Caso_13
Javier Antonio Lopez Herrea
2022-10-04
Objetivo
Resolver cuestiones de casos de probabilidad en casos mediante la identificación de variables aleatorias, funciones de probabilidad,funciones acumuladas, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas; visualización gráfica relacionada con variables discretas.
Descripción
Desarrollar ejercicios relacionados con variables discretas para identificar variables discretas, las funciones de probabilidad de cada variable, la función acumulada, su visualización gráfica para su correcta implementación.
Se incluye en el caso, media, varianza y desviación estándar de distribuciones de variables discretas.
Los casos son identificados de la literatura relacionada con variables aleatorias discretas. Se deben elaborar tres ejercicios en este caso 13 encontrados en la literatura que se encuentran en el caso 14.
Marco de referencia
Una variable aleatoria es una descripción numérica del resultado de un experimento (anderson2008c?).
Las variables aleatorias deben tomar valores numéricos. En efecto, una variable aleatoria asocia un valor numérico a cada uno de los resultados experimentales.
El valor numérico de la variable aleatoria depende del resultado del experimento. Una variable aleatoria puede ser discreta o continua, depende del tipo de valores numéricos que asuma.(Anderson, Sweeney, and Williams 2008).
Para este documento se tratan únicamente variables del tipo discreta.
En cualquier experimento aleatorio, los resultados se presentan al azar; así, a este se le denomina variable aleatoria. Por ejemplo, lanzar un dado constituye un experimento: puede ocurrir cualquiera de los seis resultados posibles. Cada valor de la variable aleatoria se relaciona con una probabilidad que indica la posibilidad de un resultado determinado (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).
En su libro (Walpole, Myers, and Myers 2012) define que una variable aleatoria es una función que asocia un número real con cada elemento del espacio muestral.
Una función de probabilidad, una función de masa de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta X si, para cada resultado x posible.
Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que \(0\). \[f(x) \geq 0\]
La suma de las probabilidad de todas las variables \(x\) debe ser igual a \(1\) o la suma de los valores de cada función de probabilidad con respecto a \(x\) debe ser \(1\) \[\sum _xf(x) = 1\]
La probabilidad de cada variable \(x\) es igual a la función de probabilidad con respeto a \(x\) \[P(X=x) = f(x)\] (Walpole, Myers, and Myers 2012).
Por otra parte, la función de la distribución acumulativa F(x) ó probabilidad acumulada de una variable aleatoria discreta \(X\) con distribución de probabilidad \(f(x)\) está dada por la suma de sus probabilidades de \(t\) siendo \(t\) menor o igual a \(x\). Es decir, la probabilidad acumulada suma los valores de las funciones de probabilidad a partir del valor inicial de \(x\). El valor final con respecto a valor final de \(x\) debe ser igual a 1. \[F(x)=P(X \le x) = \sum_{t \le x}f(t)\] (Walpole, Myers, and Myers 2012).
La media de una distribución discreta es también recibe el nombre de valor esperado. Se trata de un promedio ponderado de los posibles valores de una variable aleatoria se ponderan con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia (Lind, Marchal, and Wathen 2015a)
La fórmula para el valor esperado es: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
La varianza de una distribución discreta constituye un valor típico para resumir una distribución de probabilidad discreta, describe el grado de dispersión (variación) en una distribución (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).
Su fórmula es: \[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]
La fórmula anterior significa:
La media se resta de cada valor de la variable aleatoria y la diferencia se eleva al cuadrado.
Cada diferencia al cuadrado se multiplica por su probabilidad.
Se suman los productos resultantes para obtener la varianza.
La desviación estándar, \(\alpha\), se determina al extraer la raíz cuadrada positiva de \(\alpha^2\); es decir, \(\alpha = \sqrt{\alpha^2}\) (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).
Desarrollo
Cargar librerías
- Posiblemente se utilicen algunas de ellas
library(ggplot2)
library(stringr) # String
library(stringi) # String
library(gtools)
library(dplyr)
library(knitr)
options(scipen = 999) # Notación normalEjercicios
- Para cada ejercicio algunos vistos en el caso anterior y otros nuevos para este caso, se describe y define su contexto.
- Se construye su tabla de probabilidad que contenga los valores de la variable aleatoria, la función de probabilidad y su función acumulada, la gráfica de barra de los valores de las variables aleatoria y la gráfica lineal de la función acumulada.
- Con la tabla de probabilidades en algunos ejercicios se determinan y calculan probabilidades.
- Se determina el valor esperado de cada ejercicio
- Se determina la varianza y la desviación estándar de la distribución de las variables discretas.
Billetes para rifa
Se venden 5000 billetes para una rifa a 1 euro cada uno. Existe un único premio de cierta cantidad, calcular los valores de las variables aleatorias y sus probabilidades para 0 para no gana y 1 para si gana cuando un comprador adquiere cincuenta billetes. (Hero, n.d.).
Tabla de probabilidad
discretas <- c(0,1) # 0 Que no gane, 1 que gane
n <- 5000 # sum(casos)
casos <- c(4950,50)
probabilidades <- casos / n
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1.00 | 0.01 |
Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum xP(x)\]
- VE es el valor esperado
# VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE <- sum(tabla$x.f.prob.x)
VE## [1] 0.01El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Significa muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos 0.01
Varianza
- Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
#tabla
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 | 0.01 | 0.000099 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1.00 | 0.01 | 0.01 | 0.009801 |
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2P(x)\]
- varianza = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 0.0099Desviación estándard de una distribución discreta
La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 0.09949874La tabla con las sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 4950 | 0.99 | 0.99 | 0.00 | 0.01 | 0.000099 |
| 1 | 50 | 0.01 | 1 | 0.01 | 0.01 | 0.009801 |
| **** | 5000 | 1.00 | **** | 0.01 | **** | 0.009900 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Automóviles de Pelican Ford
Un vendedor llamado John Rasgdale vende la mayor cantidad de automóviles el sábado, así que desarrolló la siguiente distribución de probabilidades, en la cual se muestra la cantidad de automóviles que espera vender un sábado determinado.
La variable discreta venta de automóviles: \(0,1,2,3,4\) el sábado. Los valores de la probabilidad son : \(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1\), previamente definidos.
Ya se dan las probabilidades de tal forma que la cantidad de casos no se dispone en este ejercicio.
¿De qué tipo de distribución se trata?, variables discretas
¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?
¿Cuál es la varianza de la distribución? (Lind, Marchal, and Wathen 2015a).
Tabla de probabilidad
discretas <- 0:4
casos <- rep(0, 5)
probabilidades <- c(0.1, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1)
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado (sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 | 0.1 | 0.0 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.2 |
| 2 | 0 | 0.3 | 0.6 | 0.6 |
| 3 | 0 | 0.3 | 0.9 | 0.9 |
| 4 | 0 | 0.1 | 1.0 | 0.4 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que se vendan DOS automóviles, es decir \(f(x=2)\) ó \(P(x=2)\)?, 30%
filter(tabla, x == 2 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 2 0.3¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MENOS DE DOS automóviles, es decir \(f(x< 2)\) ó \(P(x<2)\) ? 30%
\[ \sum P(x=0) + P(x=1) \]
filter(tabla, x < 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.1 0.1
## 2 1 0.2 0.3¿Cuál es la probabilidad de que se vendan MAS DE DOS automóviles, es decir \(f(x> 2)\) ó \(P(x>2)\) ? 40%
\[ \sum P(x=3) + P(x=4) \text{ ó } \]
\[ 1 - \sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) \]
filter(tabla, x > 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 3 0.3 0.9
## 2 4 0.1 1.0Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 2.1El valor esperado significa la media ponderada de las probabilidades o lo que es lo mismo es lo que se puede esperar.
Varianza
- Agregando columna para obtención de la varianza a partir de los datos de la tabla previamente generada.
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza (sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 | 0.1 | 0.0 | 2.1 | 0.441 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 2.1 | 0.242 |
| 2 | 0 | 0.3 | 0.6 | 0.6 | 2.1 | 0.003 |
| 3 | 0 | 0.3 | 0.9 | 0.9 | 2.1 | 0.243 |
| 4 | 0 | 0.1 | 1.0 | 0.4 | 2.1 | 0.361 |
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2\cdot P(x)\]
- varianza = varianza de la distribución
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 1.29Desviación estándar de una distribución discreta
La raiz cuadrada de la varianza \[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
desv.std = desviación estándard
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 1.135782La tabla con las sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0.1 | 0.1 | 0.0 | 2.1 | 0.441 |
| 1 | 0 | 0.2 | 0.3 | 0.2 | 2.1 | 0.242 |
| 2 | 0 | 0.3 | 0.6 | 0.6 | 2.1 | 0.003 |
| 3 | 0 | 0.3 | 0.9 | 0.9 | 2.1 | 0.243 |
| 4 | 0 | 0.1 | 1 | 0.4 | 2.1 | 0.361 |
| **** | **** | 1.0 | **** | 2.1 | **** | 1.290 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Solicitudes de puestos de hombres y mujeres
Una compañía tiene cinco solicitantes para dos puestos de trabajo: dos mujeres y tres hombres. Suponga que los cinco solicitantes son igualmente calificados y que no hay preferencia para elegir su género al igual que no importa el orden de género de hombres y mujeres (combinaciones).
Sea \(x\) la variable aleatoria discreta al número de mujeres elegidas para ocupar los dos puestos de trabajo. Encuentre las probabilidades para elegir 0 mujeres, 1 mujer o 2 mujeres. (mendenhall_introduccion_2010?).
Haciendo las combinaciones en donde \(M = Mujer \text{ y }H = Hombre\)
personas <- c("H1", "H2", "H3", "M1", "M2")
S.espacio.muestral <- combinations(n = 5, r = 2, v=personas)
S.espacio.muestral ## [,1] [,2]
## [1,] "H1" "H2"
## [2,] "H1" "H3"
## [3,] "H1" "M1"
## [4,] "H1" "M2"
## [5,] "H2" "H3"
## [6,] "H2" "M1"
## [7,] "H2" "M2"
## [8,] "H3" "M1"
## [9,] "H3" "M2"
## [10,] "M1" "M2"De acuerdo al espacio muestral \(n\) con diez elementos, ¿en cúantas ocasiones hay cero mujeres?, ¿en cuántas ocasiones hay una mujer? y en cuántas ocasiones hay dos mujeres?
discretas <- c(0, 1, 2)
casos <- c(3, 6, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nTabla de probabilidades
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1.0 | 0.2 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que haya UNA MUJER?, es decir \(P(X=1)\) ó \(f(x=1)\) ? 60%
filter(tabla, x == 1 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 1 0.6¿Cuál es la probabilidad de que haya MENOS DE DOS MUJERES?, es decir \(P(x=0) + P(x=1)\) ó \(f(x<2)\) ? 90%
filter(tabla, x < 2 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.3 0.3
## 2 1 0.6 0.9¿Cuál es la probabilidad de que haya MAS DE 1 MUJER O SEA DOS?, es decir \(P(x=2)\) ó \(f(x>1)\) ? 10%
filter(tabla, x > 1 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 2 0.1 1Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 0.8Varianza
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 | 0.8 | 0.192 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 | 0.8 | 0.024 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1.0 | 0.2 | 0.8 | 0.144 |
Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 0.36Desviación estándar
\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 0.6Tabla con sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 3 | 0.3 | 0.3 | 0.0 | 0.8 | 0.192 |
| 1 | 6 | 0.6 | 0.9 | 0.6 | 0.8 | 0.024 |
| 2 | 1 | 0.1 | 1 | 0.2 | 0.8 | 0.144 |
| **** | 10 | 1.0 | **** | 0.8 | **** | 0.360 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Número de hijos de parejas
En la siguiente tabla se presenta la distribución del número de hijos de un grupo de 100 parejas (humanos): Ejercicio extraído de: (Descartes 2018).
variable aleatoria x No hijos |
cantidad de parejas |
|---|---|
| 0 | 15 |
| 1 | 40 |
| 2 | 23 |
| 3 | 10 |
| 4 | 7 |
| 5 | 4 |
| 6 | 1 |
| Total parejas encuestadas | 100 |
discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6)
casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 )
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nTabla de probabilidades
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con la columna para valor esperado")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1.00 | 0.06 |
Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de encontrar aletoriamente parejas con TRES HIJOS, es decir, \(f(x=3)\) ó \(P(x=3)\) 10%
filter(tabla, x == 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 3 0.1 0.88¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MENOS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x<3)\) ó \(\sum f(x={0,1,2})\) ó \(\sum P(x=0) + P(x=1) + P(x=2)\) ó \(F \text{ acumulada }(x)\)
78%
filter(tabla, x < 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.15 0.15
## 2 1 0.40 0.55
## 3 2 0.23 0.78¿Cuál es la probabilidad de encontrar aleatoriamente parejas con MAS DE TRES HIJOS, es decir, \(f(x>3)\) ó \(\sum f(x={4,5,6})\) ó \(\sum P(x=4) + P(x=5) + P(x=6)\) ó \(1 - F(x = 3)\); 12%
filter(tabla, x > 3 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 4 0.07 0.95
## 2 5 0.04 0.99
## 3 6 0.01 1.00Valor esperado
Se determina el valor esperado de acuerdo a la fórmula: \[\mu = \sum x \cdot P(x)\]
- VE es el valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 1.7Varianza
\[\alpha^2 = \sum(x-\mu)^2 \cdot P(x)\]
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 | 1.7 | 0.4335 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 | 1.7 | 0.1960 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 | 1.7 | 0.0207 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 | 1.7 | 0.1690 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 | 1.7 | 0.3703 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 | 1.7 | 0.4356 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1.00 | 0.06 | 1.7 | 0.1849 |
Calculando la varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 1.81Desviación estándar
\[\alpha = \sqrt{ \alpha^2 }\]
Con la raiz cuadrada de la varianza se determina la desviación estándard de la distribución de variables aleatorias.
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 1.345362Tabla con sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 15 | 0.15 | 0.15 | 0.00 | 1.7 | 0.4335 |
| 1 | 40 | 0.40 | 0.55 | 0.40 | 1.7 | 0.1960 |
| 2 | 23 | 0.23 | 0.78 | 0.46 | 1.7 | 0.0207 |
| 3 | 10 | 0.10 | 0.88 | 0.30 | 1.7 | 0.1690 |
| 4 | 7 | 0.07 | 0.95 | 0.28 | 1.7 | 0.3703 |
| 5 | 4 | 0.04 | 0.99 | 0.20 | 1.7 | 0.4356 |
| 6 | 1 | 0.01 | 1 | 0.06 | 1.7 | 0.1849 |
| **** | 100 | 1.00 | **** | 1.70 | **** | 1.8100 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity") 
Gráfica lineal acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Lanzamiento de un dado
Se lanza un dado perfecto 240 veces, se anota el resultado obtenido en la cara superior obteniendo los siguientes resultados:
| Cara superior | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Número de veces | 40 | 39 | 42 | 38 | 42 | 39 |
Inicializando variables
discretas <- c( 1, 2, 3, 4, 5, 6)
casos <- c(40, 39, 42, 38,42, 39)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nTabla de probabilidad
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x
## 1 1 40 0.1666667 0.1666667 0.1666667
## 2 2 39 0.1625000 0.3291667 0.3250000
## 3 3 42 0.1750000 0.5041667 0.5250000
## 4 4 38 0.1583333 0.6625000 0.6333333
## 5 5 42 0.1750000 0.8375000 0.8750000
## 6 6 39 0.1625000 1.0000000 0.9750000Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga un DOS, es decir \((x=2)\)?
filter(tabla, x == 2 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 2 0.1625¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga en CUATRO, es decir \((x=4)\)?
filter(tabla, x == 4 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 4 0.1583333¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MENOR QUE CUATRO, es decir \((x < 4)\)?
filter(tabla, x < 4 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 1 0.1666667 0.1666667
## 2 2 0.1625000 0.3291667
## 3 3 0.1750000 0.5041667¿Cuál es la probabilidad de que el dado caiga MAYOR QUE CUATRO, es decir \((x > 4)\)?
filter(tabla, x > 4 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 5 0.1750 0.8375
## 2 6 0.1625 1.0000Valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 3.5Varianza
tabla <- cbind(tabla, 'VE' = VE, 'x-VE.cuad.f.prob.x' = (tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
kable(tabla, caption = "Tabla de probabilidad con valor esperado y columnas para varianza (sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 40 | 0.1666667 | 0.1666667 | 0.1666667 | 3.5 | 1.0416667 |
| 2 | 39 | 0.1625000 | 0.3291667 | 0.3250000 | 3.5 | 0.3656250 |
| 3 | 42 | 0.1750000 | 0.5041667 | 0.5250000 | 3.5 | 0.0437500 |
| 4 | 38 | 0.1583333 | 0.6625000 | 0.6333333 | 3.5 | 0.0395833 |
| 5 | 42 | 0.1750000 | 0.8375000 | 0.8750000 | 3.5 | 0.3937500 |
| 6 | 39 | 0.1625000 | 1.0000000 | 0.9750000 | 3.5 | 1.0156250 |
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 2.9Desviación estándar
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 1.702939Tabla de sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | VE | x-VE.cuad.f.prob.x |
|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | 40 | 0.1666667 | 0.166666666666667 | 0.1666667 | 3.5 | 1.0416667 |
| 2 | 39 | 0.1625000 | 0.329166666666667 | 0.3250000 | 3.5 | 0.3656250 |
| 3 | 42 | 0.1750000 | 0.504166666666667 | 0.5250000 | 3.5 | 0.0437500 |
| 4 | 38 | 0.1583333 | 0.6625 | 0.6333333 | 3.5 | 0.0395833 |
| 5 | 42 | 0.1750000 | 0.8375 | 0.8750000 | 3.5 | 0.3937500 |
| 6 | 39 | 0.1625000 | 1 | 0.9750000 | 3.5 | 1.0156250 |
| **** | **** | 1.0000000 | **** | 3.5000000 | **** | 2.9000000 |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity")
Gráfica acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Tomar vasos de agua ITD
Se tiene un estudio de que en época de calor los estudiantes del Tecnológico consumen cierta cantidad de vasos de agua durante el dia.
Se estima que se toman al alrededor de 1 a 8 vasos diarios durante el día para aliviar la sed y hidratar el cuerpo.
La siguiente tabla establece la cantidad de vasos que toman los alumnos durante el día siendo x la variable aleatoria discreta los vasos que se toman.
De un estudio de 150 alumnos esas fueron las respuestas.
| x = vasos de agua | casos |
|---|---|
| 0 | 8 |
| 1 | 12 |
| 2 | 16 |
| 3 | 19 |
| 4 | 24 |
| 5 | 28 |
| 6 | 25 |
| 7 | 14 |
| 8 | 4 |
Inicializando variables
discretas <- c( 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8)
casos <- c( 8,12,16,19,24,28,25,14, 4)
n <- sum(casos)
probabilidades <- casos / nTabla de probabilidad
acumulada <- cumsum(probabilidades) # Acumulada
tabla <- data.frame(x=discretas,
casos = casos,
f.prob.x = probabilidades,
F.acum.x = acumulada,
x.f.prob.x = (discretas * probabilidades))
tabla## x casos f.prob.x F.acum.x x.f.prob.x
## 1 0 8 0.05333333 0.05333333 0.0000000
## 2 1 12 0.08000000 0.13333333 0.0800000
## 3 2 16 0.10666667 0.24000000 0.2133333
## 4 3 19 0.12666667 0.36666667 0.3800000
## 5 4 24 0.16000000 0.52666667 0.6400000
## 6 5 28 0.18666667 0.71333333 0.9333333
## 7 6 25 0.16666667 0.88000000 1.0000000
## 8 7 14 0.09333333 0.97333333 0.6533333
## 9 8 4 0.02666667 1.00000000 0.2133333Cálculo de probabilidades
¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente alumnos y mencionen que se toman CUATRO VASOS DE AGUA?
filter(tabla, x == 4 ) %>%
select(x, f.prob.x)## x f.prob.x
## 1 4 0.16¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente alumnos y mencionen que se toman MENOS DE CUATRO VASOS DE AGUA?
filter(tabla, x < 4 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 0 0.05333333 0.05333333
## 2 1 0.08000000 0.13333333
## 3 2 0.10666667 0.24000000
## 4 3 0.12666667 0.36666667¿Cuál es la probabilidad de que se elija aleatoriamente alumnos y mencionen que se toman MAS DE CUATRO VASOS DE AGUA?
filter(tabla, x > 4 ) %>%
select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x
## 1 5 0.18666667 0.7133333
## 2 6 0.16666667 0.8800000
## 3 7 0.09333333 0.9733333
## 4 8 0.02666667 1.0000000Valor esperado
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 4.113333Varianza
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x)
varianza## [1] 4.233822Desviación estándar
desv.std <- sqrt(varianza)
desv.std## [1] 2.057625Tabla de sumatorias
tabla.sumatorias <- rbind(tabla, apply(tabla, 2, sum))
tabla.sumatorias[nrow(tabla.sumatorias), c(1,2,4,6)] <- '****'
kable(tabla.sumatorias, caption = "Tabla de probabilidad con sumatorias,(sin número de casos)")| x | casos | f.prob.x | F.acum.x | x.f.prob.x | V6 |
|---|---|---|---|---|---|
| 0 | 8 | 0.0533333 | 0.0533333333333333 | 0.0000000 | NA |
| 1 | 12 | 0.0800000 | 0.133333333333333 | 0.0800000 | NA |
| 2 | 16 | 0.1066667 | 0.24 | 0.2133333 | NA |
| 3 | 19 | 0.1266667 | 0.366666666666667 | 0.3800000 | NA |
| 4 | 24 | 0.1600000 | 0.526666666666667 | 0.6400000 | NA |
| 5 | 28 | 0.1866667 | 0.713333333333333 | 0.9333333 | NA |
| 6 | 25 | 0.1666667 | 0.88 | 1.0000000 | NA |
| 7 | 14 | 0.0933333 | 0.973333333333333 | 0.6533333 | NA |
| 8 | 4 | 0.0266667 | 1 | 0.2133333 | NA |
| **** | **** | 1.0000000 | **** | 4.1133333 | **** |
Gráfica de barra
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=f.prob.x, fill=x)) +
geom_bar(stat="identity")
Gráfica acumulada
ggplot(data = tabla, aes(x = x, y=F.acum.x)) +
geom_point(colour="blue") +
geom_line(colour="red")
Interpretación de los ejercicios del caso
Se presentaron varios ejercicios de variables aleatorias discretas en donde se determiniaron las funciones de probabilidad y la función acumulada, la media o valor esperado, la varianza y su desviación estándard.
Se generaron gráficas de barras de los valores de las variables y la gráfica lineal de las tendencias.
El valor esperado en el ejercicio 1 del sorteo con valor de 1%, significa que es es muy muy muy …. remoto la probabilidad de ganar en el sorteo de 5000 boletos.
En el ejercicio de vena de automóviles de John, se trata de una distribución de probabilidad discreta de la variable aleatoria “número de automóviles vendidos”.
El valor esperado es del 2.1 que significa que puede vender 2 autos como esperanza.
El valor esperado se utiliza para predecir la media aritmética de la cantidad de automóviles vendidos a largo plazo. Por ejemplo, si John trabaja \(50\) sábados en un año, puede esperar vender \((50)(2.1)\) o \(105\) automóviles solo durante los sábados. Por consiguiente, a veces la media recibe el nombre de valor esperado(Lind, Marchal, and Wathen 2015b).
El valor de la varianza es de 1.29 que significa lo que puede variar con respecto al valor esperado. La desviación estándard es de \(1.135782\).
¿Cómo se interpreta la variación?
Por ejemplo, Si la vendedora Rita Kirsch también vendió un promedio de 2.1 automóviles los sábados pero tien tal vez una desviacón de 1.9 en comparación del 1.135782 de John, entonces de puede decir que hay mayor variabilidad en la vendedora Rita dado que \((1.91 \geq 1.35)\) (Lind, Marchal, and Wathen 2015b).
En el caso de las vacantes de puestos para hombres y mujeres el resultado del valor esperado es de \(0.8\) que significa la probabilidad de contratar mujeres en promedio, su desviación estándar es de \(0.6\) que significa nivel de dispersión (alejamiento) de la probabilidad de cada variable aleatoria con respecto al valor esperado.
Del ejercicio de parejas contestar las preguntas:
¿Cuál es la probabilidad de una pareja elegida al azar tenga menos de dos hijos? \(P(x<2)\) 55%
discretas <- c(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6) casos <- c(15, 40, 23, 10, 7, 4, 1 ) n <- sum(casos) probabilidades <- casos / n filter(tabla, x < 2 ) %>% select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x ## 1 0 0.05333333 0.05333333 ## 2 1 0.08000000 0.13333333¿Cuál es la probabilidad de que tenga más de tres hijos? \(P(x>3)\) 12%
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x)
VE## [1] 4.113333Si se elige un hijo al azar, ¿cuál es la probabilidad de que no tenga hermanos? \(P(x=0)\)
probabilidades <- casos / n filter(tabla, x < 1 ) %>% select(x, f.prob.x, F.acum.x)## x f.prob.x F.acum.x ## 1 0 0.05333333 0.05333333Determina el número de hijos esperado al seleccionar una familia al azar. ¿Cuál es el valor esperado y qué significa?
VE <- sum(tabla$x * tabla$f.prob.x) VE## [1] 4.113333Calcula la varianza y la desviación de la distribución e interpretar su significado.
varianza <- sum((tabla$x - VE)^2 * tabla$f.prob.x) varianza## [1] 4.233822desv.std <- sqrt(varianza) desv.std## [1] 2.057625Interpretacion
Una variable aleatoria toma valores numéricos dependiendo de los resultados del experimento. Existen dos tipos de variables las discretas o continuas, depende del tipo de valores que asuma los resultados asociados a loa espacios muestrales . Toda función de probabilidad debe ser mayor o igual que 0 La suma de las probabilidades de todas la variables debe ser igual a 1
Interpretar el ejercicio del dado
Al lanzar un dado 240 veces, el numero con mayor probabilidad de caer es el 3 y 5 con una probabilidad de 17.50% el cual permite econtrar el valor esperado siendo este el 3.5 con una Desviacion estandar del 1.70 sienda las valores sercanos o lo mas aproximados el 5.2 como el numero con igualdad de condicion de probabilidad al igual que tomoar el 5 como punto central.
Interpretar el ejercicio de los vasos de agua
Al realizar una estimacion de los vasos que se concumen en la epoca de calor tomando como muestra a 150 alumnos del Tecnologico nos propórciona una base de datos dando como puntos de referencia que 8 alunos no cocnumen nigun vaso de agua, como punto contrario 28 alumnos coincidieron que toman 5 vasos de agua en un dia demostrando ser una probabilidad del 18.66% con un valor esperado de 4.1 teniendo una desviacion de 2 con los valores mas altos continuos siendo estos el de 4 vasos y 6 vasos por dia.