Ejercicios 02

¿Qué diferencias existen entre la combinación y la permutación?.

La diferencia entre las permutaciones y las combinaciones, es que la combinación se puede ver como la selección de elementos de un conjunto en las que el orden no importa, y la permutación como las formas de organizar un conjunto de elementos en un orden secuencial, en el cual si importa el orden, es decir, en las permutaciones importa el orden, en las combinaciones no.

Las permutaciones y las combinaciones poseen ecuaciones que permiten determinar el número de combinaciones o permutaciones posibles con un conjunto de elementos especificos, estas además, se dividen en dos, con repetición y sin repetición, estas son:

• Permutación sin repetición: \(P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\)

• Permutación con repetición: \(P(n,r) = n^{r}\)

• Combinación sin repetición: \(C(n,r) = \frac{n!}{r!(n-r)!}\)

• Combinación con repetición: \(C(n+r-1,r) = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-r)!}\)

RStudio es un software que dentro de dentro de las funcionalidades que tiene, posee unas que permiten calcular las combinaciones y permutaciones de un conjunto dado, o uno por defecto desde 1 hasta un “n” dado, estas dos funcionalidades reciben 4 parámetros, estos son:

1. n: Tamaño del conjunto que posee los elementos a usar.
2. r: Tamaño del número de elementos a usar del conjunto dado.
3. v: Conjunto de elementos a usar, pueden ser letras, palabras, nombres, números, etc.
4. set: Es un indicador booleano, que en caso de estar en estar en “TRUE”, elimina los elementos repetidos del conjunto dado.
5. repeats.allowed: Es otro indicador, el cual determina si la repetición esta permitida o no.

Para contrastar el uso de estas funcionalidades y las fórmulas antes descritas, se harán cálculos de permutaciones y combinaciones con “n” y “r” específicos y se compararán los resultados.

1. Permutación con n = 12 y r = 3:

Sin repetición:

• Con la función:

p_nr = permutations(n=12, r=3, v=1:12, set=T, repeats.allowed=F)
p_nr = nrow(p_nr)
p_nr

## [1] 1320

• Con la fórmula:

p_nr = factorial(12) / factorial(12-3)
p_nr

## [1] 1320

Con repetición:

• Con la función:

p_r = permutations(n=12, r=3, v=1:12, set=T, repeats.allowed=T)
p_r = nrow(p_r)
p_r

## [1] 1728

• Con la fórmula:

p_r = 12^3
p_r

## [1] 1728

2. Combinación con n = 4, r = 3 y los elementos a, b, c, d.

Sin repetición:

• Con la función:

l = c("a","b","c","d")
c_nr = combinations(n=4, r=3, l, set=T, repeats.allowed=F)
c_nr

##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] "a"  "b"  "c" 
## [2,] "a"  "b"  "d" 
## [3,] "a"  "c"  "d" 
## [4,] "b"  "c"  "d"

• Número de combinaciones posibles, con la fórmula:

c_nr = factorial(4) / (factorial(3)*factorial(4-3))
c_nr

## [1] 4

Con repetición:

• Con la función:

c_r = combinations(n=4, r=3, l, set=T, repeats.allowed=T)
c_r

##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,] "a"  "a"  "a" 
##  [2,] "a"  "a"  "b" 
##  [3,] "a"  "a"  "c" 
##  [4,] "a"  "a"  "d" 
##  [5,] "a"  "b"  "b" 
##  [6,] "a"  "b"  "c" 
##  [7,] "a"  "b"  "d" 
##  [8,] "a"  "c"  "c" 
##  [9,] "a"  "c"  "d" 
## [10,] "a"  "d"  "d" 
## [11,] "b"  "b"  "b" 
## [12,] "b"  "b"  "c" 
## [13,] "b"  "b"  "d" 
## [14,] "b"  "c"  "c" 
## [15,] "b"  "c"  "d" 
## [16,] "b"  "d"  "d" 
## [17,] "c"  "c"  "c" 
## [18,] "c"  "c"  "d" 
## [19,] "c"  "d"  "d" 
## [20,] "d"  "d"  "d"

• Número de combinaciones posibles, con la fórmula:

c_r = factorial(4+3-1) / (factorial(3)*factorial(4-1))
c_r

## [1] 20

3. Combinaciones y permutaciones con n = 34 y r = 5, sin repetición, pero usaremos las fórmulas antes descritas para reducir calculos computacionales:

• Combinaciones:

c_nr = factorial(34) / (factorial(5)*factorial(34-5))
c_nr

## [1] 278256

• Permutaciones:

p_nr = factorial(34) / factorial(34-5)
p_nr

## [1] 33390720

Una bencinera tiene 4 funcionarios que deben limpiar el parabrisas de cada cliente que es atendido. Janet da servicio al 20 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Tomás da servicio al 60 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Georgina da servicio al 15 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Pedro da servicio al 5 % de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas

1. Dentro del área de las probabilidades, existe un teórema llamado “Teórema de Bayes”, el cual nos permite calcular la probabilidad de que ocurra un suceso, dado que ocurrió otro previamente. Dicho teorema presenta la siguiente fórmula:

• \(P(B_j|A) = \frac{P(A|B_j)P(B_j)}{\sum_{i = 1}^{k}P(A|B)P(B)}\)

Esta formula trabaja con k particiones que pueda presentar el problema a tratar, en este caso por ejemplo, podemos resolver el problema con k = 4, ya que existen 4 funcionarios que pueden atender a los clientes.

2. Si un cliente reclama, ¿cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Pedro?. Para esto, calculamos la probabilidad de que haya sido atendido por Pedro, que este no le haya limpiado el parabrisas, y de todos los casos posibles en que no se haya limpiado el parabrisas, es decir, de los 4 funcionarios

prob_cp = 0.20 * 0.05 + 0.6 * 0.10 + 0.15 * 0.10 + 0.05 * 0.05
prob_P = 0.05 * 0.05
Pedro = prob_P / prob_cp
Pedro

## [1] 0.02857143

3. Siguiendo la misma analogía del punto anterior, se calculan las probabilidades de que el cliente haya sido atendido por Janet y que el cliente haya sido atendido por Georgina, como estos dos casos son mutuamente excluyentes, es decir, un cliente no puede ser atendido por Janet y por Georgina en el mismo momento, se debe calcular la probabilidad de que haya sido atendido por Janet “o” Georgina y que no se le haya limpiado el parabrisas.

• Probabilidad de atendida por Janet

prob_J = 0.20 * 0.05
Janet = prob_J / prob_cp
Janet

## [1] 0.1142857

• Probabilidad de atentida por Georgina

prob_G = 0.15 * 0.10
Georgina = prob_G / prob_cp
Georgina

## [1] 0.1714286

• Tenemos entonces la probabilidad de que haya sido atentida por Janet o Georgina

J_o_G = Janet + Georgina
J_o_G

## [1] 0.2857143

4. Finalmente, tenemos el calculo de probabilidad de que haya sido atentido por cualquiera de los funcionarios.

prob_T = 0.60 * 0.10
Tomas = prob_T / prob_cp
Atendido_p = Tomas + Janet + Georgina + Pedro
Atendido_p

## [1] 1

• Como se puede observar, la probabilidad es 1, ya que se toma en cuenta a todos los funcionarios de la bencinera, básicamente se nos está diciendo que si el cliente reclamó, es porque fue atendido si o si por alguno de los funcionarios.

De un grupo de 20 personas se quiere saber la opinión de 2 personas (seleccionadas al azar) acerca del apruebo o rechazo de la nueva constitución. Si se sabe que 12 personas aprueban y 8 rechazan ¿cuál es la probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen?

• Para conocer cuál es la probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen, podemos apoyarnos en las funcionalidades de R studio, y calcular todas las combinaciones posibles con n = 20 y r = 2, para saber cuántos casos posibles hay.

c = c("A", "A", "A", "A", "A", "A", "A", "A", "A", "A", 
      "A", "A", "R", "R", "R", "R", "R", "R", "R", "R")
r_a = combinations(n=20, r=2, c, set=F, repeats.allowed=FALSE)
nrow(r_a)

## [1] 190

• Luego agrupamos todas las combinaciones en; los dos aprueban, uno aprueba y otro rechaza o los dos rechazan, y las contabilizamos.

casos = as.data.frame((r_a), row.names = NULL, make.names=TRUE)
colnames(casos) = c("Persona_1", "Persona_2")
names(casos) = (make.names(names(casos)))
casos %>%
   group_by(across(names(casos))) %>%
   summarise(Casos = n(), .groups=NULL)

## # A tibble: 3 × 3
## # Groups:   Persona_1 [2]
##   Persona_1 Persona_2 Casos
##   <chr>     <chr>     <int>
## 1 A         A            66
## 2 A         R            96
## 3 R         R            28

• Tenemos entonces que el número de casos favorables en que dos personas seleccionadas rechazan son 28, entonces calculamos \(\frac{CasosFavorables}{CasosPosibles}\)

pro_rr = 28/190
pro_rr

## [1] 0.1473684

Dado P(A) = 0,50, P(B) = 0,30 y P(A ∩ B) = 0,15 calcule:

1. \(P(A|B):\)

p_ab = 0.15 / 0.30
p_ab

## [1] 0.5

2. \(P(A|B'):\)

p_ab_c = (0.5 * (1-0.30)) / (1- 0.30)
p_ab_c

## [1] 0.5

3. \(P(B|A):\)

p_ba = 0.15 / 0.5
p_ba

## [1] 0.3

4. \(P(B|A'):\)

p_ba_c = ((1-0.5) * 0.3) / (1-0.5)
p_ba_c

## [1] 0.3