1.Instale el paquete “gtools” con la sentencia: install.packages(′gtools′), incluya la librería “gtools” library(gtools).

library(gtools)

2.Explique brevemente la diferencia entre permutación y combinación y exprese las

ecuaciones para calcular permutaciones y combinaciones.

Permutación: es una serie de elementos en un orden específico.

Ecuación sin repetición:

\[ P(n,r) = \frac{n!}{(n-r)!} \]

Ecuación con repetición:

\[ n^r \]

Combinación: es una serie de elementos que no cumplen un orden específico.

Ecuación sin repetición:

\[ nCr = \frac{n!}{(n-r)!r!} \]

Ecuación con repetición:

\[ C(n+r-1,r) = \frac{(n+r-1)!}{r!(n-1)!} \]

3. Busque en la ayuda de R las funciones combinations y permutations y explique brevemente cómo funcionan.

Las combinaciones en R enumeran las posibles combinaciones de un tamaño determinado de los elementos de un vector y las permutaciones enumeran todas las variaciones de orden posibles.

4. Calcule:

  1. La cantidad de permutaciones posibles con n = 12 y r = 3 con y sin repetición.
nrow(permutations(n=12, r=3, repeats.allowed = TRUE))
## [1] 1728
nrow(permutations(n=12, r=3, repeats.allowed = FALSE))
## [1] 1320
  1. Las combinaciones de largo tres con las letras a, b, c, y d con y sin repetición
combinations(n=4, r=3, v=c("a","b","c","d"),repeats.allowed = TRUE)
##       [,1] [,2] [,3]
##  [1,] "a"  "a"  "a" 
##  [2,] "a"  "a"  "b" 
##  [3,] "a"  "a"  "c" 
##  [4,] "a"  "a"  "d" 
##  [5,] "a"  "b"  "b" 
##  [6,] "a"  "b"  "c" 
##  [7,] "a"  "b"  "d" 
##  [8,] "a"  "c"  "c" 
##  [9,] "a"  "c"  "d" 
## [10,] "a"  "d"  "d" 
## [11,] "b"  "b"  "b" 
## [12,] "b"  "b"  "c" 
## [13,] "b"  "b"  "d" 
## [14,] "b"  "c"  "c" 
## [15,] "b"  "c"  "d" 
## [16,] "b"  "d"  "d" 
## [17,] "c"  "c"  "c" 
## [18,] "c"  "c"  "d" 
## [19,] "c"  "d"  "d" 
## [20,] "d"  "d"  "d"
combinations(n=4, r=3, v=c("a","b","c","d"),repeats.allowed = FALSE)
##      [,1] [,2] [,3]
## [1,] "a"  "b"  "c" 
## [2,] "a"  "b"  "d" 
## [3,] "a"  "c"  "d" 
## [4,] "b"  "c"  "d"
  1. La cantidad de permutaciones y combinaciones con n = 34 y r = 5 sin repetición.
factorial(34)/factorial(34-5)
## [1] 33390720
nrow(combinations(n=34,r=5,repeats.allowed=FALSE))
## [1] 278256

5.Una bencinera tiene 4 funcionarios que deben limpiar el parabrisas de cada cliente que es atendido. Janet da servicio al 20% de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas; Tomás da servicio al 60 % de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Georgina da servicio al 15% de los clientes y no limpia 1 de cada 10 parabrisas; Pedro da servicio al 5% de los clientes y no limpia 1 de cada 20 parabrisas. Si un cliente reclama.

  1. Exprese la ecuación con la que se puede resolver el problema.

Este problema se puede resolver con el teorema de bayes y su ecuación es:

\[ P[A_n/B]=\frac{P[B/A_n]*P[A_n]}{\sum P[B/A_i]*P[A_i]} \]

  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Pedro?
pedro=(0.05*0.05)/(0.20*0.05+0.60*0.10+0.15*0.10+0.05*0.05)
pedro
## [1] 0.02857143
  1. ¿Cuál es la probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina?
janet=(0.20*0.05)/(0.20*0.05+0.60*0.10+0.15*0.10+0.05*0.05)
georgina=(0.15*0.10)/(0.20*0.05+0.60*0.10+0.15*0.10+0.05*0.05)
cat(paste("La probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina es: ", janet+georgina))
## La probabilidad de que haya sido atendido por Janet o Georgina es:  0.285714285714286
  1. Calcule la probabilidad de que haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás o Pedro. ¿Qué se puede observar?
tomas=0.60*0.10/(0.20*0.05+0.60*0.10+0.15*0.10+0.05*0.05)
cat(paste("La probabilidad de que el cliente haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás o Pedro es:", pedro + janet + georgina + tomas))
## La probabilidad de que el cliente haya sido atendido por Janet, Georgina, Tomás o Pedro es: 1

El resultado de esta probabilidad nos da 1, y eso se da porque lo que estamos calculando es la suma de cada una de las probabilidades de los funcionarios, y esto es correcto puesto a que uno de los axiomas de las probabilidades establece que la probabilidad de el espacio muestral debe ser igual a 1.

6.De un grupo de 20 personas se quiere saber la opinión de 2 personas (seleccionadas al azar) acerca del apruebo o rechazo de la nueva constitución. Si se sabe que 12 personas aprueban y 8 rechazan ¿cuál es la probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen?

#Probabilidad de que aprueben
Pa=12/20
#Probabilidad de que rechacen, este sería en la primera selección
Pr=8/20
#Probabilidad de que rechace en la segunda selección
Pr2=Pr*7/19
cat(paste("La probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen es:", Pr2))
## La probabilidad de que las dos personas seleccionadas rechacen es: 0.147368421052632

7.Dado P(A) = 0,50, P(B) = 0,30 y P(A ∩ B) = 0,15 calcule:

  1. P(A|B)
#Probabilidad de A, P(A)
Pa=0.50
#Probabilidad de B, P(B)
Pb=0.30
#Probabilidad de A intersectado con B, P(A∩B)
Paintb=0.15
#P(A|B)
Pab=Paintb/Pb
Pab
## [1] 0.5
  1. P(A|B′)
#Probabilidad de B complemento, P(B')
Pbcomp=1-Pb
#Probabilidad de A intersectado con B', P(A|B')
Paintbcomp=Pa*Pbcomp
#P(A|B′)
Pabcomp=Paintbcomp/Pbcomp
Pabcomp
## [1] 0.5
  1. P(B|A)
#Probabilidad de B intersectado con A, P(B∩A)
Pbinta=Paintb
#P(B|A)
Pba=Pbinta/Pa
Pba
## [1] 0.3
  1. P(B|A′)
#Pacomp : Probabilidad de a complemento, P(A')
Pacomp=1-Pa
#Pbintacomp : Probabilidiad de b intersectado con el complemento de a, P(B∩A')
Pbintacomp=Pb*Pacomp
#Pbacomp : P(B|A′)
Pbacomp=Pbintacomp/Pacomp
Pbacomp
## [1] 0.3