Las permutaciones corresponden a diferentes agrupaciones de elementos donde el orden sí Importa. Por ejemplo, si se quieren obtener agrupaciones de 3 numeros, del conjunto de numeros del 1 al 10, para efectos de la permutacion la agrupacion 123 NO es igual a la agrupacion 213 o 312, ya que el orden en el que se estructura la agrupacion es distinto.
Las combinaciones son diferentes agrupaciones con todos los elementos donde el orden no importa. Por ejemplo, si se quieren obtener agrupaciones de 3 numeros, del conjunto de numeros del 1 al 10, para efectos de la combinacion la agrupacion 123 SI es igual a la agrupacion 213 o 312, ya que el orden en el que se estructura la agrupacion no se considera, son agrupaciones iguales desde el punto de vista de la combinacion. La diferencia entre permutaciones y combinaciones finalmente es que, la primera considera el orden y la segunda no.
-Con repeticion: \[ n^{r} \] -Sin repetición: \[ P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!}\]
-Con repetición: \[ C(n+r-1,r) =\frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} \]
-Sin repetición: \[ C(n,r)=\frac{n!}{r!(n-r)!} \]
La función combinations enumera las posibles combinaciones de un tamaño especifico (r) de los elementos de un vector, la fucnión permutations enumera las posibles permutaciones de un tamaño especifico (r) de los elementos de un vector.
combinations(n, r, v = 1:n, set = TRUE, repeats.allowed = FALSE)
Siendo n la cantidad de elementos disponibles para agrupar, r siendo el tamaño de cada una de las agrupaciones posibles que se desean formar, v siendo el vector fuente (Por defecto es un vector numerico 1:n, sin embargo puede utilizarse otro tipo de vector con los elementos disponibles para formar la agrupacion, por ejemplo letters 1:4) y el parametro repeats.allowed permite especificar si la combinación se realizará con (TRUE) o sin (FALSE) repetición o reposición.
permutations(n, r, v = 1:n, set = TRUE, repeats.allowed = FALSE)
Siendo n la cantidad de elementos disponibles para agrupar, r siendo el tamaño de cada una de las agrupaciones posibles que se desean formar, v siendo el vector fuente (Por defecto es un vector numerico 1:n, sin embargo puede utilizarse otro tipo de vector con los elementos disponibles para formar la agrupacion, por ejemplo letters 1:4) y el paramtro repeats.allowed permite especificar si la permutación se realizará con (TRUE) o sin (FALSE) repetición o reposición.
#Se utiliza la funcion permutations de la libreria gtools.
#Son agrupaciones de elementos donde importa el orden.
Pcon=nrow(permutations(12, 3, repeats.allowed = TRUE))
print(paste("La cantidad de permutaciones posibles con repeticion es: ", Pcon))## [1] "La cantidad de permutaciones posibles con repeticion es: 1728"Psin=nrow(permutations(12, 3, repeats.allowed = FALSE))
print(paste("La cantidad de permutaciones posibles sin repeticion es: ", Psin))## [1] "La cantidad de permutaciones posibles sin repeticion es: 1320"#Se utiliza la funcion combinatios de la libreria gtools.
#Son agrupaciones de elementos donde NO importa el orden.
#Caso con repeticion.
comb_sin = combinations(4, 3, letters[1:4], repeats.allowed = TRUE)
print("Las combinaciones de largo tres con las letras a,b,c y d con repeticion son:")## [1] "Las combinaciones de largo tres con las letras a,b,c y d con repeticion son:"comb_sin## [,1] [,2] [,3]
## [1,] "a" "a" "a"
## [2,] "a" "a" "b"
## [3,] "a" "a" "c"
## [4,] "a" "a" "d"
## [5,] "a" "b" "b"
## [6,] "a" "b" "c"
## [7,] "a" "b" "d"
## [8,] "a" "c" "c"
## [9,] "a" "c" "d"
## [10,] "a" "d" "d"
## [11,] "b" "b" "b"
## [12,] "b" "b" "c"
## [13,] "b" "b" "d"
## [14,] "b" "c" "c"
## [15,] "b" "c" "d"
## [16,] "b" "d" "d"
## [17,] "c" "c" "c"
## [18,] "c" "c" "d"
## [19,] "c" "d" "d"
## [20,] "d" "d" "d"print(paste("La cantidad de combinaciones posibles con repeticion son: ", nrow(comb_sin)))## [1] "La cantidad de combinaciones posibles con repeticion son: 20"#Caso sin repeticion.
comb_con =combinations(4, 3, letters[1:4], repeats.allowed = FALSE)
print("Las combinaciones de largo tres con las letras a,b,c y d sin repeticion son: \n")## [1] "Las combinaciones de largo tres con las letras a,b,c y d sin repeticion son: \n"comb_con## [,1] [,2] [,3]
## [1,] "a" "b" "c"
## [2,] "a" "b" "d"
## [3,] "a" "c" "d"
## [4,] "b" "c" "d"print(paste("La cantidad de combinaciones posibles con repeticion son: ", nrow(comb_con)))## [1] "La cantidad de combinaciones posibles con repeticion son: 4"Se hacen uso de las ecuaciones para el calculo de permutaciones y combinaciones sin repeticion, esto debido a que el valor tan alto de n (34) genera que las funciones permutations y combinations demoren en finalizar su ejecucion.
Perm= factorial(34)/factorial(34-5)
print(paste("Permutaciones con n=34 y r=5 y sin repeticion: ", Perm))## [1] "Permutaciones con n=34 y r=5 y sin repeticion: 33390720"Comb=factorial(34)/(factorial(5)*factorial(34-5))
print(paste("Combinaciones con n=34 y r=5 y sin repeticion: ", Comb))## [1] "Combinaciones con n=34 y r=5 y sin repeticion: 278256"\[P(Nombre|NoAtendido) = \frac{P(NoAtendido|Nombre)*P(Nombre)}{P(NoAtendido|Nombre)*P(Nombre) + P(NoAtendido|B)*P(B)}\] Es decir, la probabilidad de que el cliente haya sido atendido por la persona de nombre “Nombre” ya que no fue atendido (el cliente reclamó) es igual a la expresion de la derecha.
La expresion P(NoAtendido|B) del denominador deberá sumarse para el resto de trabajadores (sin incluir al trabajador de nombre “Nombre”).
#Probabilidades de que no haya sido atendido dado que fue atendido por los siguientes trabajadores:
PPedro=0.05
PTomas=0.1
PGeorgina=0.1
PJanet=0.05
Resultado=(PPedro*0.05)/((PPedro*0.05)+(PTomas*0.6)+(PGeorgina*0.15)+(PJanet*0.2))
Resultado #Probabilidad de que haya sido atendido por Pedro## [1] 0.02857143PPedro=0.05
PTomas=0.1
PGeorgina=0.1
PJanet=0.05
ResultadoJanet=(PJanet*0.2)/((PJanet*0.2)+(PTomas*0.6)+(PPedro*0.05)+(PGeorgina*0.15))
ResultadoJanet #Probabilidad de que haya sido atendido por Janet## [1] 0.1142857ResultadoGeorgina=(PGeorgina*0.15)/((PGeorgina*0.15)+(PTomas*0.6)+(PPedro*0.05)+(PJanet*0.2))
ResultadoGeorgina#Probabilidad de que haya sido atendido por Georgina## [1] 0.1714286resultado = ResultadoJanet + ResultadoGeorgina #Eventos mutuamente excluyentes, por lo tanto se suman las prob.
resultado #Probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina## [1] 0.2857143PPedro=0.05
PTomas=0.1
PGeorgina=0.1
PJanet=0.05
ResultadoJanet=(PJanet*0.2)/((PJanet*0.2)+(PTomas*0.6)+(PPedro*0.05)+(PGeorgina*0.15))
ResultadoJanet #Probabilidad de que haya sido atendido por Janet ## [1] 0.1142857ResultadoGeorgina=(PGeorgina*0.15)/((PGeorgina*0.15)+(PTomas*0.6)+(PPedro*0.05)+(PJanet*0.2))
ResultadoGeorgina #Probabilidad de que haya sido atendido por Georgina## [1] 0.1714286ResultadoPedro=(PPedro*0.05)/((PPedro*0.05)+(PTomas*0.6)+(PGeorgina*0.15)+(PJanet*0.2))
ResultadoPedro #Probabilidad de que haya sido atendido por Pedro## [1] 0.02857143ResultadoTomas=(PTomas*0.6)/((PTomas*0.6)+(PGeorgina*0.15)+(PPedro*0.05)+(PJanet*0.2))
ResultadoTomas #Probabilidad de que haya sido atendido por Tomas## [1] 0.6857143resultado = ResultadoJanet + ResultadoGeorgina + ResultadoPedro + ResultadoTomas
resultado #Probabilidad de que haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás o Pedro.## [1] 1Al realizar el calculo de la probabilidad solicitada, se puede observar que el resultado es 1, lo cual es correcto debido a que, el universo de trabajadores esta compuesto por Janet, Georgina, Tomas y Pedro, es decir, este es el espacio muestral, por lo tanto la probabilidad de que haya sido atendido por alguno de los eventos del espacio muestral es 100% (1), la probabilidad de que haya sido atendido por alguno de los funcionarios existentes en la bencinera es 100%.
#Al encuestar a la primera persona al azar, la probabilidad de que rechace es:
probPrimero= 8/20
#Al encuestar a la segunda persona al azar, el espacio muestral cambia (ya que se encuesto a una persona ya), y la probabilidad de que rechace cambia
probSegundo= 7/19
resultado= probPrimero*probSegundo
print(paste("La probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen es: ", resultado))## [1] "La probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen es: 0.147368421052632"PA= 0.50
PB=0.30
PAB=0.15 #P(A ∩ B)
#A)
resultado = PAB/PB #Se usa la expresion para calcular probabilidad condicionada.
resultado # P(A|B)## [1] 0.5#B)
resultado = (PA-PAB)/(1-PB) #En el numerador se hace el calculo de P(A ∩ B′) y en el denominador el calculo de B′.
resultado # P(A|B′)## [1] 0.5#C)
resultado = PAB/PA #Se usa la expresion para calcular probabilidad condicionada.
resultado # P(B|A)## [1] 0.3#D)
resultado = (PB-PAB)/(1-PA) #En el numerador se hace el calculo de P(b ∩ A′) y en el denominador el calculo de A′.
resultado # P(B|A′)## [1] 0.3