PROBLEMA 4

La edad de una antigua pieza de materia orgánica se puede estimar a partir de la tasa a la que emite partículas beta como resultado del decaimiento del carbono-14. Por ejemplo, si X es el número de partículas emitidas durante diez minutos por un fragmento óseo con 10000 años de antigüedad que contiene 1 g de carbono, entonces X tiene una distribución de Poisson con media λ=45.62 . Un arqueólogo descubrió un pequeño fragmento óseo que contiene 1 g de carbono. Si \(\hat{t}\) es la edad desconocida del hueso, en años, el arqueólogo contará el número X de partículas emitidas en diez minutos y calculará una edad estimada \(\hat{t}\) con la fórmula:

\[\hat{t} = \frac{ln15.3−ln(X/10)}{0.0001210}\]

El arqueólogo no lo sabe, pero el hueso tiene exactamente 10000 años de antiguedad, por lo que X tiene una distribución de Poisson con λ=45.62.

  1. Genere una muestra simulada de 10000 valores de X y sus correspondientes valores de \(\hat{t}\).

  2. Estime la media de \(\hat{t}\).

  3. Estime la desviación estándar de \(\hat{t}\).

  4. Estime la probabilidad de que \(\hat{t}\) esté a 1000 años con una edad real de 10000 años.

SOLUCIÓN

a.

X = rpois(10000, 45.62)
t = (log(15.3) - log(X/10)) / 0.0001210
d = data.frame(
  X = X,
  t = t
)
datatable(d)

b.

media = mean(t)
media
## [1] 10075.89

c.

sqrt(media)
## [1] 100.3787

d.

Este punto no lo pude realizar.

dpois(172, 45.62)
## [1] 1.709572e-46