1. En el proceso de fabricación de teléfonos, tres de ellos son seleccionados aleatoriamente por trabajadores para evaluar su calidad. Cada pieza es categorizada como “funcional” o “con falla” según los resultados de su evaluación. Si la probabilidad de que un teléfono no tenga fallas es 0.8, siendo la evaluación independiente entre equipos. Binomial, dos posibles casos:

a) (3 puntos) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

La variable aleatoria en este caso es una variable aleatoria discreta, la cual es la categoria de un telefono: funcional o con falla.

La variable aleatoria estudiada sigue una distribución de Bernoulli, ya que se considera una variable aleatoria X de un unico experimmento considerando dos eventos posible (con falla o funcional).

b) (4 puntos) Determine la función de probabilidad de masa.

Siendo x=0 el evento “funcional” y x=1 el evento “con falla”, la funcion de probabilidad de masa es:

\(f(x)= 0.8\) , si x=0

\(f(x)= 0.2\) , si x=1

c) (3 puntos) Grafique la distribución.

rango = seq(-5,5)
distribucion = dbern(rango, prob = 0.8)
datos=data.frame(rango,distribucion)

grafico = ggplot(data=datos,aes(x=rango,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="lightblue3")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Distribución de 
probabilidades")
grafico = grafico + xlab("Rango") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

2. En un estudio clínico los voluntarios son examinados para encontrar un gen asociado a la aparición de cáncer. La probabilidad de que una persona tenga el gen es 0.1. Si se asume que la evaluación de una persona es independiente de otra:

a) (2 puntos) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

La variable aleatoria es de tipo discreta, y sigue una distribucion de tipo binomial negativa

b) (3 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que cuatro o más evaluaciones deban ser efectuadas para detectar a dos personas portadoras del gen?

Debido a que se desea detectar a DOS personas portadoras del gen, para cuatro o mas evaluaciones, es decir, se desean obtener 2 casos favorables.

1 - sum(dnbinom(x=0:1, size=2, prob=0.1))
## [1] 0.972
#Tambien puede calcularse como

1 - pnbinom(q=1, size=2, prob=0.1)
## [1] 0.972

La probabilidad de que cuatro o más evaluaciones deban ser efectuadas para detectar a dos personas portadoras del gen es de 0.972

c) (3 puntos) ¿Cuál es el número esperado de evaluaciones que debo realizar para detectar dos personas portadoras del gen?

d) (2 puntos) Grafique la distribución.

evaluaciones = seq(0,10)
casos_gen=2
distribucion = dnbinom(x=evaluaciones, size=casos_gen, prob=0.1)
datos=data.frame(evaluaciones,distribucion)


grafico = ggplot(data=datos,aes(x=evaluaciones,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="lightblue3")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Distribución de 
probabilidades")
grafico = grafico + xlab("Casos gen detectado") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

3. Una empresa contrata a 800 hombres menores de 55 años. Suponga que el 30 % tiene un marcador en el cromosoma masculino que indica un mayor riesgo de cáncer de próstata.

a) (2 puntos) Señale el tipo de variable aleatoria y la distribución que sigue.

Es una variable aleatoria discreta, sigue una distribucion binomial.

b) (3 puntos) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este , ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 1 hombre tenga el marcador?

dbinom(x=1, size = 10,prob = 0.3) #x=1 debido a que se desea probabilidad de que 1 hombre tenga el marcador
## [1] 0.1210608
#size= 10 ya que se le hace la prueba a 10 hombre
#prob 0.3 ya que la probabilidad de poseer el marcador es 30%

La probabilidad de que exactamente 1 hombre tenga el marcador es de 0.1210608.

c) (3 puntos) Si a 10 hombres de la empresa se les hace la prueba del marcador en este cromosoma, ¿cuál es la probabilidad de que más de 1 tenga el marcador?

sum(dbinom(x=2:10, size=10, prob=0.3))
## [1] 0.8506917
#Tambien puede calcularse como

pbinom(q=1, size=10, prob=0.3, lower.tail = FALSE, log.p = FALSE)
## [1] 0.8506917

La probabilidad de que más de 1 tenga el marcador es 0.8506917.

d) (2 puntos) Grafique la distribución

library("Rlab")
rango = seq(0,10)
distribucion = dbinom(rango, size = 10,prob = 0.3)
datos=data.frame(rango,distribucion)
#Gráfico
library("ggplot2")
grafico = ggplot(data=datos,aes(x=rango,y=distribucion))
grafico = grafico + geom_bar(stat="identity",fill="lightblue3")
grafico = grafico + theme_bw() + ggtitle("Distribución de probabilidades")
grafico = grafico + xlab("Rango") + ylab("Probabilidad")
plot(grafico)

4. El número de llamadas telefónicas que llegan a una central telefónica se modela como una variable aleatoria de Poisson. Suponga que en promedio hay 8 llamadas por hora.

a) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora?

dpois(x=5, lambda=8)  #Siendo x = 5 (cantidad de veces qui se desea que ocurra el evento llamada) y lambda la frecuencia media de ocurrencia de llamadas.
## [1] 0.09160366

La probabilidad de que haya exactamente cinco llamadas en una hora es de 0.09160366.

b) (5 puntos) ¿Cuál es la probabilidad de que haya tres llamadas o menos en una hora?

ppois(3,8)
## [1] 0.04238011

La probabilidad de que haya tres llamadas o menos en una hora es de 0.04238011.