=1,mu=4,sd=5,section="lower")       # Mengevaluasi lower tail
visualize.norm(stat=c(3,6),mu=5,sd=3,section="bounded")# Mengevaluasi bounded region
visualize.norm(stat=1,mu=3,sd=2,section="upper")       # Mengevaluasi upper tail

Kasus 10

Asumsikan bahwa nilai ujian ujian masuk perguruan tinggi cocok dengan distribusi normal. Selain itu, skor tes rata -rata adalah 75, dan standar deviasi adalah 14.2. Berapa persentase siswa yang mencetak 86 atau lebih dalam ujian?

Sehingga dapat menerapkan fungsi pnorm dari distribusi normal dengan rata -rata 75 dan standar deviasi 14.2. Karena kami mencari persentase siswa yang mencetak lebih tinggi dari 86, kami tertarik pada ekor atas dari distribusi normal.

pnorm(86, mean=75, sd=14.2, lower.tail=FALSE)

## [1] 0.22

Persentase siswa yang mencetak 84 atau lebih dalam ujian masuk perguruan tinggi adalah 22%

Distirbusi Chi-squared

Jika x1, x2, ⋯, xm dalah m variabel acak independen yang memiliki distribusi normal standar, maka jumlah berikut mengikuti distribusi chi-squared dengan derajat kebebasan m. Meannya adalah \(m\), dan variannya adalah \(2m\).

Maka visualisasi Distribusi Chi-Square adalah

library(visualize)                                     # visualisasi distribusi
par(mfrow=c(2,2))                                      # Grafik partisi dengan 2x2 baris dan kolom
visualize.chisq(stat=1,df=3,section="lower")           # Mengevaluasi lower tail
visualize.chisq(stat=c(1,3),df=6,section="bounded")    # Mengevaluasi bounded region
visualize.chisq(stat=1,df=3,section="upper")           # Mengevaluasi upper tail

Kasus 11

Mencari persentil ke-95 dari distribusi chi-squared dengan 6 derajat kebebasan.

Sehingga menerapkan fungsi kuantil qchisq dari distribusi chi-squared terhadap nilai desimal 0,95.

qchisq(.95, df=6)                                      # 6 derajat kebebasan

## [1] 13

Maka persentil ke-95 dari distribusi chi-squared dengan 6 derajat kebebasan adalah 13.

Distribusi Student T

Asumsikan bahwa variabel acak Z memiliki distribusi normal standar, dan variabel acak lain V memiliki distribusi chi-squared dengan derajat kebebasan m . Asumsikan lebih lanjut bahwa Z dan V independen, maka kuantitas berikut mengikuti distribusi siswa dengan derajat kebebasan.

Sehingga jika divisualisasikan sebagai berikut:

library(visualize)                                     # visualisasi distribusi
par(mfrow=c(2,2))                                      # Grafik partisi dengan 2x2 baris dan kolom
visualize.t(stat=1,df=4,section="lower")               # Mengevaluasi lower tail
visualize.t(stat=c(3,5),df=6,section="bounded")        # Mengevaluasi bounded region
visualize.t(stat=1,df=4,section="upper")               # Mengevaluasi upper tail

Kasus 12

Mencari persentil 2.5 dan 97.5 dari distribusi siswa dengan 5 derajat kebebasan. Kami menerapkan fungsi kuantil qt dari distribusi t siswa terhadap nilai desimal 0,025 dan 0,975.

qt(c(.025, .975), df=5)                                # 5 derajat kebebasan

## [1] -2.6  2.6

Persentil 2.5 dan 97.5 dari distribusi siswa dengan 5 derajat kebebasan adalah -2.5706 dan 2.5706 masing -masing.

Distribusi F

Jika V1 dan V2 adalah dua variabel acak independen yang memiliki distribusi chi-squared dengan m1 dan m2 derajat kebebasan masing-masing, maka kuantitas berikut mengikuti distribusi F dengan tingkat pembumasan m1 kebebasan dan m2 Denominator Derajat Kebebasan, yaitu, (m1, m2) derajat kebebasan.

Sehingga Visualisasi Distribusi F nya adalah

library(visualize)                                     # Distribusi Visualisasi
par(mfrow=c(2,2))                                      # Grafik partisi dengan 2x2 baris dan kolom
visualize.f(stat=1,df1=5,df2=4,section="lower")        # Mengevaluasi lower tail

## Warning: df2 < 4, variance is not able to be generated.

visualize.f(stat=c(3,5),df1=6,df2=3,section="bounded") # mengevaluasi wilayah terikat

## Warning: df2 < 4, variance is not able to be generated.

visualize.f(stat=1,df1=5,df2=4,section="upper")        # Mengevaluasi upper tail

## Warning: df2 < 4, variance is not able to be generated.

Kasus 13

Mencari persentil ke -95 dari distribusi F dengan (5, 2) derajat kebebasan.

Lalu dapat menerapkan fungsi kuantil QF dari distribusi F terhadap nilai desimal 0,95.

qf(.95, df1=5, df2=2)

## [1] 19

Persentil ke -95 dari distribusi F dengan (5, 2) derajat kebebasan adalah 19.296.