Objetivo

Calcular probabilidades con variables aleatorias discretas y con variables aleatorias continuas con distribución uniforme

Desarrollo

Cargar librerías

library(ggplot2)
library(dplyr)
library(gtools)
library(knitr)
library(cowplot) # Gráficas mismo renglones

options(scipen = 999) # Notación normal

Ejercicios con variables discretas

Tirar dos dados

Construir tabla de distribución

dado <- c(1,2,3,4,5,6)

lanzar_dados <- data.frame(permutations(n=6, r = 2, v = dado, repeats.allowed = TRUE))

names(lanzar_dados) <- c("dado1", "dado2")

lanzar_dados <- cbind(lanzar_dados, suma = apply(X = lanzar_dados, MARGIN = 1, FUN = sum))

lanzar_dados

##    dado1 dado2 suma
## 1      1     1    2
## 2      1     2    3
## 3      1     3    4
## 4      1     4    5
## 5      1     5    6
## 6      1     6    7
## 7      2     1    3
## 8      2     2    4
## 9      2     3    5
## 10     2     4    6
## 11     2     5    7
## 12     2     6    8
## 13     3     1    4
## 14     3     2    5
## 15     3     3    6
## 16     3     4    7
## 17     3     5    8
## 18     3     6    9
## 19     4     1    5
## 20     4     2    6
## 21     4     3    7
## 22     4     4    8
## 23     4     5    9
## 24     4     6   10
## 25     5     1    6
## 26     5     2    7
## 27     5     3    8
## 28     5     4    9
## 29     5     5   10
## 30     5     6   11
## 31     6     1    7
## 32     6     2    8
## 33     6     3    9
## 34     6     4   10
## 35     6     5   11
## 36     6     6   12

Contar frecuencias de las sumas

tabla <- lanzar_dados %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 

tabla <-  data.frame(tabla)

Tabla con nombres de x’s

colnames(tabla) <- c('x', 'casos')
tabla

##     x casos
## 1   2     1
## 2   3     2
## 3   4     3
## 4   5     4
## 5   6     5
## 6   7     6
## 7   8     5
## 8   9     4
## 9  10     3
## 10 11     2
## 11 12     1

Tabla con probabilidades

n <- sum(tabla$casos)
tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))


tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))


tabla

##     x casos f.prob f.acum
## 1   2     1 0.0278 0.0278
## 2   3     2 0.0556 0.0834
## 3   4     3 0.0833 0.1667
## 4   5     4 0.1111 0.2778
## 5   6     5 0.1389 0.4167
## 6   7     6 0.1667 0.5834
## 7   8     5 0.1389 0.7223
## 8   9     4 0.1111 0.8334
## 9  10     3 0.0833 0.9167
## 10 11     2 0.0556 0.9723
## 11 12     1 0.0278 1.0001

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 

gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')

gacumulada

Calcular probabilidades

Función para calcular probabilidades

# Llamar la función o cargar el archivo en donde estpa la función

source ("https://raw.githubusercontent.com/rpizarrog/probabilidad-y-estad-stica/master/Enero%20Junio%202022/funciones/funciones.para.distribuciones.r")

P(x = 3)

\(P(f(x=3))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 3

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 3, tipo = 0)

##   f.prob
## 1 0.0556

P(x = 7)

\(P(f(x=7))\)

La probabilidad cuando x sea igual a 7

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 0)

##   f.prob
## 1 0.1667

P(x >= 7)

\(P(F(x \ge7))\)

La probabilidad cuando x sea mayor o igual a 7 \(1 - P(F(X=6)) = P(7) + P(8) + P(9) + P(10) + P(11) + P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 7, tipo = 4)

##   f.acum
## 1 0.5833

P(x <= 5)

\(P(F(x \le 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor o igual a 5

\(P(F(X\le5)) = P(2) + P(3) + P(4) + P(5)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 3)

##   f.acum
## 1 0.2778

P(x > 5)

\(P(F(x < 5))\)

La probabilidad cuando x sea menor a 5

\(P(F(X > 5)) = P(6) + P(7) + P(8) ... P(12)\)

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 5, tipo = 2)

##   f.acum
## 1 0.7222

Estudiantes y oferta de empleo

Tres estudiantes agendan entrevistas para un empleo de verano en el Brookwood Institute. En cada caso el resultado de la entrevista será una oferta de trabajo o ninguna oferta. Los resultados experimentales se definen en términos de los resultados de las tres entrevistas. [@lind2015].

Enumere los resultados experimentales.
Defina una variable aleatoria que represente el número de ofertas de trabajo. ¿Es una variable aleatoria discreta o continua?

Dé el valor de la variable aleatoria que corresponde a cada uno de los resultados experimentales. [@lind2015].

resultado <- c(1,0) # 1 Si le ofrecen, 0 No le ofrecen
S <- permutations(resultado, n = 2, r = 3, repeats.allowed = TRUE)

S <- data.frame(S)
colnames(S) <- c("of1", "of2", "of3")
S

##   of1 of2 of3
## 1   0   0   0
## 2   0   0   1
## 3   0   1   0
## 4   0   1   1
## 5   1   0   0
## 6   1   0   1
## 7   1   1   0
## 8   1   1   1

Son ocho resultados experimentales que presenta el espacio muestral.

La variable aleatoria es \(x=0\) a ninguno se le ofrece empleo, \(x=1\) a uno de ellos se le ofrece empleo, \(x=2\) a dos de ellos se le ofrece empleo y \(x=3\) a los tres se les ofrece empleo.

Es una variable aleatoria discreta con valores en \(x\) de \(0\) a \(3\).

Tabla de probabilidades con x’s prob y acumulado

Sumando las ofertas

S <- S %>%
    mutate(suma = of1 + of2 + of3)

S

##   of1 of2 of3 suma
## 1   0   0   0    0
## 2   0   0   1    1
## 3   0   1   0    1
## 4   0   1   1    2
## 5   1   0   0    1
## 6   1   0   1    2
## 7   1   1   0    2
## 8   1   1   1    3

# El valor de n
n <- nrow(S)

Construir la tabla

tabla <- S %>%
  group_by(suma) %>%
  summarise(frec = n()) 

tabla <- data.frame(tabla)

colnames(tabla) <- c("x", "casos")


n <- sum(tabla$casos)

tabla <- tabla %>%
  mutate(f.prob = round(casos / n, 4))


tabla <- tabla %>%
  mutate(f.acum = cumsum(f.prob))


tabla

##   x casos f.prob f.acum
## 1 0     1  0.125  0.125
## 2 1     3  0.375  0.500
## 3 2     3  0.375  0.875
## 4 3     1  0.125  1.000

Visualizar frecuencias y el acumulado

gfrecuencias <- ggplot(data = tabla) +
  geom_col(aes(x = x, y = f.prob), fill= 'lightblue') 

gfrecuencias

gacumulada <- ggplot(data = tabla) +
  geom_line(aes(x = x, y = f.acum), col='blue') +
  geom_point(aes(x = x, y = f.acum), col='red')

gacumulada

Calcular probabilidades

P(x=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos estudiantes? \(P(f(x = 2))\).

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 0)

##   f.prob
## 1  0.375

P(x>=2)

¿Cuál es la probabilidad de que le ofrezcan trabajo a dos o mas estudiantes? \[ P(x \ge 2) = P(2) + P(3) + P(4) \]

\[ P(x \ge 2) = 1 - F(x=1) \]

f.prob.discr(datos = tabla, discreta = 2, tipo = 4)

##   f.acum
## 1    0.5

Ejercicios con variables continuas y distribución uniforme

Espera de autobús

Un autobús para por cierta parada cada 15 minutos. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que llega en un momento dado tenga que esperar el autobús mas de cinco minutos?

¿Cual es la densidad?

Es la altura, es decir para cualquier valor desde 0 a 15 la densidad es la misma. \(0.0666 …\) ó \(\frac{1}{15}\) con estos valores mínimos y máximos de \(0, 15\) respectivamente.

Entonces la densidad para una distribución uniforme puede obtenerse mediante función dunif() o mediante la fórmula \(\frac{1}{b-a)}\) siempre y cuando se identifiquen y se tengan los valores del intervalo mínimo \(a\) y máximo \(b\).

dens <- dunif(x = 0:15, min = 0, max = 15)
dens

##  [1] 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667
##  [7] 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667
## [13] 0.06666667 0.06666667 0.06666667 0.06666667

\(P(x > 5\)

Para calcular la probabilidad puede hacerse calculando el área que representa el intervalo cuya base es desde 5 a 15 es decir, 10 y multiplicada por la altura o la densidad \(\frac{1}{15}\). O se puede encontrar mediante la función punif() de probabilidad de distribución uniforme.

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura

## [1] 0.06666667

base <- 10

area <- base * altura
area

## [1] 0.6666667

paste("La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de ", round(area * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de  66.67 %"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x>5) \]

x = 5
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1

## [1] 0.3333333

prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2

## [1] 0.6666667

prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3

## [1] 0.6666667

paste("La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de ", round(prob3 * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de esperar mas de 5 minutos es de  66.67 %"

\(P(x < 2\))

¿Cuál es la probabilidad de que una persona espere un tiempo menor que 2 minutos?

a <- 0
b <- 15
altura <- 1 / (b -a)
altura

## [1] 0.06666667

base <- 2

area <- base * altura
area

## [1] 0.1333333

paste("La probabilidad de esperar menos de 2 minutos es de ", round(area * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de esperar menos de 2 minutos es de  13.33 %"

Calcular la probabilidad por medio de la función punif()

\[ P(x<=2) \]

x = 2
prob1 <- punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob1

## [1] 0.1333333

prob2 <- 1  - punif(q = x, min = 0, max = 15)
prob2

## [1] 0.8666667

prob3 <- punif(q = x, min = 0, max = 15, lower.tail = FALSE)
prob3

## [1] 0.8666667

paste("La probabilidad de esperar menos de 2 minutosminutos es de ", round(prob1 * 100, 2), "%")

## [1] "La probabilidad de esperar menos de 2 minutosminutos es de  13.33 %"

Interpretación

En el caso de los dados y en el de la oferta de empleos se trabaja con variables discretas primeramente porque se trabaja con valores enteros y esa es una buena referencia, pero para ser más especifico la variable discreta solo puede tomar ciertos datos especificos y no infinitos por ejemplo el dado tiene lados con 1, 2, 3, 4, 5, 6, lo que nos deja en un máximo resultado de 12, significa que la variable pueden ser numeros enteros en el rango de 1 a 12, no puede ser 1.222558…, en el caso de los empleos igual nos ponen un rango en enteros del 0 al 3.

En el caso de Espera de Autobús se dice que un autobús llega a la parada cada 15 minutos, entonces una persona puede esperar en la parada de 0 a 15 minutos con la diferencia que es muy dificil que las personas esperen perfectamente 0, 1 o 10 minutos exactos, las personas pueden esperar 5 min con 15 seg o 30 seg, en pocas palabras cantidades infinitas de tiempo dentro del rango de 0 a 15 minutos, es por ello que la variable del caso se considera continua.

Entonces las variables que pueden tomar valores específicos no infinitos y distintos entre ellos son variables discretas y las variables que pueden tomar valores infinitos son variables continuas.

Bibliografía

Lind, Douglas, William Marchal, and Samuel Wathen. 2015. Estadística Aplicada a Los Negocios y La Economía. Decimo Sexta. México, D.F.: McGraw-Hill.

Caso 15. Ejercicios de variables aleatorias discretas y continuas con distribución uniforme

Jesus Alberto Cabral Quiñonez

09/10/2022

Objetivo

Desarrollo

Cargar librerías

Ejercicios con variables discretas

Tirar dos dados

Construir tabla de distribución

Contar frecuencias de las sumas

Tabla con nombres de x’s

Tabla con probabilidades

Visualizar frecuencias y el acumulado

Calcular probabilidades

Función para calcular probabilidades

P(x = 3)

P(x = 7)

P(x >= 7)

P(x <= 5)

P(x > 5)

Estudiantes y oferta de empleo

Tabla de probabilidades con x’s prob y acumulado

Visualizar frecuencias y el acumulado

Calcular probabilidades

P(x=2)

P(x>=2)

Ejercicios con variables continuas y distribución uniforme

Espera de autobús

¿Cual es la densidad?

Interpretación

Bibliografía