4.2 The Definite Integral
1. 極限型式
\[\lim_{n \to \infty} \sum_{i=1}^{n}
f(x_i^*)\Delta x = \lim_{n \to \infty} \left[f(x_1^*)\Delta
x+f(x_2^*)\Delta x+\dots+f(x_n^*)\Delta x\right] \]
2. 定積分 (Definite Integral) 的定義
若 \(\,f(x)\,\) 為 \([a,b]\) 上的函數。將 \([a, b]\) 等分為 n 個子區間，每個寬度為
\(\Delta x =\frac {b-a}{n}\)。
令 \(x_0=a, x_1, x_2,..., x_n =
b\) 為子區間的端點,且\(x_1^*,
x_2^*,..., x_n^*\)為樣本點，\(x_i^*\in
[x_{i-1},x_i]\)。
若極限\(\,\displaystyle\lim_{n \to
\infty} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x\)
存在，且對任意選取的樣本點其值均相等，
則 \(f(x)\) 在 \([a,b]\) 上的定積分 (the definite integral
of \(f\) from \(a\) to \(b\)) 為
\[\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{n \to \infty}
\sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x\]
3. 定理
若 \(\,f\,\) 在 \([a,b]\) 上連續或只有有限個跳躍不連續
(逐段連續函數)，則 \(\,f\,\) 在 \([a,b]\) 上可積分。
4. 定理
若 \(\,f\,\) 在 \([a,b]\) 可積分，則
\[\int_{a}^{b}f(x)\;dx=\lim_{n \to \infty}
\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x\]
其中 \(\Delta x =
\frac {b-a}{n}\,\) 和 \(\,x_i=a+i\:\Delta x\)
5. 中點法則 (The Midpoint Rule)
\[\int_{a}^{b}f(x)\;dx\approx
\sum_{i=1}^{n} f(\bar x_i)\Delta x =\Delta x \left[f(\bar x_1)+f(\bar
x_2) x+\dots+f(\bar x_n) \right]\]
其中 \(\Delta x =
\frac {b-a}{n}\,\) 和 \(\,\bar x_i=
\frac {1}{2}(x_{i-1}+x_{i})\)
6. 定積分性質 (Properties of Definite Integrals)
\((1)\int_{a}^{b}c\;dx=c(b-a)\)，其中 \(c\) 為常數
\((2)\int_{a}^{b}\left[f(x)+g(x)\right]\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx\;+\;\int_{a}^{b}g(x)\;dx\)
\((3)\int_{a}^{b}cf(x)\;dx=c\int_{a}^{b}f(x)\;dx\)，其中
\(c\) 為常數
\((4)\int_{a}^{b}\left[f(x)-g(x)\right]\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx\;-\;\int_{a}^{b}g(x)\;dx\)
\((5)\int_{a}^{c}f(x)\;dx+\int_{c}^{b}f(x)\;dx=\int_{a}^{b}f(x)\;dx\)
\((6)若在\,[a,b]\,上，f(x)\ge 0 \quad
\forall\; a\le x \le b，則\:\int_{a}^{b}f(x)\;dx \ge 0\)
\((7)若在\,[a,b]\,上，f(x)\ge g(x) \quad
\forall\; a\le x \le b，則\:\int_{a}^{b}f(x)\;dx \ge
\int_{a}^{b}g(x)\;dx\)
\((8)若在\,[a,b]\,上，m \le f(x)\le M
\quad \forall\; a\le x \le b，則\;m(b-a)\le\:\int_{a}^{b}f(x)\;dx \le
M(b-a)\)
4.3 The Fundamental Theorem of Calculus
1. 微積分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus) Part 1
若 \(\,f\,\) 在 \([a,b]\) 上連續，令\(\,g\,\) 為
\[g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\;dt\quad \quad
a\le x \le b\]
則 \(\,g\,\) 在 \([a,b]\) 上連續，\(\,g\,\)在 \((a,b)\) 上可微，
且 \(\,g'(x)=f(x)\,\)，即
\(\frac
{d}{dx}\int_{a}^{x}f(t)\;dt=f(x)\)
2. 微積分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus) Part 2
若 \(\,f\,\) 在 \([a,b]\) 上連續，則
\[\int_{a}^{b}f(x)\;dx=F(b)-F(a)\]
其中 \(\,F\,\) 為 \(\,f\,\) 的任一反導函數，也就是 \(\,F'(x)=f(x)\)
3. 微積分基本定理
假設 \(\,f\,\) 在 \([a,b]\) 上連續，
\((1)若
\,g(x)=\int_{a}^{x}f(t)\;dt，則\;g'(x)=f(x)\,\)
\((2)\int_{a}^{b}f(x)\;dx=F(b)-F(a)，其中\;F\;為\;f\;的任一反導函數，也就是\;F'(x)=f(x)\)
4.5 The Substitution Rule
1. 代換法則 (The Substitution Rule)
若 \(u=g(x)\) 在區間 \(I\) 上可微和 \(f\) 在 \(I\) 上連續，則
\[\int f(g(x))g'(x)\;dx=\int
f(u)\;du\]
2. 定積分的代換法則
若 \(g'\) 在 \([a,b]\) 上連續和 \(f\) 在 \(u=g(x)\) 的值域上連續，則
\[\int_{a}^{b}
f(g(x))g'(x)\;dx=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u)\;du\]
3. 對稱函數的積分 (Integrals of Symmetric Functions)
假設 \(f\)
在 \([-a,a]\) 上連續，
\((1)若\;f\;為偶\;(even)\;函數，則\;\int_{-a}^{a}
f(x)\;dx=2\int_{0}^{a} f(x)\;dx\)
\((2)若\;f\;為奇\;(odd)\;函數，則\;\int_{-a}^{a}
f(x)\;dx=0\)
Reference :
Essential Calculus, metric edition 2e, (2022) James Stewart, Daniel
K. Clegg, Saleem Watson, Cengage Learning.
Paul’s Online Notes
The LibreTexts libraries Methmatics
Andrew Incognito, Ximera, Ohio State University
Math’s Fun Advance
Math24
GeoGebra